Phân loại và phương pháp giải bài tập phương trình đường tròn cho học sinh lớp 10 trường THPT thường xuân 2

1 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài: Phương trình đường trịn phần kiến thức sách giáo khoa hình học 10, phần kiến thức chiếm tỉ trọng cao kiểm tra cuối năm, nhiên thời lượng tập sách giáo khoa có 01 tiết ơn tập thêm buổi chiều khoảng tiết, để có tài liệu dạy học đầy đủ phần phương trình đường trịn thời gian cần phải phân loại đưa phương pháp phù hợp với tập Hiện sách tập, sách tham khảo phần phương trình đường trịn hình học 10 phong phú đa dạng nhiên hệ thống tập phù hợp với học sinh học chương trình ban thời lượng ơn tập lớp không nhiều Do biên soạn lựa chọn đề tài “Phân loại phương pháp giải tập phương trình đường trịn cho học sinh lớp 10 trường THPT Thường Xuân 2” 1.2 Mục đích nghiên cứu: Truyền đạt đến học sinh hệ thống tập phương pháp giải phù hợp phương trình đường trịn theo tinh thần sách giáo khoa hình học 10 ban Qua rèn luyện kĩ toán học nâng lực tư cho học sinh gặp tập liên qua đến đường trịn 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Để hồn thành viết với đề tài nói tơi phải nghiên cứu phương trình đường trịn sách giáo khoa lớp 10 hành tính chất của đường trịn phần trước 1.4 Phương pháp nghiên cứu: Phân loại dạng phương trình đường trịn theo bám theo nội dung “Phương trình đường trịn” sách giáo khoa hình học 10 hành, qua đưa phương pháp giải phù hợp với loại tập Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm [1]: 2.1.1.Phương trình đường trịn có tâm bán kính cho trước Trong mặt phẳng Oxy , đường tròn (C ) tâm I (a;b) bán kính R có phương 2 trình: (x - a) + (y - b) = R 2 Chú ý Phương trình đường trịn có tâm gốc tọa độ bán kính R x + y = R 2.1.2.Nhận xét 2 ● Phương trình đường trịn (x - a) + (y - b) = R viết dạng x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 2 c = a + b - R 2 ● Phương trình x + y - 2ax - 2by + c = phương trình đường 2 trịn (C ) a + b - c > Khi đó, đường trịn (C ) có tâm I (a;b) bán kính R = a2 + b2 - c 2.1.3.Phương trình tiếp tuyến đường trịn Cho đường trịn (C ) có tâm I (a;b) bán kính R đường thẳng D tiếp tuyến với (C ) điểm M 0(x0;y0) Ta có ● M 0(x0;y0) thuộc D uuu r IM = (x0 - a;y0 - b) ● vectơ pháp tuyến D Do D có phương trình (x0 - a)(x - x0) + (y0 - b)(y - y0) = 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Qua năm giảng dạy tơi thấy cịn nhiều học sinh lúng túng làm tập phường trình đường trịn, phần em chưa có mối liên hệ với kiến thức đường tròn lớp dưới, phần lại đa số em chưa phân loại tổng hợp, đưa phương pháp giải dạng tập phần nên em thấy nhiều tập khó nhớ cách làm 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề: Dạng 1: Nhận dạng phương trình đường trịn Phương pháp 1.1 Phương trình đường trịn có tâm bán kính cho trước Trong mặt phẳng Oxy, đường tròn (C ) tâm I (a;b), bán kính R có phương (x - a)2 + (y - b)2 = R trình: Chú ý Phương trình đường trịn có tâm gốc tọa độ O bán kính R x + y2 = R 1.2 Nhận xét 2 ● Phương trình đường trịn (x - a) + (y - b) = R viết dạng x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 2 C = a + b - R 2 ● Phương trình x + y - 2ax - 2by + c = phương trình đường 2 trịn (C ) a + b - c > Khi đó, đường trịn (C ) có tâm I (a;b), bán