Trắc nghiệm VD – VDC nón – trụ – cầu – Đặng Việt Đông

Với mục đích hỗ trợ các em học sinh khối 12 trong quá trình học tập nâng cao các dạng toán trong chương trình Hình học 12 chương 2 – nón – trụ – cầu, ôn tập hướng đến kỳ thi Trung học Phổ thông Quốc gia môn Toán, thầy Đặng Việt Đông biên soạn cuốn tài liệu trắc nghiệm vận dụng – vận dụng cao chuyên đề nón – trụ – cầu.

MỤC LỤC MẶT NĨN TRỊN XOAY VÀ KHỐI NĨN………………………………………………… MẶT TRỤ TRỊN XOAY VÀ KHỐI TRỤ……………………………………………… …9 MẶT CẦU VÀ KHỐI CẦU………………………………………………………………… 21 ỨNG DỤNG THỰC TẾ 40 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao NĨN - TRỤ - CẦU I - MẶT NĨN TRỊN XOAY VÀ KHỐI NÓN A – LÝ THUYẾT CHUNG Mặt nón trịn xoay Nội dung Đường thẳng d ,  cắt O tạo thành góc  với 00    900 , mp P chứa d ,  P quay quanh trục  với     góc  khơng đổi  mặt nón tròn xoay đỉnh O  gọi trục d gọi đường sinh Góc  gọi góc đỉnh Khối nón Nội dung Là phần khơng gian giới hạn hình nón trịn xoay kể hình nón Những điểm khơng thuộc khối nón gọi điểm ngồi khối nón Những điểm thuộc khối nón khơng thuộc hình nón tương ứng gọi điểm khối nón Đỉnh, mặt đáy, đường sinh hình nón đỉnh, mặt đáy, đường sinh khối nón tương ứng Hình vẽ Cho hình nón có chiều cao h , đường sinh l bán kính đáy r Diện tích xung quanh: hình nón: S xq   rl Diện tích đáy (hình trịn): S đáy   r Diện tích tồn phần: hình nón: S   rl   r r h 3 MỘT SỐ DẠNG TỐN VÀ CƠNG THỨC GIẢI 3.1.Dạng Thiết diện hình nón cắt mặt phẳng Nội dung Thiết diện qua trục hình nón tam giác cân Thể tích khối nón: V  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Hình vẽ Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Thiết diện qua đỉnh hình nón tam giác cân có hai cạnh bên hai đường sinh hình nón Thiết diện vng góc với trục hình nón đường trịn có tâm nằm trục hình nón 3.2 Dạng Bài toán liên quan đến thiết diện qua đỉnh hình nón Cho hình nón có chiều cao h , bán kính đáy r đường sinh l Một thiết diện qua đỉnh hình nón có khoảng cách từ tâm đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện d Nội dung Hình vẽ Gọi M trung điểm AC Khi đó:  AC  SMI  I SM      SI Góc SAC  SI góc M d  I , SAC    IH  d Góc SAC ABC góc Diện tích thiết diện 1 Std  SSAC  SM.AC  SI  IM 2 AI  IM 2 h2d h2d 2  r2  h  h  d2 h2  d 3.3 Dạng Bài tốn hình nón ngoại tiếp nội tiếp hình chóp Nội dung Hình nón nội tiếp hình chóp S ABCD hình nón có đỉnh S , đáy đường trịn nội tiếp hình vng ABCD Khi hình nón có: AB Bán kính đáy r  IM  , Đường cao h  SI , đường sinh l  SM Hình vẽ Hình chóp tứ giác S ABCD S A D I M B C Hình nón ngoại tiếp hình chóp S ABCD hình nón có Hình chóp tứ giác S ABCD S đỉnh S , đáy đường tròn ngoại tiếp hình vng ABCD Khi hình nón có: Bán kính đáy: r  IA  Chiều cao: h  SI Đường sinh: l  SA AC AB  2 A D I B File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay C Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Hình nón nội tiếp hình chóp S ABC hình nón có đỉnh Hình chóp tam giác S ABC S S , đáy đường tròn nội tiếp tam giác ABC Khi hình nón có Bán kính đáy: r  IM  AM AB  Chiều cao: h  SI Đường sinh: l  SM A C I M B Hình nón ngoại tiếp hình chóp S ABC hình nón có đỉnh Hình chóp tam giác S ABC S S , đáy đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Khi hình nón có: Bán kính đáy: r  IA  2AM AB  3 Chiều cao: h  SI Đường sinh: l  SA C A M I B 3.4 Dạng Bài toán hình nón cụt Khi cắt hình nón mặt phẳng song song với đáy phần mặt phẳng nằm hình nón hình trịn Phần hình nón nằm hai mặt phẳng nói gọi hình nón cụt Nội dung Hình vẽ Khi cắt hình nón cụt mặt phẳng song song với đáy mặt cắt hình trịn Khi cắt hình nón cụt mặt phẳng song song với trục mặt cắt hình thang cân Cho hình nón cụt có R, r , h bán kính đáy lớn, bán kính đáy nhỏ chiều cao Diện tích xung quanh hình nón cụt:  r h  S xq   l R  r R Diện tích đáy (hình trịn): S đáy   r   S đáy   r  R  S   R  đáy Diện tích tồn phần hình nón cụt:     S   l R  r   r   R Thể tích khối nón cụt: V   h R  r  Rr   File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao 3.5 Dạng Bài tốn hình nón tạo phần cịn lại hình trịn sau cắt bỏ hình quạt Nội dung Hình vẽ   Từ hình trịn O; R cắt bỏ hình quạt AmB Độ dài cung  AnB Phần lại hình trịn ghép lại hình nón Tìm bán kính, chiều cao độ dài đường sinh hình nón Hình nón tạo thành có l  R  2  2 r  x  r  x  h  l  r x B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP 2019 LẦN 2) Cho tứ diện ABCD có DA vng góc với mp ABC , DB  BC , AD  AB  BC  a Kí hiệu V1, V2, V3 thể tích hình trịn xoay sinh tam giác ABD quay quanh AD , tam giác ABC quay quanh AB , tam giác DBC quay quanh BC Trong mệnh đề sau, mệnh đề ? A V1 V2 V3 B V1 V3 V2 C V2 V3 V1 D V1 V2 V3 Câu 2: (Chuyên Hưng Yên Lần 3) Cho hình nón đỉnh S có đáy đường trịn tâm O bán kính R Trên đường tròn  O lấy hai điểm A, B cho tam giác OAB vng Biết diện tích tam giác SAB R 2 Thể tích hình nón cho R3 14 A 12 R3 14 B R3 14 C R3 14 D Câu 3: (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Lần 1) Một khối nón có bán kính đáy cm , chiều cao cm Một mặt phẳng qua đỉnh tạo với đáy góc 0 chia khối nón làm phần Tính thể tích V phần nhỏ (Tính gần đến hàng phần trăm) 3 3 A V1,42cm B V  2,36cm C V1,53cm D V  2,47cm Câu 4: Cho khối nón trịn xoay có đường cao h  20 cm , bán kính đáy r  25 cm Một mặt phẳng (P) qua đỉnh khối nón có khoảng cách đến tâm O đáy 12 cm Khi diện tích thiết diện (P) với khối nón bằng: A 500 cm B 475 cm C 450 cm D 550 cm Câu 5: (THPT-n-Mơ-A-Ninh-Bình-2018-2019-Thi-tháng-4) Cho tam giác ABC cân A , biết ABC  30 , cho tam giác ABC (kể điểm trong) quay xung quanh đường AB  2a góc  thẳng AC khối trịn xoay Khi thể tích khối trịn xoay o A π a B π a C π a D     0    90  , AD  a Câu 6: Cho hình bình hành ABCD có BAD 2a3  ADB  900 Quay ABCD quanh AB, ta vật trịn xoay tích là: A V   a sin  B V   a sin  c os  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao sin2  cos  V   a D cos sin   Câu 7: Cho hình nón có bán kính đáy R, đường cao SO Gọi (P) mà mặt phẳng vng góc với SO C V   a O1 cho SO1  SO Một mặt phẳng qua trục hình nón cắt phần khối nón  nằm (P) đáy hình nón theo thiết diện hình tứ giác có hai đường chéo vng góc Tính thể tích phần hình nón  nằm mặt phẳng (P) mặt phẳng chứa đáy hình nón  7 R A  R3 B 26 R3 C 81 52 R3 D 81 Câu 8: (THTT số 3) Một hình thang cân có chiều cao h độ dài hai đáy a, b Tính thể tích vật thể trịn xoay thu quay hình thang quanh đường trung trực hai đáy  h  a  ab  b  C  h  a  ab  b  12 A B  h  a  ab  b  D Cả A, B, C sai Câu 9: (Hải Hậu Lần1) Cho hình trụ T  có chiều cao h  m , bán kính đáy r  3m Giả sử  L  hình lăng trụ n cạnh có hai đáy đa giác nội tiếp đường trịn đáy hình trụ T  Khi n tăng lên vơ hạn tổng diện tích tất mặt của khối lăng trụ  L  (tính m2 ) có giới hạn là: A S  12 B S  20 C 30 D 12 Câu 10: (Sở Bắc Ninh) Cho hình chóp S.ABCD có SA vng góc với mặt phẳng  ABCD  , tứ giác ABCD hình thang vuông với cạnh đáy AD , BC AD  3CB  3a , AB  a , SA  a Điểm I thỏa   mãn AD  AI , M trung điểm SD , H giao điểm AM SI Gọi E , F hình chiếu A lên SB , SC Tính thể tích V khối nón có đáy đường trịn ngoại tiếp tam giác EFH đỉnh thuộc mặt phẳng  ABCD   a3  a3  a3  a3 A V  B V  C V  D V  5 5 10 Câu 11: Thể tích V khối trịn xoay thu quay hình thang ABCD quanh trục OO , biết OO   80, O D  24, O C  12, OA  12, OB  A V  43200 B V  21600 C V  20160 D V  45000 Câu 12: Cho ba hình tam giác cạnh a chồng lên hình vẽ (cạnh đáy tam giác qua trung điểm hai cạnh bên tam gác dưới) Tính theo a thể tích khối trịn xoay tạo thành quay chúng xung quanh đường thẳng d File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 13 3 a3 A 96 11 3 a3 B 96 Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao 3 a3 C Câu 13: (Nguyễn Trãi Hải Dương Lần1) Cho hình chữ nhật ABCD có AB  , 11 3 a3 D AD nằm mặt phẳng  P  Quay  P  vòng quanh đường thẳng BD Khối tròn xoay tạo thành tích 28 28 56 56 A B C D 9   90 , AB  BC  a , AD  2a Câu 14: (Cụm trường chun lần1) Cho hình thang ABCD có A  B Tính thể tích khối trịn xoay sinh quay hình thang ABCD xung quanh trục CD 7 a3 7 a3 2 a3 B C D 12 12 Câu 15: Một hình nón bị cắt mặt phẳng  P  song song với đáy Mặt phẳng  P  chia hình nón làm hai 2 a3 A phần  N1   N  Cho hình cầu nội tiếp  N  hình vẽ cho thể tích hình cầu nửa thể tích  N  Một mặt phẳng qua trục hình nón vng góc với đáy cắt  N  theo thiết diện hình thang cân, tang góc nhọn hình thang cân N1 N2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao A B C D Câu 16: (CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ HỊA BÌNH LẦN NĂM 2019) Cho hình thang ABCD vng A D có CD  AB  AD  Thể tích khối trịn xoay sinh hình thang ABCD quay xung quanh đường thẳng BC A B D C A 28  B 20  C 32  D Câu 17: Trong hình nón trịn xoay có diện tích tồn phần nhất? A  B  12 C A r B r C  Tính thể tích hình nón lớn  D Câu 18: Tìm hình nón tích nhỏ ngoại tiếp mặt cầu bán kính r 10   cho trước tích bằng: r D r Câu 19: Cho hình nón  N  có đáy hình trịn tâm O Đường kính 2a đường cao SO  a Cho điểm H thay đổi đoạn thẳng SO Mặt phẳng  P  vng góc với SO H cắt hình nón theo đường trịn  C  Khối nón có đỉnh O đáy hình trịn  C  tích lớn bao nhiêu? 2 a3 A 81 4 a3 B 81 Câu 20: Cho hình nón có chiều cao h Tính chiều cao nón theo h A x  h B x  h 7 a3 C 81 8 a D 81 x khối trụ tích lớn nội tiếp hình C x  2h D x  h Câu 21: Cho hình nón đỉnh S , đáy hình trịn tâm O , góc đỉnh 120 Trên đường tròn đáy, lấy điểm A cố định điểm M di động Có vị trí điểm điểm M để diện tích tam giác SAM đạt giá trị lớn nhất? A B C D vô số Câu 22: Cho nửa đường trịn đường kính AB  2R điểm C thay đổi nửa đường trịn đó, đặt  gọi H hình chiếu vng góc C lên AB Tìm  cho thể tích vật thể   CAB tròn xoay tạo thành quay tam giác ACH quanh trục AB đạt giá trị lớn A   60 B   45 C arctan File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D   30 Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Câu 23: Gọi r h bán kính đáy chiều cao hình nón Kí hiệu V1,V2 thể tích hình nón thể tích hình cầu nội tiếp hình nón Khi r h thay đổi, tìm giá trị bé tỉ số A V1 V2 B 2 C D Câu 24: Với miếng tơn hình trịn có bán kính R  6cm Người ta muốn làm phễu cách cắt hình quạt hình trịn gấp phần cịn lại thành hình nón (Như hình vẽ) Hình nón tích lớn người ta cắt cung trịn hình quạt bằng: 8 6cm Câu 25: Gọi r h bán kính đáy chiều cao hình nón Kí hiệu V1 , V2 thể A 4 6cm B 6 6cm C 2 6cm D tích hình nón thể tích khối cầu nội tiếp hình nón Giá trị bé tỉ số A B C V1 V2 D Câu 26: Cho miếng tơn hình trịn có bán kính 50cm Biết hình nón tích lớn diện tích tồn phần hình nón diện tích miếng tơn Khi hình nón có bán kính đáy A 10 2cm B 20cm C 50 2cm D 25cm Câu 27: (Chun Thái Ngun) Khi cắt hình nón có chiều cao 16 cm đường kính đáy 24 cm mặt phẳng song song với đường sinh hình nón ta thu thiết diện có diện tích lớn gần với giá trị sau đây? A 170 B 260 C 294 D 208 Câu 28: (CỤM-CHUN-MƠN-HẢI-PHỊNG) Gọi d đường thẳng tùy ý qua điểm M 1;1 có hệ số góc âm Giả sử d cắt trục Ox , Oy A , B Quay tam giác OAB quanh trục O y thu khối trịn xoay tích V Giá trị nhỏ V bằng: 9 5 A 3 B C 2 D File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Gọi h  cm chiều cao hình trụ R  cm bán kính nắp đậy 1000  R2 Để nhà sản xuất tiết