Cực trị hình học – Nguyễn Thúy Hằng

Tài liệu gồm 75 trang được biên soạn bởi tác giả Nguyễn Thị Thúy Hằng, hệ thống lại các phương pháp giải toán cực trị hình học bằng các công cụ toán học đã có, giúp học sinh ôn tập chuẩn bị cho kỳ thi học sinh giỏi môn Toán bậc THCS và THPT.

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Nguyễn Thị Thúy Hằng CỰC TRỊ HÌNH HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2013 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Nguyễn Thị Thuý Hằng CỰC TRỊ HÌNH HỌC Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS NGUYỄN VIỆT HẢI Thái Nguyên - 2013 i Mục lục Mở đầu 1 Giải tốn cực trị hình học hình học túy 1.1 1.2 Các tính chất, định lý so sánh đại lượng hình học 1.1.1 Bất đẳng thức tam giác 1.1.2 So sánh đường xiên - hình chiếu ngược lại 1.1.3 Quan hệ đường kính dây đường tròn 1.1.4 Liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây 1.1.5 Quan hệ diện tích chu vi hình Các ví dụ 1.2.1 Ví dụ sử dụng quan hệ đường vng góc, đường xiên, hình chiếu 1.2.2 1.3 1.4 Ví dụ sử dụng mối quan hệ đoạn thẳng đường gấp khúc 1.2.3 Ví dụ áp dụng bất đẳng thức đường tròn 10 1.2.4 Ví dụ ứng dụng diện tích tìm cực trị 11 Các tính chất, định lý so sánh đại lượng hình học khơng gian 17 1.3.1 Các tính chất, định lý 17 1.3.2 Ví dụ 18 Phương pháp biến hình 20 1.4.1 Hệ thống phép biến hình phẳng khơng gian 20 1.4.2 Nội dung phương pháp 21 1.4.3 Áp dụng phép biến hình mặt phẳng 21 ii Giải tốn cực trị hình học công cụ đại số 2.1 2.2 Bất đẳng thức đại số 29 2.1.1 Định nghĩa bất đẳng thức đại số 29 2.1.2 Các bất đẳng thức hay dùng 30 2.1.3 Nội dung phương pháp 31 2.1.4 Các ví dụ (hình học phẳng hình học khơng gian) 31 Giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số 44 2.2.1 Hàm số giá trị cực trị hàm số 44 2.2.2 Nội dung phương pháp: 46 2.2.3 Các ví dụ (hình học phẳng hình học khơng gian) 46 Giải tốn cực trị hình học phương pháp khác 3.1 3.2 29 54 Phương pháp đường mức 54 3.1.1 Khái niệm đường mức 54 3.1.2 Nguyên lý tiếp xúc đường mức 54 3.1.3 Một số dạng đường mức 55 3.1.4 Nội dung phương pháp 59 3.1.5 Ví dụ áp dụng 59 Kết hợp phương pháp 61 3.2.1 Kết hợp phương pháp hình học túy phương pháp tọa độ 3.2.2 Giải tốn cực trị kết hợp phương pháp hình học túy phương pháp đại số 3.2.3 61 65 Giải toán cực trị kết hợp phép đối xứng trục phương pháp tọa độ Tài liệu tham khảo 66 70 iii Lời cảm ơn Luận văn hồn thành hướng dẫn tận tình thầy giáo PGS.TS Nguyễn Việt Hải Tôi xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến Thầy Trong trình học tập làm luận văn, từ giảng Giáo sư, Phó Giáo sư cơng tác Viện Tốn học, Thầy Cơ Đại học Thái Nguyên, tác giả trau dồi thêm nhiều