Một số bất đẳng thức ôn tập trước khi thi ĐHCĐ

Một số toán bất đẳng thức Bài toán ⇔ ( − cos x )  − ( − cos x ) ( + cos x )  ≥ ( − cos x ) ( + cos x ) = ( − 2cos x ) ( + cos x ) ( + cos x )   32 ≤  ÷ = <   27 ⇒ − ( − cos x ) ( + cos x ) > π ⇒ max y = ⇔ cos x = ⇔ x = + kπ Bài toán Cho x, y, z thỏa 3− x + 3− y + 3− z = Chứng minh 9x 9y 9z 3x + y + 3z + y + z ≥ x y+z z+ x x+ y +3 +3 +3 Ta cần chứng minh Từ giả thiết ab + bc +ca = abc bất đẳng thức cuối, ta cần chứng minh : Áp dụng bất đẳng thức AM - GM Bài toán Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1.Tìm giá trị nhỏ biểu thức x2 ( y + z ) y ( z + x ) z ( x + y ) P= + + yz zx xy P≥ x2 ( y + z ) + y2 ( z + x)  y+z z+x  ÷  ÷     x2 y z = + + 1− x 1− y 1− z x2 − x + ≥x 1− x + z2 ( x + y )  x+ y  ÷   Nếu khơng quy số hạng hàm theo x, y, z P≥ x2 ( y + z ) + y2 ( z + x)  y+z z+x  ÷  ÷ 2     x2 y2 4z2 = + + y+ z z+x x+ y + z2 ( x + y) x+ y  ÷   4( x + y + x) ≥ = 2( x + y + z ) = 2( x + y + z ) Bài tốn Cho số thực khơng âm x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= + ( x + y) ( y + z) ( x + z) ( y + z) Cách giải sai? Cách P≥ (1+ y) + (1+ z) 2 1 2  ≥  + ÷ 1+ y 1+ z    32 32 ≥ 2 ≥ ÷ =  + y + z  (3 − x) Cách P= ≥ + ( x + y) ( y + z) ( x + z) ( y + z) ( y + z) ( x + y) ( x + z) = ≥4 1− x ≥ ( 1− x) ( 1+ x) Bài toán Cho số thực dương x, y, z Tìm giá trị lớn biểu thức yz xy zx P= + + x + yz y + zx z + xy Kĩ thuật Cauchy ngược dấu  x + yz − x  x = = 1 − ÷   x + yz ÷ x + yz x + yz   1 x ≤ 1 − ÷ 2 x+ y + z  yz Bài toán 10 (KD – 2012) Cho số thực x, y thỏa mãn (x – 4)2 + (y – 4)2 + 2xy ≤ 32 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x3 + y3 + 3(xy – 1)(x + y – 2) Nhận xét: Giả thiết kết luận có tính đối xứng biến nên đặt s = x + y, p = x.y Gt ⇔ ( x + y ) − 8( x + y ) ≤ ⇔ ≤ x + y ≤ 2 s ≥ p ⇒ −6 p ≥ − s A = ( x + y )3 − xy − 3( x + y ) + 3 ≥ ( x + y ) − ( x + y ) − 3( x + y ) + 3 f ( s ) = s − s − 3s + 6,0 ≤ s ≤ Xét hàm số Bài toán 11 (KB – 2012) Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện 2 x + y + z = 0, x + y + z =1 Tìm GTLN 5 P=x +y +z  xy = ( x + y ) −  x + y + z =  ⇒  2  x + y + z = − ≤ x + y ≤  3 P = x + y + z = x + y − ( x + y) 5 5 5 = xy ( x + y ) − 10 x y ( x + y ) 5 5  = − ( x + y ) − ( x + y )  = − t + t , t = x + y 2 2  Cách giải sau lấy từ đáp án Bộ GD&ĐT Bài toán 12 (KA – 2012) Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện Tìm GTNN biểu thức x+ y+z =0 P=3 x− y +3 y−z +3 z−x − 6x + y + 6z 2 x + y + z = nên z = - (x + y) có số khơng âm khơng dương Do tính chất đối xứng ta giả sử xy ≥ P=3 x− y =3 x− y +3 y+x +3 y+x +3 x+ y − 12( x + y + xy ) +3 x+ y − 12[( x + y ) − xy ] y + x + x+ y ≥3 x− y + 2.3 − 12[( x + y ) − xy ] y + x + x+ y ≥ x − y + 2.3 ≥3 Đặt x− y + 2.3 − 12[( x + y ) − xy ] x+ y −2 x+ y t = x+ y ≥0 xét f (t ) = 2.( 3)3t − 3t f ' ( t ) = 2.3( 3) ln − 3t = 3( 3.( 3)3t ln − 1) > ⇒ f đồng biến [0; +∞) ⇒ f(t) ≥ f(0) = 0 Mà ≥ = Vậy P ≥ + = 3, dấu “=” xảy ⇔ x = y = z = Vậy P = Cách giải sau lấy từ đáp án Bộ GD&ĐT Bài toán 13 (HSGTN – 2012) Cho a, b, c laø số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = Chứng minh rằng: 27(ab + bc + ca − abc) ≤ 28 Sau ta xét cách giải phương pháp dùng hàm số 28 27(ab + bc + ca − abc) ≤ 28 ⇔ A = ab + bc + ca − abc ≤ 27 A = c( a + b) + ab( − c) a + b) ( ≤ c( − c) + − c) = 2c − c ( 2 ( − c ) + − c) ( ⇒ A ≤ −c3 + c2 + = f (c),0 < c < c = f '(c) = −3c + 2c = ⇔  c =  112 28 ⇒ 4A ≤ ⇔ A≤ 27 27 Đẳng thức xảy a=b=c= Bài toán 14 Bài toán 15 ... giả thi? ??t ab + bc +ca = abc bất đẳng thức cuối, ta cần chứng minh : Áp dụng bất đẳng thức AM - GM Bài toán Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1.Tìm giá trị nhỏ biểu thức. .. 1) +  ≥ Bất đẳng thức cuối hiển nhiên nên (1) CM Vậy ta P≥ ( x + y + z) + = 3 3 y f (x ) = g (x ) = 2+x ( ) ⋅x+ x Bài toán Cho a, b, c ba số thực dương thay đổi thỏa mãn GTLN biểu thức a + b4... Bài toán 12 (KA – 2012) Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện Tìm GTNN biểu thức x+ y+z =0 P=3 x− y +3 y−z +3 z−x − 6x + y + 6z 2 x + y + z = nên z = - (x + y) có số khơng âm khơng dương Do