2 PT mặt PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

Hình Học Tọa Độ Oxyz PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG NÂNG CAO A - LÝ THUYẾT CHUNG Định nghĩa Trong khơng gian Oxyz phương trình dạng Ax + By + Cz + D = với A2 + B + C > gọi phương trình tổng quát mặt phẳng  Phương trình mặt phẳng ( P ) : Ax + By + Cz + D = với A2 + B + C > có vec tơ pháp tuyến n = ( A; B; C )  Mặt phẳng ( P ) qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) nhận vecto n = ( A; B; C ) , n ≠ làm vecto pháp tuyến dạng ( P ) : A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) =  Nếu ( P ) có cặp vecto a = ( a1; a2 ; a3 ) ; b = ( b1 ; b2 ; b3 ) khơng phương, có giá song song nằm ( P ) Thì vecto pháp tuyến ( P ) xác định n =  a, b  Các trường hợp riêng mặt phẳng Trong không gian Oxyz cho mp (α ) :Ax + By + Cz + D = 0, với A2 + B + C > Khi đó:  D = (α ) qua gốc tọa độ  A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0, D ≠ (α ) song song trục Ox  A = 0, B = 0, C ≠ 0, D ≠ (α ) song song mặt phẳng ( Oxy )  A, B, C , D ≠ Đặt a = − D D D x y c , b = − , c = − Khi đó: (α ) : + + = A B C a b z Phương trình mặt chắn cắt trục tọa độ điểm A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0; 0; c ) : x y z + + = , abc ≠ a b c Phương trình mặt phẳng tọa độ: ( Oyz ) : x = 0; ( Oxz ) : y = 0; ( Oxy ) : z = Chùm mặt phẳng (lớp chuyên): Giả sử (α ) ∩ (α ') = d đó: (α ) : Ax + By + Cz + D = (α ') : A ' x + B ' y + C ' z + D ' = Pt mp chứa d có dạng: m ( Ax + By + Cz + D ) + n ( A ' x + B ' y + C ' z + D ') = (với m2 + n2 ≠ 0) Vị trí tương đối hai mặt phẳng 19 Hình Học Tọa Độ Oxyz Trong không gian Oxyz cho (α ) : Ax + By + Cz + D = (α ' ) : A ' x + B ' y + C ' z + D ' =  AB ' ≠ A ' B   (α ) cắt (α ') ⇔  BC ' ≠ B ' C CB ' ≠ C ' B   AB ' = A ' B   (α ) // (α ') ⇔  BC ' = B ' C CB ' = C ' B  va AD ' ≠ A ' D  AB ' = A ' B  BC ' = B ' C   (α ) ≡ (α ' ) ⇔  CB ' = C ' B  AD ' = A ' D Đặt biệt: (α ) ⊥ (α ') ⇔ n1.n2 = ⇔ A A '+ B.B '+ C C ' = Khoảng cách từ M ( x0 ; y0 ; z0 ) đến (α ) : Ax + By + Cz + D = d ( M , (α ) ) = Ax0 + By0 + Cz0 + D A2 + B + C Chú ý: • Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng • Nếu hai mặt phẳng khơng song song khoảng cách chúng Góc hai mặt phẳng Gọi ϕ góc hai mặt phẳng ( 00 ≤ ϕ ≤ 900 ) ( P ) : Ax + By + Cz + D = ( Q ) : A ' x + B ' y + C ' z + D ' = ( ) cosϕ = cos nP , nQ = nP nQ nP nQ = A A '+ B.B '+ C C ' A + B + C A '2 + B '2 + C '2 • Góc (α ), ( β ) bù với góc hai vtpt n1, n2 • 00 ≤ (α ),( β ) ≤ 900 ( ) • (α ) ⊥ (β ) ⇔ n1 ⊥ n2 ⇔ AA '+ BB '+ CC ' = Các hệ hay dùng: • 20 Mặt phẳng (α ) // ( β ) (α ) có vtpt nα = nβ với nβ vtpt mặt phẳng ( β ) Hình Học Tọa Độ Oxyz • Mặt phẳng (α ) vng góc với đường thẳng d (α ) có vtpt nα = ud với ud vtcp đường thẳng d • Mặt phẳng ( P ) vng góc với mặt phẳng ( Q ) ⇒ n( P ) ⊥ n( Q ) • Mặt phẳng ( P ) chứa song song với đường thằng d ⇒ n( P ) ⊥ ud • Hai điểm A, B nằm mặt phẳng ( P ) ⇒ AB ⊥ n( p ) B - CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT THẲNG Muốn viết phương trình mặt phẳng cần xác định: điểm véctơ pháp tuyến Dạng Mặt phẳng (α ) qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) có vtpt n = ( A; B;C ) (α): A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = hay Ax + By + Cz + D = với D = − ( Ax0 + By0 + Cz0 ) Dạng • • Mặt phẳng (α ) qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) có cặp vtcp a , b Khi vtpt (α) nα =  a, b  Sử dụng dạng tốn để viết phương trình mặt phẳng (α ) Dạng Mặt phẳng (α ) qua điểm khơng thẳng hàng A, B, C • Cặp vtcp: AB , AC • Mặt phẳng (α ) qua A (hoặc B C ) có vtpt n =  AB, AC  • Sử dụng dạng tốn để viết phương trình mặt phẳng (α ) Dạng • Mặt phẳng trung trực đoạn AB Tìm tọa độ M trung điểm đoạn thẳng AB (dùng cơng thức trung điểm) • Mặt phẳng (α ) qua M có vtpt n = AB • Sử dụng dạng tốn để viết phương trình mặt phẳng (α ) Dạng • Mặt phẳng (α ) qua M có vtpt vtcp đường thẳng d • (hoặc nα = AB ) Sử dụng dạng tốn để viết phương trình mặt phẳng (α ) Dạng Mặt phẳng (α ) qua M song song ( β ) : Ax + By + Cz + D = • Mặt phẳng (α ) qua M có vtpt nα = nβ = ( A; B; C ) • Sử dụng dạng tốn để viết phương trình mặt phẳng (α ) Dạng • • Mặt phẳng (α ) qua M , song