Tính đơn điệu của hàm số liên kết

Tài liệu gồm 39 trang, hướng dẫn giải bài toán liên quan đến tính đơn điệu của hàm số liên kết, giúp học sinh ôn tập chuẩn bị cho kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán.

NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ LIÊN KẾT KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Điều kiện để hàm số đơn điệu khoảng K Định nghĩa Giả sử K khoảng, đoạn khoảng y  f  x  hàm số xác định K Ta nói: + Hàm số y  f  x  gọi đồng biến (tăng) K x1 , x2  K , x1  x2  f  x1   f  x2  + Hàm số y  f  x  gọi nghịch biến (giảm) K x1 , x2  K , x1  x2  f  x1   f  x2  Hàm số đồng biến nghịch biến K gọi chung đơn điệu K Nhận xét a Nhận xét Nếu hàm số f  x  g  x  đồng biến (nghịch biến) D hàm số f  x   g  x  đồng biến (nghịch biến) D Tính chất không hiệu f  x   g  x  b Nhận xét Nếu hàm số f  x  g  x  hàm số dương đồng biến (nghịch biến) D hàm số f  x  g  x  đồng biến (nghịch biến) D Tính chất khơng hàm số f  x  , g  x  không hàm số dương D c Nhận xét Cho hàm số u  u  x  , xác định với x   a; b  u  x    c; d  Hàm số f u  x   xác định với x   a; b  Ta có nhận xét sau: i Giả sử hàm số u  u  x  đồng biến với x   a; b  Khi đó, hàm số f u  x   đồng biến với x   a; b   f  u  đồng biến với u   c; d  ii Giả sử hàm số u  u  x  nghịch biến với x   a; b  Khi đó, hàm số f u  x   nghịch biến với x   a; b   f  u  nghịch biến với u   c; d  Định lí Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Khi đó: a) Nếu hàm số đồng biến khoảng K f '  x   0, x  K b) Nếu hàm số nghịch biến khoảng K f '  x   0, x  K Định lí Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Khi đó: a) Nếu f '  x   0, x  K hàm số f đồng biến K b) Nếu f '  x   0, x  K hàm số f nghịch biến K c) Nếu f '  x   0, x  K hàm số f không đổi K Chú ý: Khoảng K định lí ta thay đoạn nửa khoảng Khi phải có thêm giả thuyết “ Hàm số liên tục đoạn nửa khoảng đó’ Chẳng hạn: Trang NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Nếu hàm số f liên tục đoạn  a; b f '  x   0, x   a; b  hàm số f đồng biến đoạn  a; b Ta thường biểu diển qua bảng biến thiên sau: Định lí 3.(mở rộng định lí 2) Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Khi đó: a) Nếu f '  x   0, x  K f '  x   hữu hạn điểm thuộc K hàm số f đồng biến K b) Nếu f '  x   0, x  K f '  x   hữu hạn điểm thuộc K hàm số f đồng biến K Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số Giả sử hàm số f có đạo hàm K  Nếu f '  x   với x  K f '  x   số hữu hạn điểm x  K hàm số f đồng  biến K Nếu f '  x   với x  K f '  x   số hữu hạn điểm x  K hàm số f nghịch biến K BÀI TẬP MẪU: (ĐỀ MINH HỌA BDG 2019-2020) Cho hàm số f  x  Hàm số y  f '  x  có đồ thị hình bên Hàm số g  x   f 1  x   x  x nghịch biến khoảng ? y –2 O x –2  3 A  1;   2  1 B  0;   2 C  2; 1 D  2;3 Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tìm khoảng đơn điệu hàm ẩn dạng g  x   f u  x    v  x  biết đồ thị hàm số y  f   x  HƯỚNG GIẢI: Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Cách 1: B1: Tính đạo hàm hàm số g  x  , g   x   u   x  f  u  x    v  