CHƯƠNG I: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Bài 1. Xét chiều biến thiên của các hàm số a. y = b. y = x³3 + 3x² – 7x – 2 c. y = x4 – 2x² + 3 d. y = –x4 + 3x² e. y = f. y = –x³ + 12x Bài 2: Chứng minh hàm số y = nghịch biến trên khoảng (0; 3) và đồng biến trên khoảng (–3; 0). Bài 3: Định m để hàm số a. y = x³ – 3(2m + 1)x² + (12m + 5)x + 2 đồng biến trên R. b. y = mx³ – (2m – 1)x² + (m – 2)x – 2 đồng biến trên R. c. y = –mx³ + 3mx² – 3x nghịch biến trên R. Bài 4. Định m để hàm số y = x³ – 3mx² + (m² – 1)x + 2 đạt cực tiểu tại x = 2. Bài 5. Định m để hàm số y = x³ – 3x² + 3mx + 3m + 4 có cực đại và cực tiểu. Bài 6. Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số y = x³ + 3x² + (m + 2)x. a. Có cực đại và cực tiểu. b. Có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía của trục tung. c. Có 2 điểm cực trị với hoành độ âm. d. Đạt cực tiểu tại x = 2.
CHƯƠNG I: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Bài 1. Xét chiều biến thiên của các hàm số a. y = 3x 1 1 x + − b. y = x³/3 + 3x² – 7x – 2 c. y = x 4 – 2x² + 3 d. y = –x 4 + 3x² e. y = 1 x x 2 − + f. y = –x³ + 12x Bài 2: Chứng minh hàm số y = 2 9 x− nghịch biến trên khoảng (0; 3) và đồng biến trên khoảng (– 3; 0). Bài 3: Định m để hàm số a. y = x³ – 3(2m + 1)x² + (12m + 5)x + 2 đồng biến trên R. b. y = mx³ – (2m – 1)x² + (m – 2)x – 2 đồng biến trên R. c. y = –mx³ + 3mx² – 3x nghịch biến trên R. Bài 4. Định m để hàm số y = x³ – 3mx² + (m² – 1)x + 2 đạt cực tiểu tại x = 2. Bài 5. Định m để hàm số y = x³ – 3x² + 3mx + 3m + 4 có cực đại và cực tiểu. Bài 6. Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số y = x³ + 3x² + (m + 2)x. a. Có cực đại và cực tiểu. b. Có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía của trục tung. c. Có 2 điểm cực trị với hoành độ âm. d. Đạt cực tiểu tại x = 2. Bài 7. Chứng minh hàm số y = 1 3 x³ – mx² – (2m + 3)x + 9 luôn có cực trị với mọi giá trị của tham số m. Bài 8. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số a. y = 2x³ + 3x² – 1 trên đoạn [–1/2; 1] b. 2 y x 5 4 x= − + − . c. 3 4 y 2sin x sin x 3 = − trên đoạn [0; π] d. 4 y x 1 x 2 = − + − + trên đoạn [–1; 2] e. y = ln x x trên đoạn [1; e²] f. y = 2 cos 2x + 4sin x trên đoạn [0, π/2] TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG (C): y = f(x) Ví dụ 1: Cho hàm số y = f(x) = x³ – 2x + 2 có đồ thị (C). Lập phương trình tiếp tuyến của (C) biết a. Tiếp tuyến song song với (d): y = x + 1 b. Tiếp tuyến vuông góc với (d): y = –x + 1 GIẢI a. Gọi M(x o ; y o ) là tiếp điểm. Tiếp tuyến song song với (d) nên có hệ số góc k = 1 <=> f’(x o ) = 1 <=> 3 2 o x – 2 = 1 <=> x o = ±1 + x o = 1 → y o = 1. Phương trình tiếp tuyến: y = x + x o = –1 → y o = 3. Phương trình tiếp tuyến: y = x + 4 b. Vì tiếp tuyến vuông góc với (d) nên tiếp tuyến có hệ số góc k = 1. Giải giống như câu a. Ví dụ 2: Lập phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x) = x³ – 3x + 2 biết rằng tiếp tuyến đi qua A(2; –4) Giải Gọi (d) là đường thẳng qua A và có hệ số góc k Phương trình (d): y = k(x – 2) – 4. Tài liệu ôn thi tốt ngiệp THPT môn Toán năm học 2013–2014 1 (d) là tiếp tuyến của (C) <=> 2 3 3x 3 k (1) x 3x 2 k(x 2) 4 (2) − = − + = − − có nghiệm Từ (1) và (2) ta có x³ – 3x + 2 = (3x² – 3) (x – 2) – 4 <=> x³ – 3x² = 0 <=> x = 0 hoặc x = 3 + Với x = 0 → k = –3. Phương trình tiếp tuyến là y = –3x + 2 + Với x = 3 → k = 24. Phương trình tiếp tuyến là y = 24x – 52 Ví dụ 3: Cho đồ thị (C) có phương trình: y = f(x) = x 4 – x² + 1 và đồ thị (D) có phương trình y = g(x) = x² + m. Tìm m để (C) và (D) tiếp xúc với nhau. Giải. (C) và (D) tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ phương trình 3 4 2 2 4x 2x 2x (1) x x 1 x m (2) − = − + = + có nghiệm. (1) <=> 4x³ – 4x = 0 <=> x = 0 hoặc x = ±1 Nếu x = 0 từ (2) ta có m = 1; Nếu x = ±1 từ (2) ta có m = 0. Ví dụ 4: Cho hàm số y = x³ – 3x² + 2 có đồ thị (C). a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. b. Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình x³ – 3x² – m = 0 (1) Giải: b. Phương trình (1) tương đương x³ – 3x² + 2 = m + 2 Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng y = m + 2 Dựa vào đồ thị ta thấy: Nếu m < –2 hoặc m > 2: Phương trình có 1 nghiệm. Nếu m = –2 hoặc m = 2: Phương trình có 2 nghiệm. Nếu –2 < m < 2: Phương trình có 3 nghiệm. CÁC BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Cho hàm số: y = x³ – 3x + 2, có đồ thị là (C). a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm M(0; 2). Bài 2: Cho hàm số: y = –x³ + 3x² – 4, có đồ thị là (C). a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = –9x + 2014 c. Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x³ – 3x² + m = 0 Bài 3: Cho hàm số: y = x³ + 3x² – 2, có đồ thị là (C). a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm thuộc (C) có hoành độ x o = –3 c. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và đường thẳng d: y = 2 Bài 4: Cho hàm số: y = x³ + 3x², có đồ thị là (C). a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b. Tìm điều kiện của m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt: x³ + 3x² – 2 – m = 0. c. Tìm điểm thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến với (C) tại điểm này có hệ số góc nhỏ nhất. Bài 5: Cho hàm số: y = 4x³ – 3x – 1, có đồ thị là (C). a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm I(–1; 0) và có hệ số góc k = 1. Viết phương trình của d. c. Tìm tọa độ giao điểm của d và đồ thị (C). d. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và d. Bài 6: Cho hàm số y = 2x³ – 3(m + 1)x² + 6mx – 2m a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1. Tài liệu ôn thi tốt ngiệp THPT môn Toán năm học 2013–2014 2 b. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục Ox và hai đường thẳng: x = 1, x = 2 Bài 7: Cho hàm số y = x³ – mx² + m – 1, với m là tham số thực. a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3. b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) vuông góc với đường thẳng d: y = x/3 – 1 c. Xác định m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 2. Bài 8: Cho hàm số y = –x³ + 3x² – 2, có đồ thị (C). a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). b. Viết phương trình tiếp tuyến Δ với (C) tại điểm A(0; –2) c. Gọi d là đường thẳng qua K(1, 0) có hệ số góc m. Tìm giá trị m để đường thẳng d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt. Bài 9: Cho hàm số: y = 2x³ – 3x² – 1, có đồ thị (C). a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b. Tìm tọa độ giao điểm của (C) và đường thẳng d: y = x – 1 c. Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 2x³ – 3x² – m = 0 Bài 10: Cho hàm số y = 1 3 x³ – x² a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thi (C) của hàm số. b. Chứng minh rằng đường thẳng d: y = 1 3 x – 1 cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, B trong đó M là trung điểm của đoạn AB. Tính diện tích của tam giác OAB. Bài 11: Cho hàm số y = 2x 1 x 1 + − a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho b. Tìm m để (C) cắt đường thẳng (d): y = m(x + 1) + 3 tại 2 điểm phân biệt A, B nhận I(–1; 3) làm trung điểm AB. Bài 12: Cho hàm số y = 3x 3 x 2 + − a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. b. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) và trục tung. c. Tìm tất cả các điểm trên (C) có tọa độ nguyên. Bài 13: Cho hàm số y = 2x 1 x 2 − − a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho b. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng y = x – m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt. Bài 14: Cho hàm số y = 2x 1 x 1 + − a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b. Viết phương trình tiếp tuyến với với đồ thị (C) tại giao điểm của (C) và trục Ox. c. Tìm m để đường thẳng d: y = –x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt. Bài 15: Cho hàm số y = x 1 x 1 − + + a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. b. Tìm điểm M trên Ox mà tiếp tuyến đi qua M song song với đường thẳng (D): y = –2x Bài 16: Cho hàm số 2x y x 1 − = + a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số b. Tìm m để đường thẳng d: y = mx + 2 cắt cả hai nhánh của đồ thị (H). Tài liệu ôn thi tốt ngiệp THPT môn Toán năm học 2013–2014 3 Bài 17: Cho hàm số 2x 3 y 1 x − = − a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và haiờng thẳng x = 2; x = 4. c. Viết phương trình các đường thẳng song song với đường thẳng: y = –x + 3 và tiếp xúc với đồ thị (C). Bài 18: Cho hàm số y = x 4 – 2x² a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. b. Định m để phương trình: x 4 – 2x² + log m – 1 = 0 có 4 nghiệm phân biệt. Bài 19: Cho hàm số 4 2 1 3 y x 3x 2 2 = − + a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm thuộc (C) có hoành độ x o = 2. c. Tìm điều kiện của m để phương trình sau có 4 nghiệm: x 4 – 6x² + 1 + m = 0 Bài 20: Cho hàm số y = x²(m – x²) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 4. b. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x o = –1. Bài 21: Cho hàm số: y = (1 – x²)² – 6, có đồ thị (C) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: m – x 4 + 2x² = 0 c. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết nó song song với đường thẳng d: y = 24x + 10 Bài 22: Cho hàm số y = –x 4 + 2x² + 3 có đồ thị (C) a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số b. Tìm m để phương trình x 4 – 2x² + m = 0 (*) có bốn nghiệm phân biệt. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRINH MŨ VÀ LOGARIT Các công thức cần nhớ: 0 < a ≠ 1 a 0 = 1 m n n m n n 1 a a a a − = = Tính chất của lũy thừa: 0 < a ≠ 1 a m .a n = a m+n ; (a m ) n = a m.n ; n n n a a ( ) b b = m m n n a a a − = ; (ab)ⁿ = aⁿ.bⁿ * Quy tắc so sánh: Với a > 1 thì a m > a n <=> m > n Với 0 < a < 1 thì a m > a n <=> m < n * Căn bậc n n n n a.b a. b= ; n n n a a b b = m n m n a a= m n mn a a= * Lôgarit: cho a, b > 0 và a ≠ 1: log a b = α <=> a α = b * Tính chất logarit: log a 1 = 0 log a a = 1 log a a α = α a log b a b= * Quy tắc so sánh Nếu a > 1 thì log a b > log a c <=> b > c Nếu 0 < a < 1 thì log a b > log a c <=> b < c log a b = log a c <=> b = c * Quy tắc tính: Tài liệu ôn thi tốt ngiệp THPT môn Toán năm học 2013–2014 4 log a (bc) = log a b + log a c a a a b log log b log c c = − log a b α = αlog a b * Công thức đổi cơ số: α a a 1 log b log b α = a b 1 log b log a = a b a log c log c log b = hay log a b log b c = log a c Chú ý: Lôgarit thập phân (có cơ số 10) kí hiệu là log x hoặc lg x Lôgarit cơ số e kí hiệu là: ln x CÁC DẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH Bài 1. Tìm tập xác định các hàm số a. 2 ln( x 5x 6) y e − + + = b. y = log (x² + 3x + 2) c. 2 3 y log 10 x = − d. y = log 3 (2 – x)² e. 5 2x 3 y log (x 2) − = − Bài 2. Chứng minh hàm số sau thỏa hệ thức a. y = (x + 1)e x thỏa y′ – y = e x . b. 1 y ln x 1 = + thỏa xy′ + 1 = e y . c. y = e 4x + 2e –x thỏa y‴ – 13y′ – 12y = 0 Bài 3. Giải các phương trình a) x 4 3 2 4 − = b) 2 5 x 6x 2 2 16 2 − − = c) 2 2x 3 x 3x 5 3 9 − + − = d) 2 x x 8 1 3x 2 4 − + − = e) 5 2x+1 – 3.5 2x–1 = 110 f) x 5 x 17 x 7 x 3 1 32 .128 4 + + − − = g) 2 x + 2 x–1 + 2 x–2 = 3 x – 3 x–1 + 3 x–2 . h) x x 2 9 27 ( ) .( ) 3 8 64 = k) x 1 x x x 1 3 6 .2 .3 − − + = i) x 1 x 1 x 1 ( 5 2) ( 5 2) − − + + = − Bài 4. Giải các phương trình sau: a) 2 2x+6 + 2 x+7 = 17. b) 3 2x+1 – 9.3 x + 6 = 0. c) 7 x + 2.7 1–x – 9 = 0. d) 2 2x+2 – 9.2 x + 2 = 0. e) 9 2x+4 – 4.3 2x+5 + 27 = 0 f) 5 2x+4 – 110.5 x+1 – 75 = 0 g) x x 1 5 2 8 2 0 2 5 5 + − + = ÷ ÷ h) x 3 x 5 5 20 − − = i) x x (4 15) (4 15) 2− + + = j) x x ( 5 2 6 ) ( 5 2 6 ) 10+ + − = k) x x x 12.9 35.6 18.4 0− + = l) x x x x x (3 2 )(3 3.2 ) 8.6+ + = Bài 5. Cho hàm số 2x 1 x 1 1 y e e 2 + + = − . Giải phương trình: y′ – 2e = 0 Bài 6. Giải các phương trình a) log 2 x + log 2 (x + 1) = 1 b) log 2 (3 – x) + log 2 (1 – x) = 3 c) log(x + 1) – log(1 – x) = log(2x + 3) d) log 4 (x + 2) – log 4 (x – 2) = 2log 4 6 e) log 4 x + log 2 x + 2log 16 x = 5 f) 3 log (x 2)− log 5 x = 2log 3 (x – 2) Tài liệu ôn thi tốt ngiệp THPT môn Toán năm học 2013–2014 5 g) 2log 3 x = 2log 9 (4x + 5) + 1. Bài 7. Giải các phương trình sau: a) 2 2 4 log x 6log x 4+ = b) log 3 (3 x – 1) log 3 (3 x+1 – 3) = 12. c) 2 2 3 2 2 log (x 1) log (x 1) 7− + − = d) x 2 x 2 2 2 log (9 7) 2 log (3 1) − − + − = + e) 1 2 1 4 ln x 2 ln x + = − + f) 2 2 1/2 2 log x 3log x log x 2+ + = g) 3 3 3 log x log 3x 1− = h) log 3 (3 x – 8) = 2 – x k) log 3 (4.3 x – 1) = 2x + 1 m) log 3 [5 + 4log 3 (x – 1)] = 2. Bài 8. Cho hàm số y = ln² x (x > 0). Giải phương trình: y – xy′ – 3 = 0 Bài 9. Giải các bất phương trình sau a) 2x 3 x 7 3x 1 6 2 .3 + + − < b) 2x 5 1 ( ) 9 3 + < c) 2 4x 15x 4 3x 5 1 2( ) 2 2 − + + > d) 2 x x 6 1 ( ) 1 4 − − > Bài 10. Giải các bất phương trình sau: a) 5 2x + 2 ≥ 3.5 x . b) 5 2x–3 – 2.5 x–2 > 3 c) 2 2x+6 + 2 x+7 > 17 d) 5.4 x + 2.25 x ≤ 7.10 x . e) 2.16 x – 2 4x – 4 2x–2 > 15 f) 4 x+1 – 16 x < 2log 4 8. g) 3 x – 3 2–x + 8 > 0 h) 5 x – 3 x+1 > 2.5 x–1 – 2.3 x–2 . i) 1 1 1 2 x x 4 2 3 − − ≥ + Bài 11. Giải các bất phương trình sau: a. log 4 (x + 7) > log 4 (1 – x) b. log 2 (x² – 4x – 5) ≤ 4. c. log 2 (x + 5) < log 2 (3 – 2x) – 4 d. 1 3 2 log (log x) ≤ 0 e. 3log 8 (x – 2)² – log 8 (x – 3)³ – 2 > 0 f. 1 3 2 3x log x − ≥ –1 Bài 12. Giải các bất phương trình sau: a) 2 1 1 3 3 log x 3log x 0+ > b) 1 1 1 1 log x log x + > − c) 2 2 2 log x log 4x 4+ − ≥ 0 d) 2 log x 3log x 3 1 log x 1 − + < − e) log 5 (5 x – 4) > 1 – x. f) x 2 x 1 3 log (2 4 ) + − ≥ –2 CHƯƠNG III. NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN I. Nguyên hàm: Hàm số F(x) gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) x K∀ ∈ Kí hiệu: ∫f(x)dx = F(x) + C. (C là hằng số) Tính chất 1: ∫f′(x) dx = f(x) + C Tính chất 2: ∫kf(x)dx = k∫f(x)dx (k ≠ 0) Tính chất 3: ∫[f(x) ± g(x)]dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx Nguyên hàm của những hàm số thường gặp ∫dx = x + C ∫adx = ax + C. ∫x α dx = α 1 x α 1 + + (α ≠ –1) ( ) α 1 α 1 (ax b) (ax b) dx Cα 1,a 0 aα 1 + + + = + ≠ − ≠ + ∫ dx ln x C x = + ∫ dx 1 ln ax b C ax b a = + + + ∫ Tài liệu ôn thi tốt ngiệp THPT môn Toán năm học 2013–2014 6 ∫e x dx = e x + C ∫e ax+b dx = ax b 1 e C a + + x x a a dx C ln a = + ∫ bx c bx c 1 a a dx C b ln a + + = + ∫ ∫sin x dx = –cos x + C ∫sin (ax + b) dx = 1 cos(ax b) C a − + + ∫cos x dx = sin x + C ∫cos (ax + b) dx = + 1 sin(ax b) C a + + 2 dx tan x C cos x = + ∫ 2 dx 1 tan(ax b) C a cos (ax b) = + + + ∫ 2 dx cot x C sin x = − + ∫ 2 dx 1 cot(ax b) C a sin (ax b) = − + + + ∫ Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số: Định lý: Nếu ∫f(u)du = F(u) + C và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì: ∫f[u(x)]u′(x)dx = F[u(x)] + C Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần. Định lý: ∫udv = uv – ∫vdu Bài Tập Bài 1: Chứng minh rằng hàm số F(x) = e x (x² + 1) là nguyên hàm của hàm số f(x) = e x (x + 1)². Bài 2: Chứng minh rằng hàm số F(x) = xln x – x + 3 là nguyên hàm của hàm số f(x) = ln x. Bài 3: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = (2 – 3tan x) cos x. Bài 4: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số 2 1 2x f (x) x + = thỏa mãn điều kiện F(–1) = 3. Bài 5: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = cos x – 3sin x thỏa mãn điều kiện F(π) = 0. Bài 6: Tính a. 2 2 x(x ) dx x + ∫ ; b. ∫(3 + 2sin x)cos x dx; c. 2x x 1 e (3 )dx e − ∫ d. 2 cos x sin 2x dx cos x − ∫ Bài 7: Tính a. ∫cos x sin³ x dx b. cos xdx 3sin x 5+ ∫ ; c. 3 sin xdx cos x ∫ d. 3sin x e cos xdx ∫ e. 2 2 tan x 1 dx cos x + ∫ f. 4 2 (cot x 1) dx sin x + ∫ g. x x e dx e 3+ ∫ ; h. dx x ln x ∫ ; i. 4 ln x dx x ∫ j. 3 (ln x 2) dx x + ∫ k. x 2x 1dx+ ∫ l. 2 xdx x 3+ ∫ Bài 8: Tính a. ∫2x cos x dx; b. ∫(x + 3)e x dx; c. ∫(4x + 1)sin x dx d. ∫3x² ln x dx; e. ∫(x² + 2x)ln x dx f. ∫ln(x + 1)dx; g. ∫(1 + e x )xdx TÍCH PHÂN Định nghĩa: b b a a f (x)dx [F(x)] F(b) F(a)= = − ∫ Tính chất: i. b a a b f (x)dx f (x)dx= − ∫ ∫ Tài liệu ôn thi tốt ngiệp THPT môn Toán năm học 2013–2014 7 ii. b b a a kf (x)dx k f (x)dx= ∫ ∫ (k ≠ 0). iii. b b b a a a [f (x) g(x)]dx f(x)dx g(x)dx.+ = + ∫ ∫ ∫ iv. b c b a a c f (x)dx f(x)dx f(x)dx= + ∫ ∫ ∫ Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số. Công thức tổng quát: β b α a f[u(x)]u '(x)dx f (t)dt= ∫ ∫ Tính tích phân bằng phương pháp từng phần. Công thức tổng quát: b b a a b udv (uv) vdu a = − ∫ ∫ Bài 1: Tính các tích phân sau: 0 π (cos x sin x)dx − − ∫ 0 2x x 1 1 (e )dx e − − ∫ 1 2 0 2x(2 x) dx− ∫ 2 2 2 1 (1 2x ) dx x − ∫ Bài 2: Tính các tích phân sau: a. π 6 0 cos xdx 2sin x 1+ ∫ ; b. π 2 π 3 6cos x 1sin xdx+ ∫ ; c. e 2 1 dx x(ln x 1)+ ∫ d. e 4 1 ln xdx x ∫ e. 1 0 3x 1dx+ ∫ ; f. 19 3 2 0 xdx x 8+ ∫ ; g. π tan x 4 2 0 e dx cos x ∫ ; h. π 2 4 0 (2sin x 1)cos xdx+ ∫ i. π 3 0 (1 cos x)sin xdx− ∫ j. e 2 1 1 ln x dx x + ∫ Bài 3: Tính các tích phân sau a. π 2 3 0 (4sin x cos x 1)dx+ ∫ b. π 2 0 sin x ( 2x)dx 1 cos x − + ∫ ; c. 2 0 (x 4x 1)dx− + ∫ d. e 1 3ln x 1 ( 1)dx x + − ∫ e. 2 2 0 ( 2x 1 3x)xdx+ − ∫ f. e 3 1 x ln x dx x + ∫ g. π 2 2 0 (4sin x cos x 1)sin xdx+ ∫ h. π 4 3 3 0 2cos x sin x dx cos x + ∫ Bài 4: Tính các tích phân sau a. 5 0 x x 4dx+ ∫ b. π 2 0 sin x cos xdx 1 cos x+ ∫ c. e 1 ln xdx (ln x 3)x+ ∫ d. π 2 0 sin x cos xdx 3sin x 1+ ∫ Bài 5: Tính các tích phân sau: a. π 0 2x sin xdx ∫ ; b. 0 π (1 x)cos xdx − − ∫ c. 1 x 0 (4x 1)e dx+ ∫ d. e 3 1 2x ln xdx ∫ Tài liệu ôn thi tốt ngiệp THPT môn Toán năm học 2013–2014 8 e. 2 1 (2x 1)ln xdx+ ∫ f. 2 2 1 (x 2x)ln xdx+ ∫ Bài 6: Tính các tích phân sau: a. 0 x 1 (1 e )xdx − − ∫ b. e 1 (1 ln x)dx+ ∫ c. π 0 x(2 cosx)dx+ ∫ d. π 0 x(sin x 2x)dx− ∫ e. π 0 x(2sin x cos x)dx+ ∫ f. π x 0 x(e sin x)dx− ∫ Bài 7: Tính các tích phân sau: a. e 1 (1 x ln x)dx+ ∫ b. 1 x 0 (xe 3)dx+ ∫ c. π 0 (x cos x 2)dx− ∫ d. π 0 (x sin x cos x)dx− ∫ Bài 8: Tính các tích phân sau: a. e 2 1 x ln x 1 dx x + ∫ ; b. e 1 x(x ln x 2)dx+ ∫ c. 1 x x 0 2 e (x )dx e + ∫ d. π 3 0 cos x(x tan x)dx− ∫ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Diện tích của hình phẳng (H) giới hạn bởi: y = f(x); y = g(x); x = a; x = b (a < b) (trong đó hai đường thẳng x = a; x = b có thể thiếu một hoặc cả hai) Công thức: S = b a f (x) g(x) dx− ∫ Các bước thực hiện Nếu đề bài không cho a và b thì nghiệm nhỏ nhất và nghiệm lớn nhất của phương trình f(x) = g(x) tương ứng là a và b. Nếu đề bài đã cho đủ cả a và b thì khi giải phương trình f(x) = g(x) ta chỉ nhận những nghiệm thuộc (a; b) nếu có. Những nghiệm không thuộc đoạn [a; b] phải loại bỏ. Nếu đề bài cho 3 đồ thị hàm số: y = f(x); y = g(x); y = h(x) cần vẽ đồ thị và phân tích diện tích hình cần tìm thành tổng hoặc hiệu của các hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị đã biết. Thể tích của khối tròn xoay. Công thức: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi: y = f(x); Ox; x = a; x = b (trong đó hai đường x = a và x = b có thể thiếu một hoặc cả hai). Quay hình phẳng này xung quanh trục Ox. Khi đó thể tích của khối tròn xoay được sinh ra là: b 2 a Vπ [f (x)] dx= ∫ Nếu đã cho đầy đủ cả a và b thì không cần giải phương trình f(x) = 0. Nếu để bài không cho a và b thì giải phương trình f(x) = 0 để tìm. Phương trình này có thể có nhiều hơn hai nghiệm. Trong trường hợp này nghiệm nhỏ nhất là a, nghiệm lớn nhất là b, các nghiệm còn lại không cần chèn vào trong quá trình tính tích phân. Bài 1. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi (C): y = e x và các đường thẳng Ox, Oy, x = 2. Bài 2. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi (C): y = x³ – 3x + 1 và (d): y = 2. Bài 3. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi (C): y = x 4 – x² và Ox. Bài 4. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi (C): y = e x và các đường thẳng y = e, Oy. Bài 5. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi (C): y = e x – 1 và Ox, x = 2. Bài 6. Cho đường cong (C): y = x³ – x. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành. Bài 7. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi (C): y = e x – e –x và Ox, x = 1. Bài 8. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi (C): y = ln x và Ox, x = e. Tài liệu ôn thi tốt ngiệp THPT môn Toán năm học 2013–2014 9 Bài 9. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi (C): y = ln x, (d): y = 1 và x = 1. Bài 10. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi (C): y x x;Ox;x 4= = . Bài 11. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường sau: y = 1 – e x , Ox, x = 1. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox. Bài 12. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường sau: y = e –x ; Ox; x = –1; Oy. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox. Bài 13. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường sau: 1 y 1 ;Ox;x 2 x = − = . Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox. Bài 14. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường sau: y = e x – e –x ; Ox, x = 1. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox. Bài 15. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường sau: 2 y ;Ox;Oy;x 1 3x 4 = = + . Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox. CHƯƠNG IV: SỐ PHỨC 1. Số phức. Số phức z = a + bi, trong đó a, b là hai số thực, a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo, i² = –1. Số phức bằng nhau: a + bi = c + di <=> a c b d = = Modul của số phức: 2 2 z a bi a b= + = + . Số phức liên hợp của z = a + bi là z a bi a bi= + = − 2. Cộng, trừ và nhân số phức Cộng: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i Trừ: (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i. Nhân: (a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i. 3. Chia số phức 2 2 a bi (a bi)(c di) c di c d + + − = + + 4. Phương trình bậc hai với hệ số thực Căn bậc hai của số thực a < 0 là i a± . Xét phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 và biệt thức Δ = b² – 4ac Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép b x 2a = − Nếu Δ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm thực 1,2 bΔ x 2a − ± = Nếu Δ < 0 thì phương trình có 2 nghiệm phức 1,2 b iΔ x 2a − ± = CÁC DẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH Dạng 1: Tính biểu thức số phức, tìm số phức, tính modun. Dạng 2: Giải phương trình bậc nhất với hệ số phức Dạng 3: Giải phương trình bậc hai với hệ số thực Dạng 4: Tìm số phức biết tổng và tích Dạng 5: Tìm tập hợp điểm thỏa điều kiện cho trước. Bài 1: Tính a. (4 – i) + (2 + 3i) – (5 + i) b. (1 + i)² – (1 – i)² c. (2 + i)³ – (3 – i)³ d. (2 – 3i) (6 + 4i) Tài liệu ôn thi tốt ngiệp THPT môn Toán năm học 2013–2014 10 [...]... hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (P) Bài 8 (TN 2014) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; –1; 0) và mặt phẳng (P): 2x – 2y + z – 1 = 0 a Viết phương trình tham số đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P) b Tìm điểm M thuộc (P) sao cho AM vuông góc với OA và độ dài đoạn AM bằng ba lần khoảng cách từ A đến (P) Tài liệu ôn thi tốt ngiệp THPT môn Toán năm học 2013 2014 21 ... thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P) Bài 5 (TN 2011) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 1; 4) và đường thẳng d có x = 1 + t phương trình tham số là y = 2 − 3t z = −2 + 2t Tài liệu ôn thi tốt ngiệp THPT môn Toán năm học 2013 2014 20 1 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d 2 Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường... Khối chóp đều: h là đoạn thẳng nối đỉnh với tâm mặt đáy Tài liệu ôn thi tốt ngiệp THPT môn Toán năm học 2013 2014 11 Hình chóp đều là hình hóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau, hình chiếu của đỉnh lên mặt đáy trùng với tâm mặt đáy CÁC DẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH: 1 Tính thể tích khối đa diện: + Dùng công thức trực tiếp + Dùng công thức tỉ số thể tích của khối chóp tam giác 2 Xác định góc giữa... tiếp hình chóp S.ABC b) Tính diện tích mặt cầu, thể tích của khối cầu đó Bài 7: Cho tứ diện ABCD có DA = 5a và DA vuông góc với mặt phẳng (ABC), ΔABC vuông tại B và AB = 3a, BC = 4a a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp ABCD Tài liệu ôn thi tốt ngiệp THPT môn Toán năm học 2013 2014 15 b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu nêu trên Bài 8: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất... tròn + Thi t diện của hình cầu S(I; r) tạo bởi mặt phẳng (P) là hình tròn (C) có tâm H là hình chiếu vuông góc của I lên (P) và có bán kính là r ' = r 2 − h 2 (với h = IH) 3 Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp Xác định một điểm I thỏa điều kiện cách đều các đỉnh của hình chóp thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp cần tìm Tài liệu ôn thi tốt ngiệp THPT môn Toán năm học 2013 2014 13... nón có đỉnh S, đáy là hình tròn (O) theo a BÀI TẬP KHỐI TRỤ Bài 1: Một hình trụ có bán kính đáy bằng R và thi t diện qua trục là một hình vuông a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ b) Tính thể tích của khối trụ Tài liệu ôn thi tốt ngiệp THPT môn Toán năm học 2013 2014 14 Bài 2: Cho một hình trụ có hai đáy là hai đường tròn tâm O và O’, bán kính R, chiều cao hình trụ là... vuông tại A và D với AD = CD = a, AB = 3a Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và cạnh bên SC tạo với đáy một góc 45° Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Bài 12: (TN 2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy Đường thẳng SD tạo với mặt phẳng (SAB) một góc 30° Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a BÀI TẬP KHỐI LĂNG TRỤ Tài liệu ôn thi tốt ngiệp THPT. .. yo) + C(z – zo) = 0 Tài liệu ôn thi tốt ngiệp THPT môn Toán năm học 2013 2014 17 Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: Mặt phẳng đi qua các điểm M(a; 0; 0), N(0; b; 0) và P(0; 0; c) có phương trình dạng: x y z + + = 1 với abc ≠ 0 a b c Khoảng cách từ điểm Mo(xo, yo, zo) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 d(Mo; α) = Ax o + Byo + Cz o + D A 2 + B2 + C 2 Bài 1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,... uuuuu u r u, u ' MM ' = 0 r ur uuuuu u r d và d’ chéo nhau u, u ' MM ' ≠ 0 r 4 Khoảng cách từ M1 đến đường thẳng (Δ) đi qua Mo và có vector chỉ phương u Tài liệu ôn thi tốt ngiệp THPT môn Toán năm học 2013 2014 18 uuuuuur r M o M1 , u d(M1,Δ) = r u 5 Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau r r (Δ1) đi qua M1 và có vector chỉ phương u ; (∆2) đi qua M2 và có vector chỉ phương v ... C ) 3 3 3 rr r 2 2 2 a = a1 + a 2 + a 3 d) a.b = a1b1 + a 2 b 2 + a 3b3 ; r r rr a ⊥ b ⇔ a.b = 0 ⇔ a1b1 + a 2 b 2 + a 3b3 = 0 + Tọa độ M là trung điểm đoạn thẳng AB: M( Tài liệu ôn thi tốt ngiệp THPT môn Toán năm học 2013 2014 16 rr rr a.b cos(a; b) = r r a.b rr a a a a a a 2 3 2 , 3 1, 1 e) a; b = ÷ b 2 b3 b3 b1 b1 b 2 r r 1 uuu uuu AB, AC 2 rr r 3 Điều kiện đồng phẳng [a, b].c . diện tích thi t diện của khối tròn xoay tạo bởi một mặt phẳng: + Thi t diện của hình nón tạo bởi mặt phẳng chứa trục là tam giác cân. + Thi t diện của hình trụ tạo bởi mặt phẳng song song hoặc. đi qua M(2; 3; –1) và song song với mp(P): x – 5y + z = 0 Bài 4. Trong không gian Oxyz, cho A (0; 1; 1), B(1; −2; 0), C(1; 0; 2). Viết phương trình mp (ABC). Bài 5. Trong không gian Oxyz, cho. góc với mp (α). Bài 6: Trong không gian Oxyz, cho A(2; 3; 0). Viết phương trình mặt phẳng (α) qua A, song song Oy và vuông góc với mp (P): 3x – y + 4z + 6 = 0 Bài 7. Trong không gian Oxyz, cho