song với d vuông góc với ( β ) nα = ud , n( β )  với ud vtcp đường thẳng d n( β ) vtpt ( β ) Sử dụng dạng toán để viết phương trình mặt phẳng (α ) (α ) có vtpt Dạng 21 Mặt phẳng (α ) qua M vng góc đường thẳng d (hoặc AB ) Mặt phẳng (α ) chứa M đường thẳng d khơng qua M • Lấy điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) ∈ ( d ) • Tính MM Xác định vtcp ud đường thẳng d Hình Học Tọa Độ Oxyz • Tính nα =  MM , ud  • Mặt phẳng (α ) qua M (hoặc M ) có vtpt nα Dạng Mặt phẳng (α ) qua điểm M vng góc với hai mặt phẳng cắt ( β ) , ( γ ) : • Xác định vtpt nβ , nγ ( β ) ( γ ) • Một vtpt (α ) là: nα = uγ , n( β )    Sử dụng dạng toán để viết phương trình mặt phẳng (α ) • Dạng 10 Mặt phẳng (α ) qua điểm M song song với hai đường thẳng chéo d1 , d2 : • Xác định vtcp a , b đường thẳng d1 , d2 • Một vtpt (α ) là: nα =  a, b  Sử dụng dạng tốn để viết phương trình mặt phẳng (α ) • Dạng 11 Mặt phẳng (α ) qua M , N vng góc ( β ) : • Tính MN • Tính nα =  MN , nβ  • Mặt phẳng (α ) qua M (hoặc N ) có vtpt nα • Sử dụng dạng tốn để viết phương trình mặt phẳng (α ) Dạng 12 Mặt phẳng (α ) chứa đường thẳng d vng góc với ( β ) • (α ) có vtpt nα = ud , nβ  với ud vtcp d Lấy điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) ∈ d ⇒ M ( x0 ; y0 ; z0 ) ∈ (α ) • Sử dụng dạng tốn để viết phương trình mặt phẳng (α ) • ( ) Dạng 13 Mặt phẳng (α ) chứa ( d ) song song d / (với ( d ), ( d ') chéo nhau) • Lấy điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) ∈ d ⇒ M ( x0 ; y0 ; z0 ) ∈ (α ) • Xác định vtcp ud ; ud ' đường thẳng d đường thẳng d ' • Mặt phẳng (α ) qua M có vtpt nα = ud , ud '  Sử dụng dạng tốn để viết phương trình mặt phẳng (α ) • Dạng 14 Mặt phẳng (α ) chứa hai đường thẳng song song ∆1 , ∆2 • Chọn điểm M1 ( x1; y1 ; z1 ) ∈ ∆1 M ( x2 ; y2 ; z2 ) ∈ ∆ • Tìm vtcp u1 đường thẳng ∆1 vtcp u2 đường thẳng ∆2 • Vectơ pháp tuyến mặt phẳng (α ) nα = u1 , M1 M  nα = u2 , M 1M    Sử dụng tốn để viết phương trình mặt phẳng (α ) • Dạng 15 Mặt phẳng (α ) qua đường thẳng cắt d1 , d2 : • 22 Xác định vtcp a , b đường thẳng d1 , d2 Hình Học Tọa Độ Oxyz • Một vtpt (α ) là: nα =  a, b  • Lấy điểm M thuộc d1 d ⇒ M ∈ (α ) • Sử dụng dạng tốn để viết phương trình mặt phẳng (α ) Dạng 16 Mặt phẳng (α ) qua đường thẳng ( d ) cho trước cách điểm M cho trước khoảng k khơng đổi: • Giả sử (α ) có phương trình: Ax + By + Cz+D = ( A2 + B + C ≠ ) • Lấy điểm A, B ∈ ( d ) ⇒ A, B ∈ (α ) (ta hai phương trình (1), (2)) • Từ điều kiện khoảng cách d ( M ,(α )) = k , ta phương trình (3) • Giải hệ phương trình (1), (2), (3) (bằng cách cho giá trị ẩn, tìm ẩn cịn lại) Dạng 17 Mặt phẳng (α ) tiếp xúc với mặt cầu ( S ) điểm H : • Giả sử mặt cầu ( S ) có tâm I bán kính R Vì H tiếp điểm ⇒ H ∈ (α ) • • Một vtpt (α ) là: n = IH Sử dụng dạng toán để viết phương trình mặt phẳng (α ) Dạng 18 Mặt phẳng (α ') đối xứng với mặt phẳng (α ) qua mặt phẳng ( P ) • TH1: (α ) ∩ ( P ) = d : - Tìm M , N hai điểm chung (α ), ( P ) - Chọn điểm I ∈ (α ) Tìm I ’ đối xứng I qua ( P ) - Viết phương trình mp (α ') qua I ’, M , N • TH2: (α ) / /( P ) - Chọn điểm I ∈ (α ) Tìm I ’ đối xứng I qua ( P) - Viết phương trình mp (α ') qua I ’ song song với ( P ) CÁC DẠNG TỐN KHÁC Dạng • Tìm điểm H hình chiếu vng góc M lên (α ) Cách 1:  - H hình chiếu điểm M ( P ) ⇔  MH , n phương  H ∈ (P) - Giải hệ tìm H • Cách 2: - Viết phương trình đường thẳng d qua M vng góc với (α ) : ta có ad = nα - Khi đó: H = d ∩ (α ) ⇔ tọa độ H nghiệm hpt: ( d ) (α ) Dạng 23 Tìm điểm M ’ đối xứng M qua (α ) Hình Học Tọa Độ Oxyz • Tìm điểm H hình chiếu vng góc M lên (α ) H trung điểm MM / (dùng công thức trung điểm) ⇒ tọa độ H Dạng Viết phương trình mp ( P ') đối xứng mp ( P ) qua mp ( Q ) • • TH1: (Q ) ∩ ( P ) = d - Lấy hai điểm { A, B} = ( P) ∩ (Q) (hay A, B ∈ d ) - Lấy điểm M ∈ ( P ) ( M bất kỳ) Tìm tọa độ điểm M / đối xứng với M qua (Q ) - Mặt phẳng ( P ') mặt phẳng qua d M ' • TH2: (Q ) / / ( P ) - Lấy điểm M ∈ ( P ) ( M bất kỳ) Tìm tọa độ điểm M / đối xứng với M qua (Q ) - Mặt phẳng ( P ') mặt phẳng qua M ' song song ( P ) C – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: y = Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz cho điểm M (1;0;0 ) 2 x − y − z − = N ( 0;0; −1) , mặt phẳng ( P ) qua điểm M , N tạo với mặt phẳng ( Q ) : x − y − = góc 45O Phương trình mặt phẳng ( P ) y = A  2 x − y − z − = 2 x − y − z + = C  2 x − y − z − = Câu 2: y = B  2 x − y − z + = 2 x − z + = D  2 x − z − = Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho ( P ) : x + y − z − = , ( Q ) : x − y + z − = Lập phương trình mặt phẳng (α ) chứa giao tuyến ( P ) , ( Q ) cắt trục tọa độ điểm A, B, C cho hình chóp O ABC hình chóp A x + y + z + = Câu 3: B x + y + z − = C x + y − z − = D x + y + z − = Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng: x = t x − y + z −1  ∆1 : = = , ∆ :  y = − t mặt cầu ( S ) : x + y + z − x + y − z − = −3  z = + 2t  Viết phương trình mặt phẳng (α ) song song với hai đường thẳng ∆1 , ∆ cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường trịn (C) có chu vi A x − y − 3z − = 0; x − y − 3z + 10 = 24 365π Hình Học Tọa Độ Oxyz B x − y − 3z + 10 = C x − y − z + + 511 = 0; x − y − z + − 511 = D x − y − 3z − = Câu 4: Cho tứ giác ABCD có A ( 0;1; −1) ; B (1;1; ) ; C (1; −1;0 ) ; D ( 0;0;1) Viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua A, B chia tứ diện thành hai khối ABCE ABDE có tỉ số thể tích Câu 5: A 15 x − y − z − = B 15 x + y − z − = C 15 x + y − z + = D 15 x − y + z + = y = Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz cho điểm M (1;0;0 ) 2 x − y − z − = N ( 0;0; −1) , mặt phẳng ( P ) qua điểm M , N tạo với mặt phẳng ( Q ) : x − y − = góc 45O Phương trình mặt phẳng ( P ) y = A  2 x − y − z − = 2 x − y − z + = C  2 x − y − z − = Câu 6: y = B  2 x − y − z + = 2 x − z + = D  2 x − z − = Cho tứ giác ABCD có A ( 0;1; −1) ; B (1;1; ) ; C (1; −1;0 ) ; D ( 0;0;1) Viết phương trình tổng quát mặt phẳng ( Q ) song song với mặt phẳng ( BCD ) chia tứ diện thành hai khối AMNF MNFBCD có tỉ số thể tích A 3x − 3z − = C y + z − = Câu 7: 27 B y − z − = D x + 3z + = Từ gốc O vẽ OH vuông góc với mặt phẳng ( P ) , ( OH = p ) ; gọi α , β , γ góc tạo vec tơ pháp tuyến ( P ) với ba trục Ox, Oy , Oz Phương trình ( P ) là: Câu 8: A x cos α + y cos β + z cos γ − p = B x sin α + y sin β + z sin γ − p = C x cos α + y cos β + z cos γ + p = D x sin α + y sin β + z sin γ + p = Viết phương trình tổng quát mặt phẳng ( P) cắt hai trục y ' Oy z ' Oz A ( 0, −1, ) , B ( 0, 0,1) tạo với mặt phẳng ( yOz ) góc 450 Câu 9: 25 A 2x − y + z −1 = B 2x + y − z +1 = C x + y − z + = 0; x − y + z + = D x + y − z + = 0; x − y + z − = Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: x + y + z − x + y − z − = Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá véc tơ v = (1;6;2) , vng góc với mặt phẳng (α ) : x + y + z − 11 = tiếp xúc với (S) Hình Học Tọa Độ Oxyz 2 x − y + z − = A   x − y + z + 21 = 2 x − y + z + = C  2 x − y + z − = 2 x − y + z + = B   x − y + z − 21 =  x − y + z + 13 = D  2x − y + z − = 2 Câu 10: Cho điểm A(0;8; 2) mặt cầu ( S ) có phương trình (S ) : ( x − 5) + ( y + 3) + ( z − 7) = 72 điểm B (9; −7; 23) Viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua A tiếp xúc với ( S ) cho khoảng cách từ B đến ( P ) lớn Giả sử n = (1; m; n) vectơ pháp tuyến ( P ) Lúc A m.n = B m.n = −2 C m.n = D m.n = −4 Câu 11: Cho mặt phẳng ( P ) qua hai điểm A ( 3,0, ) , B ( −3, 0, ) hợp với mặt phẳng ( xOy ) góc 300 cắt y ' Oy C Viết phương trình tổng quát mặt phẳng ( P ) A y + z + = B y + z − = C y ± z ± = D x − y − z − =  x = t1 x =   Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba đường thẳng d1 :  y = , d :  y = t2 , z = z =   x =  d3 :  y = Viết phương trình mặt phẳng qua điểm H ( 3; 2;1) cắt ba đường thẳng d1 , z = t  d , d3 A , B , C cho H trực tâm tam giác ABC A x + y + z − 11 = C x + y − z − = B x + y + z − = D x + y + z − 14 = x = + t x = t '   Câu 13: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:  y = −2 − t d’:  y = + t '    z = 2t  z = 2t ' − − Viết phương trình mặt phẳng (β) chứa (d) tạo với mặt phẳng Oyz góc nhỏ A x + y + z + = B x − y − z − = C −3 x + y − z + = D x + y − z − = x − y −1 z = = Viết phương −1 trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d cắt trục Ox, Oy A B cho đường thẳng AB vuông góc với d Câu 14: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : 26 A ( P ) : x + y + z − = B ( P ) : x + y + z − = C ( P ) : x + y − z − = D ( P ) : x − y − = Hình Học Tọa Độ Oxyz  x = −t  Câu 15: Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng d :  y = −1 + t mp  z = + t  ( P ) : x − y − z − = Viết phương trình mặt phẳng ( R ) qua d tạo với ( P ) góc nhỏ A x − y − z + = B x + y − z + = C x + y + z + = D x − y + z + = x = + t  x = − 2t ′   Câu 16: Cho hai đường thẳng d1 :  y = − t d :  y = Mặt phẳng cách hai đường  z = 2t  z = t′   thẳng d1 d có phương trình A x + y + z + 12 = B x + y − z + 12 = C x − y + z − 12 = D x + y + z − 12 = Câu 17: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho hai đường thẳng d1 , d2 có phương trình x −2 y −2 z −3 x −1 y − z −1 = = = = , d2 : Phương trình mặt phẳng (α ) cách −1 hai đường thẳng d1 , d2 là: d1 : A x − y − z = C x + y + z + = B x − y − z + = D 14 x − y − z + = Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( P ) song song cách hai đường thẳng d1 : x−2 y z x y −1 z − = = d2 : = = −1 1 −1 −1 A ( P ) : x − z + = B ( P ) : y − z + = C ( P ) : x − y + = D ( P ) : y − z − = Câu 19: Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( P ) : x − z − = hai đường thẳng d1; d2 có phương trình x −1 y z +1 x −1 y − z +1 = = ; = = Viết phương trình mặt −1 2 1 phẳng ( Q ) / / ( P ) , theo thứ tự cắt d1 , d2 A, B cho AB = −25 + 331 −25 − 331 = 0; ( Q2 ) : x − z + =0 7 B ( Q1 ) : x − z − = 0; ( Q2 ) : 55 x + 11z + 14 = A ( Q1 ) : x − z + C ( Q1 ) : −5 x − z − = 0; ( Q2 ) : −55 x − 11z + 14 = D ( Q1 ) : x − z − = 0; ( Q2 ) : 55 x − 11z + = 27 Hình Học Tọa Độ Oxyz Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A (1; 2;3) đường thẳng d : x + y +1 z = = −1 Mặt phằng ( P ) chứa đường thẳng d có khoảng cách từ A đến ( P ) lớn Khi ( P ) có véctơ pháp tuyến A n = ( 4; 5; 13) B n = ( 4; 5; −13) C n = ( 4; −5; 13) Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 : D n = ( −4; 5; 13) x −1 y + z = = −1 x + y −1 z = = Viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa d1 cho góc mặt −1 phẳng ( P ) đường thẳng d2 lớn d2 : A x + y + z + = B x − y + z − = C x + y − z − = D x + y + z − = Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M ( 1; 2; −1) Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua gốc tọa độ O ( 0; 0; ) cách M khoảng lớn A x + y − z = B x y z + + = 1 −1 C x − y − z = Câu 23: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 : D x + y + z − = x −1 y + z = = −1 x + y −1 z = = Gọi ( P ) mặt phẳng chứa d1 cho góc mặt phẳng ( P ) −1 đường thẳng d2 lớn Chọn mệnh đề mệnh đề sau: d2 : A ( P ) có vectơ pháp tuyến n = (1; −1; ) B ( P ) qua điểm A ( 0; 2;0 ) C ( P ) song song với mặt phẳng ( Q ) : x − y + z − = D ( P ) cắt d2 điểm B ( 2; −1; ) Câu 24: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz ,cho tứ diện ABCD có điểm A (1;1;1) , B ( 2;0;2 ) , C ( −1; −1;0 ) , D ( 0;3; ) Trên cạnh AB, AC , AD lấy điểm B ', C ', D ' thỏa: AB AC AD + + = Viết phương trình mặt phẳng ( B ' C ' D ') biết tứ diện AB ' C ' D ' có AB ' AC ' AD ' thể tích nhỏ nhất? A 16 x + 40 y − 44 z + 39 = B 16 x + 40 y + 44 z − 39 = C 16 x − 40 y − 44 z + 39 = D 16 x − 40 y − 44 z − 39 = Câu 25: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (α ) qua điểm M (1; 2;3) cắt trục Ox, Oy, Oz A , B , C ( khác gốc toạ độ O ) cho M trực tâm tam giác ABC Mặt phẳng (α ) có phương trình là: 28 Hình Học Tọa Độ Oxyz  M (1; −2;1)  A   17  M ;− ;−   7   M (1; 2;1)  B   17  M ; ;   7   M ( −1; 2;1)  C   13  ;− ;− M   7   M (1;1;1)  D   9  M ;− ;−   7  Hướng dẫn giải: Gọi M ( a, b, c ) M ∈ ( Q ) ⇒ a + b + c = (1) Tam giác ABM cân M khi: AM = BM ⇔ ( a − ) + ( b + 3) + ( c − 1) = ( a − ) + ( b − 1) + ( c − 1) ⇔ − a + 2b + = 2 2 a + b + c = a = 2b + Từ (1) ( ) ta có:  ⇔  −a + 2b + = c = −5 − 3b 2 ( 2) ( *) Trung điểm AB I ( 3; −1;1) Tam giác ABM cân M , suy ra: MI = AB 2 ⇔ ( a − 3) + ( b + 1) + ( c − 1) = ( 3) Thay (*) ( ) ta được: ( 2b + ) + ( b + 1) + ( −6 − 3b ) 2  b = −2 =5⇔  b = −  b = −2 ⇒ a = 1, c = ⇒ M (1; −2;1) 17  17  b = − ⇒ a = ,c = − ⇒ M  ;− ;−  7  7 7 Chọn A Câu 40: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A (1;3; ) , B ( 3; 2;1) mặt phẳng ( P ) : x + y + x − 11 = Tìm điểm M ( P ) cho MB =  M (1; 2;3)  M (1; −2;3)  M ( 2;1;3) A  B  C   M (1; 4;1)  M ( 4;1;1)  M (1; −4;1) Hướng dẫn giải: Nhận thấy A ∈ ( P ) , B ∉ ( P ) , AB = Áp dụng định lý côsin tam giác MAB ta có: MA2 = MB + BA2 = MB.BA.cos300 = ⇒ MB = MB + BA2 Do tam giác MAB vng A Ta có: u AM x =  =  AB, n p  = ( 0; −5;5) ⇒ AM :  y = − t ⇒ M (1;3 − t ; + t ) z = + t  Ta có MA2 = ⇒ t + t = ⇔ t = ±1 60 ∧ 2, MBA = 300  M (1; −2;3) D   M ( −1; 4;1) Hình Học Tọa Độ Oxyz Với t = ⇒ M (1; 2;3) ; t = −1 ⇒ M (1; 4;1) Chọn A Câu 41: Trong không gian tọa độ Oxyz , cho tám điểm A ( −2; −2; ) , B ( 3; −2; ) , C ( 3; 3; ) , D ( − 2; 3; ) , M ( − 2; − 2; ) , N ( − 2; − 2;5 ) , P ( 3; − 2; ) , Q ( − 2;3; ) Hỏi hình đa diện tạo tám điểm cho có mặt đối xứng A B Hướng dẫn giải: C D Vì tám điểm chõ tạo nên hình lập phương, nên hình đa diện tạo tám điểm có mặt đối xứng Chọn D Câu 42: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A (1; −2;0 ) , B ( 0; −1;1) , C ( 2;1; −1) , D ( 3;1; ) Hỏi có mặt phẳng cách bốn điểm đó? A B C Hướng dẫn giải: D Vơ số Ta có AB = ( −1;1;1) , AC = (1;3; −1) , AD = ( 2;3;4 ) Khi  AB, AC  = ( −4;0; −4 ) suy  AB, AC  AD = −24 ≠ Do A, B, C , D không đồng phẳng đỉnh tứ diện Khi có mặt phẳng cách đễu bốn đỉnh tứ diện Bao gồm: mặt phẳng qua trung điểm ba cạnh tứ diện mặt phẳng qua trung điểm bốn cạnh tứ diện (như hình vẽ) 61 Hình Học Tọa Độ Oxyz Chọn C Câu 43: Trong khơng gian cho điểm M (1; −3; 2) Có mặt phẳng qua M cắt trục tọa độ A, B, C mà OA = OB = OC ≠ A B C D Hướng dẫn giải: Chọn C Giả sử mặt phẳng (α ) cần tìm cắt Ox, Oy , Oz A(a, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, c)(a, b, c ≠ 0) x y z (α ) : + + = ; (α ) qua M (1; −3; 2) nên: (α ) : − + = 1(*) a b c a b c  a = b = c(1)  a = b = −c(2) OA = OB = OC ≠ ⇒ a = b = c ≠ ⇒   a = −b = c(3)   a = −b = −c(4) Thay (1) vào (*) ta có phương trình vơ nghiệm Thay (2), (3), (4) vào (*) ta tương ứng a = −4, a = 6, a = −3 Vậy có mặt phẳng Câu 44: Có mặt phẳng qua điểm M (1;9; 4) cắt trục tọa độ điểm A , B , C (khác gốc tọa độ) cho OA = OB = OC A B C D Hướng dẫn giải: Chọn D Giả sử mặt phẳng (α ) cắt trục tọa độ điểm khác gốc tọa độ A( a;0;0), B (0; b;0), C (0;0; c ) với a, b, c ≠ 62 Hình Học Tọa Độ Oxyz Phương trình mặt phẳng (α ) có dạng x y z + + = a b c Mặt phẳng (α ) qua điểm M (1;9; 4) nên + + = (1) a b c Vì OA = OB = OC nên a = b = c , xảy trường hợp sau: +) TH1: a = b = c Từ (1) suy + + = ⇔ a = 14, nên phương trình mp (α ) x + y + z − 14 = a a a +) TH2: a = b = −c Từ (1) suy + − = ⇔ a = 6, nên pt mp (α ) x + y − z − = a a a +) TH3: a = −b = c Từ (1) suy − + = ⇔ a = −4, nên pt mp (α ) a a a x − y + z + = +) TH4: a = −b = −c Từ (1) có − − = ⇔ a = −12, nên pt mp (α ) a a a x − y − z + 12 = Vậy có mặt phẳng thỏa mãn Câu 45: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(2; −2;0) , đường thẳng x +1 y z − ∆: = = Biết mặt phẳng ( P ) có phương trình ax + by + cz + d = qua A , −1 song song với ∆ khoảng cách từ ∆ tới mặt phẳng ( P ) lớn Biết a , b số nguyên dương có ước chung lớn Hỏi tổng a + b + c + d bao nhiêu? A B C D −1 Hướng dẫn giải: Gọi H hình chiếu vng góc A đường thẳng ∆ Do H ∈ ∆ ⇒ H ( −1 − t ;3t ; + t ) ⇒ AH = (−t − 3;3t + 2; t + 2) Do AH ⊥ ∆ ⇒ AH u∆ = với u∆ = (−1;3;1) ⇔ −1.( −t − 3) + 3.(3t + 2) + 1.(t + 2) = ⇔ 11t = −11 ⇔ t = −1 ⇒ H ( 0; −3;1) Gọi F hình chiếu vng góc H ( P ) , đó: d (∆, ( P )) = d ( H , ( P )) = HF ≤ HA Suy d (∆,( P))max = HA Dấu “=” xảy F ≡ A ⇒ AH ⊥ ( P ) , hay toán phát biểu lại là: 63 Hình Học Tọa Độ Oxyz “ Viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua A vuông góc với AH ” Ta có AH = ( −2; −1;1) = −(2;1; −1) , suy n( P ) = (2;1; −1) Suy phương trình mặt phẳng ( P ) là: 2( x − 2) + y + − z = ⇔ x + y − z − = a, b ∈ ℕ * a = 2, b = Do  ⇒ ⇒ a+b+c+d =  ( a, b) = c = −1, d = −2 Chọn B x = − t x −1 y − z −1  = = Câu 46: Trong không gain Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : d :  y = − t −1  z = −2  Mặt phẳng ( P ) : ax + by + cz + d = (với a; b; c; d ∈ ℝ ) vuông góc với đường thẳng d1 chắn d1 , d2 đoạn thẳng có độ dài nhỏ Tính a + b + c + d A −14 Hướng dẫn giải: B C −8 D −12 Ta có mặt phẳng (P) vng dóc với đường thẳng d1 nên (P) có véctơ pháp tuyến n = (1; 2;1) Phương trình (P) có dạng ( P ) : x + y − z + d = Gọi M giáo điểm (P) với d1 N giao (P) với d2 suy  − d − d 10 + d   −4 − d −1 − d  M ; ; ; ; −2  , N  3     Ta có MN = d 16d 155 + + 18 9 Để MN nhỏ MN nhỏ nhất, nghĩa d = −16 Khi a + b + c + d = −14 Chọn A Câu 47: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A (10; 2;1) đường thẳng x −1 y z −1 = = Gọi ( P ) mặt phẳng qua điểm A , song song với đường thẳng d cho khoảng cách d ( P ) lớn Khoảng cách từ điểm M ( −1; 2;3) đến mp d: ( P) A 64 97 15 B 76 790 790 C 13 13 D 29 29 Hình Học Tọa Độ Oxyz Hướng dẫn giải:: d ( P) mặt phẳng qua điểm A H song song với đường thẳng d nên ( P ) chứa đường thẳng d ′ qua điểm A song song với đường thẳng d Gọi H hình chiếu A d , K K hình chiếu H ( P ) d' A P Ta có d ( d , ( P ) ) = HK ≤ AH ( AH không đổi) ⇒ GTLN d ( d , ( P )) AH ⇒ d ( d , ( P ) ) lớn AH vng góc với ( P ) Khi đó, gọi ( Q ) mặt phẳng chứa A d ( P ) vng góc với ( Q ) ⇒ n P = u d , nQ  = ( 98;14; − 70 ) ⇒ ( P ) :7 x + y − z − 77 = ⇒ d ( M , ( P ) ) = 97 15 Câu 48: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm A ( 2;5;3) đường thẳng x −1 y z − = = Gọi ( P ) mặt phẳng chứa đường thẳng d cho khoảng cách từ A 2 đến ( P ) lớn Tính khoảng cách từ điểm M (1; 2; − 1) đến mặt phẳng ( P ) d: A 11 18 18 B C 11 18 D Hướng dẫn giải:: A Gọi H hình chiếu A d ; K hình chiếu A ( P ) Ta có d ( A, ( P ) ) = AK ≤ AH (Không K đổi) ⇒ GTLN d ( d , ( P )) AH ⟹ d ( A, ( P ) ) lớn K ≡ H P d H Ta có H ( 3;1; ) , ( P ) qua H ⊥ AH ⇒ ( P) : x − y + z − = Vậy d ( M , ( P ) ) = 11 18 18 Câu 49: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) với a , b, c dương Biết A, B, C di động tia Ox, Oy , Oz cho a + b + c = Biết 65 Hình Học Tọa Độ Oxyz a , b, c thay đổi quỹ tích tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện OABC thuộc mặt phẳng ( P ) cố định Tính khoảng cách từ M ( 2016;0; ) tới mặt phẳng ( P ) A 2017 B 2014 C 2016 D 2015 Hướng dẫn giải: Chọn D Gọi (α ) mặt phẳng trung trực đoạn OA a  ⇒ (α ) qua điểm D  ;0;  có VTPT OA = ( a;0;0 ) = a (1; 0;0 ) 2  a ⇒ (α ) : x − = Gọi ( β ) mặt phẳng trung trực đoạn OB  a  ⇒ ( β ) qua điểm E  0; ;0  có VTPT OB = ( 0; a;0 ) = a ( 0;1;0 )   a ⇒ (β ) : y − = Gọi ( γ ) mặt phẳng trung trực đoạn OC a  ⇒ ( γ ) qua điểm F  0; 0;  có VTPT OC = ( 0;0; a ) = a ( 0;0;1) 2  a ⇒ (γ ) : z − = a a a Gọi I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC ⇒ I = (α ) ∩ ( β ) ∩ ( γ ) ⇒ I  ; ;  2 2 a b c Mà theo giả thiết, a + b + c = ⇔ + + = ⇒ I ∈ ( P ) : x + y + z = 2 2016 − 2015 = Vậy, d ( M , ( P ) ) = 3 Câu 50: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 3x + y − z + = hai A (1; 0; ) B ( 2; −1; ) M ( x; y; z ) ( P ) điểm , Tìm tập hợp điểm nằm mặt phẳng cho tam giác MAB có diện tích nhỏ x − y − 4z + =  x − y − z + 14 = A  B  3 x − y + z − = 3 x + y − z + = x − y − 4z + = C  3 x + y − z + = Hướng dẫn giải: 66 3 x − y − z + = D  3 x + y − z + = Hình Học Tọa Độ Oxyz Chọn C Ta thấy hai điểm A, B nằm phía với mặt phẳng ( P ) AB song song với ( P ) Điểm M ∈ ( P ) cho tam giác ABM có diện tích nhỏ AB.d ( M ; AB) nhỏ ⇔ d ( M ; AB ) nhỏ nhất, hay M ∈ ∆ = ( P ) ∩ ( Q ) , ( Q ) mặt phẳng qua AB vng góc với ( P ) ⇔ S∆ABC = Ta có AB = (1; −1; ) , vtpt ( P ) n( P ) = ( 3;1; −1) Suy vtpt ( Q ) : n(Q ) =  AB, n( P )  = ( −1;7; )   PTTQ ( Q ) : −1( x − 1) + y + ( z − ) = ⇔ x − y − 4z + = x − y − 4z + = Quỹ tích M  3 x + y − z + = Câu 51: Trong khơng gian Oxyz , cho hình hộp chữ nhật ABCD A′B′C ′D′ có điểm A trùng với gốc hệ trục tọa độ, B ( a; 0; 0) , D (0; a;0) , A′(0; 0; b) (a > 0, b > 0) Gọi M trung điểm a để hai mặt phẳng ( A′BD ) ( MBD ) vng góc với là: b B C −1 D cạnh CC′ Giá trị tỉ số A Hướng dẫn giải: b  Ta có AB = DC ⇒ C ( a; a; ) ⇒ C ' ( a; a; b ) ⇒ M  a; a;  2  Cách b  Ta có MB =  0; −a; −  ; BD = ( −a; a;0 ) A ' B = ( a;0; −b ) 2   ab ab  Ta có u =  MB; BD  =  ; ; −a   BD; A ' B  = ( − a ; − a ; −a )  2  Chọn v = (1;1;1) VTPT ( A ' BD ) ( A ' BD ) ⊥ ( MBD ) ⇔ u.v = ⇔ ab ab a + − a2 = ⇔ a = b ⇒ = 2 b Cách  A ' B = A ' D  A ' X ⊥ BD AB = AD = BC = CD = a ⇒  với X trung điểm BD ⇒  MB = MD  MX ⊥ BD 67 Hình Học Tọa Độ Oxyz ( ⇒ ( A ' BD ) ; ( MBD )  = A ' X ; MX   ) a a  X  ; ;0  trung điểm BD 2  a a   a a b A ' X =  ; ; −b  , MX =  − ; − ; −  2   2 2 ( A ' BD ) ⊥ ( MBD ) ⇒ A ' X ⊥ MX 2 a a a b ⇒ A ' X MX = ⇒ −   −   + = ⇒ =1 b 2 2 Câu 52: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm A (1;0;1) ; B ( 3; −2;0 ) ; C (1; 2; −2 ) Gọi ( P ) mặt phẳng qua A cho tổng khoảng cách từ B C đến ( P ) lớn biết ( P ) khơng cắt đoạn BC Khi đó, điểm sau thuộc mặt phẳng ( P ) ? A G ( −2; 0; 3) B F ( 3; 0; −2 ) C E (1;3;1) D H ( 0;3;1) Hướng dẫn giải: Gọi I trung điểm đoạn BC ; điểm B ′, C ′, I ′ hình chiếu B , C , I B I ( P ) C Ta có tứ giác BCC ′B′ hình thang II ′ đường trung bình ⇒ d ( B, ( P ) ) + d ( C , ( P ) ) = BB′ + CC ′ = II ′ Mà II ′ ≤ IA (với IA không đổi) Do vậy, d ( B, ( P ) ) + d ( C , ( P ) ) lớn B' P I' C' A I′ ≡ A ⇒ ( P ) qua A vng góc IA với I ( 2; 0; −1) ⇒ ( P ) : − x + z − = ⇒ E (1;3;1) ∈ ( P ) Câu 53: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho điểm A (1;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) b , c dương mặt phẳng ( P ) : y − z + = Biết mp ( ABC ) vng góc với mp ( P ) d ( O, ( ABC ) ) = , mệnh đề sau đúng? A b + c = B 2b + c = C b − c = Hướng dẫn giải: 68 D 3b + c = Hình Học Tọa Độ Oxyz Ta có phương trình mp( ABC ) x y z + + =1 b c 1 − = ⇒ b = c (1) b c 1 1 Ta có d ( O, ( ABC ) ) = ⇔ = ⇔ + = 8(2) 1 b c 1+ + b c Từ (1) (2) ⇒ b = c = ⇒ b + c = ( ABC ) ⊥ ( P ) ⇒ Câu 54: Cho hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ có cạnh Tính khoảng cách hai mặt phẳng ( AB′D′ ) ( BC ′D ) Hướng dẫn giải: Chọn A A B C D Ta chọn hệ trục tọa độ cho đỉnh hình lập phương có tọa độ sau: A ( 0;0;0 ) B ( 2;0;0 ) C ( 2; 2;0 ) D ( 0; 2;0 ) AB′ = ( 2; 0; ) , AD′ = ( 0; 2; ) , A * Mặt phẳng ( AB′D′ ) qua A ( 0;0;0 ) nhận véctơ  AB′, AD′ = ( −1; −1;1) làm véctơ pháp tuyến  4 Phương trình ( AB′D′ ) là: x + y − z = * Mặt phẳng ( BC ′D ) qua B ( 2; 0; ) nhận véctơ m = C' B' BD = ( −2; 2; ) , BC ′ = ( 0; 2; ) n= D' A' A′ ( 0; 0; ) B′ ( 2;0; ) C ′ ( 2; 2; ) D′ ( 0; 2; ) D B C  BD, BC ′ = (1;1; −1) làm véctơ  4 pháp tuyến Phương trình ( BC ′D ) là: x + y − z − = Suy hai mặt phẳng ( AB′D′) ( BC ′D ) song song với nên khoảng cách hai mặt phẳng khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( BC ′D ) : d ( A, ( BC ′D ) ) = 2 = 3 Cách khác: Thấy khoảng cách cần tìm d ( ( AB′D′ ) , ( BC ′D ) ) = 69 1 AC ′ = = 3 Hình Học Tọa Độ Oxyz Câu 55: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A ( 5;5;0 ) , B (1; 2;3) , C ( 3;5; −1) mặt phẳng ( P ) : x + y + z + = Tính thể tích V khối tứ diện SABC biết đỉnh S thuộc mặt phẳng ( P ) SA = SB = SC 145 B V = 145 Hướng dẫn giải: Gọi S ( a; b; c ) ∈ ( P ) => a + b + c + = (1) A V = ( a − 5) + ( b − 5) Ta có: AS = BS = 2 45 D V = 127 + c2 , ( a − 1) + ( b − ) + ( c − 3) C V = , CS = ( a − 3) + ( b − ) + ( c + 1) 2  ( a − 1)2 + ( b − )2 + ( c − 3) = ( a − 3)2 + ( b − )2 + ( c + 1)2  SA = SB = SC ⇔   ( a − )2 + ( b − ) + c = ( a − 3) + ( b − )2 + ( c + 1)2 Do  4a + 6b − 8c − 21 = ⇔ 4a + 2c − 15 =  a = 4a + 6b − 8c − 21 =  23 13     ⇔ b = − ⇒ S =  6; − ; −  Lại có: Ta có hệ: 4a + 2c − 15 = 2 2  a + b + c + =    c = − AB ( −4; −3;3) , AC ( −2;0; −1) 23  145  => AB ∧ AC = ( 3; −10; −6 ) ; AS = 1; − ; −  => AB ∧ AC AS = 145 => VS ABC = 2  ( ) Câu 56: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A ( −2;3;1) hai mặt phẳng ( P) : x − y + 2z + = ( Q ) :2 x + y − z − = Gọi B ∈ ( P ) , C ∈ ( Q ) cho chu vi tam giác ABC nhỏ Tính P = AB + BC + CA 321 231 321 231 A P = B P = C P = D P = 9 9 Hướng dẫn giải: Chọn A Gọi A1 , A2 điểm đối xứng A qua ( P ) , ( Q ) ta có BA = BA1 , CA = CA2 P = A1 B + BC + CA ≥ A1 A2 = P = 70 321 Hình Học Tọa Độ Oxyz Dấu xảy ⇔ B = ( P ) ∩ A1 A2 , C = ( Q ) ∩ A1 A2 Trong tọa độ A1 nghiệm hệ  x = −  x −   y +   z +     −   +   + =   7       ⇔ y = ⇒ A1  − ; ;    3 3   x + = y − = z −1   −2 z =  Tọa độ điểm A2 nghiệm hệ  x=−    x −   y +   z +1   2   +   −   − = 43   43        ⇔ y = ⇒ A2  − ; ;    9 9   x + = y − = z −1   2 −1 z =  Câu 57: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm M ( 3; 4;5 ) Gọi ( P ) mặt phẳng qua M cho ( P ) cắt trục tọa độ điểm A, B, C cho khoảng cách từ gốc tọa độ tới ( P ) lớn Thể tích khối tứ diện OABC là? 6250 Hướng dẫn giải: A B 3125 C 24 D 144 Ta có: d ( O; ( P ) ) max = OM ( P ) có n = OM = ( 3; 4;5 ) ⇒ ( P ) : 3x + y + z − 50 = ⇔ x y z 50 25 3125 + + = ⇔ a = , b = , c = 10 ⇒ VOABC = 50 25 10 Chọn B Câu 58: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A (1; 2; −1) , M ( 2; 4;1) , N (1;5;3) Tìm tọa độ điểm C nằm mặt phẳng ( P ) : x + z − 27 = cho tồn điểm B, D tương ứng thuộc tia AM , AN để tứ giác ABCD hình thoi A C ( 6; −17; 21) B C ( 20;15;7 ) C C ( 6; 21; 21) D C (18; −7;9 ) Hướng dẫn giải: C giao phân giác ∆AMN với ( P ) Ta có: AM = 3; AN = Gọi E giao điểm phân giác ∆AMN MN Ta có: EM AM = = EN AN  x = + 5t   13 35  ⇒ EM + 3EN = ⇔ E  ; ;  ⇒ ( AE ) :  y = + 19t ⇒ C ( 6; 21; 21)  8 4  z = −1 + 22t  71 Hình Học Tọa Độ Oxyz Câu 59: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = hai điểm A (1; 2;3) , B ( 3; 4;5) Gọi M điểm di động ( P ) Giá trị lớn biểu thức MA + bằng: MB A + 78 Hướng dẫn giải: B 3 + 78 C 54 + 78 Ta dễ dàng nhận thấy A ∈ ( P ) AB = P = D 3 MA + MA + AB = MB MB Áp dụng định lý hàm số sin: sin MBA + sin AMB  MAB   MBA − AMB   MAB  P= = cot   cos   ≤ cot   sin MAB       Do Pmax ⇔ ∠MAB nhọn đạt giá trị nhỏ tù đạt giá trị lớn Điều xảy M nằm đường thẳng hình chiếu AB ( P ) tam giác MAB cân A Chọn C Câu 60: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz gọi d đường thẳng qua điểm A (1, 0, ) có hình chiếu mặt phẳng ( P) : x − y − 2z + = d ' Giả sử giá trị lớn nhỏ khoảng cách từ điểm M ( 2, −3, −1) tới d ' α β Tính giá trị T = α + β ? A 6 D B 2 Hướng dẫn giải: Ta có xét A′ hình chiếu A ( P ) Khi đường thẳng d ' qua điểm A′ Ta gọi C G hình chiếu M đường thẳng d ' H hình chiếu M ( P ) Ta có đánh giá: MH ≤ MG ≤ MA′ ⇒ T = α + β = MA′ + MH = Câu 61: 72 Hình Học Tọa Độ Oxyz Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba mặt phẳng (α ) : x − y + z + = 0; ( β ) : x − y + z + = 0; (δ ) : x − y + z − = Một đường thẳng ∆ thay đổi cắt ba mặt phẳng (α ) ; ( β ) ; ( δ ) A, B, C Hỏi giá trị nhỏ biểu thức P = AB + A 108 Hướng dẫn giải: 144 là? AC B 72 C 96 D 36 Chọn A Vì ba mặt phẳng (α ) / / ( β ) / / (δ ) , nên theo định lí Thales khơng gian, ta có: −1 − AB d ( (α ) , ( β ) ) = = = AC d ( (α ) , (δ ) ) −1 − ( −4 ) Do sử dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có: P = AB + 144 144 72 72 72 72 = AC + = AC + + ≥ 3 AC = 108 AC AC AC AC AC AC Chọn A A ( 2; 2;0 ) , B ( 2; 0; −2 ) mặt phẳng Câu 62: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm ( P ) : x + y − z − = Tìm điểm M ∈ ( P ) cho MA = MB góc AMB có số đo lớn  14 −1   −1  A M  ; ;  B M  ; ;  C M ( 2; −1; −1) D M ( −2; 2;1)  11 11 11   11 11 11  Hướng dẫn giải: Chọn D  x + y − z − =  M ∈ ( P ) ⇔ Ta có  2 2 2  MA = MB ( x − ) + ( y − ) + z = ( x − ) + y + ( z + )  x = 3z + ⇔  y = −z Do M ( 3z + 1; − z; z ) MA = (1 − z; + z; − z ) , MB = (1 − z; z; −2 − z ) Do 73 MA.MB (1− 3z ) + z (2 + z ) + z (2 + z ) = cos AMB = 2 MA.MB (1− 3z ) + z + (2 + z ) Hình Học Tọa Độ Oxyz = 1−  54  11 z −  +  11  11 Dấu đạt z = ≥ 5 ⇒ AMB ≤ arccos 27 27  14 −1  ⇒ M  ; ;  11  11 11 11  Câu 63: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = hai điểm A ( 3; 4;1) , B ( 7; − 4; − 3) Gọi M ( x0 ; y0 ; z0 ) điểm thuộc mặt phẳng ( ( P) cho ) MA2 + MB − MA.MB + MA.MB = 96 MA.MB đạt giá trị lớn Tính y0 Hướng dẫn giải: Chọn C A y0 = B y0 = ( MA2 + MB − 2MA.MB + MA.MB ( ) C y0 = − ) = 96 ( ) ( ) = 96 ⇔ AB + ( MA.MB ) ⇔ ( MA.MB ) = ⇔ MA.MB = ⇔ MA ⊥ MB 2 = 96 ⇔ MA + MB − 2MA.MB + MA.MB ⇔ MA − MB + MA.MB D y0 = 2 = 96 MA2 + MB AB = = 48 2 Dấu xảy ∆AMB vuông cân M , tọa độ điểm M nghiệm x + y − z + =  2 2 , y0 = − , z0 = ± hệ ( x − 3) + ( y − ) + ( z − 1) = 48 ⇔ x0 = ± 3 3  2 ( x − ) + ( y + ) + ( z + 3) = 48 Khi theo AM – GM Pitago, ta có MA.MB ≤ 74 ... )) = a2 + b2 + c2 9a − 7b + 23 c − 8b − 2c a + b2 + c 5a − 11b + 5c + 4( a − b + 4c) = ≤ a + b2 + c2 ≤ 5a − 11b + 5c a2 + b2 + c2 +4 a − b + 4c = =6 ⇔ 5a − 11b + 5c a2 + b2 + c2 9a − 15b + 21 c =... ? ?2 − 2 + (−4) + 2 = 2 2 Vậy thể tích khối lập phương là: V = = 3 27 Câu 38: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , gọi (α ) mặt phẳng qua hai điểm A (2; 0;1) B (? ?2; 0;5) đồng thời hợp với mặt phẳng. .. c = −2a + 3c − c Theo ra: d ( B, ( P ) ) = 2d ( A, ( P ) ) ⇔ a2 + c2 a−c =2 a2 + c2 ⇔ c−a = a−c Vậy có vơ số mặt phẳng ( P ) Câu 35: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho phương trình mặt phẳng