SKKN khai thác và xây dựng hệ thống bài tập hình học từ một bài tập cơ bản ban đầu theo nhiều hướng khác nhau

A ĐẶT VẤN ĐỀ I BỐI CẢNH CỦA ĐỀ TÀI Giảng dạy mơnToán nói chung giảng dạy mơn Hình học ở bậc THCS nói riêng thì việc định hướng, liên kết, mở rộng lật ngược toán vấn đề quan trọng, khơng giúp cho học sinh nắm vững kiến thức dạng toán bản mà giúp các em có khả khái quát hoá, đặc biệt hoá toán để từ phát triển tư duy, nâng cao tính sáng tạo Là công cụ đắc lực để rèn luyện tính thơng minh, tư sáng tạo học sinh Hơn nữa, việc liên kết, mở rộng lật ngược các toán khác nhau, tìm mối liên hệ chung giữa chúng giúp cho học sinh hứng thú phát triển lực tự học cách khoa học học toán Qua các năm giảng dạy nhận thấy rằng: - Học sinh yếu toán kiến thức hổng, lại lười học, lười suy nghĩ, lười tư quá trình học tập - Học sinh làm tập rập khn, máy móc để từ làm tính tích cực, độc lập, sáng tạo bản thân - Các em cố, khắc sâu kiến thức, rèn luyện kĩ để làm tảng tiếp thu kiến thức mới, lực cá nhân không phát huy hết - Khơng học sinh thực chăm học chưa có phương pháp học tập phù hợp, chưa tích cực chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên hiệu quả học tập chưa cao - Nhiều học sinh hài lòng với lời giải mình, mà không tìm lời giải khác, không khai thác phát triển toán, sáng tạo toán nên khơng phát huy hết tính tích cực, độc lập, sáng tạo bản thân - Một số giáo viên chưa thực quan tâm đến việc khai thác, phát triển, sáng tạo toán các các luyện tập, tự chọn - Việc chuyên sâu vấn đề đó, liên hệ các toán với nhau, phát triển toán giúp cho học sinh khắc sâu kiến thức, quan trọng nâng cao tư cho các em làm cho các em có hứng thú học toán II LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Thực tế kỹ giải giải các tập Hình học học sinh chưa cao, học sinh nhiều lúng túng, bỡ ngỡ trước các toán hình học Và qua thực tế nhiều năm giảng dạy đã tiếp xúc với nhiều đối tượng học sinh khác thấy đa số học sinh không nhớ những tập hình học đã làm nhớ các tập riêng lẻ, thậm chí có những khác bởi lời văn nội dung lại hoàn toàn giống với toán đã làm học sinh không làm Đặc biệt các toán đảo toán tổng quát học sinh thường kỹ nhận Do kết quả học tập kết quả đạt các kỳ thi chưa cao Vì vậy việc khai thác xây dựng hệ thống tập từ các tập ban đầu giúp cho học sinh nhiều học toán, giúp học sinh dễ dàng nhận các toán cũ, toán đảo, toán tổng quát…đồng thời góp phần vào việc đổi phương pháp dạy học theo hướng tích cực bồi dưỡng lực học toán cho học sinh, rèn luyện khả sáng tạo học toán cho học sinh Với mong muốn xin giới thiệu đề tài: “ Khai thác va xây dựng hệ thống bai tập hình học từ bai tập bản ban đầu theo nhiều hướng khác ” III ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU Trong khuôn khổ đề tài đề cập đến các tập hình học chương trình hình học THCS Đối tượng để thể nghiệm đề tài học sinh các khối lớp 7, 8, đội tuyển học sinh giỏi trường IV MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU - Phát triển lực tự học, biết liên kết mở rộng các toán từ giúp các em hình thành phương pháp giải - Giúp học sinh hứng thú học tập - Hình thành tính tích cực, tự giác, chủ động học sinh Khơi dậy tính sáng tạo giải toán học sinh - Sữa chữa những thiếu sót, những sai lầm mà học sinh hay gặp giải các toán hình học - Giúp học sinh nhận dạng áp dụng phương pháp phù hợp các toán hình học khác - Rèn luyện hình thành cho học sinh các kỹ vẽ hình thành thạo xác + Giúp học sinh có hứng thú, say mê học toán + Giúp học sinh xây dựng phương pháp tự học khoa học + Giúp học sinh đạt kết quả cao học tập nói chung bồi dưỡng học sinh giỏi nói riêng V ĐIỂM MỚI TRONG KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Vấn đề nghiên tương đối cứu tồn diện sâu sắc cơng tác giảng dạy môn hình học Vấn đề nghiên cứu vấn đề đặc biệt quan trọng có tác động lớn đến việc nâng cao chất lượng học sinh, phát huy tính tích cực, khả tư duy, sáng tạo học sinh Hệ thống tập xây dựng liên kết các kiến thức Từ những toán khơng mới, giáo viên đã biến thành cái xếp chúng theo hệ thống định giúp học sinh tiếp thu nhanh hơn,vững vàng hứng thú B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I CƠ SỞ LÍ LUẬN Hiện hệ thống tập sách giáo khoa, sách tập cả các tài liệu tham khảo chương trình hình học THCS tơi thấy rời rạc, đơn giản, chưa sâu, chưa có tập xâu ch̃i, liên kết các kiến thức đã học với Đặc điểm lứa tuổi THCS muốn tự mình khám phá, tìm hiểu quá trình nhận thức Các em có khả điều chỉnh hoạt động học tập, sẵn sàng tham gia các hoạt động học tập khác cần phải có hướng dẫn, điều hành cách khoa học nghệ thuật thầy cô giáo Nếu hướng dẫn học sinh học qua các tập riêng lẻ sách giáo khoa hay sách tập thì khó để nâng cao chất lượng học sinh Do mỡi giáo viên cần xây dựng hệ thống các tập liên kết các tập từ các tập bản ban đầu giúp học sinh dễ dàng nhận biết, liên hệ các tập với các tập cũ từ tìm hướng giải cho các tập làm các tập tương tự nắm vững kiến thức II THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI Qua kết quả khảo sát, kiểm tra trước áp dụng đề tài với 35 học sinh lớp 9A năm học 2015 – 2016 thấy kết quả tiếp thu sau: Điểm Điểm - Điểm - 10 Điểm – SL % SL % SL % SL % 25 71,4% 20% 8,6% 0% Qua làm học sinh, thấy đa số các em lúng túng chưa liên hệ với các tập bản mà các em đã làm (kể cả các em đội tuyển học sinh giỏi) dẫn đến kết quả làm thấp, đa số các em chưa đạt yêu cầu, chất lượng điểm khá giỏi thấp - Học sinh làm tập rập khuôn, máy móc để từ làm tính tích cực, độc lập, sáng tạo bản thân - Các em cố, khắc sâu kiến thức, rèn luyện kĩ để làm tảng tiếp thu kiến thức mới, lực cá nhân khơng phát huy hết - Khơng học sinh thực chăm học chưa có phương pháp học tập phù hợp, chưa tích cực chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên hiệu quả học tập chưa cao - Nhiều học sinh hài lòng với lời giải mình, mà khơng tìm lời giải khác, không khai thác phát triển toán, sáng tạo toán nên khơng phát huy hết tính tích cực, độc lập, sáng tạo bản thân - Một số giáo viên chưa thực quan tâm đến việc khai thác, phát triển, sáng tạo toán các các luyện tập, tự chọn - Việc chuyên sâu vấn đề đó, liên hệ các toán với nhau, phát triển toán giúp cho học sinh khắc sâu kiến thức, quan trọng nâng cao tư cho các em làm cho các em có hứng thú học toán Do vậy bản thân thấy cần thiết phải xây dựng các giải pháp phương pháp dạy học cho phù hợp có hiệu quả, giúp các em giải nhanh xác các toán III GIẢI PHÁP THỰC HIỆN: Trong quá trình dạy toán, các thầy giáo đã có khơng lần gặp các toán cũ mà cách phát biểu hồn tồn khác, khác chút Những toán tương tự, mở rộng, đặc biệt hóa hay lật ngược toán mà các toán có phương pháp giải Nếu giáo viên định hướng cho học sinh kỷ thường xuyên liên hệ toán với những toán đã biết toán đảo, toán tổng quát, toán đặc biệt thì làm cho học sinh phát toán khơng mình nữa nhanh chóng xếp loại toán từ định hướng phương pháp giải cách tích cực chủ động Sau tơi đưa số ví dụ để giải thực trạng để thể nội dung đề