Cách tiếp cận hình học cho hệ phương trình nhanh chậm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ********** NGUYỄN THỊ GIANG CÁCH TIẾP CẬN HÌNH HỌC CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH NHANH-CHẬM KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ********** NGUYỄN THỊ GIANG CÁCH TIẾP CẬN HÌNH HỌC CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH NHANH-CHẬM KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TSKH ĐOÀN THÁI SƠN Hà Nội – Năm 2018 LỜI CẢM ƠN Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy, cô tổ mơn Hình học tồn thể thầy khoa Tốn, người tận tình dạy dỗ, giúp đỡ em năm học vừa qua Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết sâu sắc đến PGS.TSKH Đoàn Thái Sơn, người trực tiếp hướng dẫn, bảo đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho em q trình hồn thành khóa luận Do lần đầu tiền làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, thời gian lực thân hạn chế, cố gắng tránh khỏi thiếu sót Em kính mong nhận đóng góp ý kiến thầy bạn để khóa luận em hồn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 10 tháng năm 2018 Sinh viên Nguyễn Thị Giang LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan trước Hội đồng khoa học Trường Đại học sư phạm Hà Nội Hội đồng bảo vệ khóa luận tốt nghiệp khoa Tốn: Khóa luận “Cách tiếp cận hình học cho hệ phương trình nhanh-chậm” tơi viết Đó kết tìm tòi, tổng hợp từ tài liệu tham khảo hướng dẫn PGS.TSKH Đồn Thái Sơn, trích dẫn khóa luận trung thực Khóa luận khơng trùng với khóa luận tác giả khác Hà Nội, ngày 10 tháng năm 2018 Sinh viên Nguyễn Thị Giang Mục lục Lời mở đầu 1 Định lí tồn nghiệm Hệ phương trình vi phân nhanh-chậm 12 2.1 Khái niệm đa tạp chậm 13 2.2 Đa tạp chậm ổn định 15 2.3 Sự hội tụ đa tạp chậm ổn định 17 Rẽ nhánh động lực 20 3.1 Điểm rẽ nhánh mặt yên ngựa 20 3.2 Định lí (điểm rẽ nhánh mặt yên ngựa) 23 3.2.1 Kí hiệu 23 3.2.2 Định lí 23 Kết luận 28 Tài liệu tham khảo 28 iii Lời mở đầu Lý chọn đề tài Tốn học mơn khoa học chiếm vị trí quan trọng Toán học sở, tảng để nghiên cứu mơn khoa học khác Trong q trình học tập, tơi nghiên cứu chun ngành hình học, phận quan trọng tương đối khó chương trình tốn phổ thơng đại học Với mong muốn nghiên cứu sâu hình học tìm hiểu sâu cách tiếp cận hình học, tơi chọn đề tài “Cách tiếp cận hình học cho hệ phương trình nhanh-chậm” làm khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Khóa luận nhằm mục đích: giúp sinh viên có nhìn sâu hình học thơng qua hệ phương trình nhanh-chậm Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu hệ phương trình vi phân, hệ phương trình nhanh-chậm, đa tạp chậm, rẽ nhánh động lực Các tài liệu tham khảo liên quan đến hệ phương trình nhanh-chậm Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày vấn đề hệ phương trình nhanh-chậm, hình dáng đồ thị đa tạp chậm rẽ nhánh động lực Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu giáo trình sách tham khảo, tài liệu tài liệu liên quan đến nội dung nghiên cứu Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm chương: Chương Định lí tồn nghiệm Chương Hệ phương trình vi phân nhanh-chậm Chương Rẽ nhánh động lực Chương Định lí tồn nghiệm Xét hệ phương trình vi phân:  dx   = f (x, y), dt (1.1)   d y = g(x, y), dt f, g : R2 → R hàm liên tục Sau trình bày kết định lí tồn nghiệm Chứng minh dựa theo tài liệu [1] Định lí 1.1 (Sự tồn nghiệm hệ phương trình vi phân) Giả sử (x0 , y0 ) ∈ R2 hàm f, g thỏa mãn điều kiện Lipschitz miền G = {(x, y) ∈ R2 : |x − x0 | ≤ a, |y − y0 | ≤ b}, tức với (x, y), (ˆ x, yˆ) ∈ G ta có: (i) |f (x, y) − f (ˆ x, yˆ)| ≤ L(|x − xˆ| + |y − yˆ|), (ii) |g(x, y) − g(ˆ x, yˆ)| ≤ L(|x − xˆ| + |y − yˆ|) Đặt M := max {|f (x, y)|, |g(x, y)| : (x, y) ∈ G} , h := a b , M M Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Giang Khi tồn nghiệm z(t) = (x(t), y(t)) hệ (1.1) [−h, h] thỏa mãn điều kiện ban đầu x(0) = x0 ; y(0) = y0 Chứng minh Chứng minh chia thành bước Bước Lập dãy xấp xỉ Picard Đặt z0 (t) = (x0 (t), y0 (t)) x0 (t) = x0 , y0 (t) = y0 ∀t ∈ [−h, h] Tiếp đến, ta xây dựng nghiệm xấp xỉ z1 (t) = (x1 (t), y1 (t)) đó: t x1 (t) = x0 + f [(x0 (τ ), y0 (τ ))] dτ, t (1.2) g[(x0 (τ ), y0 (τ ))] dτ y1 (t) = y0 + Một cách tổng quát, ta xây dựng zk (t) = (xk (t), yk (t)) sau có zk−1 (t) = (xk−1 (t), yk−1 (t)) với t f [(xk−1 (τ ), yk−1 (τ ))] dτ, xk (t) = x0 + t yk (t) = y0 + (1.3) g[(xk−1 (τ ), yk−1 (τ ))] dτ Từ trình ta xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ zk (t) (k = 1, 2, ) có tính chất sau đây: a) zk (0) = z0 = (x0 , y0 ) với k = 1, 2, b) Khi t biến thiên đoạn I = [−h, h] zk (t) khơng vượt khỏi miền Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Giang G, tức |xk (t) − x0 | ≤ a, |yk (t) − y0 | ≤ b với t ∈ [−h; h] (1.4) Ta chứng minh nhận xét phương pháp quy nạp Hiển nhiên z1 (t) không vượt khỏi miền G Giả sử t biến thiên [−h, h], zk (t) không vượt khỏi miền G, tức ta có (1.4) Khi từ (1.3) định nghĩa M , ta suy t |xk+1 (t) − x0 | ≤ |f (xk (τ ), yk (τ ))| dτ ≤ M |t − 0| ≤ M h ≤ a t |yk+1 (t) − y0 | ≤ |g(xk (τ ), yk (τ ))| dτ ≤ M |t − 0| ≤ M h ≤ b Các bất đẳng thức chứng tỏ zk+1 (t) không vượt khỏi miền G t ∈ [−h; h] c) Nghiệm xấp xỉ zk (t) liên tục [−h, h] với k = 0, 1, 2, Điều suy trực tiếp từ cách xây dựng dãy Bước Ta chứng minh dãy nghiệm xấp xỉ {zk (t)} hội tụ [−h, h], tức hàm zk (t) hội tụ [−h, h] k → ∞ Ta xét chuỗi hàm sau đây: x0 + (x1 (t) − x0 ) + (x2 (t) − x1 (t)) + + (xk (t) − xk−1 (t)) + , (1.5) y0 + (y1 (t) − y0 ) + (y2 (t) − y1 (t)) + + (yk (t) − yk−1 (t)) + (1.6) Ta xét chuỗi (1.5), chuỗi hàm (1.6) tương tự Ta cần chứng minh chuỗi (1.5) hội tụ [−h, h] Muốn vậy, phương pháp quy nạp, ta cần Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Giang (2.7) Ta biến đổi phương trình (2.6)) thành hệ nhanh-chậm sau: x =y+x− x3 , (2.8) y = −εx, ε = √ t = ε · s Đa tạp chậm hệ (2.8) đồ thị γ đường cong đưa phương trình sau: x3 − x = y 2.2 (2.9) Đa tạp chậm ổn định Giả sử M = {(x, y) : x = x∗ (x, y), y ∈ (a, b)} đa tạp chậm hệ (2.3) Định nghĩa 2.2 Đa tạp M gọi đa tạp chậm ổn định A∗ (y) := ∂x f (x∗ (y), y) < 15 với y ∈ (a, b) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Giang Đa tạp M gọi đa tạp chậm không ổn định A∗ (y) := ∂x f (x∗ (y), y) > với y ∈ (a, b) Ví dụ 2.3 Quay trở lại Ví dụ 2.4, ta xét hệ nhanh-chậm εx˙ = y + x − x3 y˙ = −x x3 Tính tốn trực tiếp, ta thu ∂x f (x, y) = − x2 Khi ∂x f (x∗ (y), y) = − (x∗ (y))2 Ta thấy ∂x f (x∗ (y), y) < |x∗ (y)| > Ta có f (x, y) = y + x − 1, tức biểu thị điểm ổn định diểm mà |x∗ (y)| < khơng ổn định Do đa tạp chậm chia thành ba nhánh sau: x∗− : −∞, − → (−∞, −1), 2 − ; → (−1, 1), 3 x∗+ : ; +∞ → (1, +∞), x∗0 : giao hai điểm ± 1, − 16 Khóa luận tốt nghiệp Đại học x Nguyễn Thị Giang x x∗+ (y) x∗0 (y) −2/3 y y 2/3 −1 x∗− (y) 2.3 Sự hội tụ đa tạp chậm ổn định Trong mục này, chứng minh hội tụ đa tạp chậm phương trình vi phân nhanh chậm Cụ thể, ta xét hệ εx˙ = f (x, y), (2.10) y˙ = g(x, y) Giả sử M = {(x, y) : x = x∗ (y), y ∈ [a, b]} đa tạp chậm ổn định hệ (2.10) Với δ > cho trước, ta định nghĩa Nδ = {(x, y) : y ∈ [a, b] : |x − x∗ (y)| ≤ δ} Ta chứng minh rằng, nghiệm phương trình (2.10) xuất phát đủ gần với đa tạp chậm hội tụ đến đa tạp chậm với sai số (xem hình vẽ) Định lí chứng minh Tihonov [4] Gradstein [5] Chứng minh dựa theo [2] 17 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Giang Hình 2.1: Hai quỹ đạo tiến tới tiệm cận ổn định đa tạp chậm Định lí 2.1 Giả sử x∗ (y) hàm C tồn δ > cho hàm số f g đạo hàm cấp hai chúng bị chặn Nδ Khi tồn số dương ε0 , c0 , c1 , κ = κ(η), M cho với < ε ≤ ε0 điều kiện ban đầu (x0 , y0 ) ∈ Nδ thỏa mãn x0 − x∗ (y0 ) ≤ c0 , bất đẳng thức xt − x∗ (yt ) ≤ M x0 − x∗ (y0 ) e−κt/ε + c1 ε mà yt ∈ [a, b] Nhận xét 2.3 Kết cho thấy sau khoảng thời gian ε| log ε|, quỹ đạo bắt đầu miền lân cận khoảng đa tạp chậm M tiến tới giới hạn lân cận ε, nơi mà chúng lại miễn động lực học cho phép Hiện tượng gọi “nguyên tắc lệ thuộc” “sự giảm nhiệt” Chứng minh 18 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Giang Với y ∈ [a, b] bất kì, ta có f (x∗ (y), y) = Do x∗ (y) điểm cân phương trình vi phân x˙ = f (x, y) (2.11) Do ∂x f (x∗ (y), y) < nên x∗ (y) điểm cân ổn định tiệm cận (2.11) Theo phương pháp hàm Lyapunov (xem [3]), tồn hàm Lyapunov V (·, y) : R → R, tức là: i) V (x, y) hàm liên tục có đạo hàm liên tục, ii) V (x, y) ≥ V (x∗ (y), y) = 0, iii) ∂x V (x, y) · f (x, y) ≤ Do tồn κ > cho ∂x V (x, y) · f (x, y) ≤ −2κV (x, y) lân cận x∗ (y) Hơn ta chọn V thỏa mãn V (x, y) x − x∗ (y) chặn bị chặn Nδ Do đó, (xt , yt ) ∈ Nδ ta có ε d V (xt , yt ) = ε∂x V (xt , yt ) · x˙t + ε∂y V (xt , yt ) · y˙t dt hay ε d V (xt , yt ) = ε∂x V (xt , yt )f (xt , yt ) + ε∂y V (xt , yt )g(xt , yt ) dt ≤ −2κV (xt , yt ) + ε∂y V (xt , yt ) · g(xt , yt ) Khi d −2κ V (xt , yt ) ≤ V (xt , yt ) + ∂y V (xt , yt ) · g(xt , yt ) dt ε 19 bị Chương Rẽ nhánh động lực 3.1 Điểm rẽ nhánh mặt yên ngựa Xét hệ phương trình x˙ = f (x, y), y˙ = εg(x, y), f thỏa mãn điều kiện rẽ nhánh f (0, 0) = fx (0, 0) = (3.1) Ở ta thảo luận trường hợp biến chậm chiều y ∈ R, dao động Van der Pol Ví dụ 2.1 Điểm rẽ nhánh mặt yên ngựa xảy ∂xx f (0, 0) = ∂y f (0, 0) = (3.2) Không tính tổng quát, giả thiết thay ∂xx f (0, 0) < ∂y f (0, 0) < 20 (3.3) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Giang Điều đặc biệt hàm ý đa tạp chậm tồn y < Cuối cùng, giả thiết thêm (3.4) g(0, 0) > 0, để đảm bảo quỹ đạo bắt đầu gần đa tạp chậm ổn định đẩy phía điểm rẽ nhánh Hình 3.1: Minh họa điểm rẽ nhánh mặt yên ngựa Ví dụ 3.2 Xét hệ εx˙ = −x2 − y (3.5) y˙ = đa tạp chậm bao gồm nhánh ổn định M− = {(x, y) : x = √ −y, y < 0} √ nhánh không ổn định M+ = {(x, y) : x = − −y, y < 0} Sự tuyến tính √ hóa f điểm đưa ∓ −y Những hệ tổng quát (3.1), (3.3), (3.4) trạng thái đồng dạng định tính xảy lân cận điểm rẽ (0, 0) Bằng cách thay đổi x, y chọn ∂xx f (0, 0) = −2 ∂y f (0, 0) = −1 21 (3.6) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Giang Sử dụng định lí hàm ẩn, dễ dàng thấy tồn lân cận N (0, 0) cho: ◦ Có đa tạp chậm tiệm cận ổn định M− = {(x, y) ∈ N : x = x∗− (y), y < 0} x∗− (y) = √ (3.7) −y[1 + Oy (1)] Oy (1) đại diện cho số dư r(y) thỏa mãn lim r(y) = 0; y→0 ◦ Sự tuyến tính hóa f M− đưa √ a∗− (y) : = ∂x f (x∗− (y), y) = −2 −y[1 + Oy (1)]; (3.8) ◦ Có đa tạp không ổn định M+ = {(x, y) ∈ N : x = x∗+ (y), y < 0}, (3.9) √ x∗+ (y) = − −y[1 + Oy (1)]; ◦ Khơng có đa tạp chậm khác N ; ◦ g(x, y) > N M− đường tiệm cận ổn định với y âm, bị gới hạn từ 0, có đa tạp nhiệt liên kết với nó, xếp (1 + 1) chiều, nghiệm riêng hệ Khi gần đến điểm rẽ nhánh, hai hiệu ứng làm cho ngày khó nghiệm để giống đa tạp chậm: ◦ Đa tạp ổn định M− ngày giảm hút; ◦ M− có tiếp tuyến thẳng đứng điểm rẽ nhánh 22 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Giang Hệ thú vị quỹ đạo không tiến tới đa tạp ổn định khoảng cách bậc ε mà với bậc ε Sau dừng với thời gian ε , chúng rời khỏi miền lân cận N theo chiều âm trục x 3.2 3.2.1 Định lí (điểm rẽ nhánh mặt yên ngựa) Kí hiệu Cho hàm số x1 (t, ε) x2 (t, ε), định nghĩa cho t khoảng xác định I ≤ ε ≤ ε0 Ta x1 (t, ε) x2 (t, ε) (3.10) tồn hai hẳng số c1 , c2 dương cho với t ∈ I < ε ≤ ε0 Ví dụ, ta có x∗− (y) √ −y a∗− (y) √ − −y Quỹ đạo trạng thái đưa xác định lí 3.2.2 Định lí Định lí 3.1 Chọn điều kiện ban đầu (x0 , y0 ) ∈ N với số y0 < x0 thỏa mãn x0 − x∗− (y0 ) ε Khi tồn số c1 , c2 > cho xt − x∗− (yt ) xt ε1/3 ε |yt | với với y0 ≤ yt ≤ −c1 ε2/3 , − c1 ε2/3 ≤ yt ≤ c2 ε2/3 (3.11) (3.12) Hơn nữa, với số L > đủ nhỏ, xt tiến đến −L thời điểm t(L) mà yt(L) ε2/3 Chứng minh Theo giả thiết ta có y > N , ta sử dụng y thay 23 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Giang t làm biến thời gian xét phương trình ε dx f (x, y) = =: f (x, y) dy g(x, y) (3.13) Theo lí thuyết điểm rẽ nhánh mặt yên ngựa   f (0, 0) = ∂x f (0, 0) = (3.14)  ∂xx f (0, 0) = ∂y f (0, 0) < nên ta có   f (0, 0) = ∂x f (0, 0) = (3.15)  ∂xx f (0, 0) = ∂y f (0, 0) < với g ≡ Chúng ta giả sử lại thay đổi tỉ lệ x y cho ∂xx f (0, 0) = −2 ∂y f (0, 0) = −1 (3.16) với y ≤ −c1 ε2/3 , c1 theo cách chọn Ta sử dụng thay đổi biến x = x∗− (y) + z khai triển Taylor, ta có phương trình ε dx∗ (y) dz = a∗− (y)z + b(z, y) − ε − y, dy d (3.17) |b(z, y)| ≤ M z N với số M Tính chất x∗− (y) a∗− (y) x∗− (y) = √ a∗− (y) ∂x f (x∗− (y), y) := y[1 + Oy (1)], √ = −2 −y[1 + Oy (1)] 24 (3.18) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Giang với tồn số c2 > cho ε √ dz c+ M ≤ − −y c− − √ z z + ε √ dy −y −y Bây ta đưa vào thời gian τ = inf t ≥ : (xt , yt ) ∈ / N hoặc|zt | > (3.19) c− √ 2M −yt ∈ (0, ∞] Chú ý τ > với ε đủ nhỏ, theo giả thiết −y0 bậc z0 bậc ε Với t ≤ τ ta có ε dz c− √ c+ ≤− −yz + ε √ dy −y (3.20) giải phương trình tuyến tính yt zt ≤ z0 e−c− [(−y0 ) 3/2 −(−yt ) 3/2 ]/3ε √ + c+ −c− [(−u)3/2 −(−yt )3/2 ]/3ε e du −u (3.21) y0 với t ≤ τ yt < Tích phân đánh giá biến thể phương pháp Laplace Chúng ta tìm tồn số K = K(c− , c+ ) cho zt ≤ K ε |yt | (3.22) t ≤ τ yt < Qua ta nhận thấy đối số tương ứng cho giới hạn cụ thể cho zt > Ta chọn c1 = (2KM/c− )2/3 ta thấy với √ t ≤ τ thỏa mãn yt ≤ −c1 ε2/3 ta có zt ≤ c− −yt /3M , t < τ yt ≤ c1 ε2/3 Vì bất đẳng thức (3.22) với t thỏa mãn yt ≤ −c1 ε2/3 , tức chứng minh tính bị chặn (3.11) Với −c1 ε2/3 ≤ yt ≤ c2 ε2/3 , c2 chọn trên, ta sử dụng thay đổi tỉ lệ x y cho f (x, y) = −x2 − y + O(y) + O(x2 ) 25 (3.23) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Giang Khi từ thay đổi x = ε1/3 z, y = ε2/3 s ta có phương trình dz = −z − s + Oε (1), ds (3.24) nhiễu nhỏ phương trình Riccati giải Thực tế, việc đặt z(s) = ϕ (s)/ϕ(s) (3.24) không làm sai số số hạng tạo từ phương trình tuyến tính bậc hai ϕ (s) = −sϕ(s) mà nghiệm biểu diễn số hạng hàm số Airy Đặc biệt, tồn số c3 > c2 > cho z(s) cịn lại dương, có bậc 1, s ≤ c2 tiến đến giá trị âm bậc s = c3 Quay trở lại với biến (x, y), ta kết luận (3.21) xảy xt −ε1/3 yt = c3 ε2/3 Với yt ≥ c3 ε2/3 , việc đánh giá tầm thường f (x, y) ≤ −1(1 − K)x2 sử dụng để chứng tỏ xt tiến đến giá trị âm bậc Sau khoảng thời gian khác có khoảng cách bậc ε2/3 Chứng minh hồn tất Sau ta xét ví dụ quan trọng Ví dụ 3.3 Như đề cập, hệ εx˙ = y + x − x3 (3.25) y˙ = −x Xem xét quỹ đạo bắt đầu gần đa tạp chậm ổn định x = x∗+ (y) Quỹ đạo xấp xỉ lân cận ε thừa nhận hai điểm rẽ nhánh mặt yên ngựa ± 1, − đa tạp chậm khoảng thời gian bậc ε| log ε| Vì y˙ < với x > 0, điểm rẽ nhánh 1, − đạt khoảng thời gian bậc Định lí 3.1 áp dụng với biến x − 1, − y + cho thấy xt “nhảy” yt đạt tới giá trị − − O(ε2/3 ) Quỹ đạo khỏi miền lân cận nhỏ 26 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Giang Hình 3.2: (a) Hai nghiệm phương trình Van der Pol (đường cong mảnh) với điều kiện ban đầu 1; 12 với γ = γ = 20 (b) Đồ thị xt với γ = 20 điểm rẽ nhánh, f âm bị chặn số Nghiệm hệ liên kết x = y +x− x3 vào lân cận bậc đa tạp chậm x = x∗− (y) khoảng thời gian nhanh bậc 1, y thay đổi O(ε) khoảng thời gian nhanh Vì vậy, theo đối số lí thuyết nhiễu, xt xấp xỉ x∗− (yt ) khoảng thời gian bậc ε Chúng ta áp dụng phân tích tương tự trước đó, cho thấy quỹ đạo di chuyển theo nhánh x = x∗− (y) tiến tới điểm rẽ nhánh −1; nhảy quay trở lại nhánh 27 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Giang KẾT LUẬN Trong đề tài khóa luận này, em trình bày cách tiếp cận hình học cho hệ phương trình vi phân nhanh-chậm rẽ nhánh động lực Sau trình nghiên cứu, em hiểu thêm nhiều kiến thức mới, đúc rút cho số kiến thức đề tài nghiên cứu Em hi vọng điều trình bày khóa luận giúp cho việc tiếp cận chủ đề khác có liên quan hình học thuận lợi Do kiến thức cá nhân thời gian nghiên cứu hạn chế nên khóa luận khơng tránh khỏi cịn có thiếu sót Kính mong q thầy bạn góp ý để khóa luận hồn thiện 28 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu, Cơ sở phương trình vi phân lí thuyết ổn định, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2014 [2] Nils Berglund and Barbara Gentz, Noise-Induced Phenomena in Slow-Fast Dynamical Systems -A Sample-Paths Approach, Springer- Verlag London, 2006 [3] Vladimir I Arnol’ s, Ordinary differential equations, Springer Textbook, Springer-Verlag, Berlin, 1992 [4] A N Tihonov, Systems of differential equations containing small parameters in the derivatives, Mat.Sbornik N S 31:575-586, 1952 [5] I S Gradstein, Application of A M Lyapunov’s theory of stablity to the theory of differential equations with small coefficients in the derivatives, Mat.Sbornik N S 32(74):263-286, 1953 29 ... trình tốn phổ thơng đại học Với mong muốn nghiên cứu sâu hình học tìm hiểu sâu cách tiếp cận hình học, tơi chọn đề tài ? ?Cách tiếp cận hình học cho hệ phương trình nhanh- chậm? ?? làm khóa luận tốt... sinh viên có nhìn sâu hình học thơng qua hệ phương trình nhanh- chậm Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu hệ phương trình vi phân, hệ phương trình nhanh- chậm, đa tạp chậm, rẽ nhánh động lực... ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ********** NGUYỄN THỊ GIANG CÁCH TIẾP CẬN HÌNH HỌC CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH NHANH- CHẬM KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: