Luy thua - Mu - Logarit

GV: Nguyễn Ngọc Hóa Chương II: Hàm số mũ và hàm số logarit CHƯƠNG II: HÀM SỐ LŨY THỪA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT BÀI 1: LŨY THỪA I. Lý thuyết. 1. Lũy thừa với số mũ nguyên dương: Với mọi * ;a R n N∈ ∈ ta có: +) . n a a a a= +) Với 0a ≠ : 0 1 ; 1 n n a a a − = = +) Tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên: Với mọi * ; ; ,a b R m n Z∈ ∈ ta có: ( ) ( ) . . ; ; . ; ; n m n n m m n m n m n m m m m n n n a a a a a a a ab a b a a b a b + −   = = = = =  ÷   Nếu 0 a b < < thì 0 n n a b n< ∀ > ; 0 n n a b n> ∀ < Nếu 1a > và m n> thì m n a a> (mũ càng lớn thì càng lớn). Nếu 0 1a < < và m n> thì m n a a< (mũ càng lớn thì càng nhỏ). VD1: Tính giá trị của biểu thức sau: ( ) 10 9 4 3 2 1 1 1 .27 0,2 .25 128 . 3 2 A − − − − − −     = + +  ÷  ÷     VD2: Rút gọn biểu thức: ( ) 3 1 1 2 2 2 2 2 . 1 1 a a B a a a − − − −     = −   − +     ( ) 0; 1a a≠ ≠ ± VD3: Hãy so sánh các cặp số sau đây: a/ 3 5 4    ÷   và 3 6 5    ÷   b/ 2 8 9 −    ÷   và 2 7 8 −    ÷   2. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ Với a là số thực dương và ; , ; 2 m r m Z n N n n = ∈ ∈ ≥ ta định nghĩa: m n r m n a a a= = 3. Lũy thừa với số mũ vô tỉ. Với a là số thực dương và α là số vô tỉ, dãy số ( ) : n n r r α → thì lim n r n a a α →+∞ = 4. Tính chất của lũy thừa với số mũ thực. Cho a, b là các số nguyên dương; ; α β là các số thực tùy ý. Khi đó: +) .a a a α β α β + = a a a α α β β − = +) ( ) . a a β α α β = ( ) . .a b a a α α β = a a b b α α α   =  ÷   +) Nếu 1a > thì a a α β α β > ⇔ > +) Nếu 0 1a < < thì a a α β α β > ⇔ < +) Nếu 0 α > thì 0a b a b α α > ⇔ > > +) Nếu 0 α < thì 0a b a b α α > ⇔ < < VD1: Rút gọn biểu thức: a/ ( ) ( ) 7 1 2 7 2 2 2 2 . 0 a a A a a + − + − = > b/ ( ) ( ) 3 1 3 1 5 3 4 5 0 . a B a a a + − − − = > VD2: Rút gọn biểu thức: Trường THPT Trần Quốc Tuấn – Hải Hậu – Nam Định 1 GV: Nguyễn Ngọc Hóa Chương II: Hàm số mũ và hàm số logarit a/ ( ) 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 , 0; x y x y A y x x y x y x y x y − −     + −  ÷ = − − > ≠  ÷  ÷  ÷   ÷ − +   ĐS: 4 B x y = + b/ ( ) ( ) ( ) 3 3 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 , 0, ( ) x y x y x y y B x y x y x y x y x y + − + = + > ≠ + − + ĐS: 1A = II. Các dạng bài tập. Bài toán1: Tính giá trị của biểu thức. VD1: Thực hiện phép tính. a/ 6 2 5 32 27+ b/ 4 3 3 6 27 9 9.3 3 c/ ( ) ( ) 3 3 3 3 3 9 6 4 3 2+ + − d/ 4 0,75 3 1 1 16 8 − −     +  ÷  ÷     VD2: Thực hiện phép tính. a/ 9 6 7 5 7 5 8 : 64 3 . 