tài Bai toán 1: Cho hình thang vuông ABCD ( µA = Bµ = 900 ) Gọi O trung điểm · D = 900 AB Biết cạnh bên CD = AD + BC Chứng minh: CO Hướng dẫn: Gọi N trung điểm CD ⇒ ON đường trung bình hinh thang ABCD nên ON = AD+BC Mà AD + BC = CD ⇒ ON = ⇒ ∆ COD vuông tại O · D = 900 vậy CO CD 2 Khai thác va xây dựng hệ thống bai toán · D = 900 ON = CD mà ON = AD+BC suy Qua toán ta thấy CO 2 CD = AD + BC Với cách suy nghĩ ta có tốn (bài tốn tốn đảo tốn gốc) µ = 900 ) Gọi O trung điểm Bai toán 2: Cho hình thang vng ABCD ( µA = B · D = 900 Chứng minh: CD = AD + BC AB Biết CO Hướng dẫn: Gọi N trung điểm CD ⇒ ON đường trung bình hinh thang ABCD nên ON = AD+BC (1) ON đường trung tuyến ứng với cạn huyền tam giác vuông DOC CD (2) Từ (1) (2) ⇒ CD = AD + BC ⇒ ON = Nhận xét 1: Qua bài toán ta thấy C D nằm hai tia nằm · D = 900 nửa mặt phẳng vng góc với AB A B CO · D = 900 CD = AD + BC ngược lại CD = AD + BC CO ¶ ⇒ ∆ADO ∽ ∆BOC Với cách suy nghĩ ta · D = 900 ta suy ·ADO = O Và từ CO có toán sau: Bai toán 3: Cho đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tia Ax By vng góc với AB Gọi O trung điểm AB, các tia Ax By lần lượt lấy các điểm D C cho CD = AD + BC Chứng minh: · D = 900 a) CO b) ∆ADO ∽ ∆BOC Hướng dẫn câu b: Xét ∆ADO ∆BOC ta có: · · DAO = OBC = 900 (gt) ·ADO = O ả (cựng ph vi O ) ⇒ ∆ADO ∽ ∆BOC (g.g) AD BO AB2 = ⇒ AD.BC=AO.BO= AO BC DO AO DO OB ⇒ ⇒ ∆ODC ∽ ∆BOC Với suy ngĩ = = Và ∆ADO ∽ ∆BOC ⇒ CO BC CO BC Nhận xét 2: Vì ∆ADO ∽ ∆BOC ⇒ ta có toán sau: Bai toán 4: Cho đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tia Ax By vng góc với AB Gọi O trung điểm AB, các tia Ax By lần lượt lấy các điểm D C cho CD = AD + BC Chứng minh: · D = 900 a) CO AB2 c) ∆ODC ∽ ∆BOC b) AD.BC= Nhận xét 3: Nếu tốn 1;2;3 học sinh khơng dễ để giải tốn học sinh làm tốn tốn trở nên đơn giản với học sinh Hướng dẫn: Theo toán thì ∆ADO ∽ ∆BOC (g.g) AD BO AB2 = ⇒ AD.BC = AO.BO = AO BC DO AO = Và ∆ADO ∽ ∆BOC ⇒ CO BC DO OB ⇒ ⇒ ∆ODC ∽ ∆BOC (c.g.c) = CO BC ⇒ Nhận xét 4: Từ ∆ODC ∽ ∆BOC Cà1 = Cả ả =D ả Do kẻ OM ⊥ CD OA = OB = OM nên ta có tương tự D toán sau: Bai toán 5: Cho đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tia Ax By vng góc với AB Gọi O trung điểm AB, các tiaAx By · D = 900 M chân đường vng góc kẻ lần lượt lấy các điểm D C cho CO từ O đến CD Chứng minh: a) AD.BC không đổi D C di chuyển Ax By b) Tam giác AMB vuông Hướng dẫn: a) Làm theo ta chứng minh AB2 mà AB không đổi nên AD.BC không đổi b) Qua ta đã c/m ODC BOC Cà1 = Cả ả =D ¶ nên suy Tương tự ta có D AD.BC = ∆ADO = ∆ MDO (cạnh huyền – góc nhọn) OM = OA Tương tự OM = OB nên OM = AB suy ∆ AMB vuông tại M Nhận xét 5: Từ ∆ADO = ∆ MDO ta suy DA = DM AM ⊥ DO BM vng góc với OC ta có tốn sau: Bai toán 6: Cho đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tia Ax By vng góc với AB Gọi O trung điểm AB, các tiaAx · D = 900 M chân đường vng góc By lần lượt lấy các điểm D C cho CO kẻ từ O đến CD Gọi P giao điểm AM DO; Q giao điểm BM CO Chứng minh: a) Tứ giác OPMQ hình chữ nhật b) PQ // AB c) ∆ OPQ ∽ ∆ OCD Hướng dẫn: ¶ =D ¶ a) Ở ta đã chứng minh D ∆ADO = ∆ MDO (cạnh huyền – góc nhọn) suy ∆ DAM cân tại D suy DO đường trung trực AM nên AM ⊥ DO tại P Tương tự MB ⊥ OC tại Q · D = 900 (gt) suy Mặt khác CO Tứ giác OPMQ hình chữ nhật b) Vì DO // MB (cùng vng góc AM) µ = MBO · µ =O ¶ ( ∆ADO = ∆ MDO ) ⇒ O mà O 1 ¶O = MQP · · · = MBO ( ∆ OPM = ∆ QMP (c.c.c)) suy MQP Vậy PQ // AB · µ m O =C (cựng ph vi O ả ); C =C ả =O c) PQ // AB ⇒ QPO 1 · ¶ ⇒ QPO =C vậy ∆ OPQ ∽ ∆ OCD (g.g) Nhận xét 6: Ở toán ta thay chứng minh Tứ giác OPMQ hình chữ nhật yêu cầu chứng minh OP.OD = OQ.OC ta chứng minh câu c ∆ OPQ ∽ ∆ OCD (c.g.c) ta phát triển thêm toán tương tự sau: Bai toán 7: Cho đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tia Ax By vng góc với AB Gọi O trung điểm AB, các tiaAx · D = 900 M chân đường vng góc By lần lượt lấy các điểm D C cho CO kẻ từ O đến CD Gọi P giao điểm AM DO; Q giao điểm BM CO Chứng minh: a) Độ dài PQ không đổi D C di chuyển Ax By b) OP.OD = OQ.OC c) ∆ OPQ ∽ ∆ OCD Hướng dẫn: a) Ta c/m OPMQ hình chữ nhật ⇒ PQ = MO AB mà MO = MD.MC = AD.BC = không đổi b) Ta c/m MO2 = OP.OD = OQ.OC c) Từ OP.OD = OQ.OC ⇒ OP OQ ⇒ ∆ OPQ ∽ ∆ OCD (c.g.c) = OC OD Nhận xét 7: Từ ta thấy OPMQ hình chữ nhật DO // MB O trung điểm AB gọi E giao điểm MB tia Ax D trung điểm · AE Mà ∆ADO ∽ ∆BOC nên ∆ AEO ∽ ∆ BAC ⇒ ·AEO = BAC ⇒ EO ⊥ AC nên ta có toán sau: Bai toán 8: Cho đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tia Ax By vng góc với AB Gọi O trung điểm AB, các tiaAx · D = 900 M chân đường vng góc By lần lượt lấy các điểm D C cho CO kẻ từ O đến CD Gọi E giao điểm BM tia Ax a) Chứng minh D trung điểm AE b) Chứng minh EO ⊥ AC Hướng dẫn: DO AO DO OB ⇒ = = CO BC CO BC =C ả BOC∽ ∆ ODC (c.g.c) ⇒ C a) ∆ ADO∽ ∆ BOC (g.g) ⇒ suy ∆ OMC = ∆ OBC (cạnh huyền – góc nhọn) ⇒ CM = CB ⇒ CO đường trung trực MB ⇒ CO ⊥ EB mặt khác CO ⊥ DO (gt) ⇒ CO // EB mà OA = OB (gt) suy D trung điểm AE b)Gọi K giao điểm EO AC BC OB 2OB AB = = = AO AD AD AE · ⇒ ∆ AEO ∽ ∆ BAC (c.g.c) ⇒ ·AEO = BAC · · AE = 900 ⇒ ·AEO + K · AE = 900 Mà BAC +K Suy ·AKE = 900 vậy EO ⊥ AC ∆ ADO∽ ∆ BOC ⇒ Nhận xét 8: Từ CM = CB D trung điểm AE Nếu gọi I giao điểm AC BD MI // BC MI cắt AB H I trung điểm MH nên ta có tốn sau: Bai toán 9: Cho đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tia Ax By vng góc với AB Gọi O trung điểm AB, các tiaAx By · D = 900 M chân đường vng góc kẻ lần lượt lấy các điểm D C cho CO từ O đến CD Gọi I giao điểm AC BD a) Chứng minh rằng: MI ⊥ AB b) MI cắt AB tại H Chứng minh rằng: MI = IH Hướng dẫn: DO AO DO OB ⇒ ⇒ ∆ BOC∽ ∆ ODC (c.g.c) ⇒ = = CO BC CO BC µ =C ¶ suy ∆ OMC = ∆ OBC (cạnh huyền – góc nhọn) ⇒ CM = CB C ¶ =D ¶ mà D ¶ =O ¶ ⇒ D ¶ =D ¶ ∆ BOC∽ ∆ ODC ⇒ O a) ∆ ADO∽ ∆ BOC (g.g) ⇒ 4 suy ∆ OAD = ∆ OMD (cạnh huyền – góc nhọn) ⇒ AD = MD Ta có AD // BC ⇒ AD DI = mà CM = CB; AD = MD BC BI MD DI ⇒ MI // BC = MC BI Mặt khác BC ⊥ AB ⇒ MI ⊥ AB ⇒ b) theo ta đã c/m DA = DE mà MI // ED (theo câu a) ⇒ MI IB = DE DB IB IH = DB AD MI IH ⇒ MI = IH = Từ suy DE DA IH // DA ⇒ Nhận xét 9: Vì MH // AE ; DO // EB gọi F giao điểm MH DO DÈMF hình bình hành nên MF = DE mà DE = DA suy MF = AD nên ta có tốn 10 sau: Bai toán 10: Cho đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tia Ax By vng góc với AB Gọi O trung điểm AB, các tiaAx · D = 900 M chân đường vng góc By lần lượt lấy các điểm D C cho CO kẻ từ O đến CD Kẻ MH ⊥ AB (H ∈ AB) DO cắt MH tại F chứng minh AD = MF Hướng dẫn: ¶ =D ¶ suy ∆ OAD = ∆ OMD (cạnh huyền – góc nhọn) Từ D ⇒ AD = MD nên DO đường trung trực AM ⇒ DO ⊥ AM nên F trực tâm tam giác AMO ⇒ AF ⊥ MO mà DM ⊥ MO ( gt ) ⇒ DM // AF MF // AD (GT) suy tứ giác ADMF hình bình hành Vậy AD = MF Nhận xét 10: Ta thấy AB ≤ DC; AD + BC = DC Nên chu vi tứ giác ABCD là: PABCD = AB + AD + BC + DC = AB + 2DC ≥ 3AB 2 Diện tích tứ giác ABCD là: S ABCD = ( AD + BC ) AB = DC AB ≥ AB nên ta có tốn 11 sau: Bai toán 11: Cho đoạn thẳng AB có độ dài a Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tia Ax By vng