Tài liệu ôn thi môn toán vào lớp 10 THPT

TÀI LIỆU ÔN THI VÀO CÁC LỚP CHUYÊN MÔN TOÁN Chuyên đề 1: ĐA THỨC I Đa thức : (Đa thức biến) Đònh nghóa: Đa thức bậc n theo x (n∈ ∞ ) biểu thức có dạng P(x) = anxn + an−1xn−1 + + a1x + a     với an ≠ Các số a0 ,a1, ,an gọi hệ số , n gọi bậc đa thức P(x) Ví dụ: P(x) = 2x3 − 9x2 + 12x − đa thức bậc ba Đa thức đồng nhất: a) Đa thức đồng nhất: Đònh nghóa : Đa thức đồng đa thức luôn có giá trò với giá tr ò biến số • Nếu P(x) Q(x) hai đa thức đồng ta ký hiệu : P(x) ≡ Q(x) P(x) ≡ Q(x) ⇔ ∀x ∈ ϒ : P(x) = Q(x) b) Đa thức đồng không: Đònh nghóa : Đa thức đồng không đa thức luôn với giá trò biến số • Nếu P(x) đa thức đồng không ta ký hiệu : P(x) ≡ [P(x) ≡ 0] ⇔ [∀x ∈ ϒ : P(x) = 0]  Hệ quả: P(x) = anxn + an−1xn−1 + + a1x + a0 ≡ ⇔   a0 = Ví dụ: Tìm hệ số a, b để đa thức P(x) = x4 + 2x3 + ax2 + 2x + b bình phương đa th ức an = an−1 =    Ví dụ: Tìm số A, B, C cho 3x2 + 3x + = A ( x + 2) + B( x −1) ( x + 2) + C ( x −1) với x Bài giải: x4 + 2x3 + ax2 + 2x + b = (x2 + mx + n) Giả sử ⇒ x + 2x + ax + 2x + b = x + m x + n + 2mx + 2nx + 2mnx  m2 + 2n − a =  2 với x với x ⇒ (2m − 2) x3 + (m2 + 2n − a) x2 + (2mn − 2) x + n2 − b = n2 − b = với x Áp dụng định lý đa thức đồng khơng ta được:  Vậy2m a − = 3; =b 0= x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + = (x2 + x + 1) Giải hệ ta được:   b =  2mn − =      m = n = a=3   Nghiệm đa thức: • Nếu x = a đa thức P(x) có giá trò ta nói a nghiệm P(x) đn a nghiệm P(x) ⇔ P(a) = Từ (2) (3) ta suy a = 3; b = − Ví dụ: Cho phương trình 2x4 − 5x3 + 6x2 − 5x + = (1) Chứng minh x = nghiệm phương trình (1) Phép chia đa thức: Đònh lý: Cho hai đa thức P(x) Q(x) khác không Tồn đa thức h(x) r(x) cho P(x) = Q(x).h(x) + r(x) Trong r(x) = r(x) ≠ bậc r(x) nhỏ bậc Q(x) Đa thức Q(x) gọi thương đa thức r(x) gọi dư phép chia P(x) cho Q(x) Ví du 1ï: Tìm thương dư phép chia đa thức P(x) = 2x3 − 9x2 + 12x − cho đa thức x −1 Ví dụ 2: Cho đa thức P(x) = x4 − 3x3 + bx2 + ax + b Q(x) = x2 − Tìm a, b để f(x) chia hết cho g(x) Bài giải: Vì P(x)Q(x) nên ta giả sử P(x) = ( ).Q(x) (1) với x Thay x = vào hai vế (1) ta được: P(1) = − + b + a + b = ⇒ a + 2b = (2) Thay x = −1 vào hai vế (1) ta được: P(−1) = + + b − a + b = ⇒ −a + 2b = −4 (3) x2 − Đònh lý BEZOUT (Bơ -Du) (1739 - 1783) Đònh lý BEZOUT: Đònh lý: Trong phép chia P(x) cho (x - a) số dư R = P(a) Chứng minh: Hệ quả:     Chia đa thức P(x) cho (x - a), giả sử thương Q(x) dư số R Ta có:   P(x) = (x − a).Q(x) + R với x   Do với x = a P(a) = 0.Q(a) + R ⇒ R = P(a) (đpcm)  P(x) chia hết cho (x − a) ⇔ P(a) = Hệ quả: Đa thức P(x) có nghiệm a P(x)Μ (x-a) an an−2 a1 a0 n−1 − a).Q(x), P(a) =  ⇔ P(x) = a(x Q(x) mộ t đa thức a bn bn−1 bn−2 b1 b0 Ví dụ: Cho P(x) = x + x3 + x9 + x27 + x81 + x243 Tìm dư phép chia P(x) cho x −1 Sơ đồ HOOCNE Horner 1786 - 1837) Để tính hệ số đa thức thương dư phép chia đa thức P(x) = anxn + an−1xn−1 + Trong đó: + a1x + a0 cho (x - a) ta dùng sơ đồ HOOCNE sau Khi đó: bn = an bn−1 = a.bn + an−1 bn−2 = a.bn−2 + an−2 b0 = a.b1 + a0 • P(x) = (x − a).Q(x) + r • Thương : Q(x) = bnxn−1 + bn−1xn−2 + + b1 • Dư : r = b0 Ví dụ 1: Tìm thương dư phép chia đa thức P(x) = 2x3 − 9x2 + 12x − cho đa thức x −1 Ví dụ 2: Tìm thương dư phép chia đa thức P(x) = 2x4 − 3x2 + 4x − cho đa thức x + Phân tích đa thức thừa số Định lý: Giả sử đa thức P(x) = anxn + an−1xn−1 + + a1x + a0(an ≠ 0) có n nghiệm x1, x2, , xn P(x) = an (x − x1)(x − x2 ) (x − xn ) Ví dụ: Phân tích đa thức P(x) = x3 + 9x2 + 11x − 21 thành nhân tử Ví dụ: Rút gọn phân thức A= x3 − 4x2 − x + x3 − 7x2 +14x − Hết Chuyên đề 2: BIẾN ĐỔI CÁC BIỂU THỨC NGUYÊN VÀ PHÂN THỨC I MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ: Các đẳ(a ng+thứ mở2 +rộ g a:3 + b3 b)3 c= a3 +bả 3anbvà + 3ab b3n→ = (a + b)3 − 3ab(a + b) (a − b)3 = a3 − 3a b + 3ab2 − b3 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 a2 − b2 = (a + b)(a − b) 9) (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3a b + 3ab2 + 3a c + 3ac2 + 3b c + 3bc2 + 6abc a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 ) 11) an − bn = (a − b)(an−1 + a b + + bn−1) a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 ) (a + b1)+ A c)=24x=−a22++4xb2+2+−c2 + 2ab + 2ac + 2bc2 4x − ( x − 3) (2x − 3) − x2 x2 − 9 (x2 −1 ) (2x + 3) − x 4x2 − ( x + 3) 2 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a) 10) a3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 (a + b + c) (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2  − ab − ac − bc = Hệ quả: Nếu a + b + c = a3 + b3 + c3 = 3abc n−2 Ví dụ 1: Rút gọn phân thức sau 2x +1 1− 2x 2 1− 4x2 2) B = − + 2 Ví dụ 2: 1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = 2x2 − 6x +1 2) Tìm giá trị lớn biểu thức: B = −x2 − y2 + xy + 2x + 2y Phương pháp: Để tìm GTLN biểu thức A (phụ thuộc vào hay nhiều biến) ta thực sau: Bước 1: Chứng minh : A ≤ số M Bước 2: Chỉ biến để A = M Bước 3: Kết luận GTLN A M Để tìm GTNN biểu thức A (phụ thuộc vào hay nhiều biến) ta thực sau: Bước 1: Chứng minh : A ≥ số m Bước 2: Chỉ biến để A = m Bước 3: Kết luận GTNN A m Ví dụ 3: Chứng minh a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca a = b = c II BÀI TẬP RÈN LUYỆN: 2 4x 3x x 1 +− − − x 1=  :+  3x −  x + 2x 3x + + Bài 1: Cho M 1) Rút gọn M thành phân thức 2) Với giá trị x M < 3) Tìm x ∈  để M ∈ Bài giải:    x≠0  x ≠ 1) Điều kiện biến là: x + ≠ ⇔ x ≠ −1   4x 1 − ≠ x ≠    Khi đó: M = = 2x 2 4x 3x x 1 +− − − 3x + x 1=  :+  3x + −  x + ( )( ) ( ) 2x x 6x 9x x 4x − 3x x 1+ + + : − − −3x + (x + 1) x+1 3x 22 8x 4x 3x x 1−− − − :+ 3x (x + 1) x + ( = = )( ) 22 2x 2x x 3x x 1+ − − + − + 3x (x + 1) 2(1 − 2x) 3x 21 2x 3x x 1+ − + − 3x = 3x x 3x 1x x− − = 3x 2) Ta có: M < ⇔ x − < ⇔ x < x <   x 0≠ Kết hợp với điều kiện biến ta có kết quả: x 1 ≠ −  3) Ta có: Để M x 1=  1x  ≠ − M ∈  x ∈  ta phải có: x − = x =    x 0x 1   =− x 1− ước ⇔  = − ⇔  x − = x =    x 2x 3   = −− =− Đối chiếu với điều kiện x ta có đáp số là: x = −2; x = 2; x = − Ví dụ : Giải phương trình : 2x − +5 − 2x = 3x2 −12x +14 x2 + 4x + = 2x + Phương pháp 5: Biến đổi phương trình dạng tích số Ví dụ : Giải phương trình : ( x + − x + 2)(1+x2 + 7x +10) = Phương pháp 6: Biến đổi phương trình phương trình có chứa giá trò tuyệt đối Ví dụ : Giải phương trình : x + + x −1 + x + + 2x − + x + − x −1 = x − − 2x − = 2 II BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Bài 1: Cho phương trình : x + x −1 − m2 + 6m −11 = a Giải phương trình m=2 b Chứng minh phương trình có nghiệm với m Bài 2: Cho phương trình : x − x +1 = m (1) m tham số a Giải phương trình (1) m=1 b Tìm tất giá trò m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt Chuyên đề 9: HÌNH HỌC PHẲNG A Kiến thức bổ sung quan trọng : 1.Đònh lý Ménélaus:  A', B',C' thẳng hàng  ⇔  ' B 'C  AB C A = 1  AC B A C B  Cho ba điểm A’,B’,C’ nằm ba đường thẳng chứa ba cạnh BC,CA,AB tam giác A BC cho chúng điểm nào, có hai điểm thuộc cạnh tam giác ABC Khi đó: '  '   AA', BB',CC' đồng quy điểm I '  ' ' 'C  ⇔  A B B C A = 1  AC B A C B  A C' B' B A' C Đònh lý Céva: Cho ba điểm A’,B’,C’lần lượt thuộc ba cạnh BC, CA, AB Khi '   A ' ' ' C' B' I B A' C Tỉ số diện tích : Cho hai điểm M, N nằm hai đường thẳng chứa hai cạnh AB AC tam giác ABC ta có hệ thức : = A A M B O N B C D Đẳng thức Ptolémée: ) AM AN Cho tứ giác ABCD nộidt(∆AMN tiếp đườ ng trò n (O) ta có hệ thức: dt(∆ABC) AB AC AC.BD=AB.CD+AD.BC Bất đẳng thức Ptolémée: Cho tứ giác ABCD ta có : AC.BD ≤ AB.CD + AD.BC Đẳng thức xảy ABCD nội tiếp đường tròn C Tứ giác nội tiếp: Cho tứ giá ABCD có hai đường chéo cắt N , hai đường thẳng AB,CD cắt M Khi đo •c = ADB ù ii ACB • + ADC = 1800 iii ABC điều sau tương đương : i Tứ giác ABCD nội tiếp A B • ii ACB = BAS iii SA = SB.SC • O iv MA.MB=MC.MD