SKKN giúp học sinh phát triển năng lực sáng tạo qua việc mở rộng một bài toán ban đầu theo nhiều hướng khác nhau

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ PHỊNG GD&ĐT HOẰNG HÓA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GIÚP HỌC SINH PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC SÁNG TẠO QUA VIỆC MỞ RỘNG MỘT BÀI TOÁN BAN ĐẦU THEO NHIỀU HƯỚNG KHÁC NHAU Người thực hiện: Nguyễn Thị Hạnh Nhân Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Hoằng Giang SKKN thuộc mơn: Tốn MỤC LỤC MỤC LỤC Nội dung I MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu HOÁ, NĂM 2018 THANH Trang Trang Trang Trang MỤC LỤC Nội dung Trang I MỞ ĐẦU Trang Trang Lí chọn đề tài Trang Mục đích nghiên cứu Trang Đối tượng nghiên cứu Trang Phương pháp nghiên cứu Trang Những điểm SKKN Trang II NỘI DUNG Trang Cơ sở lý luận sáng kiến kinh ngiệm Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trang Trang Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo Trang dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Xây dựng hệ thống toán III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Kiến nghị Trang Trang 19 Trang 19 Trang 20 I MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài: Trong q trình giảng dạy nói chung bồi dưỡng học sinh giỏi nói riêng việc định hướng, liên kết, mở rộng tốn vấn đề quan trọng, không giúp cho học sinh nắm bắt kĩ kiến thức dạng tốn mà nâng cao tính khái qt hố, đặc biệt hố tốn để từ phát triển tư duy, nâng cao tính sáng tạo cho em học sinh Hơn nữa, việc liên kết, mở rộng toán khác nhau, tìm mối liên hệ chung chúng giúp cho học sinh hứng thú phát triển lực tự học cách khoa học học toán Qua nhiều năm giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi tiếp xúc với nhiều đối tượng học sinh thấy đa số học sinh không nhớ làm chí có khác lời văn nội dung lại hoàn giống với toán cũ Đặc biệt toán đảo tốn tổng qt học sinh thường khơng có kỷ nhận Chính vậy, để giúp học sinh dễ dàng nhận toán cũ, tốn đảo, tốn tổng qt…đồng thời góp phần vào việc đổi phương pháp dạy học theo hướng tích cực bồi dưỡng lực học tốn cho học sinh, rèn luyện khả sáng tạo học tốn cho học sinh muốn góp phần vào cơng tác bồi dưỡng đội ngũ học sinh giỏi Tốn trường THCS Hoằng Giang nói riêng học sinh tồn huyện Hoằng Hóa nói chung Tơi xin trình bày đề tài: “Giúp học sinh phát triển lực sáng tạo qua việc mở rộng toán ban đầu theo nhiều hướng khác nhau” chương trình tốn lớp Mục đích nghiên cứu - Cung cấp kiến thức phương pháp tự học cho học sinh học mơn Tốn - Hình thành tính tích cực, tự giác, chủ động học sinh Khơi dậy tính sáng tạo giải toán học sinh - Phát triển lực tự học, biết liên kết mở rộng tốn từ giúp em hình thành phương pháp giải - Giúp học sinh hứng thú học tập đặc biệt bồi dưỡng học sinh giỏi Đối tượng nghiên cứu Phương pháp hình thành tính tích cực, tự giác, biết liên kết