Tài liệu tự học toán 9 nguyễn chín em (tập 2)

TOÁN TỰ HỌC TOÁN HỌC KỲ II Th.s NGUYỄN CHÍN EM Tự học Tốn Học kỳ 2, năm học 2019-2020 MỤC LỤC PHẦN I Đại số CHƯƠNG Hệ hai phương trình bậc hai ẩn 3 Phương trình bậc hai ẩn số A Tóm tắt lý thuyết B Phương pháp giải toán C Bài tập luyện tập Hệ hai phương trình bậc hai ẩn 14 A Tóm tắt lí thuyết 14 B Các dạng toán 14 Giải hệ phương trình phương pháp 25 A Tóm tắt lí thuyết 25 B Phương pháp giải toán 25 Dạng Giải hệ phương trình 25 Dạng Sử dụng hệ phương trình giải tốn 34 Giải hệ phương trình phương pháp cộng 47 A Tóm tắt lí thuyết 47 B Các dạng toán 48 Dạng Giải hệ phương trình 48 Dạng Sử dụng hệ phương trình giải tốn 53 C Bài tập luyện tập 56 Giải tốn cách lập hệ phương trình 60 A Tóm tắt lí thuyết 60 B Các dạng toán 60 Dạng Bài toán chuyển động 60 Dạng Bài tốn vịi nước 65 PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 69 A Phương pháp giải toán 69 Dạng Giải phương trình tích 69 Dạng Sử dụng ẩn phụ chuyển phương trình phương trình bậc hai 70 Dạng Giải phương trình chứa ẩn mẫu 72 Dạng Giải phương trình bậc ba 74 Dạng Giải phương trình trùng phương 78 Dạng Giải phương trình hồi quy phản hồi quy 79 Dạng Phương trình dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m (1), với a + b = c + d 83 Dạng Phương trình dạng (x + a)4 + (x + b)4 = c (1) 84 Dạng Sử dụng phương trình bậc hai giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 85 Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang i/280 ȍ GeoGebraPro Tự học Tốn Học kỳ 2, năm học 2019-2020 Dạng 10 Sử dụng phương trình bậc hai giải phương trình chứa thức 86 B Bài tập 88 GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH 105 A Tóm tắt lí thuyết 105 B Phương pháp giải toán 105 Dạng Bài toán chuyển động 105 Dạng Bài toán số chữ số 108 Dạng Bài tốn vịi nước 111 Dạng Bài tốn có nội dung hình học 112 Dạng Bài toán phần trăm - suất 114 C Bài tập luyện tập 116 PHẦN II Hình học CHƯƠNG Góc với đường trịn 123 125 Góc tâm - Số đo cung 125 A Tóm tắt lí thuyết 125 B Phương pháp giải toán 125 C Bài tập tự luyện 128 Liên hệ cung dây 130 A Tóm tắt lí thuyết 130 B Phương pháp giải toán 131 C Bài tập tự luyện 134 Góc nội tiếp 137 A Tóm tắt lí thuyết 137 B Các dạng toán 138 Dạng Giải toán định lượng 138 Dạng Giải tốn định tính 139 Góc tạo tiếp tuyến dây cung 150 A Tóm tắt lí thuyết 150 B Các dạng toán 150 Dạng Giải tốn định tính 150 Dạng Giải toán định lượng 152 C Bài tập tự luyện 153 Góc có đỉnh bên đường trịn, góc có đỉnh bên ngồi đường trịn 159 A Tóm tắt lý thuyết 159 B Phương pháp giải toán 159 C Bài tập luyện tập 162 Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang ii/280 ȍ GeoGebraPro Tự học Toán Học kỳ 2, năm học 2019-2020 CUNG CHỨA GÓC 168 A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 168 B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 169 Dạng TÌM QUỸ TÍCH CÁC ĐIỂM M TẠO THÀNH VỚI HAI MÚT CỦA ĐOẠN ÷ THẲNG AB CHO TRƯỚC MỘT GÓC AM B CÓ SỐ ĐO KHÔNG ĐỔI BẰNG α (0◦ < α < 180◦ ) 169 Dạng DỰNG CUNG CHỨA GÓC α (0◦ < α < 180◦ ) TRÊN ĐOẠN THẲNG AB = a CHO TRƯỚC 173 Dạng SỬ DỤNG QUỸ TÍCH CUNG CHỨA GÓC CHỨNG MINH NHIỀU ĐIỂM CÙNG NẰM TRÊN MỘT ĐƯỜNG TRÒN 176 Dạng TOÁN TỔNG HỢP 178 C BÀI TẬP TỰ LUYỆN 179 Tứ giác nội tiếp 189 A Tóm tắt lí thuyết 190 B Phương pháp giải toán 191 Dạng Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn 191 Dạng Sử dụng tứ giác nội tiếp giải tốn hình học 193 C 10 11 Bài tập luyện tập 196 Đường tròn ngoại tiếp - Đường tròn nội tiếp 203 A Tóm tắt lí thuyết 203 B Phương pháp giải toán 204 C Bài tập luyện tập 208 Độ dài đường tròn, cung tròn 210 A Tóm tắt lý thuyết 210 B Các ví dụ 210 Diện tích hình trịn, hình quạt tròn 217 A Tóm tắt lí thuyết 217 B Phương pháp giải toán 217 Ôn tập chương III 223 CHƯƠNG Hình cầu, hình trụ, hình nón 247 Hình trụ Diện tích xung quanh thể tích hình trụ 247 A Tóm tắt lí thuyết 247 B Các ví dụ 247 C Luyện tập 250 Hình nón - Hình nón cụt - Diện tích xung quanh thể tích hình nón, hình nón cụt 254 A Tóm tắt lí thuyết 254 B Các ví dụ 255 C Luyện tập 257 Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang iii/280 ȍ GeoGebraPro Tự học Toán Học kỳ 2, năm học 2019-2020 Hình cầu - Diện tích mặt cầu thể tích hình cầu 261 A B Tóm tắt lí thuyết 261 Các ví dụ 261 C Luyện tập 263 Ôn tập chương IV 267 A B Các ví dụ 267 Luyện tập 271 Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang iv/280 ȍ GeoGebraPro Tự học Toán Học kỳ 2, năm học 2019-2020 PHẦN I ĐẠI SỐ Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 1/280 ȍ GeoGebraPro Tự học Tốn Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Học kỳ 2, năm học 2019-2020 Trang 2/280 ȍ GeoGebraPro Tự học Toán Học kỳ 2, năm học 2019-2020 CHƯƠNG HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN BÀI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ A TĨM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa Phương trình bậc hai ẩn phương trình dạng ax + by = c Trong đó: a, b, c số a, b không đồng thời không x, y hai ẩn số Từ ta có định nghĩa sau: Định nghĩa Nghiệm phương trình bậc hai ẩn cặp giá trị (x1 ; y1 ), (x2 ; y2 ), hai ẩn số x y thỏa mãn tính chất “khi thay vào phương trình giá trị tương ứng hai biểu thức hai vế phương trình ” Cách giải Mỗi phương trình bậc hai ẩn có vơ số nghiệm Tập hợp nghiệm phương trình biểu diễn mặt phẳng tọa độ đường thẳng, gọi đường thẳng ax + by = c (mỗi điểm đường thẳng ax + by = c biểu diễn cặp nghiệm (x; y) phương trình) a c Nếu a = 0, b = đường thẳng đồ thị hàm số bậc y = − + b b c Nếu a = 0, b = đường thẳng đồ thị hàm số y = Đó đường thẳng song song b với Ox c = 0, trùng với Ox c = c Nếu a = 0, b = đường thẳng có dạng x = Đó đường thẳng song song với Oy a c = 0, trùng với Oy c = ! Chú ý: c đồ thị hàm số a Với yêu cầu giải phương trình ax + by = c, ta thường thực ba công việc: Đường thẳng x = Biến đổi để vài nghiệm cụ thể phương trình Viết cơng thức nghiệm tổng qt phương trình Biểu diễn nghiệm phương trình mặt phẳng tọa độ Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 3/280 ȍ GeoGebraPro Tự học Tốn Học kỳ 2, năm học 2019-2020 B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN VÍ DỤ Trong cặp số (−2; 1), (0; 2), (−1; 0), (1; 5) (4; −3) cặp số nghiệm phương trình a) 5x + 4y = b) 3x + 5y = −3 ✍ LỜI GIẢI Để giải dạng toán này, ta thay cặp số cho vào vế trái biểu thức Số thứ thay vào biến x, số thứ hai thay vào biến y tính tốn Nếu kết có vế phải cặp số cho nghiệm phương trình Nếu kết có khơng vế phải cặp số cho khơng nghiệm phương trình a Xét phương trình 5x + 4y = Với cặp số (−2; 1) Ta có 5(−2) + · = −6 = Do cặp số (−2; 1) khơng nghiệm phương trình Với cặp (0; 2) Ta có · + · = Do đó, cặp số (0; 2) nghiệm phương trình Với cặp số (−1; 0) Ta có · (−1) + · = −5 = Do đó, cặp số (−1; 0) khơng nghiệm phương trình Với cặp số (1,5; 3) Ta có · 1,5 + · = 19,5 = Do đó, cặp số (1,5; 3) khơng phải nghiệm phương trình Với cặp số (4; −3) Ta có · + · (−3) = Do đó, cặp số (4; −3) nghiệm phương trình b Xét phương trình 3x + 5y = −3 Các cặp (−1; 0) (4; −3) nghiệm phương trình Các cặp (−2; 1), (0; 2) (1,5; 3) không nghiệm phương trình VÍ DỤ Giải phương trình x − 2y = ✍ LỜI GIẢI Thực việc biến đổi phương trình dạng x = 2y + Tới đây, cho y giá trị tùy ý tính giá trị tương ứng x, cụ thể: Với y = −4 ⇒ x = · (−4) + = −2 ⇒ cặp (−2; −4) nghiệm Với y = ⇒ x = · + = ⇒ cặp (6; 0) nghiệm Vì y lấy giá trị tùy ý, nên phương trình có vơ số nghiệm, dạng tổng quát nghiệm (x = 2y + 6; y ∈ R) viết (2y + 6; y) Nhận xét Vì vai trị x, y phương trình nên giải phương trình theo cách: x−6 Thực việc biến đổi phương trình dạng y = Tới đây, cho x giá trị tùy ý tính giá trị tương ứng y, cụ thể: Với x = ⇒ y = −3 ⇒ cặp số (0; −3) nghiệm phương trình Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 4/280 ȍ GeoGebraPro Tự học Toán Học kỳ 2, năm học 2019-2020 Với x = ⇒ y = −2 ⇒ cặp số (2; −2) nghiệm phương trình Vì Åx ã lấy giá trị tùy ý nên phương trình cho có vơ số nghiệm, dạng tổng quát nghiệm x−6 x; 2 Tập nghiệm phương trình x − 2y = ⇔ y = x − đường thẳng VÍ DỤ Giải phương trình 0x + 2y = 12 ✍ LỜI GIẢI Thực việc biến đổi phương trình dạng 2x = 12 ⇔ y = Tới đây, cho x giá trị tùy ý ta ln nhận y = Do cặp số (−81; 6), (33; 6), nghiệm phương trình Vậy, phương trình có vô số nghiệm, dạng tổng quát nghiệm (x ∈ R; y = 6) viết (x; 6) Nhận xét Vì hệ số x phương trình nên khơng thể giải phương trình theo x Tập nghiệm phương trình: 0x + 2y = 12 ⇔ y = đường thẳng song song với Ox cắt Oy điểm có tung độ Tổng qt: Phương trình y = m có vơ số nghiệm dạng (x; m), biểu diễn mặt phẳng tọa độ đường thẳng song song với Ox cắt Oy điểm có tung độ m m = 0, trùng với Ox m = VÍ DỤ Giải phương trình 6x − 0y = 18 ✍ LỜI GIẢI Thực việc biến đổi phương trình dạng 6x = 18 ⇔ x = Tới đây, cho y giá trị tùy ý ta nhận x = Do đó, cặp số (3; 2005), (3; 1989), nghiệm phương trình Vậy phương trình có vơ số nghiệm, dạng tổng qt nghiệm (3; y ∈ R) viết (3; y) Nhận xét Vì hệ số y phương trình nên khơng thể giải phương trình theo y Tập nghiệm phương trình 6x − 0y = 18 ⇔ x = đường thẳng song song với Oy cắt Ox điểm có hồnh độ Tổng qt: Phương trình x = n có vơ số nghiệm dạng (n; y), biểu diễn trễn mặt phẳng tọa độ đường thẳng song song với Oy cắt Ox điểm có hồnh độ n n = 0, trùng với Oy n = VÍ DỤ Cho hai phương trình x + 2y = x − y = Vẽ hai đường thẳng biểu diễn tập nghiệm hai phương trình hệ tọa độ Xác định tọa độ giao điểm hai đường thẳng cho biết tọa độ nghiệm phương trình nào? ✍ LỜI GIẢI Ta có Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình x+2y = qua hai điểm A(0; 2) B(4; 0) Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 5/280 ȍ GeoGebraPro Tự học Toán Học kỳ 2, năm học 2019-2020 Thể tích hình cầu ngoại tiếp A Ç √ å2 √ 4 a 3πa3 V2 = πR = π · = đvdt 3 27 Thể tích hình nón a V3 = π 2 √ √ q 3πa3 · = đvdt 24 O B Thể tích phần khơng gian giới hạn hình nón hình cầu ngoại tiếp H C √ 23 3πa3 V = V2 − V3 = ≈ 0,58a3 đvdt 216 Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 266/280 ȍ GeoGebraPro Tự học Tốn BÀI Học kỳ 2, năm học 2019-2020 ÔN TẬP CHƯƠNG IV A CÁC VÍ DỤ VÍ DỤ Cho hình trịn (I, cm) nội tiếp hình vng ABCD Tính thể tích diện tích hình cầu tạo thành quay hình trịn (I, cm) quanh đường kính Tính thể tích diện tích tồn phần hình trụ tạo thành quay hình vng ABCD quanh OO , với O, O trung điểm BC AD ✍ LỜI GIẢI C O B I D O A Hình cầu tạo thành quay hình trịn (I, cm) quanh đường kính có tâm I 4π bán kính R = cm Do đó, thể tích khối cần V = πR3 = cm3 diện tích mặt cầu 3 S = 4πR2 = 4π cm2 Hình trụ tạo thành quay hình vng ABCD quanh OO có hai đáy hai hình trịn (O, OB) (O , O A) Vì hình vng ABCD ngoại tiếp đường tròn (I, cm) nên AB = BC = cm Do OB = cm Suy ra, thể tích hình trụ V = π · OB · AB = 2π cm3 Diện tích tồn phần hình trụ Stp = 2π · OB · AB + 2π · OB = 6π cm2 VÍ DỤ Cho ABC cạnh a, đường cao AH, nội tiếp đường trịn tâm O Tính thể tích hình nón hình cầu tạo thành quay ABC đường tròn (O) quanh trục AH, biết a = cm Tính tỉ số diện tích xung quanh hình nón diện tích mặt cầu tạo thành quay ABC đường tròn (O) quanh trục AH ✍ LỜI GIẢI Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 267/280 ȍ GeoGebraPro Tự học Toán Học kỳ 2, năm học 2019-2020 A O B Hình nón tạo thành quay C H ABC quanh trục AH tạo thành hình nón có đáy hình trịn tâm O bán kính HB, chiều cao AH Hình cầu tạo thành quay hình trịn tâm O ngoại tiếp ABC quanh trục AH hình cầu tâm O bán kính OA √ √ a a BC Lại có a = cm, AH = AB sin 60 = = cm, HB = = = cm Do ABC 2 √ 2 nên O tâm đường tròn ngoại tiếp đồng thời trọng tâm ABC, suy OA = AH = 3 cm ◦ Khi thể tích hình nón Vnón √ π = · AH · π · HB = cm3 3 Thể tích hình cầu Vcầu √ 32π = π · OA = cm3 27 Đường sinh hình nón AB = a Diện tích xung quanh hình nón S1 = π · HB · AB = a2 π Diện tích mặt cầu S2 = 4π · OA2 = 4a2 π Do tỉ số diện tích xung quanh hình nón diện tích mặt cầu S1 a2 π 4a2 π = : = S2 2 VÍ DỤ Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết AB = Tính AC, BC AH Tính thể tích khối tạo thành quay Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em √ “ = 60◦ cm, B ABC quanh trục AC Trang 268/280 ȍ GeoGebraPro Tự học Toán Học kỳ 2, năm học 2019-2020 Tính thể tích khối tạo thành quay ABC quanh trục BC ✍ LỜI GIẢI Ta có C ABC vuông nên AC = AB · tan B = √ · tan 60◦ = cm Theo định lí Pi-ta-go lại có BC = Mặt khác √ H √ AB + AC = cm A AHB vuông H nên AH = AB · sin B = B cm 2 Khi quay ABC quanh trục AC tạo thành khối nón đỉnh C đáy hình C trịn tâm A bán kính AB Thể tích khối nón Vnón = · AC · π · AB = 3π cm3 A B Khi quay C ABC quanh trục BC tạo thành hai khối nón đỉnh B đỉnh C chung đáy hình trịn tâm √ H, bán kính HA √ (hình vẽ) 3 cm ⇒ BH = cm Lại có AC = CH · BC ⇒ CH = 2 Khi thể tích khối nón đỉnh C, đáy hình trịn (H, HA) √ 9π V1 = · CH · π · AH = cm3 Thể tích khối nón đỉnh B, đáy hình trịn (H, HA) √ 3π V2 = · BH · π · AH = cm3 √ 3π cm3 Vậy thể tích khối cần tính V = V1 + V2 = A H B VÍ DỤ Cho hình trụ (T ) có hai đáy hình trịn (O; R) (O , R) hình nón (N ) có đỉnh O , đáy hình trịn (O, R) Từ miếng xốp hình trụ (T ), người ta gọt bỏ để tạo thành khối xốp hình nón (N ) Tính thể tích phần bị gọt bỏ Biết R = cm OO = cm Nếu tăng gấp đôi bán kính R thể tích hình trụ (T ) hình nón (N ) thay đổi nào? Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 269/280 ȍ GeoGebraPro Tự học Toán Học kỳ 2, năm học 2019-2020 ✍ LỜI GIẢI O O Thể tích khối xốp hình trụ Vtrụ = OO · π · R2 = 36π cm3 Thể tích khối xốp hình nón Vnón = · OO · π · R2 = 12π cm3 Vậy thể tích phần xốp bị gọt bỏ V = Vtrụ − Vnón = 24π cm3 Thể tích hình trụ với bán kính R V1 = OO · π · R2 Thể tích hình trụ với bán kính R = 2R V1 = OO · π · (2R)2 = · OO · π · R2 V1 Khi ta có = V1 Vậy tăng gấp đơi bán kính R thể tích hình trụ tăng lên lần Thể tích hình nón với bán kính R V2 = · OO · π · R2 Thể tích ình nón với bán kính R = 2R V2 = · OO · π · (2R)2 = · OO · π · R2 3 V2 Khi ta có = V2 Vậy tăng gấp đơi bán kính R thể tích hình nón tăng lên lần VÍ DỤ Cho phễu chứa nước hình nón ngược Miệng phễu đường trịn đường kính dm Khoảng cách từ đáy phễu đến điểm miệng phễu dm Tính lượng nước để đổ đầy phễu (giả thiết thành phễu có độ dày khơng đáng kể) Người ta đổ đầy nước vào phễu rút cho chiều cao lượng nước lại nửa lượng nước ban đầu Tính thể tích lượng nước cịn lại phễu ✍ LỜI GIẢI Gọi O tâm đường tròn đáy phễu A điểm đường trịn ấy, SA = dm, OA = dm A O SO ⊥ OA Suy ra, chiều cao phễu SO = √ SA2 − OA2 = dm Thể tích phễu V = · SO · π · OA2 = 12π dm3 S Lượng nước đổ đầy phễu thể tích phễu, tức 12π dm3 Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 270/280 ȍ GeoGebraPro Tự học Toán Học kỳ 2, năm học 2019-2020 Gọi I trung điểm SO, K trung điểm SA phần O A nước cịn lại phễu khối nón đỉnh S đáy hình trịn tâm I bán kính IK Ta có IK đường trung bình SOA nên I K OA IK = = dm 2 Do thể tích phần nước lại phễu S 3π dm V = · SI · π · IK = B LUYỆN TẬP BÀI Cho hình chữ nhật ABCD có AB = cm AD = cm Gọi M, N trung điểm AB CD Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh trục M N khối gì? Tính thể tích khối Khi quay N AB quanh trục M N khối gì? Tính diện tích xung quanh khối ✍ LỜI GIẢI Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh trục M N khối trụ có đáy AB hình trịn tâm M bán kính M A = = hình trịn tâm N bán kính 2 N D tích π V = AD · π · M A2 = cm3 N AB quanh trục M N √ khối nón đỉnh N đáy hình 17 trịn (M, AM ), độ dài đường sinh AN = có diện tích xung quanh √ π 17 cm2 S = π · AM · AN = D N C A M B Khi quay BÀI Cho hình trịn (O, R) có diện tích 4π Quay hình trịn quanh đường kính ta hình cầu tâm O bán kính R Tính thể tích hình cầu Nếu diện tích hình trịn giảm nửa diện tích mặt cầu thay đổi nào? ✍ LỜI GIẢI Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 271/280 ȍ GeoGebraPro Tự học Tốn Học kỳ 2, năm học 2019-2020 B Diện tích hình tròn π · R2 = 4π ⇔ R = Do thể tích hình cầu V = O 32π · π · R3 = 3 A Diện tích mặt cầu S = 4π · R2 = 16π Nếu diện tích hình trịn giảm nửa trịn bán kính R π · R = 2π ⇔ R = √ Khi diện tích mặt cầu S = 4π · R = 8π Suy S = Vậy diện tích mặt cầu giảm nửa S BÀI Cho khối xốp hình nón có đường kính đáy 18 cm độ dài từ đỉnh đến điểm đường tròn đáy 15 cm Tính chiều cao thể tích hình nón Cắt chỏm khối xốp cho phần cịn lại hình nón cụt có chiều cao nửa chiều cao hình nón ban đầu Tính thể tích phần bị cắt bỏ Tiếp tục cắt khối nón cụt để tạo thành hình trụ có đáy đáy nhỏ hình nón cụt Tính thể tích hình trụ tạo thành ✍ LỜI GIẢI S I B O A Giả sử hình nón có đỉnh điểm S đáy đường tròn tâm O, A điểm đường trịn đáy 18 Khi bán kính đáy hình nón OA = = cm chiều cao hình nón √ √ SO = SA2 − OA2 = 152 − 92 = 12 cm Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 272/280 ȍ GeoGebraPro Tự học Toán Học kỳ 2, năm học 2019-2020 Thể tích hình nón V = · SO · π · OA2 = 324 cm3 Gọi I trung điểm SO, B trung điểm SA Phần bị cắt bỏ khối nón có đỉnh S đáy hình trịn (I, IB) IB đường trung bình SOA nên IB = OA = Thể tích khối nón bị cắt 2 81π · SI · π · IB = cm3 3 Khối trụ có đáy hình trịn (I, IB) chiều cao IO nên tích V = IO · π · IB = 243π cm3 BÀI Một hộp hình trụ chứa vừa khít ten-nít Biết diện tích tồn phần hộp 597cm2 Tính đường kính thể tích ten-nít ✍ LỜI GIẢI Gọi R bán kính ten-nít bán kính đáy hộp R, chiều cao trụ 8R Ta có Sdttp = · Sđáy + Sxq = 2πR2 + 2πR · 8R = 18πR2 Ta lại có diện tích xung quanh đề cho 597cm2 ⇒ R ≈ 3, 25cm 4 Vậy V = πR ≈ π · (3, 25)3 ≈ 144cm3 3 BÀI Cho hình vẽ bên Tính tổng thể tích khối tạo thành quay hình bên A quanh trục BD B F C E D ✍ LỜI GIẢI Tam giác ABC quay quanh trục BD tạo thành hình nón với bán kính đáy cạnh AB đường cao BC Thể tích hình nón π · AB · BC √ = π · AB · AC − BC √ = π · 32 · 52 − 32 V1 = Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 273/280 ȍ GeoGebraPro Tự học Tốn Học kỳ 2, năm học 2019-2020 = 12π (đvtt) Hình chữ nhật CDEF quay quanh trục BD tạo thành hình trụ với bán kính đáy cạnh DE đường cao CD Thể tích hình trụ V2 = π · DE · CD = π · 52 · = 75π (đvtt) Thể tính khối tạo thành quay hình quanh trục BD V = V1 + V2 = 87π (đvtt) BÀI Một hình nón có đỉnh tâm hình cầu có đáy hình trịn tạo mặt phẳng cắt hình cầu Biết diện tích đáy hình nón 144πcm2 diện tích xung quanh 180πcm2 Tính thể tích phần khơng gian bên hình cầu bên ngồi hình nón ✍ LỜI GIẢI Tính bán kính đáy hình nón π · IM · 144π ⇔ r = IM = 12cm Tính đường sinh hình nón O Sxq = 180π ⇔ π · r · l = 180π ⇔ l = OM = 15cm Chiều cao hình nón h = OI = N √ √ OM − IM = l2 − r2 = 9cm I M Tính hiệu thể tích hình cầu hình nón V = Vcầu − Vnón = π · OM − π · IM · h = 4068πcm3 3 BÀI Tam giác ABC có độ dài cạnh a, ngoại tiếp đường tròn Cho hình quay vịng xung quanh đường cao AH tam giác đó, ta hình nón ngoại tiếp hình cầu Tính thể tích phần hình nón nằm ngồi hình cầu ✍ LỜI GIẢI Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 274/280 ȍ GeoGebraPro Tự học Toán Học kỳ 2, năm học 2019-2020 Gọi I tâm tam giác ABC Bán kính hình cầu bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC, nghĩa √là IH a 3a ⇒ AH = Ta có AH = CA2 − CH = 4√ √ 1 a a Vậy R = IH = · AH = · = 3 √ a3 Do thể tích hình cầu Vc = πR = (đvtt) 54 Thể tích hình nón √ √ 1 a a a Vn = π · AH · HB = π · · = (đvtt) 3 2 A I B C H √ √ √ 23a3 a3 a3 − = (đvtt) Vậy phần thể tích hình nón nằm ngồi hình cầu V = 54 216 BÀI Một hình nón cụt có bán kính đáy lớn cm bán kính đáy bé cm, chiều cao cm Tính diện tích xung quanh hình nón cụt Tính thể tích hình nón sinh hình nón cụt ✍ LỜI GIẢI Kẻ CH ⊥ AB (tại H) Khi CH = OO = (cm) O C D Mặt khác, HA = OA − OH = OA − O C = (cm) √ Vậy l = CA = CH + HA2 = (cm) Diện tích xung quanh hình nón cụt Sxq = π(r1 + r2 )l = 75π A H O B Gọi giao điểm OO CA S SO SO = CO AO Gọi SO = x (cm) (x > 0) từ đẳng thức ta có Theo hệ định lý Ta-lét, ta có x x+4 = Giải phương trình ta có nghiệm x = (nhận) Vậy chiều cao hình nón sinh hình nón cụt h = SO = SO + OO = 12 (cm) 1 Thể tích cần tìm V = πr2 h = π · 92 · 12 = 324π (đvtt) 3 BÀI Cho hình chữ nhật ABCD (AB > AD) có chu vi diện tích cm cm2 Tính thể tích diện tích hình trụ sinh quay hình chữ nhật quanh cạnh AB Hình trụ chứa vừa khít khối cầu bán kính R Tính R phần thể tích hình trụ khối cầu ✍ LỜI GIẢI Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 275/280 ȍ GeoGebraPro Tự học Toán Học kỳ 2, năm học 2019-2020 Ta có 2(AB + AD) = AB · AD = ⇔ AB + AD = AB · AD = ⇒ AB = (cm) A D B C AD = (cm) Thể tích hình trụ V = AB · πAD2 = 2π (cm3 ) Diện tích hình trụ S = AB · 2πAD + · πAD2 = 4π + 2π = 6π (cm2 ) Ta có bán kính khối cầu R= AB = (cm) Thể tích khối cầu 4π V1 = πR3 = (cm3 ) 3 Phần thể tích khối trụ khối cầu V − V1 = 14 π (cm3 ) BÀI 10 Cho ba điểm A, O, B thẳng hàng theo thứ tự OA = a, OB = b Vẽ hai tia Ax, By vuông góc với AB Qua O vẽ hai tia vng góc với O cắt Ax, By C, D Cho ’ = 30◦ COA Tính tỉ số thể tích hình tam giác AOC BOD tạo thành quay hình quanh trục AB ’ = 60◦ Tính thể tích hình nón cụt tạo thành quay hình vẽ quanh trục AB Giả sử BDC ✍ LỜI GIẢI Quay AOC quanh trục AB ta hình nón có D + Chiều cao h = OA = a √ a ◦ + Bán kính đáy r = AC = OA · tan 30 = Khi thể tích hình nón πa3 V1 = πr2 h = Quay BOD quanh trục AB ta hình nón có + Chiều cao h = OB = b √ + Bán kính đáy r = BD = OB · tan 60◦ = b C ◦ ◦ 60 30 A O B Khi thể tích hình nón V2 = πr2 h = πb3 Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 276/280 ȍ GeoGebraPro Tự học Toán Học kỳ 2, năm học 2019-2020 a3 V1 = V2 9b Quay hình vẽ quanh trục AB ta hình nón cụt có √ + Bán kính đáy lớn R = BD = b √3 a + Bán kính đáy nhỏ r = AC = + Chiều cao h = AB = OA + OB = a + b Vậy thể tích cần tìm Suy thể tích hình nón cụt cần tìm Å ã 1 2 2 V = πh R + r + rR = π(a + b) 3b + a + ab 3 “ = 90◦ , BC = cm, CD = cm, B “ = 60◦ Khi quay BÀI 11 Cho hình thang vng ABCD có A = D hình thang vng ABCD quanh trục AD tạo thành hình nón cụt Tính thể tích hình nón cụt Cắt hình nón cụt mặt phẳng qua trục AD mặt cắt tạo thành hình gì? Tính diện tích hình ✍ LỜI GIẢI L D C K H ◦ 60 A B I Ta có r = CD = (cm), R√= AB, h = AD √ · = (cm) h = AD = sin 60◦ · BC = ◦ R = AB = DC + cos 60 · BC = + · = (cm) √ √ 1 38π 2 2 Vậy V = πh (r + R + rR) = · π · · (2 + + · 3) = (cm3 ) 3 Cắt hình nón cụt mặt phẳng qua trục AD mặt cắt tạo thành hình thang cân có độ dài đáy 2r 2R chiều cao h Diện tích hình thang S= √ √ h(2r + 2R) = h(r + R) = · (2 + 3) = 10 (cm2 ) BÀI 12 Cho tam giác ABC vuông A Gọi V1 , V2 , V3 theo thứ tự thể tích hình sinh quay tam giác ABC vòng xung quanh cạnh BC, AB, AC Chứng minh 1 = + 2 V1 V2 V3 Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 277/280 ȍ GeoGebraPro Tự học Tốn Học kỳ 2, năm học 2019-2020 ✍ LỜI GIẢI Gọi H chân đường cao xuất phát từ A Khi quay ∆ABC quanh cạnh BC, ta thu hai hình nón có bán kính đáy chung HA, chiều cao B HB HC Thể tích hình sinh tổng thể tích hai hình nón 1 Vậy V1 = π(CH · AH + BH · AH ) = πBC · AH 3 H A Khi quay ∆ABC quanh cạnh AB, ta thu C B hình nón có bán kính đáy AC, chiều cao AB