Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên năm học 2017 2018 môn toán sở GD và đt vĩnh phúc

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2017-2018 ĐỀ THI MƠN: TỐN Dành cho thí sinh thi chun Tốn, chun Tin học Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề ————————— Câu (2,0 điểm) Cho phương trình x  2(m  1) x  2m  3m   , m tham số, x ẩn số a) Tìm tất giá trị m để phương trình có nghiệm b) Giả sử phương trình cho có hai nghiệm x1 , x2 Chứng minh x1  x2  x1 x2  2 x  xy  Câu (2,0 điểm) Cho hệ phương trình  , m tham số x, y 4 x  xy  y  m ẩn số a) Giải hệ phương trình với m  b) Tìm tất giá trị m để hệ phương trình có nghiệm Câu (3,0 điểm) Cho hình thang ABCD với AD, BC hai cạnh đáy , BC  AD , BC  BD  ,   BDC   1800 , E điểm đối xứng với D qua đường thẳng BC AB  AC , CD  , BAC   2 AEC a) Chứng minh điểm A, C, E, B nằm đường tròn BEC b) Đường thẳng AB cắt đường thẳng CD điểm K , đường thẳng BC cắt đường thẳng AE điểm F Chứng minh FA  FD đường thẳng FD tiếp xúc với đường trịn ngoại tiếp tam giác ADK c) Tính độ dài cạnh CD Câu (2,0 điểm) Cho phương trình x  y  z  3xyz (1) Mỗi số  x, y, z  x, y, z số nguyên dương thỏa mãn (1) gọi nghiệm nguyên dương phương trình (1) a) Tìm tất nghiệm nguyên dương có dạng  x, y, y  phương trình (1) b) Chứng minh tồn nghiệm nguyên dương  a, b, c  phương trình (1) thỏa mãn điều kiện a; b; c  2017 Trong kí hiệu a; b; c số nhỏ ba số a, b, c Câu (1,0 điểm) Cho số tự nhiên n  n  số nguyên dương a1 , a2 , , an  thỏa mãn điều kiện  a1  a2   an   3n Chứng minh tồn hai số , a j (1  j  i  n  2; i, j  ) cho n   a j  2n -Hết Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh …………………………………………………… Số báo danh ……… KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2017 – 2018 SỞ GDĐT VĨNH PHÚC HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN (Dành cho chun Tốn, chun Tin học) (Đáp án gồm 05 trang) Câu (2,0 điểm) Cho phương trình x  2(m  1) x  2m  3m   , m tham số, x ẩn số Nội dung 1a) Tìm tất giá trị m để phương trình có nghiệm PT có nghiệm   '  (m  1)2  (2m  3m  1)   m  m   m(m  1)   m    m   0  m   m       m   m    m  m    m    m 1 Điểm 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 1b) Giả sử phương trình cho có hai nghiệm x1 , x2 Chứng minh 1,00 x1  x2  x1 x2   x1  x2  2(m  1) Theo Viet ta có:   x1.x2  2m  3m  0,25 1   P | x1  x2  x1.x2 |  | 2m  m  1|  m     16  0,25 1  1 Có  m     m     m    4   16 9  1  Suy P     m     , dấu xảy m  4   16  0,25 0,25 2 x  xy  Câu (2,0 điểm) Cho hệ phương trình  , m tham số x, y 4 x  xy  y  m ẩn số Nội dung 2a) Giải hệ phương trình với m   2x2 1 2 x  xy  y  Với m=7 ta có:  (do x  không thỏa mãn)  x  4 x  xy  y  4 x  xy  y   Điểm 1,00 0,25 2 x2   x2    4x  4x   7 x  x  0,25 1   x  x  x  1   x  1  x  x  x     x  1  x    8   x   x  1 Với x   y  Với x  1  y  1 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm  x; y    1; 1 , 1;1 2b) Tìm tất giá trị m để hệ phương trình có nghiệm Ta có x  khơng thỏa mãn suy x  Rút y từ PT thứ vào PT thứ hai ta có: 2 x2 1  x2    4x  4x  m x  x  0,25 0,25 1,00 0,25 Hệ có nghiệm  x  x  x  1   x  1  mx có nghiệm khác 0,25  x  mx   có nghiệm khác Đặt t  x , t  Thay vào phương trình ta 8t  mt   (1) Như yêu cầu tốn  1 có nghiệm dương 0,25 Dễ thấy phương trình (1) ln có nghiệm trái dấu ac  suy (1) ln có nghiệm dương Do với số thực m hệ phương trình ln có nghiệm 0,25 Câu (3,0 điểm) Cho hình thang ABCD thỏa mãn AD, BC hai đáy , BC  AD , BC  BD  ,   BDC   1800 , E điểm đối xứng với D qua đường thẳng BC AB  AC , CD  , BAC    AEC a) Chứng minh điểm A, C, E, B nằm đường tròn BEC b) Đường thẳng AB cắt đường thẳng CD điểm K , đường thẳng BC cắt đường thẳng AE điểm F Chứng minh FA  FD đường thẳng FD tiếp xúc với đường trịn ngoại tiếp tam giác ADK c) Tính độ dài cạnh CD Nội dung Điểm K D A L C F B E 3a) Chứng minh điểm A, C, E, B nằm đường tròn    BEC AEC 1,00   BEC  Do E đối xứng D qua BC nên BDC   BDC   1800  BAC   BEC   1800 suy A, C , E , B nằm đường Có BAC trịn Có tam giác ABC cân A nên  ABC   ACB , kết hợp với tứ giác ACEB nội tiếp ta     ABC  AEC , ACB  BEA 0,25   BEC    Từ suy  AEC  BEA AEC 3b) Đường thẳng AB cắt đường thẳng CD điểm K , đường thẳng BC cắt đường thẳng AE điểm F Chứng minh FA  FD đường thẳng FD tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ADK Có: DE  BC , AD  BC  ADE vuông D FD  FE  FA   BDC   180  BAC   BDK   tứ giác AKDL nội tiếp Mặt khác BAC  (do AD||BC), tứ giác ACEB nội tiếp suy CAE   CBE  , BC trung Có  ADB  DBC   CBE  Do   suy ADB  CAE trực BE nên DBC FA tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ADK, kết hợp với FA  FD  FD tiếp tuyến đường trịn ngoại tiếp tam giác ADK 3c) Tính độ dài cạnh CD 0,25 0,25 0,25 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 1,00  , suy FC  CE  CE (vì BE  BD  ) Do EF phân giác BEC FB EB AC BE Ta có AFC đồng dạng với BFE   AF BF 0,25 Áp dụng định lý Ptolemy có: AE.BC  AB.CE  AC.BE  AF  AC (1  CE )  AC BE BC BF  FC FC      1   CE BF BF  CE AF BF BF  1  EC     EC  0,25 0,25  CD  EC   0.25 Câu (2,0 điểm) Cho phương trình x  y  z  3xyz (1) Mỗi số  x, y, z  x, y, z số nguyên dương thỏa mãn (1) gọi nghiệm nguyên dương phương trình (1) Nội dung 4a) Tìm tất nghiệm nguyên dương có dạng  x, y, y  phương trình (1) Giả sử phương trình có nghiệm nguyên dương  x, y, y  Khi thay vào phương trình ta được: x  y  y  xy  x  y  xy suy x  y  x  y  x  ty Thay trở lại phương trình ta t y  y  3t y y  t   3ty Điểm 1,00 0,25 0,25 Từ phương trình ta 2 t  t  1, 2 0,25 Với t   y   x  Với t   y   x  Do phương trình cho có hai nghiệm ngun dương dạng 0,25  x, y, y  là: 1,1,1 ,  2,1,1 4b) Chứng minh tồn nghiệm nguyên dương  a, b, c  phương trình (1) thỏa mãn điều kiện a; b; c  2017 Trong kí hiệu a; b; c số nhỏ 1,00 ba số a, b, c Ta có x  1, y  2, z  nghiệm phương trình cho Giả sử a  a; b; c với a  b  c thỏa mãn a  b  c  3abc Xét phương trình:  a  d   b  c   a  d  bc  2ad  d  3bcd 0,25  d  3bc  2a  N * 0,25 Suy phương trình (1) có nghiệm  a '; b; c  với a '  a  d Do a  b  c , suy a '; b; c  a; b; c  a 0,25 Lặp lại trình sau không 2017 lần ta a; b; c  2017 0,25 Câu (1,0 điểm) Cho số tự nhiên n  số nguyên dương a1 , a2 , , an  thỏa mãn điều kiện  a1  a2   an   3n Chứng minh tồn hai số , a j (1  j  i  n  2; i, j  ) cho n   a j  2n Nội dung Điểm cho bn   3n chuyển xét dãy số  b1  b2   bn   3n Khi ta cần chứng minh tồn hai số bi , b j (1  j  i  n  2; i, j  ) cho n  bi  b j  2n 0,25 Với k đặt bi   k   a j    k    a j  k   bi  b j (2) Do ta chọn k Xét trường hợp: Nếu tồn j  1, 2, , n  1 cho n  b j  2n ta có: n  bn   b j  2n 0,25 Nếu với j  1, 2, , n  1 ta có b j   n  1; 2n  1 số b1 , b2 , , bn 1  1, 2, ,3n  1 \ n  1, , 2n  1 Các số thuộc tập 0,25 1, 2, ,3n  1 \ n  1, , 2n  1 chia thành n cặp số: 1; 2n  ,  2; 2n  1 , ,  n; 3n  1 Do n  số b1 , b2 , , bn 1 , tồn số bi , b j ( j  i ) thuộc cặp, chẳng hạn  t; 2n  t  1 hay n  bi  b j  2n  t   t  2n   2n Theo (2) từ cặp số bi , b j thỏa mãn 0,25 n  bi  b j  2n tồn cặp số , a j thỏa mãn n   a j  2n Lưu ý chấm bài: - Hướng dẫn chấm (HDC) trình bày cách giải bao gồm ý bắt buộc phải có làm học sinh Khi chấm học sinh bỏ qua bước khơng cho điểm bước - Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo ý đáp án điểm - Trong làm, bước bị sai phần sau có sử dụng kết sai khơng điểm - Bài hình học khơng vẽ hình phần khơng cho điểm phần - Điểm tồn tính đến 0,25 khơng làm trịn -Hết - ...KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2017 – 2018 SỞ GD? ?T VĨNH PHÚC HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN (Dành cho chun Tốn, chun Tin... chấm (HDC) trình bày cách giải bao gồm ý bắt buộc phải có làm học sinh Khi chấm học sinh bỏ qua bước khơng cho điểm bước - Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo ý đáp án điểm - Trong làm, bước... a  d Do a  b  c , suy a '; b; c  a; b; c  a 0,25 Lặp lại trình sau không 2017 lần ta a; b; c  2017 0,25 Câu (1,0 điểm) Cho số tự nhiên n  số nguyên dương a1 , a2 , , an  thỏa