CHƯƠNG 5 các vấn đề TRỌNG tâm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI BÀI TIỂU LUẬN MÔN HỌC Khoa học dịch vụ CHƯƠNG 5: CÁC VẤN ĐỀ TRỌNG TÂM Mục lục Phân công công việc 5.1 Giới thiệu 5.2: Công thức đỉnh trọng tâm 12 5.3: Các vấn đề trọng tâm tuyệt đối 5.3.1: Các vấn đề trọng tâm tuyệt đối 5.3.2: Các trọng tâm khơng có trọng số 5.3.3 Trọng tâm có trọng số 14 15 19 20 5.4 Vấn đề P-trọng tâm đỉnh không trọng số đồ thị phổ biến 25 Bài tập 29 Phân công công việc: Sinh viên Công việc Nguyễn Xuân Bách Dịch phần 5.1 Trần Thị Quỳnh Giao Dịch phần 5.2→5.3.2, Bài tập 5.1 Tống Thanh Mai Dịch phần 5.3.3 Tống Lý Trinh Dịch phần 5.4, Bài tập 5.3 5.1 Giới thiệu Trong phần bao quát vấn đề thảo luận chương 4, bao phủ khoảng cách nhu cầu sở gần quy định ngoại sinh Trong mơ hình bao phủ tập, thử tìm kiếm vị trí số lượng sở tối thiểu cần thiết để bao phủ tất nút nhu cầu Chúng ta nhận thấy bối cảnh thực tiễn, số lượng sở cần thiết để bao quát tất nút nhu cầu khoảng cách định ngoại sinh bị cấm lớn Hơn nữa, mơ hình bao phủ thất bại việc giải thích cho thực tế nhu cầu nút khác Để giảm bớt vấn đề đó, xây dựng thảo luận vấn đề độ bao phủ tối đa vị trí Trong mơ hình đó, liên kết mức nhu cầu với nút nhu cầu tìm kiếm sở có vị trí cố định để tối đa hóa số lượng nhu cầu bao phủ Trong mơ hình bao phủ tối đa địa điểm, nới lỏng yêu cầu tất nút bao phủ Trong chương này, chấp nhận chiến lược khác để giải thiếu sót mơ hình bao phủ tập Cụ thể, mơ hình bao phủ tập, yêu cầu tất nhu cầu bao bao phủ Tuy nhiên, thay sử dụng khoảng cách bao phủ ngoại sinh u cầu mơ hình tối thiểu hóa số lượng sở cần thiết để bao phủ tất nút nhu cầu, yêu cầu mô hình tối thiểu hóa bao phủ khoảng cách cho nút nhu cầu bao phủ khoảng cách xác định nội sinh sở Mơ hình biết đến vấn đề P-center minimax giảm thiểu khoảng cách tối đa nhu cầu sở gần đến nhu cầu Hình 5.1 tóm tắt mối quan hệ vấn đề: bao phủ, bao phủ tối đa vấn đề trung tâm Hình 5.1 tóm tắt mối quan hệ vấn đề: bao phủ, bao phủ tối đa vấn đề trung tâm Chúng ta cần phải phân biệt vấn đề, vấn đề mà sở đặt đâu mạng (ví dụ: nút cung mạng), vấn đề mà sở đặt nút mạng Danh mục vấn đề cũ, mà sở đặt đâu mạng lưới biết vấn đề trung tâm tuyệt đối Các vấn đề mà sở đặt nút biết vấn đề đỉnh trung tâm Như trường hợp mơ hình bao phủ, dễ dàng xem giải pháp cho vấn đề trung tâm tuyệt đối tốt với giải pháp cho vấn đề đỉnh trung tâm Xem hình 5.2 Hình 5.2 Mạng lưới minh họa Hình 5.3 Mạng lưới dùng để minh họa mối quan hệ vấn đề bao phủ tập vấn đề P-center Hình giống với hình 4.1 Nếu sở đặt node ( vertex center problem) đặt sở (P = 1), node đươc tối ưu khoảng cách tối đa từ node nhu cầu tới sở Để minh họa thêm mối quan hệ mơ hình bao phủ tập P-center problem, xem hình 5.3 Bảng 5.1 giải pháp cho mơ hình bao phủ tập (trong giới hạn sở node) cho tất bao phủ khoảng cách thích hợp từ (Khi sở cần thiết) đến khoảng cách 15 (Khi sở cần thiết) Các kết hình 5.4 Các giải pháp cho vấn đề P-center đỉnh P có nhiều giá trị, số lượng sở tìm thấy phía cuối bên trái dịng hình 5.4 Ví dụ, với P = 6, sở được đặt node giá trị hàm mục tiêu vấn đề P-center đỉnh Với P = 4, sở đặt (tại node A, B, D E) Khoảng cách tối đa sở node nhu cầu 7, khoảng cách sở node E node nhu cầu C (hoặc sở node D node nhu cầu F) Bảng 5.1 Các giải pháp cho vấn đề bao phủ tập hình 5.3 cho khoảng cách bao phủ khác Hình 5.4 Các sở cần thiết với bao phủ khoảng cách hình 5.3 Chú ý hình 5.4 khơng bao gồm dòng đại diện cho sở Giải pháp cho vấn đề P-center P = 5? Câu trả lời giải pháp tương tự P = Trong trường hợp này, thêm sở thứ phải đặt node không cho phép giảm khoảng cách tối đa node nhu cầu mà khơng có sở đặt gần sở Bảng 5.2 tóm tắt kết P-center cho vấn đề Chú ý bao phủ khoảng cách vấn đề giá trị hàm mục tiêu xác định nội sinh Cuối cùng, lần thấy giải pháp cải thiện đáng kể sở đặt link với node Hình 5.5 – 5.9 giải pháp tối ưu từ đến sở sở đặt đâu mạng lưới hình 5.3 Các địa điểm sở biểu diễn dấu chấm đen ký hiệu ký hiệu la mã Trong tất trường hợp, sở node α sở có khoảng cách tới node nhu cầu xác định giá trị hàm mục tiêu P-center tuyệt đối Hình 5.10 so sánh giá trị hàm mục tiêu cho đỉnh vấn đề trung tâm tuyệt đối cho mạng lưới hình 5.3 Bảng 5.2 Các giải pháp cho P-center problem hình 5.3 với số lượng sở khác Hình 5.5 Giải pháp tối ưu cho vấn đề 1-center hình 5.3 Hình 5.6 Giải pháp tối ưu cho vấn đề 2-center hình 5.3 Hình 5.7 Giải pháp tối ưu cho vấn đề 3-center hình 5.3 Hình 5.8 Giải pháp tối ưu cho vấn đề 4-center hình 5.3 Hình 5.9 Giải pháp tối ưu cho vấn đề 5-center hình 5.3 10 Nút H nút xa từ nút G, gọi nút H e Trọng tâm tuyệt đối nằm trung điểm nút G H đường dẫn từ nút G đến nút H 9,5 đơn vị từ nút E liên kết kết nối nút C E, Hình 5.14 Hàm mục tiêu (W) 20,5, khoảng cách tối đa từ trọng tâm tuyệt đối đến nút G nút H Trọng tâm đỉnh nút C (được tìm thấy cách di chuyển trọng tâm tuyệt đối đến đỉnh gần có chưa nằm đỉnh) Hàm mục tiêu cho toán 1-đỉnh trọng tâm 21 Trong tìm khoảng cách đường ngắn từ nút định đến tất nút khác mạng chung yêu cầu O(n2) làm việc, có khoảng cách đường ngắn từ nút đến tất nút khác tìm thấy thời gian O, n số lượng nút biểu đồ Trong bước thuật tốn, cần tìm khoảng cách đường ngắn 15 từ nút chọn ngẫu nhiên đến nút khác Điều đòi hỏi O(n) thời gian Tương tự, bước yêu cầu thời gian từ đó, chúng tơi tìm đường ngắn từ nút (nút e 1) đến tất nút khác Cuối cùng, bước liên quan đến việc liệt kê đường dẫn từ e đến e2, thực thời gian O(n) Do đó, tồn thuật tốn u cầu thời gian Nói cách khác, thời gian thực trường hợp xấu thuật tốn tăng tuyến tính với số lượng nút Bây chứng minh điểm X tìm thấy thuật tốn tối ưu Để làm vậy, cần chứng minh khơng có điểm e xa X e1 e2 Chúng ta chứng minh khơng có điểm tồn cách giả sử điểm tồn cho thấy giả định dẫn đến mâu thuẫn với thông tin biết Nếu điểm e3 tồn cách xa X e1 e2, có hai trường hợp cần xem xét Trong trường hợp đầu tiên, nút e3 nằm phía với X đường dẫn từ e1 đến e2 e2, điểm xác định bước thuật toán Nếu trường hợp, a Đặt đỉnh C e1 - Tìm đỉnh xa đỉnh C nhất: Đỉnh I cách đỉnh C 48 đơn vị => Đặt đỉnh I e2 - Trọng tâm tuyệt đối điểm nằm điểm e e2 Gọi X điểm nằm cách đỉnh e e2 Khi đó, X trọng tâm tuyệt đối cây, hàm mục tiêu W = 24 - Điểm X điểm nằm I C, điểm X nằm dây cung DE, cách D đơn vị cách E đơn vị Hình minh họa điểm X: 27 (b) Đỉnh trọng tâm cây, đỉnh có khoảng cách ngắn tính từ trọng tâm tuyệt đối Ta có: X nằm dây cung DE, X cách D đơn vị cách E đơn vị Khi đó, chọn D đỉnh trọng tâm có khoảng cách nhỏ kể từ trọng tâm tuyệt đối X (c) Tìm trọng tâm tuyệt đối cây: Ta có X trọng tâm tuyệt đối xét Sử dụng phương pháp tìm trọng tâm nêu ta được: - Xóa dây cung chứa trọng tâm tuyệt đối X=> Xóa dây cung DE ta H1 H2 hình đây: 28 - Sử dụng phương pháp tìm trọng tâm tuyệt đối cho H H2 ta tìm trọng tâm tuyệt đối X X2 ứng với H1 H2 với hàm mục tiêu W1 = 18, W2 = 18, hình sau: - Trọng tâm X1 nằm dây cung DB, cách D đơn vị, cách B đơn vị - Trọng tâm X2 nằm dây cung EI, cách E đơn vị, Cách I 18 đơn vị 5.3: Show that the solution to the absolute 1-center problem on an unweighted tree is unique Yêu cầu: Chứng minh 1-trọng tâm tuyệt đối khơng có trọng số Trả lời: - Giả sử tồn điểm X1 trọng tâm tuyệt đối ban đầu - Trọng tâm tuyệt đối X1 điểm nằm đường dẫn từ hai điểm e1 e2 cách điểm - Do tồn X1 trọng tâm tuyệt đối nên X1 nằm đường dẫn từ e1 đến e2 - => tồn đường dẫn từ điểm e1 đến điểm e2 => tồn chu trình => Vơ lý (Do đồ thị liên thơng khơng có chu trình) - => Điều giả sử sai - => Trọng tâm tuyệt đối khơng có trọng số (đpcm) 29 ... việc 5. 1 Giới thiệu 5. 2: Công thức đỉnh trọng tâm 12 5. 3: Các vấn đề trọng tâm tuyệt đối 5. 3.1: Các vấn đề trọng tâm tuyệt đối 5. 3.2: Các trọng tâm khơng có trọng số 5. 3.3 Trọng tâm có trọng. .. vấn đề tuyệt đối 1- trọng tâm trọng tâm tuyệt đối Phần 5. 4 tóm tắt cách tiếp cận giải pháp cho vấn đề P-đỉnh trọng tâm biểu đồ chung Phần 5. 5 trình bày đặc điểm giải pháp cho vấn đề P trọng tâm. .. cho vấn đề 2-center hình 5. 3 Hình 5. 7 Giải pháp tối ưu cho vấn đề 3-center hình 5. 3 Hình 5. 8 Giải pháp tối ưu cho vấn đề 4-center hình 5. 3 Hình 5. 9 Giải pháp tối ưu cho vấn đề 5- center hình 5. 3