Mục đích của việc xác định chuyển vị trong hệ thanh đàn hồi tuyến tính: Kiểm tra độ cứng công trình, chuẩn bị cơ sở cho việc nghiên cứu hệ siêu tĩnh, tải trọng gây ra chuyển vị là tải trọng tác dụng tĩnh, chuyển vị của hệ nghiên cứu tuân theo nguyên lý cộng tác dụng,...Mời các bạn cùng tham khảo!
CHƯƠNG 4: XÁC ĐỊNH CHUYỂN VỊ TRONG HỆ THANH PHẲNG ĐÀN HỜI TÚN TÍNH v Mục đích của việc xác định chuyển vị hệ đàn hồi tuyến tính: + Kiểm tra độ cứng cơng trình + Chuẩn bị sở cho việc nghiên cứu hệ siêu tĩnh v Các giả thiết tính tốn: + Tải trọng gây chuyển vị tải trọng tác dụng tĩnh + Chuyển vị hệ nghiên cứu tuân theo nguyên lý cộng tác dụng v Cách xác định chuyển vị + Xuất phát từ nguyên lý công ( nguyên lý cơng ảo) hệ § 4.1 KHÁI NIỆM VỀ BIẾN DẠNG VÀ CHUYỂN VỊ Khái niệm 1.1 Biến dạng: thay đổi hình dạng cơng trình tác dụng ngun nhân bên ngồi tải trọng, sự thay đổi nhiệt độ, chuyển vị cưỡng gối tựa, chế tạo khơng xác Bài tốn phẳng, biến dạng phân tố có chiều dài ds bao gồm ba thành phần: ü Biến dạng xoay ds hai tiết diện hai đầu phân tố mômen gây ra, biến dạng xoay tỷ đối ü Biến dạng dọc trục ds hai tiết diện hai đầu phân tố lực dọc gây ra, biến dạng dọc tỷ đối ü Biến dạng trượt ds hai tiết diện hai đầu phân tố lực cắt gây ra, biến dạng trượt tỷ đối 1.2 Chuyển vị: thay đổi vị trí phân tố hệ kết cấu Có thể nói chuyển vị hệ trình biến dạng hệ kết cấu v Một phân tố hệ ba khả + Khơng chuyển vị có biến dạng (vị trí 1) + Có chuyển vị có biến dạng (vị trí 2) + Có chuyển vị khơng biến dạng (vị trí 3) v Trong thực hành sử dụng khái niệm chuyển vị của tiết diện Các loại chuyển vị: chuyển vị tiết diện xác định có ba thành phần: Ø Chuyển vị thẳng theo phương trục x Ø Chuyển vị thẳng theo phương trục y Ø Chuyển vị xoay (chuyển vị góc) Ký hiệu chuyển vị: km Chỉ số thứ (k) vị trí phương chuyển vị, số thứ hai (m) nguyên nhân gây chuyển vị km – chuyển vị tương ứng vị trí phương k nguyên nhân m gây Chuyển vị đơn vị: chuyển vị mà nguyên nhân gây đơn vị, ký hiệu km § 4.2 CƠNG KHẢ DĨ CỦA NỘI VÀ NGOẠI LỰC Định nghĩa công Là công sinh lực chuyển vị biến dạng vô bé ngun nhân gây • Chuyển vị biến dạng vô bé phải phù hợp với điều kiện liên kết ngoại liên kết nội hệ tức thõa mãn điều kiện động học gọi chuyển vị biến dạng • Nguyên nhân gây chuyển vị tải trọng, thay đổi nhiệt độ chuyển vị gối tựa Xét hệ hai trạng thái • Trạng thái thứ gọi trạng thái “k” chịu lực Pk • Trạng thái thứ hai gọi trạng thái “m” chịu nguyên nhân gồm: tải trọng Pm, nhiệt độ t1m, t2m v Chuyển vị biến dạng đàn hồi trạng thái “m” coi nhỏ tự động thỏa mãn điều kiện động học nên xem chuyển vị biến dạng v Gọi km chuyển vị điểm đặt lực Pk nguyên nhân trạng thái “m” gây Tích số Pk km cơng lực Pk chuyển vị tương ứng trạng thái “m” gây ra, ký hiệu công Tkm : Công khái niệm mở T rộng, = P trừu ∆ tượng, nhằm mục đích xác km k km định chuyển vị có vị trí phương nguyên nhân gây 2 Nguyên lý công (nguyên lý công ảo) áp dụng cho hệ đàn hồi (S D Poison 1833) Nguyên lý công Lagrange: Nếu hệ chất điểm vật rắn cân tác dụng lực cơng lực chuyển vị vô bé (tức chuyển dời mà liên kết cho phép) phải không Tkmđàn = hồi, S.D.Poisson cho ngồi Trong trường hợp hệ biến dạng cơng ngoại lực phải xét thêm cơng nội lực biến dạng Do hệ đàn hồi biến dạng, nguyên lý cân công khã dĩ phát biểu sau: Nếu hệ biến dạng đàn hồi cô lập cân tác dụng lực tổng cơng Tkm ngoại lực chuyển vị vô bé tương ứng công nội lực A*km biến dạng đàn hồi tương ứng phải không Tkm + A*km = � Tkm = −A*km Công ngoại lực Công ngoại lực trạng thái “k” chuyển vị trạng thái “m” tổng tích số ngoại lực tác dụng trạng thái “k” với chuyển vị tương ứng trạng thái “m” Công nội lực Tkm = i Pik ∆ km Để tính cơng nội lực cho tồn hệ, tính cơng nội lực cho phân tố ü Ở trạng thái “k” tách phân tố có chiều dài ds Trong trường hợp tổng quát toán phẳng mặt cắt đầu trái đầu phải phân tố có nội lực Mk, Qk, Nk tác dụng, lực nội lực thanh, phân tố xét chúng coi ngoại lực Ở trạng thái “m” vị trí tương ứng tách phân tố có chiều dài ds Ở trạng thái phân tố ds có biến dạng nội lực Mm, Nm, Qm thay đổi nhiệt độ v • Biến dạng nội lực Mm, Nm, Qm Biến dạng xoay: Hai tiết diện hai đầu phân tố tác dụng mơmen uốn Mm bị xoay góc mds Mm ψm = EI • Biến dạng trượt: hai tiết diện hai đầu phân tố tác dụng lực cắt Qm bị trượt góc mtbds : Qm γ =ν GA tb m • Biến dạng dọc: hai tiết diện hai đầu phân tố tác dụng lực dọc Nm làm cho phân tố bị dãn dài dọc trục đoạn mds v Nm εm = Biến dạng thay đổi nhiệt độ EA Gọi t1m t2m thay đổi nhiệt độ thớ thớ (giả thiết t2m > t1m > 0) Chấp nhận quy luật biến thiên nhiệt độ theo chiều cao tiết diện bậc nhất, tức biểu đồ biến thiên nhiệt độ có dạng đường thẳng Xác định độ biến thiên nhiệt độ trục thanh: t1m + t 2m t cm = Với giả thiết t2m > t1m > t cm = Nếu a = b = h/2 ; ta có: at1m + bt 2m h Tiết diện 1-1 đầu trái phân tố cố định α hệ số dãn nở nhiệt vật liệu Phân tố có hai thành phần biến dạng nhiệt: • Biến dạng dài dọc theo trục nhiệt độ tcm gây ra: • Biến dạng xoay: hai tiết diện hai đầu phân tố tác dụng t1m t2m bị xoay góc tmds ψ tm ds = ε tm ds = αt cm ds αt 2m ds − αt1m ds α = ( t 2m − t1m ) ds h h Công phân tố lực trạng thái “k” biến dạng tương ứng trạng thái “m” là: dTkm = M k ψ m ds + N k ε m ds + Q k γ mtbds + M k ψ tm ds + N k ε tm ds tb dA*km = − � M ψ ds + N ε ds + Q γ ds + M k ψ tm ds + N k ε tm ds � k m k m k m � � Công nội lực trạng thái “k” biến dạng tương ứng trạng thái “m” toàn hệ tổng tích phân cơng nội lực trạng thái “k” biến dạng tương ứng trạng thái “m” thanh: tb A*km = − � M ψ ds + N ε ds + Q γ ds + �� M k ψ tm ds + �� N k ε tm ds � � � � k m k m k m � � � � biểu thức vào có: � Thay A*km = − Mk �� Mm N Q α ds + �� N k m ds + �� Q k ν m ds + �� M k ( t 2m − t1m ) ds + �� N k αt cm ds EI EA GA h § 4.3 CƠNG THỨC CƠNG KHẢ DĨ Cơng thức biểu thị cân công lực tác dụng lên hệ trạng thái “k” chuyển vị tương ứng trạng thái “m” với công nội lực trạng thái “k” biến dạng tương ứng hệ trạng thái “m” �Pik ∆ km = i Mk Mm Nk Nm Qk Qm ds + ds + ν �� EI ��EA �� GA ds + α thức cho Chú ý: tích+ phân tích phân định hạn Cơng M t − t ds + N α t ds ��k h ( 2m 1m ) ��k cm hệ đàn hồi tuyến tính gồm thẳng cho cong có độ cong nhỏ Biểu thức dấu tích phân liên tục Dấu tổng bên phải lấy theo đoạn thanh, dấu tổng bên trái lấy theo số lực tác dụng trạng thái “k” § 4.4 CƠNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA CHUYỂN VỊ TRONG HỆ THANH ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH (CƠNG THỨC MAXWELL – MOHR, 1874) Xét hệ chịu nguyên nhân: tải trọng Pm, nhiệt độ t1m t2m chuyển vị cưỡng gối tựa Zjm Đây trạng thái thực “m” Yêu cầu xác định chuyển vị tiết diện k hệ Để xác định chuyển vị tiết diện k, tưởng tượng tạo sơ đồ tính hệ cho trạng thái “k” (trạng thái giả tạo); có đặt lực Pk cho lực sinh công chuyển vị tìm km cần • • Cần tìm chuyển vị thẳng trạng thái cần đặt lực Pk theo phương cần tính chuyển vị tiết diện cần tính, chiều tùy ý Cần tìm chuyển vị xoay trạng thái cần đặt lực Pk dạng mômen tập trung (Mk) tiết diện cần tính chuyển vị, có chiều tùy ý M M N N Pk ∆ km + �R jk Z jm = �� k m ds + ��k m ds + EI EA j Qk Qm α ν ds + M N k αt cm ds �� GA ��k h ( t 2m − t1m ) ds + �� Chia hai vế cho Pk ký hiệu: mômen lực Pk =1 gây hệ trạng thái “k” Mk = Mlực cắt lực Pk =1 gây hệ trạng thái “k” k Pk Q klực dọc lực Pk =1 gây hệ trạng thái “k” Qk = Pk Nk = Nk Pk R jk = R jk P phản lực liên kết j lực Pk =1 gây trạng thái “k” k Công thức xác định chuyển vị hệ đàn hồi tuyến tính: M M N N ∆ km = −�R jk Z jm + �� k m ds + ��k m ds + EI EA j Qk Qm α ν ds + M N k αt cm ds �� GA ��k h ( t 2m − t1m ) ds + �� Chiều lực Pk =1 (hoặc Mk =1) chọn tùy ý: kết tính Chú ý: ü mang dấu dương chuyển vị cần tìm hướng theo chiều Pk (hoặc Mk) chọn; kết mang dấu âm ngược lại ü Tích Rjk.Zjm dương Rjk chiều Zjm ü Công thức cho hệ đàn hồi tuyến tính gồm thẳng hay cong có độ cong nhỏ Biểu thức dấu tích phân liên tục § 4.4 CÁCH VẬN DỤNG CƠNG THỨC TÍNH CHUYỂN VỊ Hệ dầm khung chịu tải trọng Bỏ qua ảnh hưởng biến dạng trượt lực cắt ảnh hưởng biến dạng dọc lực dọc gây Hệ dàn chịu tải trọng ∆ km Mk Mm ds EI = Nk Nm Lực dọc ∆ kmdàn= không thay đổidstrong phạm vi Các đại lượng E A không thayEA đổi ∆ km = i N ik N im li ( EA ) i Hệ tĩnh định chịu chuyển vị cưỡng ∆ kZ = − Hệ tĩnh định chịu nhiệt độ j R jk Z jm α = M − t1m + �� N k αt cm ds + Nhiệt độ như∆nhau theo chiều ) ds đoạn ��k h ( t 2mdài kt + Vật liệu đoạn ( = const) + Chiều cao đoạn (h=const) diện tích biểu đồ (+) biểu đồ mơmen căng phía nhiệt độ thấp α ∆ = t1m )dấu(+) Ω ( M k αt cm Ω ( N k ) ) +là�lực �hđồ( t 2m −lấy kt biểu diện tích kéo Ω ( Mk ) Ω ( Nk ) Mk Nk § 4.5 CÁCH TÍNH CÁC TÍCH PHÂN TRONG CƠNG THỨC TÍNH CHUYỂN VỊ THEO PHÉP NHÂN BIỂU ĐỒ Với hệ dầm, khung, dàn chịu tải trọng thực cách tính tích phân cơng thức chuyển vị đơn giản cách nhân biểu đồ A N Vêrêxaghin đề xuất năm 1925 Chú ý : ü ∆ km b Mm = Mk ds = ( M k ) ( M m ) = EI a i yk Ω(abM ) m EI Hệ gồm thẳng độ cứng EI số ü Tung độ bắt buộc phải lấy biểu đồ có bậc bé bậc một, diện tích lấy biểu đồ yk Ω(abM ) m ü Nếu diện tích Ω(abM ) m tung độ y k dấu tích số mang dấu dương ngược lại ü Trong khoảng từ (a, b) biểu đồ lấy tung độ yk phải đoạn thẳng trơn tru Nếu đường gãy khúc, cần chia khoảng (a,b) làm nhiều đoạn để áp dụng cách nhân cho đoạn cộng kết với ü Nếu biểu đồ lấy diện tích có hình dạng phức tạp ta chia thành hình để tìm diện tích toạ độ trọng tâm Một số cơng thức tính diện tích trọng tâm hình bản: Hình tam giác: Hình parabon lồi Ω ab (M)m a.l l 2l = ; z1 = ; z2 = 3 a Ω(abM ) m = a z1 z2 z1 l z2 l a a Hình parabol lõm z1 Hình bậc n: z2 z1 l Ω(abM ) m = 2al 3l 5l ; z1 = ; z2 = 8 al l 3l ; z1 = ; z2 = 4 z2 l Ω(abM ) m = ( n + 1) l al l ; z1 = ; z2 = n +1 n+2 n+2 Trường hợp nhân biểu đồ có dạng hình thang, đưa hình Tuy nhiên đưa cơng thức sau đơn giản nhất: I = ( Mk ) ( Mm ) L = ( 2am + 2bn + an + bm ) 6EI § 4.6 CÁCH TÍNH CHUYỂN VỊ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI TIẾT DIỆN Để tính chuyển vị tương đối tiết diện, thực qua bước: Ø Vẽ biểu đồ M trạng thái thực “m”; Ø Lập vẽ biểu đồ M trạng thái “k” với trường hợp sau: • Muốn tìm chuyển vị thẳng tương đối tiết diện theo phương X trạng thái “k” đặt lực P* dạng lực ngược chiều đơn vị tiết diện xét hướng theo phương X • Muốn tìm chuyển vị xoay tương đối tiết diện trạng thái “k” ta đặt lực P* dạng mômen ngược chiều đơn vị tiết diện Tiến hành tính chuyển vị cách nhân biểu đồ mômen ... DẠNG VÀ CHUYỂN VỊ Khái niệm 1.1 Biến dạng: thay đổi hình dạng cơng trình tác dụng ngun nhân bên ngồi tải trọng, sự thay đởi nhiệt độ, chuyển vị cưỡng gối tựa, chế tạo khơng xác Bài tốn... vị có biến dạng (vị trí 2) + Có chuyển vị khơng biến dạng (vị trí 3) v Trong thực hành sử dụng khái niệm chuyển vị của tiết diện Các loại chuyển vị: chuyển vị tiết diện xác định có... liên tục Dấu tổng bên phải lấy theo đoạn thanh, dấu tổng bên trái lấy theo số lực tác dụng trạng thái “k” § 4.4 CƠNG THỨC TỔNG QT CỦA CHUYỂN VỊ TRONG HỆ THANH ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH (CƠNG THỨC MAXWELL