Dựa vào hình học tọa độ để tìm hiểu đường thẳng và đường tròn

Đường thẳng và đường tròn trong hình học tọa độ” là một trong những kiến thức trọng tâm của chương trình hình học lớp 10. Kiến thức này cũng là một trong những vấn đề chính trong bài thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng. Các bài toán thường phải áp dụng tính chất hình học trước khi sử dụng biến đổi đại số chứ không còn là kĩ thuật tính toán đại số thông thường như trước kia. Vì vậy để học tốt nội dung này, học sinh cần có sự nỗ lực phối hợp nhiều thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa, đặc biệt hóa,... Tuy nhiên, mỗi học sinh lại có khả năng học tập, tiếp thu khác nhau. Hơn nữa, các bài toán về “Đường thẳng và đường tròn trong hình học tọa độ” thường rất khó nên việc vận dụng lý thuyết vào làm bài tập đối với học sinh là khá khó khăn.

5 PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài “Đường thẳng đường tròn hình học tọa độ” kiến thức trọng tâm chương trình hình học lớp 10 Kiến thức vấn đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng Các toán thường phải áp dụng tính chất hình học trước sử dụng biến đổi đại số khơng kĩ thuật tính tốn đại số thơng thường trước Vì để học tốt nội dung này, học sinh cần có nỗ lực phối hợp nhiều thao tác tư phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa, đặc biệt hóa, Tuy nhiên, học sinh lại có khả học tập, tiếp thu khác Hơn nữa, toán “Đường thẳng đường tròn hình học tọa độ” thường khó nên việc vận dụng lý thuyết vào làm tập học sinh khó khăn Vì lý trên, chọn đề tài “Đường thẳng đường tròn hình học tọa độ lớp 10” với mong muốn giúp đỡ học sinh hiểu nắm kiến thức, đồng thời phát giúp em khắc phục sai lầm giải tốn đường thẳng đường tròn hình học tọa độ ← Mục đích nghiên cứu Giúp học sinh hiểu, sử dụng tri thức “Đường thẳng đường tròn hình học tọa độ lớp 10” cách đắn, đồng thời nhận sai lầm cách giải khắc phục sai lầm Giúp giáo viên mang lại hiệu dạy học hình học trường trung học phổ thông ← Khách thể đối tượng nghiên cứu 3.1 Khách thể nghiên cứu Đường thẳng đường tròn hình học tọa độ lớp 10 3.2 Đối tượng nghiên cứu Học sinh trung học phổ thông ← Phương pháp nghiên cứu 4.1 Phương pháp nghiên cứu lý thuyết Thu thập, phân loại, tổng hợp tài liệu có liên quan phần đường thẳng đường tròn hình học tọa độ lớp 10 4.2 Phương pháp thực nghiệm sư phạm Chọn khối lớp 10, tiến hành khảo sát phát phiếu in sẵn tập đường thẳng đường tròn hình học tọa độ để học sinh làm Sau đó, kiểm tra kết đúc kết sai lầm học sinh dễ mắc phải làm 4.3 Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia Gặp mặt, trao đổi xin ý kiến thầy khoa Tốn - Ứng dụng trường đại học Sài Gòn đề tài nghiên cứu để thu thập thông tin cần thiết cho đề tài, thu lượm ý kiến đánh giá từ thầy cô trưởng Bộ môn thực trạng phương hướng giải vấn đề nghiên cứu 4.4 Phương pháp ứng dụng toán học Sử dụng phương pháp thống kê xử lý số liệu cụ thể để đảm bảo tính khoa học đề tài ← Phạm vi nghiên cứu 5.1 Giới hạn nội dung Đề tài nghiên cứu đường thẳng đường tròn hình học tọa độ lớp 10 5.2 Giới hạn địa bàn Thực nghiệm: ← Thời gian: Ngày 30/03/2016 ← Địa điểm: ← Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm có ba phần: phần mở đầu, phần nội dung phần kết luận Phần mở đầu: Trình bày lý chọn đề tài, mục đích nghiên cứu, khách thể đối tượng nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu cấu trúc khóa luận Phần nội dung: Gồm bốn chương Chương 1: Đường thẳng mặt phẳng tọa độ Chương 2: Đường tròn mặt phẳng tọa độ Chương 3: Một số toán tổng hợp Chương 4: Nghiên cứu sai lầm học sinh giải tốn đường thẳng đường tròn mặt phẳng tọa độ Phần kết luận ← Trình bày kết nghiên cứu đạt ← Hướng mở rộng cho nghiên cứu Để phát huy tính tư duy, mang lại niềm hứng thú học tập cho học sinh cố gắng thể vấn đề sau: ← chương có tóm tắt kiến thức bản, khái niệm kiến thức đề cập tới nhằm mục đích rõ mạch kiến thức mối liên quan vấn đề để người đọc tiện theo dõi, nắm tính hệ thống tài liệu nghiên cứu Sau phần khái niệm, kiến thức chương có số dạng tốn phân tích, hướng dẫn, vận dụng giải từ khái niệm nêu trước đó, nhằm giúp người đọc hiểu rõ Khi phân tích khái niệm, đặc biệt khái niệm khó, hầu hết chúng tơi dẫn dắt từ khía cạnh khác ví dụ cụ thể, minh hoạ hình học để người đọc dễ dàng nắm khái niệm Hệ thống dạng tốn chúng tơi soạn thảo kĩ lưỡng, đảm bảo tính phong phú, đa dạng mức độ từ dễ tới khó, hướng dẫn chi tiết bước giải, nêu nhiều cách làm nhằm giúp em học sinh dễ hiểu, nắm cách trình bày phân tích tốn Chúng tơi có soạn thảo chương cho tốn tổng hợp mức độ khó hướng dẫn giải chi tiết với nhiều cách phân tích khác giúp học sinh củng cố hiểu biết chưa thấu đáo với cách nhìn nhận vấn đề để trả lời cho câu hỏi “Tại biết phải làm vậy?” cách thoả đáng Trong chương cuối, dự kiến số sai lầm học sinh mắc phải việc giải tốn đường thẳng, đường tròn mặt phẳng toạ độ, dự kiến nguyên nhân dẫn đến sai lầm với phần thực nghiệm học sinh Cuối cùng, dù cố gắng tham khảo nhiều loại tài liệu để viết khố luận này, việc thiếu sót điều khó tránh khỏi hiểu biết kinh nghiệm hạn chế từ chúng tơi Chúng tơi mong nhận ý kiến, đóng góp quý báu từ quý thầy cô bạn đọc PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ ← Tóm tắt lý thuyết 1.1 Tọa độ điểm tọa độ vectơ mặt phẳng 1.1.1 Tọa độ điểm mặt phẳng Định nghĩa Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tọa độ vectơ OM gọi tọa độ điểm M Vectơ OM biểu diễn theo i j hệ thức có dạng: OM  xi  y j với x; y x , y  R Cặp số gọi tọa độ điểm M Kí hiệu: M x; y M  x; y  Số x gọi hoành độ điểm M , số y gọi tung độ điểm M 1.1.2 Tọa độ vectơ mặt phẳng   Định nghĩa Đối với hệ trục tọa độ O; i , j , a  xi  y j cặp số x; y gọi tọa độ vectơ a , kí hiệu a  x; y  hay a x; y  Số thứ x gọi hoành độ, số thứ hai y gọi tung độ vectơ a 1.1.3 Các công thức vể tọa độ điểm tọa độ vectơ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho a   x; y , b  x ' , y' , điểm A  x A ; yA  B xB ; yB , C xC ; yC  số thực k Khi đó, cách tổng quát, ta có: a) a  b   x  x ' ; y  y' ; b) k a  kx; ky ; c) ab  y  y  x  x'  ; ' ← Vectơ b phương vectơ a  tồn số thực k cho ' ' x '  kx y '  ky hay x  y x  y  ; x y e) AB   xB  x A ; y B  y A   AB  xBxA2yByA2;  x  x A  xB f) I trung điểm AB   y  I I   g) G trọng tâm tam giác ; y A  yB  ABC  x  x A  x B  xC  G   y  y A  y B  yC G  1.2 Vectơ phương vectơ pháp tuyến đường thẳng 1.2.1 Vectơ phương đường thẳng Định nghĩa Vectơ u khác , có giá song song trùng với đường thẳng d  d  gọi vectơ phương đường thẳng Nhận xét d  ; i Nếu u vectơ phương đường thẳng d  vectơ ku khác vectơ vectơ phương đường thẳng ← Nếu u  a; b (với a  ) vectơ phương đường thẳng d  hệ b số góc đường thẳng d  k  a ; ← Một đường thẳng hoàn toàn xác định biết điểm mà qua vectơ phương 1.2.2 Vectơ pháp tuyến đường thẳng Định nghĩa Vectơ n khác , có giá vng góc với đường thẳng d  gọi vectơ pháp tuyến đường thẳng d  Nhận xét i Nếu n vectơ pháp tuyến đường thẳng d  vectơ k n khác vectơ vectơ pháp tuyến đường thẳng d  ; ← Một đường thẳng hoàn toàn xác định biết điểm mà qua vectơ pháp tuyến 1.2.3 Mối quan hệ vectơ phương vectơ pháp tuyến 10 i Nếu đường thẳng d  có vectơ pháp tuyến n vectơ phương u ← Nếu n  a; b vectơ pháp tuyến đường thẳng d  u   b; a  n.u  0; d  ; u   b; a  vectơ phương đường thẳng ← Nếu u  a; b vectơ phương đường thẳng d  n   b; a  n   b; a  vectơ pháp tuyến đường thẳng d  ; ← Hai đường thẳng song song có vectơ phương vectơ pháp ← Hai đường thẳng vuông góc vectơ phương đường thẳng tuyến; vectơ pháp tuyến đường thẳng ngược lại 1.3 Phương trình tham số đường thẳng Định lý Trong mặt phẳng Oxy , đường thẳng d  qua điểm M x0 ; y0  nhận vectơ u  a; b làm vectơ phương có phương trình tham số d :  Nhận xét x  x0  at t  R y  y0  bt Nếu a  b  phương trình tham số d  x  x0  t R  Khi đó, y  y0  bt d  đường thẳng vng góc với trục Ox , cắt Ox điểm có hồnh độ Nếu b  a  phương trình tham số d    x  x0 at x0 ; t R Khi đó, y  y ← d  đường thẳng vng góc với trục Oy , cắt Oy điểm có tung độ y0 1.4 Phương trình tắc đường thẳng Định lý Trong mặt phẳng Oxy , đường thẳng d  qua điểm M x0 ; y0  nhận vectơ u   a; b a  0, b  0 làm vectơ phương có phương trình tắc ← d : ab xx  yy 11 Nhận xét Nếu a  b  đường thẳng d  khơng có phương trình tắc 1.5 Phương trình đường thẳng theo hệ số góc Định nghĩa Xét đường thẳng d  có phương trình tổng quát Ax  By  C  Nếu B  A phương trình đưa dạng y  kx  m với k  B m  C B Khi k hệ số góc đường thẳng d  y  kx  m gọi phương trình d  theo hệ số góc Định lý Phương trình đường thẳng d  qua M x0 ; y0  có hệ số góc k có dạng: y  y0  k x  x0  1.6 Phương trình tổng quát đường thẳng Định lý Trong mặt phẳng tọa độ, đường thẳng có phương trình tổng quát dạng Ax  By  C  với A2  B2  Trong mặt phẳng Oxy , phương trình đường thẳng d  qua điểm M x0 ; y0  có vectơ pháp tuyến n   A; B   d : A  x  x0   B  y  y0   Nhận xét Từ phương trình d : Ax  By  C  ta suy ← Vectơ pháp tuyến d  n  A; B; ← Vectơ phương d  u   B; A u   B; A; ← M x0 ; y0   d   Ax0  By0  C  Mệnh đề 3 hiểu là: Điều kiện cần đủ để điểm nằm đường thẳng tọa độ điểm nghiệm phương trình đường thẳng Các dạng đặc biệt phương trình tổng quát Cho đường thẳng d : Ax  By  C  , với A2  B2  105 Ta có AB , AC hai tiếp tuyến kẻ từ điểm A đến đường tròn C , từ tính chất tiếp tuyến suy IA vng góc với BC H trung điểm BC Từ giả thiết ta biết tọa độ điểm I nên ta tìm tọa độ điểm A cách tìm độ dài IA Giả sử IA  m, IH  n Diện tích tam giác ABC suy BC AH  mà BC  2BH nên BH AH  , từ ta phương trình hai ẩn m n Mặt khác, tam giác IBA vuông B , có BH đường cao, ta sử dụng hệ thức lượng tam giác vng “bình phương cạnh góc vng tích cạnh huyền hình chiếu cạnh góc vng lên cạnh huyền”, ta tìm thêm phương trình hai ẩn m n Từ hai phương trình trên, ta giải tìm m, n Ta có A   d  A  a;  a  2, IA  m  xAxI2yAyI25 Giải phươngtrình ta tìm tọa độ điểm A Các bước giải Bước Từ phương trình đường tròn C  suy tọa độ tâm I bán kính R ; Bước Từ tính chất tiếp tuyến suy IA vng góc với BC H trung điểm BC ; Bước Giả sử IA  m, IH  n m  n  0 Tính HA, BH theo m, n ; Bước S ABC  BC AH  BH AH mà S ABC   BH AH   m  n   n2  1; Bước Tam giác IBA vuông B , BH đường cao, sử dụng hệ thức lượng tam giác vuông, ta có BI  IH IA   m.n 2; Bước Từ 1 ,   , giải tìm m, n ; Bước A   d  A  a;  a  2, IA  m  xAxI2yAyI25 Giải phương trình ta tìm a , suy tọa độ điểm A kết luận Bài giải Đường tròn C : x  1   y    có tâm I 1; 2, bán kính R  Ta có: AB , AC hai tiếp tuyến đường tròn C  B , C IA vng góc BC H ( H trung điểm BC ) Giải sử IA  m, IH  n m  n   HA  m  n BH  IB  IH   n2 S ABC  BC AH  BH AH   m  n   n2  1 Ta có: Tam giác IBA vng B có BH đường cao 106 BI  IH IA   m.n  m  n 2  Thay 2 vào 1, ta có: 5    n  5n 8   n n  15n  139n2  125  n   1n  14n2  125   n 1  n 1 (loại n 1 n  ) n 1 Suy m  Ta có: A   d : x  y    A  a; 2  a 2 Ta có: IA  m    a  1    a   25     a 1  a Vậy A 1; 3 A 4;2 thỏa yêu cầu toán 4  A 1; 3   A4; 2  Ví dụ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD có đỉnh A thuộc đường thẳng d : x  y   , đường thẳng BC  qua điểm M 4; 0, đường thẳng CD qua điểm N 0;  Biết tam giác AMN cân A , viết phương trình đường thẳng BC  Phân tích Phương trình đường thẳng BC  qua điểm M 4;0 vng góc với đường thẳng CD Để viết phương trình đường thẳng BC  ta cần tìm phương trình đường thẳng CD CD qua điểm N 0; 2 nên phương trình CD có dạng ax  by  2b  a  b2  0 Từ đó, suy phương trình đường thẳng BC  có dạng: 107 bx  ay  4b  Mặt khác, tam giác AMN cân A nên ta có AM  AN , từ ta tìm tọa độ điểm A Do ABCD hình vng nên khoảng cách từ A đến hai đường thẳng BC ,CD nhau, nghĩa ta có 5b  a d A, BC   d A, CD  5a  7b Giải phương trình ta tìm 2 2 a b a b a, b , từ suy phương trình đường thẳng BC Các bước giải Bước Tam giác AMN cân A , suy AM  AN Tìm tọa điểm A ; Bước Viết phương trình đường thẳng CD qua điểm N 0; 2; Bước Viết phương trình đường thẳng BC  qua M vng góc với đường thẳng CD; Bước ABCD hình vng nên d A, BC   d A, CD Ta phương trình hai ẩn a b Giải phương trình tìm a, b Từ đó, suy phương trình đường thẳng BC  Kết luận Bài giải A   d : x  y    A  t ; t   Ta có: Tam giác AMN cân A AMAN AM  AN   t     t    t   t    t 1 A1;5 Đường thẳng CD qua N 0; 2 nên phương trình CD có dạng: ax  by  2b  a  b2  0 Đường thẳng BC  qua M 4; 0và vuông góc với CD có dạng: bx  ay  m  4;0    BC   4b  m   m 4b Suy phương trình đường thẳng BC : bx  ay  4b  Ta có: ABCD hình vuông d A, BC   d A, CD  a 7b 5b  a  a2 b2  5  b 5a  a7b 3a  b   a  b2 a  3b  2 Nếu 3a  b  , chọn a 1 (vì a  b  )  b 3 Suy phương trình đường thẳng BC : 3 x  y  12  Nếu a  3b  0, chọn a  (vì a  b2  )  b 1 108 Suy phương trình đường thẳng BC : x  y   Vậy BC : 3x  y  12  BC : x  y         Ví dụ 10 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn C : x   y  2  điểm N 2;1 Tìm đường thẳng   4 d : x  y   điểm M cho từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến C  (với A, B hai tiếp điểm) đường thẳng AB qua N Phân tích Điểm M thuộc đường thẳng d : x  y   nên M t ; 2 t  Nếu T x; y T   C  tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ M đến C   trình  x  1  y 2 4   MT.I T  1   x  t x  1   y  2 y   t    vế  , ta có hệ phương 0 2 * Từ hệ phương trình ta trừ vế với cho   , ta  t  x   t   y  t   , tọa độ tiếp điểm tiếp  tuyến kẻ từ M đến  C  thỏa mãn  * A, B hai tiếp điểm hai tiếp tuyến  MA, MB kẻ từ M đến đường tròn  C  nên  t  x   t   y  t    A A phương trình đường thẳng  B  Mặt khác, N  2;1 thuộc đường thẳng  B   nên ta thay tọa độ điểm N vào phương trình đường thẳng  AB để tìm t Từ suy tọa độ điểm Các bước giải Bước M   d : x  y    M t ; 2  t ; 109 Bước Giả sử T x; y tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ M đến C  Giải hệ    T  C  MT.IT  ;   Bước A, B hai tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ M đến C , suy phương trình đường thẳng AB; Bước N AB Thay tọa độ N vào phương trình đường thẳng AB, tìm t ; Bước Suy tọa độ điểm M cần tìm kết luận Bài giải     Đường tròn C có tâm I 1;2 , bán kính R  Ta có: M   d : x  y    M t ; 2 t  Giả sử T x; y tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ M đến C  MT   x  t ; y   t , IT   x  1; y   ếđểủếếẻừđế   T    C x 1   y  2   MT IT       1 xt   y2  x    y   t          2 Trừ vế với vế cho ta t  x  t  y  t 50 Ta có: A, B tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ M đến C  Suy tọa độ A, B thỏa mãn   * nên phương trình đường thẳng AB AB  : t  1 x   t   y  t   2;1   AB    t  1   t    t    t  1 Vậy M  2 ; 5  2 * 110 CHƯƠNG NGHIÊN CỨU SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI GIẢI CÁC BÀI TỐN VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRỊN TRONG MẶT PHẲNG TOẠ ĐỘ LỚP 10 Trong chương này, dự kiến sai lầm học sinh mắc phải việc giải số toán đường thẳng đường tròn mặt phẳng tọa độ Sau đó, chúng tơi tiến hành thực nghiệm ở lớp 10 để kiểm chứng sai lầm dự đoán, đồng thời tìm hiểu, phân tích quan niệm sai lầm học sinh làm rõ nguyên nhân sai lầm Các quan niệm sai lầm Xuất phát từ phân tích dạng tốn, chúng tơi dự đốn quan niệm sai lầm sau học sinh Quan niệm sai lầm Học sinh áp đặt điều kiện cho số hạng c phương trình ax  by  c  toán lập phương trình đường thẳng qua điểm vng góc với đường thẳng cho trước Bài tốn Viết phương trình đường thẳng d  biết d  qua A2;3 vng góc với đường thẳng d1 : x  y   Vì d  vng góc với d1  nên d  có dạng x  y  c  , c  1 Ta có A  2;3    d    2   3.3  c   c 1 (nhận) Vậy phương trình đường thẳng x  y   Nguyên nhân dự kiến Học sinh áp dụng điều kiện c  c ' hai đường thẳng