kiến thức phục vụ cho việc nghiên cứu cơng tác thân Từ đáy lịng mình, tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới Thầy Cô Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo Khoa học Quan hệ quốc tế, Khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Tôi gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu đồng nghiệp trường THPT An Hải - Hải Phòng động viên, giúp đỡ tơi nhiều q trình hồn thành luận văn Cuối xin gửi lời cảm ơn tới gia đình ln động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho học tập nghiên cứu Tác giả Nguyễn Thị Thúy Hằng Mở đầu Trong chương trình tốn phổ thơng, học sinh nhiều lần nghe khái niệm "lớn nhất, nhỏ nhất, giá trị cực đại, giá trị cực tiểu", khái niệm liên quan đến tốn cực trị Ngay học Trung học sở, học sinh gặp tốn như: "Tìm diện tích lớn tam giác, tứ giác" hay "xác định vị trí đường thẳng a để diện tích tam giác ABC nhỏ nhất", Các đại lượng hình học học phổ thơng là: Độ dài, số đo góc, diện tích, thể tích Liên quan đến đại lượng hình học tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ đại lượng mà ta gọi tắt tốn cực trị hình học Nhiều tốn cực trị hình học dẫn đến cách chứng minh đặc sắc Chúng có tác dụng phát triển tư lơgic, phát huy tính linh động sáng tạo nghiên cứu tốn Chính nhiều tốn cực trị hình học chọn kỳ thi học sinh giỏi tốn tồn quốc bậc THCS THPT Bài tốn cực trị hình học thường phát biểu dạng sau: Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất, hay giá trị nhỏ đại lượng đó; Dạng 2: Xác định vị trí (điểm, đường thẳng, mặt phẳng ) để đại lượng hình học đạt giá trị lớn hay nhỏ Bài tốn tìm cực trị xuất có chuyển động đối tượng hình học có đại lượng hình học biến thiên Ý nghĩa tốn cực trị: Bài tốn cực trị hình học thường liên quan đến thực tiễn Để giải toán người làm toán phải biết tổng hợp kiến thức khác Toán học thường kiến thức đại số, hình học, giải tích, Mở rộng tốn cực trị tốn tối ưu hóa, tốn cực trị hình học cịn có tính ứng dụng cao lý thuyết thực hành Đó lý để tác giả chọn đề tài luận văn "Cực trị hình học" Phạm vi luận văn tìm hệ thống lại phương pháp giải tốn cực trị hình học cơng cụ tốn học có Ngồi phần mở đầu nội dung luận văn chia làm ba chương Chương dành để trình bày Giải tốn cực trị hình học cơng cụ hình học tuần túy Chương đề cập đến Giải tốn cực trị hình học cơng cụ đại số Chương trình bày phương pháp khác để giải tốn khó Phương pháp đường mức kết hợp phương pháp khác Khi gặp toán cực trị ta thường suy nghĩ theo hướng sau: Thứ nhất: Dùng phương pháp hình học túy để khảo sát biểu thức cần tìm cực trị Thứ hai: Đặt đại lượng thay đổi biến t viết biểu thức cần khảo sát thành hàm biến t Sau khảo sát hàm