Trắc nghiệm VD – VDC khối đa diện và thể tích khối đa diện – Đặng Việt Đông

Với mục đích hỗ trợ các em học sinh khối 12 trong quá trình học tập nâng cao các dạng toán trong chương trình Hình học 12 chương 1 – khối đa diện và thể tích khối đa diện, ôn tập hướng đến kỳ thi Trung học Phổ thông Quốc gia môn Toán, thầy Đặng Việt Đông biên soạn cuốn tài liệu trắc nghiệm vận dụng – vận dụng cao chuyên đề khối đa diện và thể tích khối đa diện.

MỤC LỤC DẠNG 1: THỂ TÍCH KHỐI CHĨP………………………………………… …………………8 DẠNG 2: THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ……………………………………………… …… 11 DẠNG 3: TỈ LỆ THỂ TÍCH 15 DẠNG 4: CỰC TRỊ THỂ TÍCH 23 DẠNG 5: GĨC, KHOẢNG CÁCH LIÊN QUAN ĐẾN THỂ TÍCH 33 DẠNG 6: ỨNG DỤNG THỰC TẾ………………………………………………………………36 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao THỂ TÍCH ĐA DIỆN A – KIẾN THỨC CHUNG Thể tích khối chóp V  S h đáy  S đáy : Diện tích mặt đáy  h : Độ dài chiều cao khối chóp VS.ABCD  d S S, ABCD   ABCD Thể tích khối lăng trụ V  S đáy h  S đáy : Diện tích mặt đáy  h : Chiều cao khối chóp Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao cạnh bên Thể tích khối hộp chữ nhật V  a.b.c Thể tích khối lập phương V  a3 Tỉ số thể tích VS AB C  VS ABC  SA SB  SC  SA SB SC S A Thể tích hình chóp cụt ABC AB C  B C A h B V  B  B   BB  C Với B, B , h diện tích hai đáy chiều cao 5.1 Hai khối chóp S A1 A2 An S B1 B2 Bm có chung đỉnh S hai mặt đáy nằm mặt  phẳng, ta có: VS A1A2 An VS B1B2 Bm   S A1 A2 An S B1B2 Bm 5.2 Hai khối chóp tam giác S ABC có A  SA, B  SB, C '  SC ta có: VS A' B 'C ' SA SB  SC   vS ABC SA SB SC File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao SM SN SP  x,  y,  z Mặt phẳng  MNP  SA SB SC  1 1 1 1 SQ cắt SD Q ta có đẳng thức    với t  VS MNPQ  xyzt     V x z y t SD x y z t 5.3 Kiến thức cần nhớ khối lăng trụ tam giác khối hộp Hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành V 2V , VA BCC B  3 V V VA ABD  , VBDAC   5.4 Một số công thức nhanh cho trường hợp hay gặp VA ABC  2 BH  AB  CH  AC     ,  BC  BC  CB  BC  Mặt phẳng   song song với mặt đáy khối chóp S A1 A2 An cắt SAk điểm M k thỏa mãn Tam giác ABC vuông A có đường cao AH có VS M1M M n SM k  p3  p, ta có V SAk S A1 A2 An Hình lăng trụ tam giác ABC ABC có AM BN CP x y z  x,  y,  z có VABC MNP  V AA BB CC  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao AM BN CP  x,  y,  z Mặt phẳng  MNP  cắt DD ' Q ta có AA BB CC  DQ x y z t đẳng thức x  z  y  t với t  VABCD MNPQ  V DD Hình hộp ABCD ABC D có Định lí Meneleus cho điểm thẳng hàng MA NB PC  với MNP đường thẳng cắt ba đường MB NC PA thẳng AB, BC , CA M , N , P Một số ý độ dài đường đặc biệt  Đường chéo hình vuông cạnh a a  Đường chéo hình lập phương cạnh a : a  Đường chéo hình hộp chữ nhật có kích thước a, b, c :  Đường cao tam giác cạnh a là: a  b2  c a CÁC CÔNG THỨC HÌNH PHẲNG 7.1 Hệ thức lượng tam giác 7.1.1 Cho ABC vuông A , đường cao AH  AB  AC  BC  AB  BH BC  AC  CH BC  AH BC  AB AC  AH  BH HC 1   2 AH AB AC  AB  BC sin C  BC cos B  AC tan C  AC cot B 7.1.2 Cho ABC có độ dài ba cạnh là: a, b, c độ dài trung tuyến ma , mb , mc bán kính đường trịn ngoại tiếp R ; bán kính đường trịn nội tiếp r nửa chu vi p  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao  Định lí hàm số cosin: a  b  c - 2bc cos A; b  c  