Trong bài viết này, tác giả vận dụng khái niệm chuyển hóa sư phạm của lí thuyết tình huống và một số kết quả nghiên cứu gần đây về mô hình tri thức của người giáo viên Toán vào nội dung Vectơ ở trường Trung học phổ thông.
HNUE JOURNAL OF SCIENCE Educational Sciences, 2020, Volume 65, Issue 4, pp 167-176 This paper is available online at http://stdb.hnue.edu.vn DOI: 10.18173/2354-1075.2020-0067 NHỮNG TRI THỨC CẦN THIẾT CHO GIÁO VIÊN TOÁN ĐỂ DẠY HỌC NỘI DUNG VECTƠ Ở BẬC TRUNG HỌC PHỔ THƠNG Trần Cường Khoa Tốn - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Tóm tắt Trong báo này, tác giả vận dụng khái niệm chuyển hóa sư phạm lì thuyết tính số kết nghiên cứu gần mơ hính tri thức người giáo viên Toán vào nội dung Vectơ trường Trung học phổ thơng Lược sử hính thành, nguồn gốc, ý nghĩa vị trì tri thức trính bày cách có hệ thống nhằm giúp người giáo viên toán vươn tới tầm tri thức “biết rộng, hiểu sâu, có tầm nhín cao” dạy nội dung Vectơ Đây tiền đề cần thiết để có dạy hiệu Từ khố: chuyển hóa sư phạm, tri thức nội dung, tri thức nội dung dạy học, dạy học vectơ Mở đầu Trong chương trính đào tạo giáo viên Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội nay, lượng kiến thức chuyên ngành Toán trang bị cho sinh viên lớn: khoảng 30 học phần toán với gần 70 tìn (nghĩa xấp xỉ 1000 tiết học) Trong nhiều kiến thức tốn học đó, phần thiết thực cho người giáo viên dạy học bậc phổ thông? Câu trả lời thực triệt để thuyết phục không dễ dàng Cách tiếp cận tới tri thức từ hai góc độ: nội dung q trính dạy học mơn Tốn yếu tố quan trọng cấu thành lực sư phạm người giáo viên Toán cách làm phù hợp, khả thi Trong hệ thống dạy học tối thiểu, theo lì thuyết tính huống, tri thức với học sinh, giáo viên môi trường thành phần cấu thành [1, tr 152] Tri thức dạy học chuyển hóa thành kiến thức học sinh thông qua tổ chức dạy học giáo viên Tiền thân tri thức dạy học tri thức chương trính: từ tri thức quy định chương trính, sách giáo khoa, người giáo viên tiến hành hồn cảnh hóa lại, thời gian hóa lại, cá nhân hóa lại để đặt học sinh vào tính có dụng ý sư phạm Muốn có tri thức chương trính, người ta xuất phát từ tri thức khoa học, sàng lọc - định mức độ yêu cầu - định cách thức diễn đạt phù hợp để đảm bảo tương hợp hệ thống dạy học với mơi trường Tri thức khoa học, trường hợp tri thức toán học - đối tượng nhận thức Đặc biệt khoa học tốn học, để thơng báo tri thức, nhà nghiên cứu thường xóa bỏ lịch sử, khơng nêu lại tính cụ thể, bỏ qua tím tịi, dự đoán, sai lầm hay mốc thời gian - tức họ thường phi hồn cảnh hóa, phi cá nhân hóa, phi thời gian hóa Hai khâu sau trính nói gọi chuyển hóa sư phạm [1, tr 153] Trong mơ hình lực người giáo viên Toán đề xuất dự án COACTIV (tên đầy đủ Professional Competence of Teachers, Cognitively Activating Instruction, and the Mathematical Literacy, triển khai CHLB Đức giai đoạn 2002 - 2009), tri thức nghề Ngày nhận bài: 9/2/2020 Ngày sửa bài: 15/4/2020 Ngày nhận đăng: 23/4/2020 Tác giả liên hệ: Trần Cường Địa e-mail: trancuong@hnue.edu.vn 167 Trần Cường thành tố cấu thành với động lực, tự chủ, niềm tin - giá trị - lì tưởng Dự án Viện nghiên cứu nguồn nhân lực, Berlin kết hợp với viện đại học Goethe, Frankfurt số trường đại học khác Đức tiến hành, công bố chuyên khảo [2] (2013) trìch dẫn 201 lần chuyên trang học thuật Google Scholar (trong có cơng trính “siêu ảnh hưởng” sách [Stronge J.H, 2018, Qualities of Effective