Hướng dẫn ôn tập phương pháp tọa độ trong không gian cho học sinh trường THPT thạch thành 4 thi THPT quốc gia

MỤC LỤC SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI HƯỚNG DẪN ÔN TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN CHO HỌC SINH TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH THI THPT QUỐC GIA Người thực hiện: Lê Kim Hoa Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc mơn: Tốn THANH HOÁ NĂM 2017 STT Tên mục MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trang Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG Cơ sở lý luận 2 Thực trạng vấn đề Các giải pháp BÀI : HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN BÀI 2: MẶT CẦU BÀI 3: MẶT PHẲNG TRONG KHƠNG GIAN Phương trình mặt phẳng Vị trí tương đối hai mặt phẳng Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Sử dụng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng để giải toán liên quan: 3 10 11 12 Ghi 11 12 14 13 14 15 16 17 BÀI 4: ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN Phương trình đường thẳng khơng gian Vị trí tương đối hai đường thẳng Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Hiệu 16 17 19 18 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 20 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Phần Tọa độ không gian phần cuối SGK Hình học 12 phần ln có mặt đề thi THPT Quốc gia, chiếm 14% số điểm thi Tuy khơng phải phần kiến thức khó nhằn với học sinh, với hình thức thi đổi theo hướng trắc nghiệm, học sinh không tránh khỏi lúng túng, phân chia thời gian không hợp lý dẫn tới việc không đủ thời gian để giải xong đề Đánh điểm nhiều câu khơng khó Thêm tâm lý sợ Hình học khó, ngại học hình, hình học từ cấp nên ơn tập qua loa bỏ qua “ khoanh mò” nhiều câu Hệ tọa độ không gian đề thi trắc nghiệm Trong phần kiến thức Tọa độ không gian nhiều công thức, dạng tập phong phú tập phần thường hỏi trọng tâm “khơng mang tính đánh đố học sinh” học sinh cần nắm vững kiến thức bản, hệ thống hóa lại dạng tập làm tốt Cái khó thời điểm cuối năm học, thời gian ôn tập hạn chế thời điểm em học hành chểnh mảng Học sinh trường THPT Thạch Thành đa phần em đồng bào dân tộc Mường, gia cảnh khó khăn, nhà xa đường xấu ảnh hưởng lớn tới việc theo học Nhiều em lao động gia đình, ngày nghỉ làm thuê kiếm thêm thu nhập để trang trải cho gia đình cho việc học thân Nên em hầu hết em khơng có thời gian tự học, tự kiểm tra đánh giá Quỹ thời gian ôn tập hạn hẹp, mà sức học em đa phần trung bình, yếu kém, nhiều em chưa giải tập SGK, dẫn tới tâm lý ngại học, không hiểu nên chán học, hay làm thi em không làm khoanh bừa đáp án nhiều câu đề thi mà phần nhiều câu Tọa độ không gian Năm năm môn Tốn chuyển sang hình thức thi trắc nghiệm nên đồng nghiệp giáo viên trường chưa đưa biện pháp học tốt Đó lý khiến tơi trăn trở tìm hiểu ngun nhân học sinh lại sợ Tốn lại yếu Tốn cụ thể Tọa độ khơng gian, tìm biện pháp ơn tập cho phù hợp với học sinh mình, để em làm tọa độ không gian nhất, chinh phục Tọa độ không gian đề thi đạt kết tốt kỳ thi THPT Quốc gia tới Sau nhiều thời gian tìm hiểu, tham khảo rút kinh nghiệm tơi xây dựng biện pháp: “HƯỚNG DẪN ÔN TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN CHO HỌC SINH TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH THI THPT QUỐC GIA” thu kết tiến rõ rệt học sinh, nên tơi xin trình bày mong thầy đồng nghiệp chỉnh sửa góp ý để đạt kết tốt nhất, để đồng nghiệp có nhu cầu tham khảo thêm 1.2 Mục đích nghiên cứu Hệ trục tọa độ không gian gắn tọa độ vào hình học, giải nhanh gọn nhiều tập Hình học không gian Vậy trước hết học sinh phải nắm vững cơng thức phép tốn vec tơ, phương trình mặt cầu, phương trình mặt phẳng, phương trình đường thẳng Để em nắm vững công thức vận dụng linh hoạt phù hợp với tập dạng trắc nghiệm, giải nhanh thi trắc nghiệm 1.2Đối tượng nghiên cứu Phần kiến thức hệ trục tọa độ không gian nằm sách giáo khoa 12 lại cuối chương trình, rơi vào thời điểm “nhạy cảm” cuối năm học học sinh nên em phân tâm Các cơng thức có chút kế thừa hệ trục tọa độ mặt phẳng lớp 10 nhiều công thức