mở rộng toán, bồi dưỡng lực tự học học sinh Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu qua tài liệu: SGK, SGV, SBT toán Nâng cao phát triển tốn –Vũ Hữu Bình - Nghiên cứu qua thực hành giải tập học sinh - Nghiên cứu từ thực tế giảng dạy Những điểm SKKN - Tập trung vào chương trình hình học lớp - Bổ sung thêm số toán đảo mở rộng thêm số toán khác II NỘI DUNG Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Dạy tốn hoạt động nghiên cứu toán học học sinh giáo viên bao gồm day khái niệm, dạy định lý, giải tốn , giải tốn cơng việc quan trọng Bởi giải tốn q trình suy luận nhằm khám phá quan hệ lơgic cho chưa biết (giữa giả thiết kết luận) Mặt khác dạy hết cho học sinh tất tập em làm hết tập Vì để tạo mối liên hệ tập, hướng dẫn cho học sinh giải toán, giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh biết khai thác, mở rộng kết toán đơn giản để xây dựng toán liên quan Điều giúp học sinh rèn luyện tư lơgic, óc sáng tạo, tự tìm tòi, suy nghĩ tốn có cách giải hay Như nhà tốn học Đề Các nói: “Mỗi vấn đề mà giải trở thành ví dụ mẫu mực dùng để giải vấn đề khác” Từ giúp em có sở khoa học phân tích, định hướng tìm lời giải cho toán khác đặc biệt củng cố cho em lòng tin vào khả giải tốn Để rèn luyện kỹ giải tốn cho học sinh, việc trang bị tốt hệ thống kiến thức rèn luyện kỹ giải tập, nhiệm vụ người thầy việc cung cấp kiến thức, rèn luyện kỹ cho học sinh có nhiêm vụ quan trọng rèn luyện lực tư cho học sinh trình giảng dạy Nếu sau tốn, người thầy hướng dẫn học sinh khai thác sâu kết Từ tìm chuỗi tốn từ dễ đến khó khơng rèn luyện lực tư sáng tạo cho học sinh mà gây hứng thú làm cho học trở nên hấp dẫn hơn, giúp cho kiến thức học sinh có tính hệ thống, mở rộng sâu Trong trình giảng dạy trường bồi dưỡng học sinh giỏi, nhận thấy biện pháp hữu hiệu để bồi dưỡng lực tư theo định hướng đổi phương pháp dạy học Bộ Giáo Dục Đào tạo: "Phương pháp giáo dục phổ thơng phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo học sinh, phù hợp với đặc điểm chung lớp học, mơn học ”(Trích “Một số vấn đề đổi phương pháp dạy học trường THCS"- Bộ Giáo dục Đào tạo) Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Qua năm giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi tham khảo học hỏi đồng nghiệp nhận rằng: - Học sinh yếu toán (đặc biệt mơn hình học) kiến thức hổng, lại lười học, lười suy nghĩ, lười tư trình học tập - Học sinh làm tập rập khn, máy móc khơng nhớ làm chí có khác lời văn nội dung lại hoàn toàn giống với tốn cũ Từ làm tính tích cực, độc lập, sáng tạo thân - Khơng học sinh thực chăm học chưa có phương pháp học tập phù hợp, chưa tích cực chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên hiệu học tập chưa cao - Nhiều học sinh hài lòng với lời giải mình, mà khơng tìm lời giải khác, khơng khai thác phát triển tốn, sáng tạo tốn nên khơng phát huy hết tính tích cực, độc lập, sáng