vừa tìm phương pháp đại số Thứ ba: Dùng bất đẳng thức đại số để đánh giá biểu thức cần khảo sát Dưới ví dụ sử dụng ba hướng suy nghĩ Ví dụ 0.1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , viết phương trình đường thẳng ∆ qua M (1; 2) cắt trục Ox, Oy A, B khác O cho 1 + OA OB bé Giải Ở ví dụ này, ta trình bày theo ba hướng: Hướng 1: Hạ OH⊥∆, tam giác vng OAB , ta có: 1 1 + = ≥ 2 OA OB OH OM (không đổi) Dấu đẳng thức xảy khi: H ≡ M ⇔ OM ⊥∆ 1 + đạt giá trị bé đường thẳng ∆ qua điểm M (1; 2) OA2 OB−− → có vectơ OM (1; 2) Vậy Hình 1: Vậy đường thẳng ∆ cần tìm (x − 1) + (y − 2) = ⇔ x + 2y − = Nhận xét: 1 + = chuyển biểu thức ban đầu với hai 2 OA OB OH đại lượng biến thiên OA, OB biểu thức đại lượng biến thiên OH - Phép biến đổi - Cách giải không mở rộng cho toán tổng quát hơn: xác định a b + nhỏ (a > 0, b > 0) OA OB Hướng 2: Đường thẳng ∆ qua điểm M (1; 2) không qua gốc nên vị trí đường thẳng ∆ để đường thẳng có hệ số góc k với k = 0, k = Khi đó: ∆ : y − = k (x − 1) ⇔ y = kx − k + Ta có: A k−2 1 k2 + ; , B (0; − k) + = k OA2 OB (k − 2)2 Xét hàm số: f (k) = k2 + (k = 0, 2) (k − 2)2 −4k + 6k + f (k) = (k − 2)4  Ta có f (k) = ⇔ −4k + 6k + = ⇔  k=2 Ta dễ lập bảng biến thiên hàm số f (k) Từ suy Vậy f (k) nhỏ k = − 1 Do + nhỏ k = − ⇔ x + 2y − = 2 OA OB Hướng 3: Giả sử A (m; 0) , B (0; n) , m, n = k=− Khi ∆ : x y 1 + = qua điểm M (1; 2) nên + =1 m n m n Áp dụng bất đẳng thức Svars ta có: 1= + m n ≤ 12 + 22 1 + m n Dấu đẳng thức xảy khi:   + =1   m n        + =1  n= m n ⇔ ⇔     m = 2n m =  m  =    n 1 1 + = + ≥ OA2 OB m2 n2 5 Dấu xảy m = 5, n = nghĩa x + 2y − = Như Trong phần trình bày chi tiết nội dung phương pháp minh họa ví dụ cụ thể Chương Giải tốn cực trị hình học hình học túy 1.1 Các tính chất, định lý so sánh đại lượng hình học 1.1.1 Bất đẳng thức tam giác Ta có kết sau xem [10] • Trong tam giác, tổng độ dài hai cạnh lớn độ dài cạnh cịn lại • Trong tam giác, hiệu độ dài hai cạnh nhỏ độ dài cạnh cịn lại • Trong tam giác, độ dài cạnh lớn hiệu nhỏ tổng độ dài hai cạnh lại AB ≤ AC + CB (Dấu “=” xảy C A,B) • Đoạn thẳng nối hai điểm có độ dài ngắn so với đường gấp khúc nói hai điểm • Trong tam giác, đối diện với cạnh lớn góc lớn • Trong tam giác, cạnh đối diện với góc lớn cạnh lớn 56 Tìm đường mức r f Giải Theo định nghĩa đường mức h = {M |f (M ) = h} = M |M A2 +M B = h Từ đó, + Nếu r ≤ 0, tập √ đường mức tập rỗng AB , đường mức đường tròn với tâm trung điểm AB AB , bán kính Rh = h2 − + Nếu h > Bài toán 3.4 Cho A B điểm cố định mặt phẳng f (M ) = M A2 − M B , r số thực cho trước Khi họ đường mức r f đường thẳng vng góc với AB Bài tốn 3.5 Cho A, B thuộc E , với λ ∈ R, ta ký hiệu λ −−→ −−→ = M ∈ E |M A.M B = λ Tìm đường mức λ Giải Ký hiệu I trung điểm AB , ta có với M thuộc: E −−→ −−→ −−→ − → −−→ −→ −−→ M A.M B = (M I+IA)(M I+IB) = M I − AB −−→ −−→ Do đó, M A.M B = λ ⇔ IM = λ + AB - Nếu λ < − AB λ = ∅ (rỗng) - Nếu λ = − AB r = {I} - Nếu λ > − AB r đường trịn tâm I , bán kính biệt, đường trịn đường kính AB λ + AB Đặc Bài toán 3.6 Giả sử α1 , α2 , , αn số thực cho trước, A1 , A2 , , An n điểm cố định mặt phẳng với M thuộc E xét hàm điểm f (M ) = α1 |M A1 |2 + α2 |M A2 |2 + + αn |M An |2 (hàm vô hướng Leibniz), với λ ∈ R, ký hiệu λ = M ∈ E |f (M ) = λ Ta tìm λ Giải Gọi O điểm cố định mặt phẳng Với điểm M ta có: 57 n −−→ −−−→2 αi (OAi − OM ) f (M ) = i=1 n n −→ αi OAi − 0, 7cm = i=1 −→ αi OAi n −−→ OM + i=1 n Trường hợp 1: OM2 αi i=1 αi = Lấy điểm G tâm tỷ cự hệ điểm A1 , ,An i=1 n −−→ → − GAi = ) (đó điểm thỏa mãn i=1 n Thay O G ta có với điểm M : f(M) = f(G) + Như với mọi: λ ∈ R M ∈ λ ⇔ GM2 = αi GM2 i=1 −1 n αi (λ − f(G)) i=1 Từ đó, −1 n - Nếu (λ − f(G)) < αi =∅ λ i=1 - Nếu f(G) = λ −1 n - Nếu λ = {G} (λ − f(G)) > αi đường trịn tâm O, bán kính R λ i=1 −1 n R= (λ − f(G)) αi i=1 n Trường hợp 2: αi = Khi với điểm M ta có: i=1 n f(M) = f(O) − −−→ −−→ OAi OM i=1 Ta ý với O O thuộc mặt phẳng n −−→ αi O A i = i=1 n −−→ −−→ αi (OO + OAi ) = i=1 n nên suy véctơ −−→ OO+ n αi i=1 n −−→ αi OAi = i=1 n −−→ αi OAi i=1 −−→ αi OAi không phụ thuộc việc chọn O Như vậy, i=1 n −−→ → − αi OAi = f(O) = λ - Nếu tồn O mặt phẳng mà λ i=1 n −−→ → − αi OAi = f(O) =λ - Nếu tồn O mặt phẳng mà i=1 n −−→ → − αi OAi = - Nếu tồn O mặt phẳng mà n trực giao với véc tơ λ λ = ∅ = E2 đường thẳng i=1 −−→ αi OAi i=1 Bài toán3 Cho A, B phân biệt, λ ∈ R, ký hiệu tìm λ Giải λ = M ∈ E2 −{B}| MA = λ Ta MB 58 MA = đường trung trực AB Ta MB giả thiết λ = Gọi O trung điểm AB , −→ − −→ − − a = ||AB||, → e1 = −→ AB, → e2 = QOπ (→ e1 ) ||AB|| − − Như (O, → e1 , → e2 ) hệ tọa độ Đề vng góc A(−a, 0), B(a, 0) Với Trước hết, = M ∈ E2 −{B}| λ = 1, M thuộc E2 − {B} ta có: ⇔ (x + a)2 + y = λ2 [(x − a)2 +y2 ] + λ2 ⇔ x2 + y + 2a x + a2 = − λ2 2 + λ2 2aλ = ⇔ x+a + y − λ2 − λ2 M∈ λ Như vậy, với λ ∈ R − {1}, kính R = đổi λ đường tròn tâm Iλ −a + λ2 ; , bán − λ2 2aλ Bài đưa trường hợp đặc biệt f với biến − λ2 MA = λ ⇔ MA2 − λ2 MB2 = MB Bài toán 3.8 Cho hai đường thẳng m, n cắt f (M ) = d(M, m) + d(M, n) Tìm đường mức hàm f (M ) Giải Cho r số thực dương, ta tìm r = M ∈ E2 |f(M) = r Từ toán quỹ tích điểm M cho tổng khoảng cách từ đến cạnh góc r khơng đổi, ta suy đường mức r f hình chữ nhật có đường chéo đường thẳng m, n Hình vẽ biểu diễn: Hình 3.2: 59 3.1.4 Nội dung phương pháp • Tìm hàm điểm f (M ) • Tìm dạng đường mức hàm f (thường quỹ tích biết) • Xác định điểm