BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN đại SỐ TUYẾN TÍNH đề TÀI GIỚI THIỆU VỀ MÔ HÌNH LESLIE

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HCM KHOA KHOA HỌC & ỨNG DỤNG  BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ĐỀ TÀI 16: GIỚI THIỆU VỀ MƠ HÌNH LESLIE GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN: NGUYỄN XUÂN MỸ Nhóm thực hiện: Nhóm – Lớp L11 DANH SÁCH THÀNH VIÊN Nhóm – Lớp L11 STT HỌ VÀ TÊN MSSV Nguyễn Gia Huy 2013310 Nguyễn Trọng Huy 2011282 Trần Ngọc Quang Huy 2011293 Võ Mai Anh Huy 2013339 Nguyễn Thị Lệ Huyền 2013348 Cao Ngân Huỳnh 2013350 Phạm Hoàng Khanh 2012509 Nguyễn Đăng Khoa 2012509 Trần Nguyễn Anh Khoa 2013518 10 Vương Tuấn Kiệt 2013587 11 Y Khoa Knul 2013588 12 Nguyễn Trịnh Lâm 1711899 13 Huỳnh Công Lĩnh 2013647 14 Nguyễn Thị Trúc Linh 2013637 GHI CHÚ MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU.……………………………………………… I CƠ SỞ LÝ THUYẾT Giới thiệu ma trận Leslie.……………………… 2 Cách thiết lập ma trận Leslie……………….…………2 II ỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN LESLIE Ứng dụng thực tế ma trận Leslie……………………… Một số ví dụ khác ứng dụng ma trận Leslie………… 10 III CHƯƠNG TRÌNH MATLAB Lập toán cụ thể…………………………………….12 Những lệnh cần thiết để giải toán……………………….13 Kết toán chương trình……………… 14 IV TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………15 LỜI MỞ ĐẦU Đại số tuyến tính mơn học có nhiều ứng dụng đời sống sử dụng rộng rãi hầu hết ngành khoa học lĩnh vực kỹ thuật như: kinh tế, mơi trường, cơng nghệ máy tính, xử lý tín hiệu, đồ họa, trí tuệ nhân tạo,… Vì Đại số tuyến tính cho phép người sử dụng mơ hình hóa nhiều tượng tự nhiên tính tốn hiệu với mơ hình Một ứng dụng phổ biến Đại số tuyến tính phải kể đến Mơ hình ma trận Leslie, sử dụng sinh thái học để mơ hình hóa thay đổi quần thể khoảng thời gian I CƠ SỞ LÝ THUYẾT: Giới thiệu Leslie: - Trong toán học ứng dụng, ma trận Leslie mơ hình biểu thị gia tăng dân số rời rạc, có cấu trúc theo độ tuổi, phổ biến sinh thái dân số Ma trận Leslie (mơ hình Leslie) phát minh Patrick H Leslie, phương pháp phổ biến để mô tả tăng trưởng dân số phân bố dân spps theo độ tuổi dự kiến quần thể định Trong quần thể dân số khơng di cư, phát triển môi trường không giới hạn xét đến giới tính quần thể, thường giới tính - Ma trận Leslie sử dụng sinh thái học để mơ hình hóa thay đổi quần thể sinh vật khoảng thời gian Cụ thể mơ hình Leslie, dân số chia thành nhóm dựa độ tuổi Các nhóm theo độ tuổi thay giai đoạn di truyền mơ hình tương tự mơ hình Lefkovitch, mơ hình cá thể chung giai đoạn chuyển sang giai đoạn Tại khoảng thời gian, quần thể biểu diễn ma trận với phần tử tương ứng với độ tuổi cho biết số lượng cá thể có độ tuổi Cách thiết lập ma trận Leslie: - Để thiết lập ma trận Leslie phải cần biết thông tin sau: + nx : Số lượng