81− b/ ( ) 5 4 2 3 5 4 5 0,2 − − −     +  ÷  ÷     VD3: Thực hiện phép tính. a/ 3 2 1 2 4 2 4 .2 .2 + − − − b/ 3 5 2 5 1 5 6 2 .3 + + + c/ ( ) 1 2 2 2 1 2 2 25 5 .5 + − − − d/ ( ) 2 4 1 2 3 3 3 0,001 2 .64 8 − − − − − e/ ( ) 1 2 3 2 3 3 27 2 3 8 − −   − − + +  ÷   f/ ( ) 1 4 0,25 3 0,5 625 8 − − − − VD4: Tính giá trị các biểu thức sau: a/ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 3 2 3 5 4 7 2 . 2 . 2 2 M = b/ 3 27 1 3 24 : 2 .3N − = Bài toán2: Chứng minh đẳng thức. VD1:Chứng minh các đẳng thức sau: a/ 4 6 20 1 5+ = + b/ ( ) 6 3 3 9 4 5 2 5 5 2 2+ + + − = c/ 3 4 2 3 1 3 10 6 3 + = + + d/ 3 9 5 3 3 1 9 5 3 3 1 − − = + + VD2: Chứng minh rằng: a/ 3 3 5 2 5 2 1+ − − = b/ 3 3 5 2 7 5 2 7 2+ − − = Trường THPT Trần Quốc Tuấn – Hải Hậu – Nam Định 2 GV: Nguyễn Ngọc Hóa Chương II: Hàm số mũ và hàm số logarit c/ 4 2 3 4 2 3 2+ − − = d/ 3 3 9 80 9 80 3+ + − = VD3: Cho 4 10 2 5a = + + ; 4 10 2 5b = − + . Tính a b+ ĐS: 1 5a b+ = + VD3: Chứng minh rằng: ( ) ( ) 4 4 4 4 1 a b a b a b a b + + = − − VD4: Khi nào các đẳng thức sau luôn đúng? a) 4 2 2 9 3x y x y= b) + = − − 2 (5 2 ) 5 2a a c) 6 9 2 3 3 27 3a b a b= . VD5: Có thể viết − = − = − 1/3 3 ( 27) 27 3 được không? Bài toán3: Rút gọn biểu thức. VD1: Rút gọn các biểu thức sau: a/ 2 1 2 1 .A a a −   =  ÷   b/ 2 4 4 . :B x x x π π = c/ 2 1 1 2 2 1 2 : b b C a b a a     = − + −  ÷  ÷  ÷     d/ 1 9 1 3 4 4 2 2 1 5 1 1 4 4 2 2 a a b b D a a b b − − − − = − − + e/ ( ) ( ) ( ) 1 2 3 4 3 3 1 2 3 3 3 3 1a a a E a a a − − − − = + + f/ 2 2 2 1 ( ) ( ) 2 a a b F a b ab −   −     = − + VD2: Đơn giản các biểu thức sau: a/ 5 3 3 12 :A a a a a a= b/ 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 4 9 4 3 3 ;( 0; 1; ) 2 2 3 a a a a Q a a a a a a a − − − −   − − +   = + > ≠ ≠   − −   VD3: Tính giá trị các biểu thức sau: 1 5 1 3 7 1 1 2 3 32 4 4 2 3 .5 : 2 : 16: (5 .2 .3A −         =               2 3 3 3 3 2 2 2 2 3 B= : ( ) a b a a b a a b b a ab − + − − − ; vơ ́ i 6 5 a = va ̀ 3 5 b = 3 2 3 1 2 1 32 2 C ( ) ( )a b ab a − − − − −   =     ; vơ ́ i 2 2 a = va ̀ 3 1 2 b = VD4: Chứng minh các đẳng thức sau: a/. 1 2 2 2 1 1 1 1 3 2 2 2 2 2 1 2 0 a a a a a a a a a − − − − − − − + + = − + b/. 