Một số kinh nghiệm về dạy học giải phương trình tích

TÊN SÁNG KIẾN : MỘT SỐ KINH NGHIỆM VỀ DẠY HỌC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH I MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Chun đề giải phương trình tích học kỹ chương trình lớp , có nhiều tập ứng dụng nhiều để giải tập chương trình đại số lớp lớp Vì yêu cầu học sinh nắm vận dụng nhuần nhuyễn phương pháp giải phương trình tích vấn đề quan trọng Nắm tinh thần q trình giảng dạy tốn tơi dày cơng tìm tịi ; nghiên cứu để tìm phương pháp giải phương trình tích đa dạng dễ hiểu Góp phần rèn luyện trí thơng minh lực tư sáng tạo cho học sinh SGK trình bày phương pháp phân tích vế trái thành tích đa thức phương pháp đặt nhân tử chung ; tách hạng tử ; phương pháp them bớt hạng tử ; phương pháp đặt ẩn phụ ; để làm số dạng tập giải phương trình tích Khi học chun đề học sinh thích thú có ví dụ đa dạng , có nhiều vận dụng cách giải khác cuối đưa dạng tích từ giúp em học tập kiến thức giải số tốn khó Mục đích nghiên cứu Trong nhiều năm phân công làm nhiệm vụ trực tiếp giảng dạy Tơi tích lũy nhiều kiến thức dạng tốn “ giải phương trình tích “ dạng tập vận dụng đặc biệt hướng dẫn học sinh cách nhận dạng toán để biết nên áp dụng phương pháp để vùa giải nhanh gọn vừa dễ hiểu ; giúp cho học sinh biết nhìn nhận cách học mơn tốn cách giải tốn theo mạch kiến thức mang tính lo gic - phương pháp dạy học loại tập “ Giai dạng phương trình đưa dạng phương trình tích “ Đổi phương pháp dạy học Nâng cao chất lượng dạy học bồi dưỡng học sinh giỏi Cụ thể : - Tìm hiểu thực trạng học sinh - Những phương pháp thực - Những chuyển biến sau áp dụng - Rút học kinh nghiệm Đối tượng nghiên cứu Sách giáo khoa đại số lớp ; Sách giáo viên ; sách tham khảo nâng cao Sách tập toán tập hai Học sinh lớp trường THCS Tân Long Kế hoạch nghiên cứu TT Thời gian từ đến Từ 2/10 đến 15/10/ 2019 Nội dung công việc - Chọn đề tài, viết đề cương nghiên cứu - Đọc tài liệu lý thuyết sở lý luận - Khảo sát thực trạng, tổng hợp số liệu thực tế - Trao đổi với đồng nghiệp đề xuất biện pháp, sáng kiến - Áp dụng thử nghiệm Sản phẩm - Bản đề cương chi tiết Từ 15/10 đến 15/12/ 2019 - Tập tài liệu lý thuyết - Số liệu khảo sát xử lý Từ 15/12 đến 15/3/ 2020 Từ 15/3 đến 15/4/ 2020 - Hệ thống hóa tài liệu, viết báo cáo - Bản nháp báo cáo - Xin ý kiến đồng nghiệp Từ 15/4 đến 15/5/ 2020 - Hoàn thiện báo cáo, nộp - Bản báo cáo thức Hội đồng sáng kiến cấp sở - Tập hợp ý kiến đóng góp đồng nghiệp - Hoạt động cụ thể Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp đọc sách tài liệu - Phương pháp nghiên cứu sản phẩm - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm - Phương pháp thực nghiệm - Phương pháp đàm thoại nghiên cứu vấn đề II NỘI DUNG Cơ sở lý luận Trong hoạt động giáo dục đòi hỏi học sinh cần phải tự học ; tự nghiên cứu cao Tức đích cần phải biến trình giáo dục thành trình tự giáo dục Như học sinh phát huy lực sáng tạo ; tư khoa học từ xử lý linh hoạt vấn đề đời sống xã hội Một phương pháp để học sinh đạt điều mơn tốn ( cụ thể mơn đại số lớp ) khích lệ em sau tiếp thu thêm lượng kiến thức em cần khắc sâu tìm tịi tốn liên quan Để làm giáo viên cần gợi say mê học tập ; tự nghiên cứu , đào sâu kiến thức em học sinh Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm a/ Thuận lợi : - Cơ sở vật chất nhà trường đầy đủ - Tài liệu tham khảo đa dạng ; đội ngũ giáo viên có lực vững vàng ,nhiệt tình - Đa số em ham học ; thích nghiên cứu b/ Khó khăn : - Lực học em không đồng Một số em học sinh tiếp thu chậm - khơng đáp ứng u cầu chương trình - Điều kiện kinh tế gia đình học sinh cịn nghèo nên có ảnh hưởng lớn đến chất lượng học tập học sinh Các sáng kiến sử dụng để giải vấn đề Nội dung “Giải phương trình tích” học chương III phương trình bậc ẩn mơn Đại số , nên số phương pháp “Giải phương trình tích” học mơn Tuy nhiên, muốn đạt mục tiêu cao để giải phương trình đưa dạng phương trình tích giúp cho người học có kiến thức chắn dạng tập vận dụng đặc biệt giáo viên hướng dẫn học sinh cách nhận dạng toán để biết nên áp dụng phương pháp để vừa giải nhanh gọn vừa dễ hiểu Sau số phương pháp “Giải phương trình tích” sử dụng là: G/V ? : Một tích ? Trong tích có thừa số tích ? - Cần cho học sinh thấy rõ : Một tích thừa số phải có thừa số - Trong tích có thừa số tích Ví dụ : Giải phương trình : ( 2x – ) ( x + ) = ( I ) Phương pháp giải Tính chất nêu phép nhân viết ab = ⇔ a = b = ( với a ; b số ) Đối với phương trình ta có : ( 2x – ) ( x + ) = ⇔ 2x – = Hoặc x + = Do để giải phương trình ( I ) ta phải giải hai phương trình 1/ 2x – = ⇔ x = ⇔ x = 1,5 2/ x + = ⇔ x = - Vậy phương trình cho có hai nghiệm : x = 1,5 x = - Và ta viết tập hợp nghiệm phương trình : S = { 1,5; −1} Giải phương trình gọi giải phương trình tích Giáo viên đưa dạng phương trình tích tổng qt sau GV? : Để giải phương trình tích : A(x ) A(x ) …………….A(x n ) = ( II ) ta cần giải phương trình ? HS: Để giải phương trình ( II ) ta cần giải phương trình sau A( x ) = (1) A( x ) = (2) …………………… A ( xn ) = (n) Nghiệm phương trình ( ) ; ( ) …….( n ) nghiệm phương trình ( II ) Với giá trị x thỏa mãn điều phương trình ( II ) I/ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH ĐƠN GIẢN Ví dụ 1: Giải phương trình (x+1)(x+4)=(2–x)(2+x) Nhận xét : Hai tích khơng có nhân tử chung thi ta phải khai triển thu gọn để tìm cách đưa dạng tích , để giải phương trình ta cần thực hai bước Bước : Đưa phương trình cho dạng phương trình tích cách chuyển tất hạng tử từ vế phải sang vế trái đổi dấu hạng tử ; vế phải ; áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để phân tích vế trái thành tích Ta có : ( x + ) ( x + ) = ( – x ) ( + x ) ⇔ (x+1)(x+4)–(2–x)(2+x)=0 ⇔ x + x + x + − 22 + x = ⇔ x + x = ⇔ x(2 x + 5) = Bước : Giải phương trình tích vừa tìm kết luận nghiệm x = x = x =  ⇔ ⇔ x ( 2x + ) = ⇔  x = − 2 x + = 2 x = −5  5  Vậy nghiệm phương trình : S = 0; −  2  Ví dụ 2: Giải phương trình : x − = x ( 3x − ) 7 Tương tự ví dụ ta thực phép chuyển vế ta có : 3 x − = x ( 3x − ) ⇔ x − = x − x = 7 7 3  3 ⇔ x − − x + x = ⇔  x − x ÷− ( − x ) = 7  7 ⇔ 3  x ( − x ) − ( − x ) = ⇔ ( − x )  x − 1÷ = 7  1 − x = x −1   ⇔ 3 ⇔ x −1 = x=   7   7 Vậy nghiệm phương trình : S = 1;   3 Ví dụ : Giải phương trình : x − x + − = Đối với phương trình giáo viên cần hướng dẫn học sinh biến đổi vế trái dựa vào đẳng thức Giải : Ta có : x2 − 2x + − = ( ) ⇔ x2 − 2x + − = ⇔ ( x − 1) − 22 = ⇔ ( x −1 − 2) ( x −1 + 2) = ⇔ ( x − 3) ( x + 1) = x − = x = ⇔ ⇔ x +1 =  x = −1 Vậy nghiệm phương trình S = { −1;3} Ví dụ 4: 2 Giải phương trình : ( x − 1) + ( x − 1) ( x + ) + ( x + ) = Đối với phương trình giáo viên cần hướng dẫn học sinh nhận đẳng thức bình phương tổng để áp dụng giải nhanh gọn việc nhân đa thức phân tích thành nhân tử Ta xem ( x- ) =A ; ( x + ) = B ⇒ phương trình có dạng ( A + B ) = 2 Giải : ta có ( x − 1) + ( x − 1) ( x + ) + ( x + ) = ⇔ ( x − 1) + ( x + )  = ⇔ ( x − 1) + ( x + )  = ⇔ ( x − + x + 2) = ⇔ 2x + = ⇔ x = −1 ⇔ x = −   Vậy nghiệm phương trình : S = −   2 Ví dụ : Giải phương trình : − x 2x +1 = ( )( ) Đây phương trình tích có chứa thức bậc hai , Để tránh cho học sinh hiểu tốn mơt cách phức tạp phương trình có chứa bậc hai nên giáo viên hướng dẫn học sinh thực cách giải thơng thường 2; 3; coi hệ số thơng thường Giải : ta có ( )( ) − x 2x +1 =  x =  − x =  ⇔ ⇔ 2 x + = x =  5 −1 2   −1   Vậy nghiệm phương trình : S =  ;  2     II/ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH BIẾN ĐỔI ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÁCH HẠNG TỬ ĐỂ PHÂN TÍCH ĐƯA VỀ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH Ví dụ : Giải phương trình : x3 + x + x = Đối với phương trình học sinh có cách giải khác chẳng hạn ta tham khảo hai cách giải sau 2 Cách : Ta có : x + 3x + x = ⇔ x ( x + 3x + = ) ( ) ⇔ x x + x + x + = ( tách 3x = x + 2x ) ⇔ x ( x + x ) + ( x + )  = ( nhóm hạng tử ) ⇔ x  x ( x + 1) + ( x + 1)  = ( đặt nhân tử chung ) ⇔ x ( x + 1) ( x + ) = ( đặt nhân tử chung ) x = x =   ⇔  x + = ⇔  x = −1 x + =  x = −2   Vậy nghiệm phương trình : S = { 0; −1; −2} Cách 2: Giải : Ta có x3 + x + x = ⇔ x + x + x + x = ( tách x = x + x ) ⇔ ( x + x ) + ( x + x ) = ⇔ x ( x + 1) + x ( x + 1) = ( ) ⇔ ( x + 1) x + x = ⇔ ( x + 1) x ( x + ) = ( đặt nhân tử chung ) x +1 =  x = −1   ⇔ x = ⇔ x = x + =  x = −2   Vậy nghiệm phương trình : S = { 0; −1; −2} Ví dụ 2: Giai phương trình : x − 19 x − 30 = phương trình chưa xuất nhân tử chung ; không dạng đẳng