đề gồm 2 phần, phần đề thi và phần giải chi tiết có lời bình.Bộ đề là tài liệu hay cho học sinh thi tuyển vào lớp 10.
Hồ văn Dũng BỘ ĐỀ ÔN THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT VÀ THPT CHUN Mơn: TỐN A - PHẦN ĐỀ BÀI I - ĐỀ ÔN THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT ĐỀ SỐ Câu 1: a) Cho biết a = b = Tính giá trị biểu thức: P = a + b – ab 3x + y = � b) Giải hệ phương trình: � �x - 2y = - � x � Câu 2: Cho biểu thức P = � (với x > 0, x �1) �: x 1 �x - x �x - x a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị x để P > 2 Câu 3: Cho phương trình: x – 5x + m = (m tham số) a) Giải phương trình m = b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x 1, x2 thỏa mãn: x1 x Câu 4: Cho đường tròn tâm O đường kính AB Vẽ dây cung CD vng góc với AB I (I nằm A O ) Lấy điểm E cung nhỏ BC ( E khác B C ), AE cắt CD F Chứng minh: a) BEFI tứ giác nội tiếp đường tròn b) AE.AF = AC2 c) Khi E chạy cung nhỏ BC tâm đường trịn ngoại tiếp ∆CEF thuộc đường thẳng cố định Câu 5: Cho hai số dương a, b thỏa mãn: a + b � 2 Tìm giá trị nhỏ 1 biểu thức: P = a b ĐỀ SỐ Câu 1: a) Rút gọn biểu thức: 1 3 3 b) Giải phương trình: x2 – 7x + = Câu 2: a) Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng d: y = - x + Parabol (P): y = x2 �4x + ay = b b) Cho hệ phương trình: � �x - by = a Tìm a b để hệ cho có nghiệm ( x;y ) = ( 2; - 1) Câu 3: Một xe lửa cần vận chuyển lượng hàng Người lái xe tính xếp toa 15 hàng cịn thừa lại tấn, cịn xếp toa 16 chở thêm Hỏi xe lửa có toa phải chở hàng Câu 4: Từ điểm A nằm ngồi đường trịn (O;R) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) Trên cung nhỏ BC lấy điểm M, vẽ MI AB, MK AC (I�AB,K �AC) a) Chứng minh: AIMK tứ giác nội tiếp đường tròn � MBC � b) Vẽ MP BC (P �BC) Chứng minh: MPK c) Xác định vị trí điểm M cung nhỏ BC để tích MI.MK.MP đạt giá trị lớn Câu 5: Giải phương trình: y - 2010 x - 2009 z - 2011 x - 2009 y - 2010 z - 2011 ĐỀ SỐ Câu 1: Giải phương trình hệ phương trình sau: �2x + y = a) x4 + 3x2 – = b) � 3x + 4y = -1 � Câu 2: Rút gọn biểu thức: a) A = 2 1 1 �1 �x + x b) B = � ( với x > 0, x �4 ) � x �x x + x � Câu 3: a) Vẽ đồ thị hàm số y = - x2 y = x – hệ trục tọa độ b) Tìm tọa độ giao điểm đồ thị vẽ phép tính Câu 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) Các đường cao BE CF cắt H a) Chứng minh: AEHF BCEF tứ giác nội tiếp đường tròn b) Gọi M N thứ tự giao điểm thứ hai đường tròn (O;R) với BE CF Chứng minh: MN // EF c) Chứng minh OA EF Câu 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = x2 - x y + x + y - y +1 ĐỀ SỐ 4 ; 1 b) Trong hệ trục tọa độ Oxy, biết đồ thị hàm số y = ax2 qua điểm M (- 2; ) Tìm hệ số a Câu 2: Giải phương trình hệ phương trình sau: Câu 1: a) Trục thức mẫu biểu thức sau: a) 2x + = - x �2x + 3y = � b) � x-y= � � Câu 3: Cho phương trình ẩn x: x2 – 2mx + = (1) a) Giải phương trình cho m = b) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: ( x1 + )2 + ( x2 + )2 = Câu 4: Cho hình vng ABCD có hai đường chéo cắt E Lấy I thuộc � cạnh AB, M thuộc cạnh BC cho: IEM 900 (I M không trùng với đỉnh hình vng ) a) Chứng minh BIEM tứ giác nội tiếp đường trịn � b) Tính số đo góc IME c) Gọi N giao điểm tia AM tia DC; K giao điểm BN tia EM Chứng minh CK BN Câu 5: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh: ab + bc + ca �a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca ) ĐỀ SỐ �3 2� Câu 1: a) Thực phép tính: � � �2 � � � b) Trong hệ trục tọa độ Oxy, biết đường thẳng y = ax + b qua điểm A( 2; ) điểm B(-2;1) Tìm hệ số a b Câu 2: Giải phương trình sau: a) x2 – 3x + = x -2 + = b) x-1 x+1 x -1 Câu 3: Hai ô tô khởi hành lúc quãng đường từ A đến B dài 120 km Mỗi ô tô thứ chạy nhanh ô tô thứ hai 10 km nên đến B trước ô tô thứ hai 0,4 Tính vận tốc tơ Câu 4: Cho đường tròn (O;R); AB CD hai đường kính khác đường trịn Tiếp tuyến B đường tròn (O;R) cắt đường thẳng AC, AD thứ tự E F a) Chứng minh tứ giác ACBD hình chữ nhật b) Chứng minh ∆ACD ~ ∆CBE c) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp đường tròn d) Gọi S, S 1, S2 thứ tự diện tích ∆AEF, ∆BCE ∆BDF Chứng minh: S1 S2 S Câu 5: Giải phương trình: 10 x + = x + ĐỀ SỐ Câu 1: Rút gọn biểu thức sau: � �� � � 2 a) A = � � �2 � � � 1 � � �� � � b b) B = � �a - ab � a � a b -b a � ab - b � � ( với a > 0, b > 0, a �b) �x - y = - 1 � Câu 2: a) Giải hệ phương trình: �2 �x + y = � b) Gọi x 1, x2 hai nghiệm phương trình: x2 – x – = Tính giá trị biểu thức: P = x12 + x22 Câu 3: a) Biết đường thẳng y = ax + b qua điểm M ( 2; ) song song với đường thẳng 2x + y = Tìm hệ số a b b) Tính kích thước hình chữ nhật có diện tích 40 cm 2, biết tăng kích thước thêm cm diện tích tăng thêm 48 cm2 Câu 4: Cho tam giác ABC vuông A, M điểm thuộc cạnh AC (M khác A C ) Đường trịn đường kính MC cắt BC N cắt tia BM I Chứng minh rằng: a) ABNM ABCI tứ giác nội tiếp đường tròn � b) NM tia phân giác góc ANI c) BM.BI + CM.CA = AB2 + AC2 Câu 5: Cho biểu thức A = 2x - xy + y - x + Hỏi A có giá trị nhỏ hay khơng? Vì sao? ĐỀ SỐ Câu 1: a) Tìm điều kiện x biểu thức sau có nghĩa: A = x-1+ 3-x 1 3 5 1 Câu 2: Giải phương trình bất phương trình sau: b) Tính: a) ( x – )2 = b) Câu 3: Cho phương trình ẩn x: x2 – 2mx - = (1) x-1 < 2x + a) Chứng minh phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt x x2 b) Tìm giá trị m để: x12 + x22 – x1x2 = Câu 4: Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB Vẽ dây cung CD vng góc với AB (CD khơng qua tâm O) Trên tia đối tia BA lấy điểm S; SC cắt (O; R) điểm thứ hai M a) Chứng minh ∆SMA đồng dạng với ∆SBC b) Gọi H giao điểm MA BC; K giao điểm MD AB Chứng minh BMHK tứ giác nội tiếp HK // CD c) Chứng minh: OK.OS = R2 � �x + = 2y Câu 5: Giải hệ phương trình: � �y + = 2x ĐỀ SỐ 2x + y = � Câu 1: a) Giải hệ phương trình: � �x - 3y = - b) Gọi x 1,x2 hai nghiệm phương trình:3x – x – = Tính giá trị 1 + biểu thức: P= x1 x2 � a a � a 1 Câu 2: Cho biểu thức A = � � a 1 a - a � �: a - với a > 0, a �1 � � a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị a để A < Câu 3: Cho phương trình ẩn x: x – x + + m = (1) a) Giải phương trình cho với m = b) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm x 1, x2 thỏa mãn: x1x2.( x1x2 – ) = 3( x1 + x2 ) Câu 4: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R tia tiếp tuyến Ax phía với nửa đường trịn AB Từ điểm M Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn (C tiếp điểm) AC cắt OM E; MB cắt nửa đường tròn (O) D (D khác B) a) Chứng minh: AMCO AMDE tứ giác nội tiếp đường tròn � ACO � b) Chứng minh ADE c) Vẽ CH vng góc với AB (H �AB) Chứng minh MB qua trung điểm CH Câu 5: Cho số a, b, c � ; 1 Chứng minh rằng: a + b2 + c3 – ab – bc – ca �1 Câu 1: a) Cho hàm số y = ĐỀ SỐ x + Tính giá trị hàm số x = 32 b) Tìm m để đường thẳng y = 2x – đường thẳng y = 3x + m cắt điểm nằm trục hoành �3 x x � x-9 2: a) Rút gọn biểu thức: A = � � �x-4 �: x với x � � x �0, x �4, x �9 Câu x - 3x + b) Giải phương trình: x + x - 3 x - 3x - y = 2m - � Câu 3: Cho hệ phương trình: � (1) �x + 2y = 3m + a) Giải hệ phương trình cho m = b) Tìm m để hệ (1) có nghiệm (x; y) thỏa mãn: x2 + y2 = 10 Câu 4: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng OA, điểm N thuộc nửa đường tròn (O) Từ A B vẽ tiếp tuyến Ax By Đường thẳng qua N vng góc với NM cắt Ax, By thứ tự C D a) Chứng minh ACNM BDNM tứ giác nội tiếp đường tròn b) Chứng minh ∆ANB đồng dạng với ∆CMD c) Gọi I giao điểm AN CM, K giao điểm BN DM Chứng minh IK //AB a+b � với a, b số dương Câu 5: Chứng minh rằng: a 3a + b b 3b + a ĐỀ SỐ 10 Câu 1: Rút gọn biểu thức: x - 2x + , với < x < x-1 4x Câu 2:Giải hệ phương trình phương trình sau: a) A = 50 x - 1 y = � a) � �x - 3y = - 1 b) B = b) x + x Câu 3: Một xí nghiệp sản xuất 120 sản phẩm loại I 120 sản phẩm loại II thời gian Mỗi sản xuất số sản phẩm loại I số sản phẩm loại II 10 sản phẩm Hỏi xí nghiệp sản xuất sản phẩm loại ) cắt A B Vẽ AC, AD thứ tự Câu 4: Cho hai đường trịn (O) (O� ) đường kính hai đường tròn (O) (O� a) Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng ) E; đường thẳng AD cắt đường tròn b) Đường thẳng AC cắt đường tròn (O� (O) F (E, F khác A) Chứng minh điểm C, D, E, F nằm đường tròn ) thứ tự M c) Một đường thẳng d thay đổi qua A cắt (O) (O� N Xác định vị trí d để CM + DN đạt giá trị lớn Câu 5: Cho hai số x, y thỏa mãn đẳng thức: x+ x 2011 y + y 2011 2011 Tính: x + y ? ĐỀ SỐ 11 Câu 1: 1) Rút gọn biểu thức: � � � 1- a a 1- a� A � a � � �1 - a � �1 - a � � với a ≥ a ≠ � � � � 2) Giải phương trình: 2x - 5x + = Câu 2: 1) Với giá trị k, hàm số y = (3 - k) x + nghịch biến R �4x + y = 2) Giải hệ phương trình: � 3x - 2y = - 12 � Câu 3: Cho phương trình x2 - 6x + m = 1) Với giá trị m phương trình có nghiệm trái dấu 2) Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện x1 - x2 = Câu 4: Cho đường trịn (O; R), đường kính AB Dây BC = R Từ B kẻ tiếp tuyến Bx với đường tròn Tia AC cắt Bx M Gọi E trung điểm AC 1) Chứng minh tứ giác OBME nội tiếp đường tròn 2) Gọi I giao điểm BE với OM Chứng minh: IB.IE = IM.IO Câu 5: Cho x > 0, y > x + y ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức : + P = 3x + 2y + x y ĐỀ SỐ 12 Câu 1: Tính gọn biểu thức: 1) A = 20 - 45 + 18 + 72 � a+ a� � a- a � + 1+ 2) B = � � � � � � �với a ≥ 0, a ≠ a + 1� � � � 1- a � Câu 2: 1) Cho hàm số y = ax2, biết đồ thị hàm số qua điểm A (- ; -12) Tìm a 2) Cho phương trình: x2 + (m + 1)x + m2 = (1) a Giải phương trình với m = b Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt, có nghiệm - Câu 3: Một ruộng hình chữ nhật, tăng chiều dài thêm 2m, chiều rộng thêm 3m diện tích tăng thêm 100m Nếu giảm chiều dài chiều rộng 2m diện tích giảm 68m2 Tính diện tích ruộng Câu 4: Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đường trịn tâm (O) có đường kính MC Đường thẳng BM cắt đường trịn tâm (O) D, đường thẳng AD cắt đường tròn tâm (O) S 1) Chứng minh tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp CA tia phân giác � góc BCS 2) Gọi E giao điểm BC với đường tròn (O) Chứng minh đường thẳng BA, EM, CD đồng quy 3) Chứng minh M tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE Câu 5: Giải phương trình x - 3x + + x+3 = x-2 + x + 2x - ĐỀ SỐ 13 �a a - a a + � a +2 Câu 1: Cho biểu thức: P = � �a - a - a + a � �: a - với a > 0, a 1, a � � 1) Rút gọn P 2) Tìm giá trị nguyên a để P có giá trị nguyên Câu 2: 1) Cho đường thẳng d có phương trình: ax + (2a - 1) y + = Tìm a để đường thẳng d qua điểm M (1, -1) Khi đó, tìm hệ số góc đường thẳng d 2) Cho phương trình bậc 2: (m - 1)x2 - 2mx + m + = a) Tìm m, biết phương trình có nghiệm x = b) Xác định giá trị m để phương trình có tích nghiệm 5, từ tính tổng nghiệm phương trình �4x + 7y = 18 Câu 3: Giải hệ phương trình: � 3x - y = � Câu 4: Cho ∆ABC cân A, I tâm đường tròn nội tiếp, K tâm đường tròn bàng tiếp góc A, O trung điểm IK 1) Chứng minh điểm B, I, C, K thuộc đường tròn tâm O 2) Chứng minh AC tiếp tuyến đường trịn tâm (O) 3) Tính bán kính đường trịn (O), biết AB = AC = 20cm, BC = 24cm Câu 5: Giải phương trình: x2 + x + 2010 = 2010 ĐỀ SỐ 14 Câu 1: Cho biểu thức P= 10 x +1 + x -2 x 2+5 x + với x ≥ 0, x ≠ 4-x x +2 84 84 a; b � x = a + b; a3 + b3 = 2; ab = 9 3 3 Ta có: x = (a + b) = a + b + 3ab(a + b) Suy ra: x3 = – x � x3 + x – = � x - 1 x x + b) Đặt 1� � x = Vì x2 + x + = � �x + � Từ suy điều phải chứng minh � 2� Câu 3: Áp dụng BĐT: a + b � a b ; a + b + c � a b c (được suy từ bất đẳng thức Bunhiacơpski) Ta có: 2y � y 2y y + 1 2z � z 2z z + 1 + x 2x � x 2x x + 1 + y2 + z2 x y z � 3 x + y + z Lại có: A = x y z 2x 2y 2z + 2 x y z A x + y + z + 3 2 3 x + y + z A + (do x + y + z �3) Dấu “=” xảy x = y = z = Vậy maxA = � � Câu 4: a) Ta có: ABO ACO 900 (tính chất tiếp tuyến) (1) AB = AC OA OB2 = R = OB = OC (2) Từ (1) (2) suy ABOC hình vng b) Theo ta có: AD + DE + AE = 2R (3) Suy ra: DE = BD + CE (4) Vẽ OM DE (M �DE) (5) Trên tia đối tia CA lấy điểm F cho CF = BD; suy ∆BDO = ∆COF (c-g-c) � OD = OF; lại có DE = FE nên ∆ODE = ∆OFE (c-c-c) � OM = OC = R (hai đường cao tương ứng) (6) Từ (5) (6) suy DE tiếp tuyến đường tròn (O;R) c) Đặt: AD = x; AE = y � SADE xy (x, y > 0) 2 2 Ta có: DE AD AE x + y (định lí Pitago) Vì AD + DE + AE = 2R � x + y + 96 x y = 2R (6) A x D y E M C B F R O Áp dụng BĐT – Côsi cho hai số khơng âm ta có: x + y �2 xy x + y � 2xy (7) Dấu “=” xảy x = y Từ (6) (7) suy ra: xy 2xy �2R � xy �2R ۣ xy 2R 2R R2 � xy � � SADE � 2+ 3 2 3 2 SADE - 2 R Vậy max SADE = 2 R � x = y � ∆ADE cân A Câu 5: Xét điểm A hình trịn (C1) có tâm A, bán kính C C1 A B C2 - Nếu tất 98 điểm cịn lại nằm (C1) hiển nhiên tốn chứng minh - Xét trường hợp có điểm B nằm ngồi (C1) Ta có: AB > (1) Vẽ hình trịn (C2) tâm B, bán kính + Giả sử C điểm khác A B Khi điểm C thuộc hai hình trịn (C1) (C2) Thật vậy, giả sử C khơng thuộc hai hình trịn nói Suy ra: AC > BC > (2) Từ (1) (2) suy điểm A, B, C khơng có hai điểm có khoảng cách nhỏ (vơ lí trái với giả thiết) Chứng tỏ C (C1) C (C2) Như 99 điểm cho thuộc (C1) (C2) Mặt khác 99 = 49.2 + nên theo nguyên tắc Dirichle phải có hình trịn chứa khơng 50 điểm ĐỀ SỐ Câu 1: a) Theo ta có: 2011 ( x y 2011) 2010 ( y x 2010) �x y 2010 �2x 4021 �x 2010,5 �� � � +Nếu x+y -2011=0 y - x + 2010=0 � � �x y 2011 �2y �y 0,5 + Nếu y - x + 2010 = x + y - 2011 = 0, ta kết 2011 y x 2010 + Nếu x+y-2011 0 vơ lý (vì VP số hữu tỉ, VT số vơ tỉ) 2010 x y 2011 Vậy x = 2010,5 y = 0,5 cặp số thoả mãn đề b) Ta có xy (z + 1) + y(z + 1) + x(z + 1) + (z + 1) = 2012 (z + 1)(xy + y + x + 1) = 2012 (z + 1)[x(y + 1)+(y + 1)] = 2012 97 (x + 1)(y + 1)(z + 1) = 1.2.2.503 = 503.4.1 Chỉ có sau thoả mãn: x = 502, y = 1, z = x = 1005, y = 1, z = x = 2011, y = 0, z = Câu 2: a) Điều kiện: x > -1 Đặt a = x ; b = x x Ta có: 2(a2 + b2) = 5ab (2a - b)(2b - a) = b = 2a ; a = 2b Do đó: 1) x = x x 4(x + 1) = x2 - x + x2 - 5x - = x1 = 2) x 1 = x x 1 5 37 37 2 � x 4(x x 1) � 4x 5x (loại); x2 = vô 37 b) Vì a, b, c [0; 2] nên: (2 - a)(2 - b)(2 - c) > - 4(a + b + c) + 2(ab + bc + ca) - abc > 2(ab + bc + ca) > 4(a + b + c) - + abc nên 2(ab + bc + ca) > (vì a + b + c = abc �0) Suy (a + b + c)2 - (a2 + b2 + c2) > a2 + b2 + c2 �5 (vì (a + b + c)2 = 9) Dấu “=” xẩy số a, b, c có số 2, số số p Câu 3: Giả sử x = (p, q Z, q > 0) (p, q) = q nghiệm Vậy phương trình có nghiệm: x = p p Ta có n (n N) p2 = q(-P - 6q + n2q) q q => q ước p2 (p, q) = => q = lúc x = p => p2 + p + = n2 (p, n Z) (2p + 1)2 + 23 = 4n2 (2n)2 - (2p + 1)2 = 23 (2n - 2p - 1)(2n + 2p + 1) = 23 Do 2n - 2p - = 2n + 2p + = 23 ; 2n - 2p - = 23 2n + 2p + = (vì 23 P 2n + 2p + > 2n - 2p - > 0) p = (t/m) ; p = - (t/m) Vậy số hữu tỉ x cần tìm – Câu 4: 98 �N � = 1800) a) Tứ giác MNKB nội tiếp (vì K � MIC � Tứ giác MNCI nội tiếp (vì MNC � BMK � , INC � IMC � (1) MNC=900)=> BNK K (vì góc nội tiếp chắn cung) Mặt khác B � IMC � � KMC � KMC � IMC � (2) (vì BMK BMK bù với góc A tam giác ABC) � = INC � nên điểm K, N, I Từ (1), (2) suy BNK thẳng hàng � � (vì góc nội tiếpcùng chắn cung BM) b) Vì MAK MCN A S H P O C N I M Q AK CN AB BK CN AB BK CN cot g hay (1) MK MN MK MN MK MK MN AC CI BN AI BN Tương tự có: hay (2) MI MN MI MI MN IC BK � IMC � ) tg ( = BMK Mà (3) MI MK AB AC BC Từ (1), (2), (3) => (đpcm) MK MI MN c) Gọi giao AH, MN với đường tròn (O) thứ tự Q, S => AQMS hình thang cân (vì AQ // MS => AS = QM) Vẽ HP // AS (P MS) => HQMP hình thang cân, có BN trục đối xứng (vì Q H đối xứng qua BC) � AIN � => N trung điểm PM mà HP // KN (vì KN // AS SAC � ) => KN qua trung điểm HM (đpcm) NMC => 2 � �2x xy y p Câu 5: Đưa tốn tìm P để hệ phương trình: � 2 �x 2xy 3y có nghiệm � 8x 4xy 4y 4p (1) � � Hệ Lấy (1) - (2), ta có: � px 2pxy 3py 4p (2) � (8 - p)x2 - 2y(2 + p)x - (4 + 3p)y2 = (3) - Nếu y = => (8 - p)x2 = x = p = � p 0; p - Nếu y chia vế pt (3) cho y ta có : - p)t2 - 2(2 + p)t - (4 + 3p) = (4) x với t = y + Nếu p = t = - + Nếu p �8: Phương trình (2) có nghiệm ' = (2 + p)2 + (8 - p)(4 + 3p) > p2 - 12p - 18 < - p 6 Dấu “=” có xảy 99 Vậy P = - , max P = +3 ĐỀ SỐ Câu 1: a) Từ giả thiết ta có: a b c ab - b - ac + c = = b-c a-c a-b a - b a - c a Nhân vế đẳng thức với ta có: b-c b - c = ab - b - ac + c a - b a - c b - c Vai trò a, b, c nhau, thực hốn vị vịng quanh a, b, c ta có: b c - a cb - c - ab + a = a - b a - c b - c , c a - b a b c + + = (đpcm) 2 (b - c) (c - a) (a - b)2 Cộng vế với vế đẳng thức trên, ta có b) Đặt 2010 = x � 2010 = x ; ac - a - bc + b = a - b a - c b - c 2010 = x Thay vào ta có: 2 2 � 1� + + � �1 � �1 � � �x - x + x � = x x = �1 � � x � � � � � = A= � + �2 �x � �x � � �x � 1+x �1 - x + x2 �x � Câu 2: a) Vì a, b, c độ dài cạnh tam giác nên a, b, c > Áp dụng BĐT Cô-si ta có: 2 1+ a2 + bc ≥ 2a bc, b + ac �2b ac ; c + ab �2c ab Do 1 1� 1 � + + � � + + � a + bc b + ac c + ab �a bc b ac c ab � a +b b+c c+a + + ab + bc + ca = 2 = a + b + c , đpcm � 2 abc abc 2abc Dấu xẩy a = b = c, tức tam giác cho tam giác b) Điều kiện x ≥ 0; y ≥ Ta có: A = (x - xy + y) + 2y - x +1 = [ = 1 x - y - + (2y - y + ) - = 2 � � �x = x y = � � A= � � � � 2 y -1=0 �y = � � 100 x- x - y + 1] - y + 2y 1 y - 1 + y 1 �2 2 x- y -2 Vậy minA = Câu 3: a) Điều kiện : ≤ x ≤ Áp dụng BĐT Bunhiacốpski ta có: x - + - x � + x - + - x = 13.4 2 2 x - + - x Dấu xẩy x - = - x � x = 13 29 13 Thay vào pt cho thử lại thỏa mãn Vậy pt có nghiệm x = 29 13 �1 � b) Xét đẳng thức: f(x) + 3f � �= x x �0 (1) �x � �1 � Thay x = vào (1) ta có: f(2) + f � �= �2 � Thay x = vào (1) ta có: �1 � f � �+ 3.f(2) = �2 � �1 � Đặt f(2) = a, f � �= b ta có �2 � �a + 3b = 13 � � Giải hệ, ta a = 3a + b = 32 � � 13 32 Câu 4: Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp lục giác A, O, D thẳng hàng OK = AB Vì FM = EF mà EF = AB FM = OK � Ta lại có AF = R � AF = OA AFM = 1200 � + AOB � = 1800 = AOK � + 600 � AOK � = 1200 AOK Vậy f(2) = - Do đó: ∆AFM = ∆AOK (c.g.c) � � AM = AK, MAK = 600 � AMK Câu 5: Gọi BH đường cao ∆ABO Ta có 2SAOB = OA BH Nhưng BH ≤ BO nên 2SAOB ≤ OA OB a Chứng minh tương tự ta có: 2SBOC � o f k c m e d b o c h a OA + OB2 OA + OB2 Do 2SAOB � 2 Dấu “=” xảy � OA OB OA = OB mà OA.OB � b d OB2 + OC2 OC2 + OD2 ; 2SCOD � 2 101 2SAOD OD + OA � Vậy 2S = 2(SAOB + SBOC + SCOD + SDOA) ≤ 2 OA + OB2 + OC + OD 2 Hay 2S ≤ OA + OB + OC + OD Dấu xẩy OA =OB=OC=OD � = BOC � = COD � = DOA � = 900 � ABCD hình vng tâm O AOB Lời bình: từ đâu mà ra? Gọi A(x), B(x), P(x), Q(x), C(x) đa thức biến x f(x) hàm số xác định phương trình A(x).f[P(x)] + B(x).f[Q(x)] = C(x) (1) Để tình giá trị hàm số f(x) điểm x = a ta làm sau Bước 1: Giải phương trình Q(x) = P(a) (2) Giả sử x = b nghiệm (2) Bước 2: Thay x =a, x = b vào phương trình (1), đặt x =f(a), y = f(b) ta có hệ �A(a ) x B (a ) y C (a ) (3) � �B (b ) x A(b ) y C (b) Giải hệ phương trình (3) (đó hệ phương trình bậc hai ẩn x, y) Trong toán trên: A(x) = 1, B(x) = 3, P(x) = x, Q(x) = x , C(x) = x2, a = 1 Phương trình Q(x) = P(a) x , tức b x 2 Số x nghĩ 2) Chú ý: Khơng cần biết phương trình (2) có nghiệm Chỉ cần biết (có thể đốn) nghiệm đủ cho lời giải thành công 3) Một số tập tương tự a) Tính giá trị hàm số f(x) x = f(x) + 3.f(x) = + 3x (với x �) �1 � b) Tính giá trị hàm số f(x) x = f ( x ) f � � x (với x 1 x � � 1) Câu III.b: 1) Chắc chắn bạn hỏi x 102 �1 � c) Tính giá trị hàm số f(x) x = ( x 1) f ( x) f � � �x � x (với x 1) ĐỀ SỐ Câu 1: a) Từ x2 + y2 = � 2xy = (x + y)2 - = (x + y + 2) (x + y - 2) xy x+y = -1 Vì x + y + ≠ nên (1) x+y+2 Áp dụng BĐT Bunhiacopski, ta có: x + y ≤ x + y2 � x + y ≤ 2 Từ (1), (2) ta được: (2) xy � - Dấu "=" x+y+2 � x �0 , y �0 � � x=y � x=y= � 2 x +y =4 � Vậy maxA = -1 b) Vì x2 + y2 + z2 = nên: 2 x + y2 + z2 x + y2 + z x + y2 + z + + = + + x + y2 y + z z + x x + y2 y2 + z2 z2 + x z2 z2 x2 y2 2 + + + Ta có x + y ≥ 2xy = x + y2 y + z2 x + z2 x + y2 x2 x2 y2 y2 � Tương tự , � y + z2 2yz x + z 2xz 2 z x z2 x2 y y2 � Vậy + + + + +3 + x + y2 y2 + z 2xy 2yz x + z2 2xz 2 x + y3 + z3 � + + � + , đpcm x + y2 y2 + z2 z2 + x2 2xyz 10 Câu 2: a) x2 + 9x + 20 = 3x + 10 (1) Điều kiện: x � (2) (1) � (3x + 10 - 3x + 10 + 1) + (x2 + 6x + 9) = � ( 3x + 10 - 1)2 + (x + 3)2 = z2 , 2xy � 3x + 10 - = � � � x = - (thỏa mãn đk (2) Vậy phương trình (1) có nghiệm x = -3 �x + = 2x �2 2 � (1) �x y - 2x + y = �y = � x + b) � � 2x - 4x + = - y3 � �y3 = - (x - 1) - � 103 Ta có: 2x �� 1 y + x2 -1 y (1) Mặt khác: - (x - 1)2 - ≤ - � y3 ≤ - � y ≤ - (2) Từ (1) (2) � y = - nên x = Thay vào hệ cho thử lại thỏa mãn Vậy x = y = -1 số cần tìm Câu 3: a) Đặt x = b > Thay vào gt ta y = c > ta có x2 = b3 y2 = c3 b3 + b c + c3 + bc = a � a2 = b3 + b2c + c3 + bc2 + b 2c b + c a2 = (b + c)3 � a = b + c hay x2 + y = a , đpcm b) Giả sử x0 nghiệm phương trình, dễ thấy x �0 a � 1 � + = � x 02 + + a � x0 + �+ b = x0 x0 x0 x0 � � 1 = y0 x 20 + = y 20 - , y � y 02 - = - ay - b Đặt x0 + x0 x0 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có: (y 02 2) 2 2 2 2 � a b � (1) y = ay + b � a + b y + y02 Suy x + ax0 + b + Ta chứng minh (y 02 2) � (2) y02 2 Thực vậy: (2) � 5(y0 4y0 4) �4(y 1) � 5y 24y 16 �0 � 5(y02 4)(y 02 ) �0 với y �2 nên (1) 2 5(a + b ) , đpcm Từ (1), (2) suy a + b � Câu 4: Đặt AH = x c � Ta có AMB = 90 (OA = OB = OM) m Trong ∆ vuông AMB ta có MA2 = AH AB = 2Rx (H chân đường vng góc hạ từ M xuống BC) Mặt khác: MK2 = OH2 = (R - x)2 (vì MKOH hình chữ nhật) Theo ta có: 4Rx = 15(R - x)2 Do H �AB � O ≤ x ≤ 2R Phương trình trở thành: 15x2 - 34Rx + 15R2 = 104 k a h o h' b � (5x - 3R) (3x - 5R) = � x = 3R 5R ;x= Cả giá trị thoả mãn Vậy ta tìm điểm H H’ � điểm M M’ giao điểm nửa đường trịn với đường vng góc với AB dựng từ H H’ Câu 5: Gọi I trung điểm CD a b Nối EF, EI, IF, ta có IE đường trung bình ∆BDC � IE // BC e f Mà GF BC � IE GF (1) Chứng minh tương tự EG IF (2) Từ (1) (2) � G trực tâm ∆EIF � IG EF (3) Dễ chứng minh EF // DC (4) Từ (3) (4) � IG DC Vậy ∆ DGC cân G � DG = GC g d c i ĐỀ SỐ Câu 1: 1) Trừ vào vế phương trình với 2x 9x x+9 � x � 18x 9x � 18x � � - 40 = (1) Ta có: �x = 40 � �+ � x+9 � x + 9� �x + � x + x2 Đặt = y (2), phương trình (1) trở thành y2 + 18y - 40 = x+9 (y + 20) (y - 2) = y = -20 ; y = � � x = - 20(x + 9) x + 20x +180 = (3) � Thay vào (2), ta có �2 �2 x = 2(x + 9) = x - 2x - 18 = (4) � � Phương trình (3) vơ nghiệm, phương trình (4) có nghiệm là: x � 19 Vậy phương trình cho có nghiệm là: x � 19 2) Điều kiện x>3 � x+1 �0 � � (*) x �- x-3 � Phương trình cho � (x - 3) (x + 1) + 3(x - 3) x+1 =4 x-3 x+1 � t = (x - 3) (x + 1) x-3 Phương trình trở thành: t2 + 3t - = � t = 1; t = - Đặt t = x - 105 Ta có: (x -3) x (1) ; ( x 3) x - x 1 (2) x �x �x � �2 � x 1 + (1) � � (x 3)(x 1) �x 2x � (t/m (*)) �x �x � �2 � x (t/m (*)) + (2) � � (x 3)(x 1) 16 � �x 2x 19 Vậy phương trình cho có nghiệm là: x ; x Câu 2: 1) Điều kiện: - x2 > � - < x < � - 3x > � A ≥ 25 - 30x + 9x (3 - 5x) = +16 �16 - x2 - x2 Dấu xẩy - 5x = � x = Vậy minA = Vậy A2 = 2) Chứng minh: a + b + b2 + c2 + c2 + a � (a + b + c) (1) Sử dụng bất đẳng thức: 2(x y2 ) �(x y) , ta có: 2(a + b2 ) (a� b) Tương tự, ta được: a + b a + b (2) (3) b2 + c2 �b + c (4) c + a �c + a Lấy (2) + (3) + (4) theo vế rút gọn, suy (1) đúng, đpcm x2 �� Câu 3: (1) có nghiệm � y x 2; x (3) (2) � (y 1) x 2x có nghiệm � x 2x �0 � 2 �x �0 (4) Từ (3), (4) ta có: x = - 2, từ ta có y = - Vậy hệ có nghiệm (- ; - 1) Câu 4: Kẻ MP // BD (P �AD) m MD cắt AC K Nối NP cắt BD H AM AP AM CM k = = (gt) Ta có mà e AB AD AB CD i f AP CN � = � PN // AC Gọi O giao điểm a o b h AD CD n BO CO MK OC = , = AC BD Ta có OD OA PK OA NH OC NH MK = = � KH // MN Suy ra: PH OA PH PK Các tứ giác KENH, MFHK hình bình hành nên MF = KH EN = KH � MF = EN � ME = NF 106 � � = 1800 Câu 5: 1) Tứ giác MEHF nội tiếpvì MEH + MFH � = 1800 - EHF � = EHA � + FHB � � = MEF � (góc nội tiếp chắn MF � ) � AMB (1) Ta có MHF � = EMD � � + FHB � = 900 = MEF � + EMD � Lại có MHF � FHB (2) � = DMB � , Gọi N giao điểm MD với đường tròn (O) ta Từ (1) (2) � EHA � � (góc nội tiếp chắn NB � ) � EHA � = NAB � có DMB AN // EH mà = NAB � HE MA nên NA MA hay MAN = 90 � AN đường kính đường trịn Vậy MD qua O cố định 2) Kẻ DI MA, DK MB, ta có AH S AM HE AD S AM DI = MAD = ; = MAD = BD SMBD BM DK BH SMBH BM HF AH AD MA HE DI (1) = BD BH MB2 DK HF � � (cùng phụ với MHF � ) mà FHB � = EMD � Ta có HMB (CMT) = FHB � = DIK � EHF � = DMH � � EFH Vậy � � v�EHF � = 1800 - AMB � Tứ giác MEHF nội tiếp nên AMH = EFH � � v� IDK � = 1800 - AMB � Tứ giác MIDK nội tiếp nên DMB = DIK � = DIK � v�EHF � = IDK � � DIK HFE (g.g) � EFH ID DK HE.DI � ID HE = DK HF � suy = = (2) HF HE DK.HF MA AH AD Từ (1), (2) � = MB BD BH ĐỀ SỐ Câu 1: Ta có: A = =-1+ 1- 2- + + + -1 -1 24 - 25 -1 - + - + + 25 = - + = Câu 2: a) Từ giả thiết suy ra: �x � �y � �z � x2 y2 z2 + + =0 �2 2 � �2 2 � �2 2 � a a + b + c b a + b + c c a + b + c � � � � � � 1 �1 � �1 � �1 � � x � - 2 �+ y � - 2 �+ z � - 2 �= (*) a a + b + c b a + b + c c a + b + c � � � � � � 1 1 1 > 0; - > 0; - >0 Do - 2 2 a a +b +c b a +b +c c a + b2 + c2 Nên từ (*) suy x = y = z = 0, M = 107 a + � �8a - � b) x3 = 2a + x a - � � �� � �3 �� � � x3 = 2a + 3x - 2a 3 � x = 2a + x(1 - 2a) � x + (2a - 1) x - 2a = � (x - 1) (x2 + x + 2a) = x-1=0 � � �2 �x � x + x + 2a = (v�nghi� mdo a > ) � nên x m� t s�nguyên du� ng Câu 3: a) Ta có: 4c 35 35 � + �2 > (1) 4c + 57 + a 35 2b + a 2b + 35 4c 35 � 1+a 4c + 57 35 + 2b Mặt khác ۣ 4c +1 +a 4c + 57 ۳� 2b 35 + 2b Ta có: ۳� a 1+a 1- 4c + a 4c + 57 35 35 + 2b 35 2b = 35 + 2b 35 + 2b 57 + 1+ a 4c + 57 57 >0 + a 4c + 57 (2) 4c 35 �1 + 1+a 4c + 57 35 + 2b 57 35 + 4c + 57 35 + 2b 35 57 >0 4c + 57 35 + 2b (3) Từ (1), (2), (3) ta có: 8abc 35 57 �8 + a 4c + 57 2b + 35 + a 2b + 35 4c + 57 Do abc ≥ 35.57=1995 Dấu “=” xảy a=2, b= 35 c = Vậy (abc) = 1995 b) Đặt t = t= A B C D = = = � A = ta, B = tb, C = tc, D = td a b c d A+B+C+D a+b+c+d Vì 108 aA + bB + cC + dD = a t + b t + c t + d t 57 = (a + b + c + d) t = (a + b + c + d) = A+B+C+D a+b+c+d (a + b + c +d)(A + B + C + D) Câu 4: A a) Xét ∆ABC có PQ // BC � AQ QP = AB BC BQ QM = Xét ∆BAH có QM // AH � BA AH Cộng vế ta có: AQ BQ QP QM QP QM + = + � 1= + AB AB BC AH BC AH QM � �QP 1= � + � AH � �BC SMNPQ Q B M P H C N 2SMNPQ QP QM = BC AH SABC SABC SABC QP QM BC = = � QP = BC AH 2 Tức PQ đường trung bình ∆ABC, PQ qua trung điểm AH QP QM QP + QM + � QP + QM = BC b) Vì = mà BC = AH � = BC AH BC B Do chu vi (MNPQ) = 2BC (khơng đổi) Câu 5: ∆HCD đồng dạng với ∆ ABM (g.g) mà max SMNPQ = AB = 2AM nên HC = 2HD Đặt HD = x HC = 2x Ta có: DH2 = HM HC hay x2 = HM 2x � HM = 0,5x; MC = 2,5x; AM = 2,5x; AH = 3x A H C M Vậy AH = 3HD D 109 MỤC LỤC Trang A- phần đề tài I - Phần ôn thi tuyển sinh lớp 10 THPT _ II - Đề ôn thi tuyển sinh lớp 10 chuyên toán _33 B- Phần lời giải 38 I - Lớp 10 THPT _38 II - Lớp 10 chuyên toán _ 122 110 ... rằng: 2 (b - c) (c - a) (a - b) b) Tính giá trị biểu thức: 2 010 - 2 010 + 2 010 � A= � + � �4 � - 2 010 � 2 010 � � 4 1+ + 2 010 2 010 + 2 010 Câu 2: a) Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác, chứng minh: 1... đường kính MD � � b) ∆ANB ∆CMD có: ABN CDM (do tứ giác BDNM nội tiếp) � � BAN DCM (do tứ giác ACNM nội tiếp) � ∆ANB ~ ∆CMD (g.g) � � � c) ∆ANB ~ ∆CMD � CMD ANB = 90 (do ANB góc nội tiếp chắn... (2) suy MADE tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính MA � � � b) Tứ giác AMDE nội tiếp suy ra: ADE AME AMO (góc nội tiếp chắn cung AE) (3) � � Tứ giác AMCO nội tiếp suy ra: AMO ACO (góc nội