3 3 3 32 4 2 2 2 4 2 2 3 ( )a a b b a b a b+ + + = + VD5: Trục căn thức ở mẫu: a/ 1 3 2 2 3− b/ 1 2 3 5+ + c/ 3 3 1 3 2− d/ 3 1 2 3− Trường THPT Trần Quốc Tuấn – Hải Hậu – Nam Định 3 GV: Nguyễn Ngọc Hóa Chương II: Hàm số mũ và hàm số logarit Bài toán4: So sánh các biểu thức. PP: +) Đưa về cùng cơ số và so sánh số mũ. +) Đưa về cùng số mũ và so sánh cơ số. +) So sánh với cùng một số trung gian. VD1: So sánh a/ 3 1 3 −    ÷   và 2 1 3 −    ÷   b/ 5 3 − và 7 3 − c/ ( ) 7 4 3 1− và ( ) 2 2 3 1− d/ 2 3 2 −    ÷  ÷   và 2 1 2 −    ÷   VD2: So sánh a/ 1 2 1 4 − +    ÷   và 2 3 8 − b/ ( ) 3 2 3 2 − − và 2 1 1 3 2 −    ÷ +   PP: Đưa về cùng cơ số và so sánh số mũ VD3: So sánh. a/ 3 3 và 4 4 b/ 3 2 và 2 3 c/ 3 2 3 và 3 3 2 PP: Đưa về cùng căn thức cùng bậc và so sánh biểu thức trong căn. VD4: So sánh. a/ 3 3 30+ và 3 63 b/ 3 7 15+ và 3 28 10+ PP: So sánh trung gian. VD5: So sánh: a/ 11 31 và 14 17 b/ 10000 2 và 3000 10 VD6: Tìm x thỏa mãn từng điều kiện sau: a/ 2 8 x ≤ b/ 3 1 3 1 x− ≥ c/ 2 2 1 1 1 3 3 x x+ −     <  ÷  ÷     d/ 1 2 .3 3 36 6 x x+ > BÀI 2: HÀM SỐ LŨY THỪA I. Lý thuyết. 1. Khái niệm về hàm số lũy thừa. Hàm số ;y x R α α = ∈ được gọi là hàm số lũy thừa. 2. Tập xác định: +) Nếu α nguyên dương thì TXĐ là R. +) Nếu α nguyên âm hoặc bằng 0 thì TXĐ là { } \ 0R +) Với α không nguyên thì TXĐ là ( ) 0;+∞ VD: Tìm TXĐ của hàm số a/ ( ) 2 2 4y x − = − b/ ( ) 1 3 1 2y x= − c/ ( ) 1 2 2 5 1y x x − = + − 3. Đạo hàm của hàm số lũy thừa. Trường THPT Trần Quốc Tuấn – Hải Hậu – Nam Định 4 GV: Nguyễn Ngọc Hóa Chương II: Hàm số mũ và hàm số logarit ( ) 1 ' .x x α α α − = ( ) 1 ' . . 'u u u α α α − = 4. Khảo sát hàm số lũy thừa. ( ) 0y x α α = > ( ) 0y x α α = < Tập khảo sát: ( ) 0;+∞ Sự biến thiên: 1 ' . 0 0y x x α α − = > ∀ > nên hàm số đồng biến trên ( ) 0;+∞ . Giới hạn đặc biệt: 0 lim 0; lim x x x x α α + →+∞ → = = +∞ Tiệm cận: không có tiệm cận. Bảng biến thiên: x 0 +∞ 'y + y +∞ 0 Tập khảo sát: ( ) 0;+∞ Sự biến thiên: 1 ' . 0 0y x x α α − = < ∀ > nên hàm số nghịch biến trên ( ) 0;+∞ Giới hạn đặc biệt: 0 lim ; lim 0 x x x x α α + →+∞ → = +∞ = Tiệm cận: 0x = là tiệm cận đứng, 0y = là tiệm cận ngang. Bảng biến thiên: x 0 +∞ 'y - y +∞ 0 5. Đồ thị. Nhận xét : Đồ thị hàm số lũy thừa y x α = luôn đi qua điểm ( ) 1;1 Chú ý: Khảo sát sự biến thiên của hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể phải xét trên tập xác định của hàm số đó. II. Các dạng bài tập. Bài toán1: Tìm TX Đ của hàm số. VD1: Tìm TX Đ của các hàm số sau: a/ ( ) 3 2 2y x x − = + + b/ 3 2 3 4y x x= − − c/ 2 4 3 1y x x= − − d/ ( ) 1 2 3 2 5 2y x x= − + e/ ( ) ( ) 3 2 2 3 2y x x − = − + − f/ ( ) 1 3 5 8y x − = − VD2: Tìm TX Đ của