SKKN giúp học sinh phát triển năng lực sáng tạo qua việc mở rộng một bài toán ban đầu theo nhiều hướng khác nhau

Tôi xin được trìnhbày đề tài: “Giúp học sinh phát triển năng lực sáng tạo qua việc mở rộng một bài toán ban đầu theo nhiều hướng khác nhau” trong chương trình toán lớp 8.. Vì vậy để tạo

MỤC LỤC MỤC LỤC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

PHÒNG GD&ĐT HOẰNG HÓA

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

GIÚP HỌC SINH PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC SÁNG TẠO QUA VIỆC MỞ RỘNG MỘT BÀI TOÁN BAN ĐẦU THEO NHIỀU HƯỚNG KHÁC NHAU

Người thực hiện: Nguyễn Thị Hạnh Nhân Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác: Trường THCS Hoằng Giang SKKN thuộc môn: Toán

THANH HOÁ, NĂM 2018

MỤC LỤC

1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh ngiệm Trang 3

2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trang 3

3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề Trang 4

4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo

dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

Trang 4

Qua nhiều năm giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi tôi được tiếp xúc vớirất nhiều đối tượng học sinh và thấy rằng đa số học sinh không nhớ những bài đãlàm thậm chí có những bài chỉ khác nhau bởi lời văn nhưng nội dung lại hoàngiống với bài toán cũ Đặc biệt là các bài toán đảo và bài toán tổng quát học sinhthường không có kỷ năng nhận ra Chính vì vậy, để giúp học sinh dễ dàng nhận racác bài toán cũ, bài toán đảo, bài toán tổng quát…đồng thời góp phần vào việc đổimới phương pháp dạy học theo hướng tích cực và bồi dưỡng năng lực học toán chohọc sinh, rèn luyện khả năng sáng tạo trong học toán cho học sinh cũng như muốngóp phần vào công tác bồi dưỡng đội ngũ học sinh giỏi Toán trường THCS HoằngGiang nói riêng và học sinh toàn huyện Hoằng Hóa nói chung Tôi xin được trình

bày đề tài: “Giúp học sinh phát triển năng lực sáng tạo qua việc mở rộng một bài toán ban đầu theo nhiều hướng khác nhau” trong chương trình toán lớp 8.

3 Đối tượng nghiên cứu

Phương pháp hình thành tính tích cực, tự giác, biết liên kết và mở rộng cácbài toán, bồi dưỡng năng lực tự học của học sinh

4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu qua tài liệu: SGK, SGV, SBT toán 8 Nâng cao và phát triển

toán 8 –Vũ Hữu Bình

- Nghiên cứu qua thực hành giải bài tập của học sinh

- Nghiên cứu từ thực tế giảng dạy

5 Những điểm mới của SKKN

- Tập trung vào chương trình hình học lớp 8

- Bổ sung thêm một số bài toán đảo và mở rộng thêm một số bài toán khác.

II NỘI DUNG

1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Dạy toán là một hoạt động nghiên cứu về toán học của học sinh và giáo viênbao gồm day khái niệm, dạy định lý, giải toán , trong đó giải toán là công việcquan trọng Bởi giải toán là quá trình suy luận nhằm khám phá ra quan hệ lôgicgiữa cái đã cho và cái chưa biết (giữa giả thiết và kết luận) Mặt khác chúng takhông thể dạy hết cho học sinh tất cả các bài tập cũng như các em không thể làmhết các bài tập đó Vì vậy để tạo mối liên hệ giữa các bài tập, khi hướng dẫn chohọc sinh giải một bài toán, giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh biết khai thác, mởrộng kết quả những bài toán đơn giản để xây dựng các bài toán mới liên quan Điềunày giúp học sinh rèn luyện tư duy lôgic, óc sáng tạo, tự tìm tòi, suy nghĩ ra nhữngbài toán mới và có những cách giải hay Như nhà toán học Đề Các đã nói: “Mỗivấn đề mà tôi giải quyết đều sẽ trở thành ví dụ mẫu mực dùng để giải quyết vấn đềkhác” Từ đó giúp các em có cơ sở khoa học khi phân tích, định hướng tìm lời giảicho các bài toán khác và đặc biệt là củng cố cho các em lòng tin vào khả năng giảitoán của mình