N C B Các bà toán luyện tập: v iNA.NC=NB.ND Điều kiện tiếa)p xúcKA : ' AA M D + KB BB ' + KC' CC' =1 Cho tam giác ABC điểm S thuộc tia đối tia BC Khi mệnh đề sau tương đương b) BB CC+ += AA i SA tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC • • A S O B C Bài 1: Chứng minh tam giác ABC, có ba đường thẳng AA’,BB’,CC’ cắt điểm K nằm tam giác ( A' ∈ BC, B' ∈ AC,C' ∈ AB ) ' ' AK BK CK ' c) ' ' ' ' Bài 2: Trên trung tuyến AD tam giác ABC, cho điểm K cho AK=3KD;BK cắt AC P Tính tỉ số diện tích hai tam giác ABP , BCP AK CL giác ABC biết diện tích tam giác BQC (đơn vò diện tích ) Bài 4: Cho tam giác ABC Trên cạnh AB BC lấy hai điểm M N cho AB=5AM, BC=3BN Gọi O giao điểm AN CM Tính tỉ số diện tích tam giác AOC diện tích tam giác ABC ABCAB GọiAC F' giao điểm hai đường phân giác AD CF (D thuộc BC Bài 5: Cho tam giác AK KA , BC + C B= ' ' E thuộ c AB) Tínhmộtỷt điể sốmdiệ n tích giác ADF diện tích tam giác ABC theo ba cạnh Bài 3: Cho tam giác ABC, K trê n ABtam cho KB = , điểm L trên BC BC=a,AC=b,AB=c cho LB = Gọi Q giao điểm đường thẳng AL CK Tìm diện tích tam Bài 6: Cho tam giác ABC AM,BN,CP đường phân giác Tính tỷ số diện tích tam giác MNP điện tích tam giác ABC theo cạnh BC=a,AC=b,AB=c Bài 7: Cho đường tròn O dây AB đường tròn Các tiếp tuyến vẽ từ A B đường trò cắt C Kẻ dây CD đường tròn có đường kính OC (D khác A B ) ≈ DED2) =Chứ DA.DB CD cắt cung AB củ• a đường•tròn (O) E ( E nằm giữab.C ng minh : a BED = DAE Bài 8: Giả sử H trực tâm tam giác nhọn ABC Trên đoạn HB HC lấy hai điểm M,N cho AMC = ANB = 900 Chứng minh AN=AM • • Bài 9: Cho tam giác ABC có A∝ = 450 Gọi M N chân đường cao kẻ từ B C Tính tỷ số MN tam giác ABC BC Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh OA ⊥ MN Bài 10: Cho đường tròn (O) đường kính AB=2R ( R độ dài cho trước) M, N hai điểm nửa đường tròn (O) cho M thuộc cung AN tổng khoảng cách từ AB đến đường thẳng MN R Tính độ dài đoạn MN theo R Gọi giao điểm hai dây AN BM I, giao điểm đường thẳng AM BN K S1 ng điểm M,N,I,K nằm đường tròn , Tính bán kính đư Chứng minhSrằ ờng tròn theo R Tìm giá trò lớn diện tích tam giác KAB theo R M,N thay đổi vẩn thỏa mãn giả thiết toán Bài 11: Cho hình vuông ABCD , M điểm thay đổi cạnh BC ( M không trùng với B ) N l điểm thay đổi cạnh CD (N không trùng với D) cho: góc MAN= góc MAB + góc NAD BD cắt AN AM tương ứng P Q Chứng minh điểm P, Q, M, C, N nằm đường tròn Chứng minh đường thẳng MN luôn tiếp xúc với đường tròn cố đònh M N thay đổi Ký hiệu diện tích tam giác APQ S1 diện tích tứ giác PQMN S2 Chứng minh tỉ số không thay đổi M N thay đổi Bài 12: Cho tam giác ABC có đường cao BD Giả sử (C) đường tròn có tâm O nằm đoạn AC tiếp xúc với BA, BC M N Chứng minh điểm B, M, D, N nằm đường tròn Chứng minh góc ADM = góc CDN Bài 13: Cho tứ giác lồi ABCD , có hai đường chéo AC, BD vuông góc với Giả sử AB = 3; BC = 6; CD = Trên mặt phẳng với bờ đường thẳng AC không chứa điểm B , dựng hình vuông ACMN Trên mặt phẳng với bờ đường thẳng MD không chứa điểm N , dựng tia Mx vuông góc với MD lấy điểm E thuộc tia Mx cho ME =MD Chứng minh điểm C, D, M, N thuộc đường tròn Tính góc tứ giác ABCD Chuyên đề 10: LÝ THUYẾT SỐ I Phép chia hết: Đònh lý phép chia: Cho a,b ∈ ′ b ≠ , có hai số nguyên q, r sau cho a=bq+r với ≤ r < b ∀a, b ∈ ′(b ≠ 0),∃q,r ∈ ′,0 ≤ r < b : a = bq + r Nhận xét : • Cho a,b ∈ ′ b ≠ Khi chia a cho b xảy b số dư :0,1,2, , b −1 • Khi chia n+1 số nguyên cho n ( n ≥ ) có hai số số dư • Tích n số nguyên liên tiếp chia hết cho n Phép chia hết: a.Đònh nghóa: Cho a,b ∈ ′ b ≠ Ta nói a chia hết cho b, ký hiệu aΜb , tồn số nguyên q cho a=bq đn aΜb ⇔ ∃q ∈ ′ cho a=bq • Khi a chia hết cho b ta nói b ước a ký hiệu b a • Số nguyên dương a>1 có hai ước dương gọi số nguyên tố Tập hợp số nguyên tố ký hiệu ℘ Các số tự nhiên lớn số nguyê n tố gọi hợp số • UCLN hai số nguyên dương a b số nguyên dương lớn chia hết cho a b ký hiệu: UCLN(a,b) hay (a,b).BCNN hai số nguyên dương a b số nguyên d ương nhỏ chia hết cho a b, ký hiệu: BCNN(a,b) hay [a,b] • Hai số nguyên a b gọi nguyên tố , ký hiệu (a,b)=1 , ước chu ng lớn b Tính chất: Cho a, b,c, m ∈ ′ ; c, m ≥ Khi : a) aΜb, bΜc ⇒ aΜc b) aΜm, bΜm ⇒ a ± bΜm c) abΜc,(b,c) = ⇒ aΜc d) aΜb, aΜc,(b,c) = ⇒ aΜbc e) Cho p ∈℘ Khi : abΜ p ⇒ aΜ p bΜ p Nhận xét: • Trong n số nguyên liên tiếp ( n ≥ ) có số chia hết cho n • Tích n số nguyên liên tiếp ( n ≥ ) chia hết cho n n−2 • n−2 Với n ∈ ∞ ta có : an − bn = (a − b)(an−1 + a b + + abn−2 + bn−1) Với nra: lẻ Suy ta có : an + bn = (a + b)(an−1 − a b + − abn−2 + bn−1) * a, b ∈ ′ a ≠ b an − bn Μ(a − b) (n ∈ ∞) * a, b ∈ ′, n lẻ a ≠ −b an + bn Μ(a + b) * a, b ∈ ′, n chẵn a ≠ −b an − bn Μ(a + b) n =c kp+r vớlà i r0,1,2, ,p-1 = 0, ±1, , ± Đặc biệt p lẻ ta viết: • Chia n cho p ta cá số dư p −1 Ví dụ 1: Chứng minh : Tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho Tích ba số nguyên liên tiếp chia hết cho Tổng lập phương ba số nguyên liên tiếp chia hết cho Ví dụ 2: Chứng minh với số nguyên m,n: n3 + 11nΜ6 mn(m2 − n2 )Μ3 n(n +1)(2n +1)Μ6 Ví dụ 3: Với n chẵn, chứng minh : 20n + 16n − 3n −1Μ323 Ví dụ 4: Chứng minh với n số tự nhiên : 11n+2 + 122n+1Μ133 5n+2 + 26.5n + 