THÔNG TIN TÀI LIỆU
h h c c i i h h TT h h c c i i h h TT KHỞI ĐẦU TỪ ĐỔ NÁT n nn n m m m m n n n n n n n n v v v v i.i u u ui.i u - mày tính thi trường vậy? h h h h C C C C c c c c - tao thi Bách Khoa HCM, o o o o H H H H h h h h Bọn bạn cười phá lên, cậu học sinh lặng lẽ nhìn xuống bàn đầy tuyệt vọng… c c c c i i i i h h h h TT T Cậu ấy, tên làT Trí! - Lớp 5, cậu lên tivi truyền hình trực tiếp lễ trao giải Cháu ngoan Bác Hồ cấp Tỉnh - năm cấp 2, cậu đạt học sinh giỏi cấp Huyện – Tỉnh mơn Tốn Lí Hóa Sinh Đỉnh cao nn nn m m năm lớp 9, cậu đại diện Trường lên Huyện để bồi dưỡng thi hsg Tỉnh Đạt giải ba, niềm tự hào m m n n n n n n n n gia đình thứ v v v v i i u u ui.i u h h h Khoảng thời gian xa nhà, xa trường để lên Huyện học, cậu bắt đầu làm quen với Yahoo, Ch C C C c c c c o o o Audition, CrossFire Dù đạtH giải,o che lấp chuyện cậu nghiện game nặng từ lúc H H H h h h h vào c c c c i i Cậu dành hết thời gian lớp 10 11 để chơi game Cậu đốt hết tiền ăn sáng, học thêm i i h h h h TT TT quán net Hậu ập đến, từ hsg cấp Tỉnh, cậu đạt chấm mơn sở trường Tốn Lí Hóa Kết thúc năm học với danh hiệu học sinh trung bình, Mẹ cậu quát nn nn m m m m khó chấp nhận Mẹ quen với việc nhận giấy khen cuối năm n n n n n n n n v.vthì lại đến nhanh – kì thi Đại Học u i phải đến, khơng muốn i u ui.iv.v NgàyCáinhậpgì đếnhọccũng u h h h h C C lớp 12, bọn bạn hỏi thăm dự định, nguyện vọng ĐH vào cuối C C c c cbạn xem thường c o o o o H H H H năm Cậu lặng lẽ cúih đầu bọn h h h thể đậu c c c c i i i i h h h h Thật khơng phải xem thường, mà thật – học sinh trung bình khơng T T T T vào BK Sợ, cậu sợ…cậu nghĩ tới cảnh rớt Đại học, cậu nghĩ tới cảnh Mẹ buồn, cậu rằng: “tao cho mày học đến 12 nghĩ làm cơng nhân, khơng học hành nữa” Cũng phải thôi, thật nghĩ tới cảnh phải làm công nhân đứa cậu từ nhỏ đậu ĐH nn n chăm bền bỉ nhờn vào m m m m n n n n Quen với việc quay năm qua, cậu ngơ ngác nhìn tập Hóa biết n n n n v v v v iu.i i i … cân phương trình, HẾT May thay h cậuu uvẫn nhớ cách cân phương trình học CChhu h C C c c c c từ lớp Cịn mơn khác o thìo nhỉ, thơi, cậu gốc mà o o H H H H h h h h c c c c i i i i h h h h TT TT Bạn bè xa lánh, Thầy/Cô hờ hững, cảm giác lạc lõng đến nn m m n n n n v v ui.i nn nn m m n n n n v v i.i u u u h h h h C C C C c c c c o o o o H H H H h h h h c c c c i i i i h h h h TT TT http://thichhocchui.vnn.mn/ http://thichhocchui.vnn.mn/ nn h h c c i i h h TT h h c c i i h h TT Tùng…tùng…tùng… thường ngày, cậu lặng lẽ Con đường nhà băng qua nn nn m m m m n n n n n n n n v v v v Và cậu muốn nhiều thứ nữa: i.i u u ui.i muộn u h h h h - Ngưng chơi game (bắt buộc, tuyệt đốiC bắt buộc) Sẽ khơng có lối thoát cậu C C C c c c c o o o o tiếp tục thói quen xấu, ảnhH hưởng đến việc học H H H h h h h c c c c i i i i - Ngưng chạy đuah với chương trình lớp Cậu khơng thể đua xây móng nhà cậu h h h T T T T chưa có Và cậu mua sách lớp 10 + 11 nhà tự học lại 2km rừng cao su Tiếng nói chuyện, đùa giỡn học sinh cuối cấp khơng phủ kín đơn người cậu Chẳng lao bay nhà khi, cậu dắt Hôm cậu muốn - Ngưng học thêm lớp nâng cao Sẽ thật lãng phí tiếp tục ngồi cuối lớp nhìn siêu nhân giải Cậu tìm đến lớp học vắng Đó giáo dạy Hóa, học sinh n n n m m m m khơng thích học thêm Cơ dạy bản, lý thuyết giáo khoa tập sách n n n n sách n n n n u ui.iv.v tập Lớp học thêm có học sinh,CCvàhdĩhunhiên ui.iv.cậuv phải ngồi bàn đầu h h C C - Ngưng ảo tưởng Cậu hiểu c thân khơng thể tiến tất cc c o o o o H H H H môn thời gian ngắn Cậu tập trung học Tốn Lí Hóa (khối A), bỏ hết mơn cịn h h h h c c c c i i i i h h h h lại kể mônT Sinh TT T (thường học sinh thi khối A thi thêm khối B) - Và cuối cùng, quan trọng nhất: #ngungsuynghi #ngungsohai #ngungluoibieng Phải hành động lập tức, cậu xáo trộn toàn thời gian sinh học thân: nsáng nnđạo) n đến 5h chiều: học trường (một buổi chính, buổi 7h phụ m m m m n n n n n n n n 5h30 đến 7h tối: học thêm v v v v i.i u u ui.i u 7h đến 8h: nhà, tắm rửa ăn cơm ngủ h h h h C C C C c c c c Đến 12h đêm, cậu thức dậy vào phải nỗ lực giới riêng Cậu học o o o H H H H h h h h c c liên tục từ đêm đến 6h sáng “đều đặn hàng ngày” c c i i i i h h h h TT TT Có khó khơng? Khơng khó đâu, mà q khó, Mẹ cậu bán quán nên phải dọn dẹp đến khuya Và cậu nhờ mẹ gọi dậy mẹ ngủ Nhưng nói thôi, dậy làm nn nn m m m m n n n n n n n n v v v v tuần sau, đồng hồ sinh học cậu quen dần với thời i.i.gian biểu Cậu tỉnh dậy u u ui.i nhẹ u h h h h nhàng đêm chưa có chia ly … với muối Ngày qua ngày khác, lúc lũ bạn C C C C c c c c o o o o ngủ cậu cặm cuội ánh đèn học với tiếng kêu hai mèo hàng xóm vật H H H H h h h h c c c c i i i i lộn (nó kinh dị thật đấy, tiếng em bé khóc) Có hơm q mệt, cậu ngủ thiếp đường h h h h TT TT lết từ giường bàn học vào khuya À, có cách (thật cách mẹ cậu nghĩ ra), Mẹ bỏ muối trắng vào miệng lần gọi dậy, … ?? ?? Dạ dậy rồi, đừng nhét thứ kinh dị vào miệng Vài Nữa năm trôi qua, cậu hồn thành chương trình lớp 10 11 đề ban đầu Giờ cậu nn nn m m m m n n Hóa, nhờ thứ cô dạy, cậu lấy lại gốc tự tin nhiều Và bây giờ, hành n n n n n n v v v v i.i u u ui.i trình chinh phục Đại Học thật bắt đầu… u h h h h C C C C c c c c o o o o H H H H Hãy cố gắng, cố gắng miệt mài từ thứ h h h h c c c c i i i i h h h h TT TT theo kịp chương trình lớp “hiểu” thứ Thầy/Cơ giảng Cậu tạm biệt cám ơn Cô dạy nn http://thichhocchui.vnn.mn/ http://thichhocchui.vnn.mn/ nn h h c c i i h h TT h h c c i i h h TT Kinh nghiệm ôn thi nn nn m m m m Gốc → Bài tập → Tự thi.thử n n n n n n n n v v Đây lộ trình bắt buộc em thật nghiêm túc kì thi THPT v v i i u u ui.i u h h h Gốc trình học - hiểu gìh dễ Sau tăng mức độ từ từ Đây C C C C c c c c o o o o trình quan trọng nhất, không mang lại hiệu tức thời nên nhiều bạn bỏ qua, chạy theo H H H H h h h h c c c c i i i i giải nhanh casioh dẫn đến hỏng kiến thức sau h h h TT TT Bài tập: trình lồng ghép vào việc học từ gốc Nghĩa lượng kiến thức học được, em phải giải dạng tập phần để hiểu kĩ nhớ lâu Lưu ý: không cần giải nhiều tập dạng mà giải kĩ, giải lại nhiều lần Cả n giai đoạn cần kết thúc trước n n n m m m m tháng để đến với giai đoạn thi thử n n n n n n n n v.vở việc đánh giá lực thân, mà cịn u i i thử khơng nằm u ui.iv.v cách đểTựemthilàmthử:quenmụcvớiđíchápcủalực thiphịng u h h h h C C C C thi, có nhiều kinh nghiệm giải đề Nên em c c c c o o o o H H H H thi thử hàng tuần để tạo thói quen phải thi liên tục tháng cuối h Lưu ý: không h h h c c c c i i i i hthửhở nhiều group khác Quan trọng chất lượng, nên tham giaT thi TThhtrong lần thi, T tối đa hiệu cách xem lại câu sai giải lại cho (đề Kys ln có giải chi tiết) nn nn Thời gian biểu m m m m n n n n Mỗi người có thời gian phù hợp để học hiệu Nhưng có lưu ý sau: n n n n v v v v iu.i i i uu ngủ gây suy nhược thể, học không hiệu CChhu - Nếu được, ngủ lại (khoảng 5h/ngày): h h C C c c c c Nhưng mức độ cho phép, cố gắng tí cho tương lai chẳng o o o o H H H H h h h h - Thời gian đầu khó khăn trì lịch học lịch ngủ cố định c c c c i i i i h h h h TTthời gian học môn xét tuyển ĐH Ví dụ thời gian tự học ởTnhà T 3h/ngày, - Chia chia mơn 1h Hoặc môn 2h kết thúc môn ngày Tránh học ngày môn thời gian ngắt quãng lâu làm em nhịp độ học tập n nn n m m - Nên học nhóm khoảng 2-4 bạn, nhớ học nhóm khơng phải chơi nhóm m m n n n n n n n n Về sách v v v v i i u u ui.i u h h h - Hãy chia nhỏ học đặn C ngày cho kết thúc sách tháng Tuyệt đối Ch C C c c c c o o o o không học nhiều ngày, dẫn đến việc chán nản khơng trì lâu dài H H H H h h h h c c c c i i i i có cảm giác “học bù” cho hôm khác h h h h TT TT - Với mục đích giúp em nắm vững kiến thức nền, sách loại bỏ phương pháp casio - Nếu có câu hỏi thắc mắc, lời giải sai cần làm rõ sách, chụp ảnh đăng câu hỏi lên group kèm theo hashtag để duyệt: #tuhocdiem9 n nn n m m m m n n n n n n n n v v v v i.i u u ui.i u h h h h C C C C c c c c o o o o H H H H h h h h c c c c i i i i h h h h TT TT nn http://thichhocchui.vnn.mn/ http://thichhocchui.vnn.mn/ nn h h c c i i h h TT h h c c i i h h TT MỤC LỤC n nn n m m m m n n n n n n n n v v v v i.VÀ i ỨNG DỤNG u u ui.i u h h CHƯƠNG KHẢO SÁT HÀM SỐ h h C C C C c c c c o o o o Bài Sự đồng biến – nghịch biến hàm số H H H H h h h h c c c c i i i i Bài Cực trịh hàm số 20 h h h TT TT Bài GTLN – GTNN 56 Bài Tiệm cận 78 nn5 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số nn Bài 94 m m m m n n n n n n n n CHƯƠNG LŨY THỪA – MŨ - LOGARIT v v v v i.i u u ui.i u h h Bài Lũy thừa 123 h h C C C C c c c c o o o o Bài Hàm số lũy thừaH 128 H H H h h h h c c c c i i i i Bài Logarith 136 h h h TT TT Bài Hàm số mũ – hàm số logarit 148 Bài Phương trình mũ – phương trình logarit 162 nn6 Bất phương trình mũ nn Bài 188 m m m m n n n n CHƯƠNG NGUYÊN HÀM – TÍCHvPHÂN n n n n v v v i.i u u ui.i u Bài Nguyên hàm 201 h h h h C C C C c c c c o o o Bài Tích phân 226 o H H H H h h h h c c c c i i i i Bài Ứng dụng tích phân 274 h h h h TT TT CHƯƠNG SỐ PHỨC Bài Khái niệm phép toán 305 nn2 Các phép toán số phức nn Bài 314 m m m m n n n n n n Bài Phương trình bậc hai với hệ số thực 323 n n v v v v iu.i i i uu 334 CChhu Bài Điểm biểu diễn số phức max h h C C c c c c o o o o H H H H h h h h c c c c i i i i h h h h TT TT nn m m n n n n v v ui.i nn nn m m n n n n v v i.i u u u h h h h C C C C c c c c o o o o H H H H h h h h c c c c i i i i h h h h TT TT http://thichhocchui.vnn.mn/ http://thichhocchui.vnn.mn/ nn h h c c i i h h TT h h c c i i h h TT TỰ HỌC ĐIỂM MƠN TỐN nn m m n n n n v v ui.i nGroup: n Kyser ôn thi THPT m m n n n n v v i.i u u u h h h h C C C C CHƯƠNG I: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG c c c c o o o o H H H H h h h BÀI 1:h SỰ ĐỒNG BIẾN – NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ icc c c i i i h h h h TT TT Fanpage: Tài liệu KYS I – LÝ THUYẾT nn nn m m 1.1 Bảng đa ̣o hàm các hàm số bản m m n n n n n n n n v v v v c i.i u u ui.i u h h h h C C C C x n.x n ; n c u n.u u n ; n 1 1c c c o o o o H H H H h h h h c c c c i i h i i u h h h T , x , u T x T u T x u Các kiế n thức cũ liên quan x'1 n 1 n u , u u u , x x x nn m m n n n n v v ui.i k x n 1 n nn m m n n n n v v 10.i.i u u u h h h h C C C C c c c c o o o o 12 H H H H h h h h c c c c i i i i h h h h TT T 14 T k k u 11 cos x sin x cos u 13 sin x cos x sin u 15 tan x nn m m n n 17 n n v v iu.i cos2 x k u u sin u u .cos u 16 tan u u cos2 u nn m m 18 n nn n v v i.i u u u h h h h C C C C a x b x c ax b c c c c ad bc o o o o 19 H H H H a x b x c cx d h h h h cx d c c c c i i i i 20 h h h h T a c x b c b c a b a b x a c T TT cot x sin x cot u u sin2 u 2 1 2 2 2 1 a x 2 nn m m n n n n v v ui.i b2x c2 2 nn m m n n n n v v i.i u u u h h h h C C C C c c c c o o o o H H H H h h h h c c c c i i i i h h h h TT TT Tài liệu KYS Tài liệu liệu ôn thi chất lượng nn http://thichhocchui.vnn.mn/ http://thichhocchui.vnn.mn/ nn h h c c i i h h TT h h c c i i h h TT 1.2 Quy tắ c tı́nh đa ̣o hàm nn m m n n n n v v ui.i nn m m n n n v n v ui-.iv = u - v u u u h h h h C C C C c c c c u u v v u o o o o v H H H H h h h h v v c c c c v v i i i i h h h h TT TT Cho hàm số u u x ; v v x có đạo hàm điểm x thuộc khoảng xác định Ta có: u v u v u.v u v v u 2 u1 u2 un u1 u2 un Mở rộng: n nn n m m m m n n n n Đạo hàm hàm số hợp n n n n v v v v iu.i.với Khi đó: y y .u u u ui.i Cho hàm số y f u x h fu h h h C C C C c c c c o o o o 1.3 Quy tắ c xét dấ u : H H H H h h h h c c c c i i i i Để lập bảng xét dấu biểu thức ta thực theo bước : h h h h TT TT u.v.w u .v.w u.v .w u.v.w u u x x u x P (x ) Bước Tìm nghiệm biểu thức P (x ) , giá trị x làm biểu thức P (x ) không xác định Bước Sắp xếp giá trị x tìm theo thứ tự từ nhỏ đến lớn nn m m n 2.n Đinh ̣ nghıa: n n v v iu.i Cho hàm số̃ nn m m n n n n v v i.i.khoảng, nửa khoảng đoạn xác định K , với K u làu u h h h h C C C C c c • Hàm số đồng biến o (tăng) K c c oo o H H H H h h h c c c c • Hàm số nghịch biến (giảm) K i i i i h h h h h TT TT Bước Sử dụng máy tính tìm dấu P (x ) khoảng bảng xét dấu y f (x ) x 1, x K , x x f x f x y f (x ) x 1, x K , x x f x f x y f (x ) Đinh ̣ lý: 3.1 Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y f (x ) có đạo hàm khoảng K • n Nếu n nhàm số đồng biến khoảng K m n m m m n n n n n n n n • Nếu hàm số nghịch biến khoảng K v v v v iu.i i i uu u h h h h 3.2 Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số có đạo hàm khoảng K C C C C c c c c o o o o H H H H • Nếu hàm số đồng biến khoảng K h h h h c c c c i i i i h h h h TT hàm số nghịch biến khoảng K • Nếu T T f x 0, x K f x 0, x K y f (x ) f x 0, x K f x 0, x K • Nếu f x 0, x K hàm số khơng đổi khoảng K nn nn m m m m n n Nếu K đoạn nửa khoảng phải bổ sung giả thiết “ Hàm số liên tục n n n n n n v v v v i.i.hàm số u u đoạn nửa khoảng đó” Chẳngh hạn: Nếu liên tục đoạn ui.i u h h h C C C C c c c c o o o o có đạo hàm khoảng hàm số đồng biến đoạn H H H H h h h h c c c c i i i i h h h h TT TT Chú ý y f (x ) y f (x ) f x 0, x K a;b a;b a;b Chương Hàm số ứng dụng Tự học điểm 9l nn http://thichhocchui.vnn.mn/ http://thichhocchui.vnn.mn/ nn h h c c i i h h TT h h c c i i h h TT Nếu f x 0, x K ( f x 0, x K ) f x số điểm hữu hạn K hàm số đồng biến khoảng K ( nghịch biến khoảng K ) n n n n m m m m n n n n n n n n v.ĐƠN v ĐIỆU CỦA HÀM SỐ i i TỐN 1: XÉT TÍNH u u ui.iv.v a) Phương phap giaDẠNG u h h h h C C C C i ̉ ́ c c c c o o o o H H H H Phương pháp tự luận túy h h h h c c c c i i i i h h h h tập xác định TT Xét tính đơn điệu hàm số TT y = f ( x) Bước 1: Tìm tập xác định D Bước : Tính đạo hàm y′ = f ′( x) nnBước : Tìm nghiệm giá trị x.làm nn không xác định cho m m m m n n n n n n n n Bước : Lập bảng biến thiên v v v v i.i u u ui.i u Bước : Kết luận h h h h C C C C c c c c o o o o H H H H h h h h c c c c Vı́ du ̣ điể n hın h i i i i ̀ h h h h TT y 2x + đồng biến khoảng ? TT Ví dụ Hỏi hàm số= f ′( x) f ′( x) 1 C − ; + ∝ B ( 0; + ∝ ) A − ∝; − D ( − ∝;0 ) nn nn m m m m Lời giải n n n n n n n n v v v v i.i Tính đạo hàm y ' = x u u ui.i u h h h h C C C C y' =0 ⇔ x =0 c c c c o o o o H H H H h h Bảng biến thiên h h c c c c i i i i h h h h TT TT –∞ +∞ x y' – + +∞ +∞ n n m m n n 1n n v v i.i u u u 0; + ∝ ) Chọn B h Vậy hàm số đồng biến khoảngh ( h h C C C C c c c c o o o o −x + 4x − Ví dụ Tìm khoảng đồngH biến hàm số: y = H H H h h h h c c c c i i i i A h B h h h TT TT nn m m n n n n v v ui.i y (0; +∞) (−∞;0) C (−∞; − 2) (0; 2) D ( 2; +∞) Lời giải nnsố đã cho xác đinḥ D = nn Hàm m m m m n n n n n n n n ′= y − x + x Tı n h ́ v v v v i.i u u ui.i u h h h h = x = x 0= x C C C C ⇔ ⇔ x + 2) = ⇔ xc (−c c Cho y′ = ⇔ −4 x + x = ⇔o c o o o − = + = x x 2 = ± x H H H H h h h h c c c c i i i i Bảng biến thiên h :h h h TT TT 3 2 Tài liệu KYS Tài liệu liệu ôn thi chất lượng nn http://thichhocchui.vnn.mn/ http://thichhocchui.vnn.mn/ nn h h c c i i h h TT x nn m m n n n n v v ui.i h h c c i i h h TT − −∞ +∞ –n n m m n 1n n n y v v i–3.i u u u h h h h C C C C c c c c o o o o Dựa vào bảng biế n thiên, hàm sốH đồ n g biế n trên: va ̀ ( ) ( ) H H H h h h h c c c c i i i i h h h h Ví dụ Tìm khoảng TTnghịch biến hàm số: y = x − 6x + 8x + TT y' + – + −∞ −∞ −∞; − B (−∞; −2) A (1; +∞) 0; C (−∞;1) D (−2; +∞) Lời giải nnsố đã cho xác đinḥ D = nn Hàm m m m m n n n n n n n n x = −2 v v v v iu.i iCho Tıń h y′ =0 ⇔ ( x − 1) ( x + ) =0 ⇔ i ( )( u )u u h h x = h h C C C C c c c c o o Bảng biến thiên : o o H H H H h h h h c c −2 c c i i i i h h h h TT TT y′ = x3 − 12 x + = = x − x+2 +∞ −∞ x − y' + 0 + +∞ +∞ y n nn n m m m m n n n n n n n n v v v v −∞ ; − 2) Dự a va o ba n g biế n thiên, m số nghi ch biế n ̣ ( ̉ ̀ ̀ i i u u ui.i Ví dụ Tìm khoảng u h h h h C C C C đồng biến hàmc số: y = x + 4x + c c c o o o o H H H H A (−1; +∞) B (−∞;0) C (−2; +∞) D (−∞; −1)h h h h c c c c i i i i h h h h Lời giải TT TT −23 Tâ ̣p xác đinh: ̣ D= y′ x3 + Cho y′ = ⇔ x3 + = ⇔ x = −1 Tıń h: = nn Bảng biế n thiên: m m n n n n v v ui.i nn m m nn n n −1 vv i i u u u + − h h h h C C C C c c c c o o o o H H H H h h h h y c c c c i i i i h h h h TT TT x −∞ +∞ +∞ +∞ y′ Dựa vào bảng biế n thiên, hàm số đồ ng biế n ( −1; +∞ ) nn m m n A n n n v v ui.i nn m m n B C D n n n v v i Lời gia u u ̉i i u h h h h C C C C Hàm số đã cho xác đinh ̣ D =c c c c o o o o H H H H h h h h c c c c i i i i h h h h TT TT Ví dụ Tìm khoảng đồng biến hàm số: y = − x3 + x − x + (0;3) (1;3) (−∞;0) (2; +∞) Chương Hàm số ứng dụng Tự học điểm 9l nn http://thichhocchui.vnn.mn/ http://thichhocchui.vnn.mn/ nn h h c c i i h h TT h h c c i i h h TT x = −3x + 12 x − Cho y′ = ⇔ −3x + 12 x − = ⇔ Tıń h y′ = x = nnBang biến thiên: nn m m m m ̉ n n n n n n n n v v v v i.i uu u ui.i h h h h − C − C C C c c c c o o o o H H H H h h h h c c c c i i i i y h h h h TT TT −∞ x +∞ y′ + +∞ −∞ Dựa vào bảng biế n thiên,hàm số đồ ng biế n (1;3) nn : câu Ví n dụn Cho hàm số: y = f ( x) = x + x + x + Hãy chọn m m m m n n n n n n n n f ( x ) A Hàm số nghịch biến v v v v i.i u u ui.i u h h h h B Hàm số f ( x) đồng biến C C C C c c c c o o o o H H ( xh )H C Hàm số fh không đổi H h h c c c c i i i i h h h h D.T Hàm TT T số f ( x) nghịch biến (−∞; −1) Lời giải Hàm số đã cho xác đinh ̣ D = nn nn −1m Tım m m ̀ y′ = x + x + Cho y′ = ⇔ x + x + = ⇔ x = m n n n n n n n n Bảng biến thiên: v v v v i.i.−1 u u ui.i u h h h h C C C C c c c o o +c + o o H H H H h h h h c c c c i i i i h h h h TT TyT 2 +∞ −∞ x y′ +∞ −∞ Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đồ ng biế n D = Chọn B n nn n m m m m Ví dụ Tìm khoảng đồng biến hàm số: = y x − x n n n n n n n n v v v v i.i C A B D u u ui.i u h h h h C C C C Lời giải c c c c o o o o H H H H x ≤ h h h h) c +∞ Hàm số đã cho xác iđic nh x − 2x ≥ ⇔ ⇒ Tâ ̣p xác đinh: ̣ ckhi: ̣ D = ( −∞;0] ∪ [i2; c i i h h h h x ≥ TT TT (0; +∞) (2; +∞) (−∞;0) (0; 2) = Ta có: y′ x −1 x2 − x nny′ = ⇔ m m Cho n n n n v v ui.i , ∀x ∈ ( −∞;0 ) ∪ ( 2; +∞ ) Hàm số không có đa ̣o hàm ta ̣i:= x 0;= x nn m m n n n n x − 2x v v i.i u u u h h h h C C C C c c c c o o o o H H H H h h h h c c c c i i i i h h h h TT TT x −1 = ⇔ x −1 = ⇔ x = Tài liệu KYS Tài liệu liệu ôn thi chất lượng nn http://thichhocchui.vnn.mn/ http://thichhocchui.vnn.mn/ nn h h c c i i h h TT Bảng biế n thiên: x nn m m n n n n v v ui.i y h h c c i i h h TT nn m m − − n n n n v v i.i u u u h h h h C C C C c c c c o o o o H H H H hhhàm số đồ ng biến (2; +∞) Chọn B h h c c c c i i i Dựa vào bảng h biếh ni thiên, h h TT TT −∞ y′ Ví dụ Tìm khoảng đồng biến hàm số: y = A n n m m n C n n n v v ui.i +∞ + + 3x + 1− x nn m m n D n n n v v ì i.gia i.̉ i Lơ u u u h h h h C C C C c c Dc = \ {1} Hàm số xác đinh ̣ và liên tu ̣c c o o o o H H H H h h h h 3.1 − ( −1i)c c c c i i i h h Tìm = = > 0; ∀x ≠ y′ h h T(1T− x) (1 − x) TT B (−∞; 2) (0; +∞) (−∞;1) (1; +∞) (−∞; +∞) Bảng biế n thiên: x −∞ y′ nn m m n n n n v v ui.i nn m m n n n n v v i.i u u u y h h h h C C C C c c c c o o o o H H H H h h h h c c c c i i Hàm số đã choh đồng biến khoảng ( −∞;1) (1; +∞ ) i i h h h TT TT +∞ + + +∞ −3 −3 −∞ Ví dụ Tìm khoảng nghịch biến hàm số: y = A n n m m C n n n n v v ui.i − 2x x+7 nn m m n n n n v v ì i.gia i.̉ i Lơ u u u h h h h C C C C D \ {−7} Hàm số đã cho xác đinh trên:= ̣ và liên tu ̣cc c c c o o o o H H H H h h h h ( ) ic c c c i i i Tı́nh { } h h h h T( T ) ( ) TT (−∞;7) B (−∞; +∞) (−∞; −7) (−7; +∞) D (−10; +∞) −2 − 1.3 = x+7 y=′ −17 x+7 < 0, ∀x ∈ D = \ −7 Bảng biế n thiên: x −∞ nn m m n n n n v v ui.i −7 +∞ nn m m n n n n v v −2 i.i u u u y h h h h C C C C c c c c o o o o − H H H H h h h h c c c c i i Hàm số đã choh nghi ch ̣ biế n trên: ( −∞; −7 ) và ( −7; +∞ ) i i h h h TT TT y′ − − +∞ −∞ Chương Hàm số ứng dụng Tự học điểm 9l nn http://thichhocchui.vnn.mn/ http://thichhocchui.vnn.mn/ nn h h c c i i h h TT w = (1 − i ) z + i ⇔ z = nn m m n n n n v v ui.i ( h h c c i i h h TT w−i x + yi ; x, y ∈ ; đặt w = 1− i nn m m n n n n v v i.i u u u h h h h )( ) C C C C c c c c ( ) o o o o H H H H h h h h c c c c i i i i h h h h ) ( ) TT TT x + yi − i ( x + yi − i )(1 + i ) − = x + yi − i Ta có z − = ⇔⇒ ⇒z= −2 =2 ⇔ 1− i 1− i ⇔ x + yi − i + i − = ⇔ x + xi + yi − y − i + − = ⇔ x − y − + x + y − i = ⇔ ( x − y − + x + y − = 16 ⇔ x + y + − xy + y − x + x + y + + xy − y − x = 16 2 ⇔ x + y − x + y − =0 ⇔ x + y − x + y − =0 Đường trịn có bán kính R= 22 + 12 + 3= 2 nn nn m m m m n n n n n n n n v v v v w đường trịn, tính bán kính đường trịn i.i u u ui.i u h h h h A B .C C D C C C c c c c o o o o Lời giải H H H H h h h h c c c c i i i i h h h h ( ) ( ) TT TT Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn z − = 2; w = (1 + 3i ) z + Tập hợp điểm biểu diễn số phức R=2 R=3 R=4 R=5 w = (1 + 3i ) z + ⇔ w − + 3i = (1 + 3i ) z − ( ) ( ) ( ⇒ w − + 3i = + 3i ( z − 1) = + 3i ) ( z − 1) = Do đó, tập hợp điểm biểu diễn số phức w đường trịn cón bán kính n n n m m m m dụ Trong mặt phẳng phức Oxy , cho số phức z n lượt bốn điều kiện Ví thỏan lần n n n n n n v., v( IV ) : i ( z − 4i ) = i i Hỏi điều kiện để ( II ) : z.z = ; ( ) u u ( I ) : z + z =; ui.iv.v u h h h h C C C C c c c c số phức Z có tập hợp biểu o diễn đường thẳng o o o H H H H h h h h B ( ) ( ) C ( ) ( ) D ( )i.c A ( ) ( ) (ic c c ) i i h h h h TT TT Lời giải III : z − 2i = II , III , IV I , II I I , IV Gọi M ( x, y ) điểm biểu diễn số phức z = x + yi ( x, y ∈ R ) n(nI ) : z + z = ⇔ 2x = ⇔ x = ±1; (Đường thẳng) m nn m m m n n n n n n n n v v v v = ⇒ + = II : z z x y (Đường tròn) ( ) i.i u u ui.i u h h h h C C C C ( oc )c ; (Đường tròn) ( ) c c o o o H H H H h h h h 3c ⇔ + iz =3 ⇔ x + ( y − ) =9 (Đường tròn) c c ( IV ) : i ( z − 4i )i= c i i i h h h h TT TT Vậy đáp án D 2 III : z − 2i =4 ⇔ x + y − 2 =16 2 Ở câu học sinh cần nắm vững dạng phương trình đường học cách xác định mô đun số phức để tránh nhầm lẫn chọn sai đáp án n nphẳng n số phức thỏa mãn điều kiện z − + 4i ≤ Trong.m n tập hợp điểm m m m Ví dụ Cho mặt n n n n n n n n v v v v icó.i.diện tích biểu diễn số phức hình trịn u u ui.i u h h h h C C C C A B ccπ C D π π π c c o o o o H H H H Lởi giải h h h h c c c c i i i i h h h h TT TT Oxy z w= z + − i S =9 340 nn S = 12 S = 16 S = 25 Chương Số phức Tự học điểm 9I http://thichhocchui.vnn.mn/ http://thichhocchui.vnn.mn/ nn h h c c i i h h TT nn m m n n n n v v ui.i w= z + − i ⇒ z = h h c c i i h h TT w −1 + i nn m m n n n n v v i.i u u u h h h h Giả sử w = , (1) ⇔ ( x − ) + ( y + ) ≤ 16 x + yi ( x, y ∈ C ) C C C c c c c o o o o H H H H hình tròn tâm I ( 7; − ) , bán kínhh Suy tập hợp điểm biểu diễn số phức h h h c c c c i i i i h h h h TTdiện tích cần tìm là=S π= TT Vậy 16π w −1+ i z − + 4i ≤ ⇔ − + 4i ≤ ⇔ w − + i − + 8i ≤ ⇔ w − + 9i ≤ (1) 2 r = w Ví dụ 10 Trong mặt phẳng phức Oxy , tập hợp biểu diễn số phức Z thỏa mãn z + z + z = nn m m n n n n v v ui.i nn m m n n A S = 4π B S = 2π C S = 3π D S = π n n v v i i Lởi giải u u u h h h h C C C C Gọi M ( x, y ) điểm biểu diễn số phức z = x + yi ( x, y ∈ R ) c c c c o o o o H H H H h h h h c Ta có: ic c c i i i h h h h TT TT ⇒ bán kính π π đường trịn ( C ) Diện tích S đường trịn ( C ) bao nhiêu? z + z + z = ⇔ x + y + x + yi + x − yi = ⇔ x + y + x = R =1 ⇒ S = R = DẠ NG 4: TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN LÀ MỘT MIỀN n nn n m m m m n n n n n n n n Để điểm biểu diễn z nằm Vı du 1: Cho số phức v v ̣ v v y ́ i i u u ui.i u h h h dải (- 2; 2), hình 1, điều kiện ah b là: C C C C c c c c o o o o A .H B H H H h h h h 2x c c c c i i i i C h D h h h -2 TT TT Lời giải z= a + bi (a, b ∈ ) a, b ∈ (−2; 2) a ∈ (−2; 2); b ∈ a ∈ ; b ∈ (−2; 2) a, b ∈ [ − 2; 2] O Các số phức dải cho có phần thực khoảng (−2; 2) , phần ảo (H×nh 1) nn nn m m m m Vı́ du ̣ 2: Số phức z thỏa mãn điều có điểm biểu diễn thuộc phần gạch n n n n n n n n v v v v i.i chéo hình u u ui.i u h h h h C C C C A Số phức [ ] c c c c o o o o H H H H h h h h B Số phứccc [ ] c c i i i i h h h h TT Tphức C.T Số [ ] tùy ý ⇒ Đáp án B z = a + bi;| z |≤ 2; a ∈ −1;1 z = a + bi;| z |≤ 2; a ∉ −1;1 z = a + bi;| z |< 2; a ∈ −1;1 nn m m n n n n v v ui.i D Số phức z = a + bi;| z |≤ 2; b ∈ [ −1;1] nn m m n Từ hình biểu diễn ta thấy tập hợp điểmn M a, b ) biểu diễn số phức z phần gạch (n n v v i i u Oh 0,u ) bán kính ngồi −1 ≤ a ≤ chéo thuộc đường tròn tâmh h (u h C C C C c c c c o o o o Vậy M ( a, b ) H điểm biểu diễn số phức có mơ đun nhỏ z = a + bi H H H h h h h c c c c i i i i h h có phần thực thuộc đoạn [-1;1] Ta có đáp án A h h TT TT Lời giải Tài liệu KYS Tài liệu liệu ôn thi chất lượng nn http://thichhocchui.vnn.mn/ http://thichhocchui.vnn.mn/ nn 341 h h c c i i h h TT h h c c i i h h TT Vı́ du ̣ 3: Trong mặt phẳng phức Oxy , số phức z thỏa điều kiện có điểm biểu diễn số phức thuộc phần tơ màu hình vẽ n nn n1 ≤ z ≤ phần ảo dương m m m m A n n n n n n n n v v v v i.i B ≤ z ≤ phần ảo âm u u ui.i u h h h h C C C C c c c c C < z < phần ảo dương o o o o H H H H h h h h c c c c i i i i D < z < 2h phần ảo âm h h h TT T T Lời giải Ta thấy phần tô màu nửa trục hồnh hình vành khăn tạo hai đường tròn đồng tâm O ( 0, ) bán kính n nn n m m m m n n n n n n Vậy tập hợp điểm M ( x, y ) biểu diễn cho số phức z= x + yi mặt n n v v v v iu.i i i uâm.uChọn B u h phẳng phức với có phầnh ảo h h C C C C c c c c o o o o H H H H h h h h c c c c i i DẠ NG 5: TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN LÀ MỘT ĐƯỜNG ELIP i i h h h h Tpháp giải TT a) PhươngT ≤| z |≤ Trong mặt phẳng, cho hai điểm cố định F1 , F2 , với F1 F2 = 2c ( c > ) Đường Elip tập hợp điểm M cho MF + MF = trước lớn c 2a, a số cho n n n n m m m m Hai điểm F , F gọi tiêu điểm Elip Khoảng cách 2c gọi tiêu cự n n n n n n n n v.v i i u u Elip ui.iv.v u h h h h C C C C c c c c Phương trình tắc Elíp có tiêu điểm F ( c;0 ) , F ( −c;0 ) : o o o o H H H H h h h h c c c c x y i i i i h h h h + = 1, a > b > 0, b = a − c ( ) TT TT a b 1 2 2 2 2 2 10 Giá trị lớn nhỏ mô – đun Vı́ du ̣ 1: Cho số phức z thỏa mãn z − + z + = số phức z n n m m A 10 n n n n ui.iv.v nn D m m n n n n v v Lời giảii.i uu u h h h h Giải theo tự luâ ̣n C C C C c c c c o o o o Cách 1: Giả sử có điểm biểu diễn H H H H h h h h c c c c i i i i h Giả sử F (4;0), F (0; −4) , tập hợp h h h TT TT điểm thỏa mãn MF + MF = 10 đường elip B C z= x + yi, ( x, y ∈ ) M ( x; y ) M ( E ) có tiêu điểm F1 , F2 trục lớn 10 nTừnđó ta tìm 2c = F F = ⇔ c = nn m m m m n n n n n n n n v v v v x y i.i u u = Từ ( E ) : + 2a = 10 ⇔ a = suy ui.i u h h h h 25 C C C C c c c c o o o o H H H H h h h h c c c c i i i i h h h h TT TT 2 b = a − c = 25 − 16 = ⇒ b = 342 nn 2 Chương Số phức Tự học điểm 9I http://thichhocchui.vnn.mn/ http://thichhocchui.vnn.mn/ nn h h c c i i h h TT nn m m n n n n v v ui.i h h c c i i h h TT Vì M di động ( E ) nên z = OM lớn nhất, nhỏ OM độ dài nửa nn m m n n n n A + B ≥ A + B suy Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức “tam giác” dạng v v i i uu u h h +C +h 10 = z − + z + ≥ ( z − 4)C ( zh 4) = z = z ⇒ z ≤ Vậy max z = C C c c c c o o o o H H H H bất đẳng thức bunhiacopxki, ta có: + Mặt khác áph dụng h h h c c c c i i i i h h h h TT TT bán trục lớn, nửa bán trục nhỏ Hay = max z 5;= z Do ta chọn đáp án D A A = A 100= nn m m n n n n v v ui.i (1 z − + z + ) 2 ( ≤ (12 + 12 ) z − + z + 2 ) , ta 50 ≤ ( z − 4)( z − 4) + ( z + 4)( z + 4) nn m m n n n n v v z = 3= xi.i+.y = x u u ⇔ ⇔ u h h h h =C z +C ( x − 4) + y = ( x + 4) + y C y = ±3 z − c C c c c o o o o H H H H h h zhthỏa mãn ( z + 2)i + + ( z − 2)i − = Vı́ du ̣ 2: Cho số phức làh giá trị lớn Gọi c c c c i i i i h h h h TT TT nhỏ z Tính tổng ⇔ 50 ≤ ( z − 4)( z − 4) + ( z + 4)( z + 4) ⇔ 50 ≤ z.z + 32 ⇔ z ≥ ⇒ z ≥ Dấu diễn 2 2 2 M,m = S M +m nn m m n n n n v v ui.i A S = 5−2 B = S −1 C S = A ta có AF1 + AF2 = ⇔ A ∈ ( E ) : 2 D Cách 2: Cho (*) ta có: Áp dụng bđt Bunhiacopxki nn ) (đặt ) m m n n n n v v Mặt khác ta có: i.i u u u h h h h C C C C Q = ( z − b)( z − b) +c ( zc + b)( z + b) = z.z − zb − bz + b.b + z z + bz + zb + bb c c o o o o Hay H H H H h =2 zc+h 2h b =z + 10 h c c c i i i i h h h h TT TT Ta 36 = (1 z − + i + z + − i ) ( ≤ z −2+i + z + 2−i 2 b= − i Q = z − + i + z + − i = ( z − + i ).z − + i + ( z + − i ).z + − i 2 2 Tài liệu KYS Tài liệu liệu ôn thi chất lượng nn x2 y + =1 Ta có n n m m n n nn y ∈ D = − 5; v v i i uu u h h h h C C C C 9y c ao +c ic = x + ( y + 1) = − + ( y + 1) , khảo sát hàm số Khi ta z =o c o o H H H H h h h h c c c c i i i i h h h h Ttìm z = TừT ánT A − 1; max z = Từ ta đápT F1 (−2;0); F2 (2;0) nn m m n n n n v v ui.i 5−2 nn m m Lời giải n n n n v v i.i Cách 1: u u u h h h h C C C C Đặt ( z + 2)i + + ( z − 2)c i− = ⇔ z + − i + z − + i = ⇔ z − i + + z − + i =6 (*) c c c o o o o H H H H h h h h c c (chú ý: Aic =c A nên z − + i = z + (−2 − i ) = z − − i ) i i i h h h h T T T T Đặt , ta a − + a + = , gọi điểm biểu diễn cho số phức a hai điểm a= z − i nn m m n n n n v v ui.i D S = http://thichhocchui.vnn.mn/ http://thichhocchui.vnn.mn/ nn 343 h h c c i i h h TT h h c c i i h h TT ⇒ z + 20 ≥ 36 ⇒ z ≥ Dấu xảy nn nn z = x + y = m m m m ⇔ n n n +n x +n 2)n ( y − 1) n ( x − 2) + ( y + 1) = (v n z −2+i = z + 2−i v v v iu.i i i uu2 u h h h h x= x= +y + y 4C C C C ⇔ ⇔ ⇒x= ± ;y= ± c c c c o o 4y = y 2o xo 5 −8 x += H H H H h h h h≤ c c c c i i i i h h Vı́ du ̣ 3: Gọi (H) làT hình biểu diễn tập hợp số phức z mặt phẳng tọa đọ Oxy để z − z h h TT T 2 2 2 2 2 số phức z có phần thực khơng âm Tính diện tích hình (H) π π D 6π n n n n m m m m n n n n Lơ i gia i ̉ ̀ nn v v iu.iv.vnn Giả sử z = i i u a + bi, (a, b ∈ ) , z=h au −u bi , giả thiết toán h h h C C C C c c c c o o a b o o H 2a + 2bi − (a − bi ) h ≤ 3H ⇔H a + 3bi ≤ ⇔ a + 9b ≤ ⇔ + ≤ Vậy tập hợp H h h h c c c c i i i i h h h h TT TT A 3π B C 2 2 điểm biểu diễn cho số phức z điểm M (a; b) thuộc miền elip x2 y (E) : + = (kể điểm biên) n+nBán trục lớn a ' = , bán trục bé là.m nn b.'m = nên diện tích cần tính m m n n n n n n n n v v miền v v i.i u u ui.i u h h h h S= πa ' b ' = 3π Vậy đáp án A.C C C C c c c c o o o o z + + z − = Ví dụ Tập hợp điểm biểu H diễn số phức thỏa mãn mặt phẳng tọa độ H H H h h h h c c c c i i i i h h h h TT TT (E) (E) (H ) z A đường thẳng B đường tròn C elip D hypebol Hướng dẫn giải nTrên zn = n mặt phẳng tọa độ , gọi M ( x; y ) biểu diễn số phức nx + yi ( x, y ∈ ) m m m m n n n n n n n n v v v v Ta có z + + z − = ⇔ x + + y + x − + y = (1) ( ) ( ) i i u u ui.i u h h h h C C C C nằm Elip có hai tiêu điểm cc Đặt F ( −2;0 ) , F ( 2;0 ) c suy (1c ) ⇔ MF + MF = o o o o H H H H h h h h x y c c c i i i i F ; F vàh bán kính trục lớn Phương trình elip Cc + = Chọn h h h 25 T TT T 0xy 1 2 2 M 2 2 4 Ví dụ Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều nkiện nn n z − + z + =10 m m m m n n n n n n n n v v x y v v i i + = A Đường tròn ( u B Elip ) ( ) u ui.i u 25 h h h h C C C C c c c c o o o o x y H H H H C Đường tròn ( h D Elip + = )h ( ) h h 25 21 c c c c i i i i h h h h TT TT x−2 + y+2 = 100 x−2 + y+2 = 10 2 344 nn 2 2 Chương Số phức Tự học điểm 9I http://thichhocchui.vnn.mn/ http://thichhocchui.vnn.mn/ nn h h c c i i h h TT nn m m n n n n v v ui.i h h c c i i h h TT Lời giải nn m m n Gọi A điểm biểu diễn số phức n n n v v i.i Gọi điểm biểu diễn số phức u u u h h h h C C C C ⇔ MB + MA = 10 Ta có: z + + z − = 10 c c c c o o o o H H H H h h hđiểm Ta có icc h Suy tập hợp điểm M biểu diễn số phức Elip với ic tiêu c i i h h h h T,Tđộ dài trục bé T) , B ( −2;0) , tiêu cự AT , độ dài trục lớn ( 2;0 Gọi M ( x; y ) điểm biểu diễn số phức z= x + yi , x, y ∈ −2 B AB = AB= 4= 2c nn m m n n n n v v ui.i Ví dụ z 10 = 2a 2= b a − c= 25 −= 21 nn m m n n n n v v i.i elip có phương trình u u u h h h h C C C C c c c c o o Cho số phức thỏao mãn điểm z+2 + z−2 = Trong mặt phẳng phức tập hợp o H H H H h h h h c c c c i i i i biểu diễn cho số phức là? z h h h h TT x y TT x y 10 Vậy, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z − + z + = x2 y + = 25 21 z M A ( E ) : nn m m n n n n v v ui.i 16 + 12 B ( E ) : = 12 + 16 = nn m m n n Lời giảin n v v i.i u u Gọi M ( x; y ) , F (−2;0) , F (2;0) u h h h h C C C C c c c c o o o o = ⇔ x + ( y + 2) + x + ( y − 2) = Ta có z + + z − ⇔ MF + MF = H H H H h h h h c c c c i i i i h h h h DoT điểm nằm elip có ta có M x ; y E ( ) TT T ( ) D ( C ) : ( x + ) + ( y − ) = C ( C ) : ( x + ) + ( y − ) = 64 2 2 2 2 2 2a = ⇔ a = 4, F1 F2 = 2c ⇔ = 2c ⇔ c = Ta có b = a − c = 16 − = 12 Vậy tập hợp điểm M nn m m n n n n v v ui.i Ví dụ nn m m n n n n VẬN DỤNG VÀ VẬN DỤNG CAO v v i i u u u h h Gọi hình biểu diễn tập hợp số phức mặt phẳng tọa độ cho h h C C C C c c c c o o o o phức có phần ảo khơng âm Tính diện tích hình z − z ≤ , sốH H H H h h h h c c c c i i i i h h h h π π TT TT x2 y = elip ( E ) : + 16 12 0xy z H z A 3π nn m m n n n n v v ui.i B H C D 6π Hướng dẫn giải nn m m n n n n x y v v + ≤ Ta có ( x + yi ) − ( x − yi ) ≤ ⇔ x i+.i9.y ≤ ⇔ x + y ≤ ⇔ u u u h h h h C C C C c c c c x y o o o o + ≤ H Suy tập hợp điểm biểu diễn số phức miền Elip H H H h h h h icc c c i i i h h h h TT TT Gọi z = x + yi, ( x, y ∈ ) 2 2 2 2 z Tài liệu KYS Tài liệu liệu ôn thi chất lượng nn http://thichhocchui.vnn.mn/ http://thichhocchui.vnn.mn/ nn 345 h h c c i i h h TT h h c c i i h h TT Ta có= a 3,= b , nên diện tích hình H cần tìm diện tích Elip nn nn m m π m m Vậy π n n n n n n n n v v v v i i u u ui.i Ví dụ Gọi (H) hình biểu diễn tập hợpC u h h h h số phức z mặt phẳng tọa đọ Oxy để z − z ≤ C C C c c c c o o o o H H số phức z có phần thực khơng âm Tính diện tích hình (H) H H h h h h c c c c i i i i h h h h TD.T6π A 3π T B C T a.b = 2 S = π π Lời giải a + bi, (a, b ∈ ) , z= a − bi , giả thiết bàin Giả sử z = toán n n n m m m m .a b n n n n n n n n 2a + 2bi − (a − bi ) ≤ ⇔ a + 3bi ≤ ⇔ a i+.9v b.v ≤9⇔ + ≤ Vậy tập hợp i u u ui.iv.v u h h h h C C C C điểm biểu diễn cho số phức c làc điểm thuộc miền elip c c o o o o H H H H h h x y h h c c c i i ( E ) : + h= 1c (kể điểm biên) i i h h h 9T TT T + Bán trục lớn a ' = , bán trục bé b ' = nên diện tích cần tính 2 M (a; b) z 2 2 (E) (E) miền ( H ) nn nn S= πa ' b ' = 3π Vậy đáp án A m m m m n n n n n n n n Ví dụ Cho số phức thỏa mãn Gọi giá trị lớn nhất, giá z + + z − = 10 v v v v iu.i i i ulàu u h h h trị nhỏ z Giá trị SC =C Mh m C C c c c c o o o o H H H H A S = B C D S = 15 S = 12 S = 10 h h h h c c c c i i i i h h Lời giải h h TT TT M,m z Do z nằm (E) có a = b = nên M = 5, m = ⇒ M m = 15 , chọn B Ví dụ 10 Cho số phức z thỏa mãn z + + z − = 10 Gọi A, B điểm biểu diễn cho nsốnphức thỏa mãn điều kiện có mơđun lớn nhất.vàm n Gọi nhỏn trung m m m n n n n nnw Khi S= a + b số phức v v iu.iv.vnn điểm đoạn AB điểm biểu diễnhhcho i i uu u h h C C C C A B cc C S = D c c o o o o H H H H h h h h c c c c i i Lời giải i i h h h h T T T T Do z nằm (E) có a = b = nên , chọn B M (a; b) z S= S= S = b = 2, a = nn m m n n n n v v ui.i 346 nn ⇒S= 2 nn m m n n n n v v i.i u u u h h h h C C C C c c c c o o o o H H H H h h h h c c c c i i i i h h h h TT TT Chương Số phức Tự học điểm 9I http://thichhocchui.vnn.mn/ http://thichhocchui.vnn.mn/ nn h h c c i i h h TT h h c c i i h h TT DẠ NG 6: TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN LÀ MỘT TẬP HỢP KHÁC nduṇ 1: Cho số phức naxn+ bx − Biết m m m m Vı Đặt f ( x ) = ́ n n n n n n n n v v v v i.i u u ui.i u Tính giá trị lớn h h h h C C C C c c c c o o o o H H H H z =2 A max z = 2h B max z = C max z = D max h h h c c c c i i i i Lời giải TThh TThh z =+ a bi, (a ≥ 0, b ≥ 0; a, b ∈ ) 1 f (−1) ≤ 0; f ≤ − 4 nn m m n n n n v v ui.i nn m m n n n n v v ui.i z a − b − ≤ a − b ≤ a b Từ giả thiết ta có: + − ≤ − ⇔ a + 4b ≤ 12 (I) 16 a ≥ 0; b ≥ a ≥ 0; b ≥ nn m m n n n n v v i.i.đường thẳng Xét hệ tọa độ Oxy u u u h h h h C C C C d : x − y= − 0; d ' : x + 4c yc −= 12 trục tọa độ c c o o o o H H H H h h + Đường thẳng h h c c c c i i i i h h h h TT TT d ∩ Ox = A(2;0); d ∩ Oy = (0; −2) = B; d '∩ Ox = C (12;0); d '∩ Oy = D(0;3) hai đường I (4; 2) thẳng d ∩ d ' = nn m m điểm thuộc cạnh đa giác n n n n v v i OM lớn hay lớn hu inhất + Ta có: , z lớn u u h h h C C C C c c cmiền đa giác lồi OAID c thuộc với M (a; b) điểm o o o o H H H H h h h hra c c c c i i max z = + Ta có: Từ suy Dấu diễn i i h h h h TT TT + Miền nghiệm (I) biểu diễn mặt phẳng tọa độ nằm tứ giác OAID kể z = a + b = OM 2 OM OA 2;= OI 5;= OD = z= + 2i Vı́ du ̣ 2: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa z − z = z + + 2i là? nn m m n n n n v v ui.i nn m m n n n n C Một đường thẳng D Một đường tròn v v i i uLơù i giải u h h h h C C C C c c c o x + yi, ( x, o y∈ c ) , ta có Giả sử z = từ ta o o H H H H h h h h c c c c i i i i h h h h TT TT A Một parabol B Một điểm z= x − yi y 2= ( x + 1) + ( y + 2) − x2 − 2x − ⇔ y =x + x + + y + y + ⇔ y =− x − x − ⇔ y = Vậy quỹ tích 2 2 nn cần tìm đường parabol Chọn đáp án A .m nn m m m n n n n Vı́ du ̣ 3: Trong mặt phẳng tọa độ , gọi phần mặt phẳng chứa điểm biểu diễn n n n n v v v v i i u z 40hu ui.i u h h h số phức thỏa mãn vàC có phần thực ảo thuộc [ ] Tính diện tích C C C 40cc z c c o o o o H H H H A 1600 B 400π C D 1200 − 200π h h h h c c c c i i i i TThh TThh Oxy H z 0;1 H 50(3 − π) Tài liệu KYS Tài liệu liệu ôn thi chất lượng nn http://thichhocchui.vnn.mn/ http://thichhocchui.vnn.mn/ nn 347 h h c c i i h h TT h h c c i i h h TT Lời giải z x y x + yi, ( x, y ∈ ) , = + Giả sử z = + i 40 40 40 nn m m n n n n theo ta có: v v ui.i điểm biểu diễn nn m m n n n n Từ ta thấy v v i.i u u u h h h h C C C C cho sốc phức hình vuông c c c o o o o H H H H h h h h vẽ có OABC ihình c c c c i i i h h h h TTz 40x + 40 y i Theo ta có: TT 40 40 += = z 40 M x2 + y z z z ≤ x ≤ 40;0 ≤ y ≤ 40 x2 + y 40 x 40 y ta x ≥ 0n ≤ ≤ (1) ≤ ≤ (2) Từ (1)n n n x + y x + y m m m m n n n n n n n n x + y ≥ 40 x ⇔ ( x − 20) + y ≥ 400 (1’) i.v v i u u ui.iv.v u h h h x + y ≥C Từ (2) ta ⇔ x + ( y − 20) ≥ 400 (2’) 40 yh C C C c c c c o o o o Tập hợp điểm biểuH diễn cho miền (H) nằm miền “màu đỏ” ta cần tính diện H tích H H h h h h c c c c i i i i miền h h h h TT T T πR 2 2 2 y≥0 2 2 2 + Diện tích phần bốn cung trịn có bán kính R = 20 = 100π Nên diện tích hình hoa văn tạo cung AIO cung OIC n n n n m m m m S= 100π + 20 + 100=π 400 + 200π n tích cần tính bằng: diệnn n n n n n n v.v i i u u ui.iv.v u h h h h C C C C c = z 2,= z gọi Vı́ du ̣ 4: Cho hai số phức z , z thỏao mãn điểm biểu occ c o o H H H H h h hz , iz MON h = 30 Tính c c c c diễn cho sốiphức i i i h h h h TT TT * S = 402 − S * = 1200 − 200π 1 M,N = P z12 + z22 A P = B P = D P = C P = 3 Lời giải Cách 1: Chọn z1 = , suy M (2;0) , (tọa độ điểm iz2 xem giao điểm nn m m n n n n v v đường ui.i nn m m n n n n v v y = x thẳng đường trịni.icó phương trình x + y =3 chọn u u u h h h h C C C C c c c c o o o o hay H từ tìm Từ ta H H H h h h h c c c c i i i i h h h h T T T T 3 z + z =4 + − i =−2 − 3i ⇒ P =z + z =4 y= 3 ⇒ x= 2 iz2= 3 + i 2 = z2 ⇒ 3 − i 2 2 2 2 Từ ta tìm đáp án B n nn n m m m m Cách 2: Ta có: , từ ta có: n n n n n n n n v v v v i.i P= z − 2iz z + 2iz u u ui.i u h h h h C C C C c c c c Theo gọi điểm biểu diễn cho số phức 2iz A N trung điểm đoạn OA o o o o H H H H h h h h Ta có: , theo định lý sin cho tam giác OMA ta có: c c c c i i i i h h h h TT TT z12 + z22 =z12 − 4(iz2 ) =( z1 − 2iz2 )( z1 + 2iz2 ) 2 z1 − 2iz = MA 348 nn Chương Số phức Tự học điểm 9I http://thichhocchui.vnn.mn/ http://thichhocchui.vnn.mn/ nn h h c c i i h h TT nn m m n n n n v v ui.i h h c c i i h h TT nn m m + suy n n n n v v i.i u u u h h h h C C C C c c c Nếu đặt z = a + bi; zo = xc + yi, (a, b, x, y ∈ ) , ta có: o o o H H H H hh hh c i i Q = 16h +h 2c ii[c ( x + yi )(a − bi ) − (a + bi )( x − yi ) ] = 16 + 2i (−2bxi + 2ayi ) = h 16h +ic 4( bx − ay ) T T T T Ta có: iz =− y + xi nên ta có: nên Q =z1 + 2iz2 =( z1 + 2iz2 ).z1 + 2iz2 =( z1 + 2iz2 ).( z1 − 2iz2 ) Q =z1 z1 − 2iz1.z2 + 2iz2 z1 + z2 z2 =4 + 12 + 2i ( z2 z1 − z1 z2 ) OM = (a; b); ON = (− y; x) nn m m n n n n v v ui.i =4 từ ta MA = MA2 =OM + OA2 − 2OM OA.cos 300 =4 + 4.3 − 2.2.2 OM ON = bx − ay = OM ON cos 300 = = Từ ta Q =16 + 4.3 =28 , từ nn m m n n Từ ta đượcvv suy z + 2iz = Pn =n i.i u u u h h h h C C C C c c c c o o o o DẠ NG 7: MAXMIN TRONG SỐ PHỨC H H H H h h h h c c c c i i i i h h h h TT TT số thực Tính giá trị nhỏ Vı́ du ̣ 1: Trong số phức thỏa mãn điều kiện ( z − 1)( z + 2i ) nn m m n n n n v v ui.i mô – đun số phức z nn D m m n n n n v v Lơ ì i.igia ̉ i u u u h h h h Giả sử ,C C C C c c c c o o o o H H H H ( z − 1)( z + 2i )h = h x( x − 1) + y ( y − 2) + [ xy − ( x − 1)( y − 2) ] i , theo số phức h số h c c c c i i i i thực Từ ta có: TThh TTnênhh A z = B z = C z = 5 z = 5 z= x + yi, ( x, y ∈ ) xy − ( x − 1)( y − 2) = ⇔ y = − x z= x2 + y = x + (2 − x) = 4 Vậy đáp án cần tìm B 5 x − + ≥ 5 5 nn nn m m m m z − i n n n n Mệnh đề sau đúng? Vı́ du ̣ 2: Cho số phức thỏa mãn z ≤ Đặt A = n n n n v v v v + iz iu.i i i uu C A > u h h A A ≤ B.C D A < Ah ≥h C C C c c c c o o o o H H H H Lơ i gia i ̉ ̀ h h h hA c c c c i i i i h h − i − h h TT TT z Cách 1: Từ giả thiết suy A + Aiz =2 z − i ⇔ ( Ai − 2) z =−i − A ⇒ z = nn m m n n n n v v ui.i (*) Mặt khác nn m m n n n n v v i Giả sử , tai có: u u u h h h h C C C C −2 x − (2 y + 1)i ≤ (−2 − c y )c + xi ⇔ x + (2 y + 1) ≤ (2 + y ) + x c c o o o o H H H H h h h ⇔ x + i3c yic ≤h ⇔ x + y ≤ ⇒ A ≤ Vậy ta chọn đáp áp A c c i i h h h h TT TT z ≤1⇒ −i − A ≤ ⇔ −i − A ≤ Ai − (1) Ai − A= x + yi, ( x, y ∈ ) 2 2 2 2 Tài liệu KYS Tài liệu liệu ôn thi chất lượng nn Ai − http://thichhocchui.vnn.mn/ http://thichhocchui.vnn.mn/ nn 349 h h c c i i h h TT h h c c i i h h TT Cách 2: Từ (*) ta dùng máy tính chọn A= nkhin ta có: m m n n n n v v ui.i 1 + i ⇒ A = (thỏa mãn A D) 2 nn m m n n n n v v ithể.i.thấy đáp án A D u u nênh ta cóu h h h C C C C c c c c o o o o H H H H + Chọn A =⇒ , vào (*) ta được: từ ta thấy đáp án A i Ah = 1 z = h h h c c c c i i i i h h h h Vı́ du ̣ 3: Cho hai T sốT phức z , z thỏa mãn gọi lần lượtT làT điểm biểu diễn −i − − i = i (0,5 + 0,5i ) − z = 130
Ngày đăng: 03/07/2020, 15:25
Xem thêm: