Các bài toán đếm liên quan đến đa giác và đa giác đều lê thảo

CHUYÊN ĐỀ : CÁC BÀI TOÁN ĐẾM LIÊN QUAN ĐẾN ĐA GIÁC VÀ ĐA GIÁC ĐỀU Tác giả : Lê Thảo Nhóm giáo viên Tốn tiếp sức Chinh phục kì thi THPT năm 2020 Trong đề thi thử đề minh họa BGD&ĐT, em học sinh gặp nhiều tốn đếm liên quan đến yếu tổ hình học Bài viết giúp em nhìn nhận hiểu rõ cách làm dạng tập có hướng giải gặp đề thi MỘT SỐ KẾT QUẢ THƯỜNG GẶP  Cho n điểm khơng gian, khơng có điểm thẳng hàng Số đường thẳng qua điểm: Cn =  n ( n − 1)  Số vectơ khác nối hai điểm bất kì: An  Số tam giác tạo thành: Cn  Nếu n điểm khơng có điểm đồng phẳng, số tứ diện tạo thành: Cn  Cho đa giác lồi n đỉnh:  Số đường chéo đa giác: Cn − n Giải thích : Nối điểm n đỉnh có Cn cách nối ( cách nối ta nối cạnh đường chéo) Suy số đường chéo : Cn − n  Nếu khơng có đường chéo đồng qui số giao điểm đường chéo mà giao điểm nằm đa giác Cn Giải thích : Cứ tứ giác có đỉnh đỉnh đa giác ta nhận thấy đường chéo đa giác cắt điểm nằm đa giác Nên số giao điểm thỏa mãn yêu cầu số tứ giác Số tam giác có đỉnh đỉnh đa giác: Cn Số tam giác có cạnh đa giác cạnh lại đường chéo: n ( n − ) Giải thích : Chọn cạnh có n cách chọn Chọn điểm cịn lại khơng kề với cạnh có n − cách chọn Nên số tam giác thỏa mãn yêu cầu n ( n − ) Số tam giác có cạnh đa giác, cạnh cịn lại đường chéo: n Giải thích : Tại đỉnh đa giác có tam giác vậy, nên số tam giác thỏa mãn n Số tam giác có cạnh đường chéo đa giác Công thức : Cn − n ( n − ) − n Giải thích : Số tam giác cần tìm = Số tam giác - ( Số tam giác có cạnh cạnh đa giác + Số tam giác có cạnh cạnh đa giác) Cơng thức : n Cn − Giải thích : Chọn đỉnh thứ có n cách Chọn đỉnh thứ 2,3 không kề đỉnh thứ không kề nhau, nên đỉnh số số có x điểm, đỉnh số số có y điểm, đỉnh số số có z điểm x + y + z = n − ( với x, y, z ∈  * ) Số ( x; y; z ) thỏa mãn phương trình : Cn −4 Nên số tam giác chọn nCn −4 Mà số tam giác bị lặp lần nên ta có số tam giác cần tìm  Cho đa giác n đỉnh: n Cn − Trong tam giác có đỉnh đỉnh đa giác : Số tam giác vuông : Khi n chẵn: số tam giác vuông 4.C n 2  Khi n lẻ: số tam giác vng Giải thích : Khi n chẵn sơ đường chéo qua tâm đường trịn ngoại tiếp đa giác n , nên số hình chữ nhật C n , mà hình chữ nhật có tam giác vng Nên số tam giác vuông thỏa 2 mãn yêu cầu 4.C n 2 Khi n lẻ khơng có đường chéo qua tâm Nên số tam giác vuông Số tam giác tù: Khi n chẵn: số tam giác tù n.C n−2 2  Khi n lẻ: số tam giác tù n.C n −1 2 Giải thích : Khi n chẵn : Chọn đỉnh A có n cách, đường kính qua đỉnh thứ qua đỉnh đối diện, để chọn tam giác tù B đỉnh B, C phải nằm nửa đường trịn đường kính AA ' , nửa đường trịn ta có số điểm n−2 nên số cách chọn điểm C n −2 2 Do số tam giác tù n.C n−2 2 Khi n lẻ : Chọn đỉnh A có n cách, đường kính qua đỉnh thứ không qua đỉnh khác, để chọn tam giác tù B đỉnh B, C phải nằm nửa đường tròn đường kính AA ' , nửa đường trịn ta có số điểm Do số tam giác tù n.C n −1 2 n −1 nên số cách chọn điểm C n −1 2 Số tam giác nhọn = số tam giác – (số tam giác vuông + số tam giác tù)  Cho đa giác 2n đỉnh n ≥ : Trong tứ giác có đỉnh đỉnh đa giác : số hình chữ nhật: Cn Số tam giác vuông: 4.Cn  Cho đa giác 3n đỉnh n ≥ : Trong tam giác có đỉnh đỉnh đa giác : Số tam giác : n Số tam giác cân không  3n −  − 1    Khi n chẵn : 3n   3n −  − 1    Khi n lẻ : 3n  MỘT SỐ BÀI TỐN QUEN THUỘC Bài tốn Cho hai đường thẳng song song d1 , d Trên đường thẳng d1 lấy 10 điểm phân biệt, d lấy 15 điểm phân biệt Hỏi có tam giác mà ba đỉnh chọn từ 25 vừa nói A 675 B 1050 C 1725 D 2300 Lời giải  Cách : Vì đỉnh tam giác điểm khơng thẳng hàng nên ta có : Số tam giác lập thuộc vào hai loại sau Loại 1: Gồm hai đỉnh thuộc vào d1 đỉnh thuộc vào d Số cách chọn hai điểm 10 thuộc d1 : C10 Số cách chọn điểm 15 điểm thuộc d : C15 Loại có: C10C15 tam giác Loại 2: Gồm đỉnh thuộc vào d1 hai đỉnh thuộc vào d Số cách chọn điểm 10 thuộc d1 : C10 Số cách chọn hai điểm 15 điểm thuộc d : C15 Loại có: C10 C15 tam giác Vậy có tất cả: 1725 tam giác thỏa yêu cầu toán  Cách : Ta sử dụng phương pháp phần bù ( ta lấy số cách lấy điểm trừ số cách lấy điểm thẳng hàng, cịn lại số cách lấy điểm khơng thẳng hàng) Số cách lấy điểm 25 điểm cho C25 Số cách lấy điểm thẳng hàng : C15 + C10 3 ( ) 1725 Do số cách lấy điểm khơng thẳng hàng C25 − C15 + C10 = 3 Vậy số tam giác thỏa mãn yêu cầu đề 1725 Chọn C Bài toán Một đa giác có số đường chéo gấp đơi số cạnh Số cạnh đa giác A B C D Lời giải Đa giác có n cạnh ( n ∈ , n ≥ 3) Số đường chéo đa giác là: Cn − n Ta có: Cn − n = 2n ⇔ n = n! = 3n ⇔ n ( n − 1) = 6n ⇔  ⇔n= ( n − )!.2! n = Chọn C Bài toán Cho đa giác A1 A2 A2 n nội tiếp đường tròn tâm O Biết số tam giác có đỉnh 2n điểm A1 , A2 , , A2 n gấp 20 lần so với số hình chữ nhật có đỉnh 2n điểm A1 , A2 , , A2 n Tìm n? A B C D 12 Lời giải Số tam giác có đỉnh 2n điểm A1 , A2 , , A2 n là: C2n Ta thấy ứng với hai đường chéo qua tâm O đa giác A1 A2 A2 n cho tương ứng hình chữ nhật có đỉnh điểm 2n điểm A1 , A2 , , A2 n Mà số đường chéo qua tâm đa giác n nên số hình chữ nhật có đỉnh 2n điểm Cn 2n(2n − 1)(2n − 2) n(n − 1) ⇔n= = 20 3! Theo giả thiết: C2 n = 20Cn ⇔ Chọn C Bài toán Cho đa giác đểu ( P ) có 20 đỉnh Lấy tùy ý đỉnh ( P ) , tính xác suất để đỉnh lấy tạo thành tam giác vng cho, khơng có cạnh cạnh ( P) A 57 B 38 C 92 D 114 Lời giải Chọn đỉnh từ 20 đỉnh để tạo thành tam giác ⇒ n ( Ω ) =C20 Ta có đa giác ( P ) nội tiếp đường trịn, nên tam giác vng tạo từ đường chéo (qua tâm) điểm khác (tam giác nội tiếp có cạnh đường kính tam giác vng) Số cách chọn đường chéo qua tâm 10 cách Một đường chéo qua đỉnh, nên theo yêu cầu, đỉnh thứ ba đỉnh nằm cạnh hai đỉnh chọn → có 20 − − = 14 cách chọn (trừ hai đỉnh tạo thành đường chéo nữa) Vậy n ( A ) = 10 × 14 = 140 tam giác Vậy xác suất để đỉnh lấy tạo thành tam giác vuông cho, khơng có cạnh cạnh ( P ) là= p n ( A ) 140 = = n ( Ω ) C20 57 Chọn A Bài toán Cho đa giác A1 A2 A18 nội tiếp đường trịn (O) Hỏi có tam giác có ba đỉnh lấy từ 18 đỉnh đa giác mà khơng có cạnh cạnh đa giác? A 546 B 798 C 654 D 18564 Lời giải (Các em xem lại cách giải thích cơng thức công thức 2) Cách : Áp dụng công thức : Cn − n ( n − ) − n Thay n = 18 ta có số tam giác cần tìm C18 − 18.14 − 18 = 546 ( tam giác ) Cách : Áp dụng công thức : n Cn − 18 C14 = 546 ( tam giác ) Thay n = 18 ta có số tam giác cần tìm Chọn A Bài tốn Cho đa giác A1 A2 A18 nội tiếp đường trịn (O) Hỏi có tam giác vng có ba đỉnh lấy từ 18 đỉnh đa giác? A 72 B 144 C 162 D 288 Lời giải Ta có số đường chéo qua tâm đường Cứ đường chéo qua tâm ta có đỉnh đa giác tạo thành hình chữ nhật Số hình chữ nhật C9 = 36 Một hình chữ nhật ta có tam giác vng có đỉnh đỉnh đa giác Nên số tam giác vuông : 4.36 = 144 ( tam giác) Chọn B Bài toán Cho đa giác A1 A2 A18 nội tiếp đường trịn (O) Hỏi có tam giác cân có ba đỉnh lấy từ 18 đỉnh đa giác? A 144 B 126 C 132 D 228 Lời giải Chọn đỉnh cân : có 18 cách chọn Nhận thấy đường chéo qua tâm qua đỉnh cân qua đỉnh đối diện đường chéo trục đối xứng tam giác cân, nên đỉnh lại đối xứng qua trục Đường chéo chia đường tròn thành nửa đường tròn, nửa đường trịn có điểm nên có cặp điểm đối xứng qua đường chéo, có tam giác cân đỉnh chọn ( có tam giác đều) Vậy số tam giác cân ( không đều) : 18.7 = 126 Số tam giác có đỉnh đỉnh đa giác : tam giác Vậy tổng số tam giác cân : 126 + = 132 ( tam giác )  Chú ý : Nếu bước chọn tam giác cân em chọn tam giác đều, tam giác tính lần Nên cơng thức tính : 18.8 − 2.6 = 132 ( tam giác ) Chọn C Bài toán Cho đa giác A1 A2 A18 nội tiếp đường tròn (O) Hỏi có tứ giác có bốn đỉnh lấy từ 18 đỉnh đa giác mà có cạnh cạnh đa giác? A 2160 B 1386 Lời giải C 1404 D 1890 Chọn cạnh cạnh đa giác có 18 cách chọn đỉnh cịn lại đỉnh không kề chọn 14 đỉnh lại ( trừ đỉnh kề với cạnh chọn) Số cách chọn đỉnh 14 đỉnh lại : C14 Trong số cách chọn có 13 cách chọn đỉnh kề Nên số cách chọn đỉnh cịn lại khơng kề : C14 − 13 ( ) 1404 ( tứ giác) Vậy tứ giác thỏa mãn đề : 18 C14 − 13 = Chọn C Bài toán Cho đa giác A1 A2 A18 nội tiếp đường trịn (O) Hỏi có tứ giác có bốn