Chuẩn Monge Ampere đối với hàm Delta đa điều hòa dưới

I HC THI NGUYấN TRNG I HC S PHM BOUNTHOUNG SALILACK CHUN MONGE-AMPERE I VI HM DELTA A IU HềA DI LUN VN THC S TON HC THI NGUYấN - 2015 S húa bi Trung tõm Hc liu - HTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ I HC THI NGUYấN TRNG I HC S PHM BOUNTHOUNG SALILACK CHUN MONGE-AMPERE I VI HM DELTA A IU HềA DI Chuyờn ngnh: Toỏn gii tớch Mó s: 60.46.01.02 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc: PGS.TS PHM HIN BNG THI NGUYấN - 2015 S húa bi Trung tõm Hc liu - HTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ i LI CAM OAN Tụi xin cam oan õy l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng tụi Cỏc ti liu lun l trung thc Lun cha tng c cụng b bt c cụng trỡnh no Tỏc gi Bounthoung SALILACK S húa bi Trung tõm Hc liu - HTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ii LI CM N Bn lun c hon thnh ti Trng i hc S phm - i hc Thỏi Nguyờn di s hng dn tn tỡnh ca PGS.TS Phm Hin Bng Nhõn dp ny tụi xin cỏm n Thy v s hng dn hiu qu cựng nhng kinh nghim quỏ trỡnh hc tp, nghiờn cu v hon thnh lun Xin chõn thnh cm n Phũng Sau i hc, Ban ch nhim Khoa Toỏn, cỏc thy cụ giỏo Trng i hc S phm - i hc Thỏi Nguyờn, Vin Toỏn hc v Trng i hc S phm H Ni ó ging dy v to iu kin thun li cho tụi quỏ trỡnh hc v nghiờn cu khoa hc Xin chõn thnh cm n Trng Cao ng s phm Saravan-CHDCND Lo cựng cỏc ng nghip ó to iu kin giỳp tụi v mi mt quỏ trỡnh hc v hon thnh bn lun ny Bn lun chc chn s khụng trỏnh nhng khim khuyt vỡ vy rt mong nhn c s úng gúp ý kin ca cỏc thy cụ giỏo v cỏc bn hc viờn lun ny c hon chnh hn Cui cựng xin cm n gia ỡnh v bn bố ó ng viờn, khớch l tụi thi gian hc tp, nghiờn cu v hon thnh lun Thỏng nm 2015 Tỏc gi Bounthoung SALILACK S húa bi Trung tõm Hc liu - HTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ iii MC LC LI CAM OAN i LI CM N ii MC LC iii M U 1 Lý chn ti Mc ớch v nhim v nghiờn cu Phng phỏp nghiờn cu B cc ca lun Chng CC KIN THC CHUN B 1.1 Dng vi phõn v dũng lý thuyt a th v 1.2 Hm iu hũa di 1.3 Hm a iu ho di 1.4 Toỏn t Monge- Ampốre phc 11 1.5 Cỏc lp Cegrell Ê n 23 Chng CHUN MONGE-AMPERE I VI HM d - A IU HO DI 25 2.1 nh ngha chun 25 2.2 Tụ pụ ca dF 29 2.3 Khụng gian i ngu 31 2.4 So sỏnh vi cỏc hm d - iu ho di 36 KT LUN 41 TI LIU THAM KHO 42 S húa bi Trung tõm Hc liu - HTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ M U Lý chn ti Lp cỏc hm d - a iu ho di v toỏn t Monge-Ampere t lõu ó c nghiờn cu bi Arsove (nm 1953), tip theo bi Kiselman (nm 1977), Cegrell (nm 1977) ú l lp cỏc hm cú th biu din di dng hiu ca hai hm a iu ho di Ký hiu lp ny l dPSH (W) Cegrell (nm 1978) [5] ó ch rng trờn gi li W mi phim hm tuyn tớnh liờn tc trờn dPSH (W) c mang bi compact a cc u cú th vit c di dng hiu ca hai phim hm dng Gn õy Cegrell ó xột hiu ca cỏc hm a iu ho di lp nng lng F Gi s W l siờu li Ê n , ú F = F (W) l mt nún li khụng gian tuyn tớnh L1loc (W) Ký hiu dF = dF (W) l hp tt c cỏc hm u ẻ L1loc (W) cú th vit c di dng u = u1 - u , ú u1 ẻ F (W) Khi ú dF (W) lm thnh khụng gian tuyn tớnh v cú th trang b cho khụng gian ny mt chun ph thuc vo toỏn t Monge-Ampere tng quỏt nú tr thnh khụng gian Banach dF Theo hng nghiờn cu ny chỳng tụi chn ti: "Chun Monge-Ampere i vi hm delta- a iu hũa di" Mc ớch v nhim v nghiờn cu 2.1 Mc ớch nghiờn cu Mc ớch ca lun l trỡnh by cỏc kt qu gn õy ca U Cegrell v J.Wiklund Xột cỏc hiu ca cỏc hm a iu hũa di lp nng lng F nh l khụng gian tuyn tớnh v trang b cho khụng gian ny mt chun ph thuc vo toỏn t Monge-Ampere phc tng quỏt, bin khụng gian tuyn tớnh thnh khụng gian Banach dF Trỡnh by mt s tụpụ c bn i vi S húa bi Trung tõm Hc liu - HTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ khụng gian ny v chng minh dF khụng l khụng gian tỏch ng thi nghiờn cu khụng gian i ngu ca nú 2.2 Nhim v nghiờn cu Lun trung vo cỏc nhim v chớnh sau õy: - Trỡnh by tng quan v h thng cỏc kt qu v Dng vi phõn v dũng lý thuyt a th v, cỏc tớnh cht ca hm iu ho di, hm a iu ho di, toỏn t Monge-Ampốre, gii thiu v cỏc lp Cegrell Ê n - Trỡnh by cỏc kt qu gn õy ca U Cegrell v J.Wiklund v chun Monge-Ampere i vi cỏc hm d - a iu ho di v toỏn t MongeAmpere Phng phỏp nghiờn cu S dng phng phỏp ca gii tớch phc kt hp vi cỏc phng phỏp ca gii tớch hm hin i, cỏc phng phỏp ca lý thuyt a th v phc B cc ca lun Ni dung lun gm 40 trang, ú cú phn m u, hai chng ni dung, phn kt lun v danh mc ti liu tham kho Chng 1: Trỡnh by tng quan v h thng cỏc kt qu v Dng vi phõn v dũng lý thuyt a th v, cỏc tớnh cht ca hm iu ho di, hm a iu ho di, toỏn t Monge-Ampốre, gii thiu v cỏc lp Cegrell Ê n Chng 2: L ni dung chớnh ca lun vn, trỡnh by mt s kt qu v chun Monge-Ampere i vi cỏc hm d - a iu ho di Phn u ca chng trỡnh by vic trang b mt chun cho dF nú tr thnh khụng gian Banach, v nghiờn cu mt s tớnh cht tụ pụ ca dF Tip theo l nghiờn cu khụng gian i ngu (dF )Â ca dF Phn cui cựng ca chng trỡnh by cỏc nghiờn cu so sỏnh vi cỏc hm d - iu ho di trờn cỏc n S húa bi Trung tõm Hc liu - HTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Cui cựng l phn kt lun trỡnh by túm tt kt qu t c Chng CC KIN THC CHUN B 1.1 Dng vi phõn v dũng lý thuyt a th v Gi s Ă n l khụng gian vector n chiu vi c s chớnh tc e j = (0, , 0,1, 0, , 0) , ú v trớ th j Gi s vi mi Ê j Ê n kớ hiu n f : Ă14444 42 4444 Ă 4n3 đ Ê gi u j l hm ta th j : u j (x ) = x j Mt ỏnh x p l p - tuyn tớnh nu nú l tuyn tớnh theo tng bin cỏc bin khỏc c nh Mt ỏnh x p - tuyn tớnh cho f (v1, , v p ) = v j = v j + 1,1 Ê j < n gi l ỏnh x p - tuyn tớnh thay du Tp cỏc ỏnh x p - tuyn tớnh thay du n 42 4444 Ă 4n3 ti Ê kớ hiu t Ă14444 p ( Ă n ,Ê) p nh ngha 1.1.1 Gi s Wé Ă ỏnh x a :U đ p ( Ă n l m Mt p - dng vi phõn trờn W l n ,Ê ) Nu t dx k (x ) = uk ,1 Ê k Ê n , x ẻ W thỡ ta cú th vit mi p - dng vi phõn a trờn W di dng: a (x ) = ' a I (x )dx I I ú I = (i1, , i p ),1 Ê i1 < < i p Ê n , dx I = dx i dx i , a I (x ) l cỏc p hm trờn W S húa bi Trung tõm Hc liu - HTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Gi s a = ' a I dx I l p - dng v b = I ' bJ (x )dx J l q - dng, ú J Ê i1 < < i p Ê n v Ê j1 < < jq Ê n ú tớch ngoi a b l ( p + q) - dng cho bi cụng thc a b = g Ldx L , ú gLdx L = nu L ik = jl vi Ê k Ê p,1 Ê l Ê q v gLdx L = (- 1)s a I bJ dx l dx l 1 Ê l1 < < lp+ q Ê n vi s l hoỏn v ca dóy i1 < i2 < < i p v hp j1 < j < < jq , p+ q {1, , n } to thnh dóy tng Ê l1 < < lp+ q Ê n Nu f l mt hm thỡ f a = f a v ( f a ) b = f ( a b ) Mi p - dng a vi p > n u bng Cỏc dng cú bc cc i l cỏc dng bc n Cho a l p - dng lp C Vi phõn ngoi (o hm ngoi) ca a l ( p + 1) - dng cho bi: da = 'd a I dx I I Nu da = ta núi a l dng úng Mi dng cú bc cc i l úng Gi s a = j dx dx n , j ẻ L1(W) Khi ú ũ a = ũ j dx W dx n = W ũ j dV , W dV l o Lebesgue trờn W nh ngha 1.1.2 Mt dũng bc p hay cú chiu (n - p) trờn m Wé Ă n l dng tuyn tớnh liờn tc T : D (n - p ) (W) đ Ê Nu a l dng D (n - p ) (W) , giỏ tr ca T ti a , kớ hiu bi T ( a ) hay T , a S húa bi Trung tõm Hc liu - HTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Bõy gi gi s p, q = 0,1, , n Ta kớ hiu Ê ( p,q ) l cỏc dng phc song bc ( p, q) h s hng trờn Ê n Khi ú nu w ẻ Ê ( p,q ) thỡ w cú th biu din: w= ' wJK dzJ dz K J = p, K = q ú wJK ẻ Ê , dzJ = dz j dz j , dz K = dz k dz k tng ly theo cỏc p q b a ch s J = ( j1, , j p ), K = (k1, , kq ) vi Ê j1 < < j p Ê n , Ê k1 < < kq Ê n &hler chớnh tc trờn Ê n cho bi: Dng K a& i i n b = ả ả z = dz j dz j 2 j=1 Khi ú dng th tớch trờn Ê n @ Ă dV = 2n cho bi: n i i i b = b14442 4443 b = dz dz dz dz dz n dz n n! n! 2 n i = ( )n dz dz dz n dz n Nu w ẻ Ê ( p, p ) cú th biu din w = i i i w1 w1 w2 w2 w p w p 2 vi w j ẻ Ê (1,0) thỡ w gi l dng dng s cp Mnh 1.1.3 Khụng gian cỏc dng song bc ( p, p) c sinh bi cỏc dng dng s cp S húa bi Trung tõm Hc liu - HTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 28 Theo B 2.1.5 ta cú (ũ u + v + 2e > (dd c (u1 + u )n W (ũ 1/ n ) + (ũ (dd c (v1 + v2 )n W (dd c (u1 + u + v1 + v2 )n W 1/ n ) 1/ n ) Hn na vỡ u1 + v1 - (u + v2 ) = u - v , nờn u1 + v1 v u + v2 l hai hm thuc m ta ly infimum trờn, ta cú (ũ (dd c (u1 + u + v1 + v2 )n W 1/ n ) u+v T ú ta cú u + v Ê u + v B 2.1.7 Nu u = , thỡ u = Chng minh Ly e > tựy ý Vỡ u = n n inf [( ũ (dd (u1 + u ) ) ] , c u1 - u = u u1 ,u ẻ F W Nờn tn ti u%i ẻ F cho ũ (dd (u% + u%) c n < e W Ly dóy {v j } é E0 ầ C (W) cho v j ] u%1 + u%2 j đ + Ơ Ly t > v t h1 = max {v j , - t } Theo bt ng thc Blocki (nh lý 2.1.3) ta cú n ! e > n ! ũ (dd cv j )n > W S húa bi Trung tõm Hc liu - HTN ũ (h W j - v j )n dV , http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 29 T ú n ! > hj - v j vol(W) Ln ta nhn c Cho t ] n !e > vj vol(W) Ln khụng ph thuc vo j Nh vy u1 + u c u Ln < C e v cho e đ ta nhn = , ú u = tr mt cú o 0, nhng vỡ u ẻ dF nờn Ln ta cú u 2.2 Tụ pụ ca dF ( nh lý 2.2.1 dF , ) l khụng gian Banach ( Chng minh Theo cỏc B 2.1.4, 2.1.7 v H qu 2.1.6 ta cú dF , ) l khụng gian tuyn tớnh nh chun Ta s chng minh nú l khụng gian y Gi s {u n } l dóy Cauchy dF Vi mi k nguyờn tn ti n k cho u n - u m < 2- k vi n , m > n k Ta chn n k cho n k + > n k Ta cú u n = u n + (u n - u n ) + + (u n - u n k k j = 1, , k nờn ta cú th vit u n - u n j ú f j1, f j j- j ) Vỡ u n ẻ dF vi j = f j1 - f j2 vi f j1, f j2 ẻ F , c chn cho un - un ( k - 1) j- 1 n ửn n ửn ổ ổ ỗỗũ (dd c (j 1j + j 2j )) ữ = inf ỗỗỗũ (dd c (j + j )) ữ - 2- j - ữ ữ ữ ữ ỗ ố ứ ố ứ S húa bi Trung tõm Hc liu - HTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 30 Khi ú ta cú un = un + (f 21 - f 22 ) + + (f k1 - f k2 ) k = un + (f 21 + + f k1 ) - (f 22 + + f k2 ) k f j1 ẻ P SH - (W) l dóy gim v j= ổ ỗỗ dd c ỗỗũ ố ( (ồ Ê Ê k j= n j f )) 1/ n ữ ữ ữ ữ ứ ổ ỗ dd c f + f j j= 2ỗ ỗốũ k k ( ( (2 - j j= +2 - j- 1/ n ) ổ Ê ỗỗỗũ dd c ốỗ ( (ồ j )) < j= 1/ n ữ ữ ữ ứ n Ê n n k k j= f j1 + f (u j )) 1/ n ữ ữ ữ ữ ứ Ê 1/ n nj - un +2 - j- j- ) 2- k Nh vy f j l dóy gim cỏc hm a iu ho di vi lng tng j= k cng b chn Lp lun tng t cho f j2 Vỡ th u n hi t n u ẻ dF v k j= vỡ {u n } l dóy Cauchy nờn u n đ u Vy dF l khụng gian y , ú l khụng gian Banach B 2.2.2 F l úng tụpụ ca dF Chng minh Ly dóy Cauchy {u n }é F Chn dóy m c u nÂ, thỡ u p = u + u1 - u + + u p - u p- , v theo lý ging nh chng minh tớnh y i vi dF , ta c u p đ u ẻ F S húa bi Trung tõm Hc liu - HTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 31 Mnh 2.2.3 Cỏc hm liờn tc khụng trự mt dF Hn na dF khụng l khụng gian tỏch Chng minh Ký hiu cỏc s Lelong ca u ti x l n(u, x ) S Lelong ti gc l phim hm tuyn tớnh trờn dF , hn na n(., 0) l phim hm tuyn tớnh liờn tc trờn dF , c lng sau: (2pn(u, x ))n Ê (dd cu )n ({x }) vi u ẻ F (xem [7]) Vi mi hm u ẻ P SH ầ C , ta cú n(u, 0) = , nh vy log z khụng th xp x bi cỏc hm liờn tc tụpụ ny { } l i vi phỏt biu th hai ca mnh , ta gi s dF l tỏch Ly u j trự mt ca dF Ta bit rng hp, ú s Lelong l dng i vi hm u ó cho cú o Lebesgue bng Nh vy hp ca cỏc hp, ú s Lelong l dng i vi cỏc hm thuc {u } cng j cú o Lebesgue bng Ly mt im x tu ý khụng thuc hp ú, tc l n(ui , x ) = vi mi u i Khi ú ta thy rng v(z ) = ũ log z d W x khụng th { } xp x bi cỏc hm u j 2.3 Khụng gian i ngu Ký hiu i ngu tụpụ ca dF l (dF )Â nh lý 2.3.1 Ly y ẻ F Gi s Y ẻ (dF )Âc cho bi Y(u ) = n- c c ũ dd u (dd y ) S húa bi Trung tõm Hc liu - HTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 32 Khi ú Y = y Y(u ) = n- v nu y thỡ khụng cú o Borel trờn W cho ũ udm Chng minh Gi s u ẻ F Theo B 2.1.2 ta cú n- ũ dd u (dd y ) Y(u ) = c Do ú Y(u ) Ê u y c n- 1 n n n- n (ũ (dd u ) ) (ũ (dd y ) ) Ê c c n Ly f ẻ dF v chn u, v ẻ F tựy ý cho f = u - v , ú Y( f ) Ê inf f = u- v u ,v ẻ F Mt khỏc, ly u = y ( ũ (dd (u + v) - Y(u ) = c n 1/ n ) y n = f y n- y thỡ u = v c ũ dd ( y - y ) (dd c y )n - = y n- Suy Y = sup Y( f ) = y n- f =1 ch Y khụng c cho bi o Borel, ta ly u, v ẻ F cho