Định nghĩa không gian Euclide

Không gian aphin An có nền là một không gian véctơ Euclide VEn được gọi là một không gian Euclide n chiều.Ký hiệu En . Không gian nền của En ta thường ký hiệu đơn giản là . Ta cũng thường gọi tích vô hướng trên là tích vô hướng của En.Nhận xét Không gian Euclide có tất cả các tính chất của không gian aphin.1.2. Mục tiêu trực chuẩn (Hệ tọa độ Descartes vuông góc) Mục tiêu aphin của En mà là một cơ sở trực chuẩn của được gọi là một mục tiêu trực chuẩn (hay còn gọi là hệ tọa độ Descartes vuông góc) của En. Điểm O được gọi là gốc mục tiêu (gốc tọa độ), được gọi là véctơ đơn vị thứ i, .

1 Chương II KHƠNG GIAN EUCLIDE §1 ĐỊNH NGHĨA 1.1 Định nghĩa Khơng gian aphin An có không gian véctơ Euclide VEn gọi không gian Euclide n chiều Ký hiệu En r Không gian En ta thường ký hiệu đơn giản En Ta r E thường gọi tích vơ hướng n tích vơ hướng En Nhận xét Khơng gian Euclide có tất tính chất không gian aphin 1.2 Mục tiêu trực chuẩn (Hệ tọa độ Descartes vng góc) r r Mục tiêu aphin {O, ei }1,n En mà {ei }1,n sở trực chuẩn r En gọi mục tiêu trực chuẩn (hay gọi hệ tọa độ Descartes vng góc) En Điểm O gọi gốc mục tiêu (gốc tọa r độ), ei gọi véctơ đơn vị thứ i, i 1, n 1.3 Tọa độ trực chuẩn r { O , e Tọa độ aphin điểm X mục tiêu trực chuẩn i }1, n gọi tọa độ trực chuẩn, tức là: X  En , uuur r r X ( x1 , ,xn ) / { O,ei }1,n � OX  ( x1 , ,xn ) / { ei }1,n 1  ( x1 , , x n )  Rn X  En   Như vậy, việc nghiên cứu X  En thơng qua tọa độ trực chuẩn tức nghiên cứu Rn 2 1.4 Công thức đổi tọa độ trực chuẩn r r { O , e } { O ', e 'i }1,n Trong En cho hai mục tiêu trực chuẩn i 1, n r r X(x , ,x )/{ O , e } ; X(x' , ,x' )/{ O ', e 'i }1, n Giả sử X  En n i 1, n n Tương tự công thức đổi hệ tọa độ aphin, [x] X [x’] ta có cơng thức đổi tọa độ trực chuẩn : [x] = AX[x’] + [a] (1) [x’] = (AX)-1[x] + [a’] (2) r r [a]  [O'] {O, ei }1,n , [a ']  [O] {O ', e 'i }1,n r r Vì {ei }1,n {e 'i }1,n cstc VEn nên A ma trận trực giao nên A x ; (Ax)-1 ma trận trực giao Ngược lại, công thức dạng [x’] = A[x] + [a] A ma trận trực giao công thức đổi tọa độ En 1.5 Khoảng cách hai điểm (Độ dài đoạn thẳng) 1.5.1 Định nghĩa Khoảng cách hai điểm M, N En hay gọi độ dài đoạn thẳng MN module véctơ d (M, N) | MN |  MN uuuu r MN ký hiệu d(M,N) 1.5.2 Tính chất i) d(M, N) d( N, M) ii) d (M, N) 0, d ( N, M) 0  M N iii) Bất đẳng thức tam giác: d(M, N) d(M, P)  d(P, N) Dấu = xảy P thuộc đoạn thẳng MN 1.5.3 Biểu thức tọa độ n Nếu cho M(x1, ,xn) N( y1, , yn ) d(M, N)   ( yi  x i )2 i 1 1.6 Độ dài đại số 1.6.1.Trục  Một đường thẳng  En cho véctơ đơn vị e gọi trục 1.6.2.