a  2ca cos B; c  a  b  2ab cosC  Định lí hàm số sin: a b c    2R sin A sin B sin C  Độ dài trung tuyến: b2  c2 a2 c2  a2 b2 a2  b2 c2 ma2   ; mb2   ; mc2   4 7.2 Các cơng thức tính diện tích 7.2.1 Tam giác 1  S  a.ha  b.hb  c.hc 2 1  S  bc sin A  ca.sin B  ab sinC 2 abc  S  4R  S  pr  S     p p a p b p c  ABC vuông A : S   AB.AC BC AH  2 a a2  ABC đều, cạnh a : AH  , S  7.2.2 Hình vng  S  a2 ( a : cạnh hình vng) 7.2.3 Hình chữ nhật  S  ab ( a, b : hai kích thước) 7.2.4 Hình bình hành   S = đáy  cao  AB AD.sin BAD 7.2.5 Hình thoi   AC.BD  S  AB AD.sin BAD 7.2.6 Hình thang  S  a  b h ( a, b : hai đáy, h : chiều cao) 7.2.7 Tứ giác có hai đường chéo vng góc AC & BD  S  AC BD MỘT SỐ CƠNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH KHỐI CHĨP THƯỜNG GẶP Nội dung Hình vẽ   File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Cho hình chóp SAB  , SBC  , SAC  Khối Đa Diện Nâng Cao với mặt phẳng vng góc với đơi một, diện SABC A tích tam giác SAB, SBC , SAC S1, S2 , S3 Khi đó: VS ABC  S 2S1.S2 S3 C B   góc với Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với ABC , hai mặt phẳng SAB  SBC  vuông S nhau,   ,  BSC ASB   Khi đó: VS ABC SB sin 2 tan   12 C A B Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, cạnh bên b Khi đó: VS ABC  a 3b  a 12 S C A G M B Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc  a tan  Khi đó: VS ABC  24 S C A G M B Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh bên b cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc  Khi đó: VS ABC  3b sin  cos2  S C A G M B Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc  Khi đó: VS ABC  a tan  12 S C A G M B File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA  SB  SC  SD  b Khi đó: VS ABC  S a 4b  2a D A M O C B Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a, góc tạo mặt bên mặt phẳng đáy  a tan  Khi đó: VS ABCD  S A D M O B C Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a, S    với     ;   SAB   4 2 Khi đó: VS ABCD  a D A tan   O C B Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh bên a,   góc tạo mặt bên mặt đáy  với    0;   2 4a tan  Khi đó: VS ABCD  3  tan   M  S A D M O B C Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a Gọi P mặt phẳng qua A song song với BC vng góc với S   F N SBC  , góc P  với mặt phẳng đáy  Khi đó: VS ABCD  A E a cot  24 Khối tám mặt có đỉnh tâm mặt hình lập phương cạnh a a3 Khi đó: V  C x G M B A' B' O' D' O1 C' O2 O4 A O3 B O D File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay C Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao Cho khối tám mặt cạnh a Nối tâm mặt bên ta khối lập phương S 2a Khi đó: V  27 G2 D A G1 N M C B S' CÁC CƠNG THỨC ĐẶC BIỆT THỂ TÍCH TỨ DIỆN Cơng thức abc VS.ABC   cos2   cos2   cos2   2cos cos  cos Cơng thức tính biết cạnh, góc đỉnh tứ diện VABCD  abd sin  Cơng thức tính biết cạnh đối, khoảng cách góc cạnh 2S S sin  VSABC  3a Cơng thức tính biết cạnh, diện tích góc mặt kề abc VS ABC  sin  sin  sin  Cơng thức tính biết cạnh, góc đỉnh góc nhị diện VABCD  a3 12 VABCD  12 a Điều kiện tứ diện  SA  a, SB  b, SC  c     , CSA    ASB  , BSC  AB  a,CD  b  d AB,CD  d, AB,CD       SSAB  S1, S SAC  S2, SA  a   SAB , SAC       SA  a, SB  b, SC  c      SAB ,  SAC         ASB   , ASC     Tứ diện tất cạnh a    b  c