cá thể (𝐧) lớp tuổi 𝐱 + sx : Phần nhỏ cá thể sống sót từ lớp tuổi x đến lớp tuổi 𝐱 + 𝟏 + fx : Bình quân đầu người số trung bình đạt n0 sinh từ mẹ độ tuổi x Chính xác hơn, xem số tạo lớp tuổi bx+1 tính theo xác suất đến lớp tuổi - Do fx= sxbx+1 - Từ quan sát thấy n0 thời điểm t+1 đơn giản tổng tất sinh từ bước thời gian trước sinh vật sống sót đến thời điểm t+1 sinh vật thời điểm không sống sót với xác suất sx, người nhận nx+1 = sxnx Khi đó, ma trận biểu diễn sau: f𝟎 n0 s𝟎 n1 𝟎 [ ⋮ ] t+1 = 𝟎 n𝛚-1 ⋮ [𝟎 f𝟏 𝟎 s𝟏 𝟎 ⋮ 𝟎 f𝟐 𝟎 𝟎 s𝟐 ⋮ 𝟎 ⋯ f𝛚−𝟐 ⋯ 𝟎 ⋯ 𝟎 ⋯ 𝟎 ⋱ ⋮ ⋯ s𝛚−𝟐 f𝛚−𝟏 n0 𝟎 n1 𝟎 [ ⋮ ]t 𝟎 n𝛚-1 ⋮ 𝟎 ] + Trong ω tuổi tối đa đạt quần thể + Cịn viết lại : nt+1 = Lnt nt = Ltn0 + Với nt vectơ tổng hợp thời điểm t L L ma trận Leslie + Giá trị riêng L kí hiệu λ, cho biết tốc độ tăng tiệm cận dân số (tốc độ tăng phân bố ổn định theo tuổi) Vector riêng tương ứng với λ cung cấp phân bố tuổi ổn định, tỷ lệ cá thể độ tuổi quần thể, không đổi thời điểm tăng trưởng tiệm cận trừ thay đổi tỷ lệ sống Khi đạt đến phân bố tuổi ổn định, dân số tăng trưởng theo cấp số nhân với tốc độ λ II ỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN LESLIE: Ứng dụng thực tế ma trận Leslie: * Để hình dung ứng dụng, ta sâu vào phương pháp sử dụng ma trận Leslie mơ hình hóa quần thể sinh vật cụ thể: ỨNG DỤNG ĐẾN QUẦN THỂ GÀ TÂY HOANG DÃ TẠI IOWA Ở khoảng nửa phía Đơng Hoa Kỳ, nơi gà tây hoang dã sinh sống Tại đây, săn gà tây mang lại hiệu kinh tế đáng kể nhiều cộng đồng nơng thơn Nó mang lại doanh thu lớn việc săn gà tây khơng cung cấp thực phẩm, mà cịn tăng cường phát triển ngành liên quan chế tạo quần áo trang thiết bị thứ mà gà tây mang lại Vì vậy, nâng cao kiến thức quần thể, số lượng gà tây điều quan trọng để xây dựng quy định săn bắn quản lý gà tây hiệu Nhiều nghiên cứu tỷ lệ sinh sản, tỷ lệ tử vong tỷ lệ sống sót, di chuyển gà tây hoang dã thực (Tại Dickson năm 1992) Tuy nhiên, có mơ hình thành lập để đánh giá quần thể gà tây Để có kết hợp cụ thể tỷ lệ sống sót tỷ lệ sinh sản, cần mơ hình cho biết liệu quần thể gà tây hoang dã phát triển, suy giảm hay ổn định Các tỷ lệ sống rõ ràng phụ thuộc vào mức độ thu hoạch Bằng cách thay đổi mức thu hoạch thấy ảnh hưởng đến quy mô dân số xem xét thay đổi quy định săn bắn tăng cường quản lý đàn gà tây hoang dã Mơ hình Leslie phát triển cho động thái quần thể gà tây hoang dã miền đông Iowa Các thơng số sử dụng mơ hình dựa nghiên cứu gà tây hoang dã Iowa (Suchy et al 1983, Dickson 1992), đặc điểm dân số giải thích mơ hình phân tích - Mục tiêu nghiên cứu hướng tới: + Xây dựng mơ hình dự đốn quy mô dân số cấu tuổi gà tây hoang dã Iowa tương lai + Để thấy ảnh hưởng mức thu hoạch (theo phần trăm tổng dân số) đến cấu tuổi dân số tăng trưởng + Để tìm mùa săn gà tây hoang dã thích hợp - Cấu trúc mơ hình + Biểu đồ vòng đời thể sau: + Độ tuổi phân loại thành ba giai đoạn để đơn giản hóa mơ hình tính tốn Con non (Poults) có độ tuổi từ đến tuổi, nhỏ (Yearlings) có độ tuổi từ đến tuổi trưởng thành (Adults) có độ tuổi từ tuổi trở lên Sinh sản xảy với nhỏ trưởng thành Đơn vị tính tốn năm có xét mơ hình Pi : xác suất để thuộc nhóm i thời điểm t sống nhóm i + (với i= 1, 2) sống nhóm i với i= thời điểm t + Fi : số sinh nhóm i từ thời điểm t đến t + + Các biến trạng thái số lượng non, nhỏ trưởng thành, kí hiệu n1, n2 n3 Sau có thiết lập sau: + Ma trận Leslie A, ma trận vuông bậc 3, xác định mơ hình giai đoạn tuổi là: + Để đơn giản hóa hơn, nghiên cứu ước tính thông số năm bỏ qua số thông tin phức tạp tỉ lệ tử vong mùa khác Thơng qua nghiên cứu có kết tốt tỉ lệ sống sót q trình sinh sản gà tây hồng dã, bên cạnh đó, khơng khó để ước tính tham số Pi, Fi mơ hình Mơ hình Leslie áp dụng cách sử dụng giá trị trung bình Ma trận Leslie ban đầu quần thể gà tây hoang dã Iowatrong nghiên cứu thu được: - Kết nghiên cứu + Tính ổn định Wen-Ching Li sử dụng FORTRAN để tìm trị riêng vector riêng ma trận Leslie A, λ = 1.15; λ2,3 = -0.27±0.04i | λ1 | = 1.15 > chứng tỏ quần thể không ổn định Trên thực tế, số thông số dao động ngẫu nhiên tình thực tế Để nghiên cứu nhạy mơ hình giá trị tham số riêng lẻ quản lí quần thể gà tây, tác giả thay đổi giá trị tham số đạt ổn định quần thể Trường hợp 1: Tỉ lệ sinh sản trưởng thành F3 giảm từ 1.86 xuống 0.8 Ma trận Leslie thay đổi thành Khi trị riêng λ1 = 0.999; λ2 = 0.05; λ3 = -0.42; | λi | < Nó ổn định mặt tiệm cận Trong trường hợp này, cần phải có thay đổi lớn F3 để có ổn định Trường hợp 2: Tỉ lệ sống sót P1 giảm từ 0.445 xuống 0.260 thơng số khác giá trị giống ma trận ban đầu Trị riêng mơ hình: λ1 = 0.998; λ2.3 = -0.19±0.35i | λi | < Đó quần thể ổn định Trường hợp 3: Tỉ lệ sống sót hàng năm, P2 giảm từ 0.616 xuống 0.28 Các thông số khác giữ nguyên giá trị ma trận ban đầu Khi đó, λ1 = 0.996; λ2 = 0.02; λ3 = -0.40 Trường hợp 4: Tỉ lệ sống sót người trưởng thành P3 giảm từ 0.61 xuống 0.15 Các thông số khác giữ nguyên ma trận ban đầu Khi đó, λ1 = 0.997; λ2.3 = -0.42±0.52i Trường hợp 5: Thật khó để có trạng thái ổn định giảm F2 | λ1 | lớn F2 giảm xuống 0.01, nhỏ so với mức sinh nhỏ Trường hợp 6: thay đổi đồng thời F2 F3 Sau đó, F2 giảm từ 0.88 xuống 0.40 F3 thay đổi từ 1.86 thành 1.13, λ1 = 0.999; λ2.3 = 0.19±0.41i Trường hợp hợp lí mặt sinh học so với trường hợp Có số cách để thay đổi giá trị F2 F3 trường hợp Trong trường hợp l, 2,3,4 6, giá trị tuyệt đối λi nhỏ Hệ thống ổn định tiệm cận phần tử đơn vị trị riêng A, điểm gốc điểm cân hệ Quần thể bị tuyệt chủng sau thời gian dài.Nếu phần tử đơn vị trị riêng A, thay bị tuyệt chủng, quần thể đạt phân bố tuổi ổn định, tỉ lệ với vector riêng tương ứng phần tử đơn vị + Ảnh hưởng thu hoạch Thu hoạch (săn