Độ dài đại số Cho M, N thuộc trục , đó: MN  k e Số k gọi độ dài đại số đoạn thẳng MN ký hiệu: k MN Vậy MN MN e 1.6.3.Tính chất uuuu r r i) MN  � MN ,e chiều uuuu r r MN  � MN ,e ngược chiều; MN 0  M  N ii) | MN |  d ( M , N ) iii) ( MNP )  k  PM PN k §2 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA CÁC PHẲNG TRONG KHƠNG GIAN EUCLIDE r 2.1 Giả sử En kg Euclide n chiều với kg véctơ Euclide En , Am m phẳng En có phương Vm Am không gian Euclide En gọi tắt mphẳng Euclide Như vậy, phẳng Euclide có vị trí tương đối xác định khơng gian aphin 4 Sau đây, ta xét thêm vài vị trí tương đối phẳng mà phẳng aphin chưa định nghĩa 2.2 Định nghĩa Hai phẳng P Q En gọi trực giao, ký hiệu PQ, r r phương chúng trực giao với nhau, tức là: P Q � P  Q Hai phẳng P Q En gọi bù trực giao với phương chúng bù trực giao với nhau, tức là: P bù Q   P bù  Q  2.3 Tính chất i) Hai phẳng trực giao với có khơng q điểm chung ii) Hai phẳng bù trực giao có điểm chung iii) Hai phẳng P Q bù trực giao với P + Q = En iv) Nếu P trực giao với Q R bù trực giao với Q P R phương v) Hai phẳng phân biệt bù trực giao với phẳng thứ ba chúng song song với (và số chiều) vi) Qua điểm cho có phẳng bù trực giao với phẳng cho §3 KHOẢNG CÁCH, GĨC VÀ THỂ TÍCH TRONG KHÔNG GIAN EUCLIDE 3.1 Khoảng cách hai phẳng 3.1.1.Định nghĩa Cho hai phẳng P Q En, khoảng cách hai phẳng P Q, ký hiệu d(P,Q), xác định sau: d(P,Q)= inf {d(M,N); MP, NQ} 3.1.2.Tính chất i) Nếu IP, JQ mà IJP IJQ d(I,J)=d(P,Q) uuuu r uuu r uu r uuu r Thật vậy, MP, NQ ta có: MN  MI  IJ  JN nên: uuuu r uu r uuu r uuu r2 uu r uuu r uuu r uu r uuu r uuu r2 MN  IJ  MI  JN  IJ MI  JN  IJ  MI  JN   ??? Do d(M,N)d(I,J)  MP, NQ Nên d(P,Q) = d(I,J) ii) Gọi p1, p2 phép chiếu tắc lên thành phần thứ      thành phần thứ hai khai triển: E  P  Q  P  Q        Khi đó, với RP, SQ d(P,Q) = p RS Chứng minh  uu r  iii) Nếu IP, JQ mà IJ trực giao với P Q MP, NQ:   d(M,N) = d(P,Q)  MN IJ tức khi: IM  JN  P  Q Thật vậy, ta có: MN  IJ 2  MI  JN  Suy MN  IJ  MI  JN 0 Hay khi: MN MI  IJ  JN IJ Hệ    Tồn MP, NQ để d(M,N) = d(P,Q)  P  Q {0} iv) Cho điểm A phẳng P En P tồn điểm H cho: d(A,P) = d(A, H) H gọi hình chiếu vng góc điểm A lên phẳng P Chứng minh v) Cho hai phẳng P Q song song với nhau, d(A,Q), A P số khơng phụ thuộc vào vị trí điểm A, tức là: Nếu P song song với Q d(P,Q) = d(A,Q) , với A  P 3.1.3 Cơng thức tính khoảng cách i) Trường hợp dimP = 0, P điểm I   { u } Giả sử SQ i 1,q sở Q Gọi J hình chiếu vng góc I xuống Q d(I,Q) = d(I, J) uu r  Do SI SJ  JI mà SJ tổ hợp tuyến tính {u i }1,q nên: r r r uu r r r uu   Gr( u1 , , uq , SI ) = Gr( u1 , , uq , JI ) = | JI |2 Gr( u , , u ) ??? q r r r uu Gr ( u , , u , SI ) q Từ suy ra: [d(I, Q)] = r r Gr (u1 , , uq ) ii) Trường hợp tổng quát    Lấy XP, YQ {ui }1, k sở P  Q thì: r r uuur Gr (u1 , , uk , XY ) [d(P, Q)]2 = r r Gr (u1 , , uk ) iii) Khoảng cách từ điểm đến siêu phẳng En 7 n Khoảng cách từ điểm M(x’1, , x’n) đến siêu phẳng P: a x i i 1 n | d(M,P) = �a i 1 i x 'i  b | n �a i 1 i i + b = 0: 3.2 Góc hai phẳng 3.2.1.Góc hai khơng gian  P Trong không gian véctơ Euclide VEn cho hai không gian  P ta định nghĩa góc hai khơng gian  Q,  Q   Q   ký hiệu ( P , Q ) xác định sau:  P *Nếu     Q  = { }        P    Q    P ta định nghĩa  ( P , Q ) = min{( x , y ), x  P ; y  Q ; x  ; y  }  P *Nếu   (P (P    Q   { }    Q )  )( Q ( P   Q))  P  = (P      Q   Q )( P   Q)   Q  P   ={ } ta    định nghĩa ( P , Q ) góc hai không gian ( P  ( P  Q ) ) ( Q    ( P  Q ) ) theo trường hợp  3.2.2.Góc hai phẳng Trong không gian Euclide En cho phẳng (không điểm) P Q có phương  P  Q , góc hai phẳng P Q, ký hiệu (P,Q) đinh nghĩa góc hai phương  P  Q 3.2.3.Tính chất Ta có:  (P,Q)   (P,Q) = P Q phương 3.3.Góc hai đường thẳng 3.3.1 Định nghĩa Cho hai đường thẳng  ’, góc  ’ ký hiệu xác định: , ’ cos  (, ' ) | cos  (a , a ' ) |  (,  ' )   ( ,  ' ) a , a ' véctơ phương  3.3.2.Tính chất i)  (,  ' )  ( ' ,  ) ii)  (, ' ) 0  , ' phương  iii)  (,  ')  �   ' 3.4 Góc đường thẳng siêu phẳng 3.4.1.Pháp véctơ siêu phẳng Cho siêu phẳng  có phương trình: n  a i x i  b 0 Khi i 1 n ( a1 , , an )   , n gọi véctơ pháp tuyến (hay gọi tắt pháp véctơ) siêu phẳng  3.4.2.Góc đường thẳng siêu phẳng i) Định nghĩa Cho đường thẳng d siêu phẳng P, d trực giao với P ta nói góc đường thẳng d siêu phẳng P vuông, d khơng trực giao với P ta định nghĩa góc đường thẳng d siêu phẳng P góc d hình chiếu vng góc d’ d lên P ii) Tính chất  Gọi a véctơ phương đường thẳng d  n pháp véc tơ  siêu phẳng P, dễ dàng chứng minh được: sin(d,P) = cos(a , n ) 3.5 Góc hai siêu phẳng 10 3.5.1 Định nghĩa Cho hai siêu phẳng  ’, góc  và’ ký hiệu  ( ,  ') xác định: r r cos  ( ,  ') | cos  ( n, n ') |  � ( ,  ') � siêu phẳng  ’ r r n, n ' pháp véctơ 3.5.2.Tính chất i)  ( ,  ')   ( ',  ) ii)  ( ,  ')  iii)  ( ,  ')   ’ phương r r  � n  n' 3.6 Thể tích m-hộp m-đơn hình 3.6.1.Thể tích m-hộp Cho m-hộp xác định m+1 điểm độc lập  A , A  Đặt  u i  A0 Ai En i 1, m i 1, m Ta định nghĩa thể tích m-hộp En, ký hiệu: Volm (Hộp ( A0 , Ai )1,m ) qui nạp theo m m = 1: Vol1 (Hộp ( A0 , A1 ) ) m > 1: Volm (Hộp ( A0 , Ai )1,m )  = | u |=| A , A | 1 ) = Volm-1 (Hộp ( A0 , Ai )1,m 1 ).hm Trong hm khoảng cách từ đỉnh Am đến (m -1) phẳng qua  A , A  i 1, m 1 Ta chứng minh: [Volm(Hộp  ( A0 , Ai )1,m )]2  = Gr( u , , u ) = Gr( A A , , A A ) (*) m m 3.6.2.Thể tích m-đơn hình Cho m - đơn hình A0A1 Am xác định m + điểm độc lập {A 0,Ai} 1, m En Khi ta định nghĩa thể tích quy nạp sau: uuuur m = 1: Vol1 ( A , A ) = | A A | 1 11 m > 1: Volm ( A , A ) i 