thức Do giải giáo viên cần lưu ý cho học sinh cần sử dụng phương pháp biết để phân tích vế trái thành tích ( gợi ý phương pháp tách hạng tử ) ta cần tách hạng tử : -19x = - 9x – 10x Giải : Ta có : x3 − 19 x − 30 = ⇔ x − x − 10 x − 30 = ⇔ ( x − x ) − ( 10 x + 30 ) = ⇔ x ( x − ) − 10 ( x + 3) = ( ) ⇔ x x − 32 − 10 ( x + 3) = ⇔ x ( x − 3) ( x + 3) − 10 ( x + ) = ( ) ⇔ ( x + 3)  x ( x − 3) − 10  = ⇔ ( x + 3) x − x − 10 = ( ) ⇔ ( x + 3) x − x + x − 10 = ⇔ ( x + 3) ( x − x) + ( x − 10 )  = ⇔ ( x + 3)  x ( x − ) + ( x − )  = ⇔ ( x + 3) ( x − ) ( x + ) = x + =  x = −3   ⇔ x − = ⇔ x =  x + =  x = −2   Vậy nghiệm phương trình : S = { −3; −2;5} Ví dụ : Giải phương trình : x + x − = Đối với phương trình ta tách hạng tử 5x = 6x – x Giải : Ta có : x + x − = ⇔ x + x − x − = ⇔ ( 3x + x ) − ( x + ) = ⇔ 3x ( x + ) − ( x + ) = ⇔ ( x + ) ( x − 1) =  x = −2 x + =  ⇔ ⇔ x = 3x − =   1 Vậy nghiệm phương trình : −2;   3 Ví dụ : Giải phương trình : x + 14 x + x = Đói với phương trình bước ta phải biến đổi vế trái thành tích cách đặt nhân tử chung để biểu thức ngoặc đơn giản sau dung phương pháp tách hạng tử để đưa dạng tích 2 Giải : Ta có : x + 14 x + x = ⇔ x x + x + = ( ) ⇔ x ( x + x + x + 3) = ⇔ x ( x + x ) + ( x + 3)  = ⇔ x  x ( x + 3) + ( x + 3)  = ⇔ x ( x + ) ( x + 1) =  x = 2 x =   ⇔  x + = ⇔  x = −3 2 x + =   x = −    Ví dụ 5: Giải phương trình : x + x + 20 = Vậy : nghiệm phương trình : S = 0; −3; − 1  2 Đói với phương trình vế trái chưa xuất nhân tử chung Do ta cần biến đổi để đưa vế trái dạng tích cách Tách hạng tử 9x = 4x + 5x Giải: Ta có : x + x + 20 = ⇔ x + x + x + 20 = ⇔ x + x + ( x + 20 ) = ⇔ x ( x + ) + ( x + ) = ( ) x + =  x = −4 ⇔ ( x + 4) ( x + 5) = ⇔  ⇔ x + =  x = −5 Vậy nghiệm phương trình : S = { −4; −5} Ví dụ 6: Giải phương trình : x + x − = Ta biến đổi vế trái phương trình thành tích cách tách hạng Tử x = 3x – 2x sau nhóm hạng tử đặt nhân tử chung Giải : Ta có : x + x − = ⇔ x + 3x − x − = ⇔ ( x + 3x ) − ( x + ) = ⇔ x ( x + 3) − ( x + 3) = x + =  x = −3 ⇔ ( x + 3) ( x − ) = ⇔  ⇔ x − = x = Vậy nghiệm phương trình : S = { −3; 2} Ví dụ 7: Giải phương trình : x − x + = Đối với phương trình có nhiều cách giải khác sau Một số cách giải Cách 1: Tách hạng tử -3x = -2x - x Ta có : x − 3x + = ⇔ x − x − x + = ⇔ x − x − ( x − ) = ⇔ x ( x − 1) − ( x − 1) = ( ) x −1 = x = ⇔ ( x − 1) ( x − ) = ⇔  ⇔ x − = x = Vậy nghiệm phương trình : S = { 1; 2} Cách : Tách hạng tử = - + Ta có : x − x + = ⇔ x − 3x − + = ( ) ⇔ x − − ( 3x − ) = ⇔ ( x + ) ( x − ) − ( x − ) = ⇔ ( x − ) ( x + ) − 3 = ⇔ ( x − ) ( x − 1) = x − = x = ⇔ ⇔ x −1 = x = Vậy nghiệm phương trình : S = { 1; 2} −3 x = 2.x Cách : Biến đổi Ta có : ; 2= − 4 x − 3x + = ⇔ x − x + − = 4 2  9 3  1  ⇔  x − x + ÷− = ⇔  x − x +  ÷  −  ÷ = 4        2  3 1     1  ⇔  x − ÷ −  ÷ = ⇔  x − ÷+   x − ÷+  = 2  