kính R = a2 + b2 - c Các ví dụ mẫu Ví dụ 1: Tọa độ tâm I bán kính R đường tròn (C ) : (x - 1)2 + (y + 2)2 = Lời giải Đường trịn có tâm I (1;- 2), Bán kính : R = Ví dụ 2: Tọa độ tâm I bán kính R đường trịn (C ) : 2x2 + 2y2 - 8x + 4y - = Lời giải Ta có: (C ) : 2x2 + 2y2 - 8x + 4y - = � x2 + y2 - 4x + 2y - � a = 2,b = - 1,c = - = 22 R = + 1+ = 2 Suy I (2;- 1), Ví dụ 3: Cho phương trình sau, phương trình phương trình đường trịn? 2 a) x + y + 2x - 4y + = 2 b) x + y - 6xy + 13 = 2 c) 2x + 2y - 8x - 4y - = 2 d) 5x + 4y + x - 4y + = Lời giải a = - 1,b = 2,c = � a2 + b2 - c < a) Do khơng phải phương trình đường trịn 2 b) x + y - 6xy + 13 = phương trình khơng có dạng x2 + y2 - 2ax - 2by + c = nên phương trình đường trịn 2 2 c) 2x + 2y - 8x - 4y - = � x + y - 4x - 2y - = Nên a2 + b2 - c = 22 + 12 - (- 3) = > Do phương trình phương trình đường trịn 2 d) Phương trình khơng có dạng x + y - 2ax - 2by + c = khơng phải phương trình đường trịn 2 Ví dụ 4: Cho phương trình x + y - 2mx - 4(m - 2)y + 6- m = (1) Tìm điều kiện m để (1) phương trình đường trịn Lời giải x2 + y2 - 2mx - 4( m - 2) y + - m = Ta có: a = m, b = 2( m - 2) , c = - m � a2 + b2 - c > Nên � m � � � m>2 � Vậy m �(- �;1) �(2;+�) 2 Ví dụ 5: Cho phương trình x + y - 2x + 2my + 10 = (1) Có giá trị m ngun dương khơng vượt 10 để (1) phương trình đường tròn? 2 + 10 = nên Lời giải Ta có: x + y - 2x + 2my� � m a = 1,b = - m,c = 10 � a2 + b2 - c > � m2 - > � � m �{ 4;5;6;7;8;9;10} Do có giá trị nguyên dương Dạng 2: Thiết lập phương trình đường tròn Phương pháp: Cách 1: I ( a;b) + Tìm toạ độ tâm đường trịn (C) + Tìm bán kính R đường trịn (C) 2 + Viết phương trình (C) theo dạng : (x - a) + (y - b) = R Cách 2: 2 Giả sử phương trình đường trịn (C) là: x + y - 2ax - 2by + c = 2 (Hoặc x + y + 2ax + 2by + c = ) a,b,c + Từ điều kiện đề thành lập hệ phương trình với ba ẩn a,b,c + Giải hệ để tìm từ tìm phương trình đường trịn (C ) Các ví dụ mẫu: Ví dụ 1: Lập phương trình đường trịn có tâm I (1;2) , bán kính R = Lời giải (C ) : ( x - 1) Phương trình 2 + ( y - 2) = Ví dụ 2: Viết phương trình đường trịn có tâm Lời giải I ( 1;- 5) qua O ( 0;0) 2 Đường trịn cần tìm có bán kính OI = + = 26 nên có phương trình ( x - 1) 2 + ( y + 5) = 26 Ví dụ 3: Viết phương trình đường trịn nhận AB làm đường kính với A ( 1;1) , B ( 7;5) Lời giải I ( 4;3) Gọi I trung điểm đoạn AB suy , AI = ( - 1) 2 + ( - 1) = 13 Đường tròn cần tìm có đường kính AB suy nhận 13 nên có phương trình là: ( x - 4) I ( 4;3) làm tâm + ( y - 3) = 13 bán kính R = AI = Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , viết phương trình đường trịn (C ) qua ba điểm A ( - 3;- 1) , B ( - 1;3) C ( - 2;2) Lời giải C ) : x2 + y2 + 2ax + 2by + c = ( Phương trình đường trịn có dạng , với 2 a + b - c > (C ) nên ta có hệ phương trình Vì A, B, C thuộc � 6a + 2b - c = 10 � a =- � � � � � 2a - 6b - c = 10 � � b=1 � � � � � � 4a - 4b - c = c = - 20 � � � � C ) : x2 + y2 - 4x + 2y - 20 = ( Vậy phương trình đường trịn cần tìm Ví dụ 5: Viết phương trình đường trịn (C ) có tâm I (- 2;1) tiếp xúc với đường thẳng D : 3x - 4y + = Lời giải - 6- + R = d(I , D) = = + 16 Bán kính đường tròn 2 � ( C ) : ( x + 2) + ( y - 1) = Ví dụ 6: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : 2x - y - = hai