Số phức nâng cao

Chuyên Đề Số Phức TUYỂN TẬP 100 CÂU SỐ PHỨC VẬN DỤNG VÀ VẬN DỤNG CAO Câu Cho số phức z thỏa 1  i  z  z  i Tìm mơ-đun số phức w   i  z A w  13 B w  13 C w  23 D w  33 Hướng dẫn giải Gọi z  x  yi, x,y   x  1  i  z  z  i  1  i  x  yi   x  yi  i   2x  y   xi  i  y    z   2i  w   i  z   i   2i   3i w  13 Vậy chọn đáp án A  Câu Tìm mơ-đun số phức z biết z2 1  i   z A w  B w  1  i   21  i C w  D w  Hướng dẫn giải Đặt w  z2 1  i   a  bi a,b    z 1  i   w  a  bi a  Do ta có w  2w  21  i  3a  bi  21  i   b  Dẫn đến z2  7i   4i    i  1 i Suy z  Vậy chọn đáp án B Câu Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  19  4i Tìm mơ-đun số phức z2 w  z2  z  biết z có phần thực dương A w  217 B w  113 C w  277 D w  133 Hướng dẫn giải Gọi z  a  bi a,b   Phương trình cho trở thành: Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page Chuyên Đề Số Phức a  b2  2a  19 a  b2   a  bi   19  4i  a  b2  2a  2bi  19  4i   2b  4  a  a  2  2a  19  a  2a  15   z   2i      a  5    b   b   z  5  2i b     Trường hợp 1: z   2i , ta có: w    2i     2i     14i  w  92  142  277 Vậy chọn đáp án C Câu Cho số phức z thỏa mãn A w  17 zi z  11  z  Tính mơ-đun số phức w  z2 zi B w  11 C w  D w  Hướng dẫn giải  z   2i z  11  z   z  11   z   x    z2  2z     z2  z   2i Với z   2i  w  1 i  i  w  1 i Với z   2i  w   3i 4   i  w 1  3i 5 Vậy w  Vậy chọn đáp án D Câu Tính mơ-đun số phức z biết A w  2  z  1  i    i z  2i B w  C w  D w  Hướng dẫn giải Đặt z  x  yi  x,y    z  x  yi  z  1  i    i    2i  z    i  z   4i z  2i x  y    x  y    7y  3x  i   4i   3x  7y   x  y  1 z  1 i  z  Vậy chọn đáp án C Câu Tính mơ-đun số phức z biết A w  B w  5z  1  2z  i   3i  2i C w  D w  Hướng dẫn giải Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page Chuyên Đề Số Phức Giả sử z  a  bi,  a,b    z  a  bi   PT    2i  z  1  2z  i   3i  1  2i  a  bi    a  bi  i   3i  a  bi  2ai  2b  1  2a  i  2b   3i  a  1  4a  b  i   3i a  a    1  4a  b   b  Vậy z   2i  z  Vậy chọn đáp án B Câu Tìm số phức z thỏa mãn  z  z  i   iz  1 z có phần thực dương A z   i C z   i B z   i,z   i D z   i Hướng dẫn giải Đặt z  a  bi a,b  , a   Từ giả thiết ta có:  a  bi  a   b  1 i    b    2 1  a  b  2      a  bi   b  1  2a  b  1 i     b  2a  b  1 Từ (I) suy ra:  I  2 b   b  1  b  1   b   2b  1   b  2 b   2  b  1 Với b    a   (loại) Với b  2  a   z   2i Vậy chọn đáp án C Câu Tìm phần thực số phức z thỏa mãn điều kiện z  z  z2  2z  8i số thực B A D 1 C Hướng dẫn giải Gọi z  x  yi Ta có z  z    x  yi    x  yi    x    1 z2  2z  8i   x  yi    x  yi   8i  x2  y2  2x   2xy  2y   i 2xy  2y   số thực nên 2 Từ (1) (2) ta giải x  y  Vậy z   2i Vậy chọn đáp án A   Câu Tìm số số phức z thỏa mãn  z  1 z  2i số thực z  2 A B C D Hướng dẫn giải Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page Chuyên Đề Số Phức Gọi z  x  yi, x,y    z  x  yi    x   yi  x    i   GT   x  y  xy   x  1  y    2 x  y   x    y   2x x     5x  8x    y  2  y  14   Vậy z  2  2i;    14  i  Vậy chọn đáp án B Câu 10 Tìm số phức z biết  iz   z   số ảo z  B A C D Hướng dẫn giải Giả sử z  a  bi  a,b  ,  iz   z      b  a   bi    ba    ab   a  b  ab   1 Mặt khác z  nên a  b2   2 ta có: số ảo nên: Từ (1) (2) ta tìm a  , b   a   , b  a  0, b  a  2, b  Vậy có số phức thỏa mãn là: z   i , z    i , z  2, z  2i Vậy chọn đáp án D Câu 11 Tìm phần thực nguyên số phức z thỏa mãn 1  3i  z số thực z   5i  B A C 1 D Hướng dẫn giải Giả sử z  x  yi , 1  3i  z  1  3i  a  bi   a  3b   b  3a  i 1  3i  z số thực  b  3a   b  3a z   5i   a     3a  i   a      3a  2 1 a   b   10a  34a  29   5a  17a  14    a   b  21  5 Vậy z   6i, z   21 i Vậy chọn đáp án B Câu 12 Tìm số phức z, biết z.z  z   z số ảo A z   i; z   2i B z   i; z   i C z   i; z   i D z   i; z   i Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page Chuyên Đề Số Phức Hướng dẫn giải Đặt z  x  yi  x,y   Ta có: z.z   x2  y2  1 z   z   x  1  y2   x  yi    x  1  y  x  yi 2 z   z số ảo   x  1  y2  x   2 2 x  y  y2   x2 x    Từ (1), (2) ta có hệ:     2 3x    y  1    x  1  y  x  Vậy có số phức thỏa u cầu tốn z   i; z   i Vậy chọn đáp án D Câu 13 Tìm mơ đun số phức z thỏa mãn A B z z  2i  đồng thời số ảo z   2i z2 C 3 D Hướng dẫn giải z  Điều kiện  z   2i Giả sử z  x  yi  x,y   Khi đó: Từ giả thiết ta có: z  z   2i  x2  y2   x     y   hay y   x 2 Ta có: z  2i x   y   i  x   y   i   x    yi    z   x    yi  x    y2 Do z  2i số ảo x  x    y  y    hay x2  y2   x  y  z2 1 2 Thay (1) vào (2) ta có x2    x    2x2  4x  Nếu x  y  nên z  (loại) Nếu x  y  , z  2i (thỏa mãn) Vậy chọn đáp án A   Câu 14 Tìm số số phức z thỏa mãn  z  1 z  2i số thực z   B A C 1 D Hướng dẫn giải Giả sử z  a  bi,  a,b     Ta có  z  1 z  2i   a  bi  1 a  bi  2i   a  1  bi  a    b  i   a2  b2  a  2b   2a  b   i Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page Chuyên Đề Số Phức   Theo  z  1 z  2i số thực nên 2a  b    b   2a Mặt khác z     a  1  bi   a  1  b2  a  2   a  1    2a     a  1   a     a  Với a   b   z  2i Với a   b  2  z   2i Vậy có hai số phức thỏa mãn yêu cầu toán z  2i, z   2i Vậy chọn đáp án B Câu 15 Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn: z  2i   z  i   2  2  2   B Đường tròn tâm I  1;   , R  3 A Đường tròn tâm I  1;  , R   3  2 C Đường tròn tâm I  1;  , R   3 D Đường tròn tâm I  1;  , R   3 Hướng dẫn giải Giả sử z  x  yi,  x,y   thì: z  2i   z  i   x    y   i  x    y  1 i 2 2   x  1   y     x  1   y  1   3x  3y  6x  4y     2  2  x  y  2x  y     x  1   y    3   2 Vậy tập hợp số phức z thỏa mãn đường tròn tâm I  1;  bán kính R   3 Vậy chọn đáp án A Câu 16 Tìm tập hợp điểm M mà tọa độ phức thỏa mãn điều kiện: z   i  A Đường tròn tâm I  2; 1 , R  B Đường tròn tâm I  2;1 , R  C Đường tròn tâm I  2;1 , R  D Đường tròn tâm I  1;  , R  Hướng dẫn giải Hai số phức liên hợp có mơ-đun nhau, ta suy ra: z   i  z   i (vì z   i  z   2  i   z   i ) Từ ta có: z   i  Đặt z  x  iy  x,y   Suy Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page Chuyên Đề Số Phức z   i    x     y  1 i    x     y  1 2 1   x     y  1  2 Vậy tập hợp điểm M đường tròn tâm I  2;1 , bán kính R  Vậy chọn đáp án B Câu 17 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: z    4i   A Đường tròn tâm I  2; 1 , R  B Đường tròn tâm I  3; 4  , R  C Đường tròn tâm I  2;1 , R  D Đường tròn tâm I  3; 4  , R  Hướng dẫn giải Đặt z  x  yi  x,y  Ta có   x  3   y   z   4i  x    y  i    x  3   y    2 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I  3; 4  bán kính R  Vậy chọn đáp án D Câu 18 Tìm tập hợp số phức z hệ tọa độ, biết z   3i z  3i   A Đường tròn: x2  y2  12x  18y  37  B Đường tròn: x2  y2  12x  18y  37  C Đường tròn: x2  y2  12x  18y  37  D Đường tròn: x2  y2  12x  18y  37  Hướng dẫn giải Đặt z  x  yi  z  x  yi z   3i z  3i  Hay   x     y  3 i  x     y  3 i  x     y   i   x     y   i      2  x     y  3  x   x    y2     x   y     x   y    i 2  x  4   y  3 2   x   x    y     x   y     x   y         2 2   x     y      Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page Chuyên Đề Số Phức 2 2 2   x     y     x     y      x     y          2 2   x     y     x     y        x  y  4x  6y  13  x  y  8x  6y  25   x  y  12x  18y  37  Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z phương trình đường tròn: x2  y2  12x  18y  37  Vậy chọn đáp án B Câu 19 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z'  z   i biết z   3i  A Hình trịn tâm  2;  , bán kính B Hình trịn tâm  3;1 , bán kính C Đường trịn tâm  3;1 , bán kính D Đường trịn tâm  3;1 , bán kính Hướng dẫn giải Đặt z  x  yi;  x,y   Ta có z'  z   i  z'   x     y  1 i Có z   3i    x     y   i    x     y  3  2 Nên tập hợp điểm biểu diễn z hình trịn tâm  2;  , bán kính  Tập hợp điểm biểu diễn z' hình trịn tâm  3;1 , bán kính Vậy chọn đáp án B Lưu ý: Việc suy z  z' phép biến hình Bao gồm phép tinh tiến theo Ox từ x  2 tới x  3 tịnh tiến theo Oy từ y  đến y  Và phép tịnh tiến nên bán kính đường trịn khơng thay đổi Câu 20 Cho số phức z thỏa 1  i  z   Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z 1 i A Đường trịn có I  0; 1 , bán kính R  B Đường trịn có I  0;1 , bán kính R  C Đường trịn có I  0; 1 , bán kính R  Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page Chuyên Đề Số Phức D Đường tròn có I  0;1 , bán kính R  Hướng dẫn giải Cách 1: Gọi số phức z  x  yi;  x,y  Ta có:  x  yi  x  yi 1  i  x y  x y  z         i (1) 1 i 1 i 1 i 2 2 2 Theo giả thiết: 1  i  z    1  i  x  yi      x  y     y  x  2  (2) Nhìn vào số phức dạng (1) để biến đổi phương trình (2): 2 xy xy          1  41     Từ suy ra, tập hợp điểm M biểu diễn số phức x2   y  1  z đường trịn có phương trình 1 i 1 có tâm I  0; 1 , có bán kính R  Vậy chọn đáp án A Ta cịn có cách giải tự nhiên sau: Cách 2: Gọi M  x; y  điểm biểu diễn số phức z z Ta có  x  yi 1 i 1 i Điều kiện toán: x 1  i  z    z  i      x  yi  2i     1 i    2y    2x     x    y  1  2 2 Vậy tập hợp M đường trịn có phương trình x2   y  1  Câu 21 Tìm số phức z thỏa mãn đẳng thức z   2i  Hãy tìm tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức w, biết w  z   3i A Đường tròn  C  :  x     y    2 B Đường tròn  C  :  x     y    2 C Đường tròn  C  :  x     y    2 D Đường tròn  C  :  x     y    2 Hướng dẫn giải Đặt z  a  bi  a, b w  x  yi  x; y   có điểm biểu diễn N  a; b  M  x; y  điểm biểu diễn cho  Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 10 Chuyên Đề Số Phức Ta có a  bi   2i   a     b    1 a  x  w  z   3i  x  yi  a  bi   3i   b  y  Thay vào (1) ta  x     y     M thuộc  C  :  x     y    2 2 Vậy tập hợp điểm M đường tròn  C  :  x     y    2 Vậy chọn đáp án C Câu 22 Cho số phức thỏa mãn z   2i  Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ z A z  2  1; z max  2  B z   1; z max   C z   1; z max   D z  3  1; z max  3  Hướng dẫn giải Đặt x  iy với x,y  Vì z   2i  nên: x    y   i    x     y    2 Vì đổi biến x   cost,y 2 sint với  t  π Khi đó:  π 2 x2  y2   cos t  1   sin t      sin t  cos t    sin  t    4  π   Mà 1  sin  t    nên   x2  y2   , đó:   z    2 1 z  2 1  z  2  t  7π 2 hay x  2  ,y   2 Vậy giá trị nhỏ z 2  z  2   z  2  t   2  i2    2   3π 2 hay x  2  ,y   2 Vậy giá trị lớn của z 2  z  2   2  i2     2   Câu 23 Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z   2i  , tìm số phức z có mơđun nhỏ Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 11 Chuyên Đề Số Phức A B C D Hướng dẫn giải Gọi z1  a1  b1i; z  a  b 2i 2  a1  b1  Ta có z1  z2    2  a  b2  z1  z  a1  a   b1  b2  i  z1  z   a1  a    b1  b2  2 z1  z    a1  a    b1  b2   z1  z 2   a1  a    b1  b   a12  a 2  2a1a  b12  b 2  2b1b 2   a     2b    a  a12  a 2  b12  b2  a12  a 2  b12  b 2  2a1a  2b1b 2  a22  b2 2  a    b1  b2     2.1  2.1    z1  z  Vậy chọn đáp án A 3   i  lớn  2   Câu 66 Tìm số phức z thỏa z   z   26 có z   A z   3  i 2 B z   3  i 2 C z  3  i 2 D z  3  i 2 Hướng dẫn giải Giả sử z  x  yi; x,y  Ta có z   z   26   x    y2   x    y2  26  x2  y2  Suy tập hợp 2 2 điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện đường tròn (S) tâm gốc tọa độ O, bán kính R  3   2  2  i  x  Ta có z    y          2 3 2 3 2 3  Vì  ;     nên điểm K   thuộc đường tròn (S)      2       3   2  2  i  x  Gọi M  x; y  điểm thuộc (S), z    y   MK       2       3   i     Suy z   lớn  MK lớn  MK đường kính (S)  3 2  M  ;   2   Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 32 Chuyên Đề Số Phức Vậy z   3  i Vậy chọn đáp án A 2 Câu 67 Cho số phức z thỏa mãn z  2i số ảo Tìm giá trị lớn biểu thức z2 T  z 1  z i A maxT  B maxT   D maxT  C maxT  Hướng dẫn giải Đặt z  x  yi (x,y  ) Khi z  2i x   y   i  x   y   i   x    yi    z   x    yi  x    y2  x x  2   y  2 y x  2  y2   x   y    xy i  x    y2 số ảo x x  2   y  2 y x  2  y2 x2  y   x  y   0 2 x   y      Ta có T  z   z  i   x  1  yi  x   y  1 i   x  1  y  x   y  1 2 Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có 2(x  y)  x2  y  (x  y)2 Suy x  y  Suy T2     x  y    20 Suy T  ,dấu đẳng thức xảy x  y  Vậy giá trị lớn T , đạt z   2i Vậy chọn đáp án D Ví dụ 68: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện A 53 29 B 53 28 z  4i z  11 ?  z  Hãy tính z  2i z2 C 52 29 D 50 29 Lời giải Ta có:  z   3i z  11  z   z  4z  13  0,  '  9  9i   z2  z   3i Do * z   3i  z   3i  z  4i i  1 z  2i  i z  4i  7i 53   z  2i  5i 29 Chọn A Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 33 Chuyên Đề Số Phức Câu 69: Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình 1  i  z2    i  z   3i  Tính z1  z ? 2 A B 10 C D 12 Hướng dẫn giải Phương trình:  '    i   1  i   3i   16 Do phương trình có hai nghiệm phức: z1  1  i, z    i 2 2 Vậy z1  z  2 Chọn A Câu 70: Cho số phức z thỏa mãn: 1  2z   4i    6i  Tìm số phức w   z ? A w    i 25 25 B w   i 25 25 C w    i 25 25 D w    i 25 Hướng dẫn giải Gọi z  a  bi , với a, b  Ta có 1  2z   4i    6i    2a   2bi   4i    6i    6a  8b  8  8a  6b  10  i  32  a  6a  8b   32  25    z    i  w  1 z    i 25 25 25 25 8a  6b  10  b   25  Chọn đáp án A Câu 71: Tìm phần thực phẩn ảo số phức sau: z  A 0; 18 B 18;0 C 18;0  5i    2i  3  i  ?  4i D 0;18 Hướng dẫn giải Thực đúng:  5i  1  i  4i Tính   2i  3  i   17  i Vậy z  18  phần thực: -18, phần ảo: Chọn đáp án B Câu 72: Cho số phức z thỏa mãn: 1  i  z    i  z   6i Tìm phần thực, phần ảo số phức w  2z  A 6;5 B 5; 6 C 5; 6 D 5;6 Hướng dẫn giải Giả sử z  a  bi  a, b    z  a  bi , đó: 1  i  z  3  i  z   6i  1  i  a  bi   3  i  a  bi    6i  4a  2b  2bi   6i Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 34 Chuyên Đề Số Phức 4a  2b  a    2b  6 b  Vậy: z   3i Do w  2z     3i     6i Vậy số phức w có phần thực 5, phẩn ảo Chọn đáp án D Câu 73: Tính mơ-đun số phức z  1  2i   i  A B 5 5 C 5 D 5 Hướng dẫn giải z  1  2i   i   1  2i    4i  i   1  2i 3  4i    4i  6i  8i  11  2i Vậy z  11  2i  z  112  22  5 Chọn đáp án C Câu 74: Cho hai số phức z1 , z thỏa mãn z1  z  1; z1  z  Tính z1  z A B C D Hướng dẫn giải Ta có: z1  a1  b1i; z2  a  b2i  a1 ,a , b1 , b2   2 2    z1  z  a1  b1  a  b    2 z  z      a1  a    b1  b     a1b2  a b2     a1  a    b1  b2   2 Vậy: z1  z  Chọn đáp án A Câu 75: Giải phương trình tập số phức: A z   2i B z   2i 12z  i  11   7i  iz C z   3i D z   3i Hướng dẫn giải Phương trình tương dương: z   i   13  13i z 13  13i   i    2i   i   i  Chọn đáp án B Câu 76: Tìm mơ-đun số phức z biết   i3  z   3i  z  i ? A B C 2 D 2 Hướng dẫn giải Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 35 Chuyên Đề Số Phức Ta có:   i3  z   3i  z  i    i  z  z  1  3i  z 3i 3 z  i 1 i 2 2 3 3 Do z  z        2 2 Chọn đáp án C Câu 77: Cho số phức z  a  bi,  a, b   thỏa mãn điều kiện:   i  z  1  i   i    i Tìm phần thực phần ảo z ?  14 a  A  b     a  B  b     a  C  b    a  D   b  7  Hướng dẫn giải Ta có:   i  z  1  i   i    i    i  z   4i  z  Số phức z có phần thực  4i   i 3i 5 , phần ảo  5 Chọn đáp án B Câu 77: Cho số phức z thỏa mãn: 1  i  z  2iz   3i Tìm môđun w   z  1  z A w  B w  C w  D w  11 Hướng dẫn giải Giả sử: z  a  bi; a, b    1 i z  2i.z   3i   1 i a  bi  2i. a  bi  5 3i a  3b  a     z  2i a  b  b  Khi ta có: w    i     i    3i  w  16   Chọn đáp án A Câu 78: Tìm mơđun số phức z biết   i3  z   3i  z  i A 2 B 3 C D 2 Hướng dẫn giải Ta có:   i  z   3i  z  i    i  z  z  1  3i  z 3i 3 z  i 1 i 2 2 3 3 Do đó: z  z        2 2 Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 36 Chuyên Đề Số Phức Vậy chọn đáp án A Câu 79: Gọi z1 , z nghiệm phức phương trình z2  2z   Tính độ dài đoạn AB, biết A, B điểm biểu diễn số phức z1 , z A AB  C AB  B AB  D AB  Hướng dẫn giải Xét phương trình: z2  2z    '    4   2i  Phương trình có hai nghiệm z1   2i;z   2i Ta có: A 1; 2  ;B 1;2   AB   0;4   AB  Chọn đáp án C Câu 80: Giải phương trình:  z  2z    z  2z    tập hợp số phức  z  1  i A   z  1  i  z  1  i B  z   i z   i C   z  1  i  z  2  i D   z  1  i Hướng dẫn giải  z  2z  2 2 z  2z  z  2z          z  2z  3 z2  2z  2  z2  2z    z  1  i z2  2z  3  z2  2z    z  1  i Chọn đáp án A Câu 81: Cho số phức