cần nhớ, nhiều cơng thức hơn, lạ khó khăn lớn hình thức thi thay đổi theo hướng câu hỏi trắc nghiệm Năm nên không khỏi bỡ ngỡ,cũng câu tập thi tự luận với em có lẽ “khơng vấn đề lắm” hình thức trắc nghiệm địi hỏi em phải làm nhanh, xác khơng bị “nhiễu” nhiều đáp án đưa Do qua đề tài mong muốn học sinh làm thi dạng trắc nghiệm xác với cách nhanh 1.4 Phương pháp nghiên cứu Với đề tài "“HƯỚNG DẪN ÔN TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN CHO HỌC SINH TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH THI THPT QUỐC GIA” Tơi đầu tư tìm hiểu chọn lọc tập dạng trắc nghiệm từ nhiều nguồn khác như: sách giáo khoa sách tập Hình học 12 Bộ giáo dục, tài liệu tham khảo, internet, đề thi minh họa Bộ giáo dục… để tìm phù hợp với học sinh Chắt lọc xếp theo phần để học sinh khơng cịn thấy đề khó khơng cịn thấy rối rắm khơng cịn lẫn lộn cơng thức, mục đích để em làm tập dễ, dạng bản, tiến dần sang tập phức tạp mà không thấy vướng mắc Những tập tơi xếp theo thứ tự từ dễ đến khó, có nhiều tương tự cho em tự làm giúp em thấy tự tin Tôi xắp xếp cho em học theo kiểu gối vụ, buổi học làm tập buối làm lại số tương tự để củng cố khắc sâu cho em, khuyến khích em phụ đạo lại cho bạn chưa nắm vững, liên tục cho em làm đề trắc nghiệm với thời lượng ngắn để rèn kỹ làm qua tơi thấy điểm yếu học sinh để bổ xung kịp thời Sau tiết học sinh làm đề, chữa cho em ghi lại dấu hiệu, lưu ý, phân tích sai lầm mà em thường mắc phải, “cái bẫy” nho nhỏ đề thi, em thấy hứng thú với tập trắc nghiệm hệ tọa độ không gian NỘI DUNG 2.1Cơ sở lý luận Các kiến thức phương pháp tọa độ không gian tổng hợp từ sách giáo khoa sách tập Hình học 12 ban Bộ giáo dục đào tạo ban hành Các kỹ giả tốn Hình học mức độ trung bình 2.2 Thực trạng vấn đề Qua thực tế giảng dạy, ban đầu cho em viết tất công thức phần vào mảnh giấy, làm tập cần cơng thức tìm Dần dần nhớ nhiều học sinh yếu lúng túng sử dụng công thức nào, thay số mà nhanh mà xác Thế nhiều em nhắm mắt khoanh bừa đáp án chờ may mắn Khảo sát kết học tập học sinh thông qua kiểm tra trắc nghiệm theo phân phối chương trình chương Phương pháp tọa độ không gian nhận thực trạng sau: Lớp 12B3( 36 HS) Điểm trở lên 2HS(6%) Điểm từ đến 10 HS (28%) Điểm 21 HS (58 %) 12B4( 39 HS) 2HS(5%) 11 HS ( 28%) 26 HS ( 67%) Vậy có 50% khơng đạt điểm trung bình Tơi nhận thấy vấn đề em không làm quen với kiểu trắc nghiệm mơn Tốn, khơng luyện làm tập trắc nghiệm nhiều, yếu kiến thức, thiếu kỹ làm dạng trắc nghiệm 2.3 Các giải pháp Dù tâm huyết, thời gian cịn hạn chế, tơi đưa tập bản, đơn giản phần này, tập phức tạp học sinh cần rèn luyện nhiều tập để có tư kiến thức tổng hợp giải Trước hết nhắc lại công thức cần nhớ cho học sinh,sau tập trắc nghiệm tơi phân thành dạng cho học sinh ôn tập sau: - Bài tập trắc nghiệm phép toán vec tơ không gian - Bài tập trắc nghiệm viết phương trình mặt cầu - Bài tập trắc nghiệm viết phương trình mặt phẳng, vị trí tương đối hai mặt phẳng, khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng khoảng cách hai mặt phẳng song song, tập liên quan mặt phẳng mặt cầu - Bài tập trắc nghiệm viết phương trình đường thẳng, vị trí tương đối hai đường thẳng, vị trí tương đối đường thẳng với mặt phẳng BÀI : HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Hệ tọa độ Đêcac vng góc khơng gian: Cho ba trục Ox, Oy, Oz vng góc với đôi chung điểm gốc i,j,k O Gọi vectơ đơn vị, tương ứng trục Ox, Oy, Oz Hệ ba trục gọi hệ tọa độ Đêcac vng góc Oxyz đơn giản hệ tọa độ Oxyz Chú ý: i j k2 Tọa độ vectơ: a) Định nghĩa: u i j i k k j x; y; z u xi yj zk b)Tính chất: Cho R a (a ; a ; a ), b (b ; b ; b ), k 3 a b (a1 b1; a2 b2 ; a3 b3) a ka (ka ; ka ; ka ) a b a2 b1 b2 a3 b3 123 (0; 0; 0), i (1; 0; ), j (0;1; ), k (0; 0;1) a phương b(b 0) a kb (k R) 1 a a a a kb b1 b2 , (b , b , b 0) b3 a kb a kb a b a.b a1 b1 a2 b2 a3 b3 a 2 a1 2 a a1b1 a2 b2 a3 b3 a2 a3 cos(a, b) a1b1 a2 b2 a3 b3 a.b a b 2 a1 a2 2 a3 b1 2 a1 a2 a2 b2 b (với Tọa độ điểm: M ( x; y; z) OM xi y j zk a) Định nghĩa: a, b ) (x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ) Chú