1. Trang chủ
  2. » Luận Văn - Báo Cáo

Chuẩn Monge - Ampere Đối Với Hàm Delta Đa Điều Hòa Dưới

46 18 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 46
Dung lượng 1,44 MB

Nội dung

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM BOUNTHOUNG SALILACK CHUẨN MONGE-AMPERE ĐỐI VỚI HÀM DELTA ĐA ĐIỀU HÒA DƢỚI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM BOUNTHOUNG SALILACK CHUẨN MONGE-AMPERE ĐỐI VỚI HÀM DELTA ĐA ĐIỀU HỊA DƢỚI Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS PHẠM HIẾN BẰNG THÁI NGUYÊN - 2015 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tơi Các tài liệu luận văn trung thực Luận văn chưa cơng bố cơng trình Tác giả Bounthoung SALILACK Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ii LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp xin cám ơn Thầy hướng dẫn hiệu kinh nghiệm trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Phịng Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập nghiên cứu khoa học Xin chân thành cảm ơn Trường Cao đẳng sư phạm Saravan-CHDCND Lào đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ mặt q trình học tập hồn thành luận văn Bản luận văn chắn không tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo bạn học viên để luận văn hồn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ tơi thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Tháng năm 2015 Tác giả Bounthoung SALILACK Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Bố cục luận văn Chƣơng CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Dạng vi phân dòng lý thuyết đa vị 1.2 Hàm điều hòa 1.3 Hàm đa điều hoà 1.4 Toán tử Monge- Ampère phức 11 1.5 Các lớp Cegrell £ n 22 Chƣơng CHUẨN MONGE-AMPERE ĐỐI VỚI HÀM d - ĐA ĐIỀU HOÀ DƢỚI 24 2.1 Định nghĩa chuẩn 24 2.2 Tô pô dF 28 2.3 Không gian đối ngẫu 30 2.4 So sánh với hàm d - điều hoà 35 KẾT LUẬN 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lớp hàm d - đa điều hoà toán tử Monge-Ampere từ lâu nghiên cứu Arsove (năm 1953), Kiselman (năm 1977), Cegrell (năm 1977) Đó lớp hàm biểu diễn dạng hiệu hai hàm đa điều hoà Ký hiệu lớp dPSH (W) Cegrell (năm 1978) [5] miền giả lồi W phiếm hàm tuyến tính liên tục dPSH (W) mang tập compact đa cực viết dạng hiệu hai phiếm hàm dương Gần Cegrell xét hiệu hàm đa điều hoà lớp lượng F Giả sử W miền siêu lồi £ n , F = F (W) nón lồi khơng gian tuyến tính L1loc (W) Ký hiệu dF = dF (W) tập hợp tất hàm u Ỵ L1loc (W) viết dạng u = u - u , u Ỵ F (W) Khi dF (W) làm thành khơng gian tuyến tính trang bị cho khơng gian chuẩn phụ thuộc vào toán tử Monge-Ampere tổng quát để trở thành khơng gian Banach dF Theo hướng nghiên cứu chọn đề tài: "Chuẩn Monge-Ampere hàm delta- đa điều hòa dưới" Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn trình bày kết gần U Cegrell J.Wiklund Xét