1, m )= m Volm-1 ( ( A , A ) i 1, m 1 cách từ đỉnh Am đến (m-1) phẳng qua  A , A  ).hm.Trong hm khoảng i 1, m 1 §4 PHÉP DỜI 4.1 Định nghĩa Phép aphin f: E  E gọi phép biến đổi đẳng cự (hay gọi phép dời) f phép biến đổi trực giao 4.2 Định lý (về nhận biết phép dời) Ánh xạ f : E  E phép dời f bảo tồn khoảng cách điểm, tức với M,N  E ta có d (f (M ), f ( N)) d(M, N) Chứng minh 4.3 Tính chất i) Tích hai phép dời phép dời ii) Nghịch đảo phép dời phép dời iii) Phép dời bảo tồn độ lớn góc Tập phép dời En lập thành nhóm nhóm biến đổi aphin En gọi nhóm gọi nhóm dời ký hiệu : Dn 4.4 Phương trình phép dời Phương trình phép dời mục tiêu trực chuẩn có dạng : [ x ' ] A[ x ]  [b] , A ma trận trực giao cấp n 4.5 Phân loại phép dời Gọi A ma trận phép dời mục tiêu trực chuẩn chọn, A ma trận trực giao nên detA = 1 Nếu detA =1 phép dời gọi phép dời loại (phép dời thuận) 12 Nếu detA=-1 phép dời gọi phép dời loại (phép dời nghịch) 13 §5 PHÉP ĐỒNG DẠNG 5.1 Định nghĩa  Phép aphin f: E  E, mà ánh xạ f : E  E phép biến đổi đồng dạng gọi phép đồng dạng Khi f có hệ số k , ta nói f có tỷ số k 5.2.Định lý Ánh xạ f: E  E phép đồng dạng tồn số m >0 cho: d( f(M), f(N) ) = m d(M,N) Chứng minh 5.3.Tính chất i) Tích hai phép đồng dạng phép đồng dạng ii) Nghịch đảo đồng dạng phép đồng dạng iii) Phép đồng dạng f: En  En phân tích thành g oh, h phép vị tự En g: En  En phép dời iv) Phép đồng dạng bảo tồn độ lớn góc Rõ ràng, tập hợp tất phép đồng dạng En lập thành nhóm nhóm nhóm Dn; gọi nhóm nhóm đồng dạng En Ta thường ký hiệu nhóm Đn 14 §6 SIÊU MẶT BẬC HAI TRONG En - SIÊU CẦU 6.1 Phương trình siêu mặt bậc hai En mục tiêu trực chuẩn có dạng n a i , j 1 n ij x i x j  2 a i x i  a 0 i 1 6.2 Định lý Đối với siêu mặt bậc hai S En, ta ln ln tìm mục tiêu trực chuẩn cho phương trình S mục tiêu có ba dạng sau: r  x i i 1 ,1 r n (I ) i 0 ( II ) i  x r 1 i 1 r  x i ,1 r n i 1 r  x i ,1 r  n ( III ) i 1 Các dạng (I), (II), (III) gọi phương trình siêu mặt bậc hai En 6.3 Siêu cầu 6.3.1.Định nghĩa Trong không gian En cho điểm I cố định số thực dương R cho trước Tập hợp điểm M cho d(I,M)= R, gọi siêu cầu tâm I bán kính R 15 6.3.2.Phương trình siêu cầu Giả sử I(x01, x02, , x0n)/{E0; Ei}1,n, M điểm thuộc siêu cầu có tọa độ (x1, x2, , xn) Khi ta có: n d(I,M) = R   (x i  x 0i )  R  i 1 n x hay i i 1 n n i 1 i 1 n  (x i  x 0i )  R i 1  2 x 0i x i   x 02i  R 0 phương trình siêu cầu Như siêu cầu siêu mặt bậc hai Giả sử ta có phương trình: n n i 1 i 1 a  x i2  2 bi x i  c 0 b     x i  i    a a i 1  n hay   n   bi  ac   i 1  (8) n Nếu  bi  ac  phương trình (8) xác định cho ta siêu  cầu tâm i 1 b b I ( , , n ) , a a n Nếu  bi  bán kính R  ac 0 i 1 =a n b i i 1  ac (8) cho ta điểm I Khi ta nói