Để rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh, ngoài việc trang bị tốt hệ thốngkiến thức cơ bản và rèn luyện kỹ năng giải bài tập, nhiệm vụ của người thầy ngoàiviệc cung cấp kiến thức, rèn luyện kỹ năng cho học sinh còn có một nhiêm vụ quantrọng đó là rèn luyện năng lực tư duy cho học sinh trong quá trình giảng dạy củamình Nếu sau mỗi bài toán, người thầy hướng dẫn học sinh khai thác sâu các kếtquả Từ đó tìm ra được chuỗi bài toán từ dễ đến khó thì không những rèn luyệnđược năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh mà còn gây hứng thú làm cho giờ họctrở nên hấp dẫn hơn, giúp cho kiến thức của học sinh có tính hệ thống, được mởrộng và sâu hơn Trong quá trình giảng dạy ở trường cũng như bồi dưỡng học sinhgiỏi, tôi nhận thấy biện pháp trên rất hữu hiệu để bồi dưỡng năng lực tư duy theođịnh hướng đổi mới phương pháp dạy học của Bộ Giáo Dục và Đào tạo: "Phươngpháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạocủa học sinh, phù hợp với đặc điểm chung của từng lớp học, môn học ”(Trích

“Một số vấn đề đổi mới phương pháp dạy học ở trường THCS"- Bộ Giáo dục vàĐào tạo)

2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Qua các năm giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi và tham khảo học hỏi cácđồng nghiệp tôi nhận ra rằng:

- Học sinh yếu toán (đặc biệt là môn hình học) là do kiến thức còn hổng, lạilười học, lười suy nghĩ, lười tư duy trong quá trình học tập

- Học sinh làm bài tập rập khuôn, máy móc và không nhớ những bài đã làmthậm chí có những bài chỉ khác nhau bởi lời văn nhưng nội dung lại hoàn toàngiống với bài toán cũ Từ đó làm mất đi tính tích cực, độc lập, sáng tạo của bảnthân

- Không ít học sinh thực sự chăm học nhưng chưa có phương pháp học tậpphù hợp, chưa tích cực chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên hiệu quả học tập chưacao.

- Nhiều học sinh hài lòng với lời giải của mình, mà không tìm lời giải khác,không khai thác phát triển bài toán, sáng tạo bài toán nên không phát huy hết tínhtích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân

3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

- Qua những bài toán đơn giản trong chương trình, học sinh đã giải được, tôigợi ý định hướng cho học sinh tư duy theo phương pháp như: tương tự, so sánh,đặc biệt hóa, khái quát hóa, để học sinh phát hiện, phát biểu lên những vấn đềmới, những bài toán mới Tăng cường các hoạt động tìm tòi, quan sát , tăngcường sử dụng phương pháp quy nạp trong quá trình đi đến các giả thiết có tínhkhái quát

- Hình thành các tình huống có vấn đề hoặc vấn đề từ nội dung đang học và

từ đó xây dựng kế hoạch hướng dẫn cho học sinh tự giải quyết vấn đề

- Trong các tiết luyện tập tôi thường khuyến khích học sinh dựa vào dữ kiệncủa bài toán mà khai thác phát triển thêm bài toán (với các bài toán có thể phát triểnđược) Do đó, học sinh được hình thành kỹ năng khai thác, phát triển bài toán Từ

đó, phát triển tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo cho học sinh

- Giúp học sinh sử dụng SGK và các tài liệu khác một cách có ý thức và chủđộng theo các hướng nghiên cứu để giải quyết vấn đề

- Thay đổi các hình thức tổ chức học tập trong điều kiện cho phép, tạo điềukiện và không khí thích hợp để học sinh có thể tranh luận với nhau, với giáo viên,cũng như tự đánh giá và đánh giá lẫn nhau về kết quả tìm tòi, phát hiện

4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.

