235 CÂU SỐ PHỨC NÂNG CAO _ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

FACEBOOK: THÍCH HỌC CHUI PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN Các phép tính số phức tốn định tính Phương pháp: Dạng 1: Các phép tính số phứC Sử dụng công thức cộng, trừ, nhân, chia lũy thừa số phứC Dạng 2: Số phức thuộc tính  Tìm phần thực phần ảo: z  a  bi , suy phần thực a , phần ảo b  Biểu diễn hình học số phức: Ví dụ Tìm số phức z thỏa mãn: z  3i   iz z  số ảo z z  z   2i z  2i số ảo z2 Lời giải Đặt z  a  bi  a, b  ¡  Khi z  3i   iz tương đương với a   b  3 i   i a  bi   a   b  3 i   b   a   b    1  b    a   b  2    a  2i  a  5a  2a  26 i 9  a  2i   Khi z   a  2i  z a  2i a2  a2  số ảo a3  5a  hay a  0, a   Vậy số phức cần tìm z  2i, z   2i, z    2i Đặt z  a  bi  a, b  ¡  Khi z  z   2i tương đương với a  bi   a     b   i tức a  b2   a     b    b   a Ta có:   1 z  2i a   b   i a   b   i   a    bi    z   a    bi  a  2  b a a  2  b  b  2 a  2  b2  a   b    ab i  a  2  b số ảo Từ  1   suy a  0, b  tức ta tìm z  2i Ví dụ Tìm số phức z thỏa mãn: z  3i z 1 1  zi zi a a    b  b    a  2  b 0 2 Lời giải Cách 1: Giả sử z  a  bi ,  a, b  ¡  z 1 1 z 1  z i  zi a  12  b2  a2   b  12 a  1  bi  a   b  1 i hay tức a  b z  3i   z  3i  z  i  a   b  3 i  a   b  1 i hay zi Lại có: a   b    a   b  1  b   a  2 Vậy, số phức cần tìm z   i Cách 2: Với số phức z z'  z'   , ta ln có: Ta có: z z  z' z' z 1   z   z  i Gọi A B điểm biểu diễn số i tức A  1;  , zi B  0;1 Với giả thiết: z   z  i  MA  MB , M  M  z  điểm biểu diễn số phức z Như vậy, M nằm đường trung trực AB  M nằm đường thẳng y  x  a  Lại có: z  3i   z  3i  z  i  MA  MB tức M nằm trung trực AB , nghĩa zi điểm M nằm đường thẳng y   b  Từ  a   b  suy M nằm đường thẳng y  x y  tức M 1;1  z   i Ví dụ Cho số phức z  x  yi; x, y ¢ thỏa mãn z3  18  26i Tính T   z  2 2012    z 2012 Lời giải  x  3xy  18 z3  x3  3xy2  3x2 y  y3 i  18  26i    3x y  y  26     Do x  y  không nghiệm hệ, đặt y  tx     x3  3t  18 Khi ta có:    3t  1 3t  12t  13  3 x 3t  t  26    Khi t  x  3,y  , thỏa mãn Khi 3t  12t  13  x, y  ¢ Vậy số phức cần tìm là: z   i Vậy, T   z   2012  4  z 2012  1  i  2012  1  i  2012  21007 Vậy tập hợp điểm M đường tròn: x2   y  1  Ví dụ Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: z   i  z Lời giải Cách 1: Đặt z  a  bi,  a, b  ¡  số phức cho M  x; y  điểm biểu diễn z mặt phẳng phứC Ta có: z   i  z   x    yi  x   y  1 i   x  2  y  x2   y  1  4x  2y   Vậy, tập hợp điểm M cần tìm đường thẳng 4x  2y   Cách 2: z   i  z  z   2   z  i    Đặt z  a  bi,  a, b  ¡  số phức cho M  x; y  điểm biểu diễn z mặt phẳng phức, điểm A biểu diễn số 2 tức A  2;  điểm B biểu diễn số phức i tức B  0;1 Khi   MA  MB Vậy, tập hợp điểm M cần tìm đường trung trực AB : 4x  2y   Ví dụ Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: z   z   Lời giải Đặt z  a  bi,  a, b  ¡  số phức cho M  x; y  điểm biểu diễn z mặt phẳng phứC Ta có: z   z    a    bi  a    bi  hay a  22  b2  a  22  b2   1  2   a    b2   a    b2       a  2  b   a  2  b    a  2  b2  a  2  b2   8a5     Từ  1 ,   ta có hệ:     a  2  b   a  2  b   a  2  b2  a  2  b2   8a5       25 2  4a  4a  a   b     , a  a    b     2   4a  a    b2    a  2  b2    4a  , a   25 2    9a2 25 25  b2  , a 25 8 2 Vậy, tập hợp điểm biểu diễn số phức elip có phương trình x2 y2  1 25 4 Cách : Đặt z  a  bi,  a, b  ¡  số phức cho M  x; y  điểm biểu diễn z mặt phẳng phứC Trong mặt phẳng phức, xét điểm F1  2 ;  ,F2  ;  Ta có: MF1  MF1   2  a 2   b2  a  22  b2  z    a 2    b    a    b  z  Giả thiết z   z    MF1  MF2  Vì MF1  MF2  F1F2 , nên tập hợp điểm M elip 2a  4a  25 x2 y2   E :  1 25 2c  4b2  4 Ta có:  Ví dụ Giải phương trình sau tập số phức: z3  (2  2i)z  (5  4i)z  10i  biết phương trình có nghiệm ảo z4  2z3  z2  2z    zi  3   8  z  1 Lời giải Giả sử z  xi nghiệm phương trình Khi đó, ta có: x3 i  (2  2i)x  (5  4i)xi  10i   ( 2x2  4x)  ( x  2x  5x  10)i   2x  4x    x   x  2i nghiệm phương trình Nên ta biến đổi  x  2x  5x  10  phương trình cho dạng: z  2i z  2i (z  2i)(z2  2z  5)     z  1  2i z  2z   Vì z  khơng nghiệm phương trình nên Phương trình  z2  1  2(z  )   z z 1  (z  )2  2(z  )   z z  Z  1 Z  z Đặt Z  z  , ta có: Z2  2Z      Z  1  z  1  3i  1  z  z    z  z  Z   z  3z    z  3  Đặt Z  Z  zi , ta có: Z   (Z  2)(Z  2Z  4)    z1 Z  1  3i  Z2 zi   z  i  2z   z  2  i z1  Z  1  3i  zi 5    1  3i  z   i z1 7  Z  1  3i  zi 5    1  3i  z   i z1 7  78y  20 x  x  y2  Ví dụ Giải hệ phương trình:  ;  y  78x  15  x2  y2   16x  11y 7 x  x  y2    y  11x  16y  1  x2  y2  Lời giải Xét số phức z  x  yi với x,y¡ , suy x  yi  z x2  y2    78y  20 1 x  x  y2  Hệ suy  Lấy  1    vế theo vế, ta được:  y  78x  i  15i    x2  y   x  78x   i  20  15i y  x2  y2  x2  y  78y  3 Phương trình   viết lại  x  yi   78i x  yi x y  20  15i hay z  78i  20  15i z 4    , quy đồng mẫu số phương trình   rút gọn ta được: z2    3i  z  78i   5 , phương trình  5 có biệt số   16  9i  nên có nghiệm z   3i z  18  12i Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y    2;  , 18;12  Hệ suy x   x  iy  16 16x  11y x y x  iy x y 2  11i  11x  16y   i y  7i  x  y   x  iy x y 7i  z 16  11i   i  z2    i  z  16  11i  , phương z trình có hai nghiệm: z   3i,z   2i , hệ có nghiệm:  x; y    2;    x; y    5;  Dạng lượng giác số phức Phương pháp: Công thức De – Moivre: Có thể nói cơng thức De – Moivre công thức thú vị tảng cho loạt công thức quan trọng khác sau phép luỹ thừa, khai số phức, công thức Euler Công thức 1:  cos x  i sin x   cos y  i sin y   cos  x  y   i sin  x  y  Công thức :  cos x  i sin x   cos nx  i sin nx n  Số phức z  a  bi ta có: z  a  bi  a  b2  a  2  a b   i  a  b2  b  z  cos   i sin    r  cos   i sin   Với r  z góc  gọi argument z, ký hiệu arg  z  Ngược với phép luỹ thừa ta có phép khai Ví dụ Viết số phức sau dạng lượng giác Từ viết dạng đại số z2012 z  2  2i z   2i  z   cos  i sin  Lời giải  r  ( 2)2  22  2  r  2   Ta có: sin     3 2      cos      3 3  Vậy z  2  cos  i sin  4   z 2012  (2 2) 2012  3 3   i sin   cos 4   2012  3018  cos 503  i sin 503   2 3018 Vậy z2012  23018         Ta có: z  2   i   2  cos     i sin      2   6       1006 1006  2 2  3018   z2012  23018  cos  i sin  i sin  2  cos 3 3        23018    i   23017 (1  3i)  2    Ta có: z  2sin2  2sin        2i sin cos  2sin  sin  i cos  16 16 16 16  16 16   7 7   i sin   cos 16  16 16     z 2012   sin  16   2012     sin  16       2sin  16    7 7   i sin   cos 16 16   2012 2012 2012  3521 3521   i sin  cos  4         cos  i sin    2sin  4  16   2012  2   i   2     Ví dụ Gọi z1 , z2 nghiệm phương trình: z2   1  i  z  4i  Tính giá trị biểu thức Q  z12012  z22012 Lời giải    Phương trình: z2   1  i  z  4i  có biệt số   2i   Dễ thấy      , 2i   i  1 Khi         i  1   Suy phương trình cho có nghiệm z1   i, z2   i          Mặt khác z1   i  cos     i sin     , 6         z1   i  cos     i sin      3    Khi :   2012   2012   2012   2012   Q  22012 cos     i sin     cos     i sin              3 Q  22012    i  i   22012   2   Cực trị số phức Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn: z   3i  Tìm số phức z có modul nhỏ Lời giải Đặt z  a  bi   a4   a, b  ¡  Khi z   3i   a4   b3 i    b3  Do điểm M biểu diễn số phức z thoả mãn toán nằm đường tròn  C  tâm I  4; 3  bán kính R  z đạt giá trị nhỏ điểm M   C  gần O Khi M giao điểm  C  đường thẳng OI , với M giao điểm gần O OI  42   3  Kẻ MH  Ox Theo định lí talet, ta có: Lại có: MH OM OI  R       MH  OI 5 5 OH OM   OH  OI 5 Vậy, số phức cần tìm z   i Ví dụ 10 Cho số phức z thỏa mãn z   4i  Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ z Lời giải Cách 1: áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có |z||3  4i|  z    4i    4|3  4i| z  4|3  4i| 1 z   z 1 z   i  z  5  z 9z 27 36  i  max z  5 Cách 2: Đặt z  x  iy  z   4i   x     y   i Nên từ giả thiết  (x  3)2  (y  4)2  16  x2  y  2(3x  4y)   (*)   Do  3x  4y   25 x2  y2  5 x2  y2  3x  4y  x2  y2 x2  y2  10 x2  y2    Nên từ (*) ta có:  2 2  x  y  10 x  y     x2  y    z  Tương tự trên: z  max z  Chú ý: Ta giải tốn theo cách sau Từ  x     y    16    0; 2 cho: 2 x   4sin ; y  4  4cos  Khi đó: z  (3  4sin )2   4  4cos    41   3sin   4cos   2 Do 5  3sin   4cos     z  81   z  Ví dụ 11 Cho số phức z  Tìm m để z.z  im , m¡  m  m  2i  2 Tìm giá trị nhỏ số thực k cho tồn m để z   k Lời giải    m  i    m2  2mi  m  i m i    z  2  m  m  2i    m  2mi    m  2mi  m  m          2  m    z.z       2  m  1  m  1 m 1 Mà z.z  1  hay m2    m  1 tức 2 m 1 2 Ta có: z  z 1  im i  2mi  m 1 m  i mi   1 1 m  i  z1 im mi m  2m  m2  k  m  2m   Xét hàm số  z   k   m  2m  f m     k2 m2    m2  Ta có: f '  m      f 'm   m   m2  m   m  1 2 1     2   Lập bảng biến thiên ta có f  m   f    Yêu cầu toán  k  Vậy k  3 3 5 1 k  2 1 giá trị phải tìm DỤNG CỦA SỐ PHỨC  Ví dụ 12 Tính cos Lời giải   Đặt z  cos  i sin , z nghiệm phương trình z5   Ta có z5   (z  1)(z4  z3  z2  z  1) z  nên z nghiệm phương trình z4  z3  z2  z   Vì z  khơng nghiệm nên chia hai vế cho z2 : z2  z   1 1    (z  )2  (z  )   z z2 z z z 1  1   ,z   z z ... phần ảo 2i Câu 34 Cho số phức z   mi Giá trị tham số m để số phức z số thần thực  2i 14 A B  C D Câu 35 Cho hai số phức z1   2i ; z2   3i Xác định phần thực phần ảo số phức z1  2z... giá trị tham số m để số phức z có mơ đun lớn số phức cho A 2;4  B  ;2  4; C 2;4 D  ;2  4; 12 Câu 20 Cho số phức z  1  m1  i  Giá trị tham số m để số phức z có mơ... B.2 C.3 Câu 90 Có số phức z thỏa mãn z = A.4 B.3 Câu 91 Cho số phức z thỏa z = A.0 D.4 z số ảo C.2 D.1 ( + i )3 Môđun số phức z + iz là: i- B C 2 D.16 23 Câu 92 Tìm tất số phức z thỏa z = z