các hàm số sau: a/ ( ) 2 3 3y x x= − b/ ( ) 1 2 3 6y x x − = + − c/ ( ) 1 2y x x π − = + + − Trường THPT Trần Quốc Tuấn – Hải Hậu – Nam Định 5 1 2 3 4 1 2 3 4 x y 1 α > 0 1 α < < 0 α < 1 α = 0 α = GV: Nguyễn Ngọc Hóa Chương II: Hàm số mũ và hàm số logarit Bài toán2: Tính đạo hàm của hàm số lũy thừa. VD1: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a/ 3 y x= b/ ( ) ( ) 5 3 1 2 1 1 y x x = + + − c/ 3 3y x x= + − VD2: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a/ 2 3 1 y x x π = + b/ ( ) 3 3 2 3 1 y x x = + + + c/ ( ) 1 3 4 3y x x= + d/ 2 1 1 y x x = + e/ 3 2 2 2y x x= − + f/ ( ) 2 1 3 y x = − Bài toán3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số lũy thừa. VD1: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số sau trên cùng một hệ trục tọa độ. a/ 3 y x= và 1 3 y x= b/ 2 y x= và 2 y x − = VD2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. a/ 3 y x − = b/ 1 2 y x − = c/ 2 1 y x = VD3: Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau: a/ 5 y x= và 5 y x= b/ 5 y x − = và 5 y x − = BÀI3: LOGARIT Khởi động: Tìm x để a/ 2 8 x = b/ 1 2 4 x = c/ 1 3 27 x = d/ 1 1 5 125 x   =  ÷   Như vậy cho a là số dương ta có hai bài toán trái ngược khi có PT: a b α = : +) Cho α tính b +) Cho b tính α . Trường THPT Trần Quốc Tuấn – Hải Hậu – Nam Định 6 -4 -2 2 4 -2 2 4 6 x y y = x 2 y = 1/x 2 -2 -1 1 2 3 -2 -1 1 2 x y y = x 2 y = 1/x 2 GV: Nguyễn Ngọc Hóa Chương II: Hàm số mũ và hàm số logarit Vấn đề: Tìm x để : 2 3 x = ?. I. Khái niệm logarit. 1. Định nghĩa: Cho 2 số dương a và b với 1a ≠ . Số α thỏa mãn đẳng thức a b α = được gọi là logarit cơ số a của b và kí hiệu là: log a b α = . Như vậy: log a b a b α α = ⇔ = ( ) , 0; 1a b a> ≠ VD1: a/ 2 log 4 2= vì 2 2 4= b/ 3 1 log 2 9 = − vì 2 1 3 9 − = c/ 4 1 log 2 4 = vì 1 4 4 2= VD2: Tính 1 2 log 4 2 1 log 4 Chú ý: Không có logarit của số âm và số 0. 2. Tính chất. Từ các tính chất của lũy thừa: ( ) 0 1 1; 0; 1a a a a a= = > ≠ ta suy ra các tính chất tương ứng của logarit. Cho 2 số dương a và b ( ) 1a ≠ ta có các tính chất sau: log log 1 0;log 1; ; log a b a a a a a b a α α = = = = VD1: a/ ( ) 3 3 2 2log 5 log 5 2 3 3 5 25= = = b/ 1 3 2 2 2 1 log log 8 log 2 3 8 − − = = = − VD2: Tính a/ 2 1 log 7 2 b/ 3 log 4 1 9    ÷   c/ 9 log 2 1 2 log 4 3+ II. Quy tắc tính logarit. 