z thỏa mãn:   i  z  A 1023  6i 20   2i Tính  zi  z  1 i B 1024 C 1025 D 1026 Hướng dẫn giải Ta có:   i  z  z  6i   2i    i  z   4i 1 i  4i   4i   i     3i 2i  zi  z  20 10 20 10   2i    3i    1  i     2i   210  1024   Chọn đáp án B  z  12    z  8i Câu 82 Giải hệ phương trình hai ẩn:   z  1  z  A z=6+17i vaø z=-6+8i B z=-6+17i vaø z=6+8i C z=6+17i vaø z=6-8i D z=6+17i vaø z=6+8i Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 37 Chuyên Đề Số Phức Hướng dẫn giải Đặt z  x  yi Phương trình đầu ta x=6; phương trình ta  y  17 y  Vậy số phức cần tìm z=6+17i z=6+8i Vậy chọn đáp án D  z 1 1   zi Câu 83 Giải hệ phương trình hai ẩn:   z  3i   z  i A z   4i C z   2i B z  1  i D z   i Hướng dẫn giải Cách Ta có tập hợp điểm M ặt phẳng phức biểu diễn số z thỏa mãn z  z0 z  z1   z  z  z  z1 đường trung trực đoạn thẳng A A1 với A , A1 theo thứ tự biểu diễn số phức z0 ,z1 Do đó: z 1  nên điểm M biểu diễn số phức z  x  yi,  x,y  zi  phải nằm đường z  3i  chứng tỏ phần ảo z Vậy z   i Vậy zi phân giác y  x Còn điều kiện chọn đáp án D Cách Đặt z  x  yi Phương trình đầu ta x=1; phương trình ta y=1 Vậy số phức cần tìm z=1+i Câu 84 Cho số phức z  bi với b số thực dương Biết phần ảo z2 z3 Tìm b A b  B b  C b  12 D b  15 Hướng dẫn giải Ta có z2    bi   81  b2  18bi nên Imz2  18b   Lại có z3    bi   729  27b2  243b  b3 i nên Imz3  243b  b3 Theo ta có Imz2  IMz3  18b  243b  b3  b  0;b  15;b  15 Vì b số thực dương nên b=15   2   Câu 85 Cho M  z 1  z   z  ,z  C Chọn phương án đúng? A M  \ B M  C M D M  Hướng dẫn giải Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 38 Chuyên Đề Số Phức   Ta có z    z  1 z  1   z  1 z  nên:  z  1  z    z  1   z  1  z  1   z  1  z  z    z  1,z  z 2 Vậy ta có z số thực nên M  Vậy chọn đáp án B Câu 86 Cho hai số phức x,y có tổng bình phương tổng lập phương 10 Tìm giá trị thực lớn tổng x+y? C B A D Hướng dẫn giải Đặt S  x  y,P  x.y Theo ta có:  S2  2   P  x  y  S  2P     3 x  y  10 S  3SP  10 S   P   10       Suy S  S2     10  S3  21S  20    S  1 S   S  5   Hay S  5,S  1,S  Vậy gía trị lớn x+y Vậy chọn đáp án D Câu 87: Cho số phức z thỏa mãn A  z  1  i    i z  2i Tìm phần thực phần ảo z9 C B 16 D Hướng dẫn giải Đặt z  x  yi,  x,y  R   z  x  yi  z  1  i    i    2i  z    i  z   4i   x  y   7y  3x  i   4i z  2i  x  y    π π   x  y   z   i   cos  i sin  4   7y  3x   Do z9     cos 94π  i sin 94π   16  16i Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 39 Chuyên Đề Số Phức Phần thực z 16, phần ảo z 16 Vậy chọn đáp án B Câu 88: Cho số phức z thỏa mãn z  A 22013 z  7i   3i 1 Tính phần thực số phức z2013 C 21006 B 21006 D 22013 Hướng dẫn giải Gọi số phức z  a  bi, a,b   a  bi    z  a  bi thay vào (1) ta có: a  bi   a  bi 1  3i    7i  10a  10bi  a  3b  i 10 a  bi  7i   3i  b  3a   12  14i 9a  3b  12 a     11b  3a  14 b  a  b  1 z  1 i  z 2013  1  i  2013   π π     cos  i sin   4    2013  2013π 2013π   21006  cos  i sin  4   Vậy phần thực z2013 21006 2cos 2013π  21006 Vậy chọn đáp án C   Câu 89: Tính môđun số phức z, biết:  2z  11  i   z  1  i    2i A B C D Hướng dẫn giải Gọi z  a  bi,  a,b   Ta có:  2z  11  i    z  1 1  i    2i   2a  1  2bi  1  i    a  1  bi  1  i    2i   2a  2b  1   2a  2b  1 i   a  b  1   a  b  1 i   2i 3a  3b  1   3a  3b    a  b   i   2i    a  ,b   3 a  b   2 Suy môđun: z  a  b2  Vậy chọn đáp án C Câu 90: Tính mơđun số phức z, biết rằng: z3  12i  z , z có phần thực dương Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 40 Chuyên Đề Số Phức A B C 3 D Hướng dẫn giải +) Đặt z  x  yi, x, y R  z  x  yi +) Theo ra:     z  12i  z   x  yi   12i  x  yi  x  3xy  3x y  y  12 i  x  yi 3  x  3xy  x x  3xy  (do x  0) 8y  4y  12     3 2 3 3y  y  y  12   y x  3y  3x y  y  12  y     2  y  1 y  2y    y  1    x  x  3y  (do x  0)  +) Môđun số phức z z  x2  y2  Vậy chọn đáp án A Nhận xét: Cách đặt z  x  yi cách thường sử dụng toán số phức cho trước đẳng thức Trong tập này, không sử dụng dạng lượng giác số phức số mũ khơng q cao, đồng thời kiện khơng xuất dạng tích hay thương để áp dụng dạng lượng giác Câu 91 Cho số phức x,y,z thỏa mãn: x  y  z  So sánh x  y  z xy  yz  xz A x  y  z  xy  yz  xz B x  y  z  xy  yz  xz C x  y  z  xy  yz  xz D x  y  z  xy  yz  xz Hướng dẫn giải 1 x  y  z   xy  yy  zz   x  ; y  ; z  x y z xyz  x  y  z  xy  xz  yz xy  xz  yz xy  xz  yz xy  xz  yz     xy  xz  yz xyz x y z xyz xyz Vậy chọn đáp án C Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 41 Chuyên Đề Số Phức Câu 92 Tìm phần phần ảo z 30 biết z 1  i   1  i  A z B 1  i  1 i z 30   2i  30 C 3 D Hướng dẫn giải  2i  2 30 Phần thực z 30 230 ; Phần ảo z 30 Vậy chọn đáp án A Câu 93 Tìm tất số phức z thỏa mãn phương trình z2  z  Khi đó, tính tổng lũy thừa bậc tất nghiệm phương trình cho 1 A C B D Hướng dẫn giải Đặt z  a  bi, a,b  Vậy  Suy z2  a2  b2  2abi, z  a  bi z2  z   a  b  a   2ab  b i   a  b2  a  Từ đó, thu   2ab  b  1 2  Giải hệ, thu  a; b    0;  ,  1;  ,  ;  Vậy có bốn số phức z1  0, z  1, z   3   3 i, z   i thỏa mãn phương trình cho 2 2 Để ý z k nghiệm phương trình zk  zk , đó: z14  z42  z34  z44 1  1   1   i    i  2  2      Vậy chọn đáp án B Câu 94.1: Cho số phức z thỏa mãn z  5 A 21006     2013 5 B 21006     z  7i tìm phần thực z2013   3i 2013 5 2013 C 31006     5 2013 D 41006     Hướng dẫn giải +) Giả sử z  a  bi  a,b    z  a  bi thay vào (1) ta được: Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 42 Chuyên Đề Số Phức  a  bi 1  3i    7i  27a  9b  33b  9a i  60  70i a  bi  7i   a  bi       3i 10  a  27a  9b  60  5 π π    z  1  i    cos  sin  3 4  33b  9a  70 b   a  bi  z 2013 5  π π     cos  sin   4   3 2013 5   2 3  5   2013π 2013π    sin 2  cos  4  3   2013  2   i   2   2013 Vậy phần thực z2013 21006   Vậy chọn đáp án A   Câu 94.2: Cho số phức z thỏa mãn z  z  7i Tìm phần thực số phức z2014   3i B 22013 A 2013 C 22014 D Hướng dẫn giải +) Gọi số phức z  a  bi a,b  a  bi  bi  7i    z  a  bi Thay vào (1) ta có a  bi  a1  3i a  bi 1  3i    7i  10a  10bi  a  3b  i 10  b  3a   12  14i 9a  3b  12 a   9a  3b  i 11b  3a   12  14i    11b  3a  14 b  +)Với a  b  1 z  1 i  z 2 1007 2014  1  i  2014   π π     cos  i sin   4     2014 π 2014 π   cos  i sin  4   Vậy phần số thực z2014 21007.cos 2014 2014 π 0 Câu 95: Cho số phức z thỏa mãn z  2z  3  6i Tính giá trị biểu thức z  z  z A 96 B 155 C 123 D 145 Hướng dẫn giải Giả sử z  x  yi  x,y   Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 43 Chuyên Đề Số Phức Từ giả thiết, ta có   x2  y  2x  3 x2  y   x  yi   3  6i    2y     x2   2x  x    2x   ,x    y  y     z   3i Vậy, z  z  z   25  125  155 Vậy chọn đáp án B Câu 96: Tìm phần thực số phức z có phần ảo 164 n  B 656 A 96 * thỏa : C 13 z  4i zn D 45 Hướng dẫn giải Gọi z  a  164i a  Theo giả thiết, ta có  z a  164i  4i   4i  a  164i  4i  a  164i  n  zn a  164i  n  a  656 a  656  a  164i  656   a  n  i     4  a  n   164 n  697 Vậy chọn đáp án B Câu 97: Gọi z1 ,z hai nghiệm phức phương trình: z2   m  4i  z   7i  Tìm số phức m cho A m  2;m   8i z1 z  i   z z1 B m  3;m  3  8i C m  5;m   8i D m  3;m  3  8i Hướng dẫn giải Xét phương trình z2   m  4i  z   7i  (1) Ta có    m  4i    7i  1 Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt      m  4i    7i  1  Theo định lí Viet,ta có z1  z2  m  4i,z1z2  1  7i Mặt khác z1 z  i z  z22  i     z z1 z1z 2 Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 44 Chuyên Đề Số Phức z  z   2  2z1z z1z  m  4i   1  7i  z  z  3i 3i   2 z1z 2 7i   m  4i     i  1  7i  2   m  4i   7  24i   m  4i     4i  2 m  4i   4i m    (thỏa mãn   ) m  4i  3  4i m  3  8i Vậy m  3;m  3  8i Vậy chọn đáp án D 1     i  Là nghiệm Câu 98: Tìm mơđun số phức w  b  ci , biết số phức z  1  3i  1  i  12 6 phương trình z2  8bz  64c  B A C D 23 29 Hướng dẫn giải       3i   3i  3.3i  3i  8   +) Ta có   3i   3i  3.3i  3i3  8  1  i   2i  1  3i  +) Do 1  3i    i   84   i    i     1  2i    16i 12 1  i   8  2i  12 8  16i  Theo giả thiết ta có  8b 8  16i   64c   1  i   b 1  2i   c    2b   i  b  c   2b   b  2   w   b  c   c   2   52  29 Chú ý: Có thể dùng dạng số phức lượng giác để sử lý tốn này! Câu 99: Tìm số thực a,b cho z   3i nghiệm phương trình z2  az  b  A a  4,b  13 B a  4,b  13 C a  4,b  13 D a  4,b  13 Hướng dẫn giải z   3i nghiệm phương trình z2  az  b     3i   a   3i   b   5  12i  2a  3ai  b  3a  12  a  4   2a  b     3a  12  i     2a  b   b  13 Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 45 Chuyên Đề Số Phức Vậy, a  4,b  13 Vậy chọn đáp án A Câu 100 Tìm m z1 ,z  để phương trình 4z2   m  1 z  m2  3m  có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn z1  z  10 A m  2,m  B m  7,m  C m  2,m  5 D m  9,m  7 Hướng dẫn giải z1 ,z  nghiệm phương trình: 4z2   m  1 z  m2  3m  nên gọi z1  a  bi  z2  a  bi với a,b  Giả thiết cho: z1  z2  10  z1  z2  10 2  a  b2  a  b2   a  b2   10   a  b   a  b  10 Mặt khác theo Viet ta có : z1.z  m2  3m m2  3m 10 hay   m2  3m  m  2 m  4 Vậy chọn đáp án A Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 46 ... định sau A z số ảo B z số phức có phần thực dương Ths Trần Đình Cư SĐT: 01234332133 Gv Chuyên luyện thi THPT Quốc gia, TP Huế Page 17 Chuyên Đề Số Phức C z số phức có phần thực âm D z số thực Định... THPT Quốc gia, TP Huế Page 27 Chuyên Đề Số Phức  z  2 , a   b  5 5 Vậy z   i Vậy chọn đáp án D Câu 56 Tìm Số số phức z có mơ đun 1, đồng thời số phức w  z2  2z  có mơ đun lớn A B C... *  Vì n số nguyên nhỏ nên từ  *  suy ra: n  Vậy chọn đáp án B Câu 59 Cho số phức z1 ,z2 đồng thời thỏa mãn điều kiện: z1  2z2 số thực 2z1  z2 số ảo 3z1  z2   5i Tìm modul số phức w 