tạo thân Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề - Qua tốn đơn giản chương trình, học sinh giải được, gợi ý định hướng cho học sinh tư theo phương pháp như: tương tự, so sánh, đặc biệt hóa, khái quát hóa, để học sinh phát hiện, phát biểu lên vấn đề mới, tốn Tăng cường hoạt động tìm tòi, quan sát , tăng cường sử dụng phương pháp quy nạp trình đến giả thiết có tính khái qt - Hình thành tình có vấn đề vấn đề từ nội dung học từ xây dựng kế hoạch hướng dẫn cho học sinh tự giải vấn đề - Trong tiết luyện tập tơi thường khuyến khích học sinh dựa vào kiện toán mà khai thác phát triển thêm tốn (với tốn phát triển được) Do đó, học sinh hình thành kỹ khai thác, phát triển toán Từ đó, phát triển tư tích cực, độc lập, sáng tạo cho học sinh - Giúp học sinh sử dụng SGK tài liệu khác cách có ý thức chủ động theo hướng nghiên cứu để giải vấn đề - Thay đổi hình thức tổ chức học tập điều kiện cho phép, tạo điều kiện khơng khí thích hợp để học sinh tranh luận với nhau, với giáo viên, tự đánh giá đánh giá lẫn kết tìm tòi, phát Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường - Qua q trình giảng dạy theo phương pháp tích cực hóa hoạt động học sinh thông việc khai thác, phát triển số tốn chương trình cách sáng tạo, tơi nhận thấy có số kết đáng phấn khởi sau : - Học sinh suy nghĩ nhiều hơn, thực hành nhiều hơn, làm cho học sinh hứng thú học tập mơn Tốn Tạo cho em có niềm tin vào lực - Học sinh nêu vấn đề tự giải vấn đề Từ học sinh tích cực, chủ động, sáng tạo học tập - Bước đầu xây dựng cho học sinh phong cách nghiên cứu, tìm tòi, phát kiến thức mới, điều hay qua tập Các em thực hưởng niềm vui tìm điều hay qua toán - Các em nắm kiến thức vận dụng tốt vào tập Đơi từ tốn phát triển có nhiều em đưa nhiều cách giải toán ban đầu - Rèn cho em tính kiên trì khơng chịu lùi bước trước khó khăn, khơng chán nản trước tập khó - Góp phần nâng cao kiến thức đổi phương pháp dạy học cho thân - Ở qua số tập cụ thể SGK lớp xin nêu gợi ý, để định hướng cho học sinh phát vấn đề giải vấn đề sau: Trước hết bắt đầu với toán 46 trang 84 SGK Toán tập Bài toán 1: (Bài toán gốc – Bài 46 Trang 84 SGK Tốn tập 2) Trên hình vẽ tam giác đồng dạng Viết tam giác theo thứ tự đỉnh tương ứng giải thích chúng đồng dạng? Giải: Ta có: +) ∆ AFH ∆ CDH(g-g) (1) Vì: ∠AFH = ∠CDH = 90° ∠AHF = ∠CHD (đối đỉnh) +) ∆ AFH ∆ ADB(g-g) (2) Vì: ∠AFH = ∠ADB = 90° ∠ A chung +) ∆ CDH ∆ CFB(g-g) (3) Vì: ∠CDH = ∠CFB = 90° ∠C chung +) ∆ CDH ∆ ADB (bắc cầu từ (1) (2)) (4) +) ∆ AFH ∆ CFB(bắc cầu từ (1) (3)) (5) +) ∆ ADB ∆ CFB(bắc cầu từ (2) (5)) (6) * Hướng khai thác: Từ kết (1) toán 1: ∆ AFH ∆ CDH ⇒ HA HF = ⇒ HA.HD = HF HC HC HD Cho ta toán sau: Bài toán 1.1: Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao AD CF cắt H CMR: HA.HD = HC.HF Giải: Ta có: ∆ AFH ⇒ ∆ CDH(g-g) ( theo (1)) HA HF = ⇒ HA HD = HF HC (đpcm) HC HD ⇒ Yêu cầu học sinh viết