Tính đa điều hòa dưới của nghiệm của phương trình fefferman và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ LỤA TÍNH ĐA ĐIỀU HỊA DƯỚI CỦA NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH FEFFERMAN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2019 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ LỤA TÍNH ĐA ĐIỀU HỊA DƯỚI CỦA NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH FEFFERMAN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60460102 Cán hướng dẫn: PGS TS NGUYỄN THẠC DŨNG Hà Nội - 2019 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành đề tài luận văn, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn Nguyễn Thạc Dũng tận tình giúp đỡ em suốt trình nghiên cứu luận văn trực tiếp hướng dẫn em hoàn thiện đề tài luận văn tốt nghiệp Thầy dành thời gian tâm huyết vào cơng việc, thầy ln đặt niềm tin vào học trị khơng ngừng mong mỏi học trị ln tiến bộ, lĩnh hội nhiều kiến thức Em xin bày tỏ lòng cảm ơn tới thầy giáo, giáo khoa Tốn Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội giảng dạy giúp đỡ em có mơi trường học tập tốt suốt thời gian học tập trường Cuối xin cảm ơn bố mẹ ủng hộ việc học tập; cảm ơn bạn bè, anh chị em đồng nghiệp giúp đỡ, cổ vũ động viên học tập, công việc q trình hồn thiện luận văn.Tơi xin cảm ơn anh chị bạn lớp cao học Toán nhiệt tình giúp đỡ động viên tơi suốt trình học tập lớp Hà Nội, ngày 21 tháng 11 năm 2019 Học viên Nguyễn Thị Lụa Mục lục LỜI CẢM ƠN LỜI MỞ ĐẦU Kiến thức 1.1 Miền siêu giả lồi 1.1.1 Hàm đa điều hòa 1.1.2 Miền giả lồi 1.1.3 Toán tử Laplace-Beltrami đa tạp Kăahler 1.1.4 Min siờu gi li 1.2 Công thức xấp xỉ Phương trình Fefferman miền siêu giả lồi ứng 2.1 Hàm đa điều hòa chặt miều siêu giả lồi 2.2 Mối liên hệ miền siêu giả lồi miền lồi 2.3 Các phản ví dụ 6 7 11 dụng 16 17 19 23 KẾT LUẬN 30 Tài liệu tham khảo 31 LỜI MỞ ĐẦU Cho D miền trơn, bị chặn, giả lồi Cn , u ∈ C (D) hàm giá trị thực H(u) ma trận Hessian phức cỡ n × n u Ta biết u đa điều hòa chặt D H(u) xác định dương D Khi u đa điều hòa chặt D, u cảm sinh metric Kăahler n g = g[u] = i,j=1 2u dz i ⊗ dz j ∂zi ∂z j (1) Ta nói metric g Einstein có độ cong Ricci Rkl = − ∂ log det[gij ] (2) ∂zk ∂z l thỏa mãn phương trình: Rkl = cgkl với số c Khi c < 0, sau chuẩn hóa, ta giả sử c = −(n + 1) Cheng Yau [2] chứng minh phương trình Monge-Ampère det H(u) = e(n+1)u , z ∈ D (3) z ∈ ∂D u = +∞, có nghiệm đa điều hịa chặt nht u C (D) Hn na, metric Kăahler n g[u] = i,j=1 ∂ 2u dz i ⊗ dz j ∂zi ∂z j (4) cảm sinh u mt metric Kăahler-Einstein trờn D Khi D l gi lồi