b  c2  a a  c  b  Tứ diện gần AB  CD  a  AC  BD  b AD  BC  c  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao B – BÀI TẬP DẠNG 1: THỂ TÍCH KHỐI CHĨP Câu 1: Cho khối tứ diện ABC D cạnh a Gọi E điểm đối xứng A qua D Mặt phẳng qua CE vng góc với mặt phẳng  ABD  cắt cạnh AB điểm F Tính thể tích V khối tứ diện A ECF 2a A V  30 2a B V  60 2a C V  40 2a D V  15 Câu 2: Cho tứ diện ABCD tích 12 G trọng tâm tam giác BCD Tính thể tích khối chóp A.GBC A V  B V  C V  D V  Câu 3: Cho tứ diện cạnh a điểm I nằm tứ diện Tính tổng khoảng cách từ I đến mặt tứ diện A a B a C a D a 34 Câu 4: Cho hình chóp S ABC có SA  a, BC  a tất cạnh cịn lại x Tìm x biết thể tích khối chóp cho tích a 11 3a 7a 9a 5a B x  C x  D x  2 2 Câu 5: Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a Gọi  P  mặt phẳng qua A song A x  song BC vng góc với  SBC  , góc  P  với mặt phẳng đáy 300 Thể tích khối chóp S ABC là: A a3 24 B a3 C a3 D 3a Câu 6: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh 4, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M , N , P trung điểm cạnh SD, CD, BC Thể tích khối chóp S ABPN x, thể tích khối tứ diện CMNP y Giá trị x, y thỏa mãn bất đẳng thức đây: A x  xy  y  160 B x  xy  y  109 C x  xy  y  145 D x  xy  y  125 Câu 7: Cho hình chóp S ABC có chân đường cao nằm tam giác ABC; mặt phẳng  SAB  ;  SAC  ;  SBC  tạo với mặt phẳng  ABC  góc Biết AB  25, BC  17, AC  26, đường thẳng SB tạo với đáy góc 450 Tính thể tích V khối chóp SABC A V  680 B V  408 C V  578 D V  600 Câu 8: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng B , AB  , BC  Biết SA  vng góc với mặt phẳng đáy  ABC  Một điểm M thuộc phần không gian bên hình chóp cách tất mặt hình chóp Tính thể tích khối tứ diện M ABC File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Gọi r1 bán kính bóng, r2 bán kính chén, h chiều cao chén r h Theo giả thiết ta có h  2r1  r1  2h OO   2 h h Ta có r22        h     16 4 h Thể tích bóng V1   r13       h3 3 2 V thể tích chén nước V2  B.h   r22 h   h3   16 V2 Câu 42: Phần không gian bên chai nước có hình dạng hình bên Biết bán kính đáy R  5cm, bán kính cổ r  2cm, AB  3cm, BC  6cm, CD  16cm Thể tích phần khơng gian bên chai nước bằng: A A 495  cm  B 462  cm3  C 490  cm3  rB D 412  cm3  C Hướng dẫn giải: Thể tích khối trụ có đường cao CD : V1   R CD  400  cm  Thể tích khối trụ có đường cao AB : V2   r AB  12  cm3  MC CF    MB  MB BE Thể tích phần giới hạn BC :  V3   R MC  r MB   78  cm3  Suy ra: V  V1  V2  V3  490  cm3  Ta có M B E r=2 R D R=5 F C Chọn C Câu 43: Nhà Nam có bàn trịn có bán kính m Nam muốn mắc bóng điện phía bàn cho mép bàn nhận nhiều ánh sáng Biết cường sin  độ sáng C bóng điện biểu thị cơng thức C  c (  góc tạo tia sáng tới l mép bàn mặt bàn, c - số tỷ lệ phụ thuộc vào nguồn sáng, l khoảng cách từ mép bàn tới bóng điện) Khoảng cách nam cần treo bóng điện tính từ mặt bàn A 1m B 1,2m C 1.5 m D 2m Hướng dẫn giải: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 117 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Đ l h α N I M Gọi h độ cao bóng điện so với mặt bàn (h > 0); Đ bóng điện; I hình chiếu Đ lên mặt bàn MN đường kính mặt bàn.( hình vẽ) l2  h (l  2) h  l  , suy cường độ sáng là: C (l )  c l l3  l2 C '  l   c  l  l4 l2  Ta có sin     C ' l    l  l    Lập bảng biến thiên ta thu kết C lớn l  , Câu 44: Với đĩa trịn thép tráng có bán kính R  6m phải làm phễu cách cắt hình quạt đĩa gấp phần cịn lại thành hình trịn Cung trịn hình quạt bị cắt phải độ để hình nón tích cực đại? 6m O N A  66 B  294 C  12, 56 D  2,8 Hướng dẫn giải: Chọn A Ta nhận thấy đường sinh hình nón bán kính đĩa trịn Cịn chu vi đáy hình nón chu vi đĩa trừ độ dài cung tròn cắt Như ta tiến hành giải chi tiết sau: Gọi x(m) độ dài đáy hình nón (phần cịn lại sau cắt cung hình quạt dĩa) x Khi x  2 r  r  2 File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 118 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Chiều cao hình nón tính theo định lí PITAGO h  R  r  R  x2 4 2 x2 x2 R  Thể tích khối nón là: V   r h   3 4 4 Đến em đạo hàm hàm V ( x ) tìm GTLN V ( x ) đạt x  2 R  4 6  4 3600  660 6 Câu 45: Một công ty nhận làm thùng phi kín hay đáy với thể tích theo yêu cầu 2 m3 yêu cầu tiết kiệm vật liệu Hỏi thùng phải có bán kính đáy R chiều cao h bao nhiêu? 1 A R  2m, h  m B R  m, h  8m C R  4m, h  m D R  1m, h  2m 2 Hướng dẫn giải: Chọn A Gọi R bán kính đáy thùng ( m ), h : chiều cao thùng ( m ) ĐK: R  0, h  Thể tích thùng là: V   R h  2  R h   h  R Diện tích tồn phần thùng là:   2  Stp  2 Rh  2 R  2 R  h  R   2 R   R   2   R  R  R  2  Đặt f  t   2   t   t   với t  R t    4  t  1 f '  t   4  t    , f ' 1   t   t  t  t  Từ bảng biến thiên… ta cần chế tạo thùng với kích thước R  1m, h  2m Câu 46: Có cốc làm giấy, úp ngược hình vẽ Chiều cao cốc 20 cm , bán kính đáy cốc 4cm , bán kính miệng cốc 5cm Một kiến đứng điểm A miệng cốc dự định bò hai vòng quanh than cốc để lên đến đáy cốc điểm B Quãng đường ngắn để kiến thực dự định gần với kết dước đây? Suy độ dài cung tròn bị cắt là: 2 R  4    A 59, 98cm Hướng dẫn giải: Chọn D B 59, 93cm C 58, 67 cm File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D 58,80 cm Trang 119 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Đặt b, a, h bán kính đáy cốc, miệng cốc chiều cao cốc,  góc kí hiệu hình vẽ Ta “trải” hai lần mặt xung quanh cốc lên mặt phẳng hình quạt khuyên với cung nhỏ BB "  4 b cung lớn AA "  4 a Độ dài ngắn đường kiến độ dài đoạn thẳng BA” Áp dụng định lí hàm số cosin ta được: l  BO2  OA2  2BO.OA.cos 2 (1) BA  AB  (a  b)  h   ) OA OB  AB a 4 a l ( BB AB AB.      1  1   b b 4 b l (AA) OB OB 2 b  b (a  b)  h2 AB a a b 2 ( a  b) 2 (a  b)  1   OB  (b)  (a ) AB OB b b a b ( a  b)  h b (a  b)  h2  (a  b)  h2 (c) ab Thay (a), (b), (c) vào (1) ta tìm l l  58, 79609cm  58,80 OA  OB  BA   điểm khác B, Ghi Để tồn lời giải đoạn BA” phải không cắt cung BB  B Điều tương đương với 2  cos 1  b  tức BA” nằm tiếp tuyến BB   a Tuy nhiên, lời giải thí sinh khơng u cầu phải trình bày điều kiện (và đề cho thỏa mãn yêu cầu đó) Câu 47: Học sinh A sử dụng xơ đựng nước có hình dạng kích thước giống hình vẽ, đáy xơ hình trịn có bán kính 20 cm , miệng xơ đường trịn bán kính 30 cm , chiều cao xơ 80 cm Mỗi tháng A dùng hết 10 xô nước Hỏi A phải trả tiền nước tháng, biết giá nước 20000 đồng/ m3 (số tiền làm tròn đến đơn vị đồng)? File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 120 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao A 35279 đồng B 38905 đồng C 42116 đồng D 31835 đồng Hướng dẫn giải: Chọn D Ta xét hình nón đỉnh A , đường cao h  80 cm đáy đường tròn tâm O , bán kính 30 cm Mặt phẳng   cách mặt đáy 80 cm cắt hình nón theo giao tuyến đường trịn tâm O ' có bán kính 20 cm Mặt phẳng   chia hình nón thành phần Phần I phần chứa đỉnh A , phần II phần không chứa đỉnh A ( Như hình vẽ) O ' B AO ' AO ' Ta có     AO '  160 cm OC AO AO ' O ' O Thể tích hình nón V  AO. 302  72000 cm3 64000 Thể tích phần I V1  AO '. 