tiếp xúc đường mức với đường có 3.1.5 Ví dụ áp dụng Ví dụ 3.1 Trên đường thẳng d tìm điểm M mà khoảng cách từ đến điểm O cho trước nhỏ Giải Đây toán đơn giản, ta muốn giải nguyên tắc đường mức để minh họa: Gọi f (M ) = OM , cho r số thực đường mức f đường trịn tâm O, bán kính r Điểm mà f (M ) đạt cực trị tiếp điểm d với đường mức Trên hình vẽ điểm H Hình 3.3: Ví dụ 3.2 Trên đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC tìm điểm M cho tổng f (M ) = |MA|2 + |MB|2 + |MC|2 đạt giá trị a) Nhỏ b) Lớn Giải Áp dụng kết đường mức λ = M ∈ E2 |f(M) = MA2 +MB2 +MC2 = λ f ta có: f(M) = f(G) + 3GM2 = 3GM2 + GA2 +GB2 +GC2 (G trọng tâm tam giác) Như với λ ∈ R: M ∈ λ ⇔ GM2 = 31 [λ − (GA2 +GB2 +GC2 )] 60 Từ đó, - Nếu λ < (GA2 +GB2 +GC2 ) λ =∅ - Nếu λ = (GA2 +GB2 +GC2 ) λ = {G} - Nếu λ > (GA2 +GB2 +GC2 ) , Rλ = λ đường trịn đồng tâm G, bán kính Rλ λ − (GA2 +GB2 +GC2 ) Ta suy điểm tiếp xúc hay đường trịn tâm G, bán kính Rλ với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tương ứng điểm để f (M ) đạt giá trị nhỏ hay lớn Không phải áp dụng phương pháp đường mức Với quỹ tích xác định tốn tìm cực trị đường mức cho ta cách giải hay Để chứng tỏ điều đó, giải thêm tốn sau so sánh với cách giải thông thường Bài tập Bài 3.1 Cho đường tròn γ hai điểm A, B Hãy tìm điểm M γ cho tam giác AM B có: a) Diện tích lớn b) Tổng bình phương cạnh lớn c) Chu vi lớn Bài 3.2 Trong hình thang ABCD(AB//CD) tìm điểm M cho tổng khoảng cách từ đến cạnh hình thang a) Nhỏ b) Lớn Xét toán trường hợp góc C vng tam giác ABC Bài 3.3 Trong góc Opq cho tập hợp Ω Tìm điểm X thuộc tập hợp Ω cho tổng khoảng cách từ đến cạnh góc Opq nhỏ Xét trường hợp đặc biệt: Ω điểm; Ω đoạn thẳng; Ω đa giác; Ω hình trịn Bài 3.4 Trong mặt phẳng cho đường thẳng d điểm A, B phía 61 d Hãy tìm d điểm M cho từ M nhìn đoạn thẳng AB góc lớn Bài 3.5 Hãy tìm tam giác ABC có góc A lớn theo đường cao cho trước hạ từ A trung tuyến cho trước xuất phát từ B Bài 3.6 Trên đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC tìm điểm M cho tổng h (M ) = |MA|2 + 2|MB|2 − 3|MC|2 đạt giá trị a) Nhỏ b) Lớn 3.2 Kết hợp phương pháp [11] 3.2.1 Kết hợp phương pháp hình học túy phương pháp tọa độ Bài toán xuất phát: Chúng ta xét toán tổng quát: Cho hai điểm A, B đường thẳng d Tìm điểm M d cho M A + M B nhỏ Có thể xảy trường hợp sau Trường hợp 1: Đường thẳng AB đường thẳng d đồng phẳng Có hai khả a) A, B nằm khác phía d (Hình 3.4) Với điểm M, A, B ta ln có: MA + MB ≥ AB nên AB cố định, MA + MB nhỏ M, A, B thẳng hàng Suy M = AB ∩ d b) A, B nằm phía d (Hình 3.5) Ta dựng A điểm đối xứng với A qua d Vì MA + MB = MA + MB ≥ A B nên M A+M B nhỏ M, A , B thẳng hàng Suy M = A B∩d Như trường