Rèn luyện kỹ năng giải toán thông qua việc trình bày một số phương pháp giải bất phương trình

Mục lục Stt Nội dung 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 Mở đầu Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý luận Điều tra quan sát Những điểm SKKN Nội dung sáng kiến kinh nghiệm Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề Phương pháp biến đổi tương đương Kỹ thuật nâng luỹ thừa Kỹ thuật đưa bất phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối Kỹ thuật dùng đẳng thức- Phép nhân liên hợp Phương pháp đặt ẩn phụ Kỹ thuật đặt ẩn phụ Kỹ thuật đặt hai ẩn phụ đưa bất phương trình Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Mục đích kiểm chứng sư phạm Nội dung kiểm chứng sư phạm Tổ chức kiểm chứng sư phạm Đánh giá kết kiểm chứng sư phạm Kết định tính Kết định lượng Kết luận Tài liệu tham khảo Trang 3 3 3 4 4 5 8 10 10 10 11 11 11 11 13 14 Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài Giải tập tốn học có vai trị quan trọng mơn tốn, học sinh phải thực hoạt động định bao gồm nhận dạng thể định nghĩa, định lý, quy tắc, phương pháp, hoạt động tốn học phức hợp, hoạt động trí tuệ phổ biến tốn học, hoạt động trí tuệ chung hoạt động ngôn ngữ Việc giải tốn q trình mị mẫm, tìm tịi dựa hiểu biết người giải tốn Có người phải mò mẫm lâu, thử hết cách đến cách khác, có người lại tìm cách giải nhanh Vậy đâu bí cho kỹ giải tốn nhanh gọn xác? Cách rèn luyện chúng nào? Những đường mà người giải tốn trải qua để đến lời giải thoả đáng gì? Trong giai đoạn nay, việc đổi phương pháp dạy học chủ yếu theo hướng hoạt động hoá người học với phương châm "Học tập hoạt động hoạt động" Rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh yêu cầu việc đổi phương pháp dạy học Trong chương trình mơn tốn, bất phương trình đưa vào từ cấp xuyên suốt chương trình mơn tốn trường phổ thơng Nó có vai trị quan trọng làm sở để nghiên cứu kiến thức tốn học có liên quan Trong chương trình tốn THPT, bất phương trình thể hình thức chủ yếu: Các bất phương trình thơng thường, bất phương trình vơ tỷ, bất phương trình chứa hàm mũ, hàm lơgarit Việc giải thành thạo bất phương trình thể khả lựa chọn công cụ, linh hoạt sáng tạo suy luận phân tích tốn Mặt khác, thực trạng kĩ giải toán học sinh yếu, em học cách thụ động, lười suy nghĩ, bắt trước nhiều sáng tạo, tư logic em chưa rèn dũa, chưa biết tìm tịi, khai thác giả thiết, xâu chuỗi kiến thức để đến tìm hướng giải toán Từ lý nói với mong muốn góp phần nâng cao chất lượng dạy học tốn, tơi chọn đề tài nghiên cứu là: "Rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh thơng qua việc trình bày số phương pháp giải bất phương trình " 1.2 Mục đích nghiên cứu Xác định nội dung phương pháp rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh sở trình bày phương pháp giải bất phương trình, nhằm góp phần nâng cao hiệu việc dạy học mơn tốn Làm rõ khâu tìm lời giải giải toán nhằm rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh Xây dựng phương pháp giải bất phương trình theo hướng rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh Xây dựng ví dụ tập vận dụng nhằm rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 10 THPT 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.4.1 Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu tài liệu lý luận dạy học, phương pháp dạy học để hiểu rõ tầm quan trọng việc giải tập toán Nghiên cứu SGK, sách tham khảo bất phương trình để thấy vị trí tầm quan trọng bất phương trình, vấn đề nội dung phương pháp giảng dạy bất phương trình 1.4.2 Điều tra quan sát + Thực tiễn dạy học giải bất phương trình trường THPT + Những khó khăn sai lầm học sinh giải bất phương trình 1.5 Những điểm SKKN: Bổ sung phương pháp đặt ẩn phụ qui bất phương trình NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Theo tâm lý học kỹ khả vận dụng kiến thức (Khái niệm, cách thức, phương pháp …) để giải nhiệm vụ Thực chất hình thành kỹ hình thành cho học sinh nắm vững hệ thống phức tạp thao tác nhằm làm biến đổi sáng tỏ thông tin chứa đựng tập, nhiệm vụ đối chiếu chúng với hành động cụ thể Muốn vậy, hình thành kỹ (chủ yếu kỹ học tập) cho học sinh cần: - Giúp học sinh biết cách tìm tịi để tìm yếu tố cho, yếu tố phải tìm mối quan hệ chúng - Giúp học sinh hình thành mơ hình khái qt để giải tập, đối tượng loại - Xác lập mối liên quan tập mơ hình khái qt kiến thức tương ứng Chúng ta có thuật giải tổng quát để giải toán Ngay lớp toán riêng biệt có trường hợp có, có trường hợp khơng có thuật giải Tuy nhiên, trang bị hướng dẫn chung, gợi ý cách suy nghĩ tìm tịi, phát cách giải tốn lại cần thiết 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Bài tốn giải bất phương trình nói chung bất phương trình vơ tỉ nói riêng ln tốn khó đa số học sinh THPT đặc biệt học sinh có lực học trở xuống 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề Sau ta nêu phương pháp chung để tìm lời giải tốn: Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài, phân tích nghiên cứu đề Đây yêu cầu quan trọng định việc tìm lời giải tốn Bước 2: Tìm cách giải Tìm tịi, phát cách giải nhờ suy nghĩ có tính chất tìm đốn: Dựa vào việc phân tích giả thiết, điều kiện toán hay liên hệ giả thiết Bước 3: Trình bày cách giải Từ cách giải phát hiện, xếp việc phải làm thành chương trình gồm bước theo trình tự định thực bước Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải Nghiên cứu khả ứng dụng kết lời giải, nghiên cứu giải toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề, từ sáng tạo toán Sau tác giả xin giới thiệu số phương pháp giải Bất phương trình A PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Kỹ thuật nâng luỹ thừa (thường áp dụng với với luỹ thừa bậc bậc 3) ND: B1: tìm TXĐ BPT B2: Luỹ thừa hai vế(khi luỹ thừa bậc không cần đk, luỹ thừa bậc cần đk hai vế khơng âm) Ví dụ : Giải bất phương trình sau: a √ x+ 2> √5 x−4 (1) b √1−2 x ≥ x+ (2) Giải { x + ≥ a Điều kiện x − ≥ 0 x ≥ Với điều kiện (1)  x +2>5 x−4 x < Kết hợp với điều kiện ta ≤x< Vậy BPT có tập nghiệm S = b Điều kiện x   {x ; [5 2 ¿ x+ 3≥ ½ Với đk BPT tương đương với x ≥−3 3 +8 x +8 ≤  x ≥−3 {1−2 x ≥ ( x+3 ) {−8−2√2 ≤ x ≤−8+2 √2 −3 ≤ x ≤−8+ √2 Vậy BPT có tập nghiệm S = [−3 ;−8+2 √2 ] Nhận xét: Từ ví dụ ta đưa phương pháp chung để giải bất phương trình tương tự: Chuyển vế, luỹ thừa hai vế phân tích theo biểu thức dấu Kỹ thuật đưa bất phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối ND: * Phương pháp áp dụng lớp bất phương trình mà biểu thức dấu bình phương * Nhiều phương trình mà biểu thức dấu khơng phải bình phương đúng, qua phép biến đổi đưa bình phương * Sau tìm hiểu phương pháp này, ta nhận dạng phương pháp cách máy móc, bất phương trình mà biểu thức dấu phức tạp, để ý kỹ ta phát điều đặc biệt nằm sau phức tạp Điều đặc biệt bình phương hay qua biến đổi đưa bình phương Ví dụ 2: Giải bất phương trình: √ x+ 2√ x−1+√ x−2 √x−1 ≥ * Để ý biểu thức dấu căn, ta thấy được: x +2 √x−1=x−1+2 √x−1 1+12=(√ x−1+1)2 Và x−2 √ x−1=x−1−2√ x−1 1+ 12=(√ x−1−1)2 Khi bất phương trình tương đương với: | x−1 −1|≥ |√ x−1+1|+¿ √ Do √ => √ √ x 1 | x−1 +1|= x−1 +1 −1 x ≥2 | x−1 −1|= √ x −1 − + > [1−√x−1khi ≤ x (1) < x +21 12 x−8 √9 x {9+x2≠x0≥  ( 3−√ 9+ x (3+√9+2 x )2 x + 42 ) +16 (2) −9 ≤ x ≠ 2 x (1) a – b a dùng khử bậc hai dùng khử bậc < x +21 [ x (3 +√9+2 x) −2 x ] < x +21 < x +21  9+ √9+ x +9+2 x 0 (3) Lại thực phép nhân liên hợp [9 (3)  (3 x−2) (12−2 x2+16−4 x +4 √8−2 x2 )]>0  (3 x−2) (9 x2+ x −32−16 √8−2 x2 )>0  (3 x−2) (x−2 √8−2 )(8+ x2 x +2 √8−2 x2 )> (4) Để √8−2 x2 có nghĩa −2 ≤ x ≤2 Do x ≥−2 => 8+ x +2 √8−2 x2> nên (4)  (3 x−2) (x−2 √8−2 x2 )>0 x−2>0  {x−2 √ 8−2 x >0 {x−2 √ (I) Giải (I)  √2 < x ≤ x−2