bắt) ảnh hưởng trực tiếp đến thông số giai đoạn nhỏ giai đoạn trưởng thành đàn giai đoạn gián tiếp Giả định có xác suất sống sót nhỏ trưởng thành bị ảnh hưởng mức thu hoạch xác định tỷ lệ phần trăm tổng số cá thể quần thể Chỉ có mùa săn bắn vào mùa thu cân nhắc mơ hình dành cho nhóm thường đực bị săn bắt vào mùa xuân Dữ liệu từ sách có tên "Gà tây hoang dã" (Dickson 1992) cho thấy giảm P2 P3 thu hoạch Theo mức độ thu hoạch khác P2 P3 thay giá trị bảng Khi đó, trị riêng đặc trung chiếm ưu giảm mức thu hoạch tăng lên Kết cho thấy 20% số cá thể quần thể bị săn bắt, quy mô quần thể phải nhỏ hơn, nghĩa trị riêng chi phối phải nhỏ Nhưng kết điều Có thể mơ hình q đơn giản có vấn đề nằm bước khảo sát, ước tính tham số nghiên cứu Như đề cập trước đây, tỉ lệ sống sót khả sinh sản thay đổi theo thời gian tùy thuộc vào nhiều yếu tố, điều kiện thời tiết Trong đó, tỉ lệ sống sót Pi thay đổi nhiều so với khác Vì vậy, Pi chọn để điều chỉnh để thực số phân tích khác Nếu Pi thay đổi từ 0.445 thành 0.330, kết mô Kết hợp lí kết trước Trị riêng chi phối mức thu hoạch 15% Tổng kết Mô hình gà tây đơn giản, quần thể gà tây hoang dã Iowa hệ thống phức tạp Có q tham số mơ hình để mơ tả đứng mức độ phức tạp quần thể gà tây hoang dã Ma trận mở rộng nhiều tham số thêm vào mơ hình Leslie Tương tác tham số khảo sát tồn tổng thể chia thành nhiều giai đoạn Một số ví dụ khác ứng dụng ma trận Leslie: VD1: Tìm số lượng cá thể chuột nhóm tuổi sau M năm, biết số lượng chuột tại, tỉ lệ sinh tỉ lệ sống sót chúng qua bảng sau: Độ tuổi Số lượng ban đầu Tỉ lệ sống sót Tỉ lệ sinh sản đến tuổi 80 0.5 0.7 đến tuổi 40 0.8 0.6 Từ đến tuổi 60 0.8 Giải: - Ma trận Leslie: 0.7 0.6 0.8 L = [0.5 0] 0.8 - Số lượng chuột nhóm tuổi vào thời điểm ban đầu: 80 N0 = [40] 60 - Số lượng chuột nhóm tuổi sau năm là: N1 = L.N0 0.7 0.6 0.8  N1 = [0.5 0 ]x 0.8 128  N1 = [ 40 ] 32 80 [40] 60 - Số lượng chuột nhóm tuổi sau năm là: N2 = L.N1= L2.N0 10 - Số lượng chuột nhóm tuổi sau M năm là: NM = LM.N0 VD2: Nếu chia quần thể bò rừng (xét cá thể cái) thành loại bê, nghé, trưởng thành(hai tuổi trở lên) phát triển mơ hình ma trận Leslie cho dân số sử dụng: + Những trưởng thành đạt tuổi sống sót thêm năm với xác suất 0.95 tái sản xuất với xác suất 0.42 + Có 0.6 hội để bê sống sót trở thành nghé + Con nghé có 0.7 hội sống sót đến tuổi trưởng thành + Đàn bò bắt đầu với 100 trưởng thành Độ tuổi Số lượng ban đầu Tỉ lệ sống sót Tỷ lệ sinh sản Bê 0.6 Nghé 0.7 o Con trưởng thành 100 0.95 0.42 Giải: - Ma trận Leslie: 0 0.42 (0.6 0 ) 0.7 0.95 - Vì vậy, đàn bắt đầu với 100 trưởng thành, đàn bị năm sau có cấu trúc: 0 0.42 42 X1 = L.X0 = (0.6 0 )( ) = ( ) 0.7 0.95 100 95 11 III CHƯƠNG TRÌNH MATLAB: Lập tốn cụ thể: - Người ta chia tơm sú làm ba loại : + Loại loại nhỏ từ đến tuổi, + Loại loại vừa đến tuổi loại loại to từ tuổi trở lên - Tỉ lệ sống sót loại 1,2 qua năm 0.8, 0.7 0.5 - Tỉ lệ sinh loại loại 0.4 0.5 Khảo sát số lượng cá thể đàn tôm nuôi vuông nuôi tôm Cà Mau Giả sử năm 2019 , đàn tơm có 10.000 loại Độ tuổi Số lượng ban đầu Tỷ lệ sống sót Tỷ lệ sinh sản Loại (nhỏ từ đến tuổi) 10000 Loại (vừa từ đến tuổi) 10000 Loại (to từ tuổi trở lên) 10000 0.5 0.7 0.8 0.5 0.4 12 Những lệnh cần thiết để giải toán: clc; clear all; %Thiet lap ma tran leslei: L=zeros(3,3); ( MA TRẬN HÀNG CỘT 3) L(1,1)=input('Nhap ti le sinh san cua loai I:'); (NHẬP SỐ LIỆU ) L(1,2)=input('Nhap ti le sinh san cua loai II:'); L(1,3)=input('Nhap ti le sinh san cua loai III:'); L(2,1)=input('Nhap ti le song sot cua loai I sang loai II:'); L(3,2)=input('Nhap ti le song sot cua loai II sang loai III:'); L(3,3)=input('Nhap ti le song sot cua loai III:'); fprintf('Ma tran Leslei la: \n'); disp(L); (HIỂN THỊ MA TRẬN ) %Nhap ma tran gia tri dau: ( NHẬP SỐ LIỆU BAN ĐẦU CỦA TỪNG CÁ THỂ) X0=zeros(3,1); X0(1,1)=input('Nhap so luong cai o loai I tai thoi diem ban dau:'); X0(2,1)=input('Nhap so luong cai o loai II tai thoi diem ban dau:'); X0(3,1)=input('Nhap so luong cai o loai I tai thoi diem ban dau:'); fprintf('Ma tran gia tri dau la: \n'); disp(X0) %Tinh toan: a=input('Nhap chu ky cua bai toan (so nam de ca the chuyen loai):'); (CHU KỲ ĐỂ LOÀI NÀY CHUYỂN SANG LỒI KHÁC ,vd : khoảng thời gian từ lồi sang loài , ĐƠN VỊ LÀ NĂM ) b=input('Nhap so nam muon tinh:'); ( TÍNH SỐ NĂM THỨ T KỂ TỪ BAN ĐẦU) n=b/a; X=(L^n)*X0; (CÔNG THỨC MA TRẬN LESLIE) fprintf('Ket qua la:\n'); disp(X); (HIỂN THỊ KẾT QUẢ) 13 Kết tốn chương trình Matlab: * Sau nhập lệnh cần thiết vào chương trình Matlab, ta kết tốn sau: 14 IV TÀI LIỆU THAM KHẢO: * Các tài liệu, trang web nhóm tham khảo q trình thực Bài tập lớn: o https://en.wikipedia.org/wiki/Leslie_matrix o APPLICATION OF LESLIE MATRIX MODELS TO WILD TURKEY POPULATIONS by Wen-Ching Li North Carolina State University Department of Statistics Biomathematics Graduate Program, Raleigh 1994 o Giáo trình ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH – ĐẠI HỌC BÁCH KHOA – ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM 15 ... thiệu ma trận Leslie. ……………………… 2 Cách thiết lập ma trận Leslie? ??…………….…………2 II ỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN LESLIE Ứng dụng thực tế ma trận Leslie? ??…………………… Một số ví dụ khác ứng dụng ma trận Leslie? ??………... đến Mơ hình ma trận Leslie, sử dụng sinh thái học để mơ hình hóa thay đổi quần thể khoảng thời gian I CƠ SỞ LÝ THUYẾT: Giới thiệu Leslie: - Trong toán học ứng dụng, ma trận Leslie mơ hình biểu... dân số rời rạc, có cấu trúc theo độ tuổi, phổ biến sinh thái dân số Ma trận Leslie (mơ hình Leslie) phát minh Patrick H Leslie, phương pháp phổ biến để mô tả tăng trưởng dân số phân bố dân spps