SKKN các yếu tố phụ trong giải toán ở thcs

============================================== ========== Phần I: PHẦN MỞ ĐẦU I 1.LÝ DO I.1.1 Cơ sở lí luận Trước phát triển mạnh mẽ kinh tế tri thức khoa học, công nghệ thông tin nay, xã hội thông tin hình thành phát triển thời kỳ đổi nước ta đặt giáo dục đào tạo trước thời cơ, thách thức Để hịa nhập tiến độ phát triển giáo dục đào tạo ln đảm nhận vai trị quan trọng việc “đào tạo nhân lực, nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân tài” mà Đảng, Nhà nước đề ra, “đổi giáo dục phổ thông theo Nghị số 40/2000/QH10 Quốc hội” Nhằm đáp ứng mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, đường nâng cao chất lượng học tập học sinh từ nhà trường phổ thông Là giáo viên mong muốn học sinh tiến bộ, lĩnh hội kiến thức dễ dàng, phát huy tư sáng tạo, rèn tính tự học, mơn tốn mơn học đáp ứng đầy đủ u cầu Việc học tốn học SGK, không làm tập Thầy, Cô mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tịi vấn đề, tổng quát hoá vấn đề rút điều bổ ích Dạng tốn hình học có vẽ thêm yếu tố phụ dạng toán quan chương trình hình học bậc THCS, đáp ứng yêu cầu này, tảng, làm sở để học sinh có tầm nhìn cao việc phát tìm lời giải tốn Tuy nhiên, lý sư phạm khả nhận thức học sinh đại trà mà chương trình đề cập đến dạng tốn hình học có vẽ thêm yếu tố phụ thông qua tập mà yếu tố đường phụ vẽ thêm đơn giản Vấn đề đặt làm để học sinh giải tốn dạng tốn hình học có vẽ thêm yếu tố phụ, nhanh chóng đạt hiệu cao Để thực tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh kĩ quan sát, nhận xét, đánh giá toán, đặc biệt kĩ giải toán, kĩ vận dụng toán, tuỳ theo đối tượng học sinh, mà ta xây dựng cách giải cho phù hợp sở phương pháp học cách giải khác, để giúp học sinh học tập tốt môn I.1.2 Cơ sở thực tiễn Năm học 2017- 2018 nhà trường phân cơng giảng dạy mơn tốn ( Trường THCS Triệu Phước) qua thực tế giảng dạy kết hợp với dự giáo viên trường, đồng thời qua đợt kiểm tra, kì thi chất lượng thân nhận thấy em học sinh chưa có kỹ thành thạo làm dạng tập như: Chứng minh rằng: Trong tam giác, có đường cao đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh chia góc đỉnh thành ba phần tam giác tam giác vng ========================================================= ============================================== ========== Trong thực tế giảng dạy Toán trường THCS việc làm cho học sinh có kỹ giải tốn Dạng tốn hình học có vẽ thêm yếu tố phụ tốn liên quan cơng việc quan trọng thiếu Để làm điều người thầy phải cung cấp cho học sinh số kiến thức phương pháp giải tốn hình học có vẽ thêm yếu tố phụ I.2 Mục đích - Trang bị cho học sinh lớp cách có hệ thống phương pháp dạng tốn hình học có vẽ thêm yếu tố phụ, nhằm giúp cho học sinh có khả vận dụng tốt dạng toán I.3 Thời gian - địa điểm I.3.1 Thời gian Đề tài nghiên cứu từ tháng năm 2017 tới tháng năm 2018 I.3.2 Địa điểm Trường THCS Lao Bảo – Hướng Hóa – Quảng Trị I.3.3 Phạm vi I.3.3.1 Giới hạn đối tượng nghiên cứu “Các phương pháp giải tốn hình học có vẽ thêm yếu tố phụ” I.3.3.2 Giới hạn địa bàn Trường THCS Lao Bảo – Hướng Hóa – Quảng Trị I.3.3.3 Giới hạn khách thể: Học sinh lớp I.4 Phương pháp nghiên cứu I.4.1 Phương pháp nghiên cứu lý thuyết - Nghiên cứu tài liệu, giáo trình phương pháp dạy học Tốn, tài liệu có liên quan đến sáng kiến kinh nghiệm - Nghiên cứu hệ thống kiến thức vẽ đường phụ giải tốn hình học bậc THCS Cụ thể tài liệu thiết thực học sinh phổ thông sở như: + Sách giáo khoa lớp 6, 7, 8, + Sách giáo viên 7, 8, + Sách bồi dưỡng thường xuyên tài liệu tham khảo cho giáo viên học sinh I.4.2 Phương pháp chuyên gia Xin ý kiến đồng nghiệp có kinh nghiệm q trình xây dựng, hồn thiện sáng kiến kinh nghiệm I.4.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm Tổ chức thực nghiệp sư phạm nhằm đánh giá hiệu sáng kiến kinh nghiệm I.5 Đóng góp mặt lí luận thực tiễn ========================================================= ============================================== ========== - Về mặt lý luận: Rèn luyện khả tư sáng tạo, kỹ vẽ đường phụ giải tốn hình học bậc THCS, tính cẩn thận xác, tính kiên trì cho học sinh Giúp em có hứng thú học tập, ham mê học Toán phát huy lực sáng tạo gặp dạng tốn khó - Về thực tiễn: Giúp học sinh nắm vững phương pháp vẽ đường phụ giải tốn hình học bậc THCS , phát vận dụng phương pháp giải phù hợp với toán cụ thể dạng khác PHẦN II NỘI DUNG Chương I: Các phương pháp vẽ yếu tố phụ giải tốn hình học bậc THCS I.1.1 Lịch sử nghiên cứu Trong qúa trình giảng dạy mơn Tốn trường THCS nội dung nhiều giáo viên nghiên cứu mức độ khác họ thu kết định Song việc thực kết tùy thuộc vào nhiều yếu tố Bản thân tơi khơng có tham vọng sâu nghiên cứu tất phương pháp hay dạng q khó khơng phù hợp học sinh THCS I.1.2 Cơ sở lý luận Trong việc dạy học mơn Tốn giáo viên cần phải rèn cho học sinh tính tư duy, tính độc lập, tính sáng tạo linh hoạt tự tìm tịi kiến thức mới, khơng với phương pháp bản, thơng thường mà cịn phải hình thành lên số phương pháp khó hơn, phải có thủ thuật riêng đặc trưng từ giúp em có hứng thú học tập, ham mê học Tốn phát huy lực sáng tạo gặp dạng Tốn khó Đây thuận lợi cho giáo viên học sinh đổi cách dạy học Chương II: Nội dung vấn đề nghiên cứu “Các phương pháp vẽ yếu tố phụ giải toán hình học bậc THCS” II.2.1 Thực trạng Năm học 2017-2018 2009 - 2010 Tôi nhà trường phân cơng giảng dạy mơn tốn tốn – 8, tự chọn toán , qua thực tế giảng dạy kết hợp kiểm tra, dự đồng nghiệp tơi nhận thấy học sinh gặp nhiều khó khăn giải tốn có liên quan đến yếu tố phụ Một số ví dụ minh họa: B Bài toán 1: Dựng tam giác biết độ dài ba cạnh a, b, c c Giải a a Cách dựng: b b A x C ========================================================= c ============================================== ========== - Dựng tia Ax - Dựng đường tròn ( A;b) Gọi C giao điểm đường tròn (A;b) với tia Ax - Dựng đường ( A;c) đường tròn (C;a), gọi B giao điểm chúng Tam giác ABC tam giác phải dựng có AB = c; AC = b; BC = a - Chú ý: Nếu hai đường tròn ( A;c) (C;a) khơng cắt khơng dựng tam giác ABC Bài tốn 2: Dựng góc góc cho trước Cách dựng: - Gọi xOy góc cho trước Dựng đường tròn (O,r) cắt Ox A cắt Oy B ta tam giác OAB - Dựng ∆O’A’B’ = ∆OAB ( c- c- c)như toán 1, ta Oˆ ' = Oˆ x A’ A O’ B y Bài toán 3: Dựng tia phân giác góc xAy cho trước B’ O Cách dựng: x - Dựng đường tròn ( A,r) cắt Ax B cắt Ay C - Dựng đường tròn ( B,r) (C,r) chúng cắt nhauBở D Tia AD tia phân r giác xAy Thật vậy: ∆ABD = ∆ACD ( c- c- c) ⇒ Aˆ1 = Aˆ r D A r r C y ========================================================= z ============================================== ========== Bài toán 4: Dựng trung điểm đoạn thẳng AB cho trước Cách dựng: - Dưng hai đường tròn (A;AB) (B;BA) chúng cắt C, D Giao điểm CD AB trung điểm AB C A B D trực đoạn thẳng cho trước * Chú ý: đay cách dựng đường trung Bài toán 5: Qua điểm O cho trước, dựng đường thẳng vng góc với đường thẳng a cho trước Cách dựng: - Dựng đường tròn (O;r) cắt a A,B - Dựng đường trung trực đoạn thẳng AB O Trên tốn dựng hình bản, cần sử dụng mà không cần A B nhắc lại cách dựng Khi cần vẽ thêm yếu tố phụ để chứng minh phải vào đường dựng để vẽ thêm không nên vẽ thêm cách tùy tiện II.2 CƠ SỞ THỰC TẾ D Ta biết hai tam giác suy cặp cạnh tương ứng nhau, cặp góc tương ứng Đó lợi ích việc chứng minh hai tam giác ========================================================= ============================================== ========== Vì muốn chứng minh hai đoạn thẳng nhau( hay hai góc nhau) ta thường làm theo bước sau: Bước 1: Xét xem hai đoạn thẳng ( hay hai góc) hai cạnh ( hai góc ) thuộc hai tam giác nào? Bước 2: Chứng minh hai tam giác Bước 3: Từ hai tam giác nhau, suy cặp cạnh ( hay cặp góc) tương ứng Tuy nhiên thực tế giải tốn khơng phải lúc hai tam giác cần có cho đề mà nhiều phải tạo thêm yếu tố phụ xuất hiên tam giác cần thiết có lợi cho việc giải tốn Vì yêu cầu đặt làm học sinh nhận biết cách vẽ thêm yếu tố phụ để giải tốn hình học nói chung hình học nói riêng Qua thực tế giảng dạy tơi tích lũy số cách vẽ yếu tố phụ đơn giản thiết thực Chương III: Một số phương pháp vẽ yếu tố phụ CÁCH 1: VẼ TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG, VẼ TIA PÂN GIÁC CỦA MỘT GĨC Bài tốn 1: Cho tam giác ABC có AB = 10cm; BC = 12cm, D trung điểm cạnh AB Vẽ DH vng góc với BC ( H∈BC) DH = 4cm Chứng minh tam giác ABC cân A 1) Phân tích tốn:Bài cho tam giác ABC có AB = 10cm; BC = 12cm, D trung điểm cạnh AB Vẽ DH vng góc với BC ( H∈BC) DH = 4cm Yêu cầu Chứng minh tam giác ABC cân A 2) Hướng suy nghĩ: ∆ABC cân A ⇔ AB = AC Ta nghĩ đến điểm phụ K trung điểm BC Vậy yêu tố phụ phụ cần vẽ trung điểm BC 3) Chứng minh A ∆ABC; AB = 10cm; BC = 12 cm; GT KL DA = DB = AB ; DH ⊥ BC DH = cm ∆ ABC cân A D A B H K ========================================================= C ============================================== ========== Gọi K trung điểm đoạn thẳng BC, ta có: BK = KC = BC = cm 2 Lại có : BD = AB = cm Xét ∆ HBD có: BHD = 900 ( gt) theo định lí Pitago ta có:DH2 + BH2 = BD2 ⇒ BH2 = BD2 - DH2 = 52 – 42 = ⇒ BH = ( cm) Từ đó: BD = DA; BH = HK ( = cm) ⇒ DH // AK ( đường nối trung điểm cạnh tam giác song song với cạnh thứ 3) Ta có: DH ⊥ BC, DH // AK ⇒AK ⊥ BC Xét ∆ ABK ∆ACK có: • BK = KC ( theo cách lấy điểm K) • AKB = AKC = 900 • AK cạnh chung ⇒ ∆ ABK = ∆ACK (c – g – c) ⇒AB = AC ⇒ ∆ ABC cân A 4) Nhận xét: Trong cách giải toán ta chứng minh AB = AC cách tạo hai tam giác chứa hai cạnh AB AC từ việc kẻ thêm trung tuyến AK, việc chứng minh sử dụng thêm toán phụ là: Trong tam giác , đường thẳng qua trung điểm cạnh thứ cạnh thứ hai song song với cạnh thử ba, kiến thức đường trung bình học sinh nghiên cứu chương trình tốn phạm vi kiến thức lớp chứng minh được, việc chứng minh dành cho học sinh giỏi, có sử dụng kết tốn mà khơng chứng minh lại muốn nhấn mạnh vào việc vẽ thêm yếu tố phụ A Bài tốn 2: Cho tam giác ABC có Bˆ = Cˆ ; chứng minh rằng: AB = AC?( Giải cách vận dụng trường hợp góc – cạnh – góc hai tam giác) !) Phân tích tốn: Bài cho: tam giác ABC có Bˆ = Cˆ ; Yêu cầu: chứng minh rằng: AB = AC 2) Hướng suy nghĩ: C B ========================================================= I ============================================== ========== Đường phụ cần vẽ thêm tia phân giác AI BAC (I∈ BC) 3) Chứng minh: ˆ ˆ = ∆ABC; B C AB = AC GT KL Vẽ tia phân giác AI BAC (I∈ BC) ˆ =A ˆ = ⇒A BAC ˆ ⇒ˆ I1 = I2 ˆ ( gt) ˆ = Mà B C (1) (2) Xét ∆ ABI ∆ ACI ta có: • ˆ ˆ I1 = I ( theo (2)) • Cạnh AI chung ˆ =A ˆ ( theo (1)) • A ⇒ ∆ ABI = ∆ ACI ( g – c – g) ⇒AB = AC (2 cạnh tương ứng) 4) Nhận xét: Trong cách giải trên, ta phải chứng minh AB = AC cách kẻ thêm đoạn thẳng AI tia phân giác góc BAC để tạo hai tam giác CÁCH 2: TRÊN MỘT TIA CHO TRƯỚC, ĐẶT MỘT ĐOẠN THẲNG BẰNG ĐOẠN THẲNG CHO TRƯỚC Bài tốn 3: Chứng minh định lí: Trong tam giác vuông, trung tuyến thuộc cạnh huyền nửa cạnh huyền ( Bài 25/ 67- SGK toán tập 2) 1) Phân tích tốn: Bài cho Tam giác ABC vuông A, AM đườngAtrung tuyến ứng với cạng 1 huyền, yêu cầu chứng minh: AM = BC ⇒2 AM = BC 2) Hướng suy nghĩ: Ta cần tạo đoạn thẳng 2.AM B tìm cách chứng minh BC đoạn M thẳng Như dễ nhận rằng, yếu tố phụ cần vẽ thêm điểm D cho M trung điểm AD 3) Chứng minh: ========================================================= D C ============================================== ========== ˆ =900 ; ∆ABC; A GT AM trung tuyến KL AM = BC Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho: MD = MA Xét ∆ MAC ∆ MDB ta có: • MA = MD ( theo cách lấy điểm D) • M1 = M2 ( đối đỉnh) • MB = MC ( Theo gt) ⇒ ∆ MAC = ∆ MDB ( c - g - c) ⇒AB=CD(2cạnhtươngứng) (1) ˆ =D ˆ (2 góc tương ứng) A ⇒AB // CD ( có cặp góc so le nhau) Lại có: AC ⊥ AB ( gt) ˆ =C ˆ = 900 (2) ⇒AC ⊥CD (Quan hệ tính song song vng góc) hay A Xét ∆ ABC ∆ CDA có: • AB = CD ( Theo (1)) ˆ =C ˆ = 900 ( Theo (2)) • A • AC cạnh chung ⇒ ∆ ABC = ∆ CDA ( c – g – c) 2 ⇒ BC = AD (2 cạnh tương ứng) Mà AM = AD ⇒ AM = BC 4) Nhận xét: Trong cách giải tập trên, để chứng minh AM = BC ta vẽ thêm đoạn thẳng MD cho MD = MA, AM = AD Như phải chứng minh AD = BC Trên tia cho trước, đặt đoạn thẳng đoạn thẳng khác cách vẽ đường phụ để vận dụng trường hợp tam giác ========================================================= ============================================== ========== Bài tốn 4: Cho tam giác ABC có AB < AC Gọi M trung điểm BC So sánh BAM MAC ?( Bài 7/ 24 SBT tốn tập 2) 1) Phân tích tốn: Bài cho tam giác ABC có AB < AC, M trung điểm BC Yêu cầu : So sánh BAM MAC? 2) Hướng suy nghĩ: Hai góc BAM MAC không thuộc tam giác Do ta tìm tam giác có hai góc hai góc BAM MAC liên quan đến AB, AC có AB < AC Từ dẫn đến việc lấy điểm D tia đối tia MA cho MD = MA Điểm D yếu tố phụ cần vẽ thêm để giải toán A 3) Lời giải: ∆ABC; AB < AC GT M trung điểm BC B KL M C So sánh BAM MAC? Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho: MD = MA Đ Xét ∆ MAB ∆ MDC ta có: • MA = MD ( theo cách lấy điểm D) • M1 = M2 ( đối đỉnh) • MB = MC ( Theo gt) ⇒ ∆ MAB = ∆ MDC ( c - g - c) ⇒AB=CD(2cạnhtươngứng) ˆ =D ˆ (2góctươngứng) A (1) (2) Ta có: AB = CD ( Theo (1)), mà AB < AC ( gt) ⇒CD < AC (3) Xét ∆ACD có: CD < AC ( theo (3)) ⇒ ˆ