Teachers, ASCD Publishing] sở hữu 2191 trìch dẫn hệ thống) Có tới nhóm tri thức cần thiết tri thức nội dung (CK: Content Knowledge), tri thức sư phạm nội dung (PCK: Pedagogical Content Knowledge), tri thức tâm lí - sư phạm nội dung (PPK: Pedagogical/Psychological Knowledge), tri thức tổ chức (OK: Organizational Knowledge) tri thức tư vấn (CoK: Counseling Knowledge) Nói riêng, CK mô tả hiểu biết sâu sắc tốn phổ thơng; PCK có phần chình yếu: cách giải thìch, diễn đạt tri thức tốn, hiểu biết học tập học sinh hiểu biết nhiệm vụ học tốn Ba nhóm PPK, OK, CoK đòi hỏi mở rộng nghiên cứu tới số lĩnh vực khác tâm lì học, quản lì giáo dục, đánh giá giáo dục, ìt liên quan tới chương trính đào tạo chun ngành Sư phạm Tốn, lại khó gắn kết với nội dung dạy học vectơ phổ thông Để chuẩn bị CK - PCK cho người giáo viên vấn đề rộng lớn nên tác giả chủ động giới hạn phạm vi nghiên cứu đề xuất yêu cầu CK phần PCK, cần thiết cho người giáo viên Toán thực bước chuyển hóa sư phạm để có tri thức dạy học tốt cho dạy mính hiệu: biết rộng, hiểu sâu, có tầm nhín cao tốn phổ thơng - Biết rộng: biết nguồn gốc (ở đâu ra?), ứng dụng (để làm gí), chi tiết lịch sử hính thành phát triển tri thức (trải qua đường dài khó khăn khúc khuỷu sao?) Biết nguồn gốc giúp người giáo viên có nhiều lựa chọn diễn đạt, giảng giải kiến thức, biết ứng dụng góp phần triển khai hoạt động dạy học giao nhiệm vụ học tập tốt hơn, biết lịch sử hình thành phát triển tri thức chình chuẩn bị để dạy tri thức phù hợp với tư duy, nhận thức tự nhiên học sinh - Hiểu sâu: giải đáp câu hỏi “tại sao?” khơng “cái gí? nào?”, biết tường tận chi tiết, biến thể hay ngoại lệ đặc biệt - Có tầm nhìn cao: biết chung, trừu tượng khái quát (thường tri thức Toán Cao cấp Toán Phổ thơng phần Nâng cao) để nhín hệ thống thấy mối quan hệ vai trị tri thức hệ thống Từ góc độ giảng viên sư phạm, tác giả tin giáo viên Toán giỏi phải biết rộng, hiểu sâu, có tầm nhín cao tồn chương trính phổ thông Nội dung Vectơ lựa chọn ngẫu nhiên minh họa cho ý tưởng tài liệu tham khảo cho đồng nghiệp, sinh viên Phần nội dung nghiên cứu chình trính bày hai nhóm kết quả: nguồn gốc, ý nghĩa tri thức thể chân thực lịch sử hính thành phát triển phản ánh từ tri thức khoa học tới tri thức chương trính, vị trì tri thức Chương trính giáo dục phổ thơng mơn Tốn ban hành năm 2018 Nội dung nghiên cứu 2.1 Ý nghĩa thực vectơ trình hình thành phát triển Bất kí tri thức tốn học phát triển nhu cầu ìt hai nguồn: - Từ thực tiễn: Trong lao động sản xuất nghiên cứu khoa học thực nghiệm khác vật lì, hóa học, sinh học, thiên văn, ln có nhu cầu đo đạc biểu diễn (mơ hính hóa), khái niệm, phương pháp có lĩnh vực liên quan chưa đủ, khái niệm, phương pháp toán học đời 168 Những tri thức cần thiết cho giáo viên Toán để dạy học nội dung Vectơ bậc Trung học phổ thơng - Từ nội tốn học: Trong nghiên cứu, giải vấn đề nội mơn tốn, nhà tốn học thường xun phải phát triển công cụ, phương pháp để giải toán Điều thú vị đáng ý lịch sử tốn, nhiều cơng cụ có nguồn gốc hồn tồn lì thuyết lại quay trở lại thực tiễn, thể ứng dụng to lớn Đối với khái niệm vectơ, hai dòng chảy giao thoa với theo thời gian, chủ yếu từ nghiên cứu vật lì hính thành, phát triển khái niệm số phức Từ vector từ gốc la tinh, danh từ động từ mang đi, mang theo Vậy nghĩa từ điển, mang (chẳng hạn mang điểm A tới điểm B) Mặc dù thuật ngữ radius vector sử dụng nhà thiên văn học khảo sát chuyển