x  B2: Sử dụng đồ thị f   x  , lập bảng xét dấu g   x  B3: Dựa vào bảng dấu kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số Cách 2: B1: Tính đạo hàm hàm số g  x  , g   x   u   x  f  u  x    v  x  B2: Hàm số g  x  đồng biến  g   x   ; (Hàm số g  x  nghịch biến  g   x   ) (*) B3: Giải bất phương trình * (dựa vào đồ thị hàm số y  f   x  ) từ kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số Cách 3: (Trắc nghiệm) B1: Tính đạo hàm hàm số g  x  , g   x   u   x  f  u  x    v  x  B3: Hàm số g  x  đồng biến K  g   x   0, x  K ; (Hàm số g  x  nghịch biến K  g   x   0, x  K ) (*) B3: Lần lượt chọn thay giá trị từ phương án vào g   x  để loại phương án sai Từ đó, ta giải toán cụ thể sau: Lời giải Chọn A Cách 1: Ta có: g  x   f 1  x   x  x  g   x   2 f  1  x   x  1 2x t Xét tương giao đồ thị hàm số y  f   t  y   Hàm số nghịch biến  g   x    f  1  x     2  t  t Dựa vào đồ thị ta có: f   t      t  1 2  x   2   x  Khi đó: g '  x      1  x  x    Cách 2: Ta có: g  x   f 1  x   x  x  g   x   2 f  1  x   x  g   x    f ' 1  x     2x Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 t Xét tương giao đồ thị hàm số y  f   t  y    x  t  2 1  x  2  t   Từ đồ thị ta có: f '  t     t  Khi đó: g   x    1  x    x   2 1  x  t   x    Ta có bảng xét dấu: 3  1 3 Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy: hàm số nghịch biến khoảng   ;    ;  2  2 2 Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN:Đây dạng tốn xét tính đơn điệu hàm liên kết h ( x )  f (u )  g ( x ) biết BBT,BXD, đồ thị hàm số KIẾN THỨC CẦN NHỚ: - Cách tính đạo hàm hàm hợp - Các bước lập bảng biến thiên hàm số - Đồ thị tương giao hai đồ thị HƯỚNG GIẢI: Lời giải Chọn A Ta có : g  x   f 1  x   x  x  g '  x   2 f ' 1  x   x   g '  x    2 f ' 1  x   x   Đặt t   x   2 f '  t   t  f '  t    Vẽ đường thẳng y   t x đồ thị hàm số f '  x  hệ trục Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 y –2 O x –2 Dựa vào đồ thị f '  t    t  t  2, t  0, t  Hàm số g  x  nghịch biến  g '  x    f '  t     2  t  t  t  1 x   2   x   2x Như f  1  x     2 2 4   x  x3  3 1 3  Vậy hàm số g  x   f 1  x   x  x nghịch biến khoảng  ;   ;   2 2 2   3 1 3  3 Mà  1;    ;  nên hàm số g  x   f 1  x   x  x nghịch biến khoảng  1;   2 2 2  2 Bài tập tương tự phát triển: Câu 50.1: Cho hàm số f  x  Hàm số y  f   x  có đồ thị hình bên Hàm số g  x   f  3x  1  3x  x đồng biến khoảng đây?  3 A 1;   2  2 B  0;   3 C  1;0  2  D  ;  3  Lời giải Trang NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ÔN THI THPTQG: 2019-2020 Chọn B Ta có: g   x   f   3x  1   x  2  Hàm g ( x ) đồng biến khoảng K g   x   (dấu = xảy số hữu hạn điểm)  f   3x  1   x     (1) Đặt u  3x  ta được: h  u   f   u   2u  Ta có: (1)  f   u   2u    f   u   2u 1 Từ đồ thị hàm số y  f   x  ta có đồ thị hàm số y  f   u  y  2u  hình vẽ Để h  u   ta cần có đồ thị y  f   u  phải nằm bên đồ thị hàm y  2u 1   2 x   ;   0  u    3x    3 Từ ta có h  u         u  3  x   3  x      2 Cho nên ta chọn đáp án B  0;    ;     3 Câu 50.2: Cho hàm số f  x  Đồ thị y  f '  x  cho hình bên Hàm số g  x   f  x  1  x2 nghịch biến khoảng đây? Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU A  2;  50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 C  2;1 B  0;1 D 1;3  Lời giải Chọn A Ta có: g  x   f  x  1  x2  g   x   f   x  1  x  g   x    f   x  1  x   f   x  1   x  1  Đặt t  x  f   t   t  Vẽ đường thẳng y  x  hệ trục tọa độ với đồ thị hàm số y  f   x  (như hình vẽ bên) Dựa vào đồ thị f '  t   t   t  3, t  1, t  Hàm số nghịch biến g   x   f   x  1  x   f   t   t  t  (; 3)  (1;3) Do x  (; 2)  (2; 4) g(x) nghịch biến  2;  Câu 50.3: Cho hàm số y  f  x  Hàm số y  f '  x  có đồ thị hình bên Trang NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU  50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020  Hàm số g  x   f x  x  x  x đồng biến khoảng đây?     A 1  2; 1 B 1  2; 1  C  1;   D 1;     Lời giải Chọn A   Ta có: g  x   f x  x  x  x  g   x    x   f   x  x   x    x  1  f   x  x   1  g   x     x  1  f   x  x   1   x  1, x  1  2, x  1    x      f   x  x   Xét g   x       x       f  x  x   I   II  Xét tương giao đồ thị hàm số y  f   x  y  Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU  50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020    Dựa vào đồ thị ta có: f  x  x   x  x  f  x  x   x2  x   x  1  x     x  1    x  1   x  1  Xét hệ (I):   2 x  2x   f   x  x      x  1   x    x  1  x  1 Xét hệ (II):     x  x   1   x  1   f   x  x    1   x  1     Vậy hàm số g  x  đồng biến khoảng 1  2; 1 1  2;  Câu 50.4: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm  Hàm số y  f '  x  có đồ thị hình vẽ bên Đặt y  g  x  f  x  x2 Khẳng định sau đúng? A Hàm số y  g  x  đồng biến khoảng 1;  B Đồ thị hàm số y  g  x  có điểm cực trị C Hàm số y  g  x  đạt cực tiểu x  1 D Hàm số y  g  x  đạt cực đại x  Lời giải Chọn D Ta có: g '  x   f '  x   x; g '  x    f '  x   x (*) Số nghiệm phương trình (*) số giao điểm đồ thị hàm số y  f '  x  đường thẳng y  x Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Dựa vào hình bên ta thấy giao điểm  1; 1 ; 1;1 ;  2;   x  1  (*)   x   x  Bảng xét dấu g '  x  : Từ bảng xét dấu g '  x  ta thấy hàm số y  g  x   f  x   x2 Đồng biến khoảng  ;1  2;   ; nghịch biến khoảng 1;  Hàm số y  g  x  đạt cực đại x  Câu 50.5: Cho hàm số f  x  có đồ thị hàm số f   x  hình vẽ Hỏi hàm số g  x   f 1  x   A  2;  x2  x nghịch biến khoảng đây? B 1;3 3  C  1;  2  D  3;1 Trang 10 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Q   x4  5x3  6x   x2  x  2 x  3 Bảng xét dấu Q Từ hai BXD P, Q Ta có P  0, Q  với x   2;3 nên g '( x)  P  Q  với x   2;3 Câu 50.20: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hàm số y  f   x  hình vẽ Xét hàm số g  x   f  x   x3  x  3m  với m tham số thực Điều kiện cần đủ để g  x   với x    5;  A m  f  5 B m  f 0 C m    f  D m  f  5 Lời giải Chọn A Ta có g  x   với x    5;   f  x   x3  x  3m   với x    5;   f  x   x3  x   3m với x    5;  Trang 25 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU  50 BÀI TOÁN ÔN THI THPTQG: 2019-2020   max f  x   x  x   3m với x    5;  *   5;    Đặt