hợp 1, toán cho toán phẳng ta giải trọn vẹn phương pháp Hình học túy (dưới dạng tốn dựng 62 Hình 3.4: Hình 3.5: hình, sử dụng phương pháp "3 điểm" phép đối xứng trục) Trường hợp sau tốn khơng gian chiều Trường hợp 2: Đường thẳng AB d không đồng phẳng Hình 3.6: Ta dùng phương pháp tọa độ chuyển tốn tìm giá trị nhỏ hàm số Trong không gian xét hệ tọa độ Oxyz , chọn O điểm A cịn điểm đơn vị B Như A(0; 0; 0), B(1; 0; 0) Giả sử đường thẳng d có 63 phương trình x − x0 y − y0 z − z0 = = a b c Điểm M thuộc đường thẳng d ta coi M có tọa độ phụ thuộc t: M(x0 + ta; y0 + tb; z0 + tc) (x0 + ta)2 + (y0 + tb)2 + (z0 + tc)2 Như thế, MA = MO = = (a2 + b2 + c2 )t2 + [x0 a + y0 b + z0 c] t + x0 + y0 + z0 = (αt + β)2 + γ MB = = (x0 − + ta)2 + (y0 + tb)2 + (z0 + tc)2 (a2 + b2 + c2 )t2 + [(x0 − 1)a + y0 b + z0 c] t + (x0 − 1)2 + y0 + z0 = (αt + λ)2 + δ Do đó, MA + MB = (αt + β)2 + γ + (αt + λ)2 + δ (Chú ý tam thức bậc hai không âm at2 + bt + c viết dạng (αt + β)2 + γ ) − − Đặt → u = (αt + β; γ); → v = (−αt − β; δ) Khi ta có − − − − f (t) = |→ u | + |→ v | ≥ |→ u +→ v|= (β − λ)2 + (γ + δ)2 αt + β γ Dấu xảy = > tương đương với t = −αt − λ δ λγ + βδ − , γδ > 0, từ ta tìm tọa độ M α(δ + γ) Tiếp theo ta giải Bài toán xuất phát minh họa cho cách xử lý Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(1; 1; 0), B(3; −1; 4) đường thẳng d có phương trình: d : x+1 y−1 z+2 = = Tìm điểm M −1 d cho M A + M B nhỏ Hình 3.7: Vì M thuộc d nên M(−1 + t; − t; −2 + 2t) Suy 64 MA = MB = √ (t − 2)2 + (−t)2 + (2t − 2)2 = √ 6t2 − 12t + 6t2 − 36t + 56 Bài tốn trở thành tìm GTNN hàm số f (t) = 6t2 − 12t + + 6t2 − 36t + 56 √ √ √ 6t − + + 6t − + √ √ √ √ √ √ − − Đặt → u = ( 6t − 6; 2), → v = (− 6t + 6; 2) − − − − Khi ta có f (t) = |→ u | + |→ v | ≥ |→ u +→ v| √ √ √ Suy f (t) ≥ + 2 =4 → − → − √Dấu √bằng xảy √ hai vectơ u v hướng hay 6t − √ √ = √ >0 − 6t + Tương đương với t = 2, thay vào tọa độ M M (1; −1; 2) Ta viết f (t) = √ Chú ý Trong cách giải ta sử dụng bất đẳng thức hình học, cách giải thực hệ số hai biểu thức Nhận xét Cho A (xA ; yA ; zA ) , B (xB ; yB ; zB ) mặt phẳng (α): Bài tốn 3.9 Tìm M ∈ (α) cho MA + MB nhỏ a/) Nếu A B khác phía so với (α) M = AB ∩ (α) b) Nếu A B phía so với (α) M = AB ∩ (α) (B’ điểm đối xứng B qua mặt phẳng (α) ) Bài tốn 3.10 Tìm N ∈ (α) cho |NA − NB| lớn a) Nếu A B khác phía so với (α) N = AB ∩ (α) (B’ điểm đối xứng B qua mặt phẳng (α) ) b) Nếu A B phía so với (α) N = AB ∩ (α) Bài tập Bài 3.7 Cho đường thẳng d : A(0; 1; 2), B(−1; 2; 3) Tìm M thuộc d cho a) MA2 +MB2 nhỏ b) MA + MB nhỏ −−→ −−→ −−→ −−→ c) |2MA − MB| nhỏ d) |2MA + MB| nhỏ x y−1 z+1 = = hai điểm −2 65 Bài 3.8 Tìm M, N ∈ (α) cho MA + MB nhỏ với a) A (1; 1; 2) , B (2; 1; −3) , (α) : 2x + y − 3z − = b) A (−7; 4; 4) , B (−6; 2; 3) , (α) : 3x − y − 2z + 19 = c) A (1; 0; 2) , B (2; −1; 3) , (α) : x − 2y + z − = d) A (1; 1; 0) , B (0; −1; 1) , (α) : x − 2y + z − = 3.2.2 Giải toán cực trị kết hợp phương pháp hình học túy phương pháp đại số Bài tốn Cho bìa hình vng cạnh a Cắt theo cạnh hình vng tam giác cân nhau; gấp lên ghép lại thành hình chóp tứ giác Tìm kích thước hình chóp để tích lớn Giải Giả sử hình chóp tứ giác S.ABCD dựng được, có cạnh đáy x Trải mặt bên mặt phẳng đáy, ta có hình khai triển hình chóp hình vẽ (các đỉnh hình vng trùng với đỉnh hình chóp) Hình 3.8: √ a Bây ta xét với giá trị x < x ≤ , thoả mãn yêu cầu đề bài? Gọi V thể tích hình chóp S.ABCD, có đường cao SH ta có: V = x2 SH 66 Gọi M trung điểm AB , tam giác vuông SM H có: SH = SM − HM √ a x x Dễ thấy SM = − HM = 2√ 2 a ax Vậy V = x2 − 2 √ √ a3 2 √ Đặt t = x/ a 2/2 ta V = x t − t (0 < t ≤ 1) √ V đạt giá trị lớn t2 − t đạt giá trị lớn Chuyển t2 vào t thức áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho số số − t, ta tìm 4 t = √ Suy x = a 2, thoả mãn điều kiện đặt V đạt giá trị lớn √ Vậy hình chóp có cạnh đáy x = a thỏa mãn yêu cầu 3.2.3 Giải toán cực trị kết hợp phép đối xứng trục phương pháp tọa độ Bài toán Trong mặt phẳng Oxy cho d : x + 2y − = 0, điểm A (1; 4) , B (6; 4) a) Chứng minh : A B nằm phía d Tìm A đối xứng với A qua d b) Tìm M ∈ d cho M A + M B nhỏ c) Tìm M ∈ d cho |M A − M B| nhỏ Giải a) tA tB = (1 + − 4) (6 + − 4) = 5.10 = 50 > ⇒ A B nằm phía d Áp dụng cách tìm điểm đối xứng A + AA ⊥d + Trung điểm I AA thuộc d Giải hệ phương trình A (−1; 0) b) Ta có M A + M B = M A + M B ≥ A B = √ 65 √ Vậy giá trị nhỏ M A + M B 65 đạt M = A B ∩ d 4 Viết phương trình A B , Giải hệ suy M ; 3 c) Ta có |M A − M B| ≥ AB = Vậy giá trị nhỏ |M A − M B| đạt N = AB ∩ d, N (−4; 4) 67 Chú ý: Trong giải toán tìm cực trị hình học, việc áp dụng phần mền hình học động để đốn nhận có ý nghĩa trực quan hiệu Chẳng hạn ta xét phần mền GSP toán cực trị * Dự đoán nhờ mơ hình động (GSP) Bài tốn Cho điểm M di động đường trịn tâm O, đường kính AB Hạ M H⊥AB , M H lấy điểm N cho HN = HM Xác định vị trí điểm M đường trịn để ON lớn nhất, nhỏ Giải Từ suy vị trí cần tìm M cách xác định tọa độ điểm M (Trung Hình 3.9: điểm cung AB) Sau dùng phần mềm GSP dự đoán vị trí điểm M để ON lớn M ≡ A M ≡ B Vị trí điểm M để ON nhỏ M trung điểm cung AB Ta dùng phương pháp tọa độ để tìm quỹ tích điểm N sau : Giả sử O (0; 0) , A (−R; 0) , B (0; R) , R = AB Gọi M (xM , yM ),vì M thuộc đường trịn tâm O, bán kính R, x2 + y = R2 Gọi tọa độ N (xN ; yN ) Do HN = HM nên ta có xM = xN ; yM = yN 68 Thay tọa độ M vào phương trình đường tròn ta = R2 ⇔ x2N + 9yN x2N + R2 yN R = Quỹ tích điểm N elip với phương trình x2 + R2 y2 R =1 Trong chương trình THCS THPT để giải tốn quỹ tích (tìm cực trị) thường phải mị mẫm để tìm quỹ tích từ tìm cách giải Với phần mền GSP việc tìm quỹ tích tốn trở nên đơn giản nhiều Nó giúp cho tìm quỹ tích cách xác đồng thời hộ trợ tốt qua trình giảng dạy giáo viên Trên ví dụ 69 Kết luận Bài tốn cực trị hình học tốn khó (đương nhiên hay), việc đưa cách giải toán việc làm cần thiết phải cập nhật bổ xung thường xuyên Luận văn làm kết sau: Trình bày ba phương pháp để người làm toán lựa chọn đứng trước toán cực trị hình học: Phương pháp hình học túy, phương pháp đại số, phương pháp biến hình Hệ thống sưu tầm lại tập áp dụng trình bày chi tiết phương pháp để giải tốn cực trị hình học đến kết cuối Sự kết hợp phương pháp giải đặc biệt phương pháp đường mức suy nghĩ mạnh dạn tác giả để giải tập cực trị mức khó Hướng nghiên cứu luận văn mở rộng thêm vào vấn đề : Bất đẳng thức hình học, áp dụng phương pháp vectơ để giải tốn hình học tốn rộng toán tối ưu toán học 70 Tài liệu tham khảo [1] Văn Như Cương Hình học Afin Hình học Ơclit, NXB Đại học sư phạm Hà Nội, 2001 [2] Vũ Đình Hịa Chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn Trung học phổ thơng-Bất đẳng thức hình học, NXB Giáo dục, 2005 [3] Nguyễn Văn Hiến Bất đẳng thức tam giác, NXB Hải Phòng, 2000 [4] Lê Đình Phi Hình học sơ cấp, NXB Khoa học-Kỹ thuật, 1995 [5] Jean-Marie Monier Giáo trình Tốn-Tập 3, Giải tích, NXB Giáo dục, 2001 [6] Jean-Marie Monier Giáo trình Tốn-Tập 4, Giải tích, NXB Giáo dục, 2001 [7] Jean-Marie Monier Giáo trình Tốn-Tập 7, Hình học, NXB Giáo dục, 2001 [8] V.V Praxolov Các tốn hình học phẳng-Tập 1, Dịch từ tiếng Nga, Hồng Đức Chính, NXB Hải Phịng, 2009 [9] V.V Praxolov Các tốn hình học phẳng-Tập 2, Dịch từ tiếng Nga, Hồng Đức Chính, NXB Hải Phịng, 2009 [10] Tốn 7, 8, Sách giáo khoa, NXB Giáo dục Việt Nam, 2012 [11] Trang wed www.tailieu.vn [12] Đặng Huy Ruận Bài toán cực trị hình học, Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên, ĐHQGHN ... để đại lượng hình học đạt giá trị lớn hay nhỏ Bài tốn tìm cực trị xuất có chuyển động đối tượng hình học có đại lượng hình học biến thiên Ý nghĩa toán cực trị: Bài toán cực trị hình học thường... thiếu giải tốn cực trị hình học, phương pháp hình học túy Ngồi ta dùng phép biến hình để tìm cực trị hiệu dạng tốn dựng hình, dựng điểm đường thẳng 29 Chương Giải tốn cực trị hình học cơng cụ đại... thống lại kiến thức hình học liên quan chặt chẽ đến tốn cực trị hình học, mà chủ yếu hình học phẳng Mặc dù kiến thức đơn giản, so sánh đại lượng hình học với nhiều cơng cụ hình học đơn giản áp dụng