động hành tinh quanh mặt trời, Hamilton R.W (1805-1865) thừa nhận rộng rãi người gán nghĩa toán học cho từ vector (cùng đồng thời với từ scalar - vơ hướng) cơng trính [3] Trong tiếng Việt, tác giả Hoàng Xuân Hãn người phiên âm từ gốc tiếng Pháp vecteur thành vec-tơ [4, tr 187], ngày danh từ viết sách giáo khoa trung học phổ thông không dùng dấu cách mà viết liền thành vectơ Trong chuyên khảo [5], hầu hết kiện chình lịch sử giải tìch vectơ liệt kê đầy đủ.Tác giả đối sánh thơng tin với tài liệu gốc liên quan để rút số kết luận (từ 2.1.1 đến 2.1.7.) với đủ sở chứng lịch sử Nội dung kết luận chình tri thức cần trang bị cho giáo sinh, khn khổ chương trính đào tạo trường Đại học sư phạm 2.1.1 Vectơ công cụ hiệu để biểu diễn đại lượng có hướng Nếu số đặc trưng cho lượng, hính biểu diễn cho hính dạng khơng gian giới khách quan hai đối tượng nghiên cứu khoa học tốn học từ thời kí phát sinh đến đầu giai đoạn tốn học cao cấp cổ điển thí nhu cầu khoa học tự nhiên, đặc biệt vật lì học, đại lượng liên quan tới chuyển động, biến thiên địi hỏi phải có mơ hính biểu diễn tối ưu Nhiều đại lượng vậy: vận tốc, gia tốc, lực, moment, chung thuộc tình phổ qt tình có hướng Sơ đồ quy tắc hình bình hành hính vẽ tự nhiên, quen thuộc cho xuất từ trước công nguyên tác phẩm thất truyền Aristotle (384-322 tr.CN) hay thiết kế khì Héron (thế kỷ II) [5, tr 2] Ở kỉ 17, đại lượng có hướng với đầy đủ đặc tình vector vật lì vận tốc, lực nghiên cứu tương đối đầy đủ, hệ thống Newton I (1642-1727) tác phẩm kinh điển Principia Mathematica (Nguyên lì tốn học tự nhiên, 1687) Sách có đoạn viết: “Một vật chịu tác động đồng thời hai lực có trạng thái giống chịu lực đặt đường chéo hính bính hành dựng hai lực nói trên” [6, tr 14] Đây quy tắc tổng hợp lực mà học sinh phổ thông ngày học lớp 10, tất nhiên gọn gàng, sáng nhiều với trợ giúp kì hiệu vectơ 2.1.2 Vectơ “sinh từ -” “giúp giải -” nhu cầu đại số hóa hình học Có thể coi mầm mống giải tìch vectơ ý niệm Leibniz G.-W (1646 - 1716) ngôn ngữ gọi hình học vị trí (Geometry of Situation), đề cập tới thư gửi Huygens [7] Cùng số luận khác, Leibniz diễn tả sáng, rõ ràng nhu cầu chình đáng nhà tốn học muốn có ngơn ngữ để biểu diễn giải vấn đề hình học Bản thân đối tượng truyền thống hính học điểm, đường thẳng, mặt phẳng, không cho phép tiến hành biến đổi hính thức thuận tiện đại số, ngược lại số biến cộng, trừ, nhân chia cách máy móc, hính thức (và thuận tiện) đại số lại biểu diễn độ lớn (cường độ, mức độ) mà không mang thông tin phương vị [5, tr 03] 169 Trần Cường Mặc dù chưa tới đìch đến mơ tả hình học vị trí đặt chình xác u cầu mà ngơn ngữ cần làm để làm việc với đối tượng hính học đại số Vai trị hính học vị trì nhắc tới bính luận Couturat cơng trính cho hồn chỉnh giải tìch vectơ Grassmann ([8], 1901): Tóm lại, phép tình giải tìch vectơ Grassmann dường sinh để đáp ứng tưởng tượng Leibniz! Ngày nay, nói giáo trính tốn thống sử dụng vectơ để xây dựng hệ trục toạ độ, chương trính tốn phổ thơng Việt Nam làm 2.1.3 Vectơ góp phần giúp “giải mã” bí hiểm số phức Trong [9], Cardano G (1501 - 1576) trính bày phương pháp giải trọn vẹn phương trính bậc ba Phương pháp này, (có lịch sử tranh chấp phức tạp, ngày thường gán tên kép Cardano - Tartaglia) hiệu lại gợi vấn đề cần suy nghĩ cho Bombelli R (1526 - 1572): áp dụng cho nhiều phương trính, chẳng hạn x x , tập nghiệm rõ ràng {0 1} tím thấy chấp nhận tượng có hai số tổng , tìch , tức bính phương hai số - Bombelli mạnh dạn đề xuất quy tắc làm tình với loại “số” mà ông gọi số giả ([10], 1572) “Số giả” Bombelli gây nghi ngờ cho giới toán học ví ngược lại trực giác, chưa có mơ hính trực quan mà hồn tồn thuộc giả định Chình Descartes R (1596 - 1650) gọi “số mới” “số ảo” ngày nay: “số” khơng gắn với “lượng” nào, “tưởng tượng nổi”, tất nhiên khơng thể “nhín thấy được” ([11, tr 380], 1637) Wessel C (1745-1818) Argand J.-R (1768-1818) dùng điểm mặt phẳng tọa độ Oxy để biểu diễn thí số phức, phép tốn cộng, trừ số phức cách làm tình với chúng “được trông thấy” vectơ Số phức thừa nhận rộng rãi, để đại số tập số phức định nghĩa chặt chẽ Hamilton, giải phóng tư người khỏi định kiến nặng nề hàng trăm năm mở chương lịch sử toán học [5, tr.34] 2.1.4 Vectơ cơng cụ để tìm trọng tâm hệ điểm Lần theo dấu vết khái niệm vectơ, khơng thể bỏ qua Mưbius A.-F với cơng trính Giải tích trọng tâm [11] Trong chương đầu tiên, tác giả bắt đầu định nghĩa “đoạn thẳng AB” “đoạn thẳng BA = –AB quy tắc cộng hai “đoạn thẳng” phương Tiếp theo cịn có mở rộng quy tắc dấu, quy tắc cộng tới trường hợp nhiều điểm (chẳng hạn cho tam giác hay tứ diện), phép cộng phép nhân với số thực “đoạn thẳng” hoàn toàn phù hợp phép tốn vectơ ngày nay, chì định lì quan trọng phát biểu sau [11, tr 10]: Cho điểm phân biệt A, B, C,…, N hệ số a, b, c,…, n có tổng khác , ln tồn tâm S cho chiếu song song A, B, C,…, N, S lên mặt phẳng (P) ta có: a AA ' b.BB c.CC ' n.NN ' (a b c n).SS ' đặc biệt (P) qua S a AA ' b.BB c.CC ' n.NN ' Tiếc thời điểm đời, cơng trính vượt thời đại khơng gây tiếng vang lớn 2.1.5 Giải tích vectơ phát triển từ nhu cầu nghiên cứu tượng tự nhiên Một phần lớn sở Giải tìch vectơ (Vector Analysis) xây dựng sở toán học nghiên cứu tượng thủy triều [5, tr 63] Trong luận Lí thuyết thuỷ triều ([12], 1840), Grassmann khẳng định đối chiếu, thừa hưởng cải tiến mạnh mẽ kết kinh điển cơng trính Cơ học giải tích ([13], 1788) Lagrange J.-L (1736 – 1813 Cơ học thiên thể ([14], 1799 - 1825) Laplace P.-S (1749 - 1827) Phiên hồn thiện trính bày đầy đủ phát minh Grassmann, Lí thuyết khai triển tuyến tính, ngành tốn học ([15], 1844) có đoạn tựa: “Những nghiên cứu lí thuyết thủy 170 Những tri thức cần thiết cho giáo viên Toán để dạy học nội dung Vectơ bậc Trung học phổ thông triều bắt buộc phải tham khảo Cơ học giải tích Lagrange, để vui mừng nhận thấy cải tiến cho phép biểu diễn tính tốn tốt ơng ta hàng chục lần Nó thúc giục tơi tiếp tục phát triển khái niệm để áp dụng vào tốn khó khăn phức tạp nữa…” Những trính bày từ định nghĩa tới xây dựng khơng gian tuyến tình, số chiều, khơng gian con, tìch vectơ, giúp tác giả sách tôn vinh nhà sáng lập quan trọng chuyên ngành Đại số tuyến tính (Linear Algebra) 2.1.6 Lí thuyết giải tích vectơ hồn thiện chuyên gia nhiệt động lực học Ngày Giải tích vectơ hồn thiện Willard Gibbs J.-W (1839-1903) cơng trình Cơ sở giải tích vectơ ([16], 1881 - 1884) Là giáo sư, chuyên gia nhiệt động lực học đại học Yale, Gibbs nhận sức mạnh to lớn công cụ quaternion Maxwell Grassmann lĩnh vực mính nên nhiệt thành truyền bá phương pháp giảng cho sinh viên Cuốn sách kinh điển tái năm 1960, xem giáo trính sở đầu tiên, đầy đủ, tương đối hồn thiện cịn giá trị lớn đào tạo toán cao cấp ngày Được phát triển sản phẩm kết hợp việc nghiên cứu đại lượng có hướng vật lì với giải vấn đề hoàn thiện đại số quaternion, đến lượt mính, giải tích vectơ thể vai trị cơng cụ quan trọng để nghiên cứu tốn học đại "Trái ngọt" đầu tiên, phải kể đến nghiên cứu kinh điển đường mặt thuộc lĩnh vực hình học vi phân, Frenet J.-F (1816 - 1900) thực Ngày lĩnh vực nhánh toán học tiếp tục phát triển mạnh mẽ [17] 2.1.7 Tích vectơ mơ hình tốn học phù hợp với nhiều tượng vật lí Tích vectơ chình khái niệm cốt lõi sau thân khái niệm vectơ hai phép toán cộng nhân với vô hướng Không giống nhân vô hướng, việc xây dựng phép tốn lấy tìch đại lượng có hướng khó khăn trắc trở nhiều Trong lịch sử Giải tìch vectơ, tiền thân tìch vectơ đại xuất nhiều thời đại Grassmann Bảng Chuỗi kiện liên quan tới hình thành tích vectơ (tổng hợp mục từ dot product cross product [5, tr 266]) Tích vơ hướng Tích có hướng Giải pháp phân tìch số vấn đề hình chóp tam giác dạng dạng 1831 Mặt hính học dạng Tërnaren scalar p chưa có Grassmann 1844 Lì thuyết khai triển tuyến tình inner p outer p Hamilton 1866 Cơ sở quaternion scalar p vector p Maxwell 1873 Chuyên luận điện từ khơng có khơng có Clifford 1878 Động lực học scalar p vector p Gibbs 1881 Cơ sở giải tìch vectơ direct p skew p Heaviside 1883 Liên hệ lực từ dòng điện scalar p vector p Mobius 1887 Về phép cộng nhân hính học projective p geometrical p 1897 Giới thiệu hính học vi phân theo phương pháp Grassmann internal p vectoriel p Tác giả Năm Tên cơng trình Lagrange 1773 Gauss Burali Forti - 171 Trần Cường Nhín vào chuỗi kiện nói trên, dường tìch vectơ đời hồn tồn từ nội tốn học, nhờ trì tưởng tượng bay bổng nhà toán học, cố gắng tím phương tiện để biểu diễn tình tốn thuận tiện cho vấn đề vật lì Nếu thí tưởng tượng Lagrange Gauss phù hợp với quy luật biết vật lì Từ giúp vật lì lượng hoá đại lượng chủ yếu phụ thuộc vào cảm tình Khi người phải kéo vật lực khơng đổi (có hướng song song với mặt đường) qng đường thí người kéo công (sức) mệt đến mức nào? Mất sức "đến sức" hay "sinh công"? Nếu không kéo theo phương song song với mặt đường mà lại kéo "hơi chếch lên trên" thí sinh nhiều hay ìt "cơng" hơn? Rõ ràng kéo "đi xa" mệt kéo "đi gần", "kéo mạnh" sức "kéo nhẹ" Tuy nhiên nhận định cảm tình chưa đủ cho tình tốn, dự liệu, tối ưu hóa hoạt động lao động sản xuất Trong trường hợp này, cần sử dụng tìch vơ hướng: A F S ta thu đại lượng số phù hợp với quan sát vật lì: kéo hướng với hướng chuyển động lực có "cơng to" nhất; vng góc với chuyển động lực "vơ tìch sự", chì "trái hướng" với chuyển động cịn lực "có hại" “Cơng” tình trên, tất nhiên tỉ lệ thuận với quãng đường cường độ lực giữ nguyên hướng chúng Tìch có hướng giúp mơ cách trung thành quy luật vật lì phụ thuộc momen lực chuyển động quay: M rF hay lực Lorentz sinh từ trường tác động lên điện tìch F q( E v B) 2.2 Nội dung vectơ: từ tri thức khoa học tới tri thức chương trình Theo [18, tr 7], nội dung Vectơ đưa vào chương trính tốn hành (chương trính 2000) nhằm giới thiệu cho học sinh phương pháp để nghiên cứu hính học Euclid, phục vụ cho mơn học khác vật lì, hoá học giúp học sinh bước đầu tiếp cận với toán học đại Chương vectơ xếp phần lớn chương Hính học lớp 10, sau xen kẽ dần phần lớp 11 (vectơ khơng gian) trước chuyển hồn tồn sang phương pháp toạ độ Chương trính tốn 2018 [19] bố trì nội dung theo hướng tinh giản, thiết thực, đại; bảo đảm thống nhất, quán phát triển liên tục; bảo đảm tìch hợp - phân hóa; bảo đảm tình mở Tiếp nối nội dung bậc học THCS mà chủ yếu hính học trực quan, cuối cấp có hính học phẳng (kiến thức, kỹ quan hệ hính học số hính phẳng thơng dụng, kiến thức - kĩ mức độ suy luận logic), nội dung Vectơ coi phần phương pháp đại số (vectơ, tọa độ) hính học, cắt bớt nhiều xếp sau Hệ thức lượng tam giác đầu chương trính Hính học 10 Nội dung Vectơ khơng thấy chương trính lớp 11 giới thiệu lại sơ lược trước xây dựng hệ trục tọa độ khơng gian chiều 2.2.1 “Phương pháp vectơ” “tính đại” Có nhiều hệ tiên đề khác xây dựng để trính bày nghiên cứu hính học khơng gian vật lì (Euclid) quen thuộc mà lồi người sống “Phương pháp hính học tổng hợp”, cách gọi quen thuộc trước cách xây dựng không gian Euclid hệ tiên đề Hilbert (David, 1862-1943) Ở phổ thông, hệ tiên đề 172 Những tri thức cần thiết cho giáo viên Toán để dạy học nội dung Vectơ bậc Trung học phổ thơng giới thiệu khơng trính thực chi tiết, đầy đủ Trong hệ tiên đề này, khái niệm gồm có điểm, đường thẳng, mặt phẳng, liên thuộc, nằm Ở cấp THCS, học sinh quen thuộc với cách xây dựng “Phương pháp vectơ” “phương pháp toạ độ” đại chỗ, dựa hệ tiên đề không gian vectơ, gọi hệ tiên đề Weyl (Hermann, 1885-1955) với hệ tiên đề (gồm 15 tiên đề, có tiên đề xác định khơng gian vectơ) mơ hính khác chọn đối tượng khác nhau: (i) gồm điểm vectơ, với điểm theo mô tả thông thường, vectơ đoạn thẳng có phân biệt điểm đầu - điểm cuối; (ii) gồm điểm vectơ, với điểm số, vectơ số Giáo viên học trường đại học sư phạm: đoạn thẳng có hướng hay (hai / ba) số thực mơ hính khác khái niệm hồn tồn trừu tượng, để giúp trực quan hóa khái niệm Vectơ gì, miễn cộng, nhân với vơ hướng hai phép tốn thỏa mãn hệ tiên đề khơng gian vectơ Sắp xếp chương trính thể tư tưởng đại số hóa hình học, tư tưởng đột phá lịch sử tốn Trính tự tri thức chương trính trính bày, đại thể phản ánh trung thành tiến trính lịch sử: Bảng Phương pháp vectơ lịch sử toán chương trình tốn phổ thơng Lịch sử tốn Chương trình tốn phổ thông Việt Nam 2018 1637, Descartes Xây dựng hệ trục tọa độ dựa hính học Lớp 7: Xây dựng mặt phẳng tọa độ 1844, Grassmann Định nghĩa không gian vectơ tổng qt Lớp 10: Xây dựng mơ hính hính học đoạn thẳng có hướng 1918, Weyl Lớp 11 & 12: Dùng mơ hính hính học Xây dựng không gian Euclid hệ tiên không gian vectơ cơng cụ nghiên cứu hính học Euclid: đề không gian vectơ 1957, Artin Lớp 10, lớp 12: Xây dựng mơ hính đại số hóa hồn tồn nhờ hệ trục tọa độ Xây dựng không gian Euclid tổng quát phép tốn đại số, hồn tồn khơng phụ thuộc vào hính vẽ 2.2.2 Sự phản ánh từ tri thức khoa học đến tri thức chương trình, tri thức dạy học Mỗi đơn vị tri thức đưa vào chương trính tốn phổ thơng thường trường hợp đặc biệt mơ hính cụ thể kiến thức tổng quát, trừu tượng khoa học tốn học Ngược lại, thân lại có cách biểu diễn khác dụ cụ thể khác Dưới bảng gợi ý tổng thể phản ánh mức độ khác nhau, từ tri thức khoa học tới tri thức chương trính, tri thức dạy học nội dung vectơ Cột bảng gồm hầu hết đơn vị quy định chương trính tốn phổ thơng 2018 Cột bên phải số đề xuất cách biểu diễn khác tham khảo sử dụng lớp học, nhằm góp thêm vào tri thức sư phạm nội dung cho người giáo viên toán 173 Trần Cường Bảng Sự phản ánh từ tri thức khoa học, tri thức chương trình tới tri thức dạy học vectơ Tri thức khoa học Phần tử tập hợp V Tri thức chương trình Vectơ (Lớp 10) Hai phần tử lớp tương đương Vectơ (lớp 10) Phần tử trung hòa phép toán cộng, tồn theo hệ tiên đề Định nghĩa phẳng chiều khơng gian Euclid Phép tốn hai ngơi V Vectơ khơng (lớp 10) Ánh xạ Tìch vectơ với số thực (lớp 10) : K V V Điều kiện thẳng hàng cho ba điểm (lớp 10) Tổng hai vectơ: quy tắc ba điểm, quy tắc hính bính hành (lớp 10) Tâm hệ điểm Trung điểm, trọng tâm (lớp 10) Dạng song tuyến tình đối xứng xác định dương khơng gian vectơ Tìch vô hướng (lớp 10) Tọa độ vectơ nhờ định lì biểu diễn vectơ theo hệ sở Khơng gian liên kết Tọa độ vectơ (lớp 10) 174 Vectơ phương (lớp 10), cặp vectơ phương (lớp 12) Ví dụ cho tri thức sư phạm nội dung (PCK) - Đoạn thẳng có hướng, cột số, số, đa thức - Giá trị vectơ phải đủ thông tin: phương, chiều, độ dài - Cùng phương, chiều, độ dài, - Vì dụ lấy đoạn thẳng chia thành nhiều phần nhau, lưới vng hính bính hành, cửa sổ phần mềm hính học - Điểm đầu điểm cuối trùng - Độ dài - Cùng phương với vectơ - Vẽ hai vectơ cùng, phương điểm đặt - Vì dụ lấy hính vẽ cụ thể - Tổng hợp chuyển động: từ A đến B tiếp từ B đến C chình từ A đến C - Tổng hợp hai lực điểm đặt - Hiện tượng thuyền buồm “chạy ngược gió” sách giáo khoa hành Vì dụ lấy lưới vng hính vẽ cụ thể - Trọng tâm vật điểm đặt trọng lực; phương pháp thực nghiệm để tím trọng tâm bía phẳng vật lì (1) cân diện tìch nhỏ (mũi nhọn) dùng dây treo điểm để xác định đường thẳng qua trọng tâm - Với vật thể hính đa giác, trọng tâm xác định phương pháp hính học (giao trọng tuyến) hệ thức vectơ - Dùng để lượng hóa cơng lực - Định nghĩa hính học: tìch độ dài với cosin góc xen - Là số báo mức độ vng góc hai vectơ đơn vị: gần gần góc vng Trên lưới vng: - Xác định quy tắc chiếu lên hai trục - Chỉ tọa độ hai vectơ - Vì dụ hính vẽ cụ thể - Tương quan - đường thẳng (mặt phẳng) vectơ (cặp vectơ) phương Những tri thức cần thiết cho giáo viên Tốn để dạy học nội dung Vectơ bậc Trung học phổ thông Kết luận - Thông qua tiếp cận số tác phẩm kinh điển, coi quan trọng trính hính thành, phát triển giải tìch vectơ, báo đưa nhận định có hệ thống chứng, lịch sử ý nghĩa thực vectơ khái niệm liên quan chương trính tốn phổ thơng Những hiểu biết này, theo lì thuyết tính mơ hính lực sư phạm đưa dự án COACTIV, cần thiết người giáo viên Tốn nói riêng, cộng đồng giáo dục tốn học nói chung - Tác giả rà sốt nội dung số học phần dành cho sinh viên sư phạm tốn (Đại số tuyến tình, Hính học giải tìch, Hính học Afin hính học Euclid, Hính học xạ ảnh, Hính học sơ cấp) để đưa góc nhín tầm cao, từ tri thức khoa học tới tri thức chương trính vectơ - Như khuyến nghị tham khảo, việc tổng hợp nghĩa tri thức thể lịch sử hính thành phát triển với tri thức khoa học vectơ cho phép tác giả đề xuất số dụ tham khảo cho phương án thể tri thức dạy học chủ đề vectơ cho đồng nghiệp trường trung học phổ thơng Kết trính bày báo mở chuỗi vấn đề tương tự, có ý nghĩa, liên quan tới chủ đề nội dung khác (ở trường phổ thơng) xác định nội dung gần gũi, thiết thực giúp cho sinh viên biết rộng, hiểu sâu, có tầm nhín cao tốn phổ thơng cho học phần tốn trường sư phạm TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Bá Kim, 2017 Phương pháp dạy học môn Toán, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội [2] Baumert J., Kunter M., 2013 The COACTIV model of teachers' professional competence, in Cognitive Activation in the Mathematics Classroom and Professional Competence of Teachers Mathematics Teacher Education Vol (Peter-Koop A., Wilson P., series editor), Springer, pp 25-48 [3] Hamilton R.