kiệm ngun vật liệu diện tích tồn phần S hình trụ nhỏ Ta có: V   R h  1000 Suy h  1000  R2 1000 1000 1000 1000  2 R    3 2 R  3 2 10002 R R R R Ta có: Stp  2 R  2 Rh  2 R  2 R 1000 500 R3 R  Câu 38: Một viên phấn bảng có dạng khối trụ với bán kính đáy 0,5cm , chiều dài 6cm Người ta làm hình hộp chữ nhật carton đựng viên phấn với kích thước 6cm  5cm  6cm Hỏi cần hộp kích thước để xếp 460 viên phấn? A 17 B 15 C 16 D 18 Hướng dẫn giải: Chọn C Có cách xếp phấn theo hình vẽ đây: Đẳng thức xảy 2 R  A M B C H2 H1 H3 Nếu xếp theo hình H : đường kính viên phấn 2.0,5  1cm nên hộp xếp tối đa số viên phấn là: 6.5  30 Nếu xếp theo hình H : hàng viên xen kẽ hàng viên Gọi số hàng xếp n  1, n    Ta có ABC cạnh  CM   5 n   xếp tối đa hàng  hộp xếp tối đa số viên phấn là: 3.6  2.5  28 Nếu xếp theo hình H :hàng viên xen kẽ hàng viên Gọi số hàng xếp m  1, m   Ta phải có 2.0,5  n 10 6m  xếp tối đa hàng  nên hộp xếp tối đa số viên phấn là: 3.5  3.4  27 Vậy, xếp theo hình H xếp nhiều phấn nhất, nên cần hộp Ta có 460 : 30  15,3  cần 16 hộp để xếp hết 460 viên phấn Ta phải có 2.0,5  m Câu 39: Một khối cầu có bán kính  dm , người ta cắt bỏ hai phần khối cầu hai mặt phẳng song song vng góc đường kính cách tâm khoảng  dm để làm lu đựng nước (như hình vẽ) Tính thể tích mà lu chứa File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 115 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 100   dm3  C 41  dm3  Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao 43   dm3  D 132  dm3  A B Hướng dẫn giải: Chọn D Cách 1: Trên hệ trục tọa độ Oxy , xét đường tròn (C ) : ( x  5)  y  25 Ta thấy cho nửa trục Ox  C  quay quanh trục Ox ta mặt cầu bán kính Nếu cho hình phẳng  H  giới hạn nửa trục Ox  C  , trục Ox , hai đường thẳng x  0, x  quay xung quanh trục Ox ta khối tròn xoay phần cắt khối cầu đề Ta có ( x  5)  y  25  y   25  ( x  5)  Nửa trục Ox  C  có phương trình y  25  ( x  5)  10 x  x  Thể tích vật thể trịn xoay cho  H  quay quanh Ox là: 2  x3  52 V1    10 x  x  dx    x    0  500 Thể tích khối cầu là: V2   53  3 500 52 Thể tích cần tìm: V  V2  2V1    132  dm3  3 Câu 40: Một tục lăn sơn nước có dạng hình trụ Đường kính đường trịn đáy 5cm , chiều dài lăn 23cm (hình bên) Sau lăn trọn 15 vịng trục lăn tạo nên sân phẳng diện diện tích 23 cm A 1725 cm B 3450 cm C 1725 cm D 862,5 cm Hướng dẫn giải: cm Chọn B Diện tích xung quanh mặt trụ S xq  2 Rl  2 5.23  230 cm2 Sau lăn 15 vịng diện tích phần sơn là: S  230 15  3450 cm Câu 41: Một bóng bàn chén hình trụ có chiều cao Người ta đặt bóng lên chén thấy phần ngồi bóng có chiều cao chiều cao Gọi V1 , V2 thể tích bóng chén, đó: A 9V1  8V2 B 3V1  2V2 C 16V1  9V2 D 27V1  8V2 Hướng dẫn giải: Chọn A File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 116 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Gọi r1 bán kính bóng, r2 bán kính chén, h chiều cao chén r h Theo giả thiết ta có h  2r1  r1  2h OO   2 h h Ta có r22        h     16 4 h Thể tích bóng V1   r13       h3 3 2 V thể tích chén nước V2  B.h   r22 h   h3   16 V2 Câu 42: Phần khơng gian bên chai nước có hình dạng hình bên Biết bán kính đáy R  5cm, bán kính cổ r  2cm, AB  3cm, BC  6cm, CD  16cm Thể tích phần khơng gian bên chai nước bằng: A A 495  cm  B 462  cm3  C 490  cm3  rB D 412  cm3  C Hướng dẫn giải: Thể tích khối trụ có đường cao CD : V1   R CD  400  cm  Thể tích khối trụ có đường cao AB : V2   r AB  12  cm3  MC CF    MB  MB BE Thể tích phần giới hạn BC :  V3   R MC  r MB   78  cm3  Suy ra: V  V1  V2  V3  490  cm3  Ta có M B E r=2 R D R=5 F C Chọn C Câu 43: Nhà Nam có bàn trịn có bán kính m Nam muốn mắc bóng điện phía bàn cho mép bàn nhận nhiều ánh sáng Biết cường sin  độ sáng C bóng điện biểu thị cơng thức C  c (  góc tạo tia sáng tới l mép bàn mặt bàn, c - số tỷ lệ phụ thuộc vào nguồn sáng, l khoảng cách từ mép bàn tới bóng điện) Khoảng cách nam cần treo bóng điện tính từ mặt bàn A 1m B 1,2m C 1.5 m D 2m Hướng dẫn giải: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 117 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Đ l h α N I M Gọi h độ cao bóng điện so với mặt bàn (h > 0); Đ bóng điện; I hình chiếu Đ lên mặt bàn MN đường kính mặt bàn.( hình vẽ) l2  h (l  2) h  l  , suy cường độ sáng là: C (l )  c l l3  l2 C '  l   c  l  l4 l2  Ta có sin     C ' l    l  l    Lập bảng biến thiên ta thu kết C lớn l  , Câu 44: Với đĩa trịn thép tráng có bán kính R  6m phải làm phễu cách cắt hình quạt đĩa gấp phần cịn lại thành hình trịn Cung trịn hình quạt bị cắt phải độ để hình nón tích cực đại? 6m O N A  66 B  294 C  12, 56 D  2,8 Hướng dẫn giải: Chọn A Ta nhận thấy đường sinh hình nón bán kính đĩa trịn Cịn chu vi đáy hình nón chu vi đĩa trừ độ dài cung tròn cắt Như ta tiến hành giải chi tiết sau: Gọi x(m) độ dài đáy hình nón (phần cịn lại sau cắt cung hình quạt dĩa) x Khi x  2 r  r  2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 118 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Chiều cao hình nón tính theo định lí PITAGO h  R  r  R  x2 4 2 x2 x2 R  Thể tích khối nón là: V   r h   3 4 4 Đến em đạo hàm hàm V ( x ) tìm GTLN V ( x ) đạt x  2 R  4 6  4 3600  660 6 Câu 45: Một cơng ty nhận làm thùng phi kín hay đáy với thể tích theo yêu cầu 2 m3 yêu cầu tiết kiệm vật liệu Hỏi thùng phải có bán kính đáy R chiều cao h bao nhiêu? 1 A R  2m, h  m B R  m, h  8m C R  4m, h  m D R  1m, h  2m 2 Hướng dẫn giải: Chọn A Gọi R bán kính đáy thùng ( m ), h : chiều cao thùng ( m ) ĐK: R  0, h  Thể tích thùng là: V   R h  2  R h   h  R Diện tích toàn phần thùng là:   2  Stp  2 Rh  2 R  2 R  h  R   2 R   R   2   R  R  R  2  Đặt f  t   2   t   t   với t  R t    4  t  1 f '  t   4  t    , f ' 1   t   t  t  t  Từ bảng biến thiên… ta cần chế tạo thùng với kích thước R  1m, h  2m Câu 46: Có cốc làm giấy, úp ngược hình vẽ Chiều cao cốc 20 cm , bán kính đáy cốc 4cm , bán kính miệng cốc 5cm Một kiến đứng điểm A miệng cốc dự định bò hai vòng quanh than cốc để lên đến đáy cốc điểm B Quãng đường ngắn để kiến thực dự định gần với kết dước đây? Suy độ dài cung tròn bị cắt là: 2 R  4    A 59, 98cm Hướng dẫn giải: Chọn D B 59, 93cm C 58, 67 cm File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D 58,80 cm Trang 119 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Đặt b, a, h bán kính đáy cốc, miệng cốc chiều cao cốc,  góc kí hiệu hình vẽ Ta “trải” hai lần mặt xung quanh cốc lên mặt phẳng hình quạt khuyên với cung nhỏ BB "  4 b cung lớn AA "  4 a Độ dài ngắn đường kiến độ dài đoạn thẳng BA” Áp dụng định lí hàm số cosin ta được: l  BO2  OA2  2BO.OA.cos 2 (1) BA  AB  (a  b)  h   ) OA OB  AB a 4 a l ( BB AB AB.      1  1   b b 4 b l (AA) OB OB 2 b  b (a  b)  h2 AB a a b 2 ( a  b) 2 (a  b)  1   OB  (b)  (a ) AB OB b b a b ( a  b)  h b (a  b)  h2  (a  b)  h2 (c) ab Thay (a), (b), (c) vào (1) ta tìm l l  58, 79609cm  58,80 OA  OB  BA   điểm khác B, Ghi Để tồn lời giải đoạn BA” phải không cắt cung BB  B Điều tương đương với 2  cos 1  b  tức BA” nằm tiếp tuyến BB   a Tuy nhiên, lời giải thí sinh khơng u cầu phải trình bày điều kiện (và đề cho thỏa mãn yêu cầu đó) Câu 47: Học sinh A sử dụng xô đựng nước có hình dạng kích thước giống hình vẽ, đáy xơ hình trịn có bán kính 20 cm , miệng xơ đường trịn bán kính 30 cm , chiều cao xơ 80 cm Mỗi tháng A dùng hết 10 xô nước Hỏi A phải trả tiền nước tháng, biết giá nước 20000 đồng/ m3 (số tiền làm tròn đến đơn vị đồng)? File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 120 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao A 35279 đồng B 38905 đồng C 42116 đồng D 31835 đồng Hướng dẫn giải: Chọn D Ta xét hình nón đỉnh A , đường cao h  80 cm đáy đường trịn tâm O , bán kính 30 cm Mặt phẳng   cách mặt đáy 80 cm cắt hình nón theo giao tuyến đường trịn tâm O ' có bán kính 20 cm Mặt phẳng   chia hình nón thành phần Phần I phần chứa đỉnh A , phần II phần không chứa đỉnh A ( Như hình vẽ) O ' B AO ' AO ' Ta có     AO '  160 cm OC AO AO ' O ' O Thể tích hình nón V  AO. 302  72000 cm3 64000 Thể tích phần I V1  AO '. 202   cm3 3 152000 19 Vậy thể tích xơ thể tích phần II V2  V  V1   cm3    m3  375 19 Vậy số tiền phải trả T  10.20000  31835 đồng 375 Câu 48: Một cốc nước hình trụ có chiều cao 9cm , đường kính 6cm Mặt đáy phẳng dày 1cm , thành cốc dày 0, 2cm Đổ vào cốc 120ml nước sau thả vào cốc viên bi có đường kính 2cm Hỏi mặt nước cốc cách mép cốc cm (Làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy) A 3, 67 cm B 2, 67 cm C 3, 28cm D 2, 28cm Hướng dẫn giải: Chọn D Thành cốc dày 0, 2cm nên bán kính đáy trụ 2,8cm Đáy cốc dày 1cm nên chiều cao hình   Đổ 120ml vào cốc, thể tích cịn lại 197, 04  120  77, 04  cm  trụ 8cm Thể tích khối trụ V    2,8  197, 04 cm3 Thả viên bi vào cốc, thể tích viên bi Vbi  . 13  20, 94 ( cm3 ) 3 Thể tích cốc cịn lại 77, 04  20,94  56,1  cm  Ta có 56,1  h '.  2,8   h '  2, 28 cm Cách khác: Dùng tỉ số thể tích  2,8   h VTr  coc    hnuoc bi  5, 72 Vnuoc  Vbi hnuoc bi h nuoc  bi 120  . Chiều cao lại trụ  5, 72  2, 28 Vậy mặt nước cốc cách mép cốc 2, 28cm Câu 49: Người ta xếp hình trụ có bán kính đáy r chiều cao h vào lọ hình trụ có chiều cao h, cho tất hình trịn đáy hình trụ nhỏ tiếp xúc với đáy hình trụ lớn, hình trụ nằm tiếp xúc với sáu hình trụ xung quanh, hình trụ xung quanh tiếp xúc với đường sinh lọ hình trụ lớn Khi thể tích lọ hình trụ lớn là: A 16 r h B 18 r h C 9 r h D 36 r h Hướng dẫn giải: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 121 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Ta có hình vẽ minh họa mặt đáy hình cho trên, ta rõ ràng nhận R  3r , đề phức tạp, nhiên để ý kĩ lại đơn giản Vậy V  B.h   3r   h  9 r h Câu 50: Từ kim loại dẻo hình quạt hình vẽ có kích thước bán kính R  chu vi hình quạt P  8  10 , người ta gò kim loại thành phễu theo hai cách: Câu 51: Gò kim loại ban đầu thành mặt xung quanh phễu Câu 52: Chia đôi kim loại thành hai phần gò thành mặt xung quanh hai phễu V Gọi V1 thể tích phễu thứ nhất, V2 tổng thể tích hai phễu cách Tính ? V2 V 21 V V1 21 V B  C  D   V2 V2 V2 V2 Hướng dẫn giải: Do chu vi hình quạt trịn P = độ dài cung + 2R Do độ dài cung tròn l  8 Theo cách thứ nhất: 8 chu vi đường trịn đáy phễu Tức 2 r  8  r  A Khi h  R  r  52  42   V1  3 42 Theo cách thứ hai: Thì tổng chu vi hai đường tròn đáy hai phễu 8  chu vi đường tròn đáy 4  4  2 r  r  Khi h   V2  V Khi  V2 R  r  52  22  21 21.22. 42 21  21 Câu 53: Cho miếng tơn hình trịn có bán kính 50cm Biết hình nón tích lớn diện tích tồn phần hình nón diện tích miếng tơn Khi hình nón có bán kính đáy A 10 2cm Hướng dẫn giải: B 20cm C 50 2cm File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D 25cm Trang 122 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Đặt a  50cm Gọi bán kính đáy chiều cao hình nón x, y  x, y   Ta có SA  SH  AH  x  y Khi diện tích tồn phần hình nón Stp   x   x x  y Theo giả thiết ta có  x   x x2  y   a  x x  y  x  a2 a4  x x  y  a  x  x  x  y   a  x  2a x ,  DK : x  a   x  y  2a Khi thể tích khối nón a4 y V   y   a4 2 y  2a y  2a 2 2 2 2 4 2 y  2a V đạt giá trị lớn đạt giá trị nhỏ y Ta có y  2a 2a 2a  y  y  2a y y y a 2a Vậy V đạt giá trị lớn y  , tức y  a  x   25cm y Lưu ý: Bài em xét hàm số lập bảng biến thiên Câu 54: Một chậu nước hình bán cầu nhơm có bán kính R =10cm, đặt khung hình hộp chữ nhật (hình 1) Trong chậu có chứa sẵn khối nước hình chỏm cầu có chiều cao h = 4cm Người ta bỏ vào chậu viên bi hình cầu kim loại mặt nước dâng lên vừa phủ kín viên bi (hình 2) Bán kính viên bi gần số nguyên sau (Cho biết thể tích khối chỏm h  cầu V   h  R   ) 3  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 123 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao B C D 10 Hướng dẫn giải: Gọi x bán kính viên bi hình cầu Điều kiện: < 2x (loại) x2  2,0940 < (thỏa mãn), x3  - 1,8197 (loại) Vậy bán kính viên bi là: r  2,09 (cm) Câu 55: Một người có dải băng dài 130 cm, người cần bọc dải băng đỏ quanh hộp quà hình trụ Khi bọc quà, người dùng 10 cm dải băng để thắt nơ nắp hộp (như hình vẽ minh họa) Hỏi dải băng bọc hộp q tích lớn bao nhiêu? - Thể A 4000 cm3 B 32000 cm3 C 1000 cm3 D 16000 cm Hướng dẫn giải: Một toán thực tế hay ứng dụng việc tìm giá trị lớn hàm số Ta nhận thấy, dải băng tạo thành hai hình chữ nhật quanh hộp, chiều dài dải băng tổng chu vi hai hình chữ nhật Tất nhiên chiều dài băng phải trừ phần băng dùng để thắt nơ, có nghĩa là: 22  2r  h   120  h  30  2r Khi thể tích hộp q tính công thức: V  B.h   r  30  2r     2r  30r  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 124 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Xét hàm số f  r   2r  30r  0;15  r  l  f '  r   6r  60r; f '  r      r  10 Khi vẽ BBT ta nhận Max f  r   f 10  Khi thể tích hộp q  0;10  V  B.h   10 10  1000 Câu 56: Một khối gạch hình lập phương (khơng thấm nước) có cạnh đặt vào chiếu phễu hình nón trịn xoay chứa đầy nước theo cách sau: Một cạnh viên gạch nằm mặt nước (nằm đường kính mặt này); đỉnh cịn lại nằm mặt nón; tâm viên gạch nằm trục hình nón Tính thể tích nước cịn lại phễu (làm trịn chữ số thập phân) A V =22,27 B V =22,30 C V =23.10 D 20,64 Hướng dẫn giải: Gọi R , h bán kính chiều cao hình nón (phễu) Thiết diện hình nón song song với đáy hình nón, qua tâm viên gạch hình trịn có R h h bán kính R1  thỏa mãn   R  1 R h h Thiết diện hình nón song song với đáy hình nón, chứa cạnh đối diện với cạnh nằm đáy R h2 h2 hình nón hình trịn có bán kính R2  thỏa mãn   R  1  R h h h 2 Từ (1) (2) suy  3h R   h2 Thể tích lượng nước cịn lại phễu V  Vnón - Vgạch   R h  23  22, 2676 Câu 57: (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG QUẢNG NAM LẦN NĂM 2019) Người ta xếp ba viên bi có bán kính vào lọ hình trụ cho viên bi tiếp xúc với hai đáy lọ hình trụ viên bi đơi tiếp xúc tiếp xúc với đường sinh lọ hình trụ Tính bán kính đáy lọ hình trụ 3 A  B C D  Lời giải Chọn D File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 125 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao O1 O O3 O2 M Gọi O1 , O2 , O3 tâm ba viên bi r1  r2  r3  bán kính ba viên bi Theo giả thiết ba đường trịn lớn ba viên bi đơi tiếp xúc với , ba điểm O1, O2 , O3 tạo thành tam giác cạnh Gọi O trọng tâm tam giác O1O2O3 OO1  OO2  OO3  2 Cũng theo giả thiết ba viên bi tiếp xúc với đường sinh lọ hình trụ điểm nằm đường tròn đường tròn đáy lọ hình trụ (tham khảo hình vẽ trên) Vậy bán kính đáy lọ hình trụ OM  OO3  O3 M   Câu 58: Một bồn hình trụ chứa dầu, đặt nằm ngang, có chiều dài bồn 5m , có bán kính đáy 1m , với nắp bồn đặt mặt nằm ngang mặt trụ Người ta rút dầu bồn tương ứng với 0,5m đường kính đáy Tính thể tích gần khối dầu cịn lại bồn (theo đơn vị m3 ) A 12,637m3 Hướng dẫn giải: B 114,923m3 Nhận xét OH  CH  0,5  C 11,781m3 D 8,307m3 R OB suy OHB tam giác nửa  22   60    HOB AOB  120 1 Suy diện tích hình quạt OAB là: S   R   3 OB 3 Mặt khác: S AOB  2S HOB  S BOC   ( BOC 4 C B A H đều) O File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 126 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao  1 3 Suy thể tích dầu rút ra: V1      3   Thể tích dầu ban đầu: V  5. 12  5 Vậy thể tích cịn lại: V2  V  V1  12, 637 m3 Chọn A Câu 59: (Chuyên Vinh Lần 2) Người ta sản xuất vật lưu niệm  N  thủy tinh suốt có Vậy diện tích hình viên phân cung AB dạng khối tròn xoay mà thiết diện qua trục hình thang cân Bên  N  có hai khối cầu ngũ sắc với bán kính R  3cm r  1cm tiếp xúc với tiếp xúc với mặt xung quanh  N  đồng thời hai khối cầu tiếp xúc với hai đáy  N  Tính thể tích vật lưu niệm A 485   cm3    B 81 cm3   C 72 cm3 D 728   cm3  Lời giải Chọn D IO1 O1 H1   IO2 O2 H Mà IO2  IO1  nên IO2  6cm; IO1  2cm; IK  1cm; IO  9cm Ta có: IO1 H1  IO2 H   N  khối nón cụt có bán kính đáy lớn đáy bé r1 r2 1 nên r1  3; r2  728 Vậy thể tích  N  V   r12  r2  r1r2  h   cm3  Câu 60: (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên Lần2) Người ta thả viên billiards snooker có dạng hình cầu với bán kính nhỏ 4,5 cm vào cốc hình trụ chứa nước viên billiards tiếp xúc với đáy cốc tiếp xúc với mặt nước sau dâng (tham khảo hình vẽ bên) Biết  Trong IO1 H1 có sin O IH  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 127 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao bán kính phần đáy cốc 5, cm chiều cao mực nước ban đầu cốc 4,5 cm Bán kính viên billiards bằng? A 4, 2cm B 3, 6cm C 2, 7cm Lời giải D 2, 6cm Chọn C Gọi V1 thể tích viên billiards snooker r bán kính ( ĐK:  r  4,5 ) Gọi V2 , V thể tích khối trụ trước sau thả viên billiards snooker vào Khi đó: V  V1  V2 (1) Ta có V1  .r ; V2  .5, 2.4,5  131, 22.; V  .5, 2.2 r  58, 32.r Thay vào (1) ta có phương trình: 4 .r  131, 22.  58,32 .r  r  58,32.r  131, 22  (2) 3 Giải phương trình (2) ta r1  4,83 (loại); r2  7,53 (loại); r3  2,7 (Thỏa mãn) Vậy r  2, 7cm Câu 61: (THPT-Ngơ-Quyền-Hải-Phịng-Lần-2-2018-2019) Một hộp dựng bóng tennis có dạng hình trụ Biết hộp chứa vừa khít ba bóng tennis xếp theo chiều dọc, bóng tennis có kích thước Thể tích phần khơng gian cịn trống hộp chiếm tỉ lệ a % so với thể tích hộp bóng tennis Số a gần với số sau đây? A 50 B 66 C 30 D 33 Lời giải Chọn D Gọi r bán kính bóng tennis Khi bán kính đáy hộp r chiều cao hộp 6r Khi thể tích hộp bóng hình trụ: V   r h   r 6r  6 r Thể tích bóng tennis: V1   r Suy thể tích ba bóng tennis 3V1  4 r Thể tích phần khơng gian cịn trống hộp V2  V  3V1  6 r  4 r  2 r File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 128 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao V2 2 r  a%   a%   a% Ta có: V 6 r Suy a  33 Câu 62: Cho hai mặt trụ có bán kính đặt lồng vào hình vẽ Tính thể tích phần chung chúng biết hai trục hai mặt trụ vng góc cắt A 256 256  Hướng dẫn giải B 512 C D 1024 Chọn D Cách Ta xét phần giao hai trụ hình Ta gọi trục tọa độ Oxyz hình vẽ Khi phần giao  H  vật thể có đáy phần tư hình trịn tâm O bán kính , thiết diện mặt phẳng vng góc với trục Ox hình vng có diện tích S  x    x Thể tích khối  H   S  x  dx   16  x dx  0 128 1024 Vậy thể tích phần giao 3 Cách Dùng công thức tổng quát giao hai trụ V  16 1024 R  3 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 129 ... https://www.facebook.com/dongpay D (0; 20) Trang 20 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón- Trụ- Cầu Nâng Cao III - MẶT CẦU – KHỐI CẦU A – LÝ THUYẾT CHUNG Mặt cầu Nội dung Cho điểm I cố định số thực dương... ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón- Trụ- Cầu Nâng Cao Câu 23: Gọi r h bán kính đáy chiều cao hình nón Kí hiệu V1,V2 thể tích hình nón thể tích hình cầu nội tiếp hình nón Khi r... ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón- Trụ- Cầu Nâng Cao Thiết diện qua đỉnh hình nón tam giác cân có hai cạnh bên hai đường sinh hình nón Thiết diện vng góc với trục hình nón đường