Từ bài toán trong tam giác đến các bài toán tứ diện trong không gian

MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1 1 2 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng ngiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục,với thân, đồng nghiệp nhà trường KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 3.1 Kết luận 3.2 Kiến nghị Tài liệu tham khảo Các SKKN Sở GD&ĐT Thanh Hóa xếp loại 15 16 16 17 18 19 PHẦN 1: MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Xu dạy học đại dạy học theo phương pháp kiến tạo Người ta gọi lý thuyết tình dạy học cách tổ chức hoạt động Trong hoạt động dựa vào tri thức biết để xây dựng tri thức kiểu giải tập tương tự hoạt động phù hợp cần thiết Trong q trình dạy học tốn, học sinh phổ thông nhận thấy thường phải phân tích, phán đốn hướng giải tốn, liên hệ tốn với tốn quen thuộc, đơn giản để có hướng giải tương tự, ngược lại học sinh khá, giỏi lại từ tốn đơn giản sâu phân tích, mở rộng, phát triển thành toán Đặc biệt chương trình hình học THPT, việc khai thác liên hệ không gian hai chiều không gian ba chiều giúp học sinh giải nhiều vấn đề toán học phù hợp với nhiều đối tượng học sinh, với nhiều mức độ kiến thức khác nhau, nội dung kiến thức xuất nhiều kì thi: Khảo sát chất lượng, thi Học sinh giỏi cấp, thi THPT Quốc gia, Việc sử dụng phương pháp giải tốn hình học phẳng để giải tốn hình học khơng gian tương tự mở rộng số toán phẳng sang tốn khơng gian giúp hoạt động giảng dạy học tập mơn hình học đạt hiệu cao Hình học khơng gian mơn học khó, đa số học sinh ngại học, khó để gây hứng thú cho học sinh Hiện chưa có tài liệu nghiên cứu bàn sâu vào vấn đề liên quan tam giác tứ diện Các đồng nghiệp chưa tìm hướng giải quyết, khắc phục dạy học liên quan đến tốn tứ diện khơng gian để học sinh hứng thú học tốt phần Với lý chọn nghiên cứu đề tài: “Từ toán tam giác đến tốn tứ diện khơng gian” tơi trình bày số tốn chun biệt (theo đề tài) mà khai thác giảng dạy mơn hình học khơng gian khối 11 12 bồi dưỡng học sinh khá, giỏi 1.2 Mục đích nghiên cứu Qua nội dung đề tài mong muốn cung cấp cho học sinh phương pháp tương tự hóa hình học nói riêng mơn tốn nói chung số kỹ thông qua việc phát mối quan hệ tốn hình học phẳng tốn hình học khơng gian Học sinh thơng hiểu trình bày tốn trình tự, logic, không mắc sai lầm tư biến đổi Hy vọng đề tài nhỏ đời giúp bạn đồng nghiệp em học sinh có nhìn tồn diện phương pháp giải lớp tốn hình học 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Bài tốn hình học phẳng - Bài tốn hình học khơng gian 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu loại tài liệu sư phạm có liên quan đến đề tài - Phương pháp quan sát (công việc dạy- học giáo viên HS) - Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chuyên môn,…) - Phương pháp đàm thoại vấn (lấy ý kiến giáo viên HS) - Phương pháp thực nghiệm PHẦN 2: NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Nhiệm vụ trung tâm trường học THPT hoạt động dạy thầy hoạt động học trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Giúp học sinh củng cố kiến thức phổ thơng đặc biệt mơn tốn học cần thiết thiếu đời sống người, hình học nội dung quan trọng khó với kiến thức rộng, đa phần em ngại học mơn Muốn giải tốn ta thường thực bước: Huy động kiến thức tổ chức kiến thức Huy động kiến thức thao tác tư nhằm tái kiến thức có liên quan với tốn, từ lý thuyết, phương pháp giải, tốn gặp Do người làm tốn phải biết cần phân tích ý tưởng: ta gặp toán gần gũi với kiểu toán hay chưa ? Polia viết sách với nội dung: “Giải toán nào” ơng có đề cập đến nội dung điều kiện thiết yếu Phương pháp tương tự hay tổng quát hóa thao tác tư cần thiết cho người làm toán (tương tự tốn học cần hiểu rộng có tính chất giống nhau, mơ hình giống nhau, mối quan hệ giống nhau…như đường thẳng mặt phẳng mặt phẳng không gian tương tự…tam giác tứ diện, đường tròn mặt cầu…là tương tự) 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Học sinh thường lúng túng trước toán hình khơng gian mặt: vẽ hình, chưa hiểu rõ khái niệm, định lý, liên quan đặc biệt không nhớ hay phát tốn tương tự Học sinh thường khơng nhận hình khơng gian có tốn tốn tốn khác (ví dụ: cắt góc khối chữ nhật ta có tứ diện vng, cắt tứ diện vng ta có tứ diện tùy ý hay bổ sung tứ diện ta hình hộp…) Học sinh thường suy nghĩ hay giải từ toán liên quan theo dạng (các loại tứ diện, hình chóp, hình hộp, cách chứng minh vng góc hay song song…) mà khơng để ý xa có tốn hình phẳng tương tự giải tốn Học sinh suy nghĩ từ đâu ta đề toán này, chưa hứng thú với mơn học Cũng thầy cô chưa trọng rèn luyện cho học sinh, hay phương pháp truyền đạt kiến thức chưa tốt làm giảm nhận thức học sinh Trước tơi thực đề tài kết kiểm tra mơn hình học khơng gian học sinh lớp 11, 12 hai năm học liên tiếp trường THPT Quảng Xương thể qua bảng sau: Năm học 2015-2016 2016-2017 Điểm trở Điểm từ đến Điểm Lớp Tổng lên số Số Số Số Tỷ lệ Tỷ lệ Tỷ lệ lượng lượng lượng 11C2 46 17 % 18 39 % 20 44 % 12B2 45 18 % 19 42 % 18 40 % 11A2 42 21 % 17 40 % 16 39 % 12C2 46 20 % 20 43 % 17 37 % 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Các giải pháp: Trong giảng dạy thực sau: - Dùng hệ thống câu hỏi gợi ý phương pháp tìm tịi lời giải phương pháp chứng minh kỹ thuật tương tự - Khai thác, phát triển tính chất tốn hình phẳng, tốn hình khơng gian tương tự - Ra đề tốn theo hướng mở với kiểu câu phát sáng tạo (ví dụ: em thử nghĩ kết mở rộng khơng gian có tính chất hay khơng) 2.3.2 Nội dung: Tơi xin trình bày 15 toán 10 tập kiểm tra, để áp dụng cho nhiều đối tượng khai thác toán q khó lớp đối tượng áp dụng chun đề bị thu hẹp Bài toán 1: Bài 1a Cho ABC vng A có đường cao AH Chứng minh a) BC2 = AB2 + AC2 (Pytago) b) AH 2AB12 AC12 Bài 1b [1] Cho tứ diện vuông OABC có đường cao OH a) S2ABC SOAC2 SOAB2 SOCB2 b) OH 2OA OB OC Nhận xét: Bài quen thuộc không nêu cách giải Có thể đề cho học sinh trung bình sau giúp em nhận dạng tương tự bước đầu Bài 1c [4] Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, AD = b, AA' = c a) Tính độ dài đường chéo AC' b) Tính khoảng cách từ đỉnh A', B, D đến AC' c) Gọi , , góc tạo đường chéo AC' cạnh AD, AB, AA' Tính tổng S = cos2 + cos2 + cos2 (hay chứng minh S = 1) Đáp số a) AC'2 = a2 + b2 + c2 b) Gọi x, y, z khoảng cách từ A' đến AC… c a b2 Tương tự x.AC' cA 'C' x a b c2 y b a2 c2 , z c a2 b2 a2 b c2 a2 b c2 c) Đặt d = AC' dcos = a, dcosb = b, dcos = c dùng lại kết phần a S = Bài toán 2: Bài 2a Gọi M điểm tùy ý nằm ABC cạnh a Hạ MH, MI, MK vng góc với cạnh BC, CA, AB Chứng minh: S = MH + MI + MK khơng phụ thuộc vào vị trí M Bài 2b [6] Gọi M điểm tùy ý nằm tứ diện ABCD Hạ MH, MI, MK, ML vng góc với mặt tứ diện (H, I, K, L thuộc mặt đó) Chứng minh: S = MH + MK + MI + ML không phụ thuộc vào vị trí M Cách giải: 2S a)S MH MK MI ML MBC 2S MAC a a (đpcm) (AH đường cao ABC) 3V b) S MH MI MK ML MBCD S S 2S MAB ABC a a 3V 3V S S MABC BDC BDC AH a ABCD AH BDC a không đổi (AH đường cao) Nhận xét: Bài 2a: Có thể mở rộng cho đa giác Bài 2b: Có thể mở rộng cho tứ diện hay tứ diện ABCD gần (AB=CD=a; AC = BD = b; AD = BC = c) hay khối đa diện Học sinh làm quen với tỉ số diện tích, thể tích có chung mẫu số Bài toán 3: Bài 3a M điểm tùy ý nằm ABC Gọi MH, MI, MK khoảng cách MH MI MK từ M đến cạnh tam giác Chứng minh BC AC AB Bài 3b [4] M điểm tùy ý nằm tứ diện ABCD Gọi x,y,z,t khoảng cách từ M đến mặt đối diện đỉnh A,B,C,D ha, hb, hc, hd đường x cao tứ diện Chứng minh: h a y h b z t h c h d Nhận xét: Đây tốn dựa vào kết ta phát triển khai thác nhiều kiểu đề khác Bài toán 4: Bài 4a [5] M điểm nằm tam giác Hãy tìm vị trí M để thấy tổng khoảng cách từ M đến cạnh lớn nhất, nhỏ Bài 4b [6] M điểm nằm tứ diện Hãy tìm vị trí M để tổng khoảng cách từ M đến mặt lớn nhất, nhỏ Cách giải: 1 1 4a) x.BC AC z.AC ha.BC Giả sử AB < AC < BC tương ứng < hb < hc Lúc x y z hc 4b) h xyzth Tương tự a d Bài toán 5: Bài 5a [5] Cho điểm M nằm ABC, AM, BM, CM cắt BC, CA, AB A1,B1 ,C1 Chứng minh: MA MB MC 1) 3) 1 AA1 BB1 CC1 MA 5) MA 2) MB MB MC MC 4) MA MB MC 1 6) AA1 BB1 CC1 7) Tìm GTNN P MAMBMC MB1 MC1 MA1 AA BB CC 1 MB1 MC1 MA MB MA1 MC MA1 MB1 MC1 27 AM MA1 BM CM MB1 MC1 Bài 5b [3] Điểm O nằm tứ diện ABCD, AO, BO, CO, DO cắt mặt tứ diện A1, B1, C1, D1 Chứng minh OB OC OA OB OC OD OA 1) AA 2) AA BB CC DD BB CC 1 AA 1 1 1 BB CC 1 3) OA OB OC OD OA1 OB1 OC1 OD1 5) OA1 OB1 OC1 OD1 OA OB OC OD 7) OA OB OC OD 81 1 DD 16 1 1 1 AA BB CC DD 9) AO BO CO DO 1 Lời giải: MH' S AH S MA 5a) 1) AA Tương tự VT 2) MA1 MA OA OB OC OD 12 OB OC OD 1 1 OA1 1 1 1 1 1 1 OB1 OC1 OD1 OB1 OC1 OD1 S S S3 S S S3 S SS S2 S3 côsi cho cặp nghịch đảo VT 3) Khai thác bất đẳng thức bất đẳng thức Nétbit 4) 5) 6) 7) Dùng bất đẳng thức Côsi OA V VT VVVV 5b) 1) AA V V 1 BB CC DD 16 OB OC OD BB CC DD OB OC OD 256 S 1 ABC S A 1M AA1 AA MBC S 1 4) OA AA 6) OA AA 8) OA 10) DD OA1 81 S 1 256 OD 1234 2)OA1 AA AA1 OA1 AA V V2 V V2 V3 V4 V 3(V1 V2 V3 V4 ) V 3) 4,5,6,7,8,9,10: Tương tự khai thác bất đẳng thức Đại số cho số không âm Nhận xét: + Đây tốn có nhiều hệ + Việc khai thác bất đẳng thức đại số cho số khơng âm (diện tích, thể tích) giúp ta có nhiều tập hay tổng hợp tồn diện Bài tốn 6: Bài 6a [5] Cho ABC Đường thẳng qua trọng tâm G cắt cạnh AB AC B',C' Chứng minh: AB AC AB' AC' Bài 6b [2] Cho tứ diện ABCD Mặt phẳng ( ) qua giao điểm trọng tuyến G cắt AB, AC, AD B', C', D' Chứng minh: AB AC AD AB' AC' AD' Cách giải: a) Hạ BI, CK, ME, AF vng góc với đặt BI = x, CK = y, AF BB' x = z Ta có AB' z AB' AB AC x z y z AB' AC' z x y AB x z AC y z Tương tự: z AC' z x y ME Mà z AF (tính chất trọng tâm) AB AC ME AF Z x y AB' AC' b) Cách giải tương tự trên, nhiện đề TRỌNG TUYẾN Khái niệm cần phải giải thích cho học sinh chứng minh tính chất nên ta đưa tốn sau hồn tồn tương tự Cho hình chóp SABC G trọng tâm ABC Mặt phẳng ( ) qua điểm G' SG cắt SA, SB, SC A', B', C' SA SB SC SG Chứng minh: SA ' 3SG SB' SC' ' Cách giải: Ta quen với toán tỉ số thể tích nên cách giải sau: Đặt Ta có : V x SA , y SB , z SC , t SG SA' SB' SC' SG' V V x.y.z ; V SA'B'C' SABG V Cộng đẳng thức V Mặt khác ta có: y.z.t ; SB'C'G' V SBCG SA'B'C' SACG (vì VSABG VSBCG V SABC ) SABC V x.z.t SA'C'G' SA'B'C' (xy yz zx).t V V (**) Từ (*) (**) đpcm (x + y + z = 3t) xyz SABC SG * Trường hợp đặc biệt G' giao điểm trọng tuyến SG ' SA SB SC SA ' SB' SC' Thỏa toán Bài toán 7: Bài 7a [5] Cho ABC M điểm nằm tam giác Đặt S1 = SMBC, S2 = SMCA, S3 = SMAB Chứng minh: S1 MA S2 MB S3 MC O Chứng minh: Với điểm I ta ln có: S1 IA S2 IB S3 IC SABC IM Bài 7b [6] Cho tứ diện ABCD, M điểm nằm tứ diện ký hiệu Vi(i 1,4) thể tích khối MBCD, MACD, MABD, MABC Chứng minh: V1 MA V2 MB V3 MC V4 MD O Chứng minh: Với điểm I ta ln có: V1IA V2 IB V3IC V4 ID VABCD IM Cách giải: A 'C A ' B a) AM cắt BC A'; MA ' MB MC BC BC S S S S A 'C MA'C MAC Mà A 'C 2 A' B S MA'B S MA ' S MAB S S3 MB BC MC S2 S3 S3 S2 S MA ' Ngoài MA' MA S S SS 3 (1) S1 (2) MA S S Thế (2) (1) S1 MA ' S2 MB S3 MC (đpcm) b) (*) S1(IA ' IM) S2 (IB IM) S3 (IC IM) O S1 IA S2 IB S3 IC (S1 S S3 )IM (đpcm) AM cắt mp (BCD) H Đặc S2 = SCJD ; S3 = SBDJ; S4 = SBCJ Theo SBCD MJ S2 MB S3 MC S4 MD (1) Dễ dàng chứng minh được: (2) S2 S S h V2 V3 V4 (3) (1), (2) (V2 V3 V4 )MJ V2 MB V3MC V4 MD Ta có : MA V2 V3 V4 (4) MJ V1 Từ (3), (4) V1MA V2 MB V3MC V4 MD O b) (a) V1 IA IM V2 IB IM V3 IC IM V4 ID IM O đpcm Nhận xét: Diện tích thay thể tích tốn tâm tỉ cự Bài tốn 8: Bài 8a [5] Cho ABC có BC = a, CA = b, AB = c Chứng minh điểm I thỏa mãn hệ thức a IA bIB c IC O I tâm đường trịn nội tiếp ABC Bài 8b [3] Cho tứ diện ABCD với I tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện Đặt Sa = SBCD , Sb = SACD, Sc = SABD, Sd = SABC Chứng minh: Sa IA Sb IB Sc IC O Cách giải: 8a) aIA b IBAI c IC AI (a b c)AI bAB cAC (1) Hay I phân giác AD tương tự I phân giác BE đpcm 8b) DI (ABC) = H Mặt phẳng (DAI) mp(DAH) cắt BC M M nằm mặt phân giác mặt phẳng (BAD) (CAD) MB SAMB VDAMB VMDAB SDAB SC d(M, DCD) = d(M, (DAB)) MC S AMC V DAMC V MDAC S DCA B S MC SMB SMC O b c Sb Sb IB Sc IC Sb Sc IM (1) Gọi M giao điểm IM AD Tương tự: Sd ID Sa IA Sd Sa IM' (2) M BC Từ (1), (2) MB S c Sa IA Sb IB Sb IC Sd ID Sb Sc IM Sd Sa IM' Mà I, M, M' thẳng hàng X kMM ' Lý luận tương tự với N, N' điểm AB, CD, P P' điểm BD, AC ta X lNN ' , X hPP ' Mà MM', NN',PP' không đồng phẳng X O đpcm Nhận xét: Kiểu đề khác ý tưởng tương tự thể kỹ thuật chứng minh Ngồi ví dụ đưa phương pháp chứng minh vectơ véc tơ không Bài toán 9: Bài 9a Cho ABC, M điểm nằm tam giác Chứng minh: aMA + bMB + cMC 4SABC Bài 9b [6] Cho tứ diện ABCD M điểm nằm tứ diện Gọi S a, Sb, Sc, Sd diện tích mặt đối diện tương ứng đỉnh A,B,C,D Chứng minh: Sa.MA + Sb.MB + ScMC + SdMD 9VABCD Cách giải: b)Gọi Vi(i 1, 4) thể tích khối tứ diện MBCD, MACD, MABD, MABC ta có AA1 MA + MA2 VABCD 3Sa MA V1 Tương tự cho bất đẳng thức cịn lại Ta có VABCD Bài toán 10: Bài 10a [3] 3Sb.MB V2 đpcm Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G (hay GA GB GC GD O mặt phẳng (P) không cắt tứ diện Gọi A 1, B1, C1, D 1, G1 hình chiếu vng góc A, B, C, D (P) Chứng minh: AA1 + BB1 + CC1 + DD1 = 4GG1 * u cầu học sinh tìm tốn tương mặt phẳng Cách giải: Gọi M, N trung điểm AB, CD M1, N1 hình chiếu chúng (P) Ta có GM GN 2GM 2GNGA GB GC GD O (Vì G trọng tâm) GM GN G trung điểm MN Do mặt phẳng (P) khơng cắt tứ diện nên hình thang ABB1A1, CDD1C1, MNN1M1 có đường trung bình tương ứng MM1, NN, GG1 đó: AA1 BB1 CC1 DD1 GG1 MM1 NN1 2 AA1 BB1 CC1 DD1 (đpcm) Bài 10b [5] Bài toán tương tự là: Cho ABC có trọng tâm G đường thẳng d không cắt cạnh tam giác Gọi A 1, B1, C1, G1 hình chiếu A,B,C,G Chứng minh AA' + BB' + CC' = 3GG' Cách giải:  Giải vectơ đơn giản  Giải cách vẽ thêm MM1 với M trung điểm BC M1 hình chiếu M d Bài toán 11: Bài 11a Chứng minh rằng: Trong ABC ta có: 1 1 h r hb c (r bán kính đường trịn nội tiếp, hi: đường cao tương ứng) Bài 11b Chứng minh rằng: Trong tứ diện ABCD ta có: 1 1 r h a h b h c hd (r bán kính mặt cầu nội tiếp hi đường tròn cao tương ứng từ đỉnh tứ diện) Nhận xét: + Lời giải đơn giản dựa vào tỉ số diện tích thể tích + Đây tốn để khai thác toán bất đẳng thức hay cực trị + Đối với tam giác hay tứ diện cần nhớ : r 1 h a) r h hay h b) r h hay r + Khai thác 11 ta có sau Bài tốn 12: Bài 12a Cho ABC Gọi ha, hb, hc, r độ dài đường cao, bán kính h h h 9r đường trịn nội tiếp tam giác Chứng minh: a b c Bài 12b Cho tứ diện ABCD gọi hi (i 1,4) , r độ dài đường cao bán kính mặt cầu nội tiếp tứ giác Chứng minh h1 + h2 + h3 + h4 16r Bài toán 13: Bài 13a [5] Cho ABC M điểm tùy ý tam giác Hạ MA1, MB1, MC1 vng góc với BC, AC, BC Chứng minh: BC AC AB C MA MB MC r (C: chu vi ABC, r bán kính đường tròn nội tiếp ABC) Bài 13b [6] Cho tứ diện ABCD, M điểm tùy ý tứ diện Hạ Hạ MA1, MB1, MC1, MD1 vng góc với mặt phẳng đối diện với đỉnh A,B,C,D Chứng minh: S S BCD S CDA S DAB S ABC MA1 MB1 MC1 MD1 r (S diện tích tồn phần tứ diện, r bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện) Cách giải: BC AC AB a) BC.MA1 AC.MB1 AB.MC1 BC AC AB MA1 MB1 MC1 (2p)2 biết S = pr đpcm Hay: T.2S b) Tương tự T(3V1 + 3V2 + 3V3 + 3V4) S2 S S BCD S CDA DAB S ABC S T 3V S2 , ta lại có V Sr (đpcm) MA1 MB1 MC1 MD1 r Bài toán 14: Bài 14a Cho ABC có BC = a, CA = b, AB = c Gọi M điểm nằm tam giác Gọi khoảng cách từ M đến A,B,C Ra, Rb, Rc da, db, dc khoảng cách từ M đến BC, CA, AB Chứng minh: dadbdc S a S S a S S S a R R R a 8b c (trong S1 = SMBC, S2 = SMAC, S3 = SMAB , S = SABC) Bài 14b [3] Cho tứ diện A1A2A3A4 Gọi M điểm nằm tứ diện Gọi M điểm nằm tứ diện Gọi Ra, R b, Rc , Rd khoảng cách từ M đến đỉnh, da, db, dc, d d khoảng cách từ M đến mặt Gọi V, S i thể tích tứ diện, diện tích mặt đối diện đỉnh Ai Chứng minh dddd Ra Rb RcRd 81 a b c d (*) Cách giải: Bài 14a Vẽ AH BC Ta có Ra + da aRa aha – ada = 2S – 2S1 (1) Tương tự bRb bhb – bdb = 2S – 2S2 (2) cRc chc – cdc = 2S – 2S3 (3) Từ (1)(2)(3) abcRaRbRc (2S – 2S1)(2S – 2S2)(2S – 2S3) (4) Kết hợp với (2S – 2S1) VP(4) 8abc.d d d a b c bdb + cdc bcdbdc (5) Từ (4) (5)đpcm Bài 14b Trong không gian thay cạnh diện tích diện tích thể tích ta kết (*) Nhận xét: Ta khai thác toán theo tổng khoảng cách Ra, Rb, Rc sau: 10 Bài 14c [4] Cho tứ diện A1A2A3A4 Gọi M điểm nằm tứ diện Gọi M điểm nằm tứ diện Gọi Ra, Rb, R c, Rd khoảng cách từ M đến đỉnh, da, db, dc, dd khoảng cách từ M đến mặt Chứng minh: Ra Rb Rc Rd da db da dc da dd db dc db db dcdd Cách giải: Ta biết d a h a d h b b d d h h c c (1) d d Theo Bunhiacốpxki ta có: da db dc dd da db dc dd (2) hb hc hd h b h c h d Từ (1) (2) h b h c h d d a d b d c d d di d j Ngoài Ra + da Chú ý dấu = xảy M thuộc đường cao tứ diện cách đỉnh nên M tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện trực tâm ABCD Bài toán 15: Học sinh giải 15a tìm cách đề giải tốn tương tự không gian Bài 15a [4] Trong ABC lấy điểm M Gọi h a, hb, hc khoảng cách từ M đến BC = a, AC = b, AB = c Tìm vị trí điểm M để tích h ahbhc đạt giá trị lớn tính giá trị theo a,b,c Cách giải: 2S Dễ thấy aha + bhb + chc = 2S h h bh c 8S 27abc aha bhbchc (Côsi) p(p a)(p b)(p c) 27abc a (Dấu = xảy aha = bhb M thuộc trung tuyến CM, tương tự M trọng tâm ABC) Bài 15b Trong tứ diện ABCD Tìm vị trí điểm M để tích khoảng cách từ đến mặt tứ diện lớn Tính GTLN theo diện tích mặt thể tích tứ diện Kết quả: Trong tập trình bày tơi thể giải tốn phương pháp tương tự, kể cách lật ngược vấn đề dự đoán đề phương pháp chứng minh tương tự Sau xin đưa thêm tập mà thực để kiểm tra chuyên đề cho loại đối tượng A Cho học sinh 11 Bài tập 1: [2] Cho hình chóp SABC Trên tia SA,SB, SC lấy điểm A', B', C' Chứng minh: VSA'B'C' SA'.SB'.SC' VSABC SA.SB.SC Bài toán dẫn dắt hệ thống câu hỏi 1) Tương tự toán mặt phẳng tốn nào? Hãy chứng minh 2) Khi tính thể tích khối tứ diện V Bh em sử dụng cách tính từ đường cao ? Nhận xét: Bài toán phẳng là: Cho SAB, tia SA, SB lấy điểm A', B' Chứng minh: S SA'B' SA'.SB' SSAB SA.SB Câu hỏi giúp em có lời giải Bài tập 2: [1] Cho tứ diện vuông OABC a b c a) Dựng đường cao OH tứ diện Chứng minh: OA OB OC ( a,b,c khoảng cách từ H đến mặt (OBC), (OAC), (OAB) ) 2 b) Gọi , , góc tạo hởi OH cạnh OA, OB, OC Chứng minh: cos cos cos2 + Đây tốn quen thuộc sách tập hình học 11 Sau đưa tốn sau Bài tập 3: [4] Cho tứ diện vuông OABC M điểm thuộc mp (ABC) 1) Dựng A1, B1, C1 hình chiếu M cạnh OA, OB, OC OA OB OC OA OB OC Gọi ', ', ' góc tạo OM mặt phẳng OBC, OCA, OAB Chứng minh: a) cos2 cos2 cos2 b) cos2 ' cos2 ' cos2 ' 3) Chứng minh: SOAB 4) Chứng minh: OA12 SOBC SOCA OB12 2 OH OC1 2OH2 2R 5) Chứng minh: r 3(1 3) Nhận xét: 1) Đa số học sinh dựng hình, chứng minh câu 2, câu 4, câu Rất nhiều học sinh làm phần chứng minh câu 2) Gợi ý tỉ số diện tích học sinh giải câu 3) Câu khó học sinh có tính OH a2b2c2 a2 b2 b c2 c2 a2 12 SOAB, SOAC, SOBC nên em liên hệ làm 4) Câu có học sinh làm tích * Cần tích được: R a2 b c2 abc 2R r khó khăn a2 b2 b c2 c2 a2 r ab bc ca * Ta có a2 b c 36 a2 b2 c2 ; ab bc ca 36 a2 b2 c2 a2 b2 b c2 c a2 36 a4 b4 c4 2R 3(1 3) r * Để giúp học sinh chứng minh đưa toán sau: Bài tập 3’: Cho OAB vng O, M AB, A1, B1 hình chiếu M OA, OB OA OB 1 a) Hãy chứng minh T OA OB không phụ thuộc vào vị trí M b) Hãy mở rộng tốn không gian Khi phương pháp chứng minh tỉ số đoạn thẳng cạnh AB chắn định hướng tỉ số diện tích mặt phẳng ABC mà khơng theo hướng tỉ số thể tích * Khai thác tính chất tổng hợp tứ diện vng 1r 1 1 2 2 h a b a b c h (1) (2) c Tơi có tốn sau: Bài tập 4: [3] Cho tứ diện vng OABC có OA = a, OB = b, OC = C, r bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện Chứng minh: 1 1 33 r a b c a b c Cách giải: 1 1 Dễ thấy cần chứng minh 3 (2) 33 (3) 2 2 a2 b c a b c h h a b c (4) Từ (3)(4) (đpcm) (Côsi) (a b c ) 93 a2 b2 c2 B Cho học sinh giỏi: Tôi đưa toán sau : Bài tập 1: Bài 1a [5] Cho ABC nhọn Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Các đường thẳng AO, BO, CO cắt cạnh đối diện A 1, B1, C1 Chứng minh AA1 BB1 9R CC1 Câu hỏi đưa ra: Bài tốn 5a có liên quan đến hay không ? 13 Khi M trùng với tâm đường trịn ngoại tiếp qui MA, MB, MC R hay khơng ? Các em có ý số bất đẳng thức ? Em cho biết tốn tương tự khơng gian Học sinh đưa Bài 1b Cho tứ diện ABCD Gọi O tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện (O) nằm tứ diện Các đường thẳng AO, BO, CO, DO cắt mặt đối diện 16R A1, B1, C1, D1 Chứng minh: AA1 BB1 CC1 DD1 Bài tập 2: Bài 2a Cho ABC, gọi a, b, c, ma, mb, mc độ dài cạnh độ dài đường trung tuyến ABC Chứng minh: m a2 m 2b m c2 (a b c ) Bài 2b Cho tứ diện ABCD Gọi (i 1, 6) độ dài cạnh ma, mb, mc, md độ dài trọng tuyến tứ diện Chứng minh: m2 m2 a m2 b 46 m2 c ai2 d * Nhận xét Lời giải quen thuộc Khai thác tính chất trọng tâm bất đẳng thức Bunhiacốpski ta có tốn sau: Bài 2c Cho tứ diện ABCD có bán kính mặt cầu ngoại tiếp R, ma, mb, mc, md độ dài trọng tuyến Chứng minh: R 16 (ma mb mc md ) Cách giải: 4R2 = OA2 + OB2 + OC2 + OD2 = 4OG2 + 16 (m a2 m Bài tập 3: Bài 3a Chứng minh bất đẳng thức sau: x y z t x2 y2 c t 1 1 b m c2 m d2 ) đpcm b c a 1 , h độ 1 Bài 3b Em thử đề toán vận dung h1 h2 h3 h4 ri dài đường cao tứ diện, r bán kính mặt cầu nội tiếp Có học sinh đưa tốn sau: Bài 3c Cho tứ diện ABCD Mặt cầu tâm I bán kính r nội tiếp tứ diện, tiếp xúc với mặt A1, B1, C1 , D1 Gọi h1, h2, h3, h4 độ dài đường cao tương ứng từ A, B, C, D tứ diện M điểm tùy ý nằm tứ diện (có thể nằm không gian) Chứng minh: MA2 MB2 MC2 MD2 r a b c d h h a b h c d a h Bài tập 4: 14 Bài 4a [5] Cho tam giác ABC M điểm nằm tam giác, đường thẳng AM, BM, CM cắt cạnh đối diện A1, B1, C1 Chứng minh S A1B1C1 S ABC Bài 4b [6] Cho tứ diện ABCD M điểm nằm tứ diện Các đường thẳng MA, MB, MC, MD cắt mặt (BCD), (CDA), (DAB), (ABC) tương ứng A1, B1, C1, D1 Chứng minh VA1B1C1D1 14 VABCD Nhận xét: Bài 4a: Chúng ta thường gặp toán A 1, B1, C1 tiếp điểm đường tròn nội tiếp cạnh; chân đường cao, chân đường phân giác tam giác ABC kết SA1B1C1 SABC , cách giải dựa vào tính chất đường cao hay đường phân giác; tiếp xúc Cách giải vận dụng từ tập dành cho học sinh đại trà Bài tập 5: Bài 5a [5] Cho tam giác ABC vuông A Gọi I trung điểm đường cao AH Chứng minh rằng: a IA b IB c IC (1) Bài 5b [3] Cho tứ diện OABC có cạnh OA, OB, OC đơi vng góc Gọi SO, SA, SB, SC diện tích mặt tứ diện đối diện với đỉnh tương ứng O, A, B, C Gọi I trung điểm đường cao OH tứ diện Chứng minh rằng: SO2 IO S2A IA S2B IB SC2 IC Nhận xét: Điểm I điểm Lemoin đặc biệt tam giác vng Ta có 2 b2 c2 AH AB AC Và định lí Pitago a = b + c (đpcm) a a Trong không gian tam giác chứa mặt phẳng (OAH) cắt mặt phẳng (OBC) N OH đường cao tam giác vng OAN Ngồi ta có định lí Pitago cho không gian SO2 SA2 S2B SC2 OH Ta có: ON OAN vng OC 2 OB BC ON AN 2 AN OC ON Thay (2) vào (1) suy OH OB2 OC2 S2 A S2 O OC OB BC OA OB S2 OA B S2 O (1) Vì OB S2 OB OC C S2 OB BOC vuông OB2 OC2 OC (2) OC (đpcm) O 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường - Sáng kiến kinh nghiệm giúp cho đồng nghiệp thực tốt nhiệm vụ nâng cao chất lượng giáo dục, giúp học sinh hình thành tư logic kỹ phân tích để đến hướng giải thích hợp gặp tốn hình học từ phức tạp đưa dạng đơn giản, giải cách dễ dàng 15 - Học sinh thấu hiểu phương pháp tương tự hóa để mở rộng vấn đề khơng mơn tốn mà cịn vận dụng môn học khác - Đề tài sử dụng để giảng dạy bồi dưỡng cho em học sinh giỏi lớp 11, 12 THPT làm tài liệu tham khảo cho thầy cô giảng dạy mơn Tốn - Trong đề tài tơi đưa giải số toán thường gặp tương ứng tập tự luyện Sau tốn tác giả có nhận xét bình luận khắc phục sai lầm giúp bạn đọc chọn cho phương pháp giải tối ưu nhất, để có lời giải gọn gàng súc tích PHẦN 3: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận: - Sau nhiều năm giảng dạy thực tế kiểm nghiệm nhận thấy nâng cao hứng thú học tập cho học sinh (qua nhiều đường) việc làm cần thiết từ góp phần phát triển lực tự học, tự khám phá, sáng tạo cho học sinh xu dạy học đại Các toán chuyên đề thể rõ mục đích đạt kết (phù hợp với đổi dạy học) - Qui trình giải tốn tóm tắt gồm bước “huy động kiến thức tổ chức kiến thức” kiến thức cũ (Hình học phẳng) huy động để mở rộng cho tốn hình học khơng gian chun đề phương pháp tương tự đem lại cho tri thức phương pháp từ đường vận dụng thao tác tư - Đề tài khai thác liên hệ toán hình học phẳng với tốn mở rộng khơng gian, để thấy tính chất, cách chứng minh,… mở rộng, liên hệ với cách lôgic giúp cho việc dạy học tốn có hiệu hơn, kiểu tư áp dụng thực tế giảng dạy học tập tùy theo yêu cầu chương trình, người học, người dạy mà ta lựa chọn tập phù hợp Trong việc dạy toán Trường THPT Quảng Xương 2, vận dụng kiểu tư để dạy cho nhiều đối tượng, việc ơn tập cho học sinh khá, giỏi Hình thành cho học sinh thói quen liên hệ tồn hình học khơng gian với tốn phẳng đơn giản mở rộng toán theo hướng ngược lại - Đề tài kiểm nghiệm năm học 2015-2016, 20162017 giảng dạy lớp 11, 12, học sinh đồng tình đạt kết quả, nâng cao khả giải toán hình học khơng gian Các em hứng thú đam mê học tập mơn hình học khơng gian hơn, lớp có hướng dẫn kỹ em học sinh với mức học trung bình trở lên có kỹ giải tập Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt Cụ thể sau áp dụng sáng kiến vào giảng dạy số học sinh hiểu có kỹ giải dạng tốn nói trên, kết qua kiểm tra thử sau: 16 Năm học 2015-2016 2016-2017 Điểm trở Điểm từ đến Điểm Lớp Tổng lên số Số Số Số Tỷ lệ Tỷ lệ Tỷ lệ lượng lượng lượng 11C2 46 13 28 % 21 46 % 12 26 % 12B2 45 12 27 % 22 49 % 11 24 % 11A2 42 14 33 % 18 43 % 10 24 % 12C2 46 15 33 % 23 50 % 17 % - Để hiểu sâu vấn đề này, việc ứng dụng việc giảng dạy học tập tơi mong nhận ý kiến đóng góp rút kinh nghiệm đồng nghiệp để viết thêm đầy đủ, chất lượng 3.2 Kiến nghị: - Qua kết điều tra khảo sát thực tiễn ta thấy học sinh ngại giải tốn khơng gian Vì vậy, để giúp học sinh có hứng thú học mơn hình học khơng gian thấy mối liên hệ mơn hình học khơng gian mơn hình học phẳng, giáo viên cần lựa chọn hệ thống tập phù hợp, đề giải pháp giải tốn hình học phương pháp tương tự hóa khái qt hóa Đưa tốn phức tạp toán đơn giản đề học sinh thấy quen thuộc giải chúng dễ dàng - Đề nghị cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh giáo viên có nhiều tài liệu sách tham khảo đổi phòng thư viện để nghiên cứu học tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ - Nhà trường cần tổ chức buổi trao đổi phương pháp giảng dạy Có tủ sách lưu lại tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập giáo viên hàng năm để làm cở sở nghiên cứu phát triển chuyên đề - Học sinh cần tăng cường trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng học tập XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày tháng năm 2017 ĐƠN VỊ Tơi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Đỗ Thị Thủy 17 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Mộng Hy (2006), “Bài tập hình học 11”, Nhà xuất Giáo dục Nguyễn Mộng Hy (2006), “Bài tập hình học 12”, Nhà xuất Giáo dục Phan huy Khải - Nguyễn Đạo Phương (2000), “Các phương pháp giải toán sơ cấp Hình học khơng gian”, Nhà xuất Hà Nội Phan Huy Khải (2002), “Tốn nâng cao hình học lớp 11”, Nhà xuất Hà Nội Phan Huy Khải (2002), “Tốn nâng cao hình học lớp 10”, Nhà xuất Hà Nội Đỗ Thanh Sơn (2008), “Phương pháp giải tốn hình học 12 theo chủ đề”, Nhà xuất Giáo dục 18 CÁC SKKN ĐÃ ĐƯỢC SỞ GD&ĐT THANH HÓA XẾP LOẠI Năm học 2013-2014, đề tài: “Rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh thông qua việc giải tập VÉC TƠ hình học 10”, hội đồng khoa học Ngành đánh giá xếp loại C Năm học 2015-2016, đề tài: “Phát triển lực tư sáng tạo cho học sinh Trung học phổ thông thông qua số kỹ thuật giải tốn hình học khơng gian lớp 11”, hội đồng khoa học Ngành đánh giá xếp loại C 19 ... số Bài toán 3: Bài 3a M điểm tùy ý nằm ABC Gọi MH, MI, MK khoảng cách MH MI MK từ M đến cạnh tam giác Chứng minh BC AC AB Bài 3b [4] M điểm tùy ý nằm tứ diện ABCD Gọi x,y,z,t khoảng cách từ M đến. .. điểm nằm tam giác Hãy tìm vị trí M để thấy tổng khoảng cách từ M đến cạnh lớn nhất, nhỏ Bài 4b [6] M điểm nằm tứ diện Hãy tìm vị trí M để tổng khoảng cách từ M đến mặt lớn nhất, nhỏ Cách giải:... xét: Ta khai thác toán theo tổng khoảng cách Ra, Rb, Rc sau: 10 Bài 14c [4] Cho tứ diện A1A2A3A4 Gọi M điểm nằm tứ diện Gọi M điểm nằm tứ diện Gọi Ra, Rb, R c, Rd khoảng cách từ M đến đỉnh, da,