siêu cầu có bán kính khơng, siêu cầu điểm n Nếu  bi  i 1  ac  , khơng có điểm thực thỏa mãn (8) Khi (8) siêu cầu ảo 6.3.3.Phương trình tắc siêu cầu Nếu ta chọn mục tiêu trực chuẩn gốc I, phương trình siêu cầu n tâm I bán kính R là:  x R i 1 i n x i2 hay  R 1 i 1 Đây phương trình tắc siêu cầu 16 §7 MỐI QUAN HỆ GIỮA HÌNH HỌC APHIN, HÌNH HỌC EUCLIDE VÀ HÌNH HỌC ĐỒNG DẠNG 7.1.Hình học Euclide n chiều Hình học nhóm dời Dn En gọi hình học Euclide n chiều Bởi nhóm Dn nhóm nhóm An nên hình học aphin phận hình học Euclide Như vậy, tính chất aphin tính chất Euclide, ngược lại có tính chất Euclide mà hình học aphin khơng có, khái niệm tính chất gọi khái niệm tính chất lượng Hai hình tương đương Euclide gọi hai hình Khi nghiên cứu hình học Euclide, việc phân biệt khái niệm, tính chất xem aphin hay khơng quan trọng Một hình H En có tính chất aphin  hình “tương đương” với H có tính chất , H có tính chất lượng  hình “bằng” hình H có tính chất  7.2.Hình học đồng dạng n chiều Hình học nhóm đồng dạng Đn En gọi hình học đồng dạng n chiều Bởi phép dời phép đồng dạng tỷ số 1, phép đồng dạng phép aphin, nên Dn nhóm Đn, Đn nhóm nhóm An Và hình học Euclide thứ hình học phong phú hình học đồng dạng, hình học aphin thứ hình học nghèo nàn ba loại hình học 17 7.3 Giải toán aphin phương tiện Euclide 7.3.1 Phương pháp giải tốn Giả sử ta cần chứng minh hình H có tính chất , mà  tính chất aphin Khi ta chứng minh tính chất cho hình tương đương aphin với H Bởi ta chọn lớp hình tương đương aphin với H hình H’ đặc biệt để dễ chứng minh Tốt chọn hình H’ cho hình có nhiều tính chất lượng áp dụng kết lượng hình học Euclide Chú ý: Nếu tốn có nhiều hình ta phải chọn hình làm hình sở Khi hình khác phải chọn hình tương đương phụ thuộc vào hình sở 7.3.2.Các bước giải toán aphin phương tiện Euclide Bước 1: Chứng tỏ toán cho toán aphin Bước 2: Chọn hình sở H hình H’ tương đương aphin với hình H Bước 3: Phát biểu tốn Euclide hình H’ Bước 4: Giải tốn Euclide 7.3.3 Các ví dụ Bài tốn 1: Chứng minh hình thang đường thẳng nối hai trung điểm hai đáy qua giao điểm hai cạnh bên Giải: Các khái niệm: Hình thang, đường thẳng, trung điểm, giao điểm khái niệm aphin Do tốn cho tốn aphin Chọn hình sở hình thang hình tương đương aphin với hình thang cân 18 Khi toán Euclide phát biểu: Chứng minh hình thang cân đường thẳng nối hai trung điểm hai đáy qua giao điểm hai cạnh bên Ta có, hình thang cân tốn hiển nhiên Bài tốn 2: CMR, hình bình hành ngoại tiếp elip đường chéo hình bình hành đường kính liên hợp elip Giải: ……….Do tốn cho tốn aphin  Ta chọn hình sở   Bài tốn Euclide phát biểu sau: Giải 19 § GIẢI TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 8.1.Các bước giải tốn phương pháp