góc với AB Gọi O trung điểm · D = 900 AB D C các điểm di động trên các tiaAx By cho CO Tìm vị trí D C để: a) Chu vi tứ giác ABCD nhỏ b) Diện tích tứ giác ABCD nhỏ Hướng dẫn: Gọi N trung điểm CD ⇒ ON đường trung bình hinh thang ABCD nên ON = AD+BC (1) ON đường trung tuyến ứng với cạn huyền tam giác vuông DOC CD (2) Từ (1) (2) ⇒ CD = AD + BC Ta có: PABCD = AB + AD + BC + DC = AB + 2DC ⇒ ON = Mà DC ≥ AB (vì AB khoảng cách giữa hai đuoingừ thẳng song song) ⇒ PABCD ≥ 3AB = 3a Vậy chu vi tứ giác ABCD nhỏ 3a CD = AB suy CD // AB Nhận xét 11: - Bài toán này có thể khai thác, phát triển thành nhiều bài toán nữa theo nhiều hướng khác Nhưng nhũng bài toán được phát triển theo một mạch lôgic và vận dụng các kiến thức bản nhất của hình học Và mỗi bài toán có thể còn nhiều cách giải khác nữa, chí còn những cách giải còn ngắn gọn Nhưng chuyên đề này chỉ trình bày các cách suy luận theo một mạch lôgic liên quan giữa các bài tập với - Để vận dụng tốt đề tài này cần yêu cầu học sinh nắm vững các kiến thức bản của bộ môn hình học - Để vận dụng đề tài hiệu quả quá trình giảng dạy giáo viên cần cho học sinh tiếp cận đề dưới nhiều bài toán khác bằng cách thay đổi các yêu cầu bài toán bằng các câu hỏi tương tự, làm mới bài toán bằng các cách thay đổi ngôn ngữ bản chất toán học không thay đổi 10 Chẳng hạn: Trong các bài toán thì MO là đường trung tuyến của tam giác vuông AMB nên ta có thể làm mới các bài toán sau: Bài toán 12: Cho tam giác AMB vuông tại M Đường trung tuyến MO Gọi d đường thẳng qua M vuông góc với MO Đường thẳng qua O vng góc với BM cắt d tại C Đường thẳng qua O vuông góc với AM cắt d tại D a) Tứ giác ABCD hình gì? b) CD = AD + BC c)Chứng minh: AD.BC = AB d) Gọi I giao điểm AC BD Chứng MI //AD e) MI cắt AB tại H Chứng minh IM = IH Nhận xét 12: Mới đọc qua đề ta thấy tốn có vẽ khơng liên quan đến tốn vẽ hình ta nhận thấy chính tốn quen thuộc mà ta đã làm ( giáo viên khai thác thêm câu khác tuong tự toán cho toán này.) Hướng dẫn: OM đường trung tuyến tam giác vuông AMB nên OM = OA = OB suy OD đường trung trực AM · · ⇒ AD = MD ⇒ ∆ ADO = ∆ MDO ⇒ DAO = DMO = 900 ⇒ AD ⊥ AB Tương tự BC ⊥ AB nên AD // BC Vậy tứ giác ABCD hình thang vuông Khi c/m ABCD hình thang vng câu b, c, d, e, chính toán Nhận xét 13: Và tuỳ đối tượng học sinh giáo có cách khai thác, đề một cách hợp lí ( Nếu đối tượng trung bình và yếu thì giáo viên các câu gợi ý a, b,c Nhưng nếu đối tượng khá giỏi thì có thế bắt đầu bài toán bằng câu b, c 11 Và đề tài không những áp dụng cho học sinh lớp mà vận dụng cho học sinh từ lớp đặc biệt áp dụng tốt quá trình dạy lớp ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Chẳng hạn để vận dụng quá trình dạy lớp ta có thể khai thác, tiếp cận theo các bài toán sau: Bai 13: Cho đoạn thẳng AB Tia Ax vng góc với AB tại A, tia By vng góc với AB tại B (Ax, By thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) cho DC = AD + BC · D = 900 Chứng minh: CO Hướng dẫn: Gọi L giao điểm CO tia đối tia Ax ∆ALO = ∆BCO (g.c.g) ⇒ AL = BC;OL = OC Mà DC = AD + BC nên DC = AD + AL = DL suy ∆ DLC cân tại C DO đường trung tuyến (vì OL = OC).nên DO đường cao · D = 900 Suy CO Bai 14: Cho đoạn thẳng AB Tia Ax vng góc với AB tại A, tia By vng góc · D = 900 với AB tại B (Ax, By thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) cho CO Chứng minh: DC = AD + BC Chứng minh tương tự bài 13 Bai toán 15: Cho hai đường thẳng xx’ yy’ song song với Một đường thẳng zz’ cắt hai đường thẳng xx’ yy’ thứ tự tại C D Tia phân giác góc xCD cắt tia phân giác góc yDC tại O Đường thẳng qua O vng góc với xx’ cắt xx’ tại A cắt yy’ tại B Chứng minh rằng: · D = 900 a) CO b) OA = OB c) AC + BD = CD 12 Nhận xét 14: Đây chính nợi dung tốn Hướng dẫn : µ =C ả (gt) C ả ¶ ¶ a) Ta có: ¶ ¶  ⇒ C1 + D1 = C + D2 D1 = D2 (gt) +C ả +D ả +D ả = 1800 · mà ·ADC + BCD = 1800 (vì xx’ // yy’) ⇒ C 2 µ +D ¶ = 900 ⇒ COD · ⇒C = 900 đpcm 1 b) Kẻ OM ⊥ CD ( M ∈ CD ) o∈ tia phân giác góc ADC suy OA = OM o∈ tia phân giác góc BCD suy OB = OM Vậy OA = OB ¶ =D ¶ suy ∆ OAD = ∆ OMD (cạnh huyền – góc nhọn) c) Cách 1: D ⇒ AD = MD Tương tự BC = BM Ta có CD = CM + DM = AD + BC Cách 2: Gọi L giao điểm CO xx’ ∆ALO = ∆BCO (g.c.g) ⇒ AL = BC ∆ CDL có DO vừa đường phân giác vừa đường cao ⇒ ∆ CDL cân tại D ⇒ DC = DL = AD + AL = AD + BC Nhận xét 14: Ta thấy toán OM đường cao tam giác vuông DOC nên ta có tốn 16 sau: 13 Bai toán 16: Cho tam giác DOC vuông tại O Đường cao OM ( M ∈ DC) A điểm thuộc đường thẳng qua M vng góc với OD cho OD đường trung trực AM B điểm thuộc đường thẳng qua M vng góc với OC cho OC đường trung trực BM a) Chứng minh OA = OB b) Tam giác AMB vuông c) Chứng minh AD song song với BC Hướng dẫn : a) O thuộc đường trung trực AM nên OA = OM O thuộc đường trung trực BM nên OB = OM Suy OA = OB b) Ta có DO // MB vng góc với OC Mà DO ⊥ AM ⇒ AM ⊥ MB Vậy tam giác AMB vuông tại M · · c) ∆ ADO = ∆ MDO (c.c.c) suy DAO = DMO · · mà DMO = 900 ⇒ DAO = 900 ⇒ DA ⊥ OA (1) · tương tự CBO = 900 ⇒ BC ⊥ BO (2) Đến học sinh thường kết luận DC // BC mà không ý đến A, O, B chưa thẳng hàng Vì vậy giáo viên cần huóng dẫn học sinh chứng minh A, O, B chưa thẳng hàng · · Thật vậy ∆ ADO = ∆ MDO (c.c.c) suy DOM = DOA · · · · Tương tự BOC mặt khác DOM = MOC + COM = 900 (gt) · · · Suy ·AOD + DOM + MOC + COB = 1800 vậy A, O, B chưa thẳng hàng(3) Từ (1), (2) (3) ⇒ AD // BC Nhận xét 15:Tuỳ vào nội dung kiến thức học sinh đã được học mà giáo viên có thể khai thác, tiếp cận theo các bài toán khác Lên lớp học sinh được bổ sung thêm các kiến thức về đường tròn, tiếp tuyến, tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, góc với đường tròn, tứ giác nội tiếp Vì để áp dụng đề tài này vào giảng dạy cho học sinh lớp và ôn tập tuyển sinh vào lớp 10 ta có thể phát triển theo nhiều hướng sau: KHI HỌC CHƯƠNG II : ĐƯỜNG TRÒN TA CÓ CÁC BÀI TOÁN SAU : Nhận xét 16: Vì OA = OB = OM nên điểm A, B, M thuộc đường tròn (O) Ax ⊥ AB, By ⊥ AB, CD ⊥ OM nên Ax, By, CD tiếp tuyến (O) nên ta có tốn sau Bài toán 17: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Vẽ các tia tiếp tuyến Ax By với nửa đường tròn (Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB).Từ điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A B), 14 kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn đó, cắt Ax By theo thứ tự tại D C Chứng minh rằng: · D = 900 a) CO b) CD = AD + BC c) Tích AD.BC khơng đổi M di chuyển nửa đường tròn d) AC cắt BD tại I Chứng minh MI ⊥ AB Nhận xét 17: Thông thường em chỉ làm hai câu a, b còn câu c, d em không làm kể em Nhưng em tiếp cận toán lớp 7, câu c, d khơng còn câu khó thực chất đay khơng phải toán mà toán em đã làm Hướng dẫn: c) Tam giác DOC vuông tại O, đường cao OM nên ta có: OM2 = DM.DC = AD.BC Mà OM bán kính nửa đường tròn suy tích AD.BC khơng đổi M di chuyển nửa đường tròn d) Ta có AD // BC ⇒ ⇒ AD DI = mà CM = CB; AD = MD BC BI MD DI ⇒ MI // BC = MC BI Mặt khác BC ⊥ AB ⇒ MI ⊥ AB Nhận xét 18: Gọi N trung điểm CD NC = ND = NO nên O thuộc đường tròn đường kính CD NO ⊥ AB nên AB tiếp tuyến (O) ta có toán 18 sau: Bài toán 18: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Vẽ các tia tiếp tuyến Ax By với nửa đường tròn (Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB).Từ điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn đó, cắt Ax By theo thứ tự tại D C Chúng minh AB tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác COD Hướng dẫn: - Gọi N trung điểm CD ⇒ NC = ND = NO ( vì ∆ COD vuông) Do N thuộc đường tròn ngoại tiếp ∆ COD(1) 15 - Ax ⊥ AB (gt) By ⊥ AB(gt) ⇒ AD // BC nên { ABCD hình thang - Xét hình thang ABCD có NC = ND OA = OB Nên ON đường TB hình thang ABCD ⇒ ON // AD Do ON ⊥ AB ( vì AD ⊥ AB) (2) - Từ (1) (2) Suy AB tiếp tuyến đường ngoại tiếp tam giác COD · D = 900 thì OM = OA = OB; OM ⊥ DC DC tiếp tuyến Nhận xét 19: CO nửa đường tròn tâm O Ta có toán sau: Bài toán 19: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Vẽ các tia tiếp tuyến Ax By với nửa đường tròn (Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) C, D lần lượt các điểm thuộc các tia By Ax cho · D = 900 Chứng minh CD tiếp tuyến nửa (O) CO Hướng dẫn : Kẻ OM ⊥ DC ( M ∈ CD ) Ta cần chứng minh OM = OB Thật vậy: ∆ ADO∽ ∆ BOC (g.g) ⇒ DO AO DO OB ⇒ = = CO BC CO BC =C ả ∆ BOC∽ ∆ ODC (c.g.c) ⇒ C suy ∆ OMC = ∆ OBC (ch – gn) ⇒ OM = OB Vậy CD tiếp tuyến nửa (O) 16 Bài toán 20: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Vẽ các tia tiếp tuyến Ax By với nửa đường tròn (Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Trên Ax lấy điểm D Từ D vẽ tiếp tuyến DM (M tiếp điểm) cắt By tại C · D = 900 a) Chứng minh: CO b) DO ⊥ AM c) Qua M kẻ MH ⊥ AB (H thuộc AB) Chúng minh DB qua trung điểm MH Hướng dẫn: Câu a, b vận dụng tính chất tiếp tuyến cắt Câu c toán Nhận xét 20: DM = DA ; CM = CB AB vng góc với DA CB nên AB tiếp tuyến chung (C) (D); OM tiếp tuyến chung (C) (D) nên ta có tốn sau : Bai toán 20: Cho hai đường tròn (C) (D) tiếp xúc tại M Kẻ tiếp tuyến chung AB ( A ∈ ( D ) ; B ∈ ( C ) ) Tiếp tuyến chung tại M cắt tiếp tuyến chung AB tại O a) Chứng minh ·AMB = 900 b) Tính góc DOC Mặc dù ngôn ngữ Toán thay đổi sau vẽ hình ta nhận thấy toán quen thuộc đã làm 17 a) OM = OA (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau) OM = OB (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau) Suy OM = AB nên tam giác AMB vuông tại M suy ·AMB = 900 b) Có nhiều cách để làm câu b: Ta sử dụng OPMQ hình chữ nhật; ON đường trung bình Giáo viên có thể khai thác thêm nhiều bai toán nữa bằng cách cắt hình, đặc biệt hoá, tổng quát hoá, thay đổi tên gọi, giả thiết Khi học chương3 Góc với đường tròn nữa ta khai thác thêm nhiều toán nữa Bai toán 21: : Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Vẽ các tia tiếp tuyến Ax By với nửa đường tròn (Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB).Từ điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn đó, cắt Ax By theo thứ tự tại D C a) Chứng minh các tứ giác ADMO BCMO nội tiếp b) Gọi P giao điểm AM DO; Q giao điểm BM CO Chứng minh PQ // AB c) Chứng minh tứ giác CDPQ nội tiếp Ta khai thác thêm nhiều toán nữa nội dung đề tài đưa hết mà đưa số tập bản xây dựng dựa toán bản ban đầu Kết luận: Các toán ta thấy chúng có mối quan hệ mật thiết với Vì vậy dạy toán mà biết hệ thống liên kết chúng thì hệ thống tập không những giúp cho việc giảng dạy thêm phần sinh động mà giúp cho học sinh cảm thấy hứng thú chủ động đồng thời nắm bắt kiến thức cách vững vàng IV HIỆU QUẢ MANG LẠI Sau áp dụng đề tài thấy chất lượng đã