hệ thức tương tự: (HA.HD = HB.HE; HB.HE = HC.HF) Bài toán 1.2: Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AD, BE CF cắt H CMR: HA.HD = HB.HE = HC.HF (Giải tương tự 1.1 – Học sinh tự làm) *Khai thác toán: Bài toán cho trường hợp tam giác ABC tam giác vng, tam giác tù Bài tốn 1.3: Cho tam giác nhọn ABC đường cao AD, BE CF cắt H Chứng minh rằng: ∆ AHC ∆ FHD Giải: Từ kết (1) toán 1: ∆ AFH ∆ CDH ⇒ HA HF HA HC = ⇒ = HC HD HF HD Xét ∆ AHC ∆ FHD có: ∠AHC = ∠FHD (đối đỉnh) HA HC = (c/m trên) HF HD ⇒ ∆ AHC ∆ FHD (c.g.c) ⇒ Yêu cầu học sinh viết cặp tam giác đồng dạng tương tự: ( ∆ AHB ∆ EHD; ∆ BHC ∆ FHE) * Hướng khai thác: Đối với học sinh giỏi yêu cầu học sinh tiếp tục khai thác kết để có kết khác toán, qua câu hỏi gợi ý như: DH có phân giác góc EDF khơng? Vì sao? Kết tương tự gì? Từ đó, có nhận xét vị trí đặc biệt điểm H tam giác DEF? Bài 1.4: Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AD, BE CF cắt H Chứng minh điểm H cách ba cạnh tam giác DEF *Gợi ý: Từ ∆ AHB ∆ EHD (theo kết 1.3) ⇒ ∠D1 = ∠B1 (hai góc tương ứng) Từ ∆ AHC ∆ FHD (theo kết 1.3) ⇒ ∠D2 = ∠C1 (hai góc tương ứng) Mà ∠C1 = ∠B1 (Vì phụ ∠BAC ) ⇒ ∠D1 = ∠D2 ⇒ DA phân giác ∠FDE Chứng minh tương tự ta có: EB phân giác ∠FED ⇒ H giao điểm đường phân giác ∆ DEF ⇒ H cách ba cạnh tam giác DEF (đpcm) * Hướng khai thác: Ta thấy H giao điểm đường phân giác ∆ DEF ⇒ FH hay FC phân giác góc DFE mà AF ⊥ FC ⇒ AF phân giác góc ngồi F tam giác EDF Ta lại có DA phân giác góc FDE ⇒ A tâm đường tròn bàng tiếp góc D tam giác EKD Tương tự ⇒ B; C tâm đường tròn bàng tiếp góc E; góc F tam giác DEF Đối với học sinh giỏi lớp ta có tốn sau: Bài 1.5: Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AD, BE CF cắt H Chứng minh điểm A cách ba cạnh tam giác DEF * Hướng khai thác: Gọi O giao điểm ba đường trung trực tam giác ABC Kẻ OM vng góc với AC; ON vng góc với BC (M thuộc AC; N thuộc BC ) ⇒ M; N trung điểm AC; BC ⇒ MN đường trung bình tam MN = giác ABC ⇒ MN // AB AB Mặt khác: OM // BH (cùng vng góc với AC) ON // AH (cùng vng góc với BC) ⇒ tam giác OMN HBA đồng dạng ⇒ ON MN = = ⇒ AH = ON AH AB Bài 1.6: Cho tam giác nhọn ABC, gọi H trực tâm, O giao điểm ba điểm trung trực tam giác Chứng minh khoảng cách từ điểm A đến trực tâm H tam giác ABC gấp đôi khoảng cách từ O đến cạnh BC * Hướng khai thác: Nếu gọi I điểm đối xứng với điểm O qua N mà AH = 2.ON (cmt) ⇒ OI = AH Mặt khác OI // AH (cùng vuông góc với BC) ⇒ tứ giác AHIO hình bình hành Ta có tốn sau: Bài 1.7: Cho tam giác nhọn ABC, H trực tâm, O giao điểm ba điểm trung trực tam giác Gọi I điểm đối xứng với O qua BC Chứng minh tứ giác AHIO hình bình hành *Hướng khai thác: Từ kết chứng minh toán 1.7: AH = 2.ON ⇒ gọi K giao điểm AO HN ta chứng minh AK = 2.AO HK = 2.HN ⇒ N trung điểm HK Mà N trung điểm BC ta có tứ giác BHCK hình bình hành BK vng góc với AB B; CK vng góc với AC C Mặt khác gọi G giao điểm