KHÔNG GIAN EUCLID

VII / KHÔNG GIAN EUCLID: 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1. Trong R cho qui tắc x = (x ,x ), y = (y ,y ) R : (x, y) = x y x y x y mx y Tìm m đe å (x, y) là tích vo âhướng a/ m > 1 b/ m 1 c/ m = 1 d/ m < 1 2. Trong R ∀ ∈ + + + ≠ ( ) 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 cho tích vo âhướng : (x, y) = (x ,x ),(y ,y ) 3x y x y x y x y và x = (1,2). Tìm đo ädài vectơ x là x a/ x 11 b/ x 5 c/ x 11 d/ x 5 3. Trong R cho tích = + + + = = = = ( ) 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 vo âhướng : (x, y) = (x ,x ),(y ,y ) 2x y x y x y x y và x = (1, -1), y = (2, m). Tìm m để x y a/ m = 3 b/ m = 2 c/ m 2 d/ m = 1 4. Trong P (x) cho tích = − − + ⊥ ≠ 2 1 0 vo âhướng p(x) , q(x) P (x) : (p, q) = p(x)q(x)dx và f(x) = x + 2. Tìm p(c) 19 12 a/ p(x) = b/ c/ 5 d/ CCKĐS 3 5 5.Trong p[x] - không gian các đa thư ùc co ùb ∈ ∫ 1 -1 ậc nhỏ hơn hoặc bằng 1, cho tích vo âhướng p(x), q(x) p[x] (p, q) = p(x)q(x)dx Cho f(x) = x 1 , g(x) = x + m. Tìm m đe å f g a/ m = 2/3 b/ ∀ ∈ − ⊥ ∫ 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 m = 1 c/ m = 0 d/ CCKĐS 6. Trong R cho tích vo âhướng x (x ,x ), y = (y ,y ) R (x, y) = x y 2x y 2x y + 5x y và x = (1, -1), y = (0, 2) Tìm khoảng cách d(x, y) giữa 2 ve ∀ = ∈ − − 2 2 2 1 1 0 ctơ x, y : a/ d(x, y) = 58 b/ d(x, y) = 10 c/ d(x, y) = 32 d/ d(x, y) = 42 7. Trong P [x] cho tích vo âhướng f(x) P [x], g(x) P [x] (f, g) = f(x)g(x)dx , cho p (x) x ∀ ∈ ∀ ∈ = + ∫ 2 1 2 3 1, p (x) 2x m 1 m bằng bao nhiêu thì khoảng cách giữa 2 vectơ p , p bằng 3 a/ m = 0 m = 3 b/ m = 0 m = 2 c/ m = 2 m = 0 d/ CCKĐS 8. Trong R với tích vo âhướng chính = + ∨ ∨ ∨ tắc, cho F = < (1, 1, 1), (2, 1, 3) > và x = (1, -1, m) m bằng bao nhiêu thì x F a/ Không tồn tại m b/ m = 0 m = -1/3 c/ m = -1/3 d/ m = 0 ⊥ ∨ { } 3 1 2 3 1 2 3 9. Trong R với tích vo âhướng chính tắc, cho F = < (x ,x ,x ) x x x 0 và x = (2, 2, m). Với m bằng bao nhiêu thì x F a/ m = -2 b/ m = 0 c/ m ⊥ + − = ∈ ∀ 3 1 1 3 3 1 2 3 3 1 1 2 2 3 3 d/ Không tồn tại m 10. Trong R cho 1 qui tắc x = (x ,x ,x ) R , y = (y ,y ,y ) R (x, y) = x y x y mx y . Tìm tất cả m để (x, y) là tích vo âhướng. a/ m > 0 b/ m = 1 ∀ ∈ ∈ + + 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 c/ m 0 d/ m 11. Trong R cho tích vo âhướng x = (x ,x ), y = (y ,y ) R (x, y) = x y 2x y 2x y 5x y và x = (1, 1) , y = (1, 0) Tìm góc giữa 2 vectơ x, y a/ = 3 ∀ ≠ ∀ ∀ ∈ + + + α π α { } 4 3 3 b/ = c/ = arccos d/ arccos 4 10 10 12. Trong R với tích vo âhướng chính tắc. Cho M = (1, 1, 1, 1), (0, 0, 0, 0), (2, 1, 1, m) Tìm m đe å M là he ätrực giao. a/ m = -4 π α α α = 3 b/ m c/ m = 3 d/ Không tồn tại m 13. Trong R với tích vo âhướng chính tắc. Cho F = < (1, 1, 1), (1, 1, 0), (2, 2, 1) > . Kđn đúng. a/ E = (1, -1, 0), (3, ∀ { } { } { } { } - 3, 0) là tập sinh của F b/ E = (1, -1, 0), (3, -3, 0) là cơ sở của F c/ E = (1, 1, 1) là cơ sở của F d/ E = (1, -1, 0), (1, 1, - 2) là tập sinh ⊥ ⊥ { } 1 2 3 4 4 1 2 3 4 1 2 4 của F x x x x 0 14. Trong R cho không gian con : F = (x ,x ,x ,x ) 2x 3x x 0 Tìm chiều và 1 cơ sở E của F a/ dim F 2, E = (-3, 2, 1, 0), (-4, 3, 0, 1) b/ dim F 2, E = (1, 1 ⊥ ⊥ ⊥ ⊥   + + + =   + − =   = = { } { } { } 3 1 2 3 1 2 3 , 1, 1), (2, 3, 0, 1) 3 2 1 0 c/ dim F 1, E = (-3, 2, 1, 0) d/ dim F 2, E = 4 3 0 1 15. Trong R cho không gian con F = (x ,x ,x ) x x mx 0 Tìm tất cả m đe å F co ùchie ⊥ ⊥ ⊥ −   = =  ÷ −   + + = { } 3 àu lớn nhất a/ m b/ m = 0 c/ m 0 d/ m = 1 16. Trong R cho : F = < (1, 1, 1), (1, 2, 1) > . Tìm chiều và 1 cơ sở E của F a/ dim F 1, E = (1, 0, -1) ⊥ ⊥ ∀ ≠ = { } { } { } { } 3 b/ dim F 1, E = (1, 1, 1) c/ dim F 2, E = (1, 0, -1), (2, 0, - 2) d/ dim F 1, E = (1, 1, - 2) 17. Trong R cho F = < (1, 1, 1), (1, 0, 1) > . Kđn đúng a/ (1, 0, -1), (2, 0, - 2) s ⊥ ⊥ ⊥ = = = { } { } { } inh ra F b/ (2, 2, - 2), (-1, 0, 1) sinh ra F c/ (1, 0, -1), (2, 2, - 2) là cơ sở của F d/ (1, 1, 1), (0, -1, 0) là cơ sở của F ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ 3 3 18. Trong R cho 2 không gian con F và G, biết F G. Kđn đúng. a/ G F b/ F G c/ (F G) F G d/ (F + G) = F + G 19. Trong R cho 2 không gian con F = < (1, 1, 1), (2, 1, ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊂ ⊂ ⊂ ∩ = ∩ 0) > G = < (1, 1, 2), (1, 0, -1) > Tìm chiều và 1 cơ sở E của (F + G) a/ dim (F + G) 0, không tồn tại cơ sở b/ dim(F + G) 0, ⊥ ⊥ ⊥ = = { } { } E = (0, 0, 0) c/ dim(F + G) 1, E = (1, 0, -1) d/ CCKĐS 20. Trong không gian vectơ V, biết x y và x z . Kđn luôn đúng a/ x y + 2z b/ x < y, z > ⊥ = ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ { } 3 c/ x < y, z y d/ CCK đều đúng. 21. Trong R cho x, y ĐLTT, z x và z y . Kđ nào sau luôn đúng a/ x, y, z ĐLTT b/ dim < z > = 1 c/ z < x, y > ⊥ − > ⊥ ⊥ ⊥ 3 d/ CCK đều đúng 22. Trong R cho không gian con U co ùcơ sở trực giao là 2 vectơ x, y. Giả sử z không là THTT của x, y . Kđn sau đây đúng. a/ CCKĐS 3 3 b/ Vì dim U + dim U 3 nên dim U 1 dim z U z c/ x, y, z là cơ sở trực giao của R d/ vì x,y,z ĐLTT nen x, y, z là he ätrực giao 23. Trong không gian R cho không gian c ⊥ ⊥ ⊥ = = = < >⇒ =< > { } 1 2 3 1 2 3 3 on : F = (x ,x ,x ) x x x Tìm tất cả m để không gian < 1,1, m > trực giao với F a/ m = -2 b/ m = 0 c/ m = -1 d/ Không tồn tại m 24. Trong R cho 2 vectơ k = = { } 3 3 3 3 hác không và trực giao x, y, z. Kđn đúng a/ < x > y, z > b/ < x, y, z > là không gian con của R và < x, y, z > R c/ x, y, z sinh ra R nhưng không là cơ sở của R d / CCKĐS ⊥ =< ≠ { } 3 3 25. Trong không gian R , cho he ä3 vectơ trực giao x, y, z . Kđn luôn đúng a/ CCKĐS b/ x, y, z là cơ sở trực giao của R c/ (x, y, z) ĐLTT d/ < x, y 3 F F F > < z > 26. Trong R cho không gian con F = < (1, 1, 1), (0, 1, 1) > và vectơ x = (1, 1, 2) Tìm hình chiếu vuông góc pr x của x xuống F 3 3 a/ pr x (1, , ) b/ pr x (2, 3, 3) c 2 2 ⊥ = = = F F / pr x (1, 2, 1) d/ pr x (1, 1, 2)= = 3 27. Trong R cho không gian con F = < (1, 0, 1), (0, 1, 0) > và x = (0, 0, 1) Tìm khoảng cách d(x, F) từ x đến F 2 a/ d(x, F) = b/ d(x, F) = 9 c/ d(x, F) = 1 2 d/ d(x, F) = 2 28. Trong không gian các đa thức co ùbậc nhỏ hơn hoặc bằng một : p[x]. Cho không gian con : F = < x 1 . Tìm cơ sở của F theo tích vo âhướng ⊥ − > { } { } { } { } { } 1 0 4 (p, q) = p(x)q(x)dx a/ x 3 b/ 3 x c/ 1 d/ 2x 1 29. Trong R cho 3 họ vectơ : M = (1, 1, -1, 0), (1, 2, 3, 1) − − − ∫ { } { } N = (1, 1, 0, 1), (2, 3, 1, -5), (3, 4, 1, - 4) P = (1, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 1) Co ùthe å bo å sung vào họ nào đe å được cơ sở trực gia 4 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 o của R a/ chỉ co ùM b/ M và P c/ chỉ co ùP d/ cả 3 họ 30. Trong R cho 1 qui tắc x = (x ,x ) R , y = (y ,y ) R (x, y) = x y x y x y 2x y . Kđn ∀ ∈ ∈ + − + 2 2 đúng a/ CCKĐS b/ (x, y) là tích vo âhướng c/ (x, y) không là tích vo âhướng vì f(x, y) f(y, x) x, y R d/ (x, y) không là tích vo âhướng f( x, y) f(x, y) x, y R , R ≠ ∀ ∈ α ≠ α ∀ ∈ α ∈ . VII / KHÔNG GIAN EUCLID: 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1. Trong R cho qui tắc x = (x ,x ), y =