hiệu hàm đa điều hòa lớp lượng F không gian tuyến tính trang bị cho khơng gian chuẩn phụ thuộc vào toán tử Monge-Ampere phức tổng quát, biến khơng gian tuyến tính thành khơng gian Banach dF Trình bày số vấn đề tơpơ không gian chứng minh dF không không gian tách Đồng thời nghiên cứu không gian đối ngẫu Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào nhiệm vụ sau đây: - Trình bày tổng quan hệ thống kết Dạng vi phân dòng lý thuyết đa vị, tính chất hàm điều hồ dưới, hàm đa điều hồ dưới, tốn tử Monge-Ampère, giới thiệu lớp Cegrell £ n - Trình bày kết gần U Cegrell J.Wiklund chuẩn Monge-Ampere hàm d - đa điều hồ tốn tử MongeAmpere Phƣơng pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp giải tích phức kết hợp với phương pháp giải tích hàm đại, phương pháp lý thuyết đa vị phức Bố cục luận văn Nội dung luận văn gồm 40 trang, có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày tổng quan hệ thống kết Dạng vi phân dòng lý thuyết đa vị, tính chất hàm điều hồ dưới, hàm đa điều hồ dưới, tốn tử Monge-Ampère, giới thiệu lớp Cegrell £ n Chương 2: Là nội dung luận văn, trình bày số kết chuẩn Monge-Ampere hàm d - đa điều hồ Phần đầu chương trình bày việc trang bị chuẩn cho dF để trở thành không gian Banach, nghiên cứu số tính chất tơ pơ dF Tiếp theo nghiên cứu khơng gian đối ngẫu (dF )¢ dF Phần cuối chương trình bày nghiên cứu so sánh với hàm d - điều hoà miền  n Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn Chƣơng CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Dạng vi phân dòng lý thuyết đa vị Giả sử ¡ n không gian vector n chiều với sở tắc e j = (0, , 0,1, 0, , 0) , ở vị trí thứ j Giả sử với £ j £ n kí hiệu n f : ¡14444 ´ 42 4444 ´ ¡ 4n3 ® £ gọi u j hàm tọa độ thứ j : u j (x ) = x j Một ánh xạ p p - tuyến tính tuyến tính theo biến biến khác cố định Một ánh xạ p - tuyến tính cho f (v1, , v p ) = v j = v j + 1,1 £ j < n gọi ánh xạ p - tuyến tính thay dấu Tập ánh xạ p - tuyến tính thay dấu n ´ 42 4444 ´ ¡ 4n3 tới £ kí hiệu từ ¡14444 Ùp ( ¡ n ,£) p Định nghĩa 1.1.1 Giả sử WÐ ¡ ánh xạ a :U ® Ùp ( ¡ n tập mở Một p - dạng vi phân W n ,£ ) Nếu đặt dx k (x ) = uk ,1 £ k £ n , x Ỵ W ta viết p - dạng vi phân a W dạng: a (x ) = å ' a I (x )dx I I I = (i1, , i p ),1 £ i1 < < i p £ n , dx I = dx i Ù Ù dx i , a I (x ) p hàm W Giả sử a = å ' a I dx I p - dạng b = I å ' bJ (x )dx J q - dạng, J £ i1 < < i p £ n £ j1 < < jq £ n tích ngồi a Ù b Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ( p + q) - dạng cho công thức a Ù b = å g Ldx L , gLdx L = L ik = jl với £ k £ p,1 £ l £ q gLdx L = (- 1)s a I bJ dx l Ù Ù dx l 1 £ l1 < < lp + q £ n với s , hoán vị dãy i1 < i2 < < i p tập hợp j1 < j < < jq p+ q {1, , n } để tạo thành dãy tăng £ l1 < < lp + q £ n Nếu f hàm f Ù a = f a ( f a ) Ù b = f ( a Ù b ) Mọi p - dạng