Tài liệu tự học toán 7 nguyễn chín em

TỐN TỰ HỌC TỐN Th.s NGUYỄN CHÍN EM Tự học Toán Năm học 2019-2020 MỤC LỤC PHẦN I Đại số CHƯƠNG Số hữu tỉ Số thực TẬP HỢP R CÁC SỐ HỮU TỈ A Tóm tắt lí thuyết B Các dạng toán Dạng Biểu diễn số hữu tỉ Dạng So sánh hai số hữu tỉ CỘNG, TRỪ SỐ HỮU TỈ 11 A Tóm tắt lý thuyết 11 B Các dạng toán 11 Dạng Cộng, trừ số hữu tỉ 11 Dạng Mở đầu phương trình 13 Dạng Biểu diễn số hữu tỉ thành tổng hiệu số hữu tỉ khác 14 NHÂN, CHIA SỐ HỮU TỈ 19 A Tóm tắt lí thuyết 19 B Phương pháp giải toán 19 GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA SỐ THẬP PHÂN 28 A Tóm tắt lí thuyết 28 B Phương pháp giải toán 28 LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ 34 A Tóm tắt lí thuyết 34 B Phương pháp giải toán 35 C Bài tập luyện tập 37 TỈ LỆ THỨC 40 A Tóm tắt lí thuyết 40 B Phương pháp giải toán 41 C Bài tập luyện tập 45 SỐ THẬP PHÂN HỮU HẠN SỐ THẬP PHÂN VƠ HẠN TUẦN HỒN LÀM TRỊN SỐ 49 A Tóm tắt lý thuyết 49 B Các dạng Toán 50 C Bài tập tự luyện 51 SỐ VÔ TỈ KHÁI NIỆM VỀ CĂN BẬC HAI 54 A Tóm tắt lý thuyết 54 B Các dạng Toán 54 Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang i/373 ȍ GeoGebraPro Tự học Toán C Năm học 2019-2020 Bài tập tự luyện 56 CHƯƠNG Hàm số đồ thị 59 ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN 59 A Tóm tắt lí thuyết 59 B Các dạng toán 59 Dạng Sử dụng định nghĩa tính chất đại lượng tỉ lệ thuận để giải toán 59 Dạng Một số toán đại lượng tỉ lệ thuận 62 C Bài tập tự luyện 63 ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ NGHỊCH MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ NGHỊCH 67 A Tóm tắt lí thuyết 67 B Các dạng toán 67 Dạng Sử dụng định nghĩa tính chất đại lượng tỉ lệ nghịch để giải toán 67 Dạng Một số toán đại lượng tỉ lệ nghịch 70 C Bài tập tự luyện 71 HÀM SỐ 76 A Tóm tắt lí thuyết 76 B Phương pháp giải toán 76 C Bài tập luyện tập 78 MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ 82 A Tóm tắt lí thuyết 82 B Phương pháp giải toán 83 C Bài tập luyện tập 84 ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = ax, VỚI a = 89 A Tóm tắt lý thuyết 89 B Phương pháp giải toán 89 C Bài tập luyện tập 91 CHƯƠNG Thống kê 97 THU THẬP SỐ LIỆU THỐNG KÊ 97 A Tóm tắt lí thuyết 97 B Phương Pháp Giải Toán 97 C BÀI TẬP LUYỆN TẬP 100 BẢNG TẦN SỐ CÁC GIÁ TRỊ CỦA DẤU HIỆU 105 A Tóm Tắt Lí Thuyết 105 B Phương Pháp Giải Toán 105 C Bài tập luyện tập 108 BIỂU ĐỒ 113 A Tóm tắt lý thuyết 113 B Phương pháp giải toán 114 Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang ii/373 ȍ GeoGebraPro Tự học Tốn Năm học 2019-2020 SỐ TRUNG BÌNH CỘNG 119 A Tóm tắt lý thuyết 119 B Phương pháp giải toán 119 CHƯƠNG Biểu thức đại số 127 KHÁI NIỆM VỀ BIỂU THỨC ĐẠI SỐ 127 A Tóm tắt lý thuyết 127 B Phương pháp giải toán 127 C Bài tập luyện tập 129 GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ 132 A Tóm tắt lý thuyết 132 B Phương pháp giải toán 132 C Bài tập luyện tập 135 ĐƠN THỨC 138 A Tóm tắt lý thuyết 138 B Phương pháp giải toán 139 C Bài tập tự luyện 141 ĐƠN THỨC ĐỒNG DẠNG 143 A Tóm tắt lý thuyết 143 B Phương pháp giải toán 143 C Bài tập tự luyện 145 ĐA THỨC 147 A Tóm tắt lý