Một số dạng bài tập về không gian Euclid trong đại số tuyến tính

Một số dạng bài tập quan trọng về không gian Euclid trong môn đại số tuyến tính 2 góp phần ôn tập kiểm tra cuối kì. Ngoài việc đưa ra lời giải cho từng ví dụ, tài liệu này còn đưa cách thức tính toán kết quả cho từng ví dụ trên phần mềm Maple. Phạm Thị Thu Hà Đại học Giáo Dục Đại học Quốc gia Hà Nội.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Khoa Toán - Cơ - Tin học BÀI TẬP LỚN MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ KHÔNG GIAN EUCLID TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Sinh viên thực hiện: Lớp: Môn học: Giáo viên hướng dẫn: HÀ NỘI - 2015 Phạm Thị Thu Hà K58A1S Thực hành Tính toán Nguyễn Hữu Điển LỜI NÓI ĐẦU LỜI NÓI ĐẦU Hơn hai nghìn năm nay, Toán học chứng tỏ đỉnh cao trí tuệ người, ứng dụng vào hầu hết ngành khoa học tảng nhiều lý thuyết khoa học quan trọng Plato khẳng định: Chỉ Toán học có tri thức tuyệt đối khách quan Hơn nữa, Toán học khung xương vững nhiều ngành khoa học Toán học giống chìa khóa vạn năng, nắm chìa khóa có nghĩa nắm công cụ vững cho việc học, nghiên cứu tất lĩnh vực khoa học Cũng mà việc thúc đẩy phát triển Toán học góp phần thúc đẩy khoa học nói chung phát triển Latex, maple lại công cụ tuyệt vời cho người làm toán, học toán Chúng hỗ trợ cho việc tính toán, tạo văn khoa học nói chung, văn toán nói riêng, cách chuyên nghiệp Rõ ràng, người làm tất cả, phần mềm có khả xử lý mạnh mẽ đến người tạo Tuy nhiên, tốc độ tính toán khả tính nhiều phép toán lúc người lại giới hạn Vì vậy, máy móc hỗ trợ đắc lực cho trường hợp Có thể nói, maple Latex chìa khóa vàng đóng góp vào phát triển khoa học nói chung, toán học nói riêng Maple công cụ tính toán vô hữu ích Nó giải nhiều loại phương trình từ bậc thấp đến bậc cao, hệ phương trình, phương trình vi phân, thực hành tính toán ma trận, vector, nhiều chức khác Latex công cụ cho phép tạo văn toán cách nhanh chóng, thuận tiện, gọn gàng Tất cần gói lệnh, dòng lệnh, ký hiệu toán học nằm ngắn file pdf cách đáng kinh ngạc Trong thời lượng ngắn ngủi môn học, em xin phép sử dụng Latex, trình bày góc nhỏ không gian Euclid, cụ thể là: "Một số dạng tập không gian Euclid đại số tuyến tính" Nhân em xin gửi lời cảm ơn, lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Nguyễn Hữu Điển hướng dẫn em nhiệt tình, giúp giải đáp thắc mắc em cần thiết để em hoàn thành tốt tập lớn Nhờ có giảng thầy mà em tiếp cận phần mềm tuyệt vời Maple Latex Bài tập lớn nhiều thiếu sót Em mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn Mọi đóng góp xin gửi địa Email: phamthithuha7@gmail.com Một lần nữa, em xin chân thành cảm ơn! LỜI NÓI ĐẦU Sinh viên trình bày: Phạm Thị Thu Hà Lớp: K58 Sư phạm toán Mã sinh viên: 13010049 MỤC LỤC Mục lục Giới thiệu Maple 1.1 Maple gì? 1.2 Các chức 5 Giới thiệu Latex 2.1 Latex gì? 2.2 Tại dùng Latex? 