u = v gn ả W Khi ú ũ dd u (dd y ) c c n- W theo nh lý Stoke, v nu Y(u ) = = ũ dd cv (dd c y )n - W ũ udm thỡ ũ (v W S húa bi Trung tõm Hc liu - HTN u )dm = W http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 33 Vỡ C0Ơ é dE0 (xem B 3.1 [7]) nờn iu ú kộo theo dm cú giỏ ca nú trờn { } biờn ca W Nhng ú Y(u ) = vi mi u ẻ E0 Ly dóy u j é E0 y Do tớnh liờn tc ca Y ta nhn c cho u j ] lim Y(u j ) = lim ũ dd c u j (dd c y ) jđ Ơ n- jđ Ơ = ũ (dd y ) c n = W Suy y = Vớ d 2.3.2 Gi s q > Ly g ẻ Lq (W) Vi u ẻ F (W) bt k, t T (u ) = ũ ugdV , thỡ T ẻ (dF )Â Chng minh T [8] suy vi mi u ẻ F vi A ch ph thuc vo W cho ũe - u ũ (dd u ) c n Ê , tn ti hng s dV Ê A Do ú u ẻ Lp , " p nh lý 2.3.3 Nu T l hm tuyn tớnh trờn dF cho T (x ) vi mi x ẻ F thỡ T liờn tc Chng minh Ly mt dóy b chn {fk }é dF cho fk < M Khi ú tn ti x k , y k ẻ F cho fk = x k - y k v x k + y k < M + T ú, ta cú x k = fk + y k Ê fk + y k Ê Ê M + y k Ê M + x k + y k Ê 2M + suy ũ (dd y c k )n Ê ũ (dd (x c k + y k ))n Nu T b chn trờn tt c cỏc dóy b chn {x k }é F thỡ S húa bi Trung tõm Hc liu - HTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 34 T ( fk ) = T (x k ) - T (y k ) Ê T (x k ) + T (y k ) Do ú T ( fk ) b chn Gi s T khụng liờn tc Khi ú tn ti mt dóy b chn {f }é dF cho {T ( fk )} khụng b chn Do ú tn ti dóy b chn {x }é F cho T (x k ) > k > k k Ơ t f = k - 2x k Vỡ F l nún li v {x k } b chn nờn f ẻ F Chỳ ý rng k= p T (f ) = T ( x k ) + T ( k= Ơ p xk ) T (ồ xk ) , k = p+ k= p vỡ T trờn F Nhng ú T (f ) k - vi mi p > , tc l k= T = + Ơ Mõu thun vi T < + Ơ nh ngha 2.3.4 Nu C l mt nún khụng gian vect L , thỡ nún i ngu C Â ca C c nh ngha l hp C Â= {T ẻ L : T (x ) 0, u ẻ C } nh lý 2.3.5 (dF )Â= F Â- F Â= dF Â= Chng minh Ly T ẻ (dF )Âv xột ỏnh x p : F đ Ă + xỏc nh bi p(u ) = sup {T (v ) : u Ê v Ê 0} Vỡ T l tuyn tớnh nờn ta cú p(l u ) = l p(u ) vi l v vỡ {f } { } { } u+vÊ f Ê ẫ f uÊ f Ê + f vÊ f Ê S húa bi Trung tõm Hc liu - HTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 35 { } nờn p(u + v ) p(u ) + p(v ) Nh vy hp V = (t , u ) o Ê t Ê p(u ) l nún li Ă dF Ă dF {u }é k F cho u k đ k đ + Ơ Nu j ẻ F v u k Ê j Ê thỡ ũ (dd j ) Ê ũ (dd c l khụng gian nh chun Ly dóy n c u k )n , t ú j Ê u k Nh vy p(u k ) đ k đ + Ơ tớnh liờn tc ca T Ta kt lun (1, 0) ẽ V Vỡ dF l li a phng { } nờn tn ti mt phng thc úng tỏch V v (1, 0) , ú ta cú th chn h cho H = (t , u ) h(t , x ) = - h trờn V v h(1, 0) = - Vỡ ( Ă dF )Â ng cu i s vi ( Ă dF )Â (xem nh lý 4.3[9]) nờn ta cú h(t , u ) = a t + g(u ) Do ú h(1, 0) = a = - Vỡ (0, u ) ẻ V vi mi u ẻ F v g ẻ (dF )Â, nờn ta cú g(u ) trờn F theo cỏch chn ca H Vỡ V ó c chn cho ( p(u ), u ) ẻ V , nờn h( p(u ), u ) = - p(u ) + g(u ) , suy T (u ) Ê p(u ) Ê g(u ) Túm li ta cú T = g - (g - T ), ú g - T Theo nh lý 2.3.3 toỏn t tuyn tớnh dng trờn F l liờn tc Cú th m rng nh ngha ca toỏn t Monge-Ampere ton b dF Gi s u ẻ dF , ú u = u1 - u vi u1, u ẻ F v nh ngha n (dd c u )n = (- 1) j (nj )(dd cu1 )n - j (dd c u ) j j= thy rng nh ngha ny c lp vi vic chn cỏc hm thuc F , ta gi s u = u1 - u = v1 - v2 v h ẻ E0 Khi ú ta cú ũ hdd (u c - u ) dd c (u1 - u ) S húa bi Trung tõm Hc liu - HTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 36 = ũ (u = ũ (v = ũ hdd (v - u )dd ch dd c (u - u ) dd c (u - u ) - v2 )dd ch dd c (u1 - u ) dd c (u - u ) c - v2 ) dd c (u1 - u ) dd c (u - u ) v lp li tớnh liờn tc ta nhn c ũ hdd (u c - u ) dd c (u1 - u ) = ũ hdd (v c - v2 ) dd c (v1 - v2 ) H qu 2.3.6 Cỏc phim hm sau õy l liờn tc trờn dF : i ) lng tng cng ca cỏc o Monge-Ampere ii ) Cỏc s Lelong tng quỏt ca Demailly n(dd cu, j ) i vi dũng dd cu cú trng j 2.4 So sỏnh vi cỏc hm d - iu ho di Bõy gi ta xột lp cỏc hm d - iu ho di cỏc thuc Ê n Gi s cú mt h cỏc na chun trờn khụng gian Frechet X v K l mt nún li úng X , ú ta cú th lm cho K tr thnh khụng gian Frechet vi tụ pụ c xỏc nh bi cỏc na chun f ú j { } = inf g + h : f = g - h; g, h ẻ K , j ẻ Ơ , j j l h cỏc na chun cm sinh trờn X j S húa bi Trung tõm Hc liu - HTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 37 nh ngha 2.4.1 (Tp hp dm ) Cho m (W) l hp cỏc o dng cho cú th vit m = D j vi j ẻ P SH (W) Ta ký hiu khụng gian ca cỏc sai phõn thuc nún ny l dm (W) Vỡ m Wé Ê n l para-compact nờn nú l nh ngha na chun vi mt compact tu ý K é W v sinh tụpụ t na chun ny S dng tụpụ trờn dP SH cỏc hm d - a iu ho di, nh ngha phn gii thiu ta cú tớnh cht liờn tc ca toỏn t Laplace nh lý 2.4.2 Gi s W l gi li Khi ú dm (W) l khụng gian Frechet vi cỏc na chun xỏc nh bi m K ổ ữ , K é W = inf ỗỗỗũ m1 + m2 m = m1 - m2 ; m1, m2 ẻ m (W)ữ ữ ữ ỗố K ứ Hn na toỏn t Laplace D : dP SH (W) đ dm (W) l liờn tc Chng minh (xem [5]) nh ngha 2.4.3 (Tp hp dM ) Ký hiu hp tt c cỏc o Borel thc dng trờn W l M (W) , v cỏc o Borel thc cú du l dM (W) Khi ú s bin thiờn tng cng ca o m ẻ dM (W) theo nh lý phõn tớch c cho bi m = inf {ũ m + m m = m W } m2, m1, m2 ẻ M (W) Chỳng ta s xem dM (W) nh l khụng gian Banach vi chun c xỏc nh nh trờn Bõy gi ta ký hiu toỏn t Laplace D nh l ỏnh x t dF vo dM Rừ rng D l ỏnh x tuyn tớnh Ta s xem xột tớnh liờn tc ca ỏnh x ny: S húa bi Trung tõm Hc liu - HTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 38 nh lý 2.4.4 Gi s W l gi li cht vi biờn trn lp CƠ Khi ú ỏnh x D : dF đ dM l liờn tc Chng minh Theo [4] nghim j ẻ P SH (W) i vi bi toỏn Dirichle ớù (dd c )n = trờn W ùù ỡ ùù j = - z trờn ả W ùợ tha j ẻ C Ơ (W) T ú suy z + j ẻ E0 (W) Tớnh toỏn trc tip ta c dd cu (dd c z )n - = 4n - 1(n - 1)! D u Nh vy ta cú 4n - 1(n - 1) ! ũ D u = ũ dd cu (dd c z )n - Ê ũ dd cu (dd c z W W + j )n - W Ê 1/ n (ũ (dd u ) ) c n W ÊC ổ ỗỗũ (dd c z ố W ( n - 1)/ n +j) ữ ữ ứ n 1/ n (ũ (dd u ) ) c n W vi hng s C > no ú, ú bt ng thc th hai suy t B 2.1.2 Ly u ẻ dF v e > , ú tn ti u1, u cho u = u1 - u , ú ũ (dd c (u1 + u ))n Ê u n + e W Theo cỏc tớnh toỏn trờn ta cú S húa bi Trung tõm Hc liu - HTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 39 ũ Du W ũ D(u + D u2 = W + u ) Ê C Â( ũ (dd c (u1 + u ))n )1/ n < C Â u + e W vi hng s C Â no ú khụng ph thuc vo e Cho e đ ta c iu phi chng minh Tuy nhiờn, tớnh liờn tc ca D núi chung khụng xy Xột vớ d sau: ổ ỗố Vớ d 2.4.5 Ly u k = max ỗỗk log z , khụng ph thuc k cho ũ D ữ Khi ú tn ti mt hng s c log z ữ ữ ữ k ứ D u k c.k , nhng ũ D (dd c (u k ))2 = (2p )- Chng minh Ly c 1, c ẻ C0Ơ (D ) , ú D l a n v Khi ú ta cú ũ D2 = c 1c D u k = ũ uk (z 1, z )D( c 1(z )c (z )) = ũ uk (z 1, z )( c (z )D 1( c 1(z ) + c 1(z )D c (z2 )) ũ D2 D2 D2 c ũ u k D 1c + D = ũ D2 ũ D2 c ũ uk D 2c D ũ D2 c ũ u k D 1c D c ũ c 1D 1u k D Ly c cho c trờn D(1 / 2) i vi z c nh vi z < / ta bit rng D 1max (k log z , k - log z ) l k ln o Lebesgue trờn ng k ùớ ùỹ trũn ỡ z ẻ Ê : z = z ý Chn c , khụng ph thuc vo k , cho ùợù ùỵ ù c ớt nht z Ê (1 / 2)1/ k T ú ta cú S húa bi Trung tõm Hc liu - HTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 40 ũ D vi ũ D hng c ũ c 1D 1u k = ũ c s D D no c ú k dz dz > c.k 2p khụng ph thuc vo k Nhng (dd c (u k ))2 = (2p )- ổ ỗ ữ Vớ d 2.4.6 t u (z ) = max ỗlog z , log z ữ Khi ú u ẻ F (D ) , ữ ữ ỗố k ứ k= Ơ nhng ũ D D u = + Ơ Hn na, ly f = z - , thỡ f ẻ C(D ) v (dd c f )2 = nhng (dd c (u + f ))2 = khụng b chn trờn D ( ) Chng minh t u k = max log z , k - log z , thỡ ta cú ũ D (dd c (u k ))2 = (2p k )- Theo B 2.1.5 ta nhn c ũ D2 (dd (ồ c N k= uk )) ổ Ê ỗỗồ ốỗ N k= (ũ D2 1/ c (dd u k ) ) ổ ữ ỗỗ = ữ ữ ữ ỗốồ ứ ữ p2 ữ Ê , k= ữ 144 2pk ữ ứ N nh vy u ẻ F v u + f ẻ F ( f ) Nhng ta cú ũ D ũ dd cu k dd c ( z - 1) = D dd cu k (2idz dz ) = 16ũ D 1u k > c , D ú hng s c khụng ph thuc vo k , theo bt ng thc vớ d 2.4.5 trờn Nh vy ta cú ũ D2 ( (f + dd c N u k= k )) 2ũ D2 c c ổ ữ ỗ dd u dd z N ữ k ỗố k= ứ N v ta nhn c lng tng cng ca u + f l phõn k S húa bi Trung tõm Hc liu - HTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 41 KT LUN Lun ó trỡnh by: - Tng quan v h thng cỏc kt qu v dng vi phõn v dũng lý thuyt a th v, cỏc tớnh cht ca hm iu ho di, hm a iu ho di, toỏn t Monge-Ampốre, gii thiu v cỏc lp Cegrell Ê n - Mt s kt qu v chun Monge-Ampere i vi cỏc hm d - a iu ho di, c th l: + Trang b mt chun cho dF nú tr thnh khụng gian Banach + Nghiờn cu mt s tớnh cht tụ pụ ca dF v khụng gian i ngu (dF )Â ca dF + Cỏc kt qu so sỏnh vi cỏc hm d - iu ho di trờn cỏc n S húa bi Trung tõm Hc liu - HTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 42 TI LIU THAM KHO Ting Vit N.Q.Diu v L.M.Hi (2009), C s lý thuyt a th v, Nxb i hc S phm H Ni Ting Anh Bocki, Zbigniew (1994), Estimates for the complex Monge-Ampốre operator, Bull Polish Acad Sci Math 41 (2), 151157 Bocki, Zbigniew (1997), Personal communication Caffarelli L., Kohn J J., Nirenberg L., and Spruck J (1985), The Dirichlet problem for nonlinear second-order elliptic equations II, Complex MongeAmpốre, and uniformly elliptic, equations, Comm Pure Appl, Math 38 (2), 209 - 252 Cegrell, Urban (1978), Delta-plurisubharmonic functions, Math Scand, 43 (2), 343-352 Cegrell, Urban(1998), Pluricomplex energy, Acta Math, 180 (2), 187-217 Cegrell, Urban (2004), The general definition of the complex MongeAmpốre operator, Ann Inst Fourier (Grenoble) 54 Cegrell, Urban, and Zeriahi, Ahmed (2003), Subextension of plurisubharmonic functions with boun-ded Monge-Ampốre mass, C R Math Acad Sci Paris 336(4), 305-308 Schaefer H H., and Wolff M P (1999), Topological vector spaces, Graduate Texts in Math 3, second edition S húa bi Trung tõm Hc liu - HTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ [...]... = u1 - u 2 , vi u1, u 2 ẻ PSH (W) 1.4 Toỏn t Monge- Ampốre phc Cho u l a iu ho di trờn min Wé Ê n Nu u ẻ C 2 (W) thỡ toỏn t: S húa bi Trung tõm Hc liu - HTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 12 c n (dd u ) ộ ảu ự ỳ := (dd u ) (dd u ) = 4 n !det ờờ dV , ỳ 1444444442 444444443 ả z ả z ờở j k ỳ n ỷ1Ê j ,k Ê n c c n vi dV l yu cú th tớch trong C n gi l toỏn t Monge- Ampốre Toỏn t ny cú th xem nh o Radon trờn... yu ti o Radon trờn W tc l: lim ũ j (dd cun ) = n n W ũ j d m, " j ẻ C 0 (W) W Hn na khụng ph thuc vo vic chn dóy un nh trờn, ta ký hiu: (dd cu )n = m v gi l toỏn t Monge- Ampốre ca u Sau õy l mt vi tớnh cht c bn ca toỏn t toỏn t Monge- Ampốre Mnh 1.4.1 Nu y ẻ C (Ơp, p ) l (p, p ) - dng lp C Ơ trờn tp m Wé n v T l (q, q) - dũng vi p + q = n - 1 thỡ ( ) y dd cT - dd c y T = d y d cT - d c y T... 1 v t (1.3) ta cú ũ j dd u T c b n - q- 1 = W ũ dd u T c j b n - q- 1 W = ũ uT dd c (j b n - q - 1 ) W ÊC u LƠ (W) T W nh lớ v tớnh liờn tc ca toỏn t Monge- Ampốre phc sau thuc v Bedford-Taylor v l mt trong nhng nh lớ c bn trong lớ thuyt toỏn t Monge- Ampốre phc nh lớ 1.4.7 Gi s u 0j , u1j , u pj ẻ PSH (W) ầ LƠloc (W), 0 Ê p Ê n S húa bi Trung tõm Hc liu - HTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 20 j = 1,... cj j )n < + Ơ ý W ùùỵ j { F= = F (W) = j ẻ P SH (W) : ${j j } é E0(W), j j ] j , ỹ ù sup ũ (dd j ) < + Ơ ùý ùù j W ỵ c n Chng 2 S húa bi Trung tõm Hc liu - HTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 25 CHUN MONGE- AMPERE I VI HM d - A IU HO DI 2.1 nh ngha chun nh ngha 2.1.1 Cho W l min siờu li trong Ê n Gi s u ẻ dF (W) Khi ú ta nh ngha chun ca u l 1 n n inf [( ũ (dd (u1 + u 2 ) ) ] c u = u1 - u 2 = u u1 ,u ... gian ny mt chun ph thuc vo toỏn t Monge- Ampere tng quỏt nú tr thnh khụng gian Banach dF Theo hng nghiờn cu ny chỳng tụi chn ti: "Chun Monge- Ampere i vi hm delta- a iu hũa di" Mc ớch v nhim... iu ho di, toỏn t Monge- Ampốre, gii thiu v cỏc lp Cegrell Ê n - Trỡnh by cỏc kt qu gn õy ca U Cegrell v J.Wiklund v chun Monge- Ampere i vi cỏc hm d - a iu ho di v toỏn t MongeAmpere Phng phỏp...I HC THI NGUYấN TRNG I HC S PHM BOUNTHOUNG SALILACK CHUN MONGE- AMPERE I VI HM DELTA A IU HềA DI Chuyờn ngnh: Toỏn gii tớch Mó s: 60.46.01.02 LUN VN THC S TON HC Ngi