điểm A ( 1;2) , B ( 4;1) qua hai điểm A, B Lời giải Viết phương trình đường trịn (C ) có tâm thuộc d (C ) Do I �d nên I ( t;2t - 5) Hai điểm A, B Gọi I tâm 2 2 IA = I B � ( 1- t) + ( - 2t) = ( - t) + ( - 2t) � t = nên I ( 1;- 3) Suy bán kính R = I A = (C ) thuộc (C ) : ( x - 1) Vậy phương trình đường trịn cần tìm 2 + ( y + 3) = 25 Ví dụ 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A( � 1;1) � , B ( 3;3) đường thẳng d : 3x �4y + = Viết phương trình đường trịn ( C ) qua hai điểm A, B tiếp xúc với d Lời giải D qua M ( 1;2) trung điểm AB nhận Đường trung trực uuur AB = ( 4;2) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình D : 2x + y - = (C ) qua hai điểm A, B nên tâm I (C ) thuộc trung trực D nên Do I ( t;4 - 2t) Theo giả thiết toán, ta có 3t - 4( - 2t) + 2 IA = d ( I ,d) � ( - 1- t) + ( 2t - 3) = + 16 31 t= � 5t - 10t + 10 = 11t - � 2t �37t + 93 � t = I ( 3;- 2)  Với t = 3, suy Bán kính R = I A = Khi phương trình đường trịn cần tìm (C ) : ( x - 3) 2 + ( y + 2) = 25 31 t= , suy  Với � � 31 65 � I� ;- 27� � � R = IA = � � � � Bán kính Khi phương trình đường trịn cần tìm � 31� � 4225 � x+ y + 27 = � (C ) : � ( ) � � � 2� � } Ví dụ 8: Viết phương trình đường trịn (C ) qua điểm M (1;2) tiếp xúc Ox,Oy với hai trục tọa độ Lời giải Vì M ( 2;1) thuộc góc phần tư (I) nên A ( a;a) , a > Khi đó: � a =1 2 R = a2 = IM = ( a - 2) + ( a - 1) � � � a=5 � 2 2 a = � I ( 1;1) , R = 1, ( C ) : ( x - 1) + ( y - 1) = a = � I ( 5;5) , R = 5, (C ) : ( x - 5) + ( y - 5) = 25 Ví dụ 9: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d : x + 2y - = D : x + 3y - = Viết phương trình đường trịn ( C ) 10 có bán kính , có tâm thuộc d tiếp xúc với D Lời giải I ( - 2t + 3;t) �d (C ) Theo giả thiết tốn, ta có Gọi tâm � a - 2 10 a=6 d( I , D) = R � = �� � a =- 10 � I ( - 9;6) ● Với a = 6, suy Phương trình đường trịn 2 (C ) : ( x + 9) + ( y - 6) = 85 I ( 7;- 2) ● Với a = - 2, suy Phương trình đường trịn 2 (C ) : ( x - 7) + ( y + 2) = 85 Ví dụ 10: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn (C ) : x + y + 3x - = Tia Oy cắt (C ) A Viết phương trình đường (C ') , bán kính R ' = tiếp xúc ngồi với (C ) A trịn 2 Lời giải Đường trịn (C ) có tâm ( ) , bán kính R = I - 3;0 � x2 + y2 + 3x - = � � � x=0 � Tọa độ điểm A nghiệm hệ � với y > 0, suy A ( 0;2) Đường thẳng IA qua hai điểm I A nên có phương trình � x = 3t � IA : � � y = 2t + (C ') tiếp xúc với (C ) nên tâm I ' thuộc � � Đường tròn I �2 3t;2t + IA đường thẳng , suy Hơn nữa, R = 2R ' nên � uur uur - - = - 3t � AI = 2I � A �� �t= � � 0- = 2( - 2t - 2) � � t= I ' 3;3 , suy Với Phương trình đường trịn ( ) ( ( ( (C ') : x - ) ) ) + ( y - 3) = Dạng 3: Vị trí tương đối đường thẳng, đường tròn với đường tròn Phương pháp: 1.1 Vị trí tương đối đường thẳng đường trịn Phương pháp ( D ) đường tròn (C ) có tâm I bán kính R Cho đường thẳng d( I ;D) < R ( D ) cắt (C ) hai điểm phân biệt - Nếu d( I ;D ) = R ( D ) tiếp xúc với (C ) - Nếu d( I ;D) > R ( D ) (C ) khơng có điểm chung - Nếu Phương pháp ( D) : Ax + By +C = đường tròn Cho đường thằng (C ) : x2 + y2 - 2ax - 2by + c = � Ax + By +C = � �2 (I ) � x + y ax by + c = � Xét hệ phương trình � ( I ) có hai nghiệm ( D) cắt (C ) hai điểm phân biệt - Nếu hệ ( I ) có nghiệm ( D ) tiếp xúc (C ) - Nếu hệ ( I ) vơ nghiệm ( D) (C ) khơng có điểm chung - Nếu hệ 1.2 Vị trí tương đối đường trịn với đường tròn Cho hai đường tròn tròn (C ) ;(C ) có tâm I ;K bán kính R1;R2 Ta có +) (C ) (C ) ngồi (khơng có điểm chung) � IK > R1 + R2 +) (C ) (C ) đựng (khơng có điểm chung) +) (C ) (C ) đồng tâm (khơng có điểm chung) �‫ۺ‬I +) (C ) (C ) tiếp xúc I 1I = R1 + R2 +) (C ) (C ) tiếp xúc +) (C ) (C ) cắt 1 1 1 2 2 2 � IK < R1 - R2 K ;R1 R2 I 1I = R1 - R2 R1 - R2 < I 1I < R1 + R2 Các ví dụ mẫu: Ví dụ 1: Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng D : x - 2y + = 0và C ) : x2 + y2 - 2x - 4y = ( đường tròn Lời giải Tọa độ giao điểm nghiệm hệ phương trình sau � � x = 2y - x - 2y + = � � � � �2 � 2 � � x + y x y = y ( ) + y2 - 2( 2y - 3) - 4y = � � � � � � y =1 y=3 y2 - 4y + = � � � � �� �� � � � � x =- x=3 x = 2y - � � � ( 3;3) ( - 1;1) Vậy tọa độ giao điểm 2: Tìm m để đường thẳng d : y = x + m có điểm chung với đường Ví dụ (C ) : x2 + y2 - 4x - 2y + = Lời giải Đường tròn (C ) có tâm ( ) có bán kính R = I 2;1 (C ) Đường thẳng d có điểm chung với đường trịn - 1+ m d I , D�‫ۺ‬ �R+� m 2 � - �m + �2 � - �m �1 ( ) Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy , cho hai đường tròn: (C 1) : x2 + y2 - 2x - 4y = (C 2) : (x + 1)2 + (y - 1)2 = 16 Viết phương trình đường thẳng qua giao điểm hai đường trịn Lời giải (C 1) có tâm I 1(1;- 2) bán kính R1 = (C 2) có tâm I 2(- 1;1) bán kính R2 = I 1I = (- 1- 1)2 + (1+ 2)2 = 13 Ta thấy R1 - R2 < I 1I < R1 + R2 suy hai đường tròn cắt Gọi điểm M (x;y) thuộc đường thẳng cần tìm � x2 + y2 - 2x - 4y = � � � (x + 1)2 + (y - 1)2 = 16 � Tọa độ M thỏa mãn hệ � � x2 + y2 - 2x - 4y = (1) � � �2 � x + y + 2x - 2y - 14 = (2) � � (1) - (2) � - 4x + 6y + 10 = � 2x - 3y - = 0(3) Lấy Nhận thấy M (x;y) ln thỏa mãn phương trình (3) Suy đường thẳng qua giao điểm hai đường tròn là: 2x - 3y - = Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho hai đường tròn (C ) : x2 + y2 + 2x - 8y - = (C � ) : x2 + y2 + 4x - 6y + m = Tìm m để hai đường tròn cắt hai điểm A, B cho đường thẳng AB qua M ( - 3;4) điểm Lời giải Điều kiện để phương trình 2 x2 + y2 + 4x - 6y + m = � ( x + 2) + ( y - 3) = 13 - m phương 13 - m > � m < 13( *) (C ) có tâm trình đường trịn là: Đường trịn I ( - 1;4) (C � ) có tâm K ( - 2;3) bán kính bán kính R = 5, Đường trịn R� = 13 - m Ta có hai đường tròn cắt hai điểm A, B nên tọa độ A, B tỏa mãn hệ phương trình � x2 + y2 + 4x - 6y + m = � � 2x + 2y + m + = �2 � x + y + x y = � � 10 Do phương trình đường thẳng AB là: 2x + 2y + m + = 0, Đường M ( - 3;4) 2( - 3) + 2.4 + m + = � m = - 10 thẳng qua điểm nên thỏa mãn (*) m = - 10 � ( C � : x2 + y2 + 4x - 6y - 10 = (C � ) có tâm ) Với K ( - 2;3) bán kính R = 23 Ta có IK = - 23 < < + 23 nên R - R� < IK < R + R �suy hai đường tròn cắt Vậy m = - 10 Ví dụ 5: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường tròn (C ) : x + y2 + 2x - 8y - = Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d : 3x + 4y - = cắt đường trịn theo dây cung có độ dài Lời giải (C ) : x Đường tròn + y2 + 2x - 8y - = có tâm I ( - 1;4) bán kính R =5 Đường thẳng d�song song với đường thẳng d nên phương trình d�là: 3x + 4y + m = 0( m �- 2) Kẻ IH ^ d�� HA = HB = I H khoảng cách từ I đến d� : - 3+ + m m +1 IH = = 5 2 Xét tam giác vuông IHA : IH = IA - HA = 25 - = 16 � m + 1) m = 19 � d ' : 3x + y + 19 = ( � = 16 � m + = 20 � � � m = - 21 � d ' : 3x + y - 21 = 25 � ( thỏa mãn ĐK) Vậy có hai đường thẳng là: 3x + 4y + 19 = 0;3x + 4y - 21 = 11 Ví dụ 6: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm � (x - 1)2 + (y + 1)2 �m � � � (x + 1)2 + (y - 1)2 �m � � Lời giải Với m �0 hệ phương trình vơ nghiệm, với m > 2 Ta có (x - 1) + (y + 1) �m hình trịn (C 1) có tâm A(1;- 1) , bán kính R1 = m (x + 1)2 + (y - 1)2 �m hình trịn (C 2) có tâm B (- 1;1) , bán kính R2 = m Dễ thấy hai đường trịn (C 1) , (C 2) khác tâm có bán kính nên hệ cho có nghiệm (C 1) , (C 2) tiếp xúc với � AB = R1 + R2 � = m � m = Vậy với m = hệ có nghiệm Ví dụ 7: Định m để hệ phương trình sau có nghiệm � x2 + y2 + 2x - 4y + = � � � mx - y + = � � Lời giải C ) : x2 + y2 + 2x - 4y + = � (C ) ( D : mx y + = Gọi có I ( - 1;2) tâm , bán kính R = Số nghiệm hệ phương trình cho số giao điểm đường (C ) thẳng D đường trịn Hệ phương trình cho có nghiệm - m - 2+ � d ( I ;D ) = R � = � m2 - 2m + = m2 + � m = m2 + Vậy m = thỏa mãn yêu cầu toán 12 � x2 + y2 = � � � (2m + 1)x + my + m + = � Ví dụ 8: Cho hệ phương trình � (1) ( x ;y ) , ( x2;y2) cho biểu thức Tìm m đề hệ có hai nghiệm 1 A = (x1 - x2)2 + (y1 - y2)2 đạt giá trị lớn Lời giải 2 Ta có x + y = phương trình đường trịn (C ) tâm O(0;0) (2m + 1)x + my + m + = phương trình đường thẳng d Hệ (1) có hai nghiệm đường thẳng d cắt đồ thị (C ) hai điểm phân biệt M ( x1;y1) , N ( x2;y2) Giả sử giao điểm A = (x1 - x2)2 + (y1 - y2)2 = MN Khi A lớn MN lớn � MN = 2R = � d qua tâm O đường tròn (C ) � m +1= � m = - Vậy với m = - hệ cho có hai nghiệm thỏa mãn A đạt giá trị lớn Dạng 4: Tiếp tuyến đường trịn 1.Phương pháp: •Bài tốn 1: Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng D cho trước thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp: 2 Giả sử đường tròn (C ) : (x - a) + (y - b) = R Nếu D : Ax + By +C = 0ta dùng điều kiện tiếp xúc: Aa + Bb +C d(I , D) = R � =R A2 + B (C ) có tâm I ( a;b) , bán kính R Viết •Bài tốn 2: Cho đường trịn 13 phương trình tiếp tuyến điểm Phương pháp: M ( x0;y0) ( (C ) qua Cách 1: Tiếp tuyến D pháp tuyến nên có có phương trình: D : ( x0 - a) ( x - x0) + ( y0 - b) ( y - y0 ) = M x0; y0 ) , nhận uuuur IM M ( x;y) D đường tròn thuộc u uur utiếp uuuu rtuyến IM ^ MM � IM M 0M = Cách 2: Điểm làm vectơ (C ) M khi: uuur uuu uuur uuu r uuur r uuur � IM IM - IM = � IM 0.IM = IM 0 ( ) � D : ( x0 - a) (x - a) + ( y0 - a) (y - a) = R M ( xM ; yM ) •Bài tốn 3: Tiếp tuyến đường tròn qua điểm nằm ( C) ngồi Phương pháp: • � M ( x ;y ) �D M M D :� � D : A ( x - xM ) + B ( y - yM ) = 0;(A + B > 0) � r � D� c�PVT � � n = ( A;B ) � � (C ) � d(I , D) = R • D tiếp xúc • Giải phương trình điều kiện ta mối liên hệ tuyến tính A B ; Chọn A, B thích hợp ta phương trình D •Bài tốn 4: Tiếp tuyến chung hai đường tròn Cách 1: Viết phương trình đường thẳng D : ax + by + c = 0,� (a2 + b2 > 0) • Xác định tâm bán kính đường trịn: (C 1) có tâm I ( a1;b1) , bán kính R1 (C 2) có tâm I ( a2;b2) , bán kính R2 �d(I , D) = R � � (C ) (C ) �d((I , D) = R2 (1) • D tiếp xúc ⇔ � • Giải hệ phương trình (1) ta tìm mối liên hệ a, b, c (Lưu ý: Rút c theo a, b) • Chọn a, b, c thích