a với p > n Các dạng có bậc cực đại dạng bậc n Cho a p - dạng lớp C Vi phân (đạo hàm ngoài) a ( p + 1) - dạng cho bởi: da = å 'd a I Ù dx I I Nếu da = ta nói a dạng đóng Mọi dạng có bậc cực đại đóng Giả sử a = j dx1 Ù Ù dx n , j Ỵ L1(W) Khi ị a = ò j dx W Ù Ù dx n = W ò j dV , W dV độ đo Lebesgue W Định nghĩa 1.1.2 Một dòng bậc p hay có chiều (n - p ) tập mở WÐ ¡ n dạng tuyến tính liên tục T : D(n - p ) (W) ® £ Nếu a dạng D (n - p ) (W) , giá trị T a , kí hiệu T ( a ) hay T , a Bây giả sử p, q = 0,1, , n Ta kí hiệu £ ( p ,q ) tập dạng phức song bậc ( p, q ) hệ số £ n Khi w Ỵ £ ( p,q ) w biểu diễn: Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn å w= ' wJK dz J Ù dz K J = p, K = q wJK Ỵ £ , dzJ = dz j Ù Ù dz j , dz K = dz k Ù Ù dz k tổng lấy theo p q đa số J = ( j 1, , j p ), K = (k1, , kq ) với £ j1 < < j p £ n , £ k1 < < kq £ n &hler tắc £ n cho bởi: Dạng K a& i i n b = ¶ ¶ z = å dz j Ù dz j 2 j=1 Khi dạng thể tích £ n @ ¡ dV = 2n cho bởi: n i i i b = b14442 Ù 4443 Ù b = dz1 Ù dz1 Ù dz Ù dz Ù Ù dz n Ù dz n n! n! 2 n i = ( )n dz1 Ù dz Ù Ù dz n Ù dz n Nếu w Ỵ £ ( p, p ) biểu diễn w = i i i w1 Ù w1 Ù w2 Ù w2 Ù Ù w p Ù w p 2 với w j Ỵ £ (1,0) w gọi dạng dương sơ cấp Mệnh đề 1.1.3 Không gian dạng song bậc ( p, p ) sinh dạng dương sơ cấp Chứng minh Giả sử w Î £ ( p, p ) Khi viết: w= i w J ,K ( )p dz j Ù dz k Ù Ù dz j Ù dz k 1 p p J = p, K = p å Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 27 Theo Bổ đề 2.1.5 ta có (ị u + v + 2e > (dd c (u1 + u )n W ³ (ò 1/ n ) + (ò (dd c (v1 + v2 )n W (dd c (u1 + u + v1 + v2 )n W 1/ n ) 1/ n ) Hơn u + v1 - (u + v ) = u - v , nên u + v1 u + v hai hàm thuộc tập mà ta lấy infimum trên, ta có (ị (dd c (u1 + u + v1 + v2 )n W 1/ n ) ³ u+v Từ ta có u + v £ u + v Bổ đề 2.1.7 Nếu u = , u = Chứng minh Lấy e > tùy ý Vì u = n n inf [( ò (dd (u1 + u ) ) ] , c u1 - u = u u1 ,u Ỵ F W Nên tồn u%i Ỵ F cho ò (dd (u% + u%) c n < e W Lấy dãy {v j } Ð E0 Ç C (W) cho v j ] u%1 + u%2 j đ + Ơ Ly t > đặt h1 = max {v j , - t } Theo bất đẳng thức Blocki (Định lý 2.1.3) ta có n ! e > n ! ò (dd cv j )n > W ò (h W Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN j - v j )n dV , http://www.lrc.tnu.edu.vn 28 Từ n ! > hj - v j vol(W) Ln ta nhận Cho t ] n !e > vj vol(W) Ln không phụ thuộc vào j Như u1 + u u Ln < C e cho e ® ta nhận = , u = trừ tập có độ đo 0, u Ỵ dF nên Ln ta có u º 2.2 Tơ pô dF ( ) Định lý 2.2.1 dF , không gian Banach ( Chứng minh Theo Bổ đề 2.1.4, 2.1.7 Hệ 2.1.6 ta có dF , ) khơng gian tuyến tính định chuẩn Ta chứng minh khơng gian đầy đủ { } dãy Cauchy dF Với k Giả sử un nguyên tồn n k cho un - um < 2- k với n , m > n k Ta chọn n k cho n k + > n k Ta có u n = un + (un - u n ) + + (u n - u n k k j = 1, , k nên ta viết u n - u n j f j1, f j j- ( k - 1) = f j1 - f ) Vì un Ỵ dF j với f j1, f j Ỵ F , chọn cho un - un j với j j- 1 n ửn n ửn ổ ổ ỗỗũ (dd c (j 1j + j j2 )) ữ = inf ỗỗỗũ (dd c (j + j )) ÷ ³ - 2- j - ữ ữ ữ ữ ỗ ố ø è ø Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 29 Khi ta có un = un + (f 21 - f 22 ) + + (f k1 - f k2 ) k = un + (f 21 + + f k1 ) - (f 22 + + f k2 ) k å f j1 Ỵ P SH - (W) l dóy gim v j= ổ ỗỗ dd c ççèò ( (å £ £ k j= 1/ n ö ÷ ÷ ÷ ÷ ø n j f )) ( (ồ ổ ỗ dd c f + f j j= 2ỗ ỗốũ k k ( ( (2 - j j= +2 - j- 1/ n ) ổ Ê ỗỗỗũ dd c ốỗ j )) < j= 1/ n ÷ ÷ ÷ ø n £ n å n k k j= f +f (u j j nj - un )) 1/ n ÷ ÷ ÷ ÷ ø £ 1/ n +2 - j- j- ) 2- k Như å f j dãy giảm hàm đa điều hoà với khối lượng tổng j= k cộng bị chặn Lập luận tương tự cho å f j2 Vì un hội tụ đến u Ỵ dF k j= { } dãy Cauchy nên u un n ® u Vậy dF khơng gian đầy đủ, khơng gian Banach Bổ đề 2.2.2 F đóng tơpơ dF Chứng minh Lấy dãy Cauchy un Ð F Chọn dãy đếm u n¢, { } u p = u + u - u + + u p - u p - , theo lý giống chứng minh tính đầy đủ dF , ta u p ® u Ỵ F Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 30 Mệnh đề 2.2.3 Các hàm liên tục không trù mật dF Hơn dF không không gian tách Chứng minh Ký hiệu số Lelong u x n(u, x ) Số Lelong gốc phiếm hàm tuyến tính dF , n(., 0) phiếm hàm tuyến tính liên tục dF , ước lượng sau: (2pn(u, x ))n £ (dd cu )n ({x }) với u Ỵ F (xem [7]) Với mi hm u ẻ P SH ầ C , ta có n(u, 0) = , log z xấp xỉ hàm liên tục tôpô { } Đối với phát biểu thứ hai mệnh đề, ta giả sử dF tách Lấy u j tập trù mật dF Ta biết tập hợp, số Lelong dương hàm u cho có độ đo Lebesgue Như hợp tập hợp, số Lelong dương hàm thuộc {u } j có độ đo Lebesgue Lấy điểm x tuỳ ý không thuộc hợp đó, tức n(u i , x ) = với u i Khi ta thấy v (z ) = ò log z d W x { } xấp xỉ hàm u j 2.3 Không gian đối ngẫu Ký hiệu đối ngẫu tơpơ dF (dF )¢ Định lý 2.3.1 Lấy y ẻ F Gi s Y ẻ (dF )Âc cho Y(u ) = c c ò dd u Ù (dd y ) Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN n- http://www.lrc.tnu.edu.vn 31 Khi Y = y Y(u ) = n- y ¹ khơng có độ đo Borel W cho ò udm Chứng minh Giả sử u Ỵ F Theo Bổ đề 2.1.2 ta có ị dd u Ù (dd y ) Y(u ) = c Do Y(u ) £ u y c n- n- 1 n n n- n (ò (dd u ) ) (ò (dd y ) ) £ c c n Lấy f Ỵ dF chọn u , v Ỵ F tùy ý cho f = u - v , Y( f ) £ inf f = u- v u ,v Ỵ F Mặt khác, lấy u = y ( ò (dd (u + v) - Y(u ) = c n 1/ n ) y n = f y n- y u = c ò dd ( y - y ) Ù (dd c y )n - = y n- Suy Y = sup Y( f ) = y n- f =1 Để Y không cho độ đo Borel, ta lấy u , v Ỵ F cho u = v gần ¶W Khi ị dd u Ù (dd y ) c c n- W theo Định lý Stoke, Y(u ) = = ò dd c v Ù (dd c y )n - W ò ud m W Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN ị (v - u )d m = W http://www.lrc.tnu.edu.vn 32 Vì C0¥ Ð dE0 (xem Bổ đề 3.1 [7]) nên điều kéo theo dm có giá { } biên W Nhưng Y(u ) = với u Ỵ E0 Lấy dãy u j Ð E0 y Do tính liên tục Y ta nhận cho u j ] lim Y(u j ) = lim jđ Ơ jđ Ơ c c ũ dd u j Ù (dd y ) n- = ò (dd y ) c n = W Suy y = Ví dụ 2.3.2 Giả sử q > Lấy g Ỵ Lq (W) Với u Ỵ F (W) bất kỳ, đặt T (u ) = ò ugdV , thỡ T ẻ (dF )Â Chng minh T [8] suy với u Ỵ F với A phụ thuộc vào W cho òe - u ò (dd u ) c n £ 1, tồn số dV £ A Do u Ỵ Lp , " p Định lý 2.3.3 Nếu T hàm tuyến tính dF cho T (x ) ³ với x Ỵ F T liên tục {} Chứng minh Lấy dãy bị chặn fk Ð dF cho fk < M Khi tồn x k , y k Ỵ F cho fk = x k - y k x k + y k < M + Từ đó, ta có x k = fk + y k £ fk + y k £ £ M + y k £ M + x k + y k £ 2M + suy ò (dd y c k )n £ ò (dd (x c k + y k ))n { } Nếu T bị chặn tất dãy bị chặn x k Ð F Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 33 T ( fk ) = T (x k ) - T (y k ) £ T (x k ) + T (y k ) Do T ( fk ) bị chặn Giả sử T không liên tục Khi tồn dãy bị chặn {f }Ð dF cho {T ( fk )} không bị chặn Do tồn dãy bị chặn {x }Ð F cho T (x k ) > k > k k ¥ Đặt f = å k - 2x k Vì F nón lồi {x k } bị chặn nên f Ỵ F Chú ý k= p T (f ) = T ( å x k ) + T ( k= ¥ å p xk ) ³ T (å xk ) , k = p+ k=1 p T ³ F Nhưng T (f ) ³ å k - với p > , tức k= T = + ¥ Mâu thuẫn với T < + ¥ Định nghĩa 2.3.4 Nếu C nón khơng gian vectơ L , nón đối ngẫu C ¢ C nh ngha l hp C Â= {T ẻ L : T (x ) ³ 0, u Ỵ C } Định lý 2.3.5 (dF )¢= F ¢- F ¢= dF ¢= Chứng minh Lấy T Ỵ (dF )¢và xét ánh xạ p : F ® ¡ + xác định p(u ) = sup {T (v) : u £ v £ 0} Vì T tuyến tính nên ta có p(l u ) = l p(u ) với l ³ {f } { } { } u+v£ f £ É f u£ f £ + f v£ f £ Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 34 { } nên p(u + v) ³ p(u ) + p(v) Như tập hợp V = (t , u ) o £ t £ p(u ) nón lồi ¡ ´ dF ¡ ´ dF {u }Ð k F cho uk đ k đ + Ơ Nếu j Ỵ F u k £ j £ ị (dd j ) c khơng gian định chuẩn Lấy dãy n £ ò (dd c u k )n , từ j £ uk Như p(u k ) ® k ® + ¥ tính liên tục T Ta kết luận (1, 0) Ï V Vì dF lồi địa phương { } nên tồn mặt phẳng thực đóng tách V (1, 0) , ta chọn h cho H = (t , u ) h(t , x ) = - h ³ V h(1, 0) = - Vì ( ¡ ´ dF )¢ đẳng cấu đại số với ( ¡ Å dF )¢ (xem Định lý 4.3[9]) nên ta có h(t , u ) = a t + g(u ) Do h(1, 0) = a = - Vì (0, u ) Ỵ V với u ẻ F v g ẻ (dF )Â, nờn ta có g(u ) ³ F theo cách chọn H Vì V chọn cho ( p(u ), u ) Ỵ V , nên h(p(u ), u ) = - p(u ) + g(u ) ³ , suy T (u ) £ p(u ) £ g(u ) Tóm lại ta có T = g - (g - T ), g - T ³ Theo Định lý 2.3.3 toán tử tuyến tính dương F liên tục Có thể mở rộng định nghĩa tốn tử Monge-Ampere tồn dF Giả sử u Ỵ dF , u = u - u với u 1, u Ỵ F định nghĩa n (dd cu )n = å (- 1) j (nj )(dd cu )n - j Ù (dd cu ) j j= Để thấy định nghĩa độc lập với việc chọn hàm thuộc F , ta giả sử u = u1 - u = v1 - v2 h Ỵ E0 Khi ta có ị hdd (u c - u ) Ù Ù dd c (u - u ) Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 35 = ò (u = ò (v = ò hdd (v - u )dd ch Ù dd c (u - u ) Ù Ù dd c (u - u ) - v2 )dd ch Ù dd c (u - u ) Ù Ù dd c (u - u ) c - v ) Ù dd c (u - u ) Ù Ù dd c (u - u ) lặp lại tính liên tục ta nhận ị hdd (u c - u ) Ù Ù dd c (u1 - u ) = ò hdd (v c - v2 ) Ù Ù dd c (v1 - v2 ) Hệ 2.3.6 Các phiếm hàm sau liên tục dF : i ) khối lượng tổng cộng độ đo Monge-Ampere ii ) Các số Lelong tổng quát Demailly n(dd cu, j ) dịng dd c u có trọng j 2.4 So sánh với hàm d - điều hoà dƣới Bây ta xét lớp hàm d - điều hoà miền thuộc £ n Giả sử có họ nửa chuẩn không gian Frechet X K nón lồi đóng X , ta làm cho K trở thành không gian Frechet với tô pô xác định nửa chuẩn f j { } = inf g + h : f = g - h; g, h Ỵ K , j ẻ Ơ , j j l h nửa chuẩn cảm sinh X j Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 36 Định nghĩa 2.4.1 (Tập hợp dm ) Cho m (W) tập hợp độ đo dương cho viết m = D j với j Ỵ P SH (W) Ta ký hiệu không gian sai phân thuộc nón dm (W) Vì miền mở WÐ £ n para-compact nên đủ để định nghĩa nửa chuẩn với tập compact tuỳ ý K Ð W sinh tôpô từ nửa chuẩn Sử dụng tôpô dP SH hàm d - đa điều hoà dưới, định nghĩa phần giới thiệu ta có tính chất liên tục toán tử Laplace Định lý 2.4.2 Giả sử W miền giả lồi Khi dm (W) khơng gian Frechet với nửa chuẩn xác định m K ổ ữ , K é W = inf ỗỗỗũ m1 + m2 m = m1 - m2 ; m1, m2 ẻ m (W)ữ ữ ữ ỗố K ứ Hn tốn tử Laplace D : dPSH(W) ® dm (W) liên tục Chứng minh (xem [5]) Định nghĩa 2.4.3 (Tập hợp dM ) Ký hiệu tập hợp tất độ đo Borel thực dương W M (W) , độ đo Borel thực có dấu dM (W) Khi biến thiên tổng cộng độ đo m Ỵ dM (W) theo định lý phân tích cho m = inf {ò m + m m = m W } m2 , m1, m2 Ỵ M (W) Chúng ta xem dM (W) không gian Banach với chuẩn xác định Bây ta ký hiệu toán tử Laplace D ánh xạ từ dF vào dM Rõ ràng D ánh xạ tuyến tính Ta xem xét tính liên tục ánh xạ này: Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 37 Định lý 2.4.4 Giả sử W miền giả lồi chặt với biên trơn lớp C¥ Khi ánh xạ D : dF ® dM liên tục Chứng minh Theo [4] nghiệm j Ỵ P SH (W) tốn Dirichle íï (dd c )n = tr ên W ïï ì ïï j = - z tr ên ¶ W ùợ tha j ẻ C Ơ (W) T suy z + j Ỵ E0 (W) Tính tốn trực tiếp ta dd cu Ù (dd c z )n - = 4n - 1(n - 1)! D u Như ta có 4n - 1(n - 1) ! ò D u = ò dd cu Ù (dd c z )n - £ ò dd c u Ù (dd c z W W + j )n - W £ 1/ n (ò (dd u ) ) c n W £C ổ ỗỗũ (dd c z ố W ( n - 1)/ n +j) ÷ ÷ ø n 1/ n (ò (dd u ) ) c n W với số C > đó, bất đẳng thức thứ hai suy từ Bổ đề 2.1.2 Lấy u Ỵ dF e > , tồn u 1, u cho u = u - u , ị (dd c (u1 + u ))n £ u n + e W Theo tính tốn ta có Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 38 ò Du W ò D (u + D u2 = W + u ) £ C ¢( ò (dd c (u + u ))n )1/ n < C ¢ u + e W với số C ¢ khơng phụ thuộc vào e Cho e ® ta điều phải chứng minh Tuy nhiên, tính liên tục D nói chung khơng xảy Xét ví dụ sau: ỉ çè Ví dụ 2.4.5 Lấy u k = max ççk log z , không phụ thuộc k cho ị D ÷ log z ÷ Khi tồn số c ÷ ÷ k ø D u k ³ c.k , ò D (dd c (u k ))2 = (2p )- Chứng minh Lấy c 1, c Ỵ C0¥ (D ) , D đĩa đơn vị Khi ta có ị D2 = c 1c D u k = ò u k (z 1, z )D ( c 1(z )c (z )) = ò u k (z 1, z )( c (z )D 1( c 1(z ) + c 1(z )D c (z2 )) ò D2 D2 D2 c ò u k D 1c + D = ò D2 ò D2 c ò uk D 2c ³ D ò D2 c ò u k D 1c D c ò c 1D 1u k D Lấy c cho c º D(1 / 2) Đối với z cố định với z < / ta biết D 1max (k log z , k - log z ) k lần độ đo Lebesgue đường k ïí ïü trịn ì z Ỵ £ : z = z ý Chọn c , không phụ thuộc vo k , cho ùợù ùỵ ù c º z £ (1 / 2)1/ k Từ ta có Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 39 ò D với ò D c ò c 1D 1u k = ò c số D D c k dz Ù dz > c.k 2p không phụ thuộc vào k Nhưng (dd c (u k ))2 = (2p )- æ ữ ỗ ữ Vớ d 2.4.6 t u (z ) = max ỗlog z , log z ữ Khi ú u ẻ F (D ) , ữ ỗố k ứ k= Ơ ị D D u = + ¥ Hơn nữa, lấy f = z - , f Ỵ C(D ) (dd c f )2 = (dd c (u + f ))2 = không bị chặn D ( ) Chứng minh Đặt u k = max log z , k - log z , ta có ị D (dd c (u k ))2 = (2p k )- Theo Bổ đề 2.1.5 ta nhận ò D2 (dd (å c N k= uk )) ổ Ê ỗỗồ ỗố N k= (ò D2 1/ c (dd u k ) ) ổ ữ ỗỗ = ữ ữ ứ ỗố ữ p2 ÷ £ , k= ÷ 144 2p k ÷ ø N u Ỵ F u + f Ỵ F ( f ) Nhưng ta có ị D ị dd cu k Ù dd c ( z - 1) = D dd cu k Ù (2idz Ù dz ) = 16ò D 1u k > c , D số c khơng phụ thuộc vào k , theo bất đẳng thức ví dụ 2.4.5 Như ta có ị D2 (dd (f + å c N u k= k )) ³ 2ũ D2 c c ổ ữ ỗ dd u dd z ữ N k ỗố k= ø N ta nhận khối lượng tổng cộng u + f phân kỳ Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 40 KẾT LUẬN Luận văn trình bày: - Tổng quan hệ thống kết dạng vi phân dòng lý thuyết đa vị, tính chất hàm điều hồ dưới, hàm đa điều hồ dưới, tốn tử Monge-Ampère, giới thiệu lớp Cegrell £ n - Một số kết chuẩn Monge-Ampere hàm d - đa điều hoà dưới, cụ thể là: + Trang bị chuẩn cho dF để trở thành khơng gian Banach + Nghiên cứu số tính chất tơ pơ dF khơng gian đối ngẫu (dF )¢ dF + Các kết so sánh với hàm d - điều hoà miền  n Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt N.Q.Diệu L.M.Hải (2009), Cơ sở lý thuyết đa vị, Nxb Đại học Sư phạm Hà Nội Tiếng Anh Błocki, Zbigniew (1994), Estimates for the complex Monge-Ampère operator, Bull Polish Acad Sci Math 41 (2), 151–157 Błocki, Zbigniew (1997), Personal communication Caffarelli L., Kohn J J., Nirenberg L., and Spruck J (1985), The Dirichlet problem for nonlinear second-order elliptic equations II, Complex MongeAmpère, and uniformly elliptic, equations, Comm Pure Appl, Math 38 (2), 209 - 252 Cegrell, Urban (1978), Delta-plurisubharmonic functions, Math Scand, 43 (2), 343-352 Cegrell, Urban(1998), Pluricomplex energy, Acta Math, 180 (2), 187-217 Cegrell, Urban (2004), The general definition of the complex MongeAmpère operator, Ann Inst Fourier (Grenoble) 54 Cegrell, Urban, and Zeriahi, Ahmed (2003), Subextension of plurisubharmonic functions with boun-ded Monge-Ampère mass, C R Math Acad Sci Paris 336(4), 305-308 Schaefer H H., and Wolff M P (1999), Topological vector spaces, Graduate Texts in Math 3, second edition Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ... đa vị, tính chất hàm điều hồ dưới, hàm đa điều hồ dưới, tốn tử Monge- Ampère, giới thiệu lớp Cegrell £ n - Trình bày kết gần U Cegrell J.Wiklund chuẩn Monge- Ampere hàm d - đa điều hồ tốn tử MongeAmpere... thuyết đa vị, tính chất hàm điều hồ dưới, hàm đa điều hồ dưới, tốn tử Monge- Ampère, giới thiệu lớp Cegrell £ n Chương 2: Là nội dung luận văn, trình bày số kết chuẩn Monge- Ampere hàm d - đa điều. .. bày: - Tổng quan hệ thống kết dạng vi phân dịng lý thuyết đa vị, tính chất hàm điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới, toán tử Monge- Ampère, giới thiệu lớp Cegrell £ n - Một số kết chuẩn Monge- Ampere

Ngày đăng: 02/08/2020, 20:28

Nguồn tham khảo

Tài liệu tham khảo Loại Chi tiết
1. N.Q.Diệu và L.M.Hải (2009), Cơ sở lý thuyết đa thế vị, Nxb Đại học Sư phạm Hà Nội.Tiếng Anh Sách, tạp chí
Tiêu đề: Cơ sở lý thuyết đa thế vị
Tác giả: N.Q.Diệu và L.M.Hải
Nhà XB: Nxb Đại học Sư phạm Hà Nội. Tiếng Anh
Năm: 2009
2. Błocki, Zbigniew (1994), Estimates for the complex Monge-Ampère operator, Bull. Polish Acad. Sci. Math. 41 (2), 151–157 Sách, tạp chí
Tiêu đề: Bull. Polish Acad. Sci. Math
Tác giả: Błocki, Zbigniew
Năm: 1994
4. Caffarelli L., Kohn J. J., Nirenberg L., and Spruck J. (1985), The Dirichlet problem for nonlinear second-order elliptic equations II, Complex Monge- Ampère, and uniformly elliptic, equations, Comm. Pure Appl, Math. 38 (2), 209 - 252 Sách, tạp chí
Tiêu đề: Comm. Pure Appl, Math
Tác giả: Caffarelli L., Kohn J. J., Nirenberg L., and Spruck J
Năm: 1985
5. Cegrell, Urban (1978), Delta-plurisubharmonic functions, Math. Scand, 43 (2), 343-352 Sách, tạp chí
Tiêu đề: Math. Scand
Tác giả: Cegrell, Urban
Năm: 1978
6. Cegrell, Urban(1998), Pluricomplex energy, Acta Math, 180 (2), 187-217 Sách, tạp chí
Tiêu đề: Acta Math
Tác giả: Cegrell, Urban
Năm: 1998
7. Cegrell, Urban (2004), The general definition of the complex Monge- Ampère operator, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 54 Sách, tạp chí
Tiêu đề: Ann. Inst. Fourier (Grenoble)
Tác giả: Cegrell, Urban
Năm: 2004
8. Cegrell, Urban, and Zeriahi, Ahmed (2003), Subextension of plurisubharmonic functions with boun-ded Monge-Ampère mass, C. R. Math. Acad. Sci.Paris 336(4), 305-308 Sách, tạp chí
Tiêu đề: C. R. Math. Acad. Sci. "Paris
Tác giả: Cegrell, Urban, and Zeriahi, Ahmed
Năm: 2003
9. Schaefer H. H., and Wolff M. P. (1999), Topological vector spaces, Graduate Texts in Math. 3, second edition Sách, tạp chí
Tiêu đề: Topological vector spaces
Tác giả: Schaefer H. H., and Wolff M. P
Năm: 1999

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN