Phần mộtNHỮNG VẤN ĐỂ CHUNG1 GIỚI THIỆU CHUƠNG TRĨNH MÔN Học1. Nội dung chương trìnhChương trình Giải tích 12 nâng cao nằm trong bộ chương trình Trung học phổthông (THPT) môn Toán được ban hành theo Quyết định số 16 2006 QĐ BGDĐT ngày 05 5 2006 của Bộ trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo. Chươngtrình được xây dựng và phát triển theo các quan điểm sau :+ Kê thừa và phát huy truyền thống dạy học môn Toán ở Việt Nam, tiếp cậnvới trình độ giáo dục toán học phổ thông của các nước phát triển trong khuvực và trên thế giới.+ Lựa chọn các kiến thức toán học cơ bản, cập nhật, thiết thực, có hê thống,theo hướng tinh giản, phù hợp với trình độ nhân thức của học sinh, thể hiệntính liên môn và tích hợp các nội dung giáo dục, thể hiện vai trò công cụ củamôn Toán.+ Tăng cường thực hành và vân dụng, thực hiện dạy học toán gắn liền vóithực tiễn.+ Tạo điều kiên đẩy mạnh vận dụng các phương pháp dạy học theo hướng tíchcực, chủ động, sáng tạo. Rèn luyện cho học sinh khả năng tự học, phát triểnnâng lực trí tuệ chung.Theo chương trình THPT môn Toán, có 90 tiết dành cho Giải tích 12 nâng cao.2. Những điểm mới trong chương trình2.1. Vềnộidunộ và thời lượnộSo với chương trình, sách giáo khoa chỉnh lí hợp nhất năm 2000 (SGK 2000),tổng số tiết học được quy định trong chương trình này ít hơn 9 tiết, đồng thờicó một số thay đổi quan trọng vể nội dung như sau : Vấn để đạo hàm và các quy tắc tính đạo hàm đã được đưa vào chương trìnhĐại sô và Giải tích ỉỉ nên chương trình Giải tích 12 sẽ được nối tiếp bởi các3ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số. So với SGK 2000,nội dung của chương này được giảm nhẹ hơn ở chỗ không xét tính lồi lõm củađồ thị và chỉ nêu các ví dụ về khảo sát và vẽ đồ thị 4 loại hàm số: y = ÍU4+ bx2 + c,3,2 . . . ax + b . ax2 + bx + c — ,____y = ax + bx + cx + d, y — — và —— . Tuy nhiên, chưcnigcx + d px + qtrình lại nhấn mạnh hơn đến vấn đề tương giao của hai đồ thị, tiếp tuyến củađồ thị và các vấn đề về đồ thị liên quan đến nghiêm của một phương trình. Hàm sô mũ và hàm sô lôgarit vốn là nội dung trong chương trình Đại số vàGiải tích 11 trước đây. Việc đưa nội dung này vào chương trình Giải tích 12 vàđặt ngay sau chương I vể khảo sát hàm sô ngụ ý rằng có sử dụng đạo hàmtrong viộc khảo sát các hàm sô luỹ thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit. Yêucầu về giải các phương trình mũ và lôgarit, nhất là giải hệ phương trình, bấtphương trình mũ và lôgarit được giảm nhẹ. Vấn đề nguyên hàm và tích phân không có nhiều thay đổi so với trước đây.Tuy nhiên, chương trình đã không đề cập vấn đề bất đẳng thức tích phân ; cácyêu cầu về kĩ năng tính nguyên hàm và tích phân được giảm nhẹ trong khi lạinhấn mạnh ý nghĩa và ứng dụng thực tiễn của phép tính tích phân. Mục đíchcủa chương này chỉ là giúp học sinh bước