6 Một số dạng tập không gian Euclid đại số tuyến tính 3.1 Dạng 3.2 Dạng 3.3 Dạng 3.4 Dạng 3.5 Dạng 3.6 Dạng 3.7 Dạng 3.8 Dạng 3.9 Dạng 3.10 Dạng 10 3.11 Dạng 11 7 11 13 14 16 17 18 20 22 23 Kết luận 25 TÀI LIỆU THAM KHẢO 26 Giới thiệu Maple Giới thiệu Maple 1.1 Maple gì? Maple phần mềm Toán học Đại học Tổng hợp Waterloo (Canada) đại học kỹ thuật Zurich (ETZ) xây dựng đưa vào thương mại năm 1985 Qua nhiều phiên bản, giao diện Maple ngày thân thiện người sử dụng Maple cung cấp nhiều công cụ trực quan, gói lệnh tự học gắn liền với toán phổ thông đại học Ngày nay, nhiều nước giới sử dụng maple học tập, giảng dạy 1.2 Các chức Maple có tính ứng dụng cao nhiều ngành khoa học kỹ thuật Một số chức Maple nêu đây: Thực phép tính khổng lồ thời gian ngắn Ngôn ngữ lập trình thân thiện, có khả tương tác với ngôn ngữ lập trình khác Các gói lệnh Maple đa dạng: Dữ liệu rời rạc (DiscreteTransforms), Hình học giải tích (geometry), Phương trình vi phân ( DEtools), Giải tích (student), Lý thuyết số ( numtheory),Vẽ đồ thị ( plots), Đại số tuyến tính ( linalgs), Vẽ đồ thị làm hoạt hình đồ thị, đồ thị đặt nhiều hệ tọa độ khác nhau, lại lưu file ảnh để đưa vào tex, làm tăng thêm tính sinh động cho văn khoa học Một công cụ biên soạn giáo án giảng điện tử, thích hợp với lớp học tương tác trực tiếp Một công cụ hữu ích cho học sinh, sinh viên việc tự học Giới thiệu Latex Giới thiệu Latex 2.1 Latex gì? Latex hệ thống soạn thảo phù hợp với việc tạo tài liệu khoa học toán học với chất lượng in cao Nó phù hợp với việc soạn thảo nhiều kiểu văn bản, từ thư từ, báo, đến sách hoàn chỉnh 2.2 Tại dùng Latex? Cũng soạn thảo văn bản, Latex có đặc biệt so với phần mềm khác? Khi soạn thảo thư, báo Microsoft word công cụ thân thiện, dễ tiếp cận với tất người Nhưng soạn thảo văn khoa học với kí hiệu chuyên ngành công thức lại điều đơn giản Cụ thể, văn toán học, hoàn toàn sử dụng Mathtype hỗ trợ soạn công thức toán học word Nhưng việc phải ấn vào loại công thức, điền thông số vào vị trí thích hợp lại ngốn nhiều thời gian soạn thảo văn dài Chỉnh sửa hình thức văn khoa học cho chuẩn word điều dễ dàng Trong đó, Latex lại khắc phục tất nhược điểm Chúng ta hoàn toàn tạo công thức đẹp chuẩn việc gõ lệnh, copy lệnh từ đoạn sang đoạn văn Với Latex, thời gian soạn thảo rút ngắn nhiều Chúng ta tạo tham chiếu đến danh sách tài liệu tham khảo lớn nhờ sử dụng Bibtex File nguồn Latex lưu dạng kí tự ASCII (file.tex) nên nhỏ, không tốn nhớ Sau biên dịch file nguồn, Latex tạo kết file.pdf (Adobe Portable Document Format), ps (PostScript), dvi (De-vice Independent format) Hiện giới có nhiều cá nhân tổ chức sử dụng TEX Một số dạng tập không gian Euclid đại số tuyến tính Một số dạng tập không gian Euclid đại số tuyến tính 3.1 Dạng Trong không gian Euclid P2 [x] với tích vô hướng: = u( x )v( x )dx Cho vector: u1 = x u2 = −5x2 + 4x u3 = x2 + ax + b Xác định a b để vector tạo thành hệ trực giao P2 [x] Bài giải vector tạo thành hệ trực giao P2 [x] khi:   < u1 , u2 >= < u1 , u3 >=   < u2 , u3 >= (1) (2) (3) [ x2 (−5x2 + 4x )].dx = ⇔ • (1) (−5x + 4x ).dx = ⇔ (− x5 + x4 ) 4 ⇔ = (luôn đúng) Chúng ta hoàn toàn sử dụng Maple để tính tích phân Cú pháp sau: >int(x^2*(-5*x^2+4*x),x=0 1); 3.1 Dạng Kết cho (= 0) giống phần tính toán thủ công [ x2 ( x2 + ax + b)].dx = • (2) ⇔ ( x4 + ax3 + bx2 ).dx = ⇔ ⇔( x5 ax4 bx3 + + ) =0 a b + + = (2) Tính Maple: ⇔ >int(x^2*(a*x+x^2+b), x = 1); 1/4 a + 1/5 + 1/3 b [(−5x2 + 4x )( x2 + ax + b)]dx = • (3) ⇔ [−5x4 + (4 − 5a) x3 + (4a − 5b) x2 + 4bx ]dx = ⇔ − 5a 4a − 5b x + x + 2bx2 ) ⇔ (− x + =0 a b + = (3) 12 Tính Maple: ⇔ >int((-5*x^2+4*x)*(a*x+x^2+b), x = 1); 1/12 a + 1/3 b Giải hệ gồm (2)’ (3)’ : >solve({(1/12)*a+(1/3)*b, (1/4)*a+1/5+(1/3)*b}, {a, b}); { a = −6/5, b = 3/10} 3.2 Dạng   a = −  b = 10 Chú ý: Không thể dùng lệnh >dotprod(ui,uj) để tính tích vô hướng ui u j Vì lệnh Maple dùng để tính tích vô hướng thông thường Trong trường hợp tập này, tích vô hướng định nghĩa cách riêng biệt 3.2 Dạng Trong không gian Euclid E với tích vô hướng thông thường, cho vector: x = (1,1,1,1) , y = (2,2,-2,-2), z = (− 12 , 12 , − 72 , 72 ) Chứng minh rằng: hệ x,y,z hệ trực giao Bổ sung vào hệ cho thêm vector để có sở trực giao E Bài giải Chứng minh rằng: hệ x,y,z hệ trực giao Tính toán Maple: >with(linalg); >x := vector([1, 1, 1, 1]): >y := vector([2, 2, -2, -2]): >z := vector([-1/2, 1/2, -7/2, 7/2]): >dotprod(x, y); >dotprod(x, z); >dotprod(y, z);   x ⊥ y ⇒ xy = 0, xz = 0, yz = ⇒ x ⊥ z   y⊥z (đpcm) 3.3 Dạng 12 Suy ra: U + V = L(u, v1 , v2 ) Xét hạng ma trận:       1 0 u Rank v1  = Rank 1 0  = Rank 0 1  v2 −1 −1   0  = Rank 1  = 0 −2 Hoặc tính toán maple: >with(linalg); >A := matrix(3, 3, [0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, -1]);  1     0    −1 >rank(A); ⇒ {u, v1 , v2 } độc lập tuyến tính Vậy sở U + V là: (u, v1 , v2 ) Dim(U + V) = Ta có: >v1 := vector([1, 0, 0]): >v2 := vector([0, 1, -1]): >u := vector([0, 1, 1]): >dotprod(u, v1); >dotprod(u, v2); 3.4 Dạng 13 Suy ra: uv1 = → u ⊥ v1 uv2 = → u ⊥ v2 ⇒ u ⊥ V, ∀u ∈ U Vậy: U ⊥ V 3.4 Dạng Cho không gian vector Euclid M2x2 (R) với tích vô hướng: < U, V >= u11 v11 + u12 v12 + u22 v22 + u21 v21 Trong đó, U = u11 u12 ,V = u21 u22 v11 v12 v21 v22 Hãy tìm tham số m để vector: A= m m−1 m ,B= m m−1 trực giao với Với m tìm được, kiểm chứng định lý Pitago Bài giải Ta có: < A, B >= m + m + m(m − 1) = m2 + m A trực giao với B ⇔< A, B >= ⇔ m2 + m = ⇔ m = m = −1 • m=0 3.5 Dạng A= 14 −1 → A+B = || A|| = || B|| = √ √ 0 −1 ,B= −1 −1 < A, A > = < B, B > = || A + B|| = √ √ √ 2 < A + B, A + B > = ⇒ || A||2 + || B||2 = || A + B||2 Vậy định lý Pitago thỏa mãn trường hợp m = với tích vô hướng định nghĩa • m = -1 Tương tự trường hợp m = Định lý Pitago thỏa mãn 3.5 Dạng Xác định sở trực giao cho phần bù trực giao U ⊥ không gian U R4 Trong đó, U xác định hệ phương trình: x1 + x2 + x3 + x4 = x1 − x2 + x3 − x4 = Bài giải Ta có U không gian nghiệm hệ phương trình: x1 + x2 + x3 + x4 = x1 − x2 + x3 − x4 = ⇔ x1 + x2 + x3 + x4 = 2x2 + 2x4 = ⇔ x2 = − x4 x1 = − x3 Hoặc giải Maple sau: >solve({x1-x2+x3-x4 = 0, x1+x2+x3+x4 = 0}, {x1, x2, x3, x4}); {x1 = -x3, x2 = -x4, x3 = x3, x4 = x4} 3.5 Dạng 15 Tập nghiệm hệ là: {(− x3 , − x4 , x3 , x4 )t , x3 = 0, x4 = 0} Suy ra: Một sở U là: α1 (−1, 0, 1, 0) α2 (0, −1, 0, 1) Gọi u⊥ ( a, b, c, d) ∈ U ⊥ → u⊥ ⊥ U ⇒ u ⊥ ⊥ α1 u ⊥ ⊥ α2 ⇔ < u⊥ , α1 >= < u⊥ , α2 >= (♠) Tính < u⊥ , α1 > < u⊥ , α2 > Maple: >utg := vector([a, b, c, d]): >alpha1 := vector([-1, 0, 1, 0]): >alpha2 := vector([0, -1, 0, 1]): >dotprod(utg, alpha1); -a + c >dotprod(utg, alpha2); -b + d (Ở utg u⊥ ) (♠) ⇔ −a + c = −b + d = ⇔ a=c b=d Tập nghiệm hệ phương trình là: {(c, d, c, d)t , c = 0, d = 0} Suy ra: sở U ⊥ là: β (1, 0, 1, 0) β (0, 1, 0, 1) Nhận thấy: β ⊥ β Vậy β , β sở trực giao cần tìm 3.6 3.6 Dạng 16 Dạng Áp dụng phương pháp trực giao hóa Schmidt để tìm sở trực chuẩn không gian vector E từ hệ sở sau: {u1 (2, 2, −1), u2 (4, 1, 1), u3 (1, 10, −5)} R3 {u1 (0, 2, 1, 0), u2 (1, −1, 0, 0), u3 (1, 2, 0, −1), u4 (1, 0, 0, 1)} R4 Bài giải Trực giao hóa sở {u1 (2, 2, −1), u2 (4, 1, 1), u3 (1, 10, −5)} R3 Theo lý thuyết đại số tuyến tính, ta làm sau: • Đặt: e1 = u1 = (2, 2, −1) • e2 = λ21 e1 + u2 λ21 = − < u , e1 > = − = −1 < e1 , e1 > ⇒ e2 = −(2, 2, −1) + (4, 1, 1) = (2, −1, 2) • e3 = λ31 e1 + λ32 e2 + u3 λ31 = − < u , e1 > 27 = − = −3 < e1 , e1 > λ32 = − < u , e2 > 18 = =2 < e2 , e2 > ⇒ e3 = −3(2, 2, −1) + 2.(2, −1, 2) + (1, 10, −5) = (−1, 2, 2) ⇒ e3 = (−1, 2, 2) Chuẩn hóa hệ vector (e1 , e2 , e3 ) ta sở trực chuẩn: 2 2 2 e1 = ( , , − ), e2 = ( , − , ), e2 = (− , , ) 3 3 3 3 3.7 Dạng 17 Tính toán Maple rút ngắn thời gian nhiều: >restart; >with(linalg); >u1 := vector([2, 2, -1]); >u2 := vector([4, 1, 1]); >u3 := vector([1, 10, -5]); >basis({u1, u2, u3}); {u1, u2, u3} >GramSchmidt([u1, u2, u3], normalized); [[2/3, 2/3, −1/3], [2/3, −1/3, 2/3], [−1/3, 2/3, 2/3]] Câu làm tương tự câu 3.7 Dạng Tìm sở trực giao cho phần bù trực giao U ⊥ không gian U R4 sinh vector sau đây:   α1 (1, 0, 2, 1) α2 (2, 1, 2, 3)   α3 (0, 1, −2, 1) Bài giải Gọi u⊥ ( a, b, c, d) ∈ U ⊥ → u⊥ ⊥ U   ⊥ ⊥    u ⊥ α1 < u , α1 >= ⇒ u⊥ ⊥ α2 ⇔ < u⊥ , α2 >=    ⊥  u ⊥ α3 < u⊥ , α3 >= (♦) 3.8 Dạng 18 Tính < u⊥ , α1 > , < u⊥ , α2 > < u⊥ , α3 > Maple: >restart; >with(linalg); >alpha1 := vector([1, 0, 2, 1]); >alpha2 := vector([2, 1, 2, 3]); >alpha3 := vector([0, 1, -2, 1]); >utg := vector([a, b, c, d]); >dotprod(utg, alpha1); a + c + d >dotprod(utg, alpha2); a + b + c + d >dotprod(utg, alpha3); b - c + d    a + 2c + d = (♦) ⇔ 2a + b + 2c + 3d =   b − 2c + d = Tương tự cách giải hệ phương trình (Giải phương pháp khử Gausse dùng lệnh solve Maple), ta được: ⇔ a = −2c − d b = 2c − d Tập nghiệm hệ phương trình là: (−2c − d, 2c − d, c, d)t , c = 0, d = Suy ra: Một sở là: e1 (−2, 2, 1, 0) e2 (−1, −1, 0, 1) Nhận thấy e1 ⊥ e2 Kết luận: (e1 , e2 ) sở trực giao cho phần bù trực giao U ⊥ cần tìm 3.8 Dạng Xác định hình chiếu trực giao vector α = (4, −1, −3, 4) lên không gian U sinh vector: 3.8 Dạng 19 α1 (1, 1, 1, 1), α2 (1, 2, 2, −1), α3 (1, 0, 0, 3) Bài giải Ta làm sau: >restart; >with(linalg): >alpha1 := vector([1, 1, 1, 1]): >alpha2 := vector([1, 2, 2, -1]): >alpha3 := vector([1, 0, 0, 3]): >u := x*([1,1,1,1])+y*([1,2,2,-1])+z([1,0,0,3]); x+y+z x+2y x+2y x−y+3z >alpha := vector([4, -1, -3, 4]); >b := ([4, -1, -3, 4])-([x+y+z, x+2*y, x+2*y, x-y+3*z]); [− x − y − z + 4, − x − y − 1, − x − y − 3, − x + y − z + 4] >dotprod(b, alpha1); - x - y - z >dotprod(b, alpha2); -8 - x - 10 y + z >dotprod(b, alpha3); 16 - x + y - 10 z Cụ thể, ý tưởng câu lệnh trình bày lại sau: Gọi u = xα1 + yα2 + zα3 hình chiếu trực giao α lên U → u = ( x + y + z, x + 2y, x + 2y, x − y + 3z) → α − u = u⊥ = (4 − x − y − z, −1 − x − 2y, −3 − x − 2y, − x + y − 3z) 3.9 Dạng 20   < α − u, α1 >= ⊥ Do u ⊥ U nên < α − u, α2 >=   < α − u, α3 >=   4 − x − y − z − − x − 2y − − x − 2y + − x + y − 3z = ⇔ − x − y − z − − 2x − 4y − − 2x − 4y − + x − y + 3z =   − x − y − z + 12 − 3x + 3y − 9z =     −4x − 4y − 4z = −4  x + y + z = (1) ⇔ −4x − 10y + 2z = ⇔ 2x + 5y − z = −4 (2)     −4x + 2y − 10z = −16 2x − y + 5z = (3) Lấy (2) - (3) được: 6y − 6z = −12 → y = z − (4) (1) + (2) → 3x + 6y = −3 → x + 2y = -1 → x = −1 − 2y (5) Thế (4) vào (5) được: x = -1-2.(z - 2)=3 - 2z → x − y + 3z = − 2z − z + + 3z → x - y + 3z = Suy ra: u = (x + y + z,x + 2y, x + 2y, x - y + 3z) = (1,-1,-1,5) 3.9 Dạng Tìm khoảng cách từ vector α = (2, 4, −4, 2) tới phẳng xác định hệ phương trình: B: x1 + 2x2 + x3 − x4 = x1 + 3x2 + x3 − 3x4 = Bài giải Chọn β = (−1, 1, 0, 0) ∈ B → B = β + V, đó, V không gian nghiệm hệ phương trình nhất: x1 + 2x2 + x3 − x4 = x1 + 3x2 + x3 − 3x4 = (*) Khi đó, V ⊥ không gian sinh vector hệ số hệ phương trình (*): 3.9 Dạng 21 V ⊥ = L((1,2,1,-1),(1,3,1,-3)) → v⊥ thừa nhận phân tích: v⊥ = a(1, 2, 1, −1) + b(1, 3, 1, −3) = ( a + b, 2a + 3b, a + b, − a − 3b) Giả sử: α − β = v + v⊥ → v = α − β − v⊥ v = (3 − a − b, − 2a − 3b, −4 − a − b, + a + 