Hình học EUCLID trên mặt phẳng

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✭✷✮ ✈➲ ❞↕♥❣✿ (x − c)2 + y = 2a − (x + c)2 + y ❇➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ ❤❛✐ ✈➳ ✈➔ rót ❣å♥ t❛ ✤÷đ❝✿ a (x + c)2 + y = cx + a2 ✸✼ F1 F2 ✳ ❙✉② r❛ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ◆●❯❨➍◆ ❚❍➚ ❍⑨ ❇➻♥❤ ♣❤÷ì♥❣ ❤❛✐ ✈➳ ♠ët ❧➛♥ ♥ú❛ ✈➔ rót ❣å♥ t❛ ❝â✿ (a2 − c2 )x2 + a2 y = a2 (a2 − c2 ) ❱➻ a>c ♥➯♥ a2 − c2 > 0✳ ✣➦t a2 − c2 = b2 ✱ t❛ ✤÷đ❝✿ b x + a2 y = a2 b ❈❤✐❛ ❤❛✐ ✈➳ ❝❤♦ a2 b2 t❛ ✤÷đ❝✿ x2 y + = (3) a2 b2 ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤õ✿ ●✐↔ sû ✤✐➸♠ N (x1 ; y1 ) ❝â tå❛ ✤ë t❤ä❛ ♠➣♥ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✸✮✱ ♥❣❤➽❛ ❧➔✿ x21 y12 + = (4) a2 b ❳➨t ❤❛✐ ✤✐➸♠ F1 (−c; 0) ✈➔ F2 (c; 0) tr♦♥❣ ✤â c ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ ✤➥♥❣ t❤ù❝✿ c2 = a2 − b2 (5) ❚❛ s➩ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣✿ F1 N = F1 N + F2 N = 2a✳ ❚❛ ❝â✿ (x1 + c)2 + y12 , F2 N = (x2 − c)2 + y12 ❚ø ✭✹✮ t❛ s✉② r❛ y12 ❚❤❛② ❣✐→ trà ♥➔② ❝õ❛ y12 =b x21 1− a ✈➔♦ tr♦♥❣ ✸✽ F1 N ✈➔F2 N ✱ t❛ ❝â✿ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ◆●❯❨➍◆ ❚❍➚ ❍⑨ x21 F1 N = a2 − b2 a2 x21 ▼➔ c2 = a2 − b2 + 2cx1 + c2 b2 + x21 1− a + 2cx1 + c2 + b2 ♥➯♥ F1 N = x21 c2 + 2cx1 + a2 = a2 c a + x1 a F1 N = x21 c2 + 2cx1 + a2 = a c a + x1 a ❙✉② r❛✿ c F1 N = ± a 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❝â✿ F1 N = (x1 + c)2 + y12 , F2 N = (x2 − c)2 + y12 (7) ❚ø ✭✻✮ s✉② r❛✿ y12 = b2 ❚❤❛② ❣✐→ trà ♥➔② ❝õ❛ y12 x2 −1 a2 ✈➔♦ tr♦♥❣ ✭✼✮✱ t❛ ❝â F1 N = x21 c2 + 2cx1 + a2 a ✹✸ ✣✐➸♠ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ◆●❯❨➍◆ ❚❍➚ ❍⑨ ✱ F2 N = x21 c2 + 2cx2 + a2 a2 ❚ø ✤â✿ x1 c x1 c + a , F2 N = ± −a a a F1 N = ± ❚ø ✭✻✮ t❛ t❤➜② t❤➜② |x1 | ≥ a, tù❝ ❧➔ ❤♦➦❝ x1 ≥ a ❤♦➦❝ (8) x1 ≤ a ✈➔ tø ✭✹✮ t❛ c > a✳ ❚❛ ①➨t ✷ tr÷í♥❣ ❤đ♣ s❛✉✿ ✶✳ ◆➳✉ x1 ≥ a ❚❛ t❤➜② ❤❛✐ ❜✐➸✉ t❤ù❝ ❝õ❛ ✭✽✮ ❧➔ x1 ac + a ✈➔ x2 ac − a ✤➲✉ ❞÷ì♥❣✳ ❱➟② tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♥➔② t❛ ❧➜② ❤❛✐ ❞➜✉ (+) tr♦♥❣ ✭✽✮✱ ♥❣❤➽❛ ❧➔✿ c c F1 N = x1 + a, F2 N = x1 − a (9) a a ❉♦ ✤â F1 N − F2 N = 2a ✷✳ ◆➳✉ x1 ≤ −a✳ ♥➯♥ t❛ ❧➜② ❤❛✐ ❞➜✉ (10) ▲ó❝ ♥➔② ❤❛✐ ❜✐➸✉ t❤ù❝ tr♦♥❣ ♥❣♦➦❝ ❝õ❛ ✭✽✮ ✤➲✉ ➙♠ (−)✱ ♥❣❤➽❛ ❧➔✿ c c F1 N = −x1 − a, F2 N = −x1 + a (11) a a ❚ø ✤â F1 N − F2 N = −2a (12) ❚ø ❤❛✐ ✤➥♥❣ t❤ù❝ (10) ✈➔ (12) t❛ s✉② r❛ ✤✐➸♠ ✹✹ N ♥➡♠ tr➯♥ ❤②♣❡❜♦❧✳ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ◆●❯❨➍◆ ❚❍➚ ❍⑨ ❱➟② ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ x2 y − = (a > 0, b > 0) (13) a2 b (13) ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝õ❛ ❤②♣❡❜♦❧ ♠➔ ♥❣÷í✐ t❛ ❣å✐ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝❤➼♥❤ t➢❝ ❝õ❛ ❤②♣❡♣♦❧✳ ❍➻♥❤ ❞↕♥❣ ❝õ❛ ❤②♣❡❜♦❧ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝❤➼♥❤ t➢❝ ❝õ❛ ❤②♣❡❜♦❧ ✭✺✮ ❝❤➾ ❝❤ù❛ ❝→❝ sè ❤↕♥❣ ❜➟❝ ❝❤➤♥ ✤è✐ ✈ỵ✐ ① ✈➔ ② ♥➯♥ ❤②♣❡❜♦❧ ♥❤➟♥ ❝→❝ trö❝ tå❛ ✤ë ❧➔♠ ❝→❝ trö❝ ✤è✐ ①ù♥❣ ✈➔ ❣è❝ tå❛ ✤ë O ❧➔♠ t➙♠ ✤è✐ ①ù♥❣✳ ❍②♣❡❜♦❧ ❝❤➾ ❝➢t trö❝ Ox t↕✐ ❤❛✐ ✤✐➸♠ ✤➾♥❤ ❝õ❛ ❤②♣❡❜♦❧✳ ❚rö❝ ✤è✐ ①ù♥❣ Ox A1 (−a; 0) ✈➔ A2 (a; 0) ❣å✐ ❧➔ ❤❛✐ ❣å✐ ❧➔ trö❝ t❤ü❝✳ ❚rö❝ ✤è✐ ①ù♥❣ Oy ❣å✐ ❧➔ trö❝ ↔♦✳ ❑❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ 2a ❣✐ú❛ ❤❛✐ ✤➾♥❤ ❣å✐ ❧➔ ✤ë ❞➔✐ trö❝ t❤ü❝✱ ✷❜ ❣å✐ ❧➔ ✤ë trử ỗ trö❝ ↔♦✱ ♠é✐ ♣❤➛♥ ❣å✐ ❧➔ ♠ët ♥❤→♥❤ ❝õ❛ ❤②♣❡❜♦❧✳ ❚➾ sè ❣✐ú❛ t✐➯✉ ❝ü ✈➔ ✤ë ❞➔✐ trö❝ t❤ü❝ ❧➔ t➙♠ s❛✐ ❝õ❛ ❤②♣❡❜♦❧✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ ❡✱ tù❝ ❧➔ c a =e ✈ỵ✐ e > 1✳ ❍➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t t↕♦ ❜ð✐ ❝→❝ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ x = ±a, y = ±b ❣å✐ ❧➔ ❤➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t ❝ì sð ❝õ❛ ❤②♣❡❜♦❧ ❝â ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✺✮✳ ❍❛✐ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ❝❤ù❛ ❤❛✐ ✤÷í♥❣ ❝❤➨♦ ❝õ❛ ❤➻♥❤ ❝❤ú ♥❤➟t ❝ì sð ❧➔ ❤❛✐ ✤÷í♥❣ t✐➺♠ ❝➟♥ ❝õ❛ ❤②♣❡❜♦❧✳ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝õ❛ ❤❛✐ ✤÷í♥❣ t✐➺♠ ❝➟♥ ✤â ❧➔ ✹✺ y = ± ab x✳ ❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝ ◆●❯❨➍◆ ❚❍➚ ❍⑨ ❱➼ ❞ö✳ ❚➻♠ tå❛ ✤ë ❝→❝ t✐➯✉ ✤✐➸♠ ✱ ❝→❝ ✤➾♥❤✱ ✤ë ❞➔✐ trư❝ ❧ỵ♥✱ ✤ë ❞➔✐ trư❝ 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