Vậy V2 = πAB · AC A Khi quay ∆ABC quanh cạnh AC, ta thu hình nón có bán kính đáy AB, chiều cao AC Vậy V2 = πAC · AB Do Å ã 1 1 + = · · + V22 V32 π AB · AC AB AC 1 · · = 2 π AB · AC AH AB + AC 1 = · · · 2 2 π ÅAB · AC AH AB + AC ã 1 1 = · + · · 2 2 π AB AC AH BC 1 1 1 = · · · = 2· · · = 2 2 2 π AH AH BC π AH AH BC V1 C B A C BÀI 13 Cho nửa đường trịn (O; R), đường kính AB HA Trên AB lấy điểm H cho = Tính HA, HB theo R HB Qua H kẻ đường thẳng vng góc với AB cắt nửa đường tròn (O; R) M ; tiếp tuyến M với nửa đường tròn cắt tiếp tuyến A, B tai A , B Chứng minh tam giác A OB vuông AA · BB = R2 Đặt AA = x; BB = y Tính x, y theo R Cho nửa hình tròn (O; R) quay vòng quanh cạnh AB hình tích V1 ; cho V1 hình thang vng ABB A quay quanh AB ta hình tích V2 Tính tỉ số V2 ✍ LỜI GIẢI Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 278/280 ȍ GeoGebraPro Tự học Toán Học kỳ 2, năm học 2019-2020 B HA = Ta có HB HB HA + HB AB HA = = = = R ⇒ 5 2   HA = R ⇒  HB = R M A A b)  Hai tam giác OAA B BO có  A=B “ = 90◦ R H O B AOA ’ = BB ÷ O (cặp góc có cạnh tương ứng vng góc) Suy OAA B BO ’ ÷ Do AA O=B OB ’ ’ Mà AA O+A OA = 90◦ ÷ ’ Suy B OB + A OA = 90◦ ÷ Vậy A OB = 90◦ hay tam giác A OB tam giác vuông OA AA = ⇔ AA · BB = OA · OB = R2 Mặt khác, OAA B BO nên BO BB B Cách khác: M Gọi N giao điểm AM OA ¯ ÷ Ta có M AB = sđAM 1÷ ¯ ÷ Mà B OB = BOM = sđAM 2 ÷ ÷ Suy M AB = B OB A N A Tam giác vng AON có ’ ’ ÷ ’ N AO + N OA = 90◦ hay M AB + A OA = 90◦ H O R B ÷ ’ Do B OB + A OA = 90◦ Ä ä ÷ ÷ ’ Suy A OB = 180◦ − B OB + A OA = 90◦ Vậy tam giác A OB tam giác vuông Mặt khác, áp dụng hệ thức lượng tam giác vng OA B , ta có OM = A M · B M Mà theo tính chất tiếp tuyến AA = A M BB = B M Suy AA · BB = OM = R2 R c) Ta có OH = OA − AH = R − R =  5 √ Å ã2 √ R ⇒ M H = OM − OH = R2 − = R 5 Ç √ å2 Å ã2 √ √ 10 ⇒ AM = M H + AH = R + R = R 5 Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 279/280 ȍ GeoGebraPro Tự học Tốn Học kỳ 2, năm học 2019-2020 AM ⇒ AN = = ⇒ ON = √ OA2 10 R Ç√ − AN = 10 R2 − å2 √ 15 = R Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng √ OAA , ta có 2 OA 15 R OA2 = ON.OA ⇒ OA = = = √ R 15 ON R å2 Ç√ √ √ 15 R − R2 = R ⇒ AA = x = OA − OA2 = 3 Mặt khác, ta chứng minh √ 2 R R AA · BB = R2 ⇒ BB = y = = R = √ AA R √ √ 6 R y = R Vậy x = d) Nửa hình trịn (O; R) quay vịng quanh cạnh AB hình cầu bán kính R tích V1 = πR3 Hình thang vng ABB A quay quanh AB hình nón cụt với hai bán kính đáy AA , BB chiều cao AB tích π · AB · (AA + BB + AA · BB ) Ç √ å2 Ç √ å2 6 = π · 2R · R + R + R2 3 V2 = = Vậy 19 πR V1 12 = V2 19 Ƅ Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 280/280 ȍ GeoGebraPro ... 19 (1 ) 7x + 5y = (2 ) Xét phương trình (1 ) ta có  19   y≥−   19   y = 19 ⇔  (1 ) ⇔ 14 |y| = 5y + 19 ⇔ 14y = 5y + 19 ⇔ y=      y = −1     14y = −5y − 19 y = −1   5y + 19. .. soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 25/280 ȍ GeoGebraPro Tự học Toán Học kỳ 2, năm học 20 19- 2020 √ x + 5y = (1) √ √ 5x + 3y = − (2) Ä √ ä √  − x − 3y = + (1) √ 4x + y = − (2) ✍ LỜI GIẢI √ x + 5y... Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em Trang 29/ 280 ȍ GeoGebraPro Tự học Toán Học kỳ 2, năm học 20 19- 2020 VÍ DỤ Cho hệ phương trình x + my = (1) mx − y = −m (2) Chứng tỏ với m hệ phương trình ln