82n+1Μ59 7.52n +12.6n Μ19 II Đồng dư : Đònh nghóa: Cho a, b số nguyên n số nguyên dương Ta nói a đồng dư với b t heo theo môđun n a b có số dư chia cho n , ký hiệu: a ≡ b(mod n) a ≡ b(mod n) ⇔ a-bΜn Nhận xét: • Trong trường hợp b < n thì: a ≡ b(mod n) có nghóa chia a cho m có dư b Đặc biệt : a ≡ 0(mod n) có nghóa a chia hết cho n Tính chất: Cho a, b,c ∈ ′, n ∈ ∞ Khi : • Nếu a ≡ b (mod n) b ≡ c (mod n) a ≡ c (mod n) • Nếu a ≡ b (mod n) a+c ≡ b+c (mod n) • Nếu a ≡ b (mod n) ac ≡ bc (mod n) • • n n Đònh lý FETMAT: Nếu p số nguyên tố np ≡ n (mod p) ( np − n chia hết cho p) với số nguyên n Đặc biệt: Cho p ∈℘,(a,p)=1 Khi : Nếu a ≡ b (mod n) an ≡ b (mod n) (a+b)n ≡ b (mod a), a>0 ap-1 ≡ (mod p) Ví dụ 1: Chứng minh : 22002 − 4Μ31 22225555 + 55552222 Μ7 Ví dụ 2: Tìm dư phép chia 32003 chia cho 13 Tìm dư phép chia 20042004 chia cho 11 III Số nguyên tố & hợp số số phương & số không phương : Số nguyên tố & hợp số: a Đònh nghóa: * Số tự nhiên a (a ≥ 2) gọi số nguyên tố a có ước số dương a * Hợp số số tự nhiên lớn có nhiều hai ước số b Đònh lý số học: Mọi số lớn phân tích thừa số nguyên tố cách ( không kể t tự thừiasốsố n a > phân tích dạng : Mọ tự)nhiê p nn ka p p= , Đònh lýk: p 1,p2, ,p n1 số nguyên tố phân biệt , n1,n2, ,nk số tự nhiên, k ∈ ∞* Dạng phân tích gọi dạng phân tích tiêu chuẩn số tự nhiên a Số phương & số không phương : a Đònh nghóa số phương : * Số nguyê sốphương phương nó∈là a lànsốachính a = b nế (bu)⇔ ′ bình phương số nguyên , tức a=b2 , b số nguyên a p ( p nguyên tố ) a không phươnga p b Số khôn⇒Μ g chínhΜphương : 2 b2 < a < (b + 1)2 với b ∈ ′ ⇒ a không phương a có chữ số tận ( hoặc ) a có chữ số hàng đơn vò mà chữ số hàng chục chẵn a có chữ số hàng đơn vò khác mà chữ số hàng chục lẻ a có chử số hàng đơn vò mà chữ số hàng chục khác a có chữ số tận hai chữ số lẻ… a không phương a có dạng sau 3k+2; 4k+2; 4k+3; 5k+2; 5k+3; 6k+2; 6k+5; 7k+3;… a k hông phương k Chuyên đề 11: PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN Các phương pháp giải thường sử dụng : I Phương pháp 1: Phương pháp đánh giá miền giá trò biến Bài 1: Tìm tất cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn : y(x −1) = x2 + Bài 2: Tìm x; y ∈ ′ thỏa mãn : 2x2 − 2xy = 5x − y −19 Bài 3: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : xy2 + 2xy − 243y + x = 2+ y2 c=nghiệ x y2 m nguyên (x;y) phương trình : (x2 + y)(x + y2 ) = (x − y)3 t xy cả+cá Bài 4: Tìm xtấ Bài 5: Tìm tất nghiệm nguyên (x;y) phương trình : 7(x + y) = 3(x2 − xy + y2 ) Bài 6: Tìm tất nghiệm nguyên (x;y) phương trình : 12x2 + 6xy + 3y2 = 