AN OH Ta chứng minh tam giác AHG NOG đồng dạng (g.g) AH AG HG ⇒ = = mà AH = 2.ON (cmt) NO NG GO ⇒ HG = 2.OG AG = 2.NG Từ AG = 2.NG ⇒ G trọng tâm tam giác ABC Như vậy, ta phát biểu thành tốn sau: Bài 1.8: Cho tam giác nhọn ABC, H trực tâm, O giao điểm ba điểm trung trực tam giác Gọi N trung điểm BC, K giao điểm AO HN Chứng minh rằng: a) N trung điểm HK b) Tứ giác BHCK hình bình hành c) KB ⊥ AB; KC ⊥ AC d) Gọi G giao điểm AN OH Chứng minh G trọng tâm tam giác ABC * Hướng khai thác: Từ toán 1.8 ta có tốn đảo sau: 10 Bài 1.9 (bài toán đảo 1): Cho tam giác nhọn ABC, H trực tâm tam giác, O giao điểm ba đường trung trực G trọng tâm tam giác Chứng minh ba điểm H, O, G thẳng hàng (Đường thẳng qua ba điểm H, O, G gọi đường thẳng Ơle tam giác) Bài 1.10 (bài toán đảo 2): Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao BE, CF cắt H Gọi N trung điểm BC Đường thẳng vng góc với AB B đường thẳng vng góc với AC C cắt K Chứng minh rằng: H, N, K thẳng hàng * Hướng khai thác: Tiếp tục ta lại thấy tam giác BEC tam giác vng có EN trung tuyến ứng với cạnh huyền BG nên EN = BC BC Từ suy EN = FN ⇒ ∆ NEF cân N Từ Tương tự ta có FN = ta có tốn: Bài 1.11: Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao BE, CF cắt H Gọi N trung điểm BC, M trung điểm EF Chứng minh NM ⊥ EF * Hướng khai thác: Có thể yêu cầu học sinh tiếp tục khai thác kết H giao điểm ba đường phân giác tam giác DEF tam giác đồng dạng để suy tam giác đồng dạng với nhau? Bài 1.12: Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AD, BE CF cắt H Chứng minh rằng: ∆ AFD *Gợi ý: Từ ∆ AHB ∆ EHD ∆ EHD (cmt) 11 ⇒ ∠A1 = ∠HED (hai góc tương ứng) ∠D1 = ∠D2 (cmt) ⇒ ∆ AFD ∆ EHD (g.g) ⇒ Yêu cầu học sinh tìm cặp tam giác đồng dạng tương tự: ( ∆ AED ∆ FHD; ∆ BFE ∆ DHE; ∆ BED ∆ FEH ∆ CEF ∆ DHF; ∆ CDF ∆ EHF) *Hướng khai thác: Từ kết toán 1.12 ta chứng minh ∠E1 = ∠E2 Do để có dạng tốn chứng minh ba điểm thẳng hàng Ta gọi N điểm đối xứng với D qua AC ta chứng minh góc ∠E3 = ∠E4 ⇒ ∠NEF = 180° ⇒ N, E, F thẳng hàng Ta có tốn sau: Bài 1.13: Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AD, BE CF cắt H Gọi M, N theo thứ tự điểm đối xứng với D qua AB, AC Chứng minh M, N, E, F thẳng hàng *Gợi ý: ∠E1 = ∠E2 (cmt) ∆ EDN cân E (do N đối xứng với D qua AC) ⇒ ∠E4 = ∠E3 ⇒ ∠E1 + ∠E4 = ∠E2 + ∠E3 = 90° ⇒ ∠E1 + ∠E4 + ∠E2 + ∠E3 = 90° + 90° = 180° ⇒ N, E, F thẳng hàng (*) Chứng minh tương tự M, F, E thẳng hàng (**) Từ (*) (**) ⇒ M, N, E, F thẳng hàng *Hướng khai thác: Từ kết toán 1.13 ⇒ MN = MF + FE + EN mà MF = DF, EN = DE (tính chất đối xứng trục) ⇒ MN =DF + FE + DE Tức độ dài đoạn MN chu vi tam giác DEF - Nếu D, E, F điểm cạnh BC, AC, AB M, F, E, N khơngthẳng hàng Khi độ dài đường gấp khúc MFEN = MF + EF + EN hay độ dài đường gấp khúc MEDN = DF + EF + DE ⇒ chu vi tam giác DEF nhỏ 12 M, F, E, N thẳng hàng Khi D, E, F chân đường cao tam giác ABC Ta có tốn cực trị hình