202   cm3 3 152000 19 Vậy thể tích xơ thể tích phần II V2  V  V1   cm3    m3  375 19 Vậy số tiền phải trả T  10.20000  31835 đồng 375 Câu 48: Một cốc nước hình trụ có chiều cao 9cm , đường kính 6cm Mặt đáy phẳng dày 1cm , thành cốc dày 0, 2cm Đổ vào cốc 120ml nước sau thả vào cốc viên bi có đường kính 2cm Hỏi mặt nước cốc cách mép cốc cm (Làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy) A 3, 67 cm B 2, 67 cm C 3, 28cm D 2, 28cm Hướng dẫn giải: Chọn D Thành cốc dày 0, 2cm nên bán kính đáy trụ 2,8cm Đáy cốc dày 1cm nên chiều cao hình   Đổ 120ml vào cốc, thể tích cịn lại 197, 04  120  77, 04  cm  trụ 8cm Thể tích khối trụ V    2,8  197, 04 cm3 Thả viên bi vào cốc, thể tích viên bi Vbi  . 13  20, 94 ( cm3 ) 3 Thể tích cốc lại 77, 04  20,94  56,1  cm  Ta có 56,1  h '.  2,8   h '  2, 28 cm Cách khác: Dùng tỉ số thể tích  2,8   h VTr  coc    hnuoc bi  5, 72 Vnuoc  Vbi hnuoc bi h nuoc  bi 120  . Chiều cao lại trụ  5, 72  2, 28 Vậy mặt nước cốc cách mép cốc 2, 28cm Câu 49: Người ta xếp hình trụ có bán kính đáy r chiều cao h vào lọ hình trụ có chiều cao h, cho tất hình trịn đáy hình trụ nhỏ tiếp xúc với đáy hình trụ lớn, hình trụ nằm tiếp xúc với sáu hình trụ xung quanh, hình trụ xung quanh tiếp xúc với đường sinh lọ hình trụ lớn Khi thể tích lọ hình trụ lớn là: A 16 r h B 18 r h C 9 r h D 36 r h Hướng dẫn giải: File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 121 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Ta có hình vẽ minh họa mặt đáy hình cho trên, ta rõ ràng nhận R  3r , đề phức tạp, nhiên để ý kĩ lại đơn giản Vậy V  B.h   3r   h  9 r h Câu 50: Từ kim loại dẻo hình quạt hình vẽ có kích thước bán kính R  chu vi hình quạt P  8  10 , người ta gò kim loại thành phễu theo hai cách: Câu 51: Gò kim loại ban đầu thành mặt xung quanh phễu Câu 52: Chia đôi kim loại thành hai phần gò thành mặt xung quanh hai phễu V Gọi V1 thể tích phễu thứ nhất, V2 tổng thể tích hai phễu cách Tính ? V2 V 21 V V1 21 V B  C  D   V2 V2 V2 V2 Hướng dẫn giải: Do chu vi hình quạt trịn P = độ dài cung + 2R Do độ dài cung tròn l  8 Theo cách thứ nhất: 8 chu vi đường trịn đáy phễu Tức 2 r  8  r  A Khi h  R  r  52  42   V1  3 42 Theo cách thứ hai: Thì tổng chu vi hai đường trịn đáy hai phễu 8  chu vi đường tròn đáy 4  4  2 r  r  Khi h   V2  V Khi  V2 R  r  52  22  21 21.22. 42 21  21 Câu 53: Cho miếng tơn hình trịn có bán kính 50cm Biết hình nón tích lớn diện tích tồn phần hình nón diện tích miếng tơn Khi hình nón có bán kính đáy A 10 2cm Hướng dẫn giải: B 20cm C 50 2cm File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay D 25cm Trang 122 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Đặt a  50cm Gọi bán kính đáy chiều cao hình nón x, y  x, y   Ta có SA  SH  AH  x  y Khi diện tích tồn phần hình nón Stp   x   x x  y Theo giả thiết ta có  x   x x2  y   a  x x  y  x  a2 a4  x x  y  a  x  x  x  y   a  x  2a x ,  DK : x  a   x  y  2a