đỉnh lấy từ 18 đỉnh đa giác mà có hai cạnh cạnh đa giác? A 153 B 351 C 468 D 234 Lời giải  Trường hợp : hai cạnh cạnh đa giác cạnh kề Tại đỉnh đa giác có cạnh kề, nên số cách chọn cạnh kề 18 cách Đỉnh cịn lại khơng kề với cạnh chọn nên có 13 cách Số tứ giác thỏa mãn : 18.13 = 234 ( tứ giác)  Trường hợp : Hai cạnh cạnh đa giác không kề Chọn cạnh đa giác có 18 cách Cạnh cịn lại đoạn nối đỉnh kề 14 đỉnh cịn lại có 13 cách 18.13 = 117 ( tứ giác bị lặp lại lần ) Vậy số tứ giác thỏa mãn yêu cầu đề : 234 + 117 = 351 (tứ giác) Nên số tứ giác thỏa mãn : Chọn B Bài toán 10 Cho đa giác A1 A2 A12 nội tiếp đường trịn (O) Hỏi có hình thang cân (khơng hình chữ nhật) có bốn đỉnh lấy từ 12 đỉnh đa giác? A 135 B 87 C 63 D 120 Lời giải  Trường hợp : đáy hình thang song song ( trùng ) với cạnh đa giác Chọn cạnh đa giác có cách ( có cạnh song song với ta tính phương) Có đường chéo cạnh đơi song song theo phương cạnh chọn Cứ lấy đường đường ta có hình thang cân, nên số hình thang cân C6 Trong số hình thang cân có hình chữ nhật ( Nên số hình thang cân ( khơng hình chữ nhật) : C6 − )  Trường hợp : đáy hình thang vng góc với đường chéo đường kính Chọn đường chéo đường kính có cách Có cặp đỉnh đa giác đối xứng với qua đường chéo Chọn cặp đỉnh ta hình thang cân, nên số hình thang cân : C5 Trong số hình thang cân có hình chữ nhật ( Nên số hình thang cân ( khơng hình chữ nhật ) : C5 − ( ) ) ( ) 120 Vậy số hình thang cân khơng hình chữ nhật : C6 − + C5 − = 2  Chú ý : Nếu em làm theo cách tính số hình thang – số hình chữ nhật em phải trừ lần số hình chữ nhật ( hình chữ nhật tính lần) Nên cơng thức : ( 6.C + 6.C52 ) − 2.C62 = 120 Chọn D Bài toán 11 Cho đa giác 12 đỉnh A1 A2 A12 nội tiếp đường trịn tâm (O) Biết khơng có ba đường chéo đồng quy điểm bên đường trịn Tính số giao điểm nằm bên đường trịn đường chéo? A 495 B 11880 Lời giải C 66 D 1431 Nhận thấy tứ giác có đỉnh đỉnh đa giác đường chéo tứ giác cắt điểm nằm đường tròn Vậy số giao điểm nằm bên đường tròn đường chéo số tứ giác có đỉnh đỉnh đa giác Vậy số giao điểm cần tìm C12 = 495 điểm Chọn A Bài toán 12 Cho đa giác đỉnh A1 A2 A8 nội tiếp đường tròn tâm (O) Biết khơng có ba đường chéo đồng quy điểm bên đường tròn Gọi S tập hợp giao điểm nằm bên đa giác đường chéo Chọn ngẫu nhiên đỉnh thuộc tập S Xác suất để đỉnh chọn tạo thành tam giác có cạnh nằm đường chéo A 1955 689 B C 55 6201 D 55 2756 Lời giải Số giao điểm đường chéo nằm bên đa giác C8 = 70 Chọn điểm S Số phần tử không gian mẫu Ω =C70 Số cách chọn tam giác thỏa mãn yêu cầu : Cứ lục giác đường chéo cặp đỉnh đối diện cắt điểm tạo thành tam giác thỏa mãn yêu cầu đề Do Ω A = C8 Vậy P (= A) C86 = C703 