thuyết 147 B Các dạng toán 147 Dạng Nhận biết đa thức 147 Dạng Thu gọn đa thức 148 Dạng Tìm bậc đa thức 150 Cộng trừ đa thức 153 A Trọng tâm kiến thức 153 B Các dạng toán 153 Dạng Tính tổng, hiệu hai đa thức 153 Dạng Tìm đa thức thỏa mãn đẳng thức 155 Dạng Bài toán liên quan đến chia hết 157 ĐA THỨC MỘT BIẾN 159 A Tóm tắt lí thuyết 159 B Các dạng toán 159 C Bài tập tự luyện 162 CỘNG, TRỪ ĐA THỨC MỘT BIẾN 165 A Tóm tắt lí thuyết 165 B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 166 Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang iii/373 ȍ GeoGebraPro Tự học Tốn C Năm học 2019-2020 BÀI TẬP LUYỆN TẬP 168 Nghiệm đa thức biến 172 A Tóm tắt lí thuyết 172 B Phương pháp giải toán 172 C BÀI TẬP LUYỆN TẬP 173 PHẦN II Hình học 177 CHƯƠNG ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨCĐƯỜNG THẲNG SONG SONG HAI GÓC ĐỐI ĐỈNH 179 A Tóm tắt lý thuyết 179 B Phương pháp giải toán 179 C Bài tập tự luyện 181 HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC 185 A Tóm tắt lí thuyết 185 B Phương pháp giải toán 186 C Bài tập luyện tập 188 CÁC GÓC TẠO BỞI MỘT ĐƯỜNG THẲNG CẮT HAI ĐƯỜNG THẲNG 194 A GÓC SO LE TRONG GÓC ĐỒNG VỊ 194 B Tính chất 194 HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG 199 A Tóm tắt lí thuyết 199 B Phương pháp giải toán 201 TỪ VNG GĨC ĐẾN SONG SONG 207 A Tóm tắt lý thuyết 207 B Các dạng toán phương pháp giải 207 C BÀI TẬP TỰ LUYỆN 211 CHƯƠNG TAM GIÁC 179 217 TỔNG BA GÓC CỦA MỘT TAM GIÁC 217 A Tóm tắt lý thuyết 217 B Phương pháp giải toán 218 Dạng Giải toán định lượng 218 C Bài tập luyện tập 226 HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU 234 A Tóm tắt lí thuyết 234 B Các dạng toán 234 C Bài tập tự luyện 236 Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang iv/373 ȍ GeoGebraPro Tự học Toán Năm học 2019-2020 Hai tam giác cạnh - cạnh - cạnh 239 A Tóm tắt lí thuyết 239 B Các dạng toán 239 Dạng Chứng minh hai tam giác 239 Dạng Sử dụng hai tam giác để giải toán 240 Dạng Vẽ C ABC, biết AB = c, BC = a, AC = b 242 Bài tập tự luyện 243 HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU CẠNH-GÓC-CẠNH 247 A TĨM TẮT LÍ THUYẾT 247 B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 247 C Các dạng toán 247 Dạng CHỨNG MINH HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU 247 Dạng VẼ D ’ = α 251 ABC, BIẾT AB = c, AC = b BAC BÀI TẬP LUYỆN TẬP 252 HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU GÓC-CẠNH-GÓC 256 A Tóm tắt lí thuyết 256 B Các dạng toán 256 Dạng Chứng minh hai tam giác 256 Dạng Sử dụng hai tam giác để giải toán 257 “ = β 261 Dạng Vẽ ABC, biết AB = c, A = α, B C Bài tập tự luyện 262 TAM GIÁC CÂN 266 A Tóm tắt lí thuyết 266 B Các dạng toán 266 Dạng Chứng minh tính chất tam giác cân, tam giác 266 Dạng Chứng minh tam giác tam giác cân, tam giác 269 Dạng Sử dụng tam giác cân, tam giác để giải toán định lượng 271 Dạng Sử dụng tam giác cân giải tốn định tính 274 C Bài tập tự luyện 276 ĐỊNH LÍ PY - TA - GO 283 A Tóm tắt lí thuyết 283 B Phương pháp giải toán 283 C Bài tập luyện tập 285 CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC VUÔNG 293 A Tóm tắt lí