Khi thể tích khối nón a4 y V   y   a4 2 y  2a y  2a 2 2 2 2 4 2 y  2a V đạt giá trị lớn đạt giá trị nhỏ y Ta có y  2a 2a 2a  y  y  2a y y y a 2a Vậy V đạt giá trị lớn y  , tức y  a  x   25cm y Lưu ý: Bài em xét hàm số lập bảng biến thiên Câu 54: Một chậu nước hình bán cầu nhơm có bán kính R =10cm, đặt khung hình hộp chữ nhật (hình 1) Trong chậu có chứa sẵn khối nước hình chỏm cầu có chiều cao h = 4cm Người ta bỏ vào chậu viên bi hình cầu kim loại mặt nước dâng lên vừa phủ kín viên bi (hình 2) Bán kính viên bi gần số nguyên sau (Cho biết thể tích khối chỏm h  cầu V   h  R   ) 3  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 123 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao B C D 10 Hướng dẫn giải: Gọi x bán kính viên bi hình cầu Điều kiện: < 2x (loại) x2  2,0940 < (thỏa mãn), x3  - 1,8197 (loại) Vậy bán kính viên bi là: r  2,09 (cm) Câu 55: Một người có dải băng dài 130 cm, người cần bọc dải băng đỏ quanh hộp quà hình trụ Khi bọc quà, người dùng 10 cm dải băng để thắt nơ nắp hộp (như hình vẽ minh họa) Hỏi dải băng bọc hộp quà tích lớn bao nhiêu? - Thể A 4000 cm3 B 32000 cm3 C 1000 cm3 D 16000 cm Hướng dẫn giải: Một toán thực tế hay ứng dụng việc tìm giá trị lớn hàm số Ta nhận thấy, dải băng tạo thành hai hình chữ nhật quanh hộp, chiều dài dải băng tổng chu vi hai hình chữ nhật Tất nhiên chiều dài băng phải trừ phần băng dùng để thắt nơ, có nghĩa là: 22  2r  h   120  h  30  2r Khi thể tích hộp q tính cơng thức: V  B.h   r  30  2r     2r  30r  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 124 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao Xét hàm số f  r   2r  30r  0;15  r  l  f '  r   6r  60r; f '  r      r  10 Khi vẽ BBT ta nhận Max f  r   f 10  Khi thể tích hộp quà  0;10  V  B.h   10 10  1000 Câu 56: Một khối gạch hình lập phương (khơng thấm nước) có cạnh đặt vào chiếu phễu hình nón trịn xoay chứa đầy nước theo cách sau: Một cạnh viên gạch nằm mặt nước (nằm đường kính mặt này); đỉnh cịn lại nằm mặt nón; tâm viên gạch nằm trục hình nón Tính thể tích nước cịn lại phễu (làm tròn chữ số thập phân) A V =22,27 B V =22,30 C V =23.10 D 20,64 Hướng dẫn giải: Gọi R , h bán kính chiều cao hình nón (phễu) Thiết diện hình nón song song với đáy hình nón, qua tâm viên gạch hình trịn có R h h bán kính R1  thỏa mãn   R  1 R h h Thiết diện hình nón song song với đáy hình nón, chứa cạnh đối diện với cạnh nằm đáy R h2 h2 hình nón hình trịn có bán kính R2  thỏa mãn   R  1  R h h h 2 Từ (1) (2) suy  3h R   h2 Thể tích lượng nước cịn lại phễu V  Vnón - Vgạch   R h  23  22, 2676 Câu 57: (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG QUẢNG NAM LẦN NĂM 2019) Người ta xếp ba viên bi có bán kính vào lọ hình trụ cho viên bi tiếp xúc với hai đáy lọ hình trụ viên bi đôi tiếp xúc tiếp xúc với đường sinh lọ hình trụ Tính bán kính đáy lọ hình trụ 3 A  B C D  Lời giải Chọn D File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 125 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao O1 O O3 O2 M Gọi O1 , O2 , O3 tâm ba viên bi r1  r2  r3  bán kính ba viên bi Theo giả thiết ba đường trịn lớn ba viên bi đôi tiếp xúc với , ba điểm O1, O2 , O3 tạo thành tam giác cạnh Gọi O trọng tâm tam giác O1O2O3 OO1  OO2  OO3  2 Cũng theo giả thiết ba viên bi tiếp xúc với đường sinh lọ hình trụ điểm nằm đường tròn đường trịn đáy lọ hình trụ (tham khảo hình vẽ trên) Vậy bán kính đáy lọ hình trụ OM  OO3  O3 M   Câu 58: Một bồn hình trụ chứa dầu, đặt nằm ngang, có chiều dài bồn 5m , có bán kính đáy 1m , với nắp bồn đặt mặt nằm ngang mặt trụ Người ta rút dầu bồn tương ứng với 0,5m đường kính đáy Tính thể tích gần khối dầu lại bồn (theo đơn vị m3 ) A 12,637m3 Hướng dẫn giải: B 114,923m3 Nhận xét OH  CH  0,5  C 11,781m3 D 8,307m3 R OB suy OHB tam giác nửa  22   60    HOB AOB  120 1 Suy diện tích hình quạt OAB là: S   R   3 OB 3 Mặt khác: S AOB  2S HOB  S BOC   ( BOC 4 C B A H đều) O File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 126 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao  1 3 Suy thể tích dầu rút ra: V1      3   Thể tích dầu ban đầu: V  5. 12  5 Vậy thể tích cịn lại: V2  V  V1  12, 637 m3 Chọn A Câu 59: (Chuyên Vinh Lần 2) Người ta sản xuất vật lưu niệm  N  thủy tinh suốt có Vậy diện tích hình viên phân cung AB dạng khối tròn xoay mà thiết diện qua trục hình thang cân Bên  N  có hai khối cầu ngũ sắc với bán kính R  3cm r  1cm tiếp xúc với tiếp xúc với mặt xung quanh  N  đồng thời hai khối cầu tiếp xúc với hai đáy  N  Tính thể tích vật lưu niệm A 485   cm3    B 81 cm3   C 72 cm3 D 728   cm3  Lời giải Chọn D IO1 O1 H1   IO2 O2 H Mà IO2  IO1  nên IO2  6cm; IO1  2cm; IK  1cm; IO  9cm Ta có: IO1 H1  IO2 H   N  khối nón cụt có bán kính đáy lớn đáy bé r1 r2 1 nên r1  3; r2  728 Vậy thể tích  N  V   r12  r2  r1r2  h   cm3  Câu 60: (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên Lần2) Người ta thả viên billiards snooker có dạng hình cầu với bán kính nhỏ 4,5 cm vào cốc hình trụ chứa nước viên billiards tiếp xúc với đáy cốc tiếp xúc với mặt nước sau dâng (tham khảo hình vẽ bên) Biết  Trong IO1 H1 có sin O IH  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 127 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao bán kính phần đáy cốc 5, cm chiều cao mực nước ban đầu cốc 4,5 cm Bán kính viên billiards bằng? A 4, 2cm B 3, 6cm C 2, 7cm Lời giải D 2, 6cm Chọn C Gọi V1 thể tích viên billiards snooker r bán kính ( ĐK:  r  4,5 ) Gọi V2 , V thể tích khối trụ trước sau thả viên billiards snooker vào Khi đó: V  V1  V2 (1) Ta có V1  .r ; V2  .5, 2.4,5  131, 22.; V  .5, 2.2 r  58, 32.r Thay vào (1) ta có phương trình: 4 .r  131, 22.  58,32 .r  r  58,32.r  131, 22  (2) 3 Giải phương trình (2) ta r1  4,83 (loại); r2  7,53 (loại); r3  2,7 (Thỏa mãn) Vậy r  2, 7cm Câu 61: (THPT-Ngơ-Quyền-Hải-Phịng-Lần-2-2018-2019) Một hộp dựng bóng tennis có dạng hình trụ Biết hộp chứa vừa khít ba bóng tennis xếp theo chiều dọc, bóng tennis có kích thước Thể tích phần khơng gian cịn trống hộp chiếm tỉ lệ a % so với thể tích hộp bóng tennis Số a gần với số sau đây? A 50 B 66 C 30 D 33 Lời giải Chọn D Gọi r bán kính bóng tennis Khi bán kính đáy hộp r chiều cao hộp 6r Khi thể tích hộp bóng hình trụ: V   r h   r 6r  6 r Thể tích bóng tennis: V1   r Suy thể tích ba bóng tennis 3V1  4 r Thể tích phần khơng gian cịn trống hộp V2  V  3V1  6 r  4 r  2 r File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 128 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao V2 2 r  a%   a%   a% Ta có: V 6 r Suy a  33 Câu 62: Cho hai mặt trụ có bán kính đặt lồng vào hình vẽ Tính thể tích phần chung chúng biết hai trục hai mặt trụ vng góc cắt A 256 256  Hướng dẫn giải B 512 C D 1024 Chọn D Cách Ta xét phần giao hai trụ hình Ta gọi trục tọa độ Oxyz hình vẽ Khi phần giao  H  vật thể có đáy phần tư hình trịn tâm O bán kính , thiết diện mặt phẳng vng góc với trục Ox hình vng có diện tích S  x    x Thể tích khối  H   S  x  dx   16  x dx  0 128 1024 Vậy thể tích phần giao 3 16 1024 R  3 Câu 63 (Nguyễn Du Dak-Lak 2019) Một cốc nước có hai phần: phần thân phần đế Phần thân để chứa nước có hình trụ cao 15 ml , chứa 750 ml nước Phần đế phần bán cầu làm thủy tinh đặc Mặt đế hình trịn lớn bán cầu vừa khít với hình trịn đáy thân cốc, mặt đế hình trịn đường kính ml Thể tích phần đế (tính xác đến hàng phần trăm) Cách Dùng công thức tổng quát giao hai trụ V  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 129 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A 112, 44 cm B 101,73 cm Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao C 132,98 cm Lời giải D 152,08 cm Chọn A + Ta có 750 ml  750 cm3 , suy V   R h  R  V 750   3,99 cm h 15 + Theo ta có hình vẽ bên 15cm O R A r I 6cm Gọi O tâm mặt đế, I tâm mặt đế nên OA  R bán kính hình trịn mặt (cũng bán kính bán cầu); IA  r  cm bán kính đường trịn mặt đế OI chiều cao phần đế, suy chiều cao chỏm cầu bỏ h  R  OI  R  R  r  1,36 cm (Vì OI  R  r ) R 2 R   133,04 cm3 + Thể tích bán cầu, bán kính R là: V1  3 h + Thể tích chỏm cầu có bán kính hình trịn nhỏ r là: V2  3r  h   20,54 cm3 Vậy thể tích phần đế là: V   V1  V2  133, 04  20,54  112,5 cm3 Câu 64 (Cẩm Giàng) Một nhà máy cần thiết kế bể đựng nước hình trụ tơn có nắp, tích 64  m3  Tìm bán kính đáy r hình trụ cho hình trụ làm tốn nguyên liệu A r   m  B r  16  m  C r  32  m  Lời giải D r   m  Chọn C Cách 1: V 64 64    m  r  r r Bể đựng nước hình trụ tơn có nắp nên diện tích tơn cần dùng diện tích tồn phần hình trụ Chiều cao bể nước hình trụ là: h  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 130 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nón-Trụ-Cầu Nâng Cao  64  Ta có: Stp  2 r.h  2 r  2   r   m   r  64 64 2r  64 Hàm số f  r    r có f   r     2r nên f   r      r  32 r r r2 Ta có bảng biến thiên hàm số f  r  : r f r   32    f r   3 1024 Hàm số f  r  đạt giá trị nhỏ r  32 nên bán kính đáy r hình trụ cho hình trụ làm tốn nguyên liệu r  32  m  Cách 2: V 64 64 Chiều cao bể nước hình trụ là: h     m  r  r r Bể đựng nước hình trụ tơn có nắp nên diện tích tơn cần dùng diện tích tồn phần hình trụ  64  Ta có: Stp  2 r.h  2 r  2   r   m   r  32 32  32 32  Do đó: S  2    r   2 3 r  Stp  6 1024 r r r  r  32 Dấu “=” xảy  r  r  32 r Vậy bán kính đáy r hình trụ cho hình trụ làm tốn ngun liệu r  32  m  File Word liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay Trang 131 ... 43 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Thể tích khối chóp S h đáy V   S đáy : Diện tích mặt đáy  h : Độ dài chiều cao khối chóp VS.ABCD... ĐẾN THỂ TÍCH 33 DẠNG 6: ỨNG DỤNG THỰC TẾ………………………………………………………………36 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao THỂ TÍCH ĐA DIỆN A – KIẾN THỨC CHUNG Thể tích khối. .. Trường THPT Nho Quan A Khối Đa Diện Nâng Cao 64 32 C V  D V  12 3 Câu 9: Cho khối đa diện n mặt tích V diện tích mặt S Khi đó, tổng khoảng cách từ điểm bên khối đa diện đến mặt A V  24