1. Logarit của một tích. ĐL1: Cho 3 số dương a, 1 2 ;b b với 1a ≠ ta có: ( ) 1 2 1 2 log log log a a a b b b b= + VD1: Tính ( ) 6 6 6 6 log 12 log 3 log 12.3 log 36 2+ = = = VD2: Tính 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 9 1 1 9 1 1 9 1 log 2 2log log log 2 log log log log 2. . . log 2 3 8 3 3 8 3 3 8 4   + + = + + + = = =  ÷   2. Logarit của một thương. ĐL2: Cho 3 số dương 1 2 ; ;a b b với 1a ≠ ta có: 1 1 2 2 log log log a a a b b b b = − VD1: Tính 3 3 3 3 3 3 27 3 log log log 27 log 4 log 3 log 4 3 1 2 4 4 − = − − + = − = . Cách khác? VD2: Tính 7 7 2 5 log log 35 2 − 3. Logarit của một lũy thừa. ĐL3: Cho 2 số dương ;a b với 1a ≠ . Với mọi α ta có: log .log a a b b α α = . 1 log log n a a b b n = VD1: Tính ( ) 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 log 4 log 12 log 4 log 3 log 4 3 3 3 3 − = − + = − Trường THPT Trần Quốc Tuấn – Hải Hậu – Nam Định 7 GV: Nguyễn Ngọc Hóa Chương II: Hàm số mũ và hàm số logarit VD2: Tính 5 5 5 1 log 3 log 12 log 50 2 − + ĐS: 2 III. Đổi cơ số. ĐL4: Cho 3 số dương ( ) , , 1; 1a b c a c≠ ≠ . Khi đó ta có: log log log c a c b b a = ; log log .log c c a b a b= Đặc biệt: 1 log ; log .log 1 log a a b b b b a a = = và 1 log log k a a b b k = ; log log n n a a b b= VD1: a/ 1 2 2 2 2 log 4 log 4 2log 4 4= = = b/ 1 2 2 2 2 2 log 3 log 3 2log 3 log 3= = = VD2: a/ 2 4 2 1 log 9 log 9 log 3 2 2 2 2 3= = = b/ 1 3 27 1 1 log 2 log 2 3 3 3 1 3 3 2 2 − − = = = VD3: 2 3 2 9 2 2 3 3 3 3 log 3.log 8 log 3.log 2 log 3.log 2 2 2 = = = IV. Áp dụng. VD1: Tính. a/ 4 log 15 2 b/ 3 2 log log 8 VD2: Tính 3 1 1 1 2 3 3 1 2log 6 log 400 3log 45 2 A = − + ĐS: 4A = − VD3: a/ Cho 2 log 5a = . Tính 4 log 1250 theo a. ĐS: ( ) 1 1 4 2 a+ b/ Cho 2 log 5a = . Tính 5 1 log 1000 theo a. ĐS: ( ) 6 1 a a + VD4: Rút gọn biểu thức: 1 9 3 3 1 log 7 2log 49 log 7 A = + − ĐS: 3 3log 7 V. Logarit thập phân và logarit tự nhiên. 1. Logarit thập phân +) Là logarit cơ số 10. Kí hiệu là 10 log a ; log ;lga a 2. Logarit tự nhiên. +) Kí hiệu 1 lim 1 2,718281828 n e n   = + ≈  ÷   +) Logarit tự nhiên là logarit cơ số e: log ln e b b= Chú ý: Tính logarit cơ số khác 10 và khác e bằng máy tính bỏ túi ta sử dụng công thức đổi cơ số. VD: 2 lg3 log 3 lg 2 = hoặc 2 ln3 log 3 ln 2 = Trường THPT Trần Quốc Tuấn – Hải Hậu – Nam Định 8 . Định 6 -4 -2 2 4 -2 2 4 6 x y y = x 2 y = 1/x 2 -2 -1 1 2 3 -2 -1 1 2 x y y = x 2 y = 1/x 2 GV: Nguyễn Ngọc Hóa Chương II: Hàm số mũ và hàm số logarit. ĐS: 3 3log 7 V. Logarit thập phân và logarit tự nhiên. 1. Logarit thập phân +) Là logarit cơ số 10. Kí hiệu là 10 log a ; log ;lga a 2. Logarit tự nhiên.