chặt, toán tồn nghiệm nghiệm nghiên cứu Fefferman [3] Feffermann xét phương trình dây det J(ρ) = 1, z ∈ D J(ρ) = −det ρ ρ = 0, z ∈ ∂D ∂ρ ∂ρ ∂ρ , , ∂z ∂z n (∂ρ)∗ H(ρ) , ∂ρ = (5) (∂ρ)∗ = ∂ρ ∂ρ , , ∂z1 ∂zn Phương trình gọi phương trình Feffermann Fefferman tìm t MỤC LỤC nghiệm ρ < D cho u = − log(−ρ) đa điều hòa chặt D Tác giả chứng minh tính đưa cơng thức nghiệm xấp xỉ cho (5) Nếu quan hệ ρ u cho ρ(z) = −e−u(z) , z ∈ D (6) (3) (5) trùng Hơn nữa, chứng minh (xem [8]) det H(u) = J(ρ)e(n+1)u (7) Khi D miền trơn, bị chặn, giả lồi chặt, Cheng Yau [2] chứng minh ρ ∈ C n+3/2 (D) Trên thực tế, người ta có ρ ∈ C n+2− (D) với > đủ nhỏ Điều khẳng định suy từ công thức mở rộng tiệm cận cho ρ thu Lee Melrose [6]: ∞ ρ(z) = r(z) aj (rn+1 log(−r))j a0 (z) + , (8) j=1 r ∈ C ∞ (D) hàm xác định cho D, aj ∈ C ∞ (D) a0 (z) > ∂D Nhiều nghiên cứu [8, 9, 13, 14] chứng tỏ toán thú vị quan trọng Bài toán 0.1 Giả sử D miền trơn, bị chặn, giả lồi chặt Cn Cho ρ nghiệm phương trình Fefferman (5) cho u = −log(−ρ) đa điều hòa chặt D Vậy bổ sung điều kiện D ta có ρ đa điều hòa chặt D Bằng cách giới thiệu khái niệm miền siêu giả lồi báo [7], Song Ying Li đưa đặc trưng hóa cho miền D Cn cho câu trả lời tốn Ngồi ra, tác giả nghiên cứu giá trị cực đại cho giá trị riêng "nhỏ nhất" ("bottom of the spectrum") miền Mục tiêu luận văn trình bày lại kêt báo nói Li Luận văn bao gồm hai chương Trong chương một, giới thiệu lại khái niệm miền giả lồi, hàm xác định, toán tử Laplace-Beltrami Đặc biệt, giới thiệu khái niệm miền siêu giả lồi chứng minh kết xấp xỉ cho hàm xác định Kết dùng chương hai để chứng minh kết Như nói trên, chương hai tập trung vào phân tích kết Li Cụ thể, Định lý 2.2 miền siêu giả lồi lời giải Bài tốn 0.1 tồn Kết MỤC LỤC cuối luận văn Định lý 2.1 đưa mối liên hệ khái niệm miền siêu giả lồi miền lồi Do hạn chế kiến thức nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy phản biện bạn đọc để nâng cao trau dồi kiến thức Các thảo luận góp ý trau đổi tác giả cảm ơn trân trọng Chương Kiến thức 1.1 Miền siêu giả lồi 1.1.1 Hàm đa điều hòa Trong phần ta đưa số tính chất hàm đa điều hòa Trước hết ta nhắc lại vài định nghĩa định lý cho hàm đa điều hòa dưới, chứng minh định lý ta xem Kenzo Adachi ([4], phần 1.2 Đặc trưng tính giả lồi) Định nghĩa 1.1 Giả sử Ω tập mở Cn , u : Ω → R Hàm u gọi đa điều hòa (i) u nửa liên tục Ω, tức với c ∈ R : {z ∈ Ω : u(z) < c} tập mở (ii) Với z ∈ Ω ω ∈ Cn u(z + ζω) điều hịa {ζ ∈ C : z + ζω ∈ Ω} Ta ý vài tính chất hàm đa điều hòa sau Định lý 1.1 Cho Ω ⊂ Cn , u : Ω → R, u ∈ C (Ω) Khi đó, ∂ 2u (z)ωj ω k ≥ 0, j,k=1 ∂zj ∂z k n (i) u đa điều hòa ∀z ∈ Ω, ω = (ω1 , , ωn ) ∈ Cn ∂ 2u (z)ωj ω k > 0, j,k=1 ∂zj ∂z k n (ii) u đa điều hòa chặt ω = (ω1 , , ωn ) ∈ Cn ∀z ∈ Ω, Chương Kiến thức Ví dụ 1.1 Xét khơng gian phức C2 , cho u(z, ω) = |z|2 +|ω|2 v(z, ω) = |z|2 + |ω|4 với (z, ω) ∈ C2 Khi đó, u hàm đa diều hịa chặt v hàm đa điều hòa Thật vậy, u, v hàm trơn ma trận Hessian phức u v Hu (z, ω) = 0 = I2 Hv (z, ω) = 0 |ω|2 Cả hai ma trận ma trận Hermit Ma trận Hu xác định dương chặt ma trận Hv xác định dương 1.1.2 Miền giả lồi Cho Ω ⊂ Cn tập mở Ta nói Ω có biên lớp C k (k ≥ 2) tồn lân cận U ∂Ω hàm r xác định lớp C k U cho • Ω ∩ U = {z ∈ U : r(z) < 0} n • dr = ∂Ω, ta có dr(z) = ∂r (z)dxj với z ∈ ∂Ω j=1 ∂xj Định nghĩa 1.2 Giả sử Ω miền bị chặn Cn (n ≥ 2), Ω có biên trơn, D biên Ω r hàm xác định D Khi D gọi miền giả lồi p ∈ ∂Ω dạng Levi n Lp (r, ω) = i,j=1 ∂ 2r (p)ωi ω j ≥ ∂zi ∂z j với ω ∈ Tp(1,0) (∂Ω) Ω gọi miền giả lồi chặt L(r, ω) xác định dương với ω = Ví dụ 1.2 Xét khơng gian phức C2 hình cầu đơn vị B2 = {(z, ω) ∈ C2 : |z|2 + |ω|2 < 1} Khi đó, B2 miền giả lồi chặt Thật vậy, ta chọn hàm xác định ∂B2 hàm r(z, ω) = |z|2 + |ω|2 − Hàm hàm đa điều hòa chặt điểm (z, ω) ∈ ∂B2 1.1.3 Toán tử Laplace-Beltrami a Kă ahler Gi s M l mt a tạp Riemann định hướng, n chiều Ωp (M ) không gian p-dạng M , đặt d : Ωp (M ) −→ Ωp+1 (M ) toán tử vi phân thông thường, p ≥ Giả sử ds2 = gij dxi ⊗ dxj metric Riemann T ∗ M ⊗ T ∗ M , i,j Chương Kiến thức gij ma trận thực cấp n xác định dương chặt Khi ds2 chứa metric Riemann T ∗ M ⊗ T ∗ M xác định dS = g ij i,j ∂ ∂ ⊗ ∂xi ∂xj (g ij ) ma trận nghịch đảo (gij ) Giả sử d∗ toán tử liên hợp d gij dxi ⊗ dxj nghĩa n p p=0 Ω (M ) tương ứng với metric i,j d∗ : Ωp (M ) −→ Ωp−1 (M ) (dα, β) = (α, d∗ β) = dα, β ds2 M α ∈ Ωp−1 M, β ∈ Ωp M , ∗ tốn tử Hogde Định nghĩa 1.3 Toán tử Hogde-Laplace Ωp M H = −(dd∗ + d∗ d) : Ωp (M ) −→ Ωp (M ) Toán tử Hogde-Laplace liên hệ với toán tử Laplace-Beltrami sau: Với hàm trơn f ta định nghĩa gradient f =: grad f =: g ij ∂f ∂f ∂xi ∂xj g = det(gij ), với trường vecto X ta có grad f, X = X(f ) = df (X) Mặt khác, toán tử div tác động lên trường vecto Z = Z i divZ =: ∂ định nghĩa ∂xi ∂ √ j ( gZ ) g ∂xj Định nghĩa 1.4 Toán tử Laplace-Beltrami Ωp (M ) f = −div(grad f ) Khi đó, biết khơng gian hàm khả vi M ta có = − H Dễ dàng nhận thấy ∂ √ ij ∂f f = −√ gg g ∂xj ∂xi Vì (gij ) xác định dương nên − = −g ij ∂2 f + ··· ∂xi ∂xj f toán tử elliptic Chương Phương trình Fefferman miền siêu giả lồi ứng dụng B (z) = 2n(n + 1) n ∂ log J(r) = ∆r log J(r) ∂zi ∂z j 2n(n + 1) aij [r] i,j=1 (2.5) Do đó, với z0 ∈ ∂D, ta có ∂j B(z0 ) = −B (z0 )∂j r(z0 ), Đặt n n ∂ , r ∂zj j R= j=1 ∂j B(z0 ) = −B (z0 )∂j r(z0 ) với ≤ j ≤ n rj R= j=1 ∂ , ∂z j n rij − |∇r f | =: i,j=1 n ri rj −r + |∂r|2r rij ∂i f ∂j f − = ri = rij rj , i,j=1 (2.6) rj = rij ri (2.7) ∂i f ∂j f |Rf |2 −r + |∂r|2r Khi đó, dễ dàng thấy |∇r r|2 = ∂D Vì vậy, (1.21) ta có −n det H(ρ1 )(z) = J(r) n+1 det H(r) − [∂i r∂j log J + ∂i log J(r)∂j r] − [∂i r∂j B + ∂i B∂j r] n+1 Mặt khác, Bổ đề 3.1 [8] nói det(In − A∗ B − B ∗ A) = |1 − A, B |2 − |A|2 |B|2 với A = (A1 , , An ), B = (B1 , , Bn ) Do vậy, z = z0 ∈ ∂D, ta nhận n det H(ρ)(z )J(r) n+1 (z ) = det H(r) n − |∂r|2r rij i,j=1 − rij ∂i r n − |∂r|2r rij ∂i log J(r)∂j log J(r) (n + 1)2 i,j=1 n+1 − B ∂j r ∂j log J(r) ∂i log J(r) − B ∂i r n+1 R log J(r) 1− + B |∂r|2r n+1 =det H(r) ∂j log J(r) n+1 − B ∂j r + |∂r|2r 2Re B R log J(r) − |∂r|4r |B |2 n+1 R log J(r) |∂r|2r =det H(r) + 2B |∂r| − 2Re − | n+1 (n + 1)2 =det H(r) + − |∂r|2r | (n + 1)2 r |∂r|2 n(n + 1) log J(r)|2 log J(r) − 2Re > 18 R log J(r) n+1 r log J(r)|2 Chương Phương trình Fefferman miền siêu giả lồi ứng dụng Bây giờ, giả sử D siêu giả lồi chặt, theo định nghĩa miền siêu giả lồi chặt, tồn hàm đa điều hòa chặt r ∈ C (D) cho bất đẳng thức trên ∂D Ngược lại, giả sử ρ hm trn xỏc nh trờn D cho metric Kăahler cảm sinh u = − log(−ρ) siêu tiệm cận Einstein detH(ρ) = detH(ρ) > ∂D Theo Bổ đề [14], ta có detH(ρ) đạt cực tiểu D điểm ∂D Vì vậy, detH(ρ) > D chứng minh (i) Định lí 2.2 hồn thành Phần (ii) Định lý 2.2 hệ phần (i) kết [13] [14] 2.2 Mối liên hệ miền siêu giả lồi miền lồi Như nói phần mở đầu chương, mục này, chứng minh khẳng định (i) (ii) Định lý 2.1 Trước trình bày chứng minh, ta nhắc lại số ký hiệu khái niệm log J(r) = log det H(r) + log(−r + |∂r|2r ), (2.8) ∂(−r + |∂r|2r ) = −rk + ∂k (rij )ri rj + rij rik rj + rij ri rkj ∂zk = −riq rpj rpqk ri rj + rij rik rj (2.9) = −rq rp rpqk + ri rik ∂ log J ∂ log det H(r) + log(−r + |∂r|2r ) = ∂zk ∂zk = ri rj r − −r + |∂r|2r ij ri rik rijk + , −r + |∂r|2r (2.10) ta có R log J(r)(z0 ) = rk ∆rk + ri rk rik |∂r|2r (2.11) Do n det H(ρ)(z )J(r) n+1 (z ) = det H(r) − 19 2Re rk ri rik + E(r) , (n + 1)|∂r|2 (2.12) Chương Phương trình Fefferman miền siêu giả lồi ứng dụng E(r) =: rk ∆rk |∂r|2 n| log J(r)|2 ∆ log J(r) − − 2nRe n(n + 1) n+1 |∂r|2r (2.13) Mệnh đề đưa chứng minh khẳng định (i) Định lý 2.1 Mệnh đề 2.1 Cho D miền trơn, bị chặn không gian phức C Khi D siêu giả lồi (chặt) D lồi (chặt) Chứng minh Cho r hàm trơn xác định điều hòa chặt D ⊂ C Theo (2.12) (2.13), ta có a11 [r] = E(r) = ∂D Vì vậy, D siêu giả lồi chặt Sr (z) :=det H(r) − rk ri rik Re n+1 |∂r|2r rk ri rik =det H(r) − Re |∂r|2r (2.14) > ∂D Tại điểm z = z0 ∈ ∂D cho trước, cách sử dụng phép quay (nếu cần), ta giả sử rn (z0 ) = r1 (z0 ) > Do đó, Sr (z0 ) = r11 − Re r11 (z0 ) (2.15) dương với z0 ∈ ∂D ∂D lồi chặt; không âm với z0 ∈ ∂D ∂D lồi Bây ta đánh giá E(r) Mệnh đề 2.2 Với kí hiệu trên, z ∈ ∂D, ta có ri rik rj rjl |∂r|2 akl [r] 2Re rk ∆rk iq pj E(r) ≥ ∆rkl − a [r]r rijk rpql − (∆rk )(∆rl ) − n − n(n + 1) |∂r|4r (n + 1) (2.16) E(r) ≤ rik rql |∂r|2 akl 2Re rk ∆rk ∆rkl + aiq [r]rp rj rijk rpql + 2aiq [r] − n(n + 1) |∂r|2 (n + 1) Chứng minh Ta sử dụng hai đồng thức sau (ri )l = (riq rq )l = rq (riq )l + riq rql = −rit rsq rstl rq + riq rql = −rit rs rstl + riq rql 20 (2.17) Chương Phương trình Fefferman miền siêu giả lồi ứng dụng (rj )l = (rpj rp )l = −rq rij riql + δjl Theo (2.9) (2.10), với z ∈ ∂D, ta có ∂ log J(r) = ∂zk ∂z l rij − + ri rj |∂r|2r rijkl + rijk ∂ ∂z l rij − ri rj −r + |∂r|2r ri rik ∂ ∂z l (−r + |∂r|2r ) =∆rkl − rijk riq rpj rpql ∂(−r + |∂r|2r ) i j i r r − r r ) (r ik (|∂r|2r )2 ijk ∂z l rijk i j − (r (r )l + rj (ri )l ) + (ri rikl + rik (ri )l ) |∂r|r |∂r|2 + =∆rkl − rijk riq rpj rpql + (r ri rj − ri rik )(−rq rp rpql + rq rql ) (|∂r|2r )2 ijk rijk j − r (−rit rs rstl + riq rql ) + ri (−rq rpj rpql + δjl ) |∂r|2r + ri rikl + rik (−rit rs rstl + riq rql ) |∂r| (r ri rj − ri rik )(rq rp rpql − rq rql ) =∆rkl − riq rpj rijk rpql − (|∂r|2r )2 ijk r 1 j iq + (rp rj riq + ri rq rpj )rpql rijk − r r rql rilk − ilk2 ri 2 |∂r|r |∂r|r |∂r|r + ri rikl − rit rs rstl rik + riq rql rik |∂r|2 =∆rkl − riq rpj rijk rpql − ri rj rp rq r r |∂r|4r ijk pql (ri rj rijk rq rql + rp rq rpql ri rik ) |∂r|r (rp rj riq + ri rq rpj )rpql rijk + |∂r|2r 1 − (ri rpj rpk rijl + rj riq rql rijk ) + |∂r|r |∂r|2r + 21 riq − ri rq |∂r|2r rql rik , Chương Phương trình Fefferman miền siêu giả lồi ứng dụng ∂ log J(r) =∆rkl − ∂zk ∂z l riq − ri rq |∂r|2r rpj − − |∂r|2r ri + |∂r|2r riq − rpj − rp rj |∂r|2r ri rq |∂r|2r rp rj |∂r|2r rijk rpql rpk rijl + rj riq − ri rq |∂r|2r rql rijk rql rik Với z ∈ ∂D, ta có ∆ log J(r)(z) ≥akl [r]∆rkl − akl [r]aiq [r]apj [r]rijk rpql − akl [r] kl aiq [r] j r rijk rp rpql + rki rql + a [r]aiq [r]rql rik 2 |∂r|r |∂r|r =akl ∆rkl − akl [r]aiq [r]rpj rijk rpql ∆ log J(r)(z) ≤ akl ∆rkl + 2akl [r]aiq [r] rik rql |∂r|2 + akl [r]aiq [r]rp rj rijk rpql Hơn nữa, | log J(r)|2 = akl [r] ∆rk + ri rik |∂r|2r ∆rl + = akl [r] (∆rk )(∆rl ) + (∆rk ) rj rjl |∂r|2r rj rjl |∂r|2r + j ri rik r rjl ri rik + ∆r |∂r|2r l |∂r|2r |∂r|2r j ri rik r rjl n+1 ≤ a [r] (∆rk )(∆rl ) + (n + 1) n |∂r|2r |∂r|2r kl Do ∆ log J(r) − n | n+1 log J|2 ≥ akl [r] ∆rkl − aiq [r]rpj rijk rpql − akl [r] (∆rk )(∆rl ) + n j ri rik r rjl |∂r|2r |∂r|2r Vì E(r) ≥ |∂r|2 akl [r] ri rik rjrjl 2Re rk ∆rk ∆rkl − aiq [r]rpj rijk rpql − (∆rk )(∆rl ) − n − n(n + 1) |∂r|2r |∂r|2r n+1 22 Chương Phương trình Fefferman miền siêu giả lồi ứng dụng E(r) ≤ rik rql |∂r|2 akl [r] 2Rerk ∆rk ∆rkl + aiq rp rj rijk rpql + 2aiq [r] − n(n + 1) |∂r|2 n+1 Do vậy, chứng minh mệnh đề hoàn thành Sử dụng mệnh đề trên, ta nhận hệ sau thực chất chứng minh cho khẳng định (ii) Định lý 2.1 Hệ 2.1 Cho D miền lồi trơn, bị chặn Cn Nếu có hàm xác định đa điều hòa r ∈ C (D) cho 2Re rk ∆rk n − |∂r|2 akl [r] + ∆rkl − aiq [r]rpj rijk rpql − (∆rk )(∆rl ) − > ∂D n + n(n + 1) n+1 (2.18) D siêu giả lồi chặt Chứng minh Nếu ∂D lồi với hàm xác định đa điều hòa chặt r ∈ C (D), ta có kl i j 2 rk ri rik a [r]r rik r rjl − Re − ∂D n+1 n+1 |∂r|2 (n + 1)|∂r|2r (2.19) Vì E(r) + |∂r|2 akl [r] akl [r]ri rik rj rjl = n+1 n(n + 1) × ∆rkl − aiq [r]rpj rijk rpql − (∆rk )(∆rl ) − 2Re rk ∆rk n+1 n−1 = , (2.12), (2.18) (2.19) ta có detH(ρ) > ∂D Điều n+1 n+1 suy ρ đa điều hòa chặt D Bổ đề [14] − 2.3 Các phản ví dụ Trong phần này, ta xét hai ví dụ C2 để chứng minh phần (iii) Định lý 2.1 Để chứng minh tính lồi chặt khơng suy tính siêu giả lồi, ta xây dựng phản ví dụ Với δ = 4−12 , ta chọn hàm δ g(t) := gδ (t) := e− δ−t , t < δ 0, t ≥ δ (2.20) Đặt r(z) = −2Re z2 + |z|2 − 8|z1 |4 g(|z1 |2 ), 23 z = (z1 , z2 ) ∈ C2 (2.21) Chương Phương trình Fefferman miền siêu giả lồi ứng dụng Ví dụ 2.1 Lấy D = {z ∈ C : r(z) < 0} Khi (i) D lồi chặt (ii) Nếu ρD nghiệm phương trình Fefferman, ρD khơng đa điều hịa D Chú ý theo Định lý 2.2 phần (i) miền D không siêu giả lồi, D siêu giả lồi ρ đa điều hịa Chứng minh Ta dễ dàng tính ∂|z1 |4 g(|z1 |2 ) =4|z1 |2 x1 g(|z1 |2 ) + |z1 |4 g (|z1 |2 )2x1 , ∂x1 ∂|z1 |4 g(|z1 |2 ) =4|z1 |2 y1 g(|z1 |2 ) + |z1 |4 g (|z1 |2 )2y1 , ∂y1 ∂ |z1 |4 g(|z1 |2 ) =16|z1 |2 x21 g (|z1 |2 ) + 2|z1 |4 g (|z1 |2 ) + 4(|z1 |2 + 2x21 )g(|z1 |2 ) ∂x21 + 4|z1 |4 g (|z1 |2 )x21 , ∂ |z1 |4 g(|z1 |2 ) =16|z1 |2 y12 g (|z1 |2 ) + 2|z1 |4 g (|z1 |2 ) + 4(|z1 |2 + 2y12 )g(|z1 |2 ) ∂y12 + 4|z1 |4 g (|z1 |2 )y12 , ∂ (|z1 |4 g(|z1 |2 )) ∂(4|z1 |2 x1 g(|z1 |2 ) + |z1 |4 g (|z1 |2 )2x1 ) = ∂x1 ∂y1 ∂y1 =8x1 y1 g(|z1 |2 ) + 16|z1 |2 x1 y1 g (|z1 |2 ) + 4|z1 |4 x1 y1 g (|z1 |2 ); ngồi ra, ta tính 20t2 |g (t)| + 12tg(t) + 4t3 |g (t)| = 4tg(t) + ≤ 4tg(t) tδ t2 (δ + 2δ(δ − t)) + (δ − t)2 (δ − t)4 11δ (δ − t)4 ≤ 47 δ ≤ 4−5 Mặt khác, ta có 18|z1 |4 |g (|z1 |2 )| + 12|z1 |2 g(|z1 |2 ) + 4|z1 |6 |g (|z1 |2 )| ≤ ∂(|z1 |4 g(|z1 |2 )) < , ∂x1 ∂(|z1 |4 g(|z1 |2 )) < , ∂y1 24 Chương Phương trình Fefferman miền siêu giả lồi ứng dụng ∂(|z1 |4 g(|z1 |2 )) < ∂x1 ∂y1 Do đó, D2 r(z) = 2In + D2 (|z1 |4 g(|z1 |2 )) xác định dương R4 Vì vậy, D lồi chặt Hơn nữa, H(r)(0) = I2 Vậy nên detH(ρD )(0) < Tại z = 0, ta có ∂r = −1, rkj (0) = rijk (0) = 0, ∂z2 Bởi (2.10), ta suy ≤ i, j, k ≤ ∂ log J(r) (0) = với ≤ j ≤ Theo (2.13) (2.17), ∂zj ta có r1111 (0) = −32e−1 , E(r)(0) = |∂r|2 32 r1111 = − e−1 6 Do đó, detH(ρD )J(r)2/3 = − 32 − < 6e Suy ρD không đa điều hịa D Để chứng minh tính siêu giả lồi khơng suy tính lồi, ta có phản ví dụ sau Ví dụ 2.2 Cho n ≥ 2, α = 21 (9 − 8α)(1 + α) < C ≤ , ta lấy 20 256 n n zj2 r(z) = |z| + 2Rezn + αRe |zj |4 +C j=1 j=1 đặt D = {z ∈ Cn : r(z) < 0} Khi D siêu giả lồi, D không lồi Chứng minh Tại điểm z = (0, 0, , 0) ∈ ∂D, ta có ∂ ∂ ∂ , vectơ ∂xj ∂yj ∂yn tiếp xúc ∂D với ≤ j ≤ n − Chú ý ∂ 2r = − 2α = −2(α − 1) < 0, ∂yn2 25 Chương Phương trình Fefferman miền siêu giả lồi ứng dụng ta dễ dàng chứng minh hàm ∂D không lồi z = Do đó, ∂D khơng lồi Tuy nhiên, H(r) = In + 4C Diag(|z1 |2 , , |zn |2 ), Diag(|z1 |2 , , |zn |2 ) ma trận đường chéo với phần tử đường chéo |z1 |2 , , |zn |2 Khi ∂ 2r (z) = 4Cδij δkl δik , ∂zi ∂z j ∂zk ∂z l ∂ 3r = 4Cδkl δkj z j , ∂zk ∂z l ∂zj ∂ 2r = (α + 2Cz 2j )δij ∂zi ∂zj Với i, ta tính ri r = , + 4C|zi |2 i n |∂r|2r i = = r ri = i=1 |ri |2 + 4C|zi |2 ∂D, ta có n ∆= i,j=1 ri rj δij − 2 + 4C|zj | (1 + 4C|zi | )(1 + 4C|zj |2 )|∂r|2r ∂2 ∂zi ∂z j Chú ý z ∈ D n n x2j 2xn + (1 + α) yj2 + C + (1 − α) j=1 (x2j + yj2 )2 < j=1 Điều suy 2xn + (1 + α)x2n < ⇔ − Do 2xn + (1 + α)x2n > < xn < 1+α −1 C|zk |4 − (α − 1)|zk |2 < 1+α 1+α (2.22) (2.23) Ta chứng minh (9 − 8α)(1 + α) < C ≤ , 11− 4(n + 1) 256(n + 1) 23 ≥1− − >0 24 25 =1− n ≥ α ≤ 21 Do đó, theo (1.1) Định nghĩa 1.7 (2.12) (2.13), 20 D siêu giả lồi chặt 29 KẾT LUẬN Luận văn trình bày lại kết sau báo [7] • Chứng minh nghiệm phương trình Fefferman miền trơn, bị chặn, giả lồi chặt D Cn đa điều hòa D D miền siêu giả lồi • Luận văn đưa điều kiện cần đủ để miền siêu giả lồi miền lồi Bên cạnh đó, luận văn khái niệm không tương đương cách xây dựng phản ví dụ miền lồi không siêu giả lồi ngược lại D siêu giả lồi không lồi 30 Tài liệu tham khảo [1] S Y Cheng, Eigenvalue comparison theorems and its geometric application, Math Z., 143, 289–297 (1975) [2] S Y Cheng and S T Yau, On the existence of a complex Kă ahler metric on noncompact complex manifolds and the regularity of Fefferman’s equation, Comm Pure Appl Math 33, 507–544 (1980) [3] C Fefferman, Monge-Ampère equations, the Bergman kernel, and geometry of pseudoconvex domains, Ann Math 103, 395–416 (1976) [4] Kenzo Adachi, Several complex variables and integral formular, Nagasaki University, Japan , (2007) [5] L Hormander, An introduction to Complex Analysis in several Variables, D Van Nostrand, Princeton, (1966) [6] J M Lee and R Melrose, Boundary behavior of the complex Monge-Ampère equation, Acta Math 148, 159–192 (1982) [7] S Y Li, Plurisubharmonicity for the solution of the Fefferman equation and applications, Bull Math Sci (2016) 6: 287-309 [8] S Y Li, On the Kăahler manifolds with the largest infimum of spectrum of Laplace-Beltrami operators and sharp lower bound of Ricci or holomorphic bisectional curvatures, Comm Anal Geom 18, 555– 578 (2010) [9] S Y Li, Characterization for balls by potential function of Kă ahler-Einstein metrics for domains in Cn , Comm Anal Geom 13(2), 461–478 (2005) [10] S Y Li, On the existence and regularity of Dirichlet problem for complex Monge-Ampère equations on weakly pseudoconvex domains, Calc Var PDEs 20, 119–132 (2004) 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO [11] S Y Li, Characterization for a class of pseudoconvex domains whose boundaries having positive constant pseudo scalar curvature, Comm Anal Geom 17, 17–35 (2009) [12] S Y Li and H S Luk, An explicit formula Webster pseudo Ricci curvature and its applications for characterizing balls in Cn+1 , Comm Anal Geom 14, 673–701 (2006) [13] S Y Li and M A Tran, Infimum of the spectrum of Laplace-Beltrami operator on a bounded pseudoconvex domain with a Kă ahler metric of Bergman type, Comm Anal Geom 18, 375–394 (2010) [14] S Y Li and X D Wang, Bottom of spectrum of Kă ahler manifolds with strongly pseudoconvex boundary, Int Math Res Notices IMRN 2012(19), 4351–4371 (2012) 32 ... Chương Phương trình Fefferman miền siêu giả lồi ứng dụng 2.1 Hàm đa điều hòa chặt miều siêu giả lồi Kết luận văn chứng minh nghiệm phương trình Fefferman miền trơn, bị chặn, giả lồi chặt D Cn đa điều. .. 1.1 Miền siêu giả lồi 1.1.1 Hàm đa điều hòa Trong phần ta đưa số tính chất hàm đa điều hòa Trước hết ta nhắc lại vài định nghĩa định lý cho hàm đa điều hòa dưới, chứng minh định lý ta xem Kenzo... QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ LỤA TÍNH ĐA ĐIỀU HỊA DƯỚI CỦA NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH FEFFERMAN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã