BÀI TẬP CHƯƠNG IV. KHÔNG GIAN VECTƠ

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH BÀI TẬP CHƯƠNG IV. KHÔNG GIAN VECTƠ 1. Xét tính độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính của các hệ vectơ sau: a. 123 (1, 1,2), (0, 2,3), ( 1,1,1)xxx=− = =− b. 12 3 (1, 1,0,1), (0,2,1, 1), (2,0,1,1)xx x=− = − = c. 1234 (1,1,1,1), (1,0,1,1), (1,1,0,1), (0,1,1,1)xx x x=== = d. 1234 15 11 24 17 ,, , 42 15 57 51 AAAA −−− ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤ ==== ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ −−−− ⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ e. 2232 122 23, 1, 2 410px x p x p xx x=−+ =+ = +−+ trong 3 []x  . f. 32 2 123 4 1, 1, 2 , 2 4px p x p xxp x=+ =+ =− + =−− trong 3 []x  . 2. Cho hệ vectơ 12 ,,, n x xx … độc lập tuyến tính của một không gian vectơ V. Chứng minh hệ vectơ 11212 12 ,,, nn yxy xx y xx x= =+ =+++ …… cũng độc lập tuyến tính. 3. Chứng minh rằng nếu trong hệ vectơ 12 ,,, n x xx … không có vectơ nào biểu thị tuyến tính qua các vectơ còn lại thì 12 ,,, n x xx … độc lập tuyến tính . 4. Tìm hạng và hệ con độc lập tuyến tính tối đại của các hệ sau: a. 12 34 (47, 26,16), ( 67,98, 428), (35, 23,1), (201, 294,1284),xx xx==−−==− 5 (155,86,52)x = . b. 123 (24, 49, 73,47), (19, 40,59, 36), (36,73,98,71),xxx=== 45 (72,147,219,141), ( 38, 80, 118, 72)xx==−−−− . c. 12 3 (17, 24, 25,31, 42), ( 28, 37, 7,12,13), (45,61,32,19, 29),xx x==−−−= 45 (11,13, 18, 43, 55), (39,50, 11, 55, 68)xx=−−−= −−− . 5. Cho hệ vectơ 12 ,,, n x xx … biểu thị tuyến tính được qua hệ 12 ,,, m yy y … . Chứng minh: a. 12 12 {, , , } {, , , } nm rank x x x rank y y y≤ …… . b. Nếu 2 hệ này có cùng hạng thì chúng tương đương. 6. Chứng minh: 12 12 {, , , }= {, , , , } nn rank x x x rank u x x x ⇔ …… u biểu thị tuyến tính được qua 12 ,,, n x xx … . 7. Trong 3  , cho hệ vectơ 12 3 (1, 2,1), ( 1,0,1), (0,1, 2)uu u= =− = . a. Chứng minh 123 ,,uu u là một cơ sở của 3  . b. Tìm tọa độ của (,,)uabc= trong cơ sở 123 ,,uu u . ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 8. Trong 3  , cho 2 hệ vectơ 12 3 (1,1,1), (1,1,2), (0,1,2)uu u= == và 12 3 (2,1, 3), (3, 2, 5), (1, 1,1)vv v=− =− =− . a. Chứng minh 2 hệ trên là 2 cơ sở của 3  . b. Viết ma trân chuyển từ cơ sở (u) sang cơ sở (v) và ngược lại. c. Tìm tọa độ của vectơ 123 23x uuu= −+ − trong cơ sở (v). 9. Chứng minh tập hợp: a. { } 3 (, ,) / 2 0Axyz xyz=∈−+= là không gian con của 3  . b. { } 4 (, ,,) /2 0Bxyzt xyzxt=∈−+=−= là không gian con của 4  . c. /, ab Cab ba ⎧⎫ − ⎡⎤ =∈ ⎨⎬ ⎢⎥ ⎣⎦ ⎩⎭  là không gian con của 2 ()M  . 10. Tìm cơ sở và số chiều của các không gian vectơ con sinh bởi: a. 1234 (1,0,0, 1), (2,1,1,0), (1,1,1,1), (1, 2,3, 4),aaaa=−= = = 5 (0,1,2,3)a = . Tìm điều kiện đối với x,y,z,t để vectơ (, ,,)uxyzt= thuộc về không gian con này. b. 123 (1, 1,1,0), (1,1,0,1), (2,0,1,1)aaa=− = = . Tìm điều kiện đối với x,y,z,t để vectơ (, ,,)uxyzt= thuộc về không gian con này. c. 1234 (1, 1,1, 1,1), (1,1,0,0,3), (3,1,1, 1,7), (0, 2, 1,1, 2)aaaa=− − = = − = − Tìm điều kiện đối với x,y,z,t,u để vectơ (, ,,,)axyztu= thuộc về không gian con này. 11. Tìm cơ sở và số chiều của các không gian vectơ con ở bài 9. 12. Tìm cơ sở và số chiều của các không gian vectơ con ,UVU V+ ∩ với: a. (1, 2,1), (1,1, 1), (1, 3, 3)U =− và (2,3, 1), (1,2,2), (1,1, 3)V = −− . b. (1,1,0,0), (0,1,1,0), (0,0,1,1)U = và (1,0,1,0), (0,2,1,1), (1,2,1, 2)V = c. { } (, ,,)/ 2 0Uxyztxzt=−+= và { } (, ,,)/ 2 0Vxyztxtyz= =∧ − = 13. Tìm cơ sở và số chiều của các không gian các nghiệm của hệ thuần nhất: a. 12 45 12 34 12345 12345 23 0 20 42 63 4 0 24 24 7 0 xx xx xx xx xx xx x xx xx x + −− = ⎧ ⎪ − +− = ⎪ ⎨ −++−= ⎪ ⎪ +−+−= ⎩ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH b. 13 24 125 246 35 46 0 0 0 0 0 0 xx xx xx x xxx xx xx − = ⎧ ⎪ −= ⎪ ⎪ − += ⎪ ⎨ −+ − = ⎪ ⎪ −+ = ⎪ −= ⎪ ⎩ c. 135 245 1256 236 145 0 0 0 0 0 xx x xxx xx x x xxx xx x −+ = ⎧ ⎪ −+ = ⎪ ⎪ − +−= ⎨ ⎪ −− = ⎪ ⎪ −+ = ⎩ 14. Hãy tìm hệ pt thuần nhất có không gian nghiệm là: a. (1,1, 0), (1, 0, 2)U =− b. (2, 1,0,1), (1,0, 1, 2), (1, 1,1, 1), (3, 1, 1,3)U =− − −− −− 15. Trong 3  cho 3 cơ sở ,, α βγ . Biết 211 101 110, 111 111 110 TT αβ γβ ⎡⎤⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥ =− − = − ⎢⎥⎢⎥ − ⎣⎦⎣⎦ và 12 3 (1,1,1), (1,0,1), (0,1,1) γ γγ === . Hãy tìm cơ sở α . . } nm rank x x x rank y y y≤ …… . b. Nếu 2 hệ này có cùng hạng thì chúng tương đương. 6. Chứng minh: 12 12 {, , , }= {, , , , } nn rank x x x rank u x x. xyz=∈−+= là không gian con của 3  . b. { } 4 (, ,,) /2 0Bxyzt xyzxt=∈−+=−= là không gian con của 4  . c. /, ab Cab ba ⎧⎫ − ⎡⎤ =∈ ⎨⎬ ⎢⎥ ⎣⎦ ⎩⎭  là không gian