ý: b) M (Oxy) z = 0; M (Oyz) x = 0; M (Oxz) y=0 M Ox y = z = 0; M Oy x = z = 0; M Oz x = y = A( x ; y ; z ), B( x ; y ; z ) Tính chất: Cho A A A B B B AB ( x x ; y y ; z z ) BABABA AB ( xB xA ) (yB yA ) M x x (zB zA) y y z z A B; A B; A B 2 Toạ độ trung điểm M đoạn thẳng AB: A B C A B C A B C Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC: Một số ví dụ: 3 Đây công thức đầu tiên, chọn tập dạng trắc nghiệm đơn giản quen thuộc với phần kiến thức học lớp 10, tạo cảm giác dễ hiểu dễ làm cho em G x x x ; y y y ; z z z b 1;3; Ví dụ Trong không gian Oxyz, cho vecto a2;1; ; ; c 2; 4;3 Tọa độ u a 3b c A.(-3 ;7 ;9) B (5 ;3 ;-9) C.(-3 ;-7 ;-9) D.(3 ;7 ;9) Hướng dẫn: ⃗ −2 a⃗=(4 ;−2 ; 0), b=(3 ;9 ;−6), −c⃗=(−2 ;−4 ;−3) ⃗ u⃗=−2 a⃗+3 b−c⃗=(5;3 ;−9) Đáp án B Ví dụ 2: Trong khơng gian Oxyz cho điểm A(3; -4; 0), B(-1; 1; 3), C(3; 1; 0) Tọa độ điểm D trục Ox cho AD = BC là: A D(-2;0;0) D(-4;0;0) D(0;0;3) B D(0;0;-3) C D(6;0;0) D(12;0;0) D D(0;0;0) D(6;0;0) Hướng dẫn: Gọi D(x;0;0)∈ Ox, AD=√(x−3)2 +16 , BC=5 AD=BC ↔ √(x−3)2 +16=5 Suy ra: x=6, x=0 D(6;0;0), D(0;0;0) Đáp án D Ví dụ 3: Trong khơng gian Oxyz cho điểm A(2;-1;1), B(5;5;4) C(3;2;-1) Tọa độ tâm G tam giác ABC 10 ;4 ; A 3 10 ; 2; B 3 ; ;10 3 C Hướng dẫn: G Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC: A B C x x x ; ; 2; D 3 A B C A BC y y y ; z z z Chọn đáp án B Ví dụ4 : Trong khơng gian Oxyz, cho điểm B(1;2;-3) C(7;4;-2) Nếu E điểm thỏa mãn đẳng thức CE 2EB tọa độ điểm E 3; ; A 3 B ;3; C 3;3; D 1;2; Hướng dẫn: dùng cơng thức tính tọa độ vec tơ tính chất hai vec tơ Ví dụ 5: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A(1;0;1), B(2;1;2); D(1;-1;1) C’(4;5;5) Tọa độ C A’ là: A C(2 ;0 ;2) ; A’(3 ;5 ;-6) B C(2 ;5;-7) ; A’(3;4;-6) C C(4 ;6 ;-5) ; A’(3 ;5 ;-6) D C(2 ;0 ;2) ; A’(3 ;4 ;-6) Hướng dẫn: cho em vẽ hình Gắn hệ trục tọa độ vào hình hộp Ví dụ Trong khơng gian Oxyz cho hai điểm M(0;3;7) I(12;5;0) Tìm tọa độ N cho I trung điểm MN A N(2;5;-5) B N(0;1;-1) C N(1;2;-5) D N(24;7;-Hướng dẫn: sử dụng cơng thức tìm tọa độ trung điểm BÀI 2: MẶT CẦU Nhắc lại kiến thức cần nhớ Phương trình mặt cầu : Mặt cầu có tâm I(a; b; c) bán kính R : x a2 y b2 z c2 R2 (1) Phương trình mặt cầu dạng khai triển: x2 +y2 +z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0, đk: a2 + b2 + c2 – d > a b (2) c 2 d Tâm I(a; b; c) bán kính R= Chú ý: a) Mặt cầu có tâm I qua A R = IA = x A x I yA yI zA zI AB b) Mặt cầu có đường kính AB R = tâm I trung điểm AB c) Mặt cầu qua điểm A, B,C, D viết phương trình mặt cầu dạng (2) thay tọa độ điểm vào phương trình giải hệ để tìm a, b, c, d (Hoặc gọi tâm I(a;b;c), giải hpt IA=IB=IC=ID=R) Vị trí tương đối điểm với mặt cầu Cho (S) : ( x-a )2 ( ) + ( y - b) + z - c = R2 điểm M (x0 ; y0 ; z 0), Gọi I(a;b;c) tâm mc(S), R bán kính mặt cầu (S) IM > R Điểm M nằm mặt cầu (S)  IM < R Điểm M nằm mặt cầu (S)  IM = R  Điểm M thuộc mặt cầu (Hoặc thay tọa độ điểm M vào PT mặt cầu thỏa mãn) Một số ví dụ  Ví dụ : Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm tọa độ tâm I bán kính R mặt cầu: ( x−1)2+( y +2)2+(z−4)2=20 A I (−1;2 ;−4), R=5√2 C I (1 ;−2; 4) , R=20 B I (−1 ;2 ;−4 ), R=2√5 D I (1 ;−2; 4) , R=2 √ Hướng dẫn: Từ phương trình mặt cầu dạng: ( x−a)2 +( y−b)2 +( z−c)2 =R2 Thì phương trình: ( x−1)2+( y +2)2+(z−4)2=20, có tâm I (1 ;−2; 4), bán kính R=√20=2 √5 Đáp án D Với tơi phân tích ngun nhân sai lầm cho em rút kinh nghiệm Sai lầm 1: nhớ nhầm công thức pt mặt cầu ( x +a)2 +( y +b)2 +( z+ c)2=R2 vàkhai sai Nên Chọn đáp án A Sai lầm2: nhớ nhầm công thức pt mặt cầu: ( x +a)2 +( y +b)2 +(z+ c)2=R2 Chọn B Sai lầm 3: nhớ nhầm công thức pt mặt cầu: ( x−a)2 +( y−b)2 +( z−c)2 =R Chọn C Cách khắc phục sai lầm cho học sinh luyện tập tương tự, giáo viên kiểm tra lại vào buổi để ghi nhớ Ví dụ 2: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm I (1 ; 2;−3 ) qua A(1;0;4), có phương trình là: A ( x +1)2 +( y +2)2 +( z−3)2=√53 C ( x−1)2+( y −2)2 +( z +3)2=√53 B ( x +1)2 +( y +2)2 +( z−3)2=53 D ( x−1)2+( y −2)2 +( z +3)2=53 Hướng dẫn: Bán kính : R=IA =√(1−1)2 +( 0−2)2+(4−(−3))2=√53 Áp dụng cơng thức phương trình mặt cầu: ( x−a)2 +( y−b)2 +( z−c)2 =R2 Suy pt mặt cầu (S): ( x−1)2+( y −2)2 +( z +3)2=53 Đáp án :D Nguyên nhân sai lầm thường gặp Sai lầm 1: nhầm pt mặt cầu thành: ( x +a)2 +( y +b)2 +( z+ c)2=R Chọn A Sai lầm 2: nhầm pt mặt cầu thành: ( x−a)2 +( y−b)2 +( z−c)2 =R Chọn B Sai lầm 3: nhầm pt mặt cầu thành: ( x +a)2 +( y +b)2 +( z+ c)2=R2 Chọn đáp án C Ví dụ 3: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu(S) có phương trình: x2+ y2+ z2−4 x +2 y−6 z +5=0 Hãy xác định tâm, bán kính mặt cầu (S): A I (−2 ;1 ;−3 ), R=3 B I (−2 ;1 ;−3 ), R=9 C I (2 ;−1;3 ), R=3 D I (2 ;−1;3 ), R=9 Hướng dẫn: Pt x2+ y2+ z2 +2 Ax +2 By +2Cz + D=0, có tâm I (− A ,−B ,−C ), bán kính R=√A2+B2+C2−D Pt: x2+ y2+ z2−4 x +2 y−6 z +5=0, có: A= hệ số củax = −4 =−2, B= hệ số y = 2=1, C= hệ số z =−6 =−3 2 2 2 Suy I (2 ;−1;3 ), R=√ 22 +(−1)2 +32 −5 =3.Đáp án C Phân tích nguyên nhân sai lầm Sai lầm 1: nhớ nhầm Phương trình x2+ y2+ z2 +2 Ax +2 By +2Cz + D=0, tâm I ( A , B ,C ) nên Chọn đáp án A Sai lầm 2: nhớ nhầm Phương trình x2+ y2+ z2 +2 Ax +2 By +2Cz + D=0, tâm I ( A , B ,C ), bán kính R=A2+ B2+C2−D nên Chọn đáp án B Sai lầm 3: nhớ nhầm bán kính R=A2+ B2+C2−D nên Chọn đáp án D Ví dụ : Trong không gian Oxyz , A(1;2;3), B(-3;0;1) Mặt cầu đường kính AB có phương trình là: A ( x 1) ( y 1) ( z 2) 2 B ( x 1) ( y 1) ( z 2) 24 2 C ( x 1) ( y 1) ( z 2) D ( x 1) ( y 1) ( z 2) 24 Hướng dẫn mặt cầu đường kính AB có tâm trung điểm I(-1;1;2) AB bán kính R=AB/2= Áp dụng công thức: ( x−a)2 +( y−b)2 +( z−c)2 =R2, Đáp án C Sai lầm 1: Nhầm lẫn cơng thức phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) bán kính R=AB/2= phương án A R2 ( x a ) ( y b ) ( z c )2 là: Sai lầm 2: Nhầm lẫn bán kinh mặt cầu là: R=AB= Sai lầm Cả Sai lầm Sai lầm 3: Ví dụ Phương trình mặt cầu tâm I(3 ; -1 ; 2), R = là: 2 2 A ( x+3 ) +( y−1 ) +( z+2) =16 C 2 ( x+3 ) +( y−1 ) +( z+2) =4 phương án phương án B D B x + y +z −6 x +2 y −4=0 2 D x + y +z −6 x +2 y −4 z−2=0 Hướng dẫn mc (S) tâm I (− A ,−B ,−C )có pt: x2+ y2+ z2 +2 Ax +2 By +2Cz + D=0, với D= A2+ B2 +C2−R2=−2 Chọn Đáp án D Ví dụ Tìm tất m để phương trình sau pt mặt cầu : x y z 2(m )x my mz 5m A m1 B m>1 C Không tồn m D m 10 11 x - Đặc biệt mp(P) qua A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) có phương trình dạng: a y b z1 c Một số ví dụ Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x− y−2 z +5=0 Véc tơ pháp tuyến có tọa độ là: A ⃗⃗ n =(3;1;2) C ⃗⃗ n = (6; -2; -4 ) Hướng dẫn: ⃗n B ⃗n = (3; 1; -2 ) D = (3; -1; -2 ) vtpt (P) nên ⃗⃗n ⃗n = (3; -1; ) =(6; -2; -4 ) vtpt (P) Đáp án C Ví dụ 2: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) qua A(1 ; ;−4) n⃗ nhận = (3; -2; ) vectơ pháp tuyến là: A x−2 y+ z +19=0 B x−2 y+ z =0 C x−2 y+ z −19=0 D x + y−4 z+ 19=0 Hướng dẫn: pttq (P) có dạng: A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 n Trong (A;B;C) véc tơ pháp tuyến, M0(x0;y0;z0) điểm thuộc (P) Đáp án A Ngoài hs thấy (P) có dạng Ax + By + Cz + D = kiểm tra nhanh véc tơ pháp tuyến loại ĐA D, thay tọa độ điểm A ĐA A Ví dụ 3: Viết phương trình (P) qua ba điểm A(8;0;0), B(0;-2;0), C(0;0;4) x + y +z A - = x + y +z B - =1 C x - 4y + 2z = D x - 4y + 2z - = Hướng dẫn: Mặt phẳng (P) qua ba điểm A(8; 0; 0), B(0; -2; 0), C(0; 0; 4) pt mặt phẳng chắn có phương trình dạng: x + y + z =1hay: x - 4y + 2z - = Đáp án D 8−24 x y z Sai lầm 1: Nhầm lẫn công thức: a + b + c =0 nên Chọn A Sai lầm 2: rút gọn sai nên chọn B Sai lầm 3: Nhầm pt mặt phẳng chắn qua ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) có phương trình dạng: ax+by+cz=0 Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz cho mp(P): 3x-y+z-1=0 Trong điểm sau điểm thuộc (P) A A(1;-2;-4) B B(1;-2;4) C C(1;2;-4) D D(-1;-2;-4) Hướng dẫn: thay tọa độ A vào (P) đáo án A Ví dụ 5: Trong không gian Oxyz véc tơ sau véc tơ pháp tuyến mp(P): 4x-3y+1=0 A (4;-3;0) B (4;-3;1) C (4;-3;-1) D (-3;4;0) HD: pt khuyết z, mp (P) :Ax n ( A; B ; C) + By +Cz + D = có vtpt Chọn A 12 Câu Phương trình mặt phẳng qua A,B,C, biết A 1; 3; , B x+6 y+4 z+3=0 A B , là: D x−6 y+4 z−33=0 , nên có vtpt là: n⃗=[ AB , AC ] ⃗⃗ ⃗ Ví dụ 6: Cho A(1; 3; 2) B(-3; 1; 0) là: 3;1;3 B x+6 y+4 z−3=0 C x+6 y+4 z+33=0 Hướng dẫn: mp (ABC) nhận cặp vtp AB, AC 1; 2; , C ⃗⃗ ⃗ Phương trình mặt phẳng trung trực đoạn AB A x + y +z−1=0 B x + y + z−7=0 C x + y−z−4=0 D x + y +z−1=0 ⃗AB Hướng dẫn: MP trung trực đoạn thẳng AB có vtpt Ví dụ 7: Mặt phẳng (P) qua ba điểm A(3; 0; 0), B(0; -2; 0), C(0; 0; 1) có phương trình x + y z =0 A B 3x - 2y + z = + −2 D x + y + z =1 C 2x - 3y + 6z - = Hướng dẫn: Mặt phẳng (P) qua ba điểm A(3; 0; 0), B(0; -2; 0), C(0; 0; 1) pt mặt x y z phẳng chắn có phương trình dạng: + − + =1hay: 2x - 3y + 6z - = Đáp án C Câu Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A(1;0;1) B(-1;2;2) song song với trục Ox A x + 2z – = B.y – 2z + = C 2y – z + = D x + y – z = Hướng ⃗ ⃗ dẫn: (P) có cặp vtcp00là AB=(−2;2 11; 1)0 ,i=(1 ; ;0), ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ =[ AB ,i]= n ( P) ( |0 || 1 , || −2 −2 , | ) =(0 ;1;−2) Chọn ln B Vị trí tương đối hai mặt phẳng Cho mp (P) :Ax + By +Cz + D = (P’): A’x + B’y +C’z + D’ = Khi (P) (P’) có vectơ pháp tuyến n ( A; B; C ); n ' A '; B '; C A; B;C k A'; B ';C ' A B n kn' (P) // (P’) D kD ' D kD A; B;C PP ' ' k (Hoặc A A';B ';C ' A n kn' D kD ' D kD ' A C = B2 = B = ' D ¹ C2 C B2 = D ) D C = D ) (Hoặc 2 A; B;C A'; B ';C ' A : B : C ¹ A : B :C (Hoặc 1 2 2) n k n ' (P) cắt (P’) n n' Trong TH AA’ +BB’ +CC’ = hai mặt phẳng vng góc n ( A; B ; C) Chú ý: Cho mp (P): Ax + By + Cz + D = suy (P) có VTPT 13 n ( A; B; C) Nếu (P’) // (P) (P’) nhận VTPT P P' n ( A; B ; C) Nếu (P’) chứa song song với giá 3.Một số ví dụ Ví dụ Trong khơng gian Oxyz, mặt phẳng ( ) qua điểm M(1; -2; 2) song song () với mặt phẳng : x – 2y + z + = có phương trình: A x – 2y + z - = 0; B x – 2y + z + = 0; C x + 2y + z – = D x - 2y + z + = Hướng dẫn: mặt phẳng (α) song song với mặt phẳng (β) nên nhận n⃗=(1 ;−2;1) làm vtpt Pt có dạng: A(x –x0) + B(y-y0) +C(z-z0) = Thay số ta có: ( x−1)−2 ( y +2)+1( z−2)=0 Hay x−2 y + z−7=0 Đáp án C Phân tích sai lầm thường gặp: Sai lầm 1: tính tốn sai nên chọn B Sai lầm 2: nhầm dấu vtpt nên chọn C Sai lầm 3: nhớ nhầm pt mặt phẳng có dạng A(x +x0) + B(y+y0) +C(z+z0) = Chọn D Oxyz (P):2x y 2z Ví dụ Trong không gian cho mặt phẳng hai điểm A(1; 2;3), B(3; 2; 1) Viết Phương trình mặt phẳng (Q) qua A, B vng góc với mặt phẳng ( P) A (Q ) : x y z B (Q ) : x y z C (Q ) : x y z D (Q ) : x Hướng dẫn: mp (Q) có cặp véc tơ phương ⃗n =(2 ;1 ;−2) , (P ) Suy (Q) có vtpt là: [ ⃗⃗ ⃗⃗ , AB n −2 −2 , (P) ]=(| 2 −2 || −2 2 , || y z AB=2(1;2 ;−2) ⃗⃗ |)= (2;2;3) Pt mp (Q): 2(x-1)+2(y+2)+3(z-3)=0 Hay 2x+2y+3x-7=0 Đáp án A Ví dụ Cho hai mặt phẳng P : 3x Q : m 1x y m 3y z 0; z Xác định m để hai mặt phẳng (P), (Q) vng góc với m m B m A Ví dụ Trong không gian Oxyz cho (b) : - 2x + 4y - 6z + = (a ),(b) A 2;2;0 C D hai mặt phẳng (a ) : x - 2y + 3z - = 0và Trong khẳng định sau khẳng định ? P x y z 10 B m A trùng (a ) (b) C cắt Hướng dẫn: xét cặp vtpt hai mp Ví dụ Cho mặt phẳng phẳng (P) 2; 2;0 B.(a ) / / (b) D (a ) cắt vng góc (b) Trong điểm sau, điểm nằm mặt C 1;2;0 D 2;1;2 14 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: 1.Định lý: Cho điểm M(x0; y0; z0) mp (P) :Ax + By +Cz + D = d ( M , ( P)) Ax By Cz D A B C2 Chú ý: dạng câu hỏi thường gặp: Ax+By+Cz+D=0 Loại 1: Khoảng cách từ M (xM;yM;zM) đến mặt phẳng ( ): : Ax +By +CZ +D d M, M = M M Loại 2: Khoảng cách hai mặt phẳng ( ), ( ) song song: Lấy điểm M tùy ý mặt phẳng này, tính khoảng cách từ M điểm đến mặt phẳng Một số ví dụ Ví dụ 1: Trong khơng gian Oxyz , M(1;2;3).Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P): 2x y 2z là: A B C D Hướng dẫn: AD công thức tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng: d ( M , ( P)) Ax0 By Cz D |2.1+2−2.3+3| A B C2 = √ 22 +12 +(−2)2 =3 Phương án là: A Phân tích sai lầm thường gặp: Sai lầm 1: Nhầm lẫn công thức khoảng cách từ M x0 ; y0 ; z0 đến mặt phẳng (P): Ax By Cz D là: Ax0 By Cz A 2 B C D Sai lầm 2: Nhầm lẫn công thức khoảng cách từ Ax By Cz D phương án B M x0 ; y0 ; z0 đến mặt phẳng (P): A B C2 Ax0 By0 Cz D là: Sai lầm 3: Nhầm lẫn công thức khoảng cách từ M x0 ; y0 ; z0 A Ax By Cz D 2 B C phương án C đến mặt phẳng (P): là: Ax0 By Cz D phương án D Ví dụ Tìm tất giá trị thực a để khoảng cách từ điểm M(1; - 4; a) đến mặt phẳng (P): x + 2y + 2z – = a A a =18 a 18 B a = - C a 18 D a 18 15 d(M, ( )) 2a 12 a a 18 C Hướng dẫn: Đáp án là: Phân tích sai lầm thường gặp: Các đáp án sai giải sai pt chứa dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mp (P): 6x-2y+z-35=0 điểm A(-1;3;6) Gọi A ' điểm đối xứng với A qua (P) tính OA A O A'=3 √26 B O A'=5 √3 C O A'=√46 D.O A'=√186 Hướng dẫn: : {x=−1+6 t Gọi d đường thẳng qua A vng góc với (P) d y=3−2 t Khi giao điểm z=6+ t d (P) H(-1+6t;3-2t;6+t) (H hình chiếu vng góc A lên (P)) thay tọa độ H vào (P) t=1,suy H(5;1;7) A ' đối xứng với A qua (P) nên H trung điểm AA ' Suy A' =(11 ;−1; 8) OA = sqrt {186 Chọn D Ví dụ Mặt phẳng (Q) song song với mp(P): x+2y+z-4=0 cách D(1;0;3) khoảng có phương trình là: A x+2y+z+2=0 B x+2y+z+ =0 C x+2y+z-10=0 D x+2y+z+2=0 x+2y+z-10=0 Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) ó tâm I(2 ;3 ;-1) qua điểm A(2 ;1 ;2) Mặt phẳng tiếp xúc với (S) A ? A x+y-3z-8=0 B x-y-3z+3=0 C.x+y+3z-9=0 D x+y-3z+3=0 Hướng dẫn: thay tọa độ A vào mp loại đáp án A B R=IA=d(I;(P)) Loại C đáp án D Sử dụng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng để giải tốn liên quan: Viết phương trình mặt cầu có tâm tiếp xúc với mặt phẳng cho trước: Mặt cầu có tâm I tiếp xúc mặt phẳng (P) có bán kính khoảng cách từ tâm I đến mp(P) Xét vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu: - Nhắc lại số cơng thức: Cho mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R mp(P) Để xét vị trí tương đối (S) (P), ta tính khoảng cách từ I đến (P) so sánh với bán kính R + Nếu dI,P R mặt cầu (S) mp(P) khơng có điểm chung 16 + Nếu dI,PR mặt cầu (S) mp(P) có điểm chung Trường hợp này, ta nói (S) (P) tiếp xúc dI , P R + Nếu mặt cầu (S) mp(P) cắt theo đường tròn (C) có tâm 2 I,P hình chiếu I lên (P) bán kính r R d Vận dụng khoảng cách để viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu - Nhắc lại công thức: Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) dI,P R Một số ví dụ Ví dụ 1: Trong khơng gian Oxyz , mặt cầu tâm I(0;1;2) , tiếp xúc với mặt phẳng (P): x y z 10 có phương trình là: 2 A x ( y 1) ( z 2) 16 B x ( y 1) ( z 2) C x ( y 1) ( z 2) 16 ( y 1) ( z 2) Hướng dẫn: bán kính mặt cầu R= d(I;(P))= |0+2.1−2.2−10| =4 √1 +2 +(−2) D x 2 2 Pt mặt cầu là: ( x−0)2 +( y−1)2+( z−2)2=42 Hay x2+ ¿ đáp án C Sai lầm 1: Nhầm lẫn công thức phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) bán kính R là: ( x a ) ( y b ) ( z c )2 R chọn A Sai lầm 2: Nhầm lẫn cơng thức phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) bán kính R là: ( x a ) ( y b ) ( z c )2 R chọn B Sai lầm 3: Nhầm lẫn công thức phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) bán kính R là: ( x a ) ( y b ) ( z c )2 R Oxyz Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu S:x y z mặt phẳng P : x y z P S song song với tiếp xúc với x y z 10 0; trình mặt phẳng Q A Q1 : x y z 25 B Q1 :x C D Q2 : x y z y z 31 chọn D 2017 Viết phương Q2 : x y z Q1 : x y z Q1 : x y z 25 Q2 Q : x y z 31 : x y z Hướng dẫn: (S) có tâm I (1;−3 ; ), bán kính R=6 (Q) song song với (P) nên có pt dạng: x +2 y −2 z + D=0 17 (Q) tiếp xúc với (S) nên R=d(I,(Q))= |1+2 (−3)−2.4+ D| =6, √ 2 +2 +(−2) suy |−13+ D|= 18, suy D=-5 D=31 Chọn đáp án B 2 Ví dụ 3: Cho mặt cầu S : x y z 49 Phương trình sau phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S)? A 6x y 3z B 2x y 6z-5 B C 6x D x y 3z-55 y 2z-7 Hướng dẫn : Gọi (P) mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) R=d(I,(P)) Chọn B Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm (3;2-1) qua A(2;1;2) Mặt phẳng sau tiếp xúc với (S) A? A x+y-3z-8=0 B x-y-3z+3=0 C x+y+3z-9=0 D x+y-3z+3=0 Hướng dẫn : thay tọa độ A vào mặt phẳng loại A B R=IA=d(I,(P)) chọn D BÀI 4: ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN I Phương trình đường thẳng khơng gian Viết PTTS, PTCT đường thẳng B1: Tìm toạ độ vectơ phương (a; b; c) ( vectơ có giá song song trùng với đường thẳng B2: Tìm toạ độ điểm M0(x0; y0; z0) thuộc đường thẳng B3: PTTS: Chú ý x x0 at y y0 bt PTCT: x x0 y y0 z z0 a b c ≠ Với a1, a2, a3 0 a) Nếu đường thẳng d giao tuyến hai mp (P):Ax+By+Cz+D = (P’): A’x+B’y+C’z+D’ = u n P nP ' B C ;C A ; A B B ' C ' C ' A' A ' B ' Khi đt d có VTCP: Muốn tìm điểm thuộc d ta cho x = x0 (thường cho x = 0), giải hpt tìm y, z b) Đường thẳng d qua điểm A, B d có VTCP AB c) Đường thẳng d vng góc với mặt phẳng(P) d có VTCP VTPT (P) d) đường thẳng d song song với đường thẳng d có VTCP e) hai đường thẳng vng góc hai vectơ phương chúng vng góc Một số ví dụ 18 Ví dụ 1: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxy, phương trình phương trình tắc đường thẳng d: x+1 y z −2 { x =1+ 2t 23 z=−y= +tt ? x−1 B C D y z −2 = = −2 x x0 at bt y y x xy y z z ct a Hướng dẫn: : PTTS: , PTCT: suy ra: x0=1, y0=0, z0=−2, a=2, b=3 ,c=1 PTCT: z+ = = −2 x−1 y z+ =3 = A =3= x+1 y z z b c x−1 = y = z+ Chọn D Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm A(1;2;-1) nhận vec tơ u⃗(1 ; ;3) làm vec tơ phương x=1+t x=1−t x =−1+ t x=1+t A { z=−1+3 t B y=2+2 t { z=1−3 t C { D z=1+3 t y=2−2t { z=1+3 t y=−2 −2t y=2+2 t Hướng dẫn: ADCT PTTS đường thẳng d II Vị trí tương đối hai đường thẳng Cho qua M(x0; y0; z0) có vectơ phương u ’ qua M’(x’0; y’0; z’0) có vectơ phương x x0 at bt ; y y0 có PTTS là: z z ct a; b;c u ' a '; b '; c ' x x '0 a ' t ' ' ' y y '0 b ' t z z' c't' u ku ' *) Nếu thấy lấy tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng ’ Xảy khả năng: TH1: M ' hai đường thẳng trùng M ' TH2: đường thẳng song song u ku ' *) Nếu thấy giải hệ phương trình gồm hai phương trình đường thẳng x0 at y0 x '0 a ' t ' bt z0 ct y'0 b ' t ' z '0 c ' t ' TH3: hệ có nghiệm hai đường thẳng cắt TH4: hệ vơ nghiệm hai đường thẳng chéo *) Nếu aa’+ bb’ + cc’ = hai đường thẳng vng góc Một số ví dụ 19 d : x t y t Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho d x : y z z 2t ; d d định vị trí tương đối hai đường thẳng A Hai đường thẳng song song B Hai đường thẳng chéo C Hai đường thẳng cắt D Hai đường thẳng trùng III Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng x x0 at bt y y Cho mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = đường thẳng d: x x0 at bt y y0 ct z z0 z z ct Xét hệ phương tr t' t' Xác Thay (1), (2), (3) vào (4), ta có phương trình : A(x0 + at) + B(y0 + bt) + C(z0 + ct) + D = (*) TH1: (*) vơ nghiệm d (P) khơng có giao điểm hay d (P) song song TH2: (*) có nghiệm t d (P0 có giao điểm hay d (P) cắt điểm TH3: (*) có vơ số nghiệm d (P) có vơ số giao điểm hay d nằm mặt phẳng (P) Chú ý: dP Trong trường hợp d // (P) VTCP d VTPT (P) vng góc Khi d // (P) khoảng cách d (P) khoảng cách từ điểm d đến mặt phẳng (P) Một số ví dụ Ví dụ 1: Trong khơng gian Oxyz , đường thẳng d qua A(1;-2;3) vng góc với mặt phẳng (P): x y z có phương trình là: x 1 x 1 y y z z x 1 x 1 y z A B y z C D Hướng dẫn: d vuông góc với (P) nên có vtcp (1 ; 1;−4 ) PTCT: x−x0 = y− y0 = z−z0 b c a Phương án là: A 20 Sai lầm 1: Nhầm lẫn cơng thức phương trình đường thẳng d qua A x0 ; y ; z0 u ( a ; b; c) tơ phương x x0 a là: Sai lầm 2: z z y y0 b B c Nhầm lẫn cơng thức phương trình đường thẳng d qua véc tơ phương u ( a; b; c) x a x0 là: ,có véc y b z c z0 y0 phương án Ax ;y ;z 0 ,có phương án phương án D C Sai lầm Cả Sai lầm Sai lầm 3: Ví dụ 2: Trong khơng gian Oxyz , cho đường thẳng d : x = y + = z - mặt -3 phẳng sau đây, mặt phẳng song song với đường thẳng (d) ? B.x + y−2 z+ 2017=0 A 5x - 3y + z - = C 5x - 3y + z + = D.5x - 3y + z - = Hướng dẫn: , d vuông góc với mp (P) d ⃗⃗ =(5;−3 ;1) d A.M(3;-1;0) d: x y 1 B M(0;2;-4) Hướng dẫn: PTTS d: { Chọn ĐA B ⃗⃗ ⃗n=0 u z u Câu Tìm tọa độ giao điểm M (P ) P : 2x y z C M(6;-4;3) D M(1;4;-2) x =3+t y=−z=21 t−t , d∩( P)={ M } Tọa độ M nghiệm pt: (3+t )−(−1−t )−2t−7=0, suy t=0 Thay t=0 vào ptts d M(3;-1;0) Chọn ĐA A Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x-2y-z+1=0 đường thẳng d: x−1 = y +2 = z−1 Tính khoảng cách (P) d A d= HD: ta có: d , ( P) B d= ⃗⃗ =(2;1 ;2) ⃗⃗n=(2 ;−2 ;−1) u C d= 21 d ( P) =0 D d=2 Nên d (P) song song với ⃗⃗ ⃗⃗n u Khoảng cách từ d đến (P) k/c từ điểm thuộc d đến (P) |2.1−2.(−2 )−1+1| Chọn M(1;-2;1) Ta có d(d;(P))=d(M;(P))= Ví dụ 4: 2 √2 +(−2) +(−1) =2 Chọn ĐA D x−1 Trong không gian với hệ tọa đô Oxyz, cho đường thẳng d: = y +5 −1 Phương trình pt hình chiếu vng góc d mặt phẳng x+3=0? A { z=−3−4 t x=−3 y=−5−t B { z =3+4 t x=−3 y=−5+t C { x =−3 y=−5+2 t z =3−t D { z=7+ t x=−3 y=−6−t Hướng dẫn: chọn A(1;-5;3) ∈ d Hình chiếu vng góc A mp x+3=0 A'(-3;-5;3) Chọn B(3;-6;7)∈ d, hình chiếu vng góc d mp x+3=0 B' (−3 ;−6 ;7) z−3 = 21 Đường thẳng d' hình chiếu vng góc d mp x+3=0 đường thẳng A ⃗ ' B'❑ A'B'=(0 ;−1 ;4 ), qua B' (−3 ;−6 ;7) Chọn đáp án D d:x Oxyz Câu Trong không gian với hệ tọa độ cho đường thẳng P : x y z Viết phương trình mặt phẳng Q chứa đường thẳng d vng góc với mặt phẳng A (Q): P yz x y z B (Q): x 2y Hướng dẫn: (Q) có cặp vtcp C (Q): x 2y z D (Q): x y 0 ⃗⃗ u d II.4 =(2 ; 1; ) ⃗n=(2 ;1 ;−1) vtpt (Q) ⃗⃗ ,n⃗ u [ d ( P) (P) ] Hiệu Trước thực đề tài, kết kiểm tra tiết chương III theo phân phối chương trình sau: Lớp 12B3( 36 HS) 12B4( 39 HS) Điểm trở lên 2HS(6%) 2HS(5%) Điểm từ đến 10 HS (28%) 11 HS ( 28%) Điểm 21 HS (58 %) 26 HS ( 67%) Sau thực đề tài, tiến hành cho em làm kiểm tra trắc nghiệm 45 phút Hệ trục tọa độ không gian kết sau: Lần 1: Lớp 12B3( 36 HS) 12B4( 39 HS) Lần 2: Lớp 12B3( 36 HS) 12B4( 39 HS) Điểm trở lên 3HS(8%) 4HS ( 10%) Điểm trở lên Điểm từ đến 28 HS (78%) 28 HS ( 72%) Điểm từ đến Điểm 5 HS ( 14%) HS ( 18%) Điểm 5HS ( 14%) 6HS ( 15%) 30 HS (83%) 30HS ( 77%) 1HS(3%) 3HS(8%) Như trước thực đề tài học sinh làm điểm chiếm nửa số học sinh, sau thực số điểm giảm nhiều, vài em làm điểm Sau tiến hành giảng dạy theo đề tài thu số kết luận sau: - Đa số học sinh làm tập Hệ tọa độ không gian hào hứng,khơng cịn kêu ngại học khó giải mà nhiệt tình lên bảng giải tốn -Những học sinh cịn yếu biết tìm cơng thức phù hợp thay số vào hướng dẫn cô giáo, làm tốt số tập tương tự 22 -Khi làm đề thi em khơng cịn khoanh bừa đáp án mà tập trung làm bài, nhiên cịn có em lúng túng, phân chia thời gian chưa hợp lý, không kịp làm xong đề thi Quan trọng em khơng cịn tâm lý ngại Hình bỏ qua câu Hình đề thi, hứa hẹn kết khả quan kỳ thi THPT Quốc gia tới Dù kết chưa thật tốt nhìn vào thái độ học tập hào hứng, kết thi thử khả quan tơi thấy có thêm động lực phấn đấu chuyên môn KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ - Kết luận : Dù kiểm nghiệm qua giảng dạy đề tài nhiều hạn chế Rất mong có đươc thật nhiều ý kiến đóng góp phần xây dựng câu hỏi xây dựng đáp án phong phú ý nghĩa để đề tài ngày đạt hiệu cao - Kiến nghị : Mong tổ chun mơn có nhiều buổi sinh hoạt trao đổi kinh nghiệm dạy cho phù hợp với đối tượng học sinh trường đồng thời bắt kịp với xu hướng đổi giáo dục Tơi tự nhận thấy cần tìm tịi trau khơng ngừng đặc biệt nhận góp ý chân thành từ đồng nghiệp, để kinh nghiệm giảng dạy thân kết học tập học sinh nâng cao XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày tháng năm 2017 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Lê Kim Hoa TÀI LIỆU THAM KHẢO: Sách giáo khoa Hình học 12 ( nâng cao) – NXB Giáo dục Sách giáo viên Hình học 12 (cơ nâng cao) -NXB Giáo dục Một số tập chọn lọc từ Internet Đề thi minh họa giáo dục 23 ... học sinh làm thi dạng trắc nghiệm xác với cách nhanh 1 .4 Phương pháp nghiên cứu Với đề tài "“HƯỚNG DẪN ÔN TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN CHO HỌC SINH TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH THI THPT QUỐC... làm tọa độ không gian nhất, chinh phục Tọa độ không gian đề thi đạt kết tốt kỳ thi THPT Quốc gia tới Sau nhiều thời gian tìm hiểu, tham khảo rút kinh nghiệm xây dựng biện pháp: “HƯỚNG DẪN ÔN TẬP... xây dựng biện pháp: “HƯỚNG DẪN ÔN TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN CHO HỌC SINH TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH THI THPT QUỐC GIA? ?? thu kết tiến rõ rệt học sinh, nên tơi xin trình bày mong thầy