học : Bài 1.14: Cho tam giác nhọn ABC; K, D, E điểm cạnh BC, CA, AB Chứng minh chu vi tam giác DEK nhỏ K, D, E chân đường cao tam giác ABC *Hướng khai thác: Nếu gọi I, K hình chiếu B, C đường thẳng EF ba tam giác vng ∆EIB , ∆CKE , ∆CFB có đồng dạng với khơng? Từ lập hệ thức liên hệ diện tích ba tam giác đó? Bài 1.15: Cho tam giác nhọn ABC có đường cao BE CF cắt H Gọi I, K theo thứ tự hình chiếu B, C DE Gọi diện tích tam giác HBC, HFE, BIF, CKE theo thứ tự S1 , S2 , S3, S4 Chứng minh rằng: S1 − S2 = S3 + S4 Gợi ý: Đặt S BFH = S5 Ta có: ∠FEH = ∠ECK (cùng phụ với ∠CEK ) ∠FEH = ∠FCB ( Vì ∆FEH ∆BHC theo kết 1.2) ⇒ ∠FCB = ∠ECK ⇒ ∆EIB ∆CKE ∆CFB (g.g) 2 S S  EB   CE  ⇒ EIB + CKE =  ÷ + ÷ =1 SCFB SCFB  CB   CB  ⇒ S EIB + SCKE = SCFB ⇒ S2 + S3 + S5 + S4 = S5 + S1 ⇒ S3 + S4 = S1 − S2 * Hướng khai thác: Từ kết (2) toán 1: ∆ AFH (đpcm) ∆ ADB(g-g) 13 Cho ta toán sau: Bài 2.1: Cho tam giác nhọn ABC đường cao AD, BE CF cắt H Chứng minh rằng: AH AD = AF AB Gợi ý: Từ kết (2) toán 1: ∆ AFH ∆ ADB(g-g) ⇒ ⇒ Yêu cầu học sinh tìm hệ thức tương tự: ( BH BE = BF BA ; CH CF = CE CA ) AH AF = ⇒ AH AD = AF AB AB AD * Hướng khai thác: Từ kết toán 2.1 cộng vế đẳng thức với ta kết toán sau: Bài 2.2: Cho tam giác nhọn ABC đường cao AD, BE CF cắt H Chứng minh rằng: AH AD + BH BE = AB Gợi ý: Từ kết 2.1 ta có: AH AD = AF AB BH BE = BF BA ⇒ AH AD + BH BE = AF AB + BF AB = AB ( AF + BF ) = AB AB = AB ⇒ Yêu cầu học sinh viết hệ thức tương tự: ( AH AD + CH CF = AC ; BH BE + CH CF = BC ) * Hướng khai thác: Từ kết toán 2.1 cộng vế với vế ba đẳng thức ta kết toán sau: 14 Bài 2.3: Cho tam giác nhọn ABC đường cao AD, BE CF cắt H Chứng minh rằng: AH AD + BH BE + CH CF = AB + AC + BC 2 Gợi ý: Theo kết 2.1 ta có: AH AD + BH BE = AB AH AD + CH CF = AC BH BE + CH CF = BC Cộng vế với vế ba đẳng thức ta có: ( AH AD + BH BE + CH CF ) = AB + AC + BC AB + AC + BC ⇒ AH AD + BH BE + CH CF = (đpcm) Bài 2.4: Cho hình bình hành ABCO Kẻ CE ⊥ AB E, Kẻ CF ⊥ AO F, Kẻ OH ⊥ AC H, Kẻ BK ⊥ AC K a) b) c) Tứ giác OHBK hình gì? Chứng minh: CE.CO=CB.CF Chứng minh rằng: AB.AE+AO.AF=AC2 Gợi ý: a) Dễ dàng chứng minh tứ giác OHBK hình bình hành b) Ta có: ∠ABC = ∠AOC ⇒ ∠CBE = ∠COF ⇒ ∆CBE ∆COF (g.g) 15 ⇒ CE CB = ⇒ CE.CO = CF CB CF CO Từ kết (2) toán 1: ∆ AOH ∆ ACF(g-g) ⇒ AO AH = ⇒ AO AF = AH AC AC AF (*) Tương tự ta có: ∆ ABK ∆ ACE(g-g) ⇒ AB AK = ⇒ AB AE = AK AC AC AE (**) Từ (*) (**) cộng vế với vế ta được: AO AF + AB AE = AH AC + AK AC = AC ( AH + AK ) (***) Xét ∆ AOH ∆ CBK có: ∠AHO = ∠CKB = 90° AO=BC(vì ABCO hình bình hành) ∠OAH = ∠BCK (so le trong) ⇒ ∆ AOH = ∆ CBK(cạnh huyền-góc nhọn) ⇒ AH = CK (cạnh tương ứng) Thay vào (***) ta có: AO AF + AB AE = AC ( CK + AK ) = AC AC = AC (đpcm) * Hướng khai thác: Từ kết (4): ∆ CDH ∆ ADB ⇒ CD DH = ⇒ DH DA = CB DB Mà CB DB có AD DB tổng khơng đổi nên ta đưa tốn cực trị hình học sau: Bài 3.1: Cho điểm B, C cố định Điểm A di động cho tam giác ABC có ba góc nhọn Hai đường cao AD, CF cắt H Tìm GTLN tích DH.DA Gợi ý: ∆ CDH ∆ ADB (theo (4) toán 1) CD DH ⇒ = ⇒ DH DA = CB.DB AD DB Vậy DH.DA lớn CB.DB lớn Mà CB+DB = BC (khơng đổi) ⇒ tích CB.DB lớn CB = DB = BC ⇒ GTLN CB.DB BC 16 BC D trung điểm BC * Hướng khai thác: Từ kết (6): ∆ ADB ∆ CFB cho ta toán sau: Vậy GTLN DH.DA Bài 4.1: Cho tam giác nhọn ABC đường cao AD, BE CF cắt H Chứng minh rằng: BD.BC = BF BA * Gợi ý: Ta có: ∆ ADB ⇒ ∆ CFB ( theo (6) toán 1) BD BA = ⇒ BD.BC = BF BA BF BC ⇒ Yêu cầu học sinh viết hệ thức tương tự: ( AE AC = AF AB ; CE.CA = CD.CB ) Bài 4.2: Cho tam giác nhọn ABC đường cao AD, BE CF cắt H Chứng minh rằng: BD.BC = BF BA = BH BE Gợi ý: Từ kết 3.1: BD.BC = BF BA (*) Từ kết 2.1: BH BE = BF BA (**) ⇒ Từ (*) (**) BD.BC = BF BA = BH BE ⇒ Yêu cầu học sinh viết hệ thức tương tự: ( AE AC = AF AB = AH AD ; CE.CA = CD.CB = CH CF ) * Hướng khai thác: Từ kết toán 4.1 cộng vế đẳng thức với ta kết toán sau: Bài 4.3: Cho tam giác nhọn ABC đường cao AD, BE CF cắt H Chứng minh rằng: BD.BC + AE AC = AB 17 Gợi ý: Từ kết 2.1.1: AH AD + BH BE = AB (*) Từ kết 3.2: BH BE = BD.BC (**) AH AD = AE AC (***) Thay (**) (***) vào (*) ta có: BD.BC + AE AC = AB (đpcm) ⇒ Yêu cầu học sinh viết hệ thức tương tự: ( AF AB + CD.CB = AC ; BF BA + CE.CA = BC ) * Hướng khai thác: Từ kết (6) toán 1: ∆ ADB ⇒ ∆ CFB BD BA BD BF = ⇒ = Vậy có nhận xét hai tam giác BDF BAC? Từ BF BC BA BC ta có tốn sau: Bài 4.4: Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AD, BE CF cắt H Chứng minh rằng: ∆ BDF ∆ BAC * Gợi ý: Ta có: ∆ ADB ∆ CFB ( theo (6) toán 1) BD BA BD BF ⇒ = ⇒ = BF BC BA BC Xét ∆ BDF ∆ BAC có: BD BF = ∠B chung; BA BC ⇒ ∆ BDF ∆ BAC(c.g.c) 18 ⇒ Yêu cầu học sinh tìm cặp tam giác đồng dạng tương tự ( ∆ AEF ∆ ABC; ∆ CED ∆ CBA) Bài 4.5: Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AD, BE CF cắt H Chứng minh rằng: ∆ BDF ∆ EDC * Gợi ý: Theo kết 3.4: ∆ BDF ∆ BAC ∆ CED ∆ CBA ⇒ ∆ EDC ∆ BAC ⇒ ∆ BDF ∆ EDC(Theo t/c bắc cầu) ⇒ Yêu cầu học sinh tìm cặp tam giác đồng dạng tương tự ( ∆ AEF ∆ DEC; ∆ CED ∆ FBD) * Hướng khai thác: Gọi M, N, P, Q hình chiếu vng góc D lên AB, BE, CF, AC Có nhận xét điểm M, N, P, Q? Bài 4.6: Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AD, BE CF cắt H Gọi M, N, P, Q hình chiếu vng góc D lên AB, BE, CF, AC Chứng minh: a) Các tứ giác DMFP, DNEQ hình chữ nhật b) Bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng Gợi ý: a) HS tự chứng minh b) Vì DM//CF DN//CE nên theo định lí Ta-let ta có: BM BD BN = = ⇒ MN / /EF BF BC BE (1) 19 Vì DP//BE DQ//BE nên theo định lí Ta-let ta có: CP CD CQ = = ⇒ PQ / /EF CF CB CE (2) AD AM = ⇒ AD = AM AB (3) AB AD AD AQ = ⇒ AD = AQ AC (4) ∆ ADQ ∆ ACD(g.g) ⇒ AC AD AM AQ = Từ (3) (4) ⇒ AM AB = AQ AC ⇒ AC AB ∆ ADM ∆ ABD (g.g) ⇒ Xét ∆ AMQ ∆ ABC có: ⇒ ∆ AMQ Mà ∆ AFE ⇒ ∆ AFE AM AQ = AC AB , ∠A chung ∆ ACB (c.g.c) ∆ ACB(theo kết 3.4) ∆ AMQ ⇒ AF AE = AM AQ Theo định lí Talet đảo ⇒MQ//EF (3) Từ (1), (2) (3) suy M, N, P, Q thẳng hàng III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận: Như vậy, từ toán gốc đơn giản, cách vận dụng khai thác triệt để kết chứng minh số phép đối xứng trục, đối xứng tâm, đặc biệt hố, tổng qt hố ta phát biểu chứng minh số toán mới, nhằm củng cố hệ thống lại kiến thức, dạng tập cách giải tập tam giác đồng dạng; dạng toán chứng minh tứ giác nội tiếp góc liên quan đến đường tròn Để vận dụng có hiệu định phát triển tư học sinh, giáo viên cần biết hướng dẫn học sinh phân tích tốn, tìm phát biểu kết tương đương, thay đổi hình thức phát biểu tốn, nêu toán tổng quát, kết toán đặc biệt Trên số suy nghĩ việc làm tơi thực q trình giảng dạy Tơi nhận thấy toán, dạng toán giới thiệu có hệ thống, có liên hệ chặt chẽ với việc tiếp thu em có hiệu Việc khai thác toán giúp em phát triển lực tư duy, phát triển ngôn ngữ, hướng em đến độc lập tư duy, sáng tạo có khả tự học; tạo thói quen phân tích tốn để định hướng phương pháp giải cách quy “lạ” “quen”; khai thác triệt để kết toán giải để tạo tốn Tơi nghĩ điều người giáo viên cần quan tâm, tìm tòi tích luỹ để chất lượng dạy học ngày nâng cao Hệ thống tập khai thác đề tài phù hợp với việc dạy ơn tập chương III hình học bồi dưỡng học sinh giỏi Kiến nghị: 20 Tôi xin đưa số đề nghị sau: - Đối với giáo viên: + Thực tốt chương trình bồi dưỡng thường xun bồi dưỡng phòng, sở đề + Luôn tự học, tự bồi dưỡng để nâng cao tay nghề - Đối với nhà trường: + Cần tạo điều kiện thuận lợi kinh phí để thực chun đề có tính chất liên quan + Mua sắm đủ thiết bị, đồ dùng dạy học phục vụ cho mơn tốn với chất lượng tốt Trong phạm vi đề tài không tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, tơi mong nhận trao đổi góp ý đồng nghiệp Tơi xin chân thành cảm ơn XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 28 tháng 04 năm 2018 Tơi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Người viết Nhữ Thị Tư Hằng Nguyễn Thị Hạnh Nhân TÀI LIỆU THAM KHẢO 1- Sách giáo khoa sách tập Toán Nhà xuất giáo dục 21 2345- Nâng cao phát triển Toán Tác giả: Vũ Hữu Bình Chuyên đề bồi dưỡng hình học Tác giả: Vũ Hữu Bình Tuyển tập tạp chí Tốn tuổi thơ số Nhà Xuất giáo dục Các loại tài liệu khác 22 ... Giúp học sinh phát triển lực sáng tạo qua việc mở rộng toán ban đầu theo nhiều hướng khác nhau chương trình tốn lớp Mục đích nghiên cứu - Cung cấp kiến thức phương pháp tự học cho học sinh học. .. hoá toán để từ phát triển tư duy, nâng cao tính sáng tạo cho em học sinh Hơn nữa, việc liên kết, mở rộng tốn khác nhau, tìm mối liên hệ chung chúng giúp cho học sinh hứng thú phát triển lực tự học. .. giác, chủ động học sinh Khơi dậy tính sáng tạo giải toán học sinh - Phát triển lực tự học, biết liên kết mở rộng tốn từ giúp em hình thành phương pháp giải - Giúp học sinh hứng thú học tập đặc biệt