đầu làm quen với phép tính tíchphân. Các vấn để sâu sắc vể lí thuyết tích phân cũng như các kĩ thuật tính tíchphân, nếu cần, học sinh sẽ được học ở bậc Đại học. Sô phức là một nội dung không hoàn toàn mới mẻ. Trước Cải cách giáo dục,học sinh cũng đã được học về sô phức ở lớp 10 (lớp cuối trong hệ thống giáodục phổ thông). Trong chương trình thí điểm phân ban năm 1995 2000 cũngcó đề cập vấn để sô phức. Sô phức được đưa vào chương trình với mục đíchhoàn thiện hệ thống các tập hợp sô cho học sinh phổ thông. Do đó chươngtrình chỉ yêu cầu học sinh nắm được những điều chủ yếu nhất về số phức như :dạng đại số của sô phức, ý nghĩa hình học của chúng, các phép tính về sôphức ở dạng đại số, dạng lượng giác của sô phức và phép nhân, chia sô phức ởdạng lượng giác.2.2. về mức độ yêu cầuCác yêu cầu cụ thể của từng chương, từng mục sẽ được trình bày trong phầnhai. Dưới đây là những yêu cầu chung nhất:4 Giảm tính hàn lâm và không yêu cầu quá chặt chẽ về lí thuyết. Tuy nhiênphải đảm bảo tính chính xác, khoa học. Coi trọng cả việc cung cấp kiến thức, rèn luyện kĩ năng thực hành lẫn vậndụng kiến thức vào thực tiễn. Chú ý vấn đề tính gần đúng.
NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐOÀN QUỲNH (Tổng chù biên) - NGUYEN HUY ĐOAN (Chủ biên) TRẦN PHUONG DUNG - NGUYEN XUÂN LIÊM - ĐÀNG HÙNG THẮNG GIẢI TÍCH SÁCH GIÁO VIÊN 12 NÂNG CAO NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC Bản quyén thuộc Nhà xuất Giáo dục - Bộ Giáo đục Đào tạo ^0-2w50B/i30-H57V(GD : ' Mã số: NG201m8 Phần NHỮNG VẤN ĐỂ CHUNG - GIỚI THIỆU CHUƠNG TRĨNH MƠN Học Nội dung chương trình Chương trình Giải tích 12 nâng cao nằm chương trình Trung học phổ thơng (THPT) mơn Tốn ban hành theo Quyết định số 16 / 2006/ QĐ BGDĐT ngày 05 - - 2006 Bộ trưởng Bộ Giáo dục Đào tạo Chương trình xây dựng phát triển theo quan điểm sau : + Kê' thừa phát huy truyền thống dạy học mơn Tốn Việt Nam, tiếp cận với trình độ giáo dục tốn học phổ thông nước phát triển khu vực giới + Lựa chọn kiến thức tốn học bản, cập nhật, thiết thực, có thống, theo hướng tinh giản, phù hợp với trình độ nhân thức học sinh, thể tính liên mơn tích hợp nội dung giáo dục, thể vai trị cơng cụ mơn Tốn + Tăng cường thực hành vân dụng, thực dạy học tốn gắn liền vói thực tiễn + Tạo điều kiên đẩy mạnh vận dụng phương pháp dạy học theo hướng tích cực, chủ động, sáng tạo Rèn luyện cho học sinh khả tự học, phát triển nâng lực trí tuệ chung Theo chương trình THPT mơn Tốn, có 90 tiết dành cho Giải tích 12 nâng cao Những điểm chương trình 2.1 Vềnộidunộ thời lượnộ So với chương trình, sách giáo khoa chỉnh lí hợp năm 2000 (SGK 2000), tổng số tiết học quy định chương trình tiết, đồng thời có số thay đổi quan trọng vể nội dung sau : - Vấn để đạo hàm quy tắc tính đạo hàm đưa vào chương trình Đại sơ' Giải tích ỉ ỉ nên chương trình Giải tích 12 nối tiếp ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số So với SGK 2000, nội dung chương giảm nhẹ chỗ khơng xét tính lồi - lõm đồ thị nêu ví dụ khảo sát vẽ đồ thị loại hàm số: y = ÍU'4+ bx2 + c, 3,2 y = ax + bx + cx + d, y — ax + b ax2 + bx + c — , —- - —— Tuy nhiên , chưcnig cx + d px + q trình lại nhấn mạnh đến vấn đề tương giao hai đồ thị, tiếp tuyến đồ thị vấ'n đề đồ thị liên quan đến nghiêm phương trình - Hàm sô' mũ hàm sô' lôgarit vốn nội dung chương trình Đại số Giải tích 11 trước Việc đưa nội dung vào chương trình Giải tích 12 đặt sau chương I vể khảo sát hàm sơ' ngụ ý có sử dụng đạo hàm viộc khảo sát hàm sô' luỹ thừa, hàm số mũ hàm' số lôgarit Yêu cầu giải phương trình mũ lơgarit, nhấ't giải hệ phương trình, bất phương trình mũ lơgarit giảm nhẹ - Vấn đề nguyên hàm tích phân khơng có nhiều thay đổi so với trước Tuy nhiên, chương trình khơng đề cập vấn đề bất đẳng thức tích phân ; yêu cầu kĩ tính nguyên hàm tích phân giảm nhẹ lại nhấn mạnh ý nghĩa ứng dụng thực tiễn phép tính tích phân Mục đích chương giúp học sinh bước đầu làm quen với phép tính tích phân Các vấn để sâu sắc vể lí thuyết tích phân kĩ thuật tính tích phân, cần, học sinh học bậc Đại học - Sô' phức nội dung khơng hồn tồn mẻ Trước Cải cách giáo dục, học sinh học sô' phức lớp 10 (lớp cuố'i hệ thống giáo dục phổ thơng) Trong chương trình thí điểm phân ban năm 1995 - 2000 có đề cập vấn để sơ' phức Sơ' phức đưa vào chương trình với mục đích hồn thiện hệ thống tập hợp sơ' cho học sinh phổ thơng Do chương trình yêu cầu học sinh nắm điều chủ yếu số phức : dạng đại số sơ' phức, ý nghĩa hình học chúng, phép tính sơ' phức dạng đại số, dạng lượng giác sô' phức phép nhân, chia sô' phức dạng lượng giác 2.2 mức độ yêu cầu Các yêu cầu cụ thể chương, mục trình bày phần hai Dưới yêu cầu chung nhất: - Giảm tính hàn lâm khơng u cầu q chặt chẽ lí thuyết Tuy nhiên phải đảm bảo tính xác, khoa học - Coi trọng việc cung cấp kiến thức, rèn luyện kĩ thực hành lẫn vận dụng kiến thức vào thực tiễn Chú ý vấn đề tính gần 2.3 Vê'phương pháp dạy học Toán học khoa học trừu tượng, có nguồn gốc từ thực tiễn có ứng dụng rộng rãi thực tiễn Việc rèn luyện tư lơgic, phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động người học, hình thành phát triển lực tự học, trau dồi phẩm chất linh hoạt, độc lập sáng tạo tư yêu cầu hàng đầu dạy học tốn nhà trường phổ thơng Ngồi ra, giáo viên lưu ý đến đặc điểm môn để chọn lựa vận dụng linh hoạt phương pháp dạy học Tốn Lưu ý mơn Tốn nhà trường có nhiều thuận lợi để thực phương pháp phát giải vấn đề Tuy nhiên, dù vận dụng phương pháp phải đảm bảo nguyên tắc : học sinh tự tìm hiểu tiếp thu kiến thức tổ chức, hướng dẫn giáo viên Việc sử dụng phương pháp dạy học cịn phải đơi với hình thức tổ chức dạy học cho thích hợp Tuỳ theo mục tiêu, nội