- Qua quá trình giảng dạy theo phương pháp tích cực hóa hoạt động của họcsinh thông việc khai thác, phát triển một số bài toán trong chương trình một cáchsáng tạo, tôi nhận thấy có một số kết quả đáng phấn khởi như sau :

- Học sinh được suy nghĩ nhiều hơn, thực hành nhiều hơn, làm cho học sinhhứng thú trong học tập môn Toán Tạo cho các em có niềm tin vào năng lực củachính mình

- Học sinh được nêu vấn đề và tự mình giải quyết vấn đề Từ đó học sinhtích cực, chủ động, sáng tạo trong học tập

- Bước đầu đã xây dựng cho học sinh phong cách nghiên cứu, tìm tòi, pháthiện kiến thức mới, điều hay qua từng bài tập Các em thực sự được hưởng niềmvui khi tìm ra điều hay qua từng bài toán

- Các em nắm chắc kiến thức cơ bản và vận dụng tốt vào bài tập Đôi khichính từ những bài toán mới phát triển có nhiều em đưa ra được nhiều cách giảihơn đối với bài toán ban đầu

- Rèn cho các em tính kiên trì không chịu lùi bước trước khó khăn, không

chán nản trước bài tập khó

- Góp phần nâng cao kiến thức và đổi mới phương pháp dạy học cho chínhbản thân tôi

- Ở đây qua một số bài tập cụ thể trong SGK lớp 8 tôi xin nêu những gợi ý,

để định hướng cho học sinh phát hiện vấn đề mới và giải quyết vấn đề như sau:

Trước hết chúng ta bắt đầu với bài toán 46 trang 84 SGK Toán 8 tập 2.

Bài toán 1: (Bài toán gốc – Bài 46 Trang 84 SGK Toán 8 tập 2)

Trên hình vẽ hãy chỉ ra các tam giác đồng dạng Viết các tam giác này theo thứ tựcác đỉnh tương ứng và giải thích vì sao chúng đồng dạng?

Giải:

H A

Cho ta các bài toán sau:

Bài toán 1.1: Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao AD và CF cắt nhau tại H

CMR: HA.HD = HC.HF

Giải:

H A

F

D E

(HA.HD = HB.HE; HB.HE = HC.HF)

Bài toán 1.2: Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE và CF cắt nhau

tại H CMR: HA.HD = HB.HE = HC.HF

(Giải tương tự như bài 1.1 – Học sinh tự làm)

*Khai thác bài toán: Bài toán trên đúng cho cả trường hợp tam giác ABC là tam

giác vuông, tam giác tù.

Bài toán 1.3: Cho tam giác nhọn ABC các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại

H Chứng minh rằng:AHC FHD

Giải:

H A

F

D E

Từ kết quả (1) của bài toán 1: AFH CDH HA HF HA HC

(AHB EHD; BHC FHE)

* Hướng khai thác: Đối với học sinh khá giỏi có thể yêu cầu học sinh tiếp tục khai

thác các kết quả trên để có các kết quả khác của bài toán, qua các câu hỏi gợi ý như: DH có là phân giác của góc EDF không? Vì sao? Kết quả tương tự là gì? Từ

đó, có nhận xét gì về vị trí đặc biệt của điểm H đối với tam giác DEF?

Bài 1.4: Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H.