1955 Chọn A Bài toán 13 Cho đa giác A1 A2 A18 nội tiếp đường tròn (O) Hỏi có tam giác tù có ba đỉnh lấy từ 18 đỉnh đa giác? A 240 B 504 C 480 D 180 Lời giải Gọi tam giác tù cần chọn ∆ABC tù B Chọn đỉnh A có 18 cách Khi đường kính qua A qua đỉnh đối diện Khi đỉnh B, C nằm nửa đường tròn Trên nửa đường trịn có đỉnh đa giác Nên số cách chọn đỉnh B, C C8 Vậy số tam giác tù cần tìm : 18.C8 = 504 Chọn B  Chú ý : Đường kính qua đỉnh A chia đường trịn thành nửa đường trịn ta lấy nửa đường tròn, bạn chọn nửa đường tròn tam giác tù bị lặp lần, nên đáp số phải chia Do cách chọn ban đầu để tránh bị lặp ta chọn nửa đường trịn Bài tốn 14 Cho đa giác 2018 đỉnh Hỏi có tam giác có đỉnh đỉnh đa giác có góc lớn 100 10 ° B 2018 ⋅ C896 A C1009 C 2018 ⋅ C897 D 2018 ⋅ C895 Lời giải Chọn đỉnh A có 2018 cách Xét cung  AM có số đo 160o o  360  Ta có cung tạo đỉnh kề đa giác có số đo :    2018  Nên cung  AM chứa 896 đỉnh đa giác ( khơng tính đỉnh A ) 360 ( 160 : ≈ 896,9 nên cung  AM có 896 đỉnh ) 2018 Chọn đỉnh B, C 896 đỉnh có C896 cách Khi  ABC chắn cung lớn  AC có số đo lớn cung lớn  AM Nên  ABC > 100o Vậy số tam giác tù cần tìm 2018 ⋅ C896 Chọn B BÀI TẬP RÈN LUYỆN  Câu Trên đường thẳng d cho 30 điểm A1 , A2 , , A30 Có vectơ khác  hướng với A1 A2 lập từ điểm A.59 B.450 C 875 D 435 Câu Cho hai đường thẳng d1 / / d Trên đường thẳng d1 lấy 10 điểm phân biệt, đường thẳng d lấy điểm phân biệt Hỏi có tam giác tạo thành từ điểm 17 điểm cho? A 525 11 B 680 C 3150 D 4080 Câu Cho hình vng ABCD, cạnh AB lấy điểm phân biệt, BC lấy điểm phân biệt, CD lấy điểm DA lấy điểm phân biệt Hỏi có tam giác tạo thành từ 19 điểm (không lấy đỉnh hình vng) A 5814 B 969 C 919 D 389 Câu Cho hình vng ABCD, cạnh AB lấy điểm phân biệt, BC lấy điểm phân biệt, CD lấy điểm DA lấy điểm phân biệt Hỏi có tam giác tạo thành từ 19 điểm (không lấy đỉnh hình vng) có cạnh nằm cạnh hình vng? A 530 B 919 C 389 D.969 Câu Cho hình vng ABCD, cạnh AB lấy điểm phân biệt, BC lấy điểm phân biệt, CD lấy điểm DA lấy điểm phân biệt Hỏi có tam giác tạo thành từ 19 điểm (khơng lấy đỉnh hình vng) khơng có cạnh nằm cạnh hình vng? A 165 B 530 C 140 D 389 Câu Cho hình vng ABCD, cạnh AB lấy điểm phânn biệt, BC lấy điểm phân biệt, CD lấy điểm DA lấy điểm phân biệt Hỏi có tứ giác tạo thành từ điểm lấy từ 19 điểm (không lấy đỉnh hình vng) A 3876 B 3835 C 3199 D 3240 Câu Cho hình vng ABCD, cạnh AB lấy điểm phân biệt, BC lấy điểm phân biệt, CD lấy điểm DA lấy điểm phân biệt Hỏi có tứ giác tạo thành từ điểm lấy từ 19 điểm (không lấy đỉnh hình vng) cho có cạnh nên cạnh hình vng ban đầu? A 3199 12 B 2272 C 3240 D 3876 Câu Trong hình bên, có tam giác A 28 B 16 C 22 D.14 