dung, đối tượng điều kiện cụ thể mà có hình thức tổ chức thích hợp học lớp, nhà trường ; học cá nhân, học nhóm Cần tổ chức tốt thực hành toán để đảm bảo yêu cầu rèn luyện kĩ thực hành, vân dụng kiến thức toán học vào thực tiễn, tạo hứng thú cho người học Để nâng cao tác dụng tích cực phương pháp dạy học, cần sử dụng cách có- hiệu thiết bị dạy học danh mục quy định Ngồi ra, giáo viên học sinh làm thêm đồ dùng dạy học phù hợp với nội dung học tập, tận dụng ưu cơng nghệ thơng tin dạy học tốn nhà trường Trung học, ngồi việc hình thành phương pháp tự học học sinh cần coi trọng việc trang bị hiểu biết phương pháp toán học cho học sinh 2.4 Về kiểm tra đánh giá kết học tập học sinh Việc đánh giá kết học tập học sinh cần-bám sát mục tiêu dạy học mơn Tốn cấp, lớp ; đồng thời qăn vào chuẩn kiến thức, kĩ quy định chương trình Cần kết hợp hình thức đánh giá khác để đảm bảo độ tin cậy kết Ngoài việc kiểm tra thường xuyên, định kì (kiểm tra miệng, kiểm ưa viết 15 phút, kiểm tra tiết, kiểm tra cuối học kì), cần sử dụng hình thức theo dõi quan sát thường xuyên học sinh ý thức học tập, tính tự giác, tiến nhận thức tư toán học Việc- đổi hình thức đánh giá nên theo hướng kết hợp tự luân trắc nghiệm khách quan, tập trung đánh giá khả tư duy, tính sáng tạo, khả vận dụng kiến thức toán học để giải vấn đề cụ thể sống Cần tạo điều kiện để học sinh tham gia đánh giá kết học tập học sinh khác nhóm, lớp tự đánh giá thân Thông báo công khai kết đánh giá để có điều chỉnh cần thiết kịp thời việc học toán học sinh dạy toán giáo viên II - GIỚI THIỆU SÁCH GIÁO KHOA GIẢI TÍCH 12 NÂNG CAO Những yêu cầu sách giáo khoa 1.1 Ngày 29 - - 2006, Ban đạo xây đựng chương trình biên soạn SGK THPT có cơng văn gửi - Tổng chủ biên, Chủ biên tác giả, nêu rõ yêu cầu việc biên soạn SGK, cụ thể sau (trích văn nói trên): - Sách giáo khoa phải biên soạn theo sát chuẩn kiến thức, kĩ yêu cầu thái độ chương trình THPT - Đối với mơn Tốn, Vật lí, Hóa học, Sinh học, Ngữ văn, Lịch sử, Địa lí, Ngoại ngữ, SGK biên soạn theo chương trình nâng cao bảo đảm thống cấu trúc, nội dung, mức độ kiến thức, kĩ năng, thuật ngữ với SGK biên soạn theo chương trình chuẩn ; đồng thời thể hiên rõ nội dung, mức độ kiến thức, kĩ phần nâng cao - Kiến thức đưa vào SGK phải đáp ứng yêu cầu bản, tinh giản, sát với thực tiễn Việt Nam, đại, tiếp cận với trình độ số nước tiên tiến khu vực ưên giới - Nội dung SGK phải thể cân đối lí thuyết với thực hành, cung cấp kiến thức, kĩ với luyện tập, củng cố, ôn tập, kiểm ưa, đánh giá * - Đảm bảo tính liên môn, cho môn học hỗ trợ lẫn nhau, tránh kiến thức trùng lặp, mâu thuẫn Đảm bảo tính liên thông môn học lớp, cấp học - Cấu trúc nội dung SGK phải tạo điều kiên đổ đổi phương pháp dạy học, giúp học sinh nâng cao lực tự học, tăng cường sử dụng phương tiện, thiết bị dạy học, tăng cường khả tự học liên với thực tế - Cấu trúc nội dung SGK phải tạo điều kiộn để đổi kiểm ưa đánh giá, đánh giá thực chất học tập học sinh, giúp học sinh tự kiểm tra trình học tập - Ngôn ngữ, cách diễn đạt SGK cần phải rõ ràng, chuẩn mực, phù hợp với đối tượng học sinh 1.2 CCc- táá giải tiê'ế tụụ thít triển qqan điểm biên soạạ đĩ thể tronn SGK Đại số 10 nâng cao SGK Đại số & Giải tích 11 nâng cao Đó : - Sát thực, tức sát với thực tiễn giảng dạy học tập trường THPT toàn quốc (nhằm đảm bảo tính khả thi sách) sát với thực tiễn đời sống xã hội thực tiễn khoa học - Trực quan, tức coi trực quan phương pháp chủ 'đạo việc tiếp cận khái niêm toán học ; dẫn dắt học sinh nhân thức từ trực quan sinh động đến tư trừu tượng - Nhẹ nhàng, tức xác định yêu cầu vừa phải học sinh ; tránh hàn lâm ; cố gắng trình bày vấn đề ngắn gọn, xúc tích, khơng gây căng thẳng cho người học - Đổi mới, tức đổi cách trình bày, nâng cao tính sư phạm SGK ; góp phần đổi phương pháp dạy học phương pháp đánh giá Giới thiệu cấu trúc sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao gồm chương với tổng số tiết học 90 (kể thời gian tổng ôn tập, chuẩn bị cho việc thi ' tốt nghiCpp: Chương I - Úng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số (23 tiết) Chương II - Hàm sô' luỹ thừa, hàm số mũ hàm ■ số lôgarit (25 tiết) Chương III - Nguyên hàm, tích phân ứng dụng (20 tiết) Chương IV - Số phức ' (13 tiết) Ôn tập kiểm tra cuối năm (3 tiết) So với SGK thí điểm, tác giả có điều chỉnh nhỏ cho phù hợp với nội dung yêu cầu học Trong chương, sau trang giới thiệu tên chương, hình biểu trưng chương, tóm lược nội dung yêu cầu chương học (§) truyền tải nội dung chi tiết chương Cuối phần câu hỏi tập ôn tập chương Mỗi học (§) mang nội dung định, dự kiến thực khoảng từ đến tiết Cuối học Câu hỏi hủi tập củng cố kiến thức kĩ đặt đề mục Đơi chỗ cịn có Bài đọc thêm hay Em có biết để mở rộng kiến thức tăng thêm hấp dẫn sách Sau học đểu có tập nhằm củng cơ' kiến thức mục Đây tập bản, đòi hỏi học sinh phải làm sau học lí thuyết Giáo viên cho học sinh làm tập lớp (nếu có thời gian) cho học sinh làm nhà Trong tập này, tác giả ý đến loại tập tính gần (như tìm nghiêm gần phương trình, tính gần biểu thức luỹ thừa lơgarit, tính gần tích phân), Nếu cần, giáo viên chữa tập với tập khác tiết luyện tâp Sau sô' học (tuỳ thuộc vào nội dung), sách giới thiệu sô' tập luyện tập nhằm củng cô' gắn kết kiến thức học trước Phần lớn luyện tập dự kiến thực đến tiết Nhiều tập tiết luyện tập tập có tính tổng hợp kiến thức học có số thuộc loại nâng cao Khi thực hiện, giáo viên nên lựa chọn tập để chữa học cho phù hợp với khả học sinh, không thiết phải chữa hết tất tập sách Như vây, giáo viên không nên chờ đến tiết luyện tập chữa tập cho học sinh Trái lại, tiết học phải dành thời gian thích hợp cho việc chữa tập kết hợp với việc kiểm tra kiến thức học sinh Những điểm nội dung • Các tác giả SGK Giải tích 12 nâng cao cố gắng bám sát nội dung quy định chương trình Do tất điểm nội dung chương trình trình bày thể sách Dưới số điểm cụ , thể : - Nội dung chương I gồm hai phần : phần đầu cung cấp cho học sinh khái niệm dùng để mô tả sơ' tính chất hàm sơ' tính đơn điêu, cực trị, đường tiêm cân đồ thị hàm số, phương pháp dùng giới hạn đạo hàm để nghiên cứu tính chất Thực chất bước chuẩn bị cho phần thứ hai khảo sát hàm số Khác với SGK 2000, chương trình SGK Giải tích 12 bỏ qua tính lồi - lõm đồ thị Tuy nhiên, có vai trị đặc biệt việc vẽ đồ thị, điểm uốn SGK đề cập mức độ đơn giản Để giúp học sinh trình bày lời giải khảo sát hàm số thuận tiện, tác giả đưa sơ đồ khảo sát hàm số cải tiến so với sơ đồ truyền thống Cụ thể bước thứ hai (khảo sát biến thiên), việc tìm giới hạn đặc biẹt hàm sơ' tìm đường tiệm cận đồ thị hàm sô' tiến hành trước ; sau tính đạo hàm, khảo sát chiều biến thiên, cực trị điểm uốn Điều cho phép bỏ qua việc lập riêng bảng xét dấu đạo hàm học sinh cần lập bảng biến thiên hàm số' Đáng ý chương vấn đề đường tiệm cận Như biết, SGK Đại số Giải tích 11 phân biệt giới hạn +00 -00, giới hạn +00 -00 Điều dẫn đến khác biệt Giải tích 12 so với SGK trước xét tiệm cân Chẳng hạn, xét tiêm cận ngang, trước ta thường phải tìm giới hạn lim f(x), ta phải xét hai giới hạn : lim f(x) lim f(x) Đồ X—>+oO X—>00 X-H 00 thị hàm số có tiệm cận ngang cần hại giới hạn tồn hữu hạn Cụ thể hơn, giả sử hai giới hạn yj y2 yj * y2, đồ thị hàm sơ' có hai tiệm cận ngang y = yj y = y2 ỉ cịn yị = y2 đồ thị có tiệm cận ngang y = y J Điếu xảy tương tự tỉệm cận xiên Cũng vây, xét tiệm cận đứng, ta phải xét tất điểm *0 ■ cho giới hận lim f(x) lim f(x) +00 -0» X—>Xq X—>Xq 41 a) (2 (= ((Tẽ + (7^)2 - ((T> - z^2)2 + 2z((7 + z^2))^ - (72) = 4712 + 2,(6 - 22 = 873 + 8( = 16^cos^ + b) Theo kết tập 26 theo ứng dụng củ) công thức Moa-vrơ, để ý phần thực phần ảo đểu dương, suy _ 71 _ _ 7Ĩ z = COS-— + / sin-— I I 12 12; ytí 42 aa Biểu diễn hình (ẹ^c + í, + ( theo thứ tự M, N mặt phẳng phức (h.4.10) 14 ÀV 1 Ta có tan(Ox, OM) = -7 = tan a ; * > ì tan(ơx, ON) = = tan? Hình 4.10 Do a, b gồm Ỷ M, N nằm góc phần tư thứ toạ độ Oxy nên suy : acgumen + i a, acgumen + i b s v Mặt khác (2 + 0(3 + = + 5/ có acgumen "7 mà acgumen ■ tích sô' phức tổng acgumen số phức (sai khác k2n, _ , , n k e Z), nên từ a, b I 0, 77 , suy a + b = — I 2J b) Biểu diễn hình học + i, + (, + ỉ theo thứ tự M, N, p mặt phẳng phức (h.4.112Lập luận tương tự câu a) suy acgumen + i a, acgumen + i b, acgumen + i c (từ giả ( _ _ , thiết tana = —, tan? = —, tanc = — a, b, c e 0, — I 11 2/ 18-GIẢI TÍCH 12-NC (SGV) y, M N —n ' p " |1 8I A Hình 4.11 265 Mặt khác (2 + 0(5 + 0(8 + ỉ) = 65(1 + ĩ) có acgumen băng -7 nên suy • • ~ a + b + c = — 43 (C); 44 (A) 45 (A) 46.(B) 47 (B); 49 (B); 50 (C( ; 51; (A) ( 52 B) ( 53 B); 48.(A); 54 (B) Gợi ỷ : Để ý viết -sin2? - icosp = -(‘((O)S9P - isĩnẹO = -j|cos(-(p) + ỉ‘sin(-ẹO] IV - GỢI Ý ĐĐ KffiM TRA CUỐlCHƯƠNN IV (Thời gian làm đề 45 phút) ĐÊ SỐ A - PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Chọn câu trả lời cách khoanh ừòn chữ A, B, c, D câu sau Câu (7 điểm) Số phức thay đổi cho I2I = giá trị bé m giá trị lớn M I2 - il : (A) m = 0, M = ; (B) m = 0, M = ; • (C) m = 0,M = V2 ; (D) m = 1, M = Câu 2(1 điểm) Khi số phức thay đổi tuỳ ý tập hợp số 22 + 22 : (A) Tập hợp số thực dương ; (B) Tập hợp số thực không âm ; (C) Tập hợp tất sô' thực ; (D) Tập hợp tất sô' phức số ảo Câu (1 điểm) Một acgumen số phức * (p acgumen ( : (A) p ; 266 (B) - B - PHẦN Tự LUẬN Câu (2 điểm) Xác định tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z = X + iỵ (x, y e R) thoả mãn điều kiện z+1 = z—1 Câu (2 điểm) Tìm phần thực phần ảo số phức GA + /)K Câu (3 điểm) Xét phương trình bậc hai (đối với ẩn z) z2 + 2hz + c = 0, b, c hai số thực cho trước, c ' Gọi A, B hai điểm mặt phẳng phức biểu diễn hai nghiệm phương trình Tìm điều kiện b c để tam giác OAB tam giác vuông Đáp án Câu (B) Câu (C) Câu (D) Câu z+ z- = (x + 1)2 + y2 = (x - 1)2 + y2 X = Tập hợp cần tìm trục ảo (Cũng dễ thấy z+ z- = điểm M biểu diễn z cách hai điể’m biểu diễn -1 Điều tương đương với M e Oy) ( 71 71^ Câu yỈ3 + i = cos — + I sin — 67 nên (V3 + i) = I cos—— + zsin —- ( 71 7t^ = -28 cos— + z sin — 3) -2S Vậy phần thực 1à -2? = -128 , phần ảo 1à -128'73 267 Câu Hai nghiêm khơng thể số thực 0, A, B khơng thẳng' hàng ; từ suy chúng hai số phức liên hợp khơng thực (vì phương trình có hệ sơ' số thực) Vậy tam giác OAB tam giác vng phải vng cân đỉnh o, trung điểm AB thuộc Ox Điều -xảy bình phương phần thực nghiệm bình phương phần ảo nghiêm (và khác 0) Vậy điểu kiên cần tìm b2 = c - ố2 > rác c = 2b2 > ĐỀ SỐ A - PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Chọn câu trả lời cách khoanh tròn vào chữ A, B, c, D cho câu sau : Câu (1 điểm) Khi sô' phức z e thay đổi tuỳ ý tập hợp sơ' z2 + : (A) Tập hợp sô' thực lớn ; (B) Tập hợp tất số phức ; (C) Tập hợp Các sô' phức khác ; (D) Tập hợp sô' phức khác -i Câu (1 điểm) Một acgumen sô' phức z e (P - acgumen — : ,+ i (A) (p + ; (B) ( - 71 ; (C) -p + Y ; (D) -p Câu (1 điểm) Với sô' phức z, ta có |z + 1|2 (A) |z|2 + 2|z| + (B) z~z + (C) z + z + (D) zz + z + z + B - PHẦN Tự LUẬN Câu (2 điểm) Chứng minh sô' phức z - thay đổi tuỳ ý tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức — đường tròn đơn vị (tâm o, ' z ' bán kính 1) 268 Câu (2 điểm-) Cho số phức z = r(cos> + / sin ộ?), (r, (p e R, r > 0) a = 5/3 - /' Hãy vtét dạng lượng giác bậc hai ■ ’ ’ z Câu (3 điểm-) Với số thực k cho -2 < k < 2, xét nghiệm phương trình (với ẩn z) z2 + kz + = Chứng minh tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn nghiệm k thay đối đường trịn đơn vị (tâm o, bán kính 1) Đáp án Câu (C) Câu (D) Câu (D) Câu Do z = nên điểm xét thuộc đường tròn đơn vị Ngược lại, xét z điểm tuỳ ý thuộc đường trịn đơn v ; biểu diễn số phức w = cos (p + i sin (p (ợ? G R) Viết z = r(cos/ + zsinr) (r e R, /• > 0) = = cos2r + /sin 2/ ; z ■’ cần chọn t - -y, r > tuỳ ý ■=■ = w z / f_7iì , < Câu a — I cos + /sin l k _ «3 nên — z 2-3 V cos fIọ - —71 J +, /sin • •_ c n (p - — r z _ _ , , a3 ,, 2Ự2 (_ Từ bậc hai — —ỹ=J=r cos y ■ z yjrr k 3n V cos 4; 269 _ If 4- A — ì Câu Nghiệm có dạng —ó , nócó phầnt-ực X = ’ - v4 - k2 y = +-— ì n n - k phần ảo , từ XZ + ỵ = Vậy -2 < k < 2, dễ tìiấy tập họp> điểm cần tìm đường trịn đơn vị GỢI Ý ƠN TẬP CUỐI NĂM I - GỢI Ý TỔ CHỨC ÔN TẬP cuc>l NÃM Trong SGK có 38 tập ơn tập cuối năm (trong có 15 tập trắc nghiệm khách quan) Đó tập chọn lọc phù hợp với yêu cầu chương trình, bao quát kiến thức kĩ cần thiết khơng q khó Giáo viên nên u cầu HS làm hết tập nhà Với thời gian quy định, chắn chữa hết tập sách Do giáo viên cần nắm lcc mức độ hiểu học sinh để lca chọn tập cần chữa ơn tập cho thích hợp Với tập, giáo viên nên kết hợp nhắc lại kiến thức quan trọng sử dụng để giải tập Đó phương pháp ơn tập tích ccc, hiệu thời gian II - GỢI Ý TRẢ LỜI CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP ÔN TẬP cuối NẢM a) Vì /(x) liên tục R f'(x) = e'X - > với X > b) Do /(x) đồng biến [0; + 00) nên với X > 0, ta có /(x) = e* - X - > f(0) = Từ suy ex > X +- với X > a) f'(x) = 6(x2 - X - 2) Ta có bảng biến thiên : X rơ) -1 —00 + - +oo + ^r-00 —00 270 -30 - b) Từ bảng biến thiên ta thấy f(x) < -3 < với X < Điều chứng tỏ phương trình f(x) = khơng có nghiệm khoảng (-00 ; 2) Trong nửa khoảng [2 ; + ao), hàm số f(x) liên tục, đồng biến /(2)./(4) = (-30).22 < nên phương trình f(x) = có nghiệm c) /(3,5)./(3,6) < Gợi ý : Gọi x0 hoành độ điểm M tuỳ ý thuộc (C) Tiếp tuyến (C) ,, ' , X , z X , z „x z M có phương trình y = — (x - x0) + lnx0 Khắng định cần chứng minh X0 ■ tương đương với bất đẳng thức sau : Vx e (0 ; + —(x - X0) + lnx0 - In X > X0 (♦) Để chứng minh (*), ta viết vế trái (*) thành — - - ln— xét hàm số' x0 x0 g(t) = t - ln t với t > máy Gợi ỷ : Nếu sử dụng I X máy in (x nguyên, < X < 8) tổng chi phí để in 50 000 tờ quảng cáo /(x) = 50 00 (6x + 10).10 + 50x (nghm đồng) 3600x Số lãi nhiều chi phí Do cần tìm giá trị nhỏ f(x) đoạn [1 ; 8] (tất nhiên coi hàm số xác định với X e R chọn kết thích hợp với điều kiện tốn) • II , n1 I 11 I Kết max fịx) = 7=7, /(x) = -4 X6(O; 1] V6 xe[0; 1] Gợi ỷ : Chứng minh 25 X , ^x max (-X + X + 6) = n (-X + X + 6) = xe[0;l] xe[0;l| a) P(à) + P(h) = Gợi ý Chú ý 4 = 4a+h = b)A>B 271 I a) Gợi ý : Từ đẳng thức cho suy (a + b)2 = 9ab, hay —3— = yfab 31 -20V3 a)