Chứng minh rằng điểm H cách đều ba cạnh của tam giác DEF

H A

    DA là phân giác của FDE

Chứng minh tương tự ta có: EB là phân giác của FED

 H là giao điểm 3 đường phân giác của DEF

 H cách đều ba cạnh của tam giác DEF (đpcm)

* Hướng khai thác: Ta thấy H là giao điểm 3 đường phân giác của DEF

giác DEF Đối với học sinh giỏi lớp 8 ta có thể có bài toán sau:

Bài 1.5: Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H.

Chứng minh rằng điểm A cách đều ba cạnh của tam giác DEF

* Hướng khai thác: Gọi O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC.

Kẻ OM vuông góc với AC; ON vuông góc với BC

(M thuộc AC; N thuộc BC )

AB MN

B

A

Bài 1.6: Cho tam giác nhọn ABC, gọi H là trực tâm, O là giao điểm ba điểm trung

trực của tam giác Chứng minh rằng khoảng cách từ điểm A đến trực tâm H củatam giác ABC gấp đôi khoảng cách từ O đến cạnh BC

Ta có bài toán sau:

Bài 1.7: Cho tam giác nhọn ABC, H là trực tâm, O là

giao điểm ba điểm trung trực của tam giác Gọi I là điểm

đối xứng với O qua BC Chứng minh

rằng tứ giác AHIO là hình bình hành

*Hướng khai thác: Từ kết quả chứng

minh của bài toán 1.7:

điểm

của AO và HN thì ta cũng chứng

minh được

AK = 2.AO và HK = 2.HN

Mà N là trung điểm của BC do đó ta

cũng có tứ giác BHCK là hình bình

hành và BK vuông góc với AB tại B;

CK vuông góc với AC tại C

Mặt khác nếu gọi G là giao điểm của

AN và OH Ta chứng minh được các tam giác AHG và NOG đồng dạng (g.g)

Như vậy, ta có thể phát biểu thành bài toán sau:

Bài 1.8: Cho tam giác nhọn ABC, H là trực tâm, O là giao điểm ba điểm trung trực

của tam giác Gọi N là trung điểm của BC, K là giao điểm của AO và HN Chứngminh rằng:

a) N là trung điểm của HK

N D

E

O

K

Bài 1.9 (bài toán đảo 1): Cho tam giác nhọn ABC, H là trực tâm của tam giác, O

là giao điểm ba đường trung trực và G là trọng tâm của tam giác Chứng minh bađiểm H, O, G thẳng hàng (Đường thẳng đi qua ba điểm H, O, G được gọi là đườngthẳng Ơle của tam giác)

Bài 1.10 (bài toán đảo 2): Cho tam giác nhọn

ABC, hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H Gọi

N là trung điểm của BC Đường thẳng vuông

góc với AB tại B và đường thẳng vuông góc với

AC tại C cắt nhau tại K Chứng minh rằng: H,

N, K thẳng hàng

* Hướng khai thác: Tiếp tục ta lại thấy tam

giác BEC là tam giác vuông có EN là trung

Tương tự ta có FN =

2

1

BC

Từ đó suy ra EN = FN  NEF cân tại N Từ

đây ta có bài toán:

Bài 1.11: Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao

BE, CF cắt nhau tại H Gọi N là trung điểm của

BC, M là trung điểm của EF Chứng minh rằng

NM EF

* Hướng khai thác: Có thể yêu cầu học sinh tiếp

tục khai thác kết quả H là giao điểm ba đường

phân giác của tam giác DEF và các tam giác

đồng dạng trên để suy ra những tam giác nào

đồng dạng với nhau?

Bài 1.12: Cho tam giác nhọn ABC có các đường

cao AD, BE và CF cắt nhau tại H Chứng minh rằng: AFD EHD

F

D E

 A1 HED(hai góc tương ứng)

D D

  (cmt)

 AFD EHD (g.g)

(AED FHD; BFE DHE; BED FEH

CEF DHF; CDF EHF)

*Hướng khai thác: Từ kết quả bài toán 1.12 ta cũng chứng minh được

E E

EF 180

N

Bài 1.13: Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H.

Gọi M, N theo thứ tự là điểm đối xứng với D qua AB, AC Chứng minh M, N, E, Fthẳng hàng

Tức là độ dài đoạn MN bằng chu vi tam giác DEF

- Nếu D, E, F là các điểm bất kỳ trên các cạnh BC, AC, AB thì M, F, E, N khôngthẳng hàng Khi đó độ dài đường gấp khúc MFEN = MF + EF + EN hay độ

F M

B

A

khi M, F, E, N thẳng hàng Khi đó D, E, F là chân các đường cao của tam giác ABC Ta có bài toán cực trị hình học :

Bài 1.14: Cho tam giác nhọn ABC; K, D, E là các điểm bất kỳ trên các cạnh BC,

CA, AB Chứng minh rằng chu vi tam giác DEK nhỏ nhất khi K, D, E là chân cácđường cao của tam giác ABC

*Hướng khai thác: Nếu gọi I, K là hình chiếu của B, C trên đường thẳng EF thì ba

được hệ thức nào liên hệ giữa diện tích của ba tam giác đó?

Bài 1.15: Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao BE và CF cắt nhau tại H Gọi

I, K theo thứ tự là hình chiếu của B, C trên DE Gọi diện tích các tam giác HBC,HFE, BIF, CKE theo thứ tự là S S S S1 , , , 2 3 4 Chứng minh rằng: S1  S2 S3 S4

H A

I

K E

D

E F

C B

A

Cho ta các bài toán sau:

Bài 2.1: Cho tam giác nhọn ABC các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H.

Chứng minh rằng:AH AD AF AB.

Gợi ý:

H A

F

D E

Từ kết quả (2) của bài toán 1: AFH ADB(g-g) AH AF AH AD. AF AB.

AB AD

(BH BE BF BA. ; CH CF CE CA. )

* Hướng khai thác: Từ kết quả của bài toán 2.1 trên nếu cộng từng vế 2 đẳng

thức với nhau ta được kết quả của bài toán sau:

Bài 2.2: Cho tam giác nhọn ABC các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H.

Chứng minh rằng: AH AD BH BE  AB2

Gợi ý:

H A

F

D E

Từ kết quả của bài 2.1 ta có:

* Hướng khai thác: Từ kết quả của bài toán 2.1 trên nếu cộng vế với vế cả ba

đẳng thức trên ta được kết quả của bài toán sau:

Bài 2.3: Cho tam giác nhọn ABC các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H.

F

D E

Theo kết quả bài 2.1 ta có:

F

K H

a) Dễ dàng chứng minh được tứ giác OHBK là hình bình hành

b) Ta có: ABCAOC CBECOF

CBE

  s  COF(g.g)

tổng không đổi nên ta có thể đưa về bài toán cực trị hình học như sau:

Bài 3.1: Cho 2 điểm B, C cố định Điểm A di động sao cho tam giác ABC có ba

góc nhọn Hai đường cao AD, CF cắt nhau tại H Tìm GTLN của tích DH.DA

Gợi ý:

H A

Vậy DH.DA lớn nhất khi CB.DB lớn nhất

Mà CB+DB = BC (không đổi)  tích CB.DB lớn nhất khi 1

Vậy GTLN của DH.DA bằng 1 2

4BC khi và chỉ khi D là trung điểm của BC

* Hướng khai thác: Từ kết quả (6):ADB CFB cho ta các bài toán sau:

Bài 4.1: Cho tam giác nhọn ABC các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H

Chứng minh rằng: BD BC BF BA.

* Gợi ý:

H A

F

D E

Ta có: ADB CFB ( theo (6) của bài toán 1)

F

D E

* Hướng khai thác: Từ kết quả của bài toán 4.1 trên nếu cộng từng vế 2 đẳng

thức với nhau ta được kết quả của bài toán sau:

Bài 4.3: Cho tam giác nhọn ABC các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H