28(x + y) Bài 7: Tìm số nguyên x,y thỏa mãn đẳng thức 2y2 x + x + y + = x2 + 2y2 + xy Bài 8: Tìm số nguyên x,y thỏa mãn đẳng thức II Phương pháp 2: Phương pháp đưa phương trình tích Bài 1: Tìm x; y nguyên thỏa mãn phương trình sau: x2 + 2y2 + 3xy + 3x + 5y = 15 2x2 + 6y2 + 7xy − x − y = 25 9x2 −10y2 − 9xy + 3x − 5y = Chuyên đề 12: Giải toán cách lập phương trình hệ phương trình Bài 1: Lấy số tự nhiên có hai chữ số chia cho số viết hai chữ số có thứ tự ngược lại đư Bài 2: Bài 3: ợc thương dư 15 Nếu lấy số trừ số tổng bình phương mỗ i chữ số Tìm số tự nhiên số ban đầu Tính số ban đầu Bài 4:Tìm số có hai chữ số , biết chữ số gấp lần chữ số hàng đơn vò đe m số Bài 5:cần tìm chia cho tổng chữ số thương số dư Cho số gồm hai chữ số Tìm số , biết tổng chữ số nhỏ số lần v Bài : Bài 7: thêm 45 vào tích chữ số số viết theo thứ tự ngược lại với số cho Tổng chữ số số có hai chữ số Nếu thêm vào 18 số thu v iết chữ số theo thứ tự ngược lại Hãy tìm số Bài : Chữ số hàng chục số có hai chữ số chữ số hàng đơn vò Nếu đổi chổ hai chữ số cho số Cho số gồm hai chữ số Tìm Một số nguyên dương có hai chữ số Biết tổng hai chữ số số nguyên dương nầy số , biết tổng hai chữ số c tích hai chữ số cộng với Nếu lấy tổng hai chữ số nhân với kết nhỏ số với lần số nguyên dương cho Tìm số nguyên dương có tính chất thêm 25 vào tích hai chữ số đo ù số viết theo thứ tự n gược lại với số đ ã cho Tìm số tự nhiên có hai chữ số , bi ết đem số chia cho tổ ng chữ số củ a thương dư , đem số chia cho tíc h chữ số thươn g dư Chúc em thành công - [...]... 3 1x x2 + x 3 + Thay x vào A sẽ được A = 32009 ( 5 + 2) 17 5 − 38 Bài 10: Cho x = 1 2 1 Tính giá trò của biểu thức : A = (x4 − x3 − x2 + 2x −1)2007 2 −− 1 2 + 1 Hướng dẫn: + Rút gọn x + Thay x vào A Bài 11: Tính giá trò của biểu thức : P = (x4 − 4x2 + 3)2007 ⇔ x3 = 18 + 3.x với giá trò x = ( 3 109 −+94 6 + 19 − 6 5 9−4 5 ( 10 + 3) 10 Hướng dẫn: + Rút gọn x + Thay x vào A Bài 12: Cho số x = 3 9 + 4 5+39−4... x72 = (x14 + x24 )(x13 + x32 ) − x13x32 (x1 + x2 ) = S4S3 − P3S1 S8 = x18 + x82 = (x14 + x24 )2 − 2x14x24 = S24 − 2P 4 S9 = x19 + x92 = (x15 + x52 )(x14 + x24 ) − x14x24 (x1 + x2 ) = S5S4 − P 4S1 S10 = x101 + x102 = (x15 + x52 )2 − 2x15x52 = S25 − 2P5 Ví dụ 1: Tính tương tự cho: S11, S12, Cho x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: x2 − x − 1 = 0 1 Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 2x1 - x2... X2 − S.X + P = 0  Ý nghóa của đònh lý VIÉT: n n Cho phép tính giá trò các biểu thức đối xứng của các nghiệm và xét dấu các nghiệm mà kh ông cần giải phương trình Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1và x2 của phương trình ax2 + bx + c = 0 là biểu thức có giá trò không thay đổi khi ta hoán vò x1 , x2 Ta có thể biểu thò được các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1, x2 theo S và P VÍ DỤ: Ký hiệu Sn... + 6 − 3 3 − 3 3(4 − 3) 3 − 2 3( 2− 3 2− 3 ) Bài 18: (n + 1) 1) Chứng minh rằng : S= 2) Tính tổng: + 1 2+ n +n n+1 1 + 1 2 3 2+2 3 n n + 1= − 1 1 + + 1 4 3+3 4 -Hết - 1 100 99 + 99 100 Chuyên đề 4: PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Nhắc lại: 1) Một số phép biến đổi tương đương phương trình thường sử dụng a) Chuyển vế một biểu thức từ vế này sang vế kia (nhớ đổi dấu của biểu thức) b) Nhân... ∆> 0  Pt (1) có nghiệm ( hoặc có hai nghiệ ⇔ ∆≥ 0 m)  Nếu pt (1) có các hệ số thoả mãn a+b+c = 0 thì pt (1) có hai nghiệm là x1 = 1 và x2 = Đặc biệt : Nếu pt(1) có hệ số a,c thoả a.c < 0 thì pt(1) luôn có hai nghiệm phân biệt 4 Đònh lý VIÉT đối với phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) có hai nghiệm x  Đònh lý thuận: Nếu phương trình bậc hai : 1, x2 thì b   +x S = x1 2 = − a 12 P... trò của các biểu thức: Q= 2 a) A = x1 + x2 b) B = x1 + x2 c) C = x1 + x2 d) D = x1 + x52 ; e) E = x1 + x62 f) F = x1 + x2 Ví dụ 2: Cho phương trình: x a) A = x1 + x2 + 5x + 2 = 0 b) B = x1 + x2 6x12 + 10x1x2 + 6x22 5x1x32 + 5x13x2 Ví dụ 4: Cho x1, x2 là hai nghiệm của phương trình : ax + bx + c = 0 ( a ≠ 0) + 4 theo a, b, c a) Tính giá trò của biểu thức : 14 1 1 1 7 x1 x2 A= 2 b) Chứng minh rằng : +... thức f(x) = 2x2 + 5x − 12 Ví dụ: Tìm giá trị giá trị lớn nhất của phâ n thức 2 x2 − x + 1 Ví dụ: Cho phương trình: x2 − 2(m − 1) x + 2m − 4 = 0 1) Chứng minh pt (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi m 2 c Công thức phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử: Nếu tam thức bậc hai f(x)= ax2 + bx + c ( a ≠ 0 ) có hai nghiệm là x1,x2 thì tam thức được phân tích thành : f(x) = a(x-x1)(x-x2) Ví dụ: Phân tích thành ... Tính giá trò biểu thức : P = (x4 − 4x2 + 3)2007 ⇔ x3 = 18 + 3.x với giá trò x = ( 109 −+94 + 19 − 9−4 ( 10 + 3) 10 Hướng dẫn: + Rút gọn x + Thay x vào A Bài 12: Cho số x = + 5+39−4 1) Chứng tỏ... = S24 − 2P S9 = x19 + x92 = (x15 + x52 )(x14 + x24 ) − x14x24 (x1 + x2 ) = S5S4 − P 4S1 S10 = x101 + x102 = (x15 + x52 )2 − 2x15x52 = S25 − 2P5 Ví dụ 1: Tính tương tự cho: S11, S12, Cho x1,... đẳng thức Cauchy: Cho hai số không âm a; b ta có : Dấu "=" xảy a=b Cho ba số không âm a; b; c ta có : Dấu "=" xảy a=b=c Tổna + b g át a+b+c ≥ ≥ abc ab Cho n số không âm a1,a2, an ta có : Dấu "="