3b) v thỏa mãn hệ phương trình xác định V ⇔ − a − b + − 4a − 6b − − a − b − − a − 3b = − a − b + − 6a − 9b − − a − b − − 3a − 9b = ⇔ −7a − 11b = −3 −11a − 20b = −2 (♣) Ta giải hệ máy tính bỏ túi Casio dùng lệnh Maple: >restart; >with(linalg); >solve({7*a+11*b = 3, 11*a+20*b = 2}, {a, b}); {a = 2, b = -1} ♣⇔ a=2 b = −1 → v⊥ = (1, 1, 1, 1) Ta tính chuẩn lệnh Norm(a,2) Maple: >a := vector([1, 1, 1, 1]); >norm(a, 2); → |v⊥ | = → d(α, β) = 3.10 Dạng 10 3.10 22 Dạng 10 Tìm khoảng cách phẳng α + U β + V Trong đó: α = (4, 5, 3, 2), β = (1, −2, 1, −3) Không gian U sinh vector: u1 (1, 2, 2, 2), u2 (2, −2, 1, 2) Không gian V sinh vector: v1 (2, 0, 2, 1), v2 (1, −2, 0, −1) Bài giải • U = L ( u1 , u2 ) V = L ( v1 , v2 ) → U + V = L ( u1 , u2 , v1 , v2 ) • Xét:    u1  u2  2 −2   Rank   v1  = Rank 2 v2 −2    2 2     = Rank 0 −6 −3 −2 0 −4 −2 −3  −1 −4 −2 −3   2 0 −6 −3 −2  = Rank  2 −4 −2 −3 = (Phương pháp khử Gausse) 0 0 Ta tính hạng ma trận với lệnh: >restart; >with(linalg): >A := matrix(4, 4, [1, 2, 2, 2, 2, -2, 1, 2, 2, 0, 2, 1, 1, -2, 0, -1]);  2   −2   2        −2 −1 >rank(A); ⇒ Cơ sở U + V (u1 , u2 , v1 ) Ta có: α − β = (3, 7, 2, 5) = t + t⊥ 3.11 Dạng 11 23 với: t ∈ (U + V ) t ⊥ ∈ (U + V ) ⊥ t = xu1 + yu2 + zv1 → t = ( x + 2y + 2z, 2x − 2y, 2x + y + 2z, 2x + 2y + z) Từ α − β = t + t⊥ → t⊥ = α − β − t t⊥ = (3 − x − 2y − 2z, − 2x + 2y, − 2x − y − 2z, − 2x − 2y − z) Do t⊥ ⊥ (U + V ) nên:  ⊥  < t , u1 >= < t⊥ , u2 >=   ⊥ < t , v1 >=   −13x − 4y − 8z = −31 ⇔ −4x − 13y − 8z = −4   −8x − 8y − 9z = −15 ( ) Giải hệ Maple: >solve({-13*x-4*y-8*z = -31, -8*x-8*y-9*z = -15, -4*x-13*y-8*z = -4}, {x, y, z}); {x = 3, y = 0, z = -1}   x = ( )⇔ y=0   z = −1 ⇒ t⊥ = (2, −1, −2, 0) ⇒ d(α + U, β + V ) = |t⊥ | = (Tương tự trước, ta chuẩn hóa vector lệnh norm(a,2); gói linalg) 3.11 Dạng 11 Giả sử e1 , e2 sở trực chuẩn mặt phẳng tự đồng cấu ϕ có ma trận: A= sở gồm: f = e1 , f = e1 + e2 −1 Tìm ma trận tự đồng cấu liên hợp ϕ∗ sở: ( f , f ) 3.11 Dạng 11 24 Bài giải e1 = f e2 = f − f Ma trận chuyển từ sở ( f , f ) sang sở (e1 , e2 ) là: C= −1 Tính C −1 Maple: >restart; >with(linalg): >C := matrix(2, 2, [1, -1, 0, 1]); −1 C1 := inverse(C); 1 ⇒ C −1 = 1 Ma trận ϕ sở: (e1 , e2 ) là: B = C −1 AC B= 1 1 −1 −1 = 1 −1 −1 Ta nhân ma trận Maple: >A := matrix(2, 2, [1, 2, 1, -1]) −1 >multiply(multiply(C1, A), C) −1 −2 Ma trận ϕ∗ sở (e1 , e2 ) là: Bt = −1 −2 = −1 −2 25 Kết luận Ma trận ϕ∗ sở ( f , f ) là: −1 B = CBt C −1 = −1 −2 = 3 −1 −2 = −1 −3 1 1 1 Nếu tính Maple ta lặp lại thao tác trên: >B1 := multiply(multiply(C, transpose(B)), C1) −1 −3 Kết luận: Ma trận ϕ∗ sở ( f , f ) là: −1 −3 Kết luận Qua trình soạn thảo báo cáo này, em nhận thấy Latex công cụ vô thuận tiện cho việc soạn thảo ký hiệu, công thức toán học Hơn nữa, Maple, Latex Mathtype lại chuyển đổi qua lại nên việc soạn thảo ký hiệu, công thức trở nên dễ dàng hết Ngày nay, người học toán, làm toán trọng lý thuyết nhiều Các phép tính toán ngày trở nên không cần thiết Chính thế, Maple thay thực phép toán với độ xác tối đa Như vậy, Maple rút ngắn thời gian học toán, dạy toán, nghiên cứu toán, thúc đẩy cho toán học phát triển nói riêng khoa học nói chung Maple Latex lựa chọn hoàn hảo cho tất người học toán, làm toán, dạy toán, nghiên cứu toán toàn giới TÀI LIỆU 26 Tài liệu [1] Nguyễn Hữu Điển, Hướng dẫn sử dụng Maple V, (1999), NXB Thống Kê [2] Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số tuyến tính, (2001), NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Mỵ Vinh Quang, Bài 19 Bài tập không gian véctơ Euclide, (2006), (Tài liệu mạng) [4] Các tài liệu Latex: • Soạn tài liệu khoa học với Latex (https://www.academia.edu/8299583/SO%E1%BA%A 0N_T%C3%80I_LI%E1%BB%86U_KHOA_H% E1%BB%8CC_v%E1%BB%9Bi_L_A_T_E_X) • Cách gõ công thức toán bảng tra cứu (http://truongton.net/forum/archive/index.php/t240902.html) • Một số lệnh Latex thường sử dụng (https://tanphong.wordpress.com/latex/mot-so-lenh-latexthuong-su-dung/) • Bài 4: Công thức toán (Diễn đàn toán học) (http://diendantoanhoc.net/topic/89372-bai-4-congth%E1%BB%A9c-toan/ ) [...]... của không gian 3.3 Dạng 3 Trong không gian vector E, cho 2 không gian con: U= x ∈ R3 : x1 + x2 − x3 = 0 x1 − x2 + x3 = 0 x = ( x1 , x2 , x3 ) t V = x ∈ R3 : x2 + x3 = 0 1 Tìm cơ sở, số chiều của U, V, U + V 2 U và V có trực giao với nhau không? Vì sao? Bài giải 1 Cơ sở của U là u(0, 1, 1) → dimU = 1 Cơ sở của V là v1 = (1, 0, 0) v2 = (0, 1, −1) → dimV = 2 U là không gian sinh bởi u: U = L(u) V là không. .. Vậy định lý Pitago thỏa mãn trong trường hợp m = 0 với tích vô hướng được định nghĩa như trên • m = -1 Tương tự như trường hợp m = 0 Định lý Pitago vẫn thỏa mãn 3.5 Dạng 5 Xác định một cơ sở trực giao cho phần bù trực giao U ⊥ của không gian con U trong R4 Trong đó, U được xác định bởi hệ phương trình: x1 + x2 + x3 + x4 = 0 x1 − x2 + x3 − x4 = 0 Bài giải Ta có U là không gian nghiệm của hệ phương trình:... được xác định bởi hệ phương trình: B: x1 + 2x2 + x3 − x4 = 1 x1 + 3x2 + x3 − 3x4 = 2 Bài giải Chọn β = (−1, 1, 0, 0) ∈ B → B = β + V, trong đó, V là không gian nghiệm của hệ phương trình thuần nhất: x1 + 2x2 + x3 − x4 = 0 x1 + 3x2 + x3 − 3x4 = 0 (*) Khi đó, V ⊥ là không gian con được sinh bởi 2 vector hệ số của hệ phương trình (*): 3.9 Dạng 9 21 V ⊥ = L((1,2,1,-1),(1,3,1,-3)) → v⊥ thừa nhận phân tích:... hoặc dùng lệnh trong Maple: >restart; >with(linalg); >solve({7*a+11*b = 3, 11*a+20*b = 2}, {a, b}); {a = 2, b = -1} ♣⇔ a=2 b = −1 → v⊥ = (1, 1, 1, 1) Ta tính chuẩn bằng lệnh Norm(a,2) trong Maple: >a := vector([1, 1, 1, 1]); >norm(a, 2); 2 → |v⊥ | = 2 → d(α, β) = 2 3.10 Dạng 10 3.10 22 Dạng 10 Tìm khoảng cách giữa 2 phẳng α + U và β + V Trong đó: α = (4, 5, 3, 2), β = (1, −2, 1, −3) Không gian con U sinh... vector([0, 1, 1]): >dotprod(u, v1); 0 >dotprod(u, v2); 0 3.4 Dạng 4 13 Suy ra: uv1 = 0 → u ⊥ v1 uv2 = 0 → u ⊥ v2 ⇒ u ⊥ V, ∀u ∈ U Vậy: U ⊥ V 3.4 Dạng 4 Cho không gian vector Euclid M2x2 (R) với tích vô hướng: < U, V >= u11 v11 + u12 v12 + u22 v22 + u21 v21 Trong đó, U = u11 u12 ,V = u21 u22 v11 v12 v21 v22 1 Hãy tìm tham số m để 2 vector: A= m m−1 1 m ,B= 1 0 m m−1 trực giao với nhau 2 Với m tìm được, hãy... Maple rút ngắn thời gian rất nhiều: >restart; >with(linalg); >u1 := vector([2, 2, -1]); >u2 := vector([4, 1, 1]); >u3 := vector([1, 10, -5]); >basis({u1, u2, u3}); {u1, u2, u3} >GramSchmidt([u1, u2, u3], normalized); [[2/3, 2/3, −1/3], [2/3, −1/3, 2/3], [−1/3, 2/3, 2/3]] 2 Câu này làm tương tự câu trên 3.7 Dạng 7 Tìm một cơ sở trực giao cho phần bù trực giao U ⊥ của không gian con U trong R4 sinh bởi... lệnh norm(a,2); trong gói linalg) 3.11 Dạng 11 Giả sử e1 , e2 là cơ sở trực chuẩn của mặt phẳng và tự đồng cấu ϕ có ma trận: 1 2 A= trong cơ sở gồm: f 1 = e1 , f 2 = e1 + e2 1 −1 Tìm ma trận của tự đồng cấu liên hợp ϕ∗ trong cùng cơ sở: ( f 1 , f 2 ) 3.11 Dạng 11 24 Bài giải e1 = f 1 e2 = f 2 − f 1 Ma trận chuyển từ cơ sở ( f 1 , f 2 ) sang cơ sở (e1 , e2 ) là: C= 1 −1 0 1 Tính C −1 trong Maple: >restart;... inverse(C); 1 1 0 1 ⇒ C −1 = 1 1 0 1 Ma trận của ϕ trong cơ sở: (e1 , e2 ) là: B = C −1 AC B= 1 1 0 1 1 2 1 −1 1 −1 0 1 = 2 1 1 −1 1 −1 0 1 Ta cũng có thể nhân ma trận bằng Maple: >A := matrix(2, 2, [1, 2, 1, -1]) 1 2 1 −1 >multiply(multiply(C1, A), C) 2 −1 1 −2 Ma trận của ϕ∗ trong cơ sở (e1 , e2 ) là: Bt = 2 1 −1 −2 = 2 −1 1 −2 25 4 Kết luận Ma trận của ϕ∗ trong cơ sở ( f 1 , f 2 ) là: 1 −1 2 1 B = CBt... liệu [1] Nguyễn Hữu Điển, Hướng dẫn và sử dụng Maple V, (1999), NXB Thống Kê [2] Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số tuyến tính, (2001), NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Mỵ Vinh Quang, Bài 19 Bài tập về không gian véctơ Euclide, (2006), (Tài liệu trên mạng) [4] Các tài liệu về Latex: • Soạn tài liệu khoa học với Latex (https://www.academia.edu/8299583/SO%E1%BA%A 0N_T%C3%80I_LI%E1%BB%86U_KHOA_H% E1%BB%8CC_v%E1%BB%9Bi_L_A_T_E_X)... 0, 1, 0) β 2 (0, 1, 0, 1) Nhận thấy: β 1 ⊥ β 2 Vậy β 1 , β 2 chính là cơ sở trực giao cần tìm 3.6 3.6 Dạng 6 16 Dạng 6 Áp dụng phương pháp trực giao hóa Schmidt để tìm một cơ sở trực chuẩn của các không gian vector E từ các hệ cơ sở sau: 1 {u1 (2, 2, −1), u2 (4, 1, 1), u3 (1, 10, −5)} của R3 2 {u1 (0, 2, 1, 0), u2 (1, −1, 0, 0), u3 (1, 2, 0, −1), u4 (1, 0, 0, 1)} của R4 Bài giải 1 Trực giao hóa cơ