Câu Trong hình bên, có hình chữ nhật A 550 B.1100 C 330 D 440 Câu 10 Cho đa giác A1 A2 A2018 nội tiếp đường trịn (O) Hỏi có tam giác có ba đỉnh lấy từ 2018 đỉnh đa giác? A A2018 B C2018 C P2018 D 3!.C2018 3 Câu 11 Cho đa giác A1 A2 A2018 nội tiếp đường tròn (O) Hỏi có tam giác có ba đỉnh lấy từ 2018 đỉnh đa giác mà có cạnh cạnh đa giác? A 2018.2016 B 2018.672 C 2018.2017 D 2018.2014 Câu 12 Cho đa giác A1 A2 A2018 nội tiếp đường tròn (O) Hỏi có tam giác có ba đỉnh lấy từ 2018 đỉnh đa giác mà có hai cạnh đa giác? A 2018.2 B 1009 C 2018 D 2018.2017 Câu 13 Cho đa giác A1 A2 A18 nội tiếp đường tròn (O) Hỏi có tam giác có ba đỉnh lấy từ 18 đỉnh đa giác mà khơng có cạnh cạnh đa giác? A 546 B 798 C 654 D.18564 Câu 14 Cho đa giác A1 A2 A18 nội tiếp đường trịn (O) Hỏi có tam giác vng có ba đỉnh lấy từ 18 đỉnh đa giác? A 72 13 B 144 C 162 D.288 Câu 15 Cho đa giác A1 A2 A18 nội tiếp đường trịn (O) Hỏi có tam giác cân có ba đỉnh lấy từ 18 đỉnh đa giác? A 144 B 126 C 132 D 228 Câu 16 Cho đa giác A1 A2 A18 nội tiếp đường trịn (O) Hỏi có tam giác tù có ba đỉnh lấy từ 18 đỉnh đa giác? A.240 B 504 C.480 D.180 Câu 17 Cho đa giác A1 A2 A2018 nội tiếp đường trịn (O) Hỏi có tứ giác có bốn đỉnh lấy từ 2018 đỉnh đa giác? A C2018 B A2018 C 4!A2018 D 4C2018 4 Câu 18 Cho đa giác A1 A2 A18 nội tiếp đường tròn (O) Hỏi có tứ giác có bốn đỉnh lấy từ 18 đỉnh đa giác mà có cạnh cạnh đa giác? A 18.C16 ( B 18 C14 − 14 ) ( C 18 C14 − 13 ) ( D.18 C16 − 15 ) Câu 19 Cho đa giác A1 A2 A18 nội tiếp đường trịn (O) Hỏi có tứ giác có bốn đỉnh lấy từ 18 đỉnh đa giác mà có hai cạnh cạnh đa giác? A 153 B 351 C 468 D 234 Câu 20 Cho đa giác A1 A2 A2018 nội tiếp đường trịn (O) Hỏi có tứ giác có bốn đỉnh lấy từ 2018 đỉnh đa giác mà có ba cạnh cạnh đa giác? A 2018 B 4036 C 2017 D 4034 Câu 21 Cho đa giác A1 A2 A12 nội tiếp đường trịn (O) Hỏi có hình thang cân (khơng hình chữ nhật) có bốn đỉnh lấy từ 12 đỉnh đa giác? A 150 B 87 C 63 D.120 Câu 22 Cho đa giác A1 A2 A12 nội tiếp đường trịn (O) Hỏi có hình chữ nhật có bốn đỉnh lấy từ 12 đỉnh đa giác? A 15 14 B 12 C 30 D.48  ... giác tù)  Cho đa giác 2n đỉnh n ≥ : Trong tứ giác có đỉnh đỉnh đa giác : số hình chữ nhật: Cn Số tam giác vuông: 4.Cn  Cho đa giác 3n đỉnh n ≥ : Trong tam giác có đỉnh đỉnh đa giác : Số... cầu đề 1725 Chọn C Bài toán Một đa giác có số đường chéo gấp đơi số cạnh Số cạnh đa giác A B C D Lời giải Đa giác có n cạnh ( n ∈ , n ≥ 3) Số đường chéo đa giác là: Cn − n Ta có: Cn −... Bài toán Cho đa giác A1 A2 A18 nội tiếp đường tròn (O) Hỏi có tứ giác có bốn đỉnh lấy từ 18 đỉnh đa giác mà có cạnh cạnh đa giác? A 2160 B 1386 Lời giải C 1404 D 1890 Chọn cạnh cạnh đa giác có