Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến để khảo sát hàm số

Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến hàm số để giải PT Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến hàm số để giải phương trình Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến hàm số để giải PT  Nội dung  Một số tập ví dụ giải phương trình  Bài tập tự luyện Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến hàm số để giải PT 4x   3x   Bài Giải phương trình:  Giải Điều kiện x  2/3 x 3 x 3 Pt  Vì 4x  3x x t Đặ f(x)2/3  4x  1x  + 3x 32 > Khi 4x   3x  5 , ta phương trình  0 4x  3x  suy hàm số f(x) f '(x)  x 3 , suy hàm số f(x) đồng biến Mà f(2) = 5, phương trình có nghiệm x = Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến hàm số để giải PT 2x   2x x (x  1)2 Bài Giải phương trình:  Giải x Phương 2x   2xtrình (x tương x)  (x  1) đương với:  2x   (x  1) 2x Đặt x  (x  x) (*) f(t) = 2t + t, ta có f’(t) = 2t.ln2 + > nên hàm số f(t) đồng biến (- ∞; +∞ ) Do đó: (*)  x2 – x = x –  x = Vậy phương trình có nghiệm x = Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến hàm số để giải PT x2  x  log3  x  3x  2 2x  4x   Bài Giải phương trình  Giải  Phương trình xác định với x  R  PT  log (x2 + x + 3) – log (2x2 + 4x + 5) = 2x2 + 4x + – (x2 3 + x + 3)   log3(x2 + x + 3) + (x2 + x + 3) = log3(2x2 + 4x + 5) + 2x2 + 4x + (1) f '(t)  1  tln3  Xét hàm số f(t) = log3t + t, với t >  Suy hàm số f(t) đồng biến t >  Từ (1) ta có f(x2 + x + 3) = f(2x2 + 4x + 5) nên  x = -1 x + x + = 2x + 4x +  x + 3x + =    x = -2  Vậy phương trình có hai nghiệm x = -1; x = -2 Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến hàm số để giải PT Bài Chứng minh phương x trình sau khơng có nghiệm âm: x3   Đặt  xác định x R f(x) x    6x  x   0 Giải 6x  x   1 12x   2 6x  x  (12x  1)2 Ta nhận thấy f’’(x) < 12 với với x < 4(6x  x  1) 6x  x  Ta có f '(x) 3x  Vì hàm f(x) đồng biến khoảng(- ∞; 0) mà f(0) = nên f(x) < với mọi x < Vậy phương trình cho khơng có nghiệm âm Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến hàm số để giải PT x  (1  x )3 m  Bài Tìm m phng trỡnh nghim Gii Đặt f(x) x (1  x )  f '(x)  2x  3x  x  x 0 -1 ≤ x ≤  Điều kiện:  5   f '(x) 0     Vậy x  Ta cã f(0) = 1, f(1) = 1, f   có   23   27 để phương trình có nghiệm thì: 23/27≤ m ≤1 Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến hàm số để giải PT 33 x  x  2m 0  Bài Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt  Giải  Phương trình viết thành: 3 x  x 2m  Đặt x 0 3 , f(x)  x  x f '(x)    f '(x)     Ta có f(0) =20, f(-1) = 1/2 x x    Ta lập bảng biến thiên x -  Từ bảng biến thiên, suy để phương trình có nghiệm phân biệt, ta có 0 + -1 f’ ( < 2m < 1/2  < m < 1/4 - + + Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến hàm số để giải PT Bài Tìm tất giá trị m để phương trình:  có nghiệm thuộc nửa khoảng [32; + )  Giải2 log x  2log2 x  m(log2 x  3) Phương trình tương đương với:2 Đặt t = log x, ta có x ≥ 32  t ≥ Khi PT trở thành: Iog22 x  Iog x  m(Iog4 x  3) t 1 t  2t  m(t  3)  m  m 0 t t 1 Xét hàm số với t  f5 '(t) Ta  có  f(t)  (t  3) [5; + ), suy t nên hàm số f(t) nghịch biến nửa khoảng  f(t)  f(5) = t 1 lim f(t)  lim 1  Lại có t  t  t  Vậy để phương trình cho có nghiệm thuộc [32; 1 m  3) + Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến hàm số để giải PT  Bài  x   x  (1  x)(8  x) a Cho phương trình  a Giải phương trình với a =  b f(x)   x   x  (1 x)(8  x) Xác định tham số 2xa 7để phương 1 Ta có f'(x) =   1+x 8-x trình có8 nghiệm -x 1+x   (1  x)(8  x)  2x  (1 + x)(8 - x) (1  x)(8  x) (8 - x) -  (1  x)  2x    (1 + x)(8 - x).( - x  + x ) (1  x)(8  x) Giải  Xét hàm số với -1≤ x ≤   2x   1      (1 + x)(8 - x).( - x  + x ) (1 + x)(8 - x)   7 f '(x) 0  x  vµ f(  1) 3, f(8) 3, f   3  2  2 Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến hàm số để giải PT  Bài  Vậy (tt) max -1  x  f(x) = + min-1≤ x ≤ f(x) =  a 3   a  x  f(x) 3    x 8 Với a = Phương trình tương đương với  b Phương trình f(x) = a có nghiệm Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến hàm số để giải PT  Bài Có Tìm tất2 giá trị m để phương trình: log2 (x  2x + 5) - mlog(x2  2x + 5) = (1) hai nghiệm thỏa mãn bất phương trình: log (x  1)  log (x  1)  log3  Giải Bất phương trình (2) tương đương với hệ (2) x 1  x  x     log   12(x x > 0, nên Đặtf(x) =  f’(x)  xx21- 2x + 35 với x x 1 (1; 3) = -1) x  log  x    x   hàmsố f(x)  đồng  biến khoảng (1; 3) Ta có f(1) = 4, f(3) =  < f(x) < Đặt t = log (x2 – 2x + 5)  log < t < log  < t < 2 Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến hàm số để giải PT Bài (tt) m Khi t  5 phương  t  5t m trình (1) trở thành t  Ta có f(t)= t2 – 5t với t  (2; 3) f’(t) = 2t -  f’(t) =  t = 5/2  Mặt khác f(2) = - 6, f(3) = - 6, f(5/2) = 25/4  Vậy để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn (2) thì: -25/4 < m < -6 Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến hàm số để giải PT x x  73  7   a     8   Bài 10 Cho phương trình  1 Giải phương trình a = 2 Biện luận theo a số nghiệm phương trình  Giải x Đặt   3thì5 phương trình cho trở thành t       a Khi ta= 7, 8ta  có t  phương 8t  a 0trình t2 - 8t + = có hai nghiệm t = t 1, t = Suy phương trình cho có hai nghiệm x 0, x log73 Số nghiệm phương trình cho số nghiệm dương phương trình: -t2 + 8t = a Xét biến thiên hàm số f(t) = -t2 + 8t, Ta có f’(t)= -2t +8  f’(t)=  t = Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến hàm số để giải PT  Bài 10 (tt)  Bảng biến thiên: t + f’( + ta có kết quả: t)> 160thì phương trình- vơ nghiệm  Nếu a  Nếu a = 16 a < phương trình có nghiệm f(t 16  Nếu 0)≤ a < 16 phương trình có hai nghiệm phân biệt  Từ Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến hàm số để giải PT Bài 11 Tìm tất cảc giá trị m để phương trình:  (x - 2)log24(x - 2) = 2m(x – 2)3 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãnx1, x 4 Giải Phương trình cho biến đổi thành log 4(x - 2).log (x - 2) = m + 3log (x - 2) (1) 2 Đặt t = log2(x – 2) (1) trở thành t2 – t = m (2) Phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn  x , x   x  2 Khi PT(2) có hai nghiệm phân biệt t , t thỏa – ≤ t 2 mãn , i t2 ≤ Đặt f(t) = t2 – t với – ≤ t ≤ 1, ta có f'(t) = 2t -  f'(t) =  t =  Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến hàm số để giải PT  Bài 11 (tt)  Bảng biến thiên: t -1 1/2 f’( t) + f(t  Từ ) ta có kết quả: - 1/4 < m ≤ 0 Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến hàm số để giải PT Bài x  4x 3 12 Với m   giá trị4 = m - m + 5 phương trình có 4 nghiệm phân biệt  |x - 4x + 3| = log (m4 - m2Giải + 1) = a  Do m4 – m2 + > với m, nên phương trình cho tương đương với PT: Để PT có nghiệm  x  4x  phân nÕu xbiệt, 1hcđiều x 3 kiện cần y = |x - 4x + 3| =   3) Õu đồ x 3thị hàm số y = | đủ đường thẳng a ncắt  (x y4x=  43| nÕu x  1, x điểm 2x+ x2 –y ' 4x phân biệt Ta có      (2x  4)nÕu  x  Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến hàm số để giải PT  Bài 12 (tt)  Ta có bảng  Từ suy PT có nghiệm phân biệt < a < Khi ta có: m4  m2  < log (m  m  1) <  < m  m  <   5m  5m    Vậy m2 thì để PT phân biệt < |m| < 1 đã2 cho có nghiệm 2  m  m <  m (m  1) <    < |m| < m   Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến hàm số để giải PT Bài 13 Tìm tất giá trị m để phương trình sau có nghiệm  x4 – (m – 1)x3 + 3x2 – (m – 1)x + =  Giải Ta thấy x = nghiệm, chia hai vế PT cho x2 ≠ 1 x + (m 1)(x + )+3=0 ta được: x x2 t x  t 2 x ' Đặt phương trình 2trên trở thành t  t 1 t - (m - 1).t + =  = m v íi |t|  (*) t Phương trình cho có nghiệm PT(*) có nghiệm t với |t| ≥ 2, điều tương đương với đường thẳng y = m cắt đồ t + t +1 f(t) = thị hàm số t tại điểm có hồnh độ t với |t| ≥  .. .Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến hàm số để giải PT  Nội dung  Một số tập ví dụ giải phương trình  Bài tập tự luyện Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến hàm số để giải PT 4x...  Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến hàm số để giải PT  Bài 11 (tt)  Bảng biến thiên: t -1 1/2 f’( t) + f(t  Từ ) ta có kết quả: - 1/4 < m ≤ 0 Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến hàm số để. .. trình  0 4x  3x  suy hàm số f(x) f ''(x)  x 3 , suy hàm số f(x) đồng biến Mà f(2) = 5, phương trình có nghiệm x = Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến hàm số để giải PT 2x   2x x (x