4     2    1  ⇔  x − + ÷ x − − ÷ = ⇔ ( x − 1) ( x − ) = 2  2  x −1 = x = ⇔ ⇔ x − = x = Vậy nghiệm phương trình : S = { 1; 2} III/DẠNG BIẾN ĐỔI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐƯA VỀ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÍ DỤ 1: Giải phương trình x − 13 x + 36 = Đây phương trình bậc ẩn x để giải dạng phương trình ta cần đặt biến phụ sau tìm giá tri biến phụ ta lắp giá trị vào biểu thức lien quan ban đầu để tìm nghiệm , Ở ta đặt x = a ta có cách giải sau Giải :Ta có : x − 13 x + 36 = ⇔ a − 13a + 36 = ⇔ a − 4a − 9a + 36 = ⇔ ( a − 4a ) − ( 9a − 36 ) = ⇔ a ( a − 4) − ( a − 4) = ⇔ ( a − 4) ( a = 9) = a = a − = ⇔ ⇔ a − = a2 = 9 Vì ta đặt   x = ±2 x = x =a⇒ ⇔ x =  x = ±3  Vậy nghiệm phương trình : S = { ±2; ±3} Ví dụ 2: Giải phương trình : x + x + = Để giải phương trình giáo viên cần hướng dẫn học sinh đặt ẩn phụ : Đặt x = a nên ta có cách giải sau Giải :Ta có : x + x + = ⇔ 2a + 5a + = ⇔ 2a + 4a + a + = ⇔ ( 2a + 4a ) + ( a + ) = ( tách 5a = 4a + a ) ⇔ 2a ( a + ) + ( a + ) = ⇔ ( a + ) ( 2a + 1) = ( nhóm đặt NTC ) a = −2 a + =  ⇔ ⇔ a = −  2a + =   x2 −  Vì đặt x = a ⇒  x = −  Điều khơng thể xẩy x ≥ với giá trị x phương trình cho vơ nghiệm : tập hợp nghiệm phương trình : S = φ Ví dụ : Giải phương trình : x + x + = ta biến đổi vế trái cách đặt ẩn phụ x = a để đưa dạng tích Giải : Ta có : x + x + = ⇔ 9a + 6a + = ⇔ ( 3a ) + 2.3a + 12 = ⇔ ( 3a + 1) = 2 ⇔ 3a + = ⇔ a = − 2 Vì đặt x = a ⇒ x = − Trường hợp xẩy x ≥ với giá trị x Vậy phương trình vơ nghiệm Tập hợp nghiệm phương trình : S = φ Vì Ví dụ 4: Giải phương trình : x + x − = Đặt x2 = a Ta có cách giải sau x4 − x − = ⇔ 2a − 7a − = ⇔ a − 8a + a − = ⇔ ( a − a ) + ( a − ) = 10 ⇔ 2a ( a − ) + ( a − ) = ⇔ ( a − ) ( 2a + 1) = a = a − =  ⇔ ⇔  2a + = a = − Vì đặt x = a ⇒ x = ⇒ x = ±2 Và : x = − Loại Vậy nghiệm phương trình : S = { ±2} Ví dụ : Giải phương trình : x − 20 x + 18 = Đặt x = a nên ta có cách giải sau x − 20 x + 18 = ⇔ a − 20 x + 18 = ⇔ ( a − 10a + ) = ⇔ ( a − 9a − a + ) = ⇔ ( a − 9a ) − ( a − )  = ⇔  a ( a − ) − ( a − )  = a − = a = ⇔ ( a − ) ( a − 1) = ⇔  ⇔ a − = a = Vì đặt x = a ⇒ x = ⇒ x = ±3 Và : x = ⇒ x = ±1 Vậy nghiệm phương trình : S = { ±1; ±3} IV: DẠNG BIẾN ĐỔI CÁC PHƯƠNG TRÌNH CĨ CHỨA ẨN Ở MẪU VỀ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH Đây dạng phương trình mà giải ta cần phải tìm điều kiện xác định phương trình Điều kiện xác định phương trình tìm giá trị ẩn để mẫu thức khác không Sau số ví dụ dạng phương trình x+2 − = Ví dụ 1: Giải phương trình : (I) x − x x ( x − 2) x ≠ x ≠ ⇔ x − ≠ x ≠ Điều kiện xác định phương trình :  Giải : Ta có (I) ⇔ ( x + 2) x − ( x − 2) = x+2 − = ⇔ x − x x ( x − 2) x ( x − 2) x ( x − 2) ⇔ ( x + 2) x − ( x − 2) = ⇔ x2 + x − x + = x = x = ⇔ x + x = ⇔ x ( x + 1) = ⇔  ⇔ x +1 =  x = −1 11 Vì điều kiện xác định phương trình : x ≠ x ≠ Nên với x = loại Do nghiệm phương trình : S = Ví dụ 2: Giải phương trình : Giải : Ta có : ( x − 11) x−2 − = x+2 x−2 x −4 { −1} ( II ) ĐKXĐ: x ≠ ±2 ( x − 11) x−2 − = x+2 x−2 x −4 (II) ⇔ ( x − ) − ( x + ) = ( x − 11) Quy đồng mẫu hai vế ⇔ ( x + 2) ( x − 2) ( x + 2) ( x − 2) ⇔ ( x − ) − ( x + ) = ( x − 11) ( Nhân hai vế với ( x + ) ( x − ) khử mẫu) Khai triển chuyển vế thu gọn ta ⇔ x − x + 20 = ⇔ x − x − x + 20 = ( tách -9x = - 4x – 5x ) ( ) ⇔ x − x − ( x − 20 ) = ⇔ x ( x − ) − ( x − ) = x − = x = ⇔ ( x − 4) ( x − 5) = ⇔  ⇔ x − = x = Vì x = ; x = Thuộc tập xác định phương trình Vậy nghiệm phương trình : S = Ví dụ : Giải phương trình : Giải : Ta có : (III) { 4;5} 2x −1 = −x x−2 x−2 ( III) ĐKXĐ : x≠2 2x −1 − x ( x − 2) 2x −1 = −x⇔ = x−2 x−2 x−2 x−2 ⇔ = x − − x + x ( nhân hai vế với x – khử mẫu ) ⇔ ⇔ x2 − x + = ⇔ ( x − 2) = ⇔ x−2=0⇔ x = (Loại x = khơng thỏa mãn ĐKXĐ phương trình Vậy tập hợp nghiệm phương trình : S = φ Ví dụ : Giải phương trình : x + 1 = x2 + x x ( IV ) ĐKXĐ : x ≠ x3 + x x + ( IV ) ⇔ = ⇔ x3 + x = x4 + x x ⇔ x3 − x − + x = ⇔ ( x3 − x ) − ( − x ) 12 ( ) ⇔ ( x − 1) ( x − 1) ( x + x + 1) = ⇔ ( x − 1) ( x + x + 1) = ( x + x + 1) = x + x 12 + 14 + 43 =  x + 2.x 12 + 14 ÷ + 43 ⇔ x3 ( − x ) − ( − x ) = ⇔ (1 − x) x − = 2 Vì 2 2 1  =x+ ÷ + >0 2  nên ( x − 1) (x ) + x + = ⇔ ( x − 1) = ⇔ x − = ⇔ x = Thỏa mãn điều kiện tốn Vậy nghiệm phương trình : S = { 1} V: MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH KHÁC Tùy theo dạng phương trình mà ta có cách biến đổi khác Để đưa phương trình cho dạng phương trình tích Sau dạng phương trình đặc trưng Ví dụ I: Giải phương trình : 2− x 1− x x −1 = − 2001 2002 2003 Đây phương trình áp dụng cách giải thong thường gặp nhiều khó khăn Do để giải phương trình ta sử dụng phương pháp sau Để biến đổi đưa phương trình cho dạng phương trình tích đơn giản Ta cộng thêm vào hai vế phương trình biến đổi phương trình sau 2− x 1− x x 2− x  1− x   −x  −1 = − ⇔ +1 =  + 1÷+  + 1÷ 2001 2002 2003 2001  2002   2003  2003 − x 2003 − x 2003 − x 2003 − x 2003 − x 2003 − x ⇔ = + ⇔ − − =0 2001 2002 2003 2001 2002 2003 1   ⇔ ( 2003 − x )  − − ÷ = ⇔ 2003 − x = ⇔ x = 2003 2001 2003 2003   Vì : 1 − − ≠0 2001 2002 2003 Vậy nghiệm phương trình : S = { 2003} x +1 x + x + x + x + x + + + = + + 94 93 92 91 90 89 Cộng thêm vào hai vế phương trình ta  x +1   x +   x +   x +   x +   x +  + 1÷+  + 1÷+  + 1÷ =  + 1÷+  + 1÷+  + 1÷   94   93   92   91   90   89  Ví dụ : Giải phương trình : 13 x + 95 x + 95 x + 95 x + 95 x + 95 x + 95 + + = + + 94 93 92 91 90 89 x + 95 x + 95 x + 95 x + 95 x + 95 x + 95 ⇔ + + − − − =0 94 93 92 91 90 89 1 1   ⇔ ( x + 95 )  + + − − − ÷ =  94 93 92 91 90 89  ⇔ ⇔ x + 95 = ⇔ x = −95 1 1 1 + + − − − ≠0 Vì : 94 93 92 91 90 89 Vậy nghiệm phương trình : S = { −95} Ví dụ 3: Giải phương trình : 59 − x 57 − x 55 − x 53 − x 51 − x + + + + = −5 41 43 45 47 49 Đối với phương trình ta chuyển hạng tử -5 sang vế trái tách Thành hạng tử hạng tử đơn vị nên ta có cách giải sau 59 − x 57 − x 55 − x 53 − x 51 − x + + + + = −5 41 43 45 47 49  59 − x   57 − x   55 − x   53 − x   51 − x  ⇔ + 1÷+  + 1÷+  + 1÷+  + 1÷+  + 1÷ =  41   43   45   47   49  100 − x 100 − x 100 − x 100 − x 100 − x ⇔ + + + + =0 41 43 45 47 49 1 1   ⇔ ( 100 − x )  + + + + ÷=  41 43 45 47 49  ⇔ 100 − x = ⇔ x = 100 1 1 + + + + ≠0 Vì : 41 43 45 47 49 Vậy nghiệm phương trình : S = { 100} Ví dụ : Giải phương trình : x +1 x + x + x + x + x + + + = + + 59 58 57 56 55 54 Để giải phương trình giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh cộng thêm vào hai vế phương trình tách thành nhóm sau x +1 x + x + x + x + x + + + = + + 59 58 57 56 55 54  x +1   x +   x +   x +   x +   x +  ⇔ + 1÷+  + 1÷+  + 1÷ =  + 1÷+  + 1÷+  + 1÷  59   58   57   56   55   54  14 x + 60 x + 60 x + 60 x + 60 x + 60 x + 60 + + = + + 59 58 57 56 55 54 x + 60 x + 60 x + 60 x + 60 x + 60 x + 60 ⇔ + + − − − =0 59 58 57 56 55 54 1 1   ⇔ ( x + 60 )  + + − − − ÷ =  59 58 57 56 55 54  ⇔ ⇔ x + 60 = ⇔ x = −60 1 1 1 + + − − − ≠0 Vì : 59 58 57 56 55 54 Vậy nghiệm phương trình : S = { −60} Ví dụ 5: Giải phương trình : x − x − 15 x − 25 x − 1990 x − 1980 x − 1970 + + = + + 1990 1980 1970 15 25 Đối với phương trình giáo viên hướng dẫn cho học sinh trừ hai vế đơn vị tách phần ta có cách giải sau x − x − 15 x − 25 x − 1990 x − 1980 x − 1970 + + = + + Giải : 1990 1980 1970 15 25  x −   x − 15   x −   x − 1990   x − 1980   x − 1970  ⇔ − 1÷+  − 1÷+  − 1÷ =  − 1÷+  − 1÷+  − 1÷  1990   1980   1970     15   25  x − 1995 x − 1995 x − 1995 x − 1995 x − 1995 x − 1995 + + = + + 1990 1980 1970 15 25 x − 1995 x − 1995 x − 1995 x − 1995 x − 1995 x − 1995 ⇔ + + − − − =0 1990 1980 1970 15 25 1 1   ⇔ ( x − 1995 )  + + − − − ÷=  1990 1980 1970 15 25  ⇔ ⇔ x − 1995 = ⇔ x = 1995 1 1 1 + + − − − ≠0 Vì : 1990 1980 1970 15 25 Vậy nghiệm phương trình : S = { 1995} Hiệu sáng kiến hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường - Đề tài giúp giáo viên nắm rõ phương pháp giải phương trình đưa dạng “ Phương trình tích “ Đồng thời vận dụng phương pháp để giải tốn hay khó Giải phương trình sử dụng phương pháp tách hạng tử phân tích đa thức đưa dạng tích 15 - Trước hết giáo viên phải làm cho học sinh thấy rõ “ Giải phương trình tích ? Và dạng tập vận dụng vận dụng Phân tích vế trái thành tích ( thừa số ) biến đổi vế trái thành tích đa thức ; đơn thức khác ẩn vế phải - Học sinh nắm kiến thức cách có hệ thống ; em nắm dạng tập phương pháp giải tập Học sinh thấy rõ “ Giải phương trình tích ? Và dạng tập vận dụng vận dụng Học sinh biết phân tích vế trái thành tích ( thừa số ) biến đổi vế trái thành tích đa thức ; đơn thức khác ẩn vế phải - Kết trước sau áp dụng sáng kiến: + Khi chưa thực dạy phương pháp giải phương trình tích Khảo sát 20 em kết đạt sau Lớp 8A 8B GIỎI SL 0 TL 0% 0% KHÁ SL TL 5% 10% TB SL 10 TL 50% 45% YẾU SL TL 35% 40% KÉM SL TL 10% 5% + Kết sau thực giảng dạy phương pháp gải phương trình tích LỚP 8A 8B Giỏi SL TL 20% 25% KHÁ SL TL 25% 20% TB SL TL 45% 40% YẾU SL TL 10% 15% KÉM SL 0 TL 0% 0% III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận: -Việc áp dụng phương pháp biến đổi phương trình để đưa dạng phương trình tích có hiệu Làm cho học sinh thay đổi tính tư ; nhận thức nhanh ; nhìn nhận vấn đề sâu rộng ; chắn học sinh biết phân tích biến đổi nhìn nhận tốn nhiều khía cạnh khác Kết khảo sát cao nhiều so với chưa áp dụng phương pháp -Trong q trình thực thân tơi khơng thể tránh khỏi khiếm khuyết thiếu sót Tính lơgic hệ thống phương trình nên thân tơi mong đóng góp ý kiến quý báu từ q thầy giáo nói chung q thầy giáo mơn tốn nói riêng Nhất đồng chí tổ chun mơn để thân tơi đúc rút nhiều kinh nghiệm trình dạy học nói chung việc dạy học mơn tốn nói riêng có việc dạy học giải phương trình tích thân tơi xin chân thành cảm ơn Kiến nghị 16 - Đối với giáo viên môn: Cần tạo cho học sinh có nhiều quỹ thời gian để em tham dự chuyên đề rút từ kinh nghiệm - Đối với BGH nhà trường: Nhà trường cần tạo điều kiện thuận lợi kinh phí để thực chun đề có tính chất liên quan Tân Long, ngày 15 tháng 10 năm 2019 Người thực Mai Thị Thu Hương 17 Ý KIẾN NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC TRƯỜNG TÀI LIỆU THAM KHẢO 18 TT TÊN SÁCH Sách giáo khoa đại số tập II Sách hướng dẫn giáo viên đại số tập II Sách tập đại số tập II TÁC GIẢ Phan Đức Chính Tơn Thân Nguyễn Huy Đoan Lê văn Hồng NHÀ XUẤT BẢN Nhà xuất giáo dục Ơn tập đại số Các tốn hay đại số Các toán chọn lọc (Bồi dưỡng học sinh khá; giỏi) Vũ Hữu Bình Lê Đình Phi Nguyễn Ngọc Đạm Nguyễn Quang Hanh Ngô long hậu Nhà xuất giáo dục Đại học quốc gia hà nội 405 Bài tập đại số Nguyễn đức Tấn Phan Hồng Ngân Nguyễn Anh Hồng Nguyễn Đức Hịa Nhà xuất đại học quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh 19 Nhà xuất giáo dục Nhà xuất giáo dục Nhà xuất đại học sư phạm hà nội ... lượng học tập học sinh Các sáng kiến sử dụng để giải vấn đề Nội dung ? ?Giải phương trình tích? ?? học chương III phương trình bậc ẩn mơn Đại số , nên số phương pháp ? ?Giải phương trình tích? ?? học mơn... giải nhanh gọn vừa dễ hiểu Sau số phương pháp ? ?Giải phương trình tích? ?? sử dụng là: G/V ? : Một tích ? Trong tích có thừa số tích ? - Cần cho học sinh thấy rõ : Một tích thừa số phải có thừa số. .. −1} Giải phương trình gọi giải phương trình tích Giáo viên đưa dạng phương trình tích tổng qt sau GV? : Để giải phương trình tích : A(x ) A(x ) …………….A(x n ) = ( II ) ta cần giải phương trình