hợp viết phương trình D Cách 2: Sử dụng đường thẳng có hệ số góc k • Xác định tâm & bán kính đường tròn: 14 I ( a ;b ) I ( a ;b ) (C ) có tâm 1 , bán kính R1 có tâm 2 , bán kính R2 •Ta xét trường hợp: � x = a1 �R1 � � � x = a2 �R2 TH1: Xét tiếp tuyến vuông góc với trục hồnh, có dạng: � +Nếu hệ có nghiệm x = x0 phương trình tiếp tuyến chung (C ) (C ) (C ) vng góc với trục hồnh (C ) (C ) +Nếu hệ vơ nghiệm khơng có tiếp tuyến chung vng góc với trục hồnh TH2: Xét tiếp tuyến khơng vng góc với trục hồnh, có dạng: D : y = kx + m �d(I , D) = R � � (C ) (C ) �d((I , D) = R2 (1) + D tiếp xúc ⇔ � +Giải hệ phương trình (1) ta tìm mối liên hệ k, m ; Từ viết phương trình tiếp tuyến chung đường trịn Lưu ý: Để kiểm tra kết ta dùng tính chất vị trí tương đối đường trịn Hạn chế cách phải chia trường hợp, học sinh thường nghĩ đến đường thẳng có hệ số góc k , không xét trường hợp tiếp tuyến vng góc với trục hồnh số trường hợp dẫn tới thiếu nghiệm Các ví dụ mẫu: (C ) có tâm I ( - 3;2) Ví dụ 1: Trên hệ trục tọa độ Oxy , cho đường trịn tiếp tuyến có phương trình là: 3x + 4y - = Viết phương trình (C ) đường trịn Lời giải 3(- 3) + 4(2) - 10 R= = =2 2 +4 Bàn kính đường trịn ( x + 3) Vậy phương trình đường trịn là: 2 + ( y - 2) = Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn (C ) :( x - 1) 2 + ( y + 5) = Lời giải Đường trịn IM = ( 3- 1) (C ) có tâm điểm ( M ( 3;- 5) ) , bán kính R = I 1;- + ( - + 5) = = R 15 Do điểm M ( 3;- 5) Tiếp tuyến (C ) thuộc đường tròn M ( 3;- 5) (C ) uuu r IM = 2;0 ( ) có véctơ pháp tuyến (C ) M ( 3;- 5) Vậy phương trình tiếp tuyến đường tròn d : 2( x - 3) + 0( y + 5) = � x - = (C ) có tâm I ( 2;- 3) tiếp Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn (C ) xúc với đường thẳng d : 3x - 4y + = Tính bán kính đường trịn Lời giải (C ) tiếp xúc với đường thẳng d, nên (C ) có bán kính: Vì đường trịn + 12 + R = d ( I ;d) = =5 + 16 (C ) : x2 + y2 + 4x - 2y = Biết tiếp tuyến Ví dụ 4: Cho đường trịn (C ) vng góc với đường thẳng d : 3x - y = Lời giải Gọi D đường thẳng vng góc với d : 3x - y = � D : x + 3y + c = (C ) có tâm I ( - 2;1) , bán kính R = D tiếp tuyến (C ) � - 2+ 3+ c c = - 1+ � � d ( I ;D ) = R � = � c +1 = � � � c = - 1- 10 � � x + 3y - 1+ = � � � x + 3y - 1- = Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm � (C ) : x + y + 2x - 6y + = biết tiếp tuyến Ví dụ 5: Cho đường tròn (C ) song song với đường thẳng d : x + 2y - 10 = 2 Lời giải Gọi D đường thẳng song song với d : x + 2y - 10 = � D : x + 2y + c = 0, ( c �- 10) (C ) có tâm I ( - 1;3) , bán kính R = 16 D tiếp tuyến ( C ) - 1+ 2.3 + c � d( I ;D) = R � = � c+5 = 5� � c=0 � � c = - 10(l ) � � Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm D : x + 2y = 2 (C ) : ( x - 2) + ( y - 2) = Lập phương trình Ví dụ 6: Cho đường trịn (C ) biết tiếp tuyến (C ) qua A ( 5;- 1) tiếp tuyến Lời giải (C ) có tâm I ( 2;2) , bán kính R = uu r n = ( a;b) a2 + b2 � A ( 5;- 1) Đường thẳng qua có véc tơ pháp tuyến có phương trình dạng D : ax + by - 5a + b = D tiếp tuyến ( C ) � d ( I ; D ) = R - 3a + 3b � = � b - a = a2 + b2 � 2ab = � a2 + b2 ( ) � a=0 � � b= � � x=5 � � y=- Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm � A ( 1;2) B ( 2;1) Ví dụ 7: Trong mặt phẳng Oxy , cho hai điểm M ( x;y) Chứng minh tập hợp điểm mặt phẳng Oxy thỏa mãn 2MB = 11+ 3MA đường tròn Viết phương trình tiếp tuyến đường D :4x + 3y - = trịn đó, biết tiếp tuyến song song với đường thẳng Lời giải 2MB = 11+ 3MA 2 2 2� � � � 2� = 11+ 3� 1- x) + ( 2- y) � � (�2- x) + ( 1- y) � ( � � � � x2 + y2 + 2x - 8y + 16 = 2 � ( x + 1) + ( y - 4) = 12 ( 1) M ( x;y) mặt phẳng Oxy thỏa mãn 2MB = 11+ 3MA đường trịn ( C ) có phương trình ( 1) (C ) có tâm I ( - 1;4) , bán kính R = Đường tròn Chứng tỏ tập hợp điểm 17 Phương trình đường thẳng D �song song với đường thẳng D có dạng: 4x + 3y + c = 0( c �- 3) C d I ,D� ) =R D �là tiếp tuyến ( ) khi: ( � - + 12 + c c =- � =1� � � c = - 13 16 + � � Vì c �- nên có c = - 13 thỏa mãn D� :4x + 3y - 13 = Vậy tiếp tuyến cần tìm (Oxy) , cho đường trịn Trong mặt phẳng Ví dụ 8: (C ) : ( x - 1) 2 + ( y + 1) = 10 Lập phương trình tiếp tuyến đường trịn D : 2x + y - = 0 biết tiếp tuyến tạo với góc 45 Lời giải Đường trịn (C ) có tâm M ( x0;y0) ( ) bán kính R = I 1;- (C ) 10 Gọi tiếp điểm , phương trình tiếp tuyến có dạng: d : ( x - 1) ( x0 - 1) + ( y + 1) ( y0 + 1) = 10 � ( x0 - 1) x + ( y0 + 1) y - x0 + y0 - = ( 1) 2 M ( x0;y0) �( C ) � ( x0 - 1) + ( y0 + 1) = 10( 2) Vì Đường thẳng d tạo với D góc 45 2( x0 - 1) + 1.( y0 + 1) cos450 = 2 + ( x0 - 1) + ( y0 + 1) � y0 = 6- 2x0 � 2x0 + y0 - = � � � y = - - 2x0 � �0 ( 3) ( 4) � � x0 = � � � � � � y0 = M ( 2;2) � � � � � � � x = M 4; � ( ) � �0 �2 � � � y0 = - ( 2) ,( 3) ta được: � � � Giải hệ phương trình tạo 18 � � x0 = � � � � � y0 = - � M ( 0;- 4) � � �� � � � x = M 2;0 � ) � �0 �4( � � � y0 = � 2) ,( 4) ( � � Giải hệ phương trình tạo ta được: M ( 2;2) ( 1) ta tiếp tuyến d1 : x + 3y - = , thay vào M ( 4;- 2) ( 1) ta tiếp tuyến d2 : 3x - y - 14 = Với , thay vào M ( 0;- 4) ( 1) ta tiếp tuyến d3 : x + 3y + 12 = Với , thay vào M ( - 2;0) ( 1) ta tiếp tuyến d4 : 3x - y + = Với , thay vào d, d, d , d (C ) thỏa mãn điều kiện đề Vậy có bốn tiếp tuyến tới Với 2 (Oxy) , cho (C ) : ( x - 2) + ( y - 1) = Viết Ví dụ 9: Trong mặt phẳng (C ) biết tiếp tuyến cắt Ox; Oy A; B phương trình tiếp tuyến cho OA = 2OB Lời giải (C ) có tâm I ( 2;1) , bán kính R = A; B Ox; Oy Tiếp tuyến cắt cho OA = 2OB � Tiếp tuyến OB k=� =� OA có hệ số góc 1 k= � D : y = x +b 2 Trường hợp 1: Với Phương trình tiếp tuyến có dạng � � b= 2b � � = 5� � � b = � � D tiếp tuyến ( C ) � d ( I ; D ) = R 5 y= x+ y = x- 2 2 Suy phương trình tiếp tuyến cần tìm k =- � Trường hợp 2: Với Phương trình tiếp tuyến có dạng d : y = - x +m (C ) � d( I ;d) = R d tiếp tuyến 19 � � m= - 2m � � = 5�� � m=� � y =- 1 x+ y =- x2 2 Suy phương trình tiếp tuyến cần tìm Vậy có tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện Ví dụ 10: Lập phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn sau: (C 1) : x2 + y2 - 4y - = (C 2) : x2 + y2 - 6x + 8y + 16 = Lời giải I ( 0;2) (C ) Đường tròn có tâm bán kính R1 = I ( 3;- 4) (C ) Đường trịn có tâm bán kính R2 = 2 Gọi D : ax + by + c = với a + b > 0; � d(I 1, D) = �� � � d(I 2, D) = C 1) C 2) ( ( � D tiếp tuyến chung � 2b + c = a2 + b2 ( *) � � �� � 3a - 4b + c = a2 + b2 � � � a = 2b � 2b + c = 3a - 4b + c � � - 3a + 2b � c= � � Suy a = 2,b = TH1: Nếu a = 2b chọn thay vào (*) ta c = - �3 nên ta có tiếp tuyến 2x + y - �3 = - 3a + 2b c= 2b - a = a2 + b2 � TH2: Nếu thay vào (*) ta a = 3a + 4b = + Với a = � c = b, chọn b = c = ta D : y + = a = 4,b = - 3,c = - + Với 3a + 4b = � c = 3b, chọn ta D : 4x - 3y - = Vậy có tiếp tuyến chung hai đường tròn là: 2x + y - �3 = 0; y + = 0; 4x - 3y - = 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường: 20 2.4.1 Đối với hoạt động giáo dục: Năm học 2019-2020 dạy lớp 10C6 10C7 hai lớp có học lực tương đương theo đánh giá kỳ Do điều kiện thời gian lớp 10C6 không ôn tập tập sáng kiến này, lớp 10C7 ôn tập đầy đủ dạng tập sáng kiến kinh nghiệm Kết kiểm tra 45’ sau thời gian học ôn tập “Phương trình đường trịn” theo đánh giá tơi học sinh lớp 10C7 làm tốt lớp 10C6 Cụ thể sau: Số hs Số hs Số hs Điểm trung Điểm điểm Điểm thấp Sĩ số điểm khá, bình trung cao Lớp trung yếu giỏi lớp 10C6 bình 37 Lớp 10C7 Số hs Sĩ số điểm yếu 40 27 5,9 Số hs điểm trung bình Số hs khá, giỏi Điểm trung bình trung lớp Điểm thấp Điểm cao 26 12 6,8 10 2.4.2 Đối với thân, đồng nghiệp nhà trường: có tài liệu tham khảo giảng dạy “Phương trình đường trịn” chương trình hình học lớp 10 Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận: Với việc triển khai giảng dạy cho học sinh chuyên đề này, thấy em học sinh tự tin đứng trước toán phương trình đường trịn kết làm tập phần có nhiều tiến Với thời lượng hạn chế khuôn khổ sáng kiến kinh nghiệm, tơi có bổ sung thêm số kiến thức liên quan phần phụ lục Bên cạnh tơi mong góp ý thầy giáo bạn đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện 3.2 Kiến nghị: nhà trường xem đề tài tài liệu tham khảo cho học sinh học “Phương trình đường trịn” lưu thư viện nhà trường để đồng nghiệp học sinh tham khảo 4.Tài liệu tham khảo Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Nguyễn Văn Đoàn, Trần Đức Huyên cộng (2006) Hình học 10, nhà xuất giáo dục, 3, 81-83 Danh mục đề tài SKKN mà tác giả Hội đồng SKKN Ngành GD, huyện, tỉnh cấp cao đánh giá đạt từ loại C trở lên Họ tên tác giả: Đỗ Văn Hào Chức vụ đơn vị công tác: giáo viên trường THPT Thường Xuân T Tên đề tài SKKN Cấp đánh Kết Năm T giá xếp loại học (Ngành GD đánh đánh cấp giá xếp giá huyện/tỉnh; loại xếp 21 Hướng dẫn học sinh tìm tịi phát triển tốn Hướng dẫn học sinh THPT Thường Xuân sử dụng máy tính Casio FX-570ES Tỉnh ) (A, B, C) Ngành GD C 2006-2007 Ngành GD C 2012-2013 Ngành GD C 2015-2016 loại giải toán Hướng dẫn học sinh THPT sử dụng đường thẳng đường tròn mặt phẳng để giải biện luận số hệ phương trình hệ bất phương trình đại số Xác nhận Hiệu trưởng Thường Xuân, ngày 02 tháng năm 2020 Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm tự viết chép Nếu sai xin chịu trách nhiệm! Tác giả Đỗ Văn Hào 22 ... ) : 2x2 + 2y2 - 8x + 4y - = � x2 + y2 - 4x + 2y - � a = 2, b = - 1,c = - = 22 R = + 1+ = 2 Suy I (2; - 1), Ví dụ 3: Cho phương trình sau, phương trình phương trình đường trịn? 2 a) x + y + 2x... phương trình khơng có dạng x2 + y2 - 2ax - 2by + c = nên phương trình đường trịn 2 2 c) 2x + 2y - 8x - 4y - = � x + y - 4x - 2y - = Nên a2 + b2 - c = 22 + 12 - (- 3) = > Do phương trình phương trình. .. dẫn học sinh THPT Thường Xuân sử dụng máy tính Casio FX-570ES Tỉnh ) (A, B, C) Ngành GD C 20 06 -20 07 Ngành GD C 20 12- 2013 Ngành GD C 20 15 -20 16 loại giải toán Hướng dẫn học sinh THPT sử dụng đường