Khai thác một bất đẳng thức quen thuộc

KHAI THÁC MỘT BẤT ĐẲNG THỨC QUEN THUỘC GV: Huỳnh Quốc Hào HS: Nguyễn Minh Hoàng (10T - 2012) BĐT mà nói đến BĐT Cauchy dạng cộng mẫu Trong viết này, trình bày cách chứng minh BĐT này, sau áp dụng giải vài toán BĐT chương trình SGK chuyên Toán 10, kết thúc số BT tự luyện Trước hết ta cm BĐT Cauchy dạng cộng mẫu: Bất đẳng thức sở: x2 x2 x ( x  x   x n )2 Cho a1 ; a2 ; ; an  vaø x1; x ; ; x n  Ta coù BÑT :    n  (I ) a1 a2 an a1  a2   an Dấu  xảy : x1 x2 x    n a1 a2 an  n   n xi Ta coù : ( x1  x2   x n )    xi      i 1   i 1   n ( x )2   n      i       i 1   i 1    n  xi   n ( xi )2    i 1  Do :     i 1 a   n  i       i 1  x x x Dấu  xảy : : a1  : a2   n : an a1 a2 an Tức : x x1 x2    n a1 a2 an I Các áp dụng: Bài toán 1: (TB 26 sách chuyên 10) b3 b Cho a, b, c  Chứng minh: a    a   a b a b b ; z   xyz  a b 4 x y z ( x  y  z2 )2 ( x  y  z2 )( x  y  z ) Xeùt      x y z xyz xyz ( x  y  z)2 3 ( xyz)2   xyz xyz Đặt x  a; y   x y z2    y z x  Dấu = xảy   x  y  z xyz  x  y  z2   GV: HQH - TN http://sites.google.com/site/toantintrangchu/ Trang: Baøi toán 2: (BT 31 sách chuyên 10) Canada MO 2002 x y z3 Cho x, y, z  Chứng minh:    xyz yz zx xy [ ( x  y  z)2 ]2 x y z (x  y  z ) VT       xyz xyz xyz xyz 3xyz  4 2 2 ( x  y  z)( x  y  z)3 ( x  y  z)(3 xyz )3   x  y  z  VP 33 xyz 33 xyz  x2 y2 z2    Dấu = xảy   xyz xyz xyz  x  y  z x  y  z  Bài toán 3: (BT 34 sách chuyên 10) IMO Shortlist 1990 Cho a, b, c, d  vaø thoûa : ab  bc  cd  da  Chứng minh: A  a3 b3 c3 d3     bcd cd a d ab abc Do a, b, c, d  neân : ab  bc  cd  da   (a  c )(b  d )  1   (a  c)(b  d )  (a  b  c  d )2  (a  b  c  d )  Ta coù : a  b  2ab a  c  2ac a  d  2ad b  c  2bc b  d  2bd c  d  2cd  3(a  b  c  d )  2(ab  ac  ad  bc  bd  cd ) (1)  4(a  b  c  d )  (a  b  c  d )2 (2) * Do a, b, c, d  0, áp dụng BĐT ( I ), ta coù : a4 b4 c4 d4     ab  ac  ad bc  bd  ba cd  ca  cb da  db  dc (a  b  c  d )2 (a  b  c  d )2   (do (1)) 2(ab  ac  ad  bc  bd  cd ) 3(a  b  c  d ) A 1 (a  b  c  d )2 a2  b2  c  d  A   4 3 3 Dấu  xảy a  b  c  d  GV: HQH - TN http://sites.google.com/site/toantintrangchu/ Trang: Bài toán 4: (BT 35 sách chuyên 10) IMO Shortlist 1998 x3 y3 z3 Cho x, y, z  xyz  Chứng minh:    (1  y)(1  z) (1  z)(1  x ) (1  x )(1  y ) x4 y4 z4 ( x  y  z )2     x (1  y )(1  z) y(1  z)(1  x ) z(1  x )(1  y ) ( x  y  z)  2( xy  yz  zx )  1 ( x  y  z) ( x  y  z) 9   ( x  y  z)  2( xy  yz  zx )  3xyz ( x  y  z).[1  ( x  y  z)  ( x  y  z) ] 2 ( x  y  z)3  xyz   3( x  y  z)          ( x  y  z)    ( x  y  z)  [1  ( x  y  z)] xyz Vì x  y  z   2( x  y  z)   ( x  y  z)   3 x  y  z  VT  (đfcm) Dấu  xảy  x  y  z VT  Bài toán 5: Cho x, y, z  Chứng minh: Ta coù :  x y z    yz zx xy x y z x2 y2 z2 ( x  y  z)       y  z z  x x  y xy  zx yz  xy zx  yz 2( xy  yz  zx ) ( x  y  z2 )2 ( xy  yz  zx )2 x  y  z2  2( xy  yz  zx )  1  1  2( xy  yz  zx ) 2( xy  yz  zx ) 2( xy  yz  zx )  x y z  xy  xz  yx  yz  zx  zy  Dấu = xảy   xyz x y z     y z x Bài toán 6: (BT 41 sgk chuyên 10) Cho x, y, z  vaø x  y  z  Tìm GTLN f  x y z   ] x 1 y 1 z 1  1  (1   1)2 Ta coù : f       3    3 x  y z3 4  x 1 y 1 z 1   1  x 1  y 1  z 1  Daáu  xảy  x  y  z  xyz  x, y, z    GV: HQH - TN http://sites.google.com/site/toantintrangchu/ Trang: x3 Bài toán 7: Cho x, y, z  Tìm GTNN P  y 3  y3  z 3 z3 , với x  y  z2  x 3 * Do x, y, z > neân ta coù: x3 y3 z3 x4 y4 z4 ( x  y  z2 )2 P       y2  z2  x  x y  y z2  z x  x y   y z2   z x  * Do x, y, z > nên ta có: 1 x y   x y   (4 x  y  3) 4 Tương tự : y z2   (4 y  z  3) z x   (4z  x  3) 1 Suy : x y   y z   z x   [5( x  y  z2 )  9]  (5.3  9)  4 3 Vaäy: P   Dấu = xảy x = y = z = Vaäy MinP = x = y = z = Bài toán 8: Cho x, y, z > 0, tìm GTNN biểu thức: x2 y2 z2 P   x  ( y  z)2 y  ( x  z)2 z2  ( y  x )2 Do x, y, z > 0, áp dụng BĐT (I), ta có: x2 y2 z2 x4 y4 z4 P      x  ( y  z)2 y  ( x  z)2 z2  ( y  x )2 x  x ( y  z)2 y  y ( x  z)2 z  z2 ( y  x )2  ( x  y  z2 )2 x  y  z  x ( y  z)2  y ( x  z)2  z2 ( y  x )2  ( x  y  z )2 [ x  y  z  2( x y  y z2  z2 x )]  xyz( x  y  z) ( x  y  z2 )2 ( x  y  z )2  xyz( x  y  z) Do x , y, z  0, ta coù :  ( x  y  z )2  3( x y  y z2  z x )  3( xy.yz  yz.zx  zx.xy )  xyz( x  y  z)  xyz( x  y  z)  ( x  y  z2 )2 (2) ( x  y  z )2 Vậy P   Dấu  xảy x  y  z ( x  y  z )2  ( x  y  z2 )2 3 Vậy P = x = y = z GV: HQH - TN http://sites.google.com/site/toantintrangchu/ Trang: TỰ LUYỆN Cho x, y, z > Tìm GTNN của: x2 y2 z2 a/ A    ( x  y  z  3) z y z x x  y x y z b/ B    y  2z z  x x  y Cho x, y, z > Tìm GTNN của: x y z a/ C    , với x  y  z  12 y z x x4 b/ D  y3  y4  z3   z4 x3  , với x  y  z  3 Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác ABC p nửa chu vi a b c Chứng minh rằng:   3 bca acb abc BT 37 SGK Chuyeân 10 x y Cho x, y  x  y  Chứng h :   2 1 x 1 y BT 39 SGK Chuyeân 10 Cho x , y  vaø x  y  Tìm GTNN f  1   xy xy x y BT 45 sgk chuyeân 10 - Greece MO 2002 Cho a, b, c  vaø a  b  c  Chứng minh: a b c   a a b b c c 2 b  4c  a     Cho a, b, c  vaø a  b  c  Tìm GTLN S  a  b  b  c  c  a Cho x, y, z  vaø GV: HQH - TN 1    CMR : x  y  z  x   y   z  x y z http://sites.google.com/site/toantintrangchu/ Trang: ... P   Dấu = xảy x = y = z = Vậy MinP = x = y = z = Bài toán 8: Cho x, y, z > 0, tìm GTNN biểu thức: x2 y2 z2 P   x  ( y  z)2 y  ( x  z)2 z2  ( y  x )2 Do x, y, z > 0, áp dụng BĐT (I),