h  x   f  x   x3  x  x   Ta có h  x   f   x   x  , h  x    f   x   3x    x   x   Dựa vào đồ thị ta thấy f   x   3x  với x    5;   h  x  đồng biến   5;   max h  x   h     5;    Vậy *  f Câu 50.21:  5  f  5    3m  m  23 f   Cho hàm số f ( x ) có đồ thị hàm số y  f ’( x ) hình vẽ: Hàm số y  f (2 x  1)  A  6; 3 x3  x  x nghịch biến khoảng sau đây? B  3;6 C  6; D  1;0 Lời giải Chọn D Ta có: y’  f ’(2 x  1)  x  x   f ’(2 x  1)   x  1  x  Nhận xét: Hàm số y  f ( x) có f ’( x )   3  x  f ’( x)     x  3 Do ta xét trường hợp: Với 6  x  3  13  x   7 suy y’  hàm số đồng biến (loại) Với  x    x   11 suy y’  hàm số đồng biến (loại) Với x   x   11 suy y’  hàm số đồng biến (loại) Với 1  x   3  x   1 nên f ’(2 x  1)  3   x  1   2 suy y’  hàm số nghịch biến (nhận) Câu 50.22: Cho hàm số f  x  có bảng xét dấu đạo hàm sau Trang 26 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Hàm số g  x   f  x    x3  3x đồng biến khoảng đây? A 1;    B  ;  1 C  1;0  D  0;  Lời giải Chọn C Ta có g   x    f   x     x  3  Với x   1;0   x   1;   f   x    lại có x    y  0, x   1;0  Vậy hàm số g  x  đồng biến khoảng  1;0  Chú ý: +) Ta xét x  1;   1;     x    3;   f   x    0; x   Suy hàm số nghịch biến 1;  nên loại hai phương án A, D +) Tương tự ta xét x   ;    x     ;   f   x    0; x    y  0, x   ;   Suy hàm số nghịch biến khoảng   ;   nên loại phương án B Cho hàm số f  x  có đạo hàm, liên tục  Hàm số y  f   x  có đồ thị hình Câu 50.23: sau x  3x đồng biến khoảng đây?  3 B  0;1 C  1;1 D  1;   2 Lời giải Hàm số g  x   f  x      A  3;  Chọn D     Ta có g   x   x f  x   x  x  x  f  x   x  1 x  g  x     2  f   x    x   Đặt t  x   f   x    x    f   t   t    f   t   t  Đồ thị hàm số y  f   t  y  t  hình vẽ sau Trang 27 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 t  1 ( t  1 nghiệm đơn t  nghiệm kép) Từ đồ thị, ta có f   t   t    t   x2   1  x  1  f   x2  2    x2  2     x   x    x   Suy g   x     x  1 ( x  0, x  1 nghiệm đơn x   nghiệm kép) x    Bảng xét dấu g   x     3 1 (vì g      f        ) 2    4 Vậy hàm số đồng biến khoảng  1;0  1;    Câu 50.24: Cho hàm số y  ax5  bx  cx3  dx  ex  f với a, b, c, d , e, f số thực, đồ thị hàm số y  f   x  hình vẽ Hàm số y  f 1  2x   2x2  đồng biến khoảng sau đây? y O x Trang 28 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU   A   ; 1   50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020  1 B   ;   2 C  1;0  D 1;3 Lời giải Chọn C y O x Cách 1: Ta có: g  x   f 1  x   x   g   x   2 f  1  x   x Có: g   x    2 f  1  x   x   f ' 1  x   2 x (1) Đặt t   x, bất phương trình 1 trở thành f   t   t 1 Vẽ đường thẳng y  x  Trên đồ thị, ta thấy đường thẳng y  x  nằm đồ thị hàm số f   x  khoảng 1;3  f   t   t    t     x   1  x  Vậy hàm số g  x  đồng biến khoảng  1;0  Cách 2: Ta có: g  x   f 1  x   x   g   x   2 f  1  x   x Có g   x    f ' 1  x   2 x  f ' 1  x   (1  x)  Xét tương giao đồ thị hàm số y  f '  t  y  t  1,  t   x  1  x  x  t   Từ đồ thị ta có f '  t   t    Khi g '  x     t  1  x   x  1 Ta có bảng xét dấu Dựa vào bảng xét dấu ta thấy hàm số đồng biến khoảng  1;0  Cách 3: Cách trắc nghiệm Ta có: g  x   f 1  x   x   g   x   2 f  1  x   x Ta thử đáp án   Thử đáp án A: Chọn x  1, 25    ; 1  g '  1, 25  2 f '  3,5    Nhìn đồ thị f '  x  ta thấy f '  3,5    g '  1, 25    loại đáp án#A  1 Thử đáp án B: Chọn x  0, 25    ;   g '  0, 25  2 f '  0, 5   2 Nhìn đồ thị f '  x  ta thấy f '  0,5    g '  0, 25    loại đáp án B Trang 29 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Thử đáp án C: Chọn x  0,5   1;0   g '  0,5   2 f '    Nhìn đồ thị f '  x  ta thấy f '     2 f '     g '  0,5    Chọn đáp án C Thử đáp án D: Chọn x   1;3  g '    2 f '  3  Nhìn đồ thị f '  x  ta thấy f '  3   2 f '  3   g '     loại đáp án Câu 50.25: D Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x  có đồ thị hình Hàm số g  x   f  x  1  27 x  54 x  27 x  đồng biến khoảng đây?  2 A  0;   3 2  B  ;3  3  C  0;3 D  4;  Lời giải Chọn D Cách 1: 2 Ta có: g  x   f  3x  1   3x  1   3x  1  g '  x    f '  3x  1   3x  1   3x  1    Có g '  x    f '  x  1   x  1   x  1 (1) Đặt t  x  1, bất phương trình 1 trở thành f '  t   t  2t Vẽ Parabol y  x2  x Trên đồ thị, ta thấy đồ thị hàm số f '  x  nằm đồ thị hàm số y  x2  x khoảng  ; 1  3;   x  t  1 3 x   1  Suy f '  t   t  2t     x  t  3 x   3  Trang 30 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 4  Vậy hàm số g  x  đông biến khoảng  ;   ;     Cách 2: 2 Ta có: g  x   f  3x  1   3x  1   3x  1  g '  x    f '  3x  1   3x  1   3x  1    Có: g '  x    f '  x  1   x  1   x  1 Xét tương giao đồ thị hàm số y  f '  t  y  t  t,  t  3x  1 t  1  Từ đồ thị ta có: f '  t   t  2t  t  1(nghiệm ké p) t   x   x   1   Khi g '  x    3 x     x  (nghiệm ké p)  3 x   x    Ta có bảng xét dấu Dựa vào bảng xét dấu ta thấy hàm số đồng biến khoảng  ;   3;   Câu 50.26: Cho hàm số f ( x ) liên tục  có f ( 1)  có đồ thị hàm số y  f ( x ) hình vẽ Hàm số y  f ( x  1)  x đồng biến khoảng A  3;  B  1;  C  0;   D  0;3 Lời giải Chọn D Đặt g ( x)  f ( x  1)  x  g ( x)  2[ f ( x  1)  ( x  1)  1] Trang 31 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Dựa vào đồ thị hàm số y  f ( x ) đồ thị hàm số y  x  ta có: g ( x )   f ( x  1)  ( x  1)   1  x     x  Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên, hàm số y  f ( x  1)  x đồng biến khoảng  0;3 Câu 50.27: Cho hàm số f  x  Hàm số y  f   x  có đồ thị hình sau Hàm số g ( x)  f (1  x)  x  21x  x đồng biến khoảng đây? A 1;2 B  3;1 C 0;1 D  1;2 Lời giải Chọn A Ta có g ' ( x )  6 f ' (1  x )  24 x  42 x  g ' ( x)   f ' (1  x)  x  x  (*) Đặt  x  t  x  1 t 2 1 t 3 1 t  Ta có (*) trở thành f ' (t )  4.   f ' (t )  t  t    2   3 Ta vẽ parapol ( P ) : y  x  x  hệ trục Oxy với đồ thị y  f   x  hình vẽ 2 33 sau ( đường nét đứt), ta thấy (P ) có đỉnh I (  ; ) qua điểm  3;3,  1;2, 1;1 16 Trang 32 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 3 Từ đồ thị hàm số ta thấy khoảng  3;1 ta có f ' (t )  t  t   3  t  1 2  3   x  1   x  Vậy hàm số g (x ) nghịch biến khoảng (1;2) Câu 50.28: Cho hàm số y  f  x  liên tục  có đạo hàm f   x  thỏa mãn: f   x   1  x   x   Hàm số y  f  x  3  x3  12 x nghịch biến khoảng sau đây? A 1;5 B  2;    C  1;  D   ;  1 Lời giải Chọn B Ta có: f   x   1  x   x   suy f   x  3  1   x  3   x         x   x   x   Mặt khác: y  f   x  3  3x  12  3  x   x   x     x  4   3  x   x   x    5  x  2 Xét y   3  x   x   x      x  Vậy hàm số y  f  x  3  x3  12 x nghịch biến khoảng  5;    2;    Câu 50.29: Cho hàm số y  f  x  , hàm số f   x   x3  ax  bx  c  a, b, c    có đồ thị hình vẽ Hàm số g  x   f  f   x   nghịch biến khoảng đây? A 1;   B  ; 2  C  1;0   3 D    ;    Lời giải Chọn B Trang 33 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Vì điểm  1;0  ,  0;0  , 1;0  thuộc đồ thị hàm số y  f   x  nên ta có hệ:  1  a  b  c  a     b  1  f   x   x  x  f ''  x   x  c   c  1  a  b  c   Ta có: g  x   f  f   x    g   x   f   f   x   f ''  x   x3  x   x  x 1 Xét g   x    g   x   f   f '  x   f   x    f   x  x  x  1    x  x  1  3 x     x  1  x    x  1,325  x  1,325  x    Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên  g  x  nghịch biến  ; 2  Câu 50.30: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f '  x   x  x  3, x   Có giá trị   nguyên tham số m thuộc đoạn  10; 20  để hàm số g  x   f x  3x  m  m2  đồng biến  0;  ? A 16 B 17 C 18 Lời giải D 19 Chọn C  t  3 Ta có f '  t   t  2t     *  t   Có g '  x    x  3 f ' x  3x  m  Vì x   0, x   0;  nên g  x  đồng biến  0;   g '  x   0, x   0;2   f '  x2  3x  m   0, x   0;2   x  x  m  3, x   0;   x  x  m  3, x   0;    (**)  x  x  m  1, x   0;   x  x  m  1, x   0;   m   10  m  13 Có h  x   x  3x đồng biến  0;  nên từ (**)    m    m  1 m   10; 20  Có 18 giá trị tham số m Vì  m   Trang 34 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Vậy có 18 giá trị tham số m cần tìm Câu 50.31: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  đồ thị hàm số y  f '  x  hình vẽ  x  m  1  2019 với m tham số thực Gọi S tập giá trị nguyên dương m để hàm số y  g  x  đồng biến khoản  5;6  Tổng phần tử Đặt g  x   f  x  m   S bằng: A B 11 C 14 Lời giải D 20 Chọn C Ta có g '  x   f '  x  m    x  m  1 Đặt h  x   f '  x    x  1 Từ đồ thị y  f '  x  đồ thị y  x  hình vẽ ta suy  1  x  h  x    x   1  x  m   m   x  m  Ta có g '  x   h  x  m      x  m  x  m  Do hàm số y  g  x  đồng biến khoảng  m  1; m  1  m  3;    m   5  m   Do vậy, hàm số y  g  x  đồng biến khoảng  5;6     m     m   m   Do m nguyên dương nên m 1; 2;5;6 , tức S  1; 2;5;6 Tổng phần tử S 14 Trang 35 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Cho hàm số y  f  x  hàm đa thức có đồ thị hàm số y  f   x  hình vẽ Câu 50.32: Có giá trị nguyên tham số m , m  Z ,  2020  m  2020 để hàm số   g  x   f  x   mx  x  x   đồng biến khoảng  3;    A 2021 B 2020 C 2019 Lời giải Chọn B Ta có g   x   xf   x   mx  x  x   D 2022 Hàm số g  x  đồng biến khoảng  3;  suy g   x   0, x   3;0  xf   x   mx  x  x    0,  x    3;   f   x   m   x  x    0,  x    3;    f   x   2m   x  x  3 , x   3;0   m   m  max  3;0  f   x2    x  x  3 f   x2    x2  x  3 , x   3;0  Ta có   x    x   f   x    dấu “  ” x   x  1   x  x     x  1     x  x   4,  x    3;  1  , dấu “  ” x  1  x  2x  f   x2  3 3 Suy   , x   3;0  , dấu “  ” x  1 2   x  x  3 2.4   max  3;0  f   x2    x  x  3 Vậy m   , mà m   , 2020  m  2020 nên có 2020 giá trị tham số m thỏa mãn toán Câu 50.33: Cho hàm số f  x  Hàm số y  f   x  có đồ thị hình sau Trang 36 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Có tất giá trị nguyên dương tham số m đề hàm số g ( x)  f ( x  m)  x  2mx  2020 đồng biến khoảng (1;2) B A C Lời giải D Chọn A Ta có g ' ( x )  f ' ( x  m )  x  m g ' ( x )   f ' ( x  m)   xm (*) Đặt t  x  m (*)  f ' (t )   Vẽ đường thẳng y   t x hệ trục Oxy với đồ thị y  f   x  hình vẽ sau m   x  m   t  t   x  m  t  Hàm số g (x ) đồng biến khoảng (1;2)  g ' ( x)  x  1;2 Từ đồ thị ta có f ' (t )   2  m  m     m    m  3 m   Vì m nguyên dương nên m  2;3 Vậy có hai giá trị nguyên dương m đề hàm số g (x ) đồng biến khoảng (1;2) Câu 50.34: Cho hàm số f  x  có đạo hàm f   x    x  1 x  1 x   ; x   Có số  2 x   m  đồng biến  2;     1 x  C 2020 D 2021 nguyên m  2020 để hàm số g  x   f  A 2018 B 2019 Lời giải Chọn B Ta có: g   x     x  1 2 x   m f   1 x  Trang 37 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 Hàm số g  x  đồng biến  2;     g   x   0; x   2;      x  1 2 x  f   m   0; x   2;     1 x  2 x   f   m   0; x   2;     1 x  Ta có: f   x     x  1 1  x   x  1 x  1 x  4    2  x   x  m  1; x   2;    2 x   Do đó: f   m   0; x   2;       1 x  1   x  m  4; x   2;      x 2 x Hàm số h  x    m ; x   2;    có bảng biến thiên: 1 x 1  2 Căn bảng biến thiên suy ra: Điều kiện   khơng có nghiệm m thỏa mãn Điều kiện 1  m  1  m  ,kết hợp điều kiện m  2020 suy có 2019 giá trị m thỏa mãn u cầu tốn Nhận xét: Có thể mở rộng toán nêu sau: Cho hàm số f  x  có đạo hàm f   x    x  1 x  1 x   ; x   Có số 2x   h  m   đồng biến  2;     1 x  Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f '  x    x  1 e x , có giá trị nguyên nguyên m  2020 để hàm số g  x   f  Câu 50.35: tham số m đoạn  2019; 2019 để hàm số y  g  x   f  ln x   mx  mx  nghịch biến 1; e  A 2018 B 2019 C 2020 Lời giải D 2021 Chọn B Trên 1; e  ta có g '  x   f '  ln x   2mx  m  ln x    x  1 m x Để hàm số y  g  x  nghịch biến 1; e  g '  x   ln x    x  1 m  0, x  1; e   ln x    x  1 m  0, x  1; e2   ln x   m, x  1; e  2x  Trang 38 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN ƠN THI THPTQG: 2019-2020 ln x  Xét hàm số h  x   1; e  , ta có h '  x   2x  1  ln x x  0, x  1; e  , từ suy  x  1  m  Vậy có 2019 giá trị nguyên m thỏa toán Trang 39 ... tắc xét tính đơn điệu hàm số Giả sử hàm số f có đạo hàm K  Nếu f '  x   với x  K f '  x   số hữu hạn điểm x  K hàm số f đồng  biến K Nếu f '  x   với x  K f '  x   số hữu hạn... thị hàm số y  f   x  ) từ kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số Cách 3: (Trắc nghiệm) B1: Tính đạo hàm hàm số g  x  , g   x   u   x  f  u  x    v  x  B3: Hàm số. .. trị Câu 50.18: Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm  Đồ thị hàm số y  f '( x ) hình vẽ Tìm khoảng đơn điệu hàm số g ( x)  f ( x)  x  x  2020 y -1 O x -2 Mệnh đề đúng? A Hàm số g  x  nghịch