TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN NĂM HỌC 2015-2016 MƠN THI: TỐN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề ĐỀ BÀI Câu 1(1,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y x3 3x Câu (1,0 điểm) Tìm điểm cực trị hàm số sau f ( x) x x3 x Câu (1,0 điểm) a) Gọi z1 , z2 hai nghiệm phương trình z z 13 , biết z1 có phần ảo âm Tính z1 z2 b) Giải phương trình 2x – 6.2 x – 1 Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I x e x dx x Câu (1,0 điểm) Trong không gian Oxyz , cho A(0;1;2), B(2; 1; 2), C(2; 3; 3) Viết phương trình mặt phẳng (ABC), chứng minh ABC tam giác vng tính diện tích tam giác ABC Câu (1,0 điểm) a) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x: P cos x cos x sin x 4 4 b) Trong đợt kiểm tra chất lượng lớp 12, học sinh tham gia kiểm tra ba mơn Tốn, Lý Hóa, giả thiết điểm số mơn theo thang điểm 10 làm tròn đến hàng đơn vị Biết 1 học sinh môn thi xác suất để đạt 10 điểm, điểm, điểm , , Tìm 10 xác suất để học sinh đạt tổng số điểm ba mơn 28 điểm Câu (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông cân A, M trung điểm A’C’, BC a , AA ' 2a Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ khoảng cách từ M đến mặt phẳng (ACB’) Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ABCD hình thoi tâm I(1;4), đường trịn tâm I bán kính IA cắt đoạn IB E, biết A thuộc d1 có phương trình x y , E thuộc d2 có phương trình x y , diện tích hình thoi 40 Tìm tọa độ đỉnh hình thoi biết A có hồnh độ dương 1 Câu (1,0 điểm) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm ;16 4 log x 2m log x x x log x (1) Câu 10 (1,0 điểm) Cho tam giác ABC, tìm giá trị nhỏ cosC biết góc A, B, C thỏa B C C A A B mãn điều kiện cot cot cot cot cot cot 2 2 2 -Hết -GV: Võ Thị Ngọc Ánh TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN NĂM HỌC 2015-2016 MƠN THI: TỐN ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Câu Ý Nội dung Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y x3 3x + Tập xác định: Hàm số có tập xác định D R + Sự biến thiên: Các giới hạn: lim y , lim y x Điểm 1,0 0,25 x x y ' 3x x Ta có y ' x Bảng biến thiên: x 0 y' y 0,25 2 0,25 Hàm số đồng biến khoảng (;0),(2; ) nghịch biến khoảng (0; 2) Hàm số đạt cực đại x=0, giá trị cực đại y(0)=2, hàm số đạt cực tiểu x=2, giá trị cực tiểu y(2)=-2 + Đồ thị: 0,25 Tìm điểm cực trị đồ thị hàm số f ( x) x x3 x 1,0 f '( x) x x x x(2 x 3x 1) x f '( x) x x Ta có f ''( x) 12 x 12 x 2 0,25 0,5 1 f ''(0) 0, f ''(1) 0, f '' 1 2 Vậy: Các cực tiểu hàm số x=0, x=1; giá trị cực tiểu tương ứng f(0)=0, 0,25 f(1)=0 1 , giá trị cực đại f 16 Ghi chú: Học sinh giải cách lập bảng biến thiên f(x) bảng xét dấu f’(x) điểm tối đa Gọi z1 , z2 hai nghiệm phương trình z z 13 , biết z1 có phần ảo âm Giá trị cực đại hàm số x a Tính z1 z2 0,5 z z 13 (1) Phương trình (1) có: ' 13 4 2i Do phương trình (1) có hai nghiệm là: z1 3 2i z2 3 2i (thỏa z1 có phần ảo âm) Ta có 3 2i (3 2i) 12i 4i 2i 14i b Giải phương trình 2x – 6.2 x – 2x – 6.2-x – = 22 x 2x (1) Đặt t = 2x , t > phương trình (1) trở thành t 2 t t 6 t Kết hợp điều kiện t>0 ta t=3 Với t=3, ta có 2x x log 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 Vậy phương trình cho có nghiệm x log 1 Tính tích phân I x e x dx x 1 2 2 2 2 I x e x dx dx xe x dx x xe x dx e x xdx 1 1 x dt Đặt t x dt x.dx xdx Đổi cận: x t 1,0 0,25 +0,25 0,25 dt et e4 e 1 Suy ra, I e 21 2 e e Vậy: I 2 Trong không gian Oxyz , cho A(0;1;2), B(2; 1; 2), C(2; 3; 3) Viết phương trình mặt phẳng (ABC), chứng minh ABC tam giác vng tính diện tích tam giác ABC Ta có AB 2; 2; 4 , AC 2; 4; 5 t 2 4 4 2 2 2 [ AB, AC ] ; ; (6; 18;12) 4 5 5 2 4 0,25 1,0 0,25 Mặt phẳng (ABC) qua điểm A(0;1;2) nhận n [ AB, AC ] (1; 3; 2) làm vectơ pháp tuyến nên mp(ABC) có phương trình 0,25 1( x 0) 3( y 1) 2( z 2) hay x y z AB (2; 2; 4) , BC (4; 2; 1) AB.BC 2.4 2.(2) 4.(1) ABC vuông B 0,25 AB (2)2 (2)2 (4)2 , BC 42 (2)2 (1)2 21 1 Diện tích ABC : S AB.BC 21 14 2 Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x: a P cos x cos x sin x 4 4 1 P = cos x cos x sin x cos cos x sin x 4 4 2 1 = (1 2sin x) sin x hay P không phụ thuộc vào x 2 b Trong đợt kiểm tra chất lượng lớp 12, học sinh tham gia kiểm tra ba mơn Tốn, Lý Hóa, giả thiết điểm số mơn theo thang điểm 10 làm tròn đến hàng đơn vị Biết học sinh môn thi xác suất để đạt 1 10 điểm, điểm, điểm , , Tìm xác suất để học sinh 10 đạt tổng số điểm ba môn 28 điểm 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 Gọi H biến cố “học sinh đạt tổng số điểm ba môn 28 điểm” Gọi A biến cố “Học sinh thi môn 10 điểm môn điểm” Gọi B biến cố “Học sinh thi môn 10 điểm hai mơn đạt điểm” 0,25 Ta có H AUB A, B hai biến cố xung khắc nên xác suất biến cố H P( H ) P( A) P( B) Vì khả làm môn thi độc lập nên theo quy tắc cộng nhân ta có xác suất xác suất biến cố A B là: 1 1 P( A) C32 10 10 100 1 P( B) C31 0,25 10 5 250 11 Suy P( H ) 100 250 500 11 Vậy, xác suất cần tìm 500 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông cân A, M trung điểm A’C’, BC a , AA ' 2a Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ 1,0 khoảng cách từ M đến mặt phẳng (ACB’) M A' C' B' H A 0,25 C B Xét tam giác ABC vuông cân A BC a nên a AB AC BC sin 450 a a2 Suy diện tích tam giác ABC SABC AB AC 2 Vậy thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là: V AA '.SABC 2a a a3 + Ta có A ' C ' //AC A ' C ' // ACB ' d (M;(B'AC)) d ( A;(B'AC)) (1) Trong mp (ABB’A’), kẻ A’H vng góc với AB’ H AC AB AC ABB ' A ' AC A ' H mà A ' H AB ' nên A ' H (A CB ') AC AA ' Hay d ( A ';(B'AC)) A'H (2) + Xét A’AB’ vng A’ có AH đường cao nên 1 1 5a (3) AH 2 AH A' A A ' B ' 2a a 4a 0,25 0,25 0,25 Từ (1), (2) (3) suy d M , ACB ' 5a Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ABCD hình thoi tâm I(1;4), đường trịn tâm I bán kính IA cắt đoạn IB E, biết A thuộc d1 có phương trình x y , E thuộc d2 có phương trình x y , diện tích hình thoi 40 Tìm tọa độ đỉnh hình thoi biết A có hồnh độ dương Vì A thuộc d1 có phương trình x y nên A(a;3 a) với a (do giả thiết) Vì E thuộc E thuộc d2 có phương trình x y nên E(t;9-t) Suy IA a 1; a 1 , IE t 1;5 t Do ABCD hình thoi nên IA IE , ngồi E thuộc đường tròn (I; IA) nên IE=IA (1) IA.IE (a -1)(t -1) - (a 1)(5- t ) Ta có 2 2 (2) IA IE (a -1) (a 1) (t -1) (5- t ) Khi t=1, thay vào (1) ta a=-1 khơng thỏa mãn phương trình (2) (a 1)(5 t ) Khi t ta có (1) a -1 (3) Thay vào (2) ta t 1 (a 1)2 (5 t )2 (a 1)2 (t -1)2 (5- t )2 (t -1)2 (5- t )2 (a 1)2 (t 1)2 (t 1)2 0,25 a t (a 1) (t 1) a t + Với a t thay vào (3) ta t a 2 (không thỏa điều kiện a>0) + Với a t thay vào (3) ta t a (thỏa điều kiện a>0) Do A(2;1), E(4;5) 1,0 0,25 Lúc IA IE 12 32 10 , Diện tích hình thoi BD.IA=40 nên BD 40 10 IB 10 Mà E thuộc đoạn thẳng IB nên E trung điểm IB x B 2.4 x B Gọi B( x B , yB ) hay B(7;6) y 2.5 y B B Vì I trung điểm BD nên D(2.1 7;2.4 6) hay D(5;2) Vì I trung điểm AC nên C(2.1 2;2.4 1) hay C(0;7) BD 10 0,25 0,25 Lúc ABCD hình bình hành có AC BD nên thỏa giả thiết ABCD hình thoi Vậy, A(2;1), B(7;6), C(0;7), D(-5;2) 1 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm ;16 4 log x 2m log x x x log x 1,0 (1) x x Điều kiện x x log x x 1 Ta thấy: + Nếu x2 x x x x x 1 x Lúc log x < nên x x log x x x2 x x Lúc log x > nên + Nếu x Suy 0,25 x x log x 0,25 x x log x 0, x 0, x Do (1) log x 2m log x (2) 1 Đặt t log x , ta có x ;16 \{1} t 2; 4 \{0} 2 (2) trở thành t 2mt (3) t2 1 m (*) + Khi t [ 2;0) : (3) t t2 1 m (**) + Khi t (0, 4] : (3) t 0,25 t2 1 ,t + Xét hàm số f (t ) t t t 1 Ta có f '(t ) , f '(t ) t t 1 lim y , lim y x 0 x 0 Bảng biến thiên f(t): 0,25 10 Từ bảng biến thiên suy bất phương trình (1) có nghiệm (*) có nghiệm t [ 2;0) (**) có nghiệm t (0, 4] m 2 m Vậy: m 2 m Cho tam giác ABC, tìm giá trị nhỏ cosC biết góc A, B, C thỏa mãn B C C A A B 1,0 điều kiện cot cot cot cot cot cot 2 2 2 Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác ABC, ta có 0,25 B C C A A B cot cot cot cot cot cot 2 2 2 A B C cos cos cos 2 2 3 0 B C C A A B sin sin sin sin sin sin 2 2 2 sin A 2sin B 3sin C Theo định lí hàm số sin, ta có a 2b 3c a2 4ab 4b2 9c2 Theo định lí hàm số cosin ta a 4ab 4b2 a b2 2abcosC , suy 2ab(2 9cosC)=8a 5b2 0,25 Theo bất đẳng thức AM-GM ta 8a 5b2 8a 5b2 10ab 0,25 10 10 b a 8a 5b Dấu đẳng thức xảy (thỏa điều kiện a, a 2b 3c c 10 b 0,25 12 10 b, c ba cạnh tam giác) Vậy, giá trị nhỏ cosC Hết -Do ta 2ab(2 9cosC) 10ab cosC ... TẤT THÀNH HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN NĂM HỌC 2015 -2016 MƠN THI: TỐN ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Câu Ý Nội dung Khảo sát biến thi? ?n vẽ đồ thị hàm số y x3 3x + Tập xác định: Hàm số... Phương trình (1) có: ' 13 4 2i Do phương trình (1) có hai nghiệm là: z1 ? ?3 2i z2 ? ?3 2i (thỏa z1 có phần ảo âm) Ta có ? ?3 2i (? ?3 2i) 12i 4i 2i ... bảng biến thi? ?n f(x) bảng xét dấu f’(x) điểm tối đa Gọi z1 , z2 hai nghiệm phương trình z z 13 , biết z1 có phần ảo âm Giá trị cực đại hàm số x a Tính z1 z2 0,5 z z 13 (1)