thuyết 293 B Phương pháp giải toán 293 CHƯƠNG QUAN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC.CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY CỦA Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang v/373 ȍ GeoGebraPro Tự học Toán Năm học 2019-2020 QUAN HỆ GIỮA GÓC VÀ CẠNH ĐỐI DIỆN TRONG MỘT TAM GIÁC 297 A Tóm tắt lí thuyết 297 B Phương pháp giải toán 297 Dạng Chứng minh tính chất mối quan hệ góc cạnh đối diện tam giác 297 Dạng Sử dụng tính chất mối quan hệ góc cạnh đối diện tam giác giải toán 298 QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VNG GĨC VÀ ĐƯỜNG XIÊN, ĐƯỜNG XIÊN VÀ HÌNH CHIẾU 307 A Tóm tắt lí thuyết 307 B Các dạng toán 307 Dạng Chứng minh tính chất mối quan hệ đường xiên hình chiếu chúng 307 Dạng Sử dụng tính chất mối quan hệ đường xiên hình chiếu chúng giải tốn 308 C Bài tập tự luyện 313 QUAN HỆ GIỮA BA CẠNH CỦA MỘT TAM GIÁC - BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC 316 A Tóm tắt lí thuyết 316 B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 316 Dạng CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC 316 Dạng SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC ĐỂ GIẢI TOÁN 317 C BÀI TẬP TỰ LUYỆN 321 TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC 325 A Tóm tắt lí thuyết 325 B Các dạng toán 326 Dạng Tính độ dài đoạn thẳng 326 Dạng Chứng minh tính chất hình học 329 TÍNH CHẤT TIA PHÂN GIÁC CỦA MỘT GĨC 335 A Tóm tắt lý thuyết 335 B Các dạng toán 335 Dạng Chứng minh tính chất tia phân giác góc 335 Dạng Chứng minh tia tia phân giác góc 336 Dạng Dựng tia phân giác góc 336 Dạng Sử dụng tính chất tia phân giác góc để giải tốn 337 TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC 342 TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG 349 A Tóm tắt lí thuyết 349 B Các dạng toán 350 Dạng Chứng minh tính chất đường trung trực 350 Dạng Sử dụng tính chất đường trung trực để giải toán 351 Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang vi/373 ȍ GeoGebraPro Tự học Toán C Năm học 2019-2020 Bài tập tự luyện 354 TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA TAM GIÁC 357 A Tóm tắt lí thuyết 357 B Các dạng toán 357 Dạng Chứng minh tính chất ba đường trung trực tam giác 357 Dạng Sử dụng tính chất ba đường trung trực tam giác để giải toán 358 TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG CAO CỦA TAM GIÁC 364 A Tóm tắt lí thuyết 364 B C Các dạng toán 364 Bài tập tự luyện 368 Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang vii/373 ȍ GeoGebraPro Tự học Toán Năm học 2019-2020 PHẦN I ĐẠI SỐ Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 1/373 ȍ GeoGebraPro Tự học Toán Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Năm học 2019-2020 Trang 2/373 ȍ GeoGebraPro Tự học Tốn VÍ DỤ Cho Năm học 2019-2020 ’ > 90◦ Các đường trung trực AB AC cắt O ABC có BAC cắt BC theo thứ tự D, E Các tam giác ABD ACE tam giác gì? Đường trịn tâm O bán kính OA qua điểm hình vẽ? ✍ LỜI GIẢI O C Vì D thuộc đường trung trực AB nên DA = DB ⇔ E BDA cân D Vì E thuộc trung trực AC nên EA = EC ⇔ cân E D ACE Theo tính chất đường trung trực ta có OC = OA = OB nên J B I A đường tròn tâm O bán kính OA qua điểm B C VÍ DỤ Chứng minh đường trung trực tam giác vuông qua trung điểm cạnh huyền ✍ LỜI GIẢI Xét tam giác ABC vuông A C O N A M B Cách 1: Gọi O trung điểm BC, ta có O thuộc trung trực BC OA = BC Suy OA = OB, O thuộc đường trung trực AB Vậy đường trung trực tam giác vuông qua trung điểm cạnh huyền Cách 2: Gọi M trung điểm AB, giả sử đường trung trực AB cắt BC O Ta cần chứng minh O thuộc đường trung trực AC Xét hai tam giác vuông OM A OM B, ta có: OM chung; M A = M B Do OM A = OM B ( hai cạnh góc vng) ÷ = OBM ÷ ⇒ OAC ’ = OCA ’ (do OAC ’ phụ với OAB, ’ OCA ’ phụ với OBA) ’ Do Suy OAM OAC cân O ⇔ OA = OC ⇒ O thuộc đường trung trực AC Cách 3: Gọi M, N theo thứ tự trung điểm AB, AC Giả sử hai đường trung trực AB AC cắt O Ta cần chứng minh O thuộc BC Trong tứ giác M ON A có Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 359/373 ȍ GeoGebraPro Tự học Tốn Năm học 2019-2020 ÷ ÷ ’ ÷ OM A=N AM = ON A = 90◦nên M ON = 90◦ Vì O thuộc đường trung trực AC nên OA = OC ⇔ OAC cân O, ’ ’ ’ Tương tự, AOM ÷ = BOM ÷ suy N OC = N OA = AON ’ = CON ’ +N ’ ÷+M ÷ ’ ÷ = 2M ÷ Khi BOC OA + AOM OB = 2N OA + 2AOM ON = 180◦ ⇔ B, O, C thẳng hàng ⇔ O ∈ BC VÍ DỤ Vẽ đường trịn ngoại tiếp ABC trường hợp sau: ABC nhọn; ABC vng A; ’ > 90◦ ABC có BAC ✍ LỜI GIẢI ABC nhọn A O B C ABC vuông A C O A B Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 360/373 ȍ GeoGebraPro Tự học Toán Năm học 2019-2020 ’ > 90◦ ABC có BAC O C B A Nhận xét Qua ví dụ ta có nhận xét sau: Nếu Nếu Nếu ABC nhọn tâm O bên tam giác; ABC vuông A tâm O trung điểm cạnh BC; ’ > 90◦ tâm O bên ngồi tam giác ABC có BAC ’ = 36◦ Gọi O giao điểm ba đường trung trực, VÍ DỤ Cho ABC cân A, có ABC I giao điểm ba đường phân giác Chứng minh BC đường trung trực OI ✍ LỜI GIẢI “ + C) = 180◦ − (36◦ + Ta có BC ⊥ OI, A = 180◦ − (B A 36◦ ) = 108◦ Gọi M trung điểm BC ÷ = 54◦ Ta có BAM I Mặt khác ta có OA = OB ⇒ OAB cân O ⇒ ’ = OAB ’ = 54◦ ⇒ OBM ÷ = OBA ’ −M ÷ OBA BA = 54◦ − 36◦ = 18◦ Xét hai tam giá M BO M BI vng ÷ = M ’ M ta có: BM chung; OBM BI = 18◦ , M B C O M BO = M BI (cạnh góc vng - góc nhọn), suy M O = M I mà BM ⊥ IO nên BC đường trung trực OI Bài tập tự luyện BÀI Cho ABC Tìm điểm O cách ba điểm A, B, C Có điểm vậy? ✍ LỜI GIẢI Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 361/373 ȍ GeoGebraPro Tự học Toán Năm học 2019-2020 A Gọi O giao điểm đường trung trực cạnh AB đường trung trực cạnh AC Khi theo tính chất đường trung trực OA = OB, OB = OC, suy OA = OB = OC hay điểm O cách ba điểm A, B, C Có điểm O thỏa mãn điều kiện O B C BÀI Chứng minh điểm cách ba đỉnh tam giác vuông trung điểm cạnh huyền tam giác ✍ LỜI GIẢI C Xét tam giác vuông ABC vuông A, gọi O trung điểm cạnh BC, nên trung tuyến AO nửa cạnh huyền, nghĩa AO = BC, suy OA = OB = OC, nghĩa trung điểm O cách ba đỉnh tam giác O ABC A B BÀI Chứng minh tam giác có đường trung trực đồng thời đường trung tuyến tam giác tam giác cân ✍ LỜI GIẢI A Xét tam giác ABC, giả sử AM đường trung tuyến đồng thời đường trung trực cạnh BC tam giác Khi ta có: M trung điểm BC AM ⊥ BC, suy AM B = O AM C (c.g.c) ⇒ AB = AC, tam giác ABC cân A B M C BÀI Chứng minh tam giác có đường trung trực đồng thời đường phân giác tam giác tam giác cân ✍ LỜI GIẢI A Xét tam giác ABC, giả sử AD đường phân giác đồng thời đường trung ’ = CAD ’ trực cạnh BC tam giác Khi ta có BAD AD ⊥ BC, suy ADB = ADC (g.c.g) O ⇒ AB = AC, tam giác ABC cân A B Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 362/373 D C ȍ GeoGebraPro Tự học Toán Năm học 2019-2020 BÀI Xác định dạng ABC, biết giao điểm ba đường trung trực, giao điểm ba đường phân giác điểm A thẳng hàng ✍ LỜI GIẢI Xét tam giác ABC, gọi I giao điểm ba đường A phân giác tam giác Vì giao điểm ba đường trung trực, ba đường phân giác điểm A thẳng hàng nên AI đường trung trực cạnh BC tam giác ABC Do đó, theo 4, suy O ABC cân A I B BÀI Xác định dạng C ABC, biết giao điểm ba đường trung trực, giao điểm ba đường phân giác trùng ✍ LỜI GIẢI Xét A ABC, gọi O giao điểm ba đường trung trực đồng thời giao điểm ba đường phân giác tam giác ABC ’ = OCB, ’ mà OB, OC đường Do OBC cân O nên OBC “ = C Chứng minh tương phân giác góc B, góc C tương ứng nên B “ = A tự ta có B O Từ suy tam giác ABC B BÀI Xác định dạng trung tuyến trùng C ABC, biết giao điểm ba đường trung trực, giao điểm ba đường ✍ LỜI GIẢI Xét A ABC, gọi O giao điểm ba đường trung trực đồng thời giao điểm ba đường trung tuyến tam giác ABC Gọi I, J, K tương ứng chân đường trung tuyến hạ từ đỉnh A, B, C xuống cạnh BC, CA, AB Khi ta có ABI = K ACI (c.g.c) ⇒ AB = AC, ABJ = CBJ = COJ (c.g.c) ⇒ AB = BC Do AB = BC = CA, suy tam giác ABC Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 363/373 J O B I C ȍ GeoGebraPro Tự học Toán BÀI Năm học 2019-2020 TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG CAO CỦA TAM GIÁC A TĨM TẮT LÍ THUYẾT Đường cao tam giác Định nghĩa Trong tam giác, đoạn vng góc kẻ từ đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện gọi đường cao tam giác Mỗi tam giác có ba đường cao Chú ý: “Trong tam giác cân đường cao thuộc cạnh đáy đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực.” ! Tính chất ba đường cao tam giác Tính chất Ba đường cao tam giác qua điểm Điểm gọi trực tâm tam giác Nhận xét Để xác định trực tâm H ABC ta kẻ hai đường cao giao điểm chúng trực tâm H Nhận xét Nếu H trực tâm ABC tia AH, BH, CH vng góc với cạnh đối diện Về đường cao, trung tuyến, trung trực, phân giác tam giác cân Định lí Trong tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời đường phân giác, đường trung tuyến đường cao xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh Nhận xét Trong tam giác, hai bốn loại đường (đường trung tuyến, đường phân giác, đường cao xuất phát từ đỉnh đường trung trực ứng với cạnh đối diện đỉnh này) trùng tam giác tam giác cân Tính chất Tính chất cho tam giác đều: “Trong tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cách ba đỉnh, điểm nằm tam giác cách ba cạnh bốn điểm trùng ” B CÁC DẠNG TỐN VÍ DỤ Cho ABC, trực tâm H Tìm trực tâm tam giác ABH, ACH, BCH ✍ LỜI GIẢI A Ta nhận thấy ngay: ABH nhận C trực tâm ACH nhận B trực tâm P N H BCH nhận A trực tâm B Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 364/373 M C ȍ GeoGebraPro Tự học Toán Năm học 2019-2020 VÍ DỤ Cho ABC có AB = AC = 13 cm, BC = 10 cm Tính độ dài đường cao AH ✍ LỜI GIẢI ABC cân A Nên đường cao AH đường trung tuyến ⇒ HB = HC = BC = cm Áp dụng định lí Py-Ta-Go vào ABH vng H ta có: Từ giả thiết suy A AH = AB − BH = 132 − 52 = 169 − 25 = 144 ⇒ AH = 12 cm Vậy AH = 12 cm B H C VÍ DỤ Cho ABC vuông A, đường cao AH Chứng minh A trực tâm ABC Tìm trực tâm ABH, ACH ✍ LỜI GIẢI Vì ABC vng A nên: A AB ⊥ AC ⇒ AB đường cao AC ⊥ AB ⇒ AC đường cao Hai đường cao AB, AC cắt A suy A trực tâm ABC Nhận xét : ABH vuông H nên H trực tâm B H C ACH vng H nên H trực tâm Nhận xét “Nếu tam giác có trực tâm trùng với đỉnh tam giác tam giác vng ” VÍ DỤ Vẽ trực tâm ABC nhọn ABC trường hợp: ABC vng A ABC có A > 90◦ ✍ LỜI GIẢI Ta có hình vẽ sau: ABC nhọn Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 365/373 ȍ GeoGebraPro Tự học Toán Năm học 2019-2020 A N P H B M C ABC vuông A B M A C ABC có A > 90◦ H P N A B M C Nhận xét Qua ví dụ trên, ta có nhận xét: Nếu Nếu ABC nhọn trực tâm H bên ABC ABC vng A trực tâm H trùng với điểm A Nếu ABC có A > 90◦ trực tâm H bên ngồi VÍ DỤ Cho ABC ABC, gọi M , N , P theo thứ tự trung điểm BC, AC, AB Chứng tỏ đường cao M N P đường trung trực ABC ✍ LỜI GIẢI Với đường cao M M1 M N P , ta có: M M1 ⊥ N P A Vì N, P theo thứ tự trung điểm AC, AB ⇒ N P BC ⇒ M M1 ⊥ BC Vậy M M1 đường trung trực ABC M1 P N Tương tự, ta có N N1 , P P1 đường trung trực ABC Vậy đường cao M N P đường trung trực B ABC Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em P1 N1 Trang 366/373 M C ȍ GeoGebraPro Tự học Tốn Năm học 2019-2020 VÍ DỤ Cho ABC cân A, gọi M trung điểm BC Kẻ đường cao BN (N ∈ AC) cắt AM H Chứng minh CH ⊥ AB ÷ ÷ Tính số đo góc M BH M HN biết C = 40◦ ✍ LỜI GIẢI Ta có AM ⊥ BC ABC cân A, mà AM ∩ BN = {H} suy H trực tâm H ABC, BA ⊥ CH N Trong CBN vng N ta có ’ = 90◦ − BCN ’ = 90◦ − 40◦ = 50◦ CBN ÷ Vậy M BH = 50◦ A Trong BHM vng M ta có ÷ ÷ M HB = 90◦ − M BH = 90◦ − 50◦ = 40◦ ÷ Vậy M HN = 40◦ 40◦ B M C VÍ DỤ Cho ABC vuông A, đường cao AH Gọi D, E theo thứ tự trung điểm HC, HA Chứng minh BE ⊥ AD ✍ LỜI GIẢI Vì D, E theo thứ tự trung điểm HC,HA suy ra: DE A AC Kết hợp với AC ⊥ AB ta suy DE ⊥ AB Trong ABD ta có AH ⊥ BD DE ⊥ AB ⇒ E trực tâm E ABD ⇒ BE ⊥ AD B VÍ DỤ Cho H D C ABC, có A = 45◦ AC < BC, đường cao CE Trên tia đối tia CE lấy điểm D cho EB = ED Chứng minh BC ⊥ AD ✍ LỜI GIẢI Gọi AC ∩ BD = {M } Xét ADE vng E ta có: ’ = 45◦ EB = ED ⇔ BDE vuông cân E ⇒ EBD ’ + EBD ’ = 45◦ + 45◦ = 90◦ ⇒ AM ⊥ BD Suy : CAE Trong tam giác D M ABD ta có AM ⊥ BD DE ⊥ AB mà AM ∩ DE = {C} ⇒ C trực tâm BC ⊥ AD C ABD ⇒ 45◦ A Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 367/373 E B ȍ GeoGebraPro Tự học Tốn Năm học 2019-2020 VÍ DỤ Cho ABC, có A = 45◦ trực tâm H Chứng minh BC = AH ✍ LỜI GIẢI Giải sử BH cắt AC E A ’ = 45◦ ⇒ ABE ’ = 45◦ Xét ABE vuông E ta có: BAE ⇒ ABE vng cân E ⇒ AE = BE ’ = EBC ’ ( phụ với C) Ta có EAH Xét hai tam giác vng AEH BEC ta có:  ’ = EBC ’ EAH    ⇒ AEH = BEC (g-c-g) ⇒ AH = BC AE = BE   ’ ’ AEH = BEC E H B M C C BÀI TẬP TỰ LUYỆN BÀI Cho ABC có AB = AC = 10 cm, BC = cm Tính độ dài đường cao AH ✍ LỜI GIẢI ABC cân A có AH đường cao nên đường trung tuyến ⇒ HB = HC = BC = (cm) Áp dụng định lí Py-Ta-Go vào ABH vng H ta có AB = AH + BH ⇒ 102 = 42 + AH √ ⇒ AH = 21 (cm) A B BÀI Cho H C ABC có AB = cm, AC = cm, BC = cm Tính độ dài đường cao AH ✍ LỜI GIẢI Xét ABC có AB + AC = 32 + 42 = 25 BC = 52 = 25 ⇒ BC = AB + AC ⇒ A ABC tam giác vng A ( Định lí Py-Ta-Go đảo) Vì AC > AB ⇒ HC > HB Đặt BH = x (x > 0) Áp dụng định lí Py-Ta-Go vào tam giác vng ABH ACH ta có AH = AB − BH AH = AC − CH ⇒ 32 − x2 = 42 − (5 − x)2 ⇒ − x2 = 16 − (25 − 10x + x2 ) ⇒x= Áp dụng định lí Py-Ta-Go vào ABH vng H ta có 144 AB = AH + BH ⇒ AH = ⇒ AH = 2,4 25 Vậy AH = 2,4 (cm) B H C BÀI Chứng tỏ trực tâm tam giác tù nằm bên tam giác Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 368/373 ȍ GeoGebraPro Tự học Toán Năm học 2019-2020 ✍ LỜI GIẢI Xét ABC có A > 90◦ Kẻ BE ⊥ AC ⇒ E thuộc tia đối tia AC Hay BE nằm phía ngồi H ABC Kẻ CF ⊥ AB Ta suy CF nằm phía ngồi ABC Gọi H giao điểm hai đường cao BE, CF từ ta suy trực tâm H nằm bên F E ABC A B BÀI Cho C ABC cân A, trung tuyến AM Kẻ đường thẳng d qua A vng góc với AM Chứng minh d song song với BC ✍ LỜI GIẢI ABC cân A có AM đường trung tuyến nên AM đường cao ⇒ AM ⊥ BC mà AM ⊥ d (gt) Suy d A d BC B M C BÀI Lấy ba điểm I, J, K theo thứ tự đường thẳng d Trên đường thẳng l vng góc với d J lấy điểm M Đường thẳng qua I vng góc với M K cắt l N Chứng minh KN ⊥ IM ✍ LỜI GIẢI Gọi H giao điểm IN với M K Xét M IK có IH ⊥ M K, M J ⊥ IK Mà M J ∩ IH = {N } Suy N trực tâm M M IK ⇒ KN ⊥ IM H N I BÀI Cho J K ABC cân A, phân giác AM Kẻ đường cao BN cắt AM H Chứng minh CH ⊥ AB ÷ ÷ Tính số đo góc M BH, M HN biết C = 39◦ ✍ LỜI GIẢI Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 369/373 ȍ GeoGebraPro Tự học Tốn Năm học 2019-2020 Xét ABC có AM đường phân giác nên đồng thời đường cao, suy AM ⊥ BC Xét ABC có AM ⊥ H N BC, BN ⊥ AC mà AM ∩ BN = {H} Suy H trực tâm A ABC ⇒ CH ⊥ AB Trong CBN vuông N ta có ÷ ’ = 90◦ − 39◦ = 51◦ M BH = 90◦ − BCN ÷ Vậy M BH = 51◦ 39◦ B M C Trong BHM vng M ta có ÷ ÷ M HB = 90◦ − M BH = 90◦ − 51◦ = 39◦ ÷ Vậy M HN = 39◦ ABC cân A, gọi M trung điểm BC Kẻ đường cao BN (N ∈ AC) cắt AM BÀI Cho H Chứng minh CH ⊥ AB ÷, M ÷ Tính số đo góc BHM HN biết C = 50◦ ✍ LỜI GIẢI Xét A ABC cân có AM đường trung tuyến nên đồng thời đường cao, suy AM ⊥ BC Xét ABC có AM ⊥ BC, BN ⊥ AC mà AM ∩ BN = {H} Suy H trực tâm N ABC ⇒ CH ⊥ AB ’ + C = 90◦ Xét BCN vuông tai N ⇒ CBN ’ + 50◦ = 90◦ ⇒ CBN ’ = 40◦ ⇒ CBN ÷ + 40◦ = 90◦ Xét BHM vng tai M ⇒ BHM ÷ = 50◦ ⇒ BHM H B M C ÷ +M ÷ Ta có BHM HN = 180◦ ( hai góc kề bù) ÷ ⇒M HN = 180◦ − 50◦ = 130◦ BÀI Cho “ C nhọn AB < AC Kẻ đường cao AH Chứng minh BAH ’ < CAH ’ ABC có B, ✍ LỜI GIẢI Trên tia đối tia HB lấy điểm D cho HB = HD A Vì AB < AC ⇒ HB < HC ( quan hệ đường xiên hình chiếu) nên HD < HC ⇒ D nằm điểm H C Ta suy ’ < CAH ’ (1) DAH  AH chung    ’ = AHD ’ = 90◦ Xét AHB AHD ta có: AHB    HB = HD ⇒ AHB = AHD (c-g-c) ⇒ HB = HD ’ = ADH ’ (2) ABH ’ < CAH ’ Từ (1), (2) suy BAH Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 370/373 B H D C ȍ GeoGebraPro Tự học Toán Năm học 2019-2020 BÀI Cho hai tam giác vng ABC, ABD có chung cạnh huyền AB Gọi H giao điểm AD BC Kẻ HK vng góc với AB Chứng minh AC, BD, HK đồng quy ✍ LỜI GIẢI Gọi I giao điểm AC BD Xét ABI có BC ⊥ AI, AD ⊥ BI mà BC ∩ AD = {H} ⇒ H trực tâm I ABI ⇒ IH ⊥ AB Mặt khác HK ⊥ AB, từ suy đường thẳng IH, HK trùng Từ ta suy đường thẳng AC, BD, HK đồng quy H A BÀI 10 Cho cao AM D C K B ABC cân A Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AB = AD Kẻ đường ÷ ABC, đường cao AN ACD Chứng minh M AN = 90◦ ✍ LỜI GIẢI Ta có AD = AC ⇒ ’ = D “ ACD cân A ⇒ ACD “ = ACB ’ ABC cân A ⇒ B “ + ACB ’ + ACD ’ +D “ = 180◦ Trong BCD có B ’ + ACD ’ = 90◦ suy BCD ’ = 90◦ ⇒ BCD vng ⇒ ACB C ’ = ACM ÷ Vì AN ⊥ CD, BC ⊥ CD ⇒ AN BC ⇒ CAN ’ =M ÷ Vì AM ⊥ BC, BC ⊥ CD ⇒ AM CD ⇒ ACN AC ÷ ’ ÷ ÷ ’ ’ Ta có M AN = CAN + M AC = ACM + ACN = BCD = 90◦ ÷ Vậy M AN = 90◦ BÀI 11 Cho D N A B M C ABC Qua đỉnh A, B, C kẻ đường thẳng song song với cạnh đối diện, chúng cắt M , N , P Chứng minh A trung điểm M P Chứng tỏ đường cao ABC đường trung trực MNP ✍ LỜI GIẢI Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 371/373 ȍ GeoGebraPro Tự học Tốn Năm học 2019-2020 Ta có AP ’ = ACB ’ (2 góc so le trong) BC nên CAP ’ =P ’ Vì AB CP nên BAC CA (2 góc so le trong)  ’ =P ’ BAC CA    Xét ABC CP A ta có AC cạnh chung   ’ ’ ACB = CAP ⇒ ABC = CP A (g-c-g) ⇒ BC = AP (1) Chứng minh tương tự suy ABC = BAM ⇒ BC = AM N D B E F M (2) C A P Từ (1),(2) suy AM = AP Vậy A trung điểm M P Ta có BC M P mà AD ⊥ BC ⇒ AD ⊥ M P , kết hợp với AM = AP ta suy AD đường trung trực MNP Chứng minh tương tự ta suy BE, CF đường trung trực M N P BÀI 12 Cho ABC, có A = 135◦ trực tâm H Chứng minh BC = AH ✍ LỜI GIẢI Gọi BH ∩ AC = {M }; BA ∩ CH = {E} ’ = AHE ’ ( phụ BCH) ’ Ta có CBE ’ + BAM ÷ = 180◦ ⇒ BAM ÷ = 180◦ − BAC ’ Vì BAC H ÷ = 45◦ ⇒ BHE ’ = 45◦ = 180◦ − 135◦ = 45◦ ⇒ ABM ⇒ BEH vuông cân E Suy EB = EH Xét hai tam giác vuông AEH CEB, ta có:  EH = EB (gt) AHE ’ = CBE ’ ⇒ AHE = E M A B C CBE(g-c-g) ⇒ AH = CB Vậy BC = AH BÀI 13 Cho ABC, có trực tâm H AH = BC Tính số đo A ✍ LỜI GIẢI Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 372/373 ȍ GeoGebraPro Tự học Tốn TH 1: Năm học 2019-2020 ABC nhọn A Gọi AH ∩ BC = {M }; BH ∩ AC = {E} ’ = CBE ’ ( phụ ACB) ’ Ta có HAE Xét hai tam giác vng  AH = BC(gt) AEH BEC ta có: HAE ’ = CBE ’ ⇒ AEH = E BEC (cạnh huyền - góc nhọn) ⇒ AE = BE ⇒ ABE tam giác vuông cân E ’ = 45◦ suy BAC H B M C ◦ ABC tam giác tù Giả sử A > 90 ’ = 135◦ Giải tương tự ta tìm BAC TH 2: Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 373/373 ȍ GeoGebraPro ... (74 − 73 ) (74 − 73 ) 73 D= = · ? ?7 = − · 74 − 73 3 49 49 49 49 Å Å ã 3ã 7 = − · 74 − 73 = − · 74 − 73 7 7 6 = − 73 = · 73 (7 − 1) = 36 7 BÀI Tìm x biết: a) 16x : 4x = 16 b) 2−1 · 2x + · 2x = 72 ... biểu thức −5 7 A= + + + −5 −3 ? ?7 B= + + + −5 10 −8 −5 4 C= + + + ? ?7 ã−9 Å ? ?7 ã Å ã D = 3− + − 2+ − − 1− − 3 ✍ LỜI GIẢI −5 7 −5 ? ?7 ? ?74 65 296 325 29 A= + + + = + + + = + =− + = −5 7 35 28 140... chất xem phân số sau có khơng? a) −5 15 −18 b) 12 − 47 −28 c) − 17 −5 ✍ LỜI GIẢI Ta có 15 −15 −5 = ⇒ −18 18 − 47 47 12 = ⇒ > −28 28 17 − 17 −5 − = ⇒ 5 −15 = (−5) · 18 = (−15) · = 90 18 47 12 ·