-H., 1844 On quaternions, The London, Edinburgh and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Sciences, Vol XXV (CLXIII), pp 10-13 [4] Hoàng Xuân Hãn, 1948 Danh từ khoa học, Trường Thi xuất [5] Crowe M.-J., 1967 A History of Vector Analysis, University of Notre Dame Press [6] Florian Cajori (rédacteur), 1962 Sir Isaac Newton's Mathematical Principles of Natural Philosophy and His System of the World University of California Press, 1962 [7] Leibniz G.W., 1989 Studies in Geometry of Situation with a Letter to Christian Huygens In: Loemker L.E (eds.) Philosophical Papers and Letters The New Synthese Historical Library (Texts and Studies in the History of Philosophy), Vol Springer, Dordrecht [8] Couturat, L., 1901 La logique de Leibniz, Paris, pp 538 [9] Cardano Girolamo, 1545 Ars magna or The Rules of Algebra Dover (published 1993) [10] Bombelli Rafael, 1572 L’algebra, Bologna [11] Möbius, A.-F., 1827 Der barycentrische Calcül: ein neues Hilfsmittel zur analytischen Behandlung der Geometrie Leipzig [12] Grassmann H G., 1840 Theorie der Ebbe und Flut Pr fungsarbeit In (Grassmann 18941911, III, 1) [13] Lagrange J.-L., 1788 Mécanique Analytique, Paris: Chez la Veuve Desaint [14] Laplace, P.-S., 1799-1825 Marquis de Traité de mécanique céleste, Paris [15] Grassmann, 1844 Die Lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik (ed 2012) Cambridge Library Collection - Mathematics 175 Trần Cường [16] Gibbs, J.-W., 1881 - 1884 Elements of vector analysis Printed by Tuttle, Morehouse & Taylor, New Haven [17] O'Connor J.-J., Robertson E.-F., Jean Frédéric Frenet, MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, url http://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/ Frenet.html [18] Trần Văn Hạo (tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy (chủ biên), Nguyễn Văn Đoành, Trần Đức Huyên, 2012 Hình học , Sách giáo viên Nxb Giáo dục Việt Nam [19] Bộ GD&ĐT, 2018 Chương trính Giáo dục Phổ thơng mơn Tốn [20] Nguyễn Minh Hà, 2008 Tìch ngồi hai vectơ Tạp chí Khoa học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, Vol 53, No 8, pp 3-10 ABSTRACT Mathematics teachers’ knowledge necessary for teaching vectors at high schools Tran Cuong Faculty of Mathematics, Hanoi National University of Education This paper aims at applying the concept of didactic transposition proposed in the theory of situations and some recent research outcomes regarding the knowledge model of mathematics teachers for teaching vectors in high schools History, origin, meaning and roles of knowledge are systematically presented in order to help mathematics teachers acquire a wider knowledge, a deeper understanding, and a higher vision This is one of the most essential conditions for effective teaching Keywords: didactic transposition, content knowledge, pedagogical content knowledge, teaching vector 176 ... pháp toán học đời 168 Những tri thức cần thiết cho giáo viên Toán để dạy học nội dung Vectơ bậc Trung học phổ thơng - Từ nội tốn học: Trong nghiên cứu, giải vấn đề nội mơn tốn, nhà toán học thường... khai tri? ??n tuyến tính, ngành tốn học ([15], 1844) có đoạn tựa: ? ?Những nghiên cứu lí thuyết thủy 170 Những tri thức cần thiết cho giáo viên Toán để dạy học nội dung Vectơ bậc Trung học phổ thông tri? ??u... Euclid hệ tiên đề Hilbert (David, 1862-1943) Ở phổ thông, hệ tiên đề 172 Những tri thức cần thiết cho giáo viên Toán để dạy học nội dung Vectơ bậc Trung học phổ thơng giới thiệu khơng trính thực chi