tọa Bước1.Trước hết cần xét tính chất tốn cho: Nếu tốn cho tốn aphin ta chọn hệ tọa độ aphin (mục tiêu aphin ): - Mục tiêu aphin mặt phẳng gồm điểm gốc O hai   véctơ sở e1 , e2 - Mục tiêu aphin không gian gồm điểm gốc O ba    véc tơ sở e1 , e2 , e3 Nếu tốn tốn Euclide ta phải chọn hệ tọa độ Đềcac vng góc (mục tiêu trực chuẩn ):   - Hệ tọa độ Đềcac vuông góc mặt phẳng gồm  O ; e1 , e2  ;   e1  e2 1   e1  e2    -Hệ tọa độ Đềcac vng góc khơng gian gồm  O ; e1 , e2 , e3  ;    e1  e2  e3 1   e1  e2 ,   e2  e3 ,   e1  e2 Bước Bằng phương pháp tọa độ phép tính đại số, cần thực yêu cầu nội dung toán đặt Thí dụ lập phương trình đường thẳng, đường tròn, mặt phẳng, mặt cầu thỏa mãn số u cầu đó, tìm giao điểm hai đường thẳng, tính khoảng cách, tính góc, tính diện tích, tính thể tích Bước Chuyển kết tính tốn cơng cụ đại số sang tính chất hình học cần chứng minh hay cần tính tốn 20 Chú ý: Trong chương trình phổ thơng trung học thường làm quen với hệ toạ độ Aphin hệ tọa độ Đềcác vng góc Ngồi có hệ tọa độ cực, hệ tọa độ trụ, hệ toạ độ cầu, hệ tọa độ xạ ảnh hệ tọa độ dùng để giải tốn hình học Mặt khác người ta dùng công cụ tọa độ để nghiên cứu phép biến hình Mỗi phép dời hình, phép vị tự, phép đồng dạng có phương trình biểu thị cho phép có kèm theo tính chất đặc điểm riêng 8.2.Một số ví dụ Bài Giải bất phương trình: x   x   50  3x 12 (1) Bài Chứng minh rằng:  x, y, z ta có: x  xy  y  x  xz  z � y  yz  z (2) Bài Giải phương trình: cosx + sinx = (3) Bài Cho tứ diện SABC có cạnh SA, SB, SC, vng góc với đơi có SA = a, SB = 2a, SC = 2a Hãy tính góc hai măt phẳng (ABC) mặt phẳng (A’B’C’), biết rằng: 1 SA'  SA , SB '  SB , SC '  SC Gọi H hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng (ABC) Chứng minh H trực tâm tam giác ABC Bài Chứng minh rằng: Hợp hai phép đối xứng qua đường  thẳng song song d1, d2 phép tịnh tiến theo véctơ a 2AB , Ad1, B d2, AB  d2 21 Bài Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ cạnh 1.CMR:  phép dời hình f khơng gian cho f(A)=D, f(B)=A, f(D)=C, f(A’)=D’ 2.Viết phương trình phép dời hình f hệ toạ độ {A, B, C, D}  ... phẳng 3.2.1.Góc hai khơng gian  P Trong không gian véctơ Euclide VEn cho hai không gian  P ta định nghĩa góc hai khơng gian  Q,  Q   Q   ký hiệu ( P , Q ) xác định sau:  P *Nếu   ... PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN EUCLIDE r 2.1 Giả sử En kg Euclide n chiều với kg véctơ Euclide En , Am m phẳng En có phương Vm Am khơng gian Euclide En gọi tắt mphẳng Euclide Như vậy, phẳng Euclide có... vậy, phẳng Euclide có vị trí tương đối xác định không gian aphin 4 Sau đây, ta xét thêm vài vị trí tương đối phẳng mà phẳng aphin chưa định nghĩa 2.2 Định nghĩa Hai phẳng P Q En gọi trực giao, ký