nâng lên đáng kể, đặc biệt đối tượng HS trung bình chất lượng nâng lên rõ rệt Kết quả kiểm tra ở lớp 9A năm học 2015 – 2016 cho kết quả tốt Điểm Điểm - 10 Điểm – Điểm – SL % SL % SL % SL % 11,4% 12 34,3% 10 28,6% 25,7% 18 Và qua những năm dạy Toán bồi dưỡng học sinh giỏi, thấy cách làm mang lại nhiều kết quả đáng phấn khởi : - Học sinh có hứng thú, say mê học toán - Học sinh có thói quen tìm tòi, tư độc lập, sáng tạo - Học sinh đã tự xây dựng phương pháp tự học khoa học - Học sinh biết lựa chọn phương pháp giải toán cách hợp lí xác - Học sinh biết phân loại các dạng toán có ý thức tìm hiểu, nắm vững mỗi dạng toán - Kết quả học tập qua các kỳ thi đạt cao: Kết quả năm sau cao năm trước, tỷ lệ học sinh vào THPT công lập 85 % Kết quả học sinh giỏi cấp huyện năm liền đạt 100% Hằng năm có học sinh tham gia thi học sinh giỏi tỉnh đạt giải Năm học 2016 – 2017 kết quả học sinh giỏi huyện 100% số học sinh đội tuyển đậu kết quả chứng minh hiệu quả bồi dưỡng học sinh giỏi có đóng góp các phương pháp nêu V KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG VÀ TRIỂN KHAI Đề tài áp dụng triển khai tất cả đối tượng học sinh ở các khối lớp 7, 8, cả công tác bồi dưỡng học sinh giỏi tự học nâng cao kiến thức giáo viên Tuỳ vào đối tượng mà giáo viên chọn các tập các gợi ý phù hợp Nếu nhiều giáo viên áp dụng đề tài ở các khối 7, 8, dạy học khoá, tự chọn, dạy ơn bồi dưỡng học sinh giỏi tin chất lượng môn toán ngày nâng cao C KẾT LUẬN I KẾT LUẬN Trên số phương pháp mà đã áp dụng những năm dạy học Toán Tôi nghĩ phương pháp thực mang lại hiệu quả học sinh lớp Nó khơng quan trọng dạy học bồi dưỡng học sinh giỏi, thi vào lớp 10 THPT, các lớp chuyên, chọn mà quan trọng từ hình thành cho học sinh phương pháp tự học, tư độc lập, thói quen tự tìm tòi say mê, sáng tạo Đồng thời đưa chất lượng dạy học ngày nâng cao Để hướng dẫn học sinh có nhiều cách làm khác Vì vậy mong nhận ý kiến đóng góp, trao đổi q thầy giáo để chun đề ngày hồn thiện trở thành công cụ hiệu quả dạy Toán học Toán II KIẾN NGHI Từ kết quả thu các đề tài thấy việc thực các chuyên đề, đề tài cần thiết, có nhiều ý nghĩa quan trọng khơng phải trò mà có ý nghĩa thầy Đây những hình thức tự bồi dưỡng chuyên môn nghiệp vụ tạo hội học hỏi đồng nghiệp có giá trị Do tơi xin có số kiến nghi sau: *) Đối với giáo viên: - Cần phát huy tính tích cực học sinh - Cần bồi dưỡng các phương pháp học tập cho học sinh đặc biệt phương pháp tự học - Ln tìm tòi nghiên cứu để có phương pháp giảng dạy hiệu quả đặc biệt việc dạy sát đối tượng 19 *) Đối với lãnh đạo các cấp: - Cần động viên tạo điều kiện thuận lợi cho những giáo viên có nhiệt huyết - Thường xuyên tổ chức các chuyên đề bồi dưỡng giáo viên đặc biệt bồi dưỡng việc đổi các phương pháp giảng dạy - Phổ biến những đề tài, sáng kiến kinh nghiệm có giá trị thực tiễn tới các trường để nâng cao nữa chất lượng giáo dục Tôi xin chân thành cảm ơn / 20 ... học sinh Với mong muốn tơi xin giới thiệu đề tài: “ Khai thác va xây dựng hệ thống bai tập hình học từ bai tập bản ban đầu theo nhiều hướng khác ” III ĐỚI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU Trong... học sinh Hệ thống tập xây dựng liên kết các kiến thức Từ những toán không mới, giáo viên đã biến thành cái xếp chúng theo hệ thống định giúp học sinh tiếp thu nhanh hơn,vững vàng hứng... mỡi giáo viên cần xây dựng hệ thống các tập liên kết các tập từ các tập bản ban đầu giúp học sinh dễ dàng nhận biết, liên hệ các tập với các tập cũ từ tìm hướng giải cho các