song song d : ax  by  c  d '  : ax  by  c '  tương tự cho điều kiện vng góc hai đường thẳng Quan niệm sai lầm Học sinh quan niệm VTPT đường thẳng Bài toán Cho A2;3 đường thẳng d : x  y   Tìm hình chiếu A lên d2  Gọi I x I ; yI  hình chiếu A lên d2   AI VTPT d2  111 AI 1;1  x 21 I x 1 I yI 31  yI   I 1;4 Nguyên nhân dự kiến Học sinh quan niệm đường thẳng có VTPT Quan niệm sai lầm Học sinh quan niệm góc hai đường thẳng góc hai VTPT hai đường thẳng Bài tốn Cho đường thẳng d1 : x  y   d : x  y   Tính góc hai đường thẳng d1  d2  d1 : x  y   có VTPT n1   3; 4 d : x  y   có VTPT n2  1;1   3.1 4.1 cos n1 , n2  d , d2 32 4 12 12   82 o  10 Nguyên nhân dự kiến Học sinh không phân biệt khái niệm góc hai đường thẳng góc hai VTPT hai đường thẳng Quan niệm sai lầm 4: Học sinh không quan tâm đến điều kiện để phương trình x  y  ax  2by  c  phương trình đường tròn Bài tốn Viết phương trình đường tròn C  qua hai điểm A2;3 B 1; 1 biết tâm I đường tròn nằm đường thẳng   : x  y  11  Gọi I a; b tâm đường tròn a; b       a  3b  11   a  3b 11 (1) Giả sử C : x  y  2ax  2by  c  A  2;3    C     4a  6b  c  (2) B 1; 1   C     a  2b  c  (3)   a  3b  11  Từ 1,2, 3 4 a  6b  c 13  2 a  2b  c 2 a  121  14 11   14 118  b  c   112 Vậy C : x  y  121 7x 11 7y 118 70 Nguyên nhân dự kiến Học sinh quan niệm tất phương trình dạng x  y  ax  2by  c  cho giáo viên ln phương trình đường tròn Thực nghiệm 2.1 Mục đích thực nghiệm Thực nghiệm học sinh nhằm kiểm chứng tồn học sinh bốn quan điểm sai lầm nêu 2.2 Tổ chức thực nghiệm Chúng tiến hành thực nghiệm với 126 học sinh lớp 10A3, 10A4 10A5 trường THPT Lương Thế Vinh (TPHCM) sau học xong chương “Phương pháp tọa độ mặt phẳng” Thực nghiệm tổ chức dạng giải tốn hình thức kiểm tra viết Học sinh làm cá nhân tờ giấy làm bài, làm học sinh thu lại để phân tích 2.3 Nội dung thực nghiệm Bài tốn Viết phương trình đường thẳng d  biết d  qua A2;3 vng góc với đường thẳng d1 : 3x  y   Mục đích: Chúng tơi muốn kiểm chứng tồn sai lầm học sinh Bài toán Cho A2;3 đường thẳng d : x  y   Tìm hình chiếu A lên d2  Mục đích: Chúng tơi muốn kiểm chứng tồn sai lầm học sinh Bài toán Cho đường thẳng d1 : x  y   d : x  y   Tính góc hai đường thẳng d1  d2  Mục đích: Chúng tơi muốn kiểm chứng tồn sai lầm học sinh Bài tốn Viết phương trình đường tròn C  qua hai điểm A2;3 B 1; 1 biết tâm I đường tròn nằm đường thẳng   : x  y  11  Mục đích: Chúng tơi muốn kiểm chứng tồn sai lầm học sinh 2.4 Kết thực nghiệm 113 Sau tổ chức thực nghiệm, thống kê số liệu để dựa vào chúng tơi đưa đánh giá, nhận xét chung việc giải tốn hình học mặt phẳng toạ độ Oxy em học sinh sau tiếp thu tri thức Đối với thực nghiệm, quan tâm đến quan niệm sai lầm nêu mà không quan tâm đến kết sai lời giải Kết thực nghiệm tốn Sai lầm Khác Khơng trả lời Số học sinh 88 38 Tỷ lệ 69,84% 30,16% 0% Với kết 88 học sinh mắc sai lầm (chiếm tỉ lệ 69,84%) 38 học sinh có câu trả lời khác (chiếm tỉ lệ 30,16%), nhận thấy phần lớn học sinh bị ảnh hưởng kiến thức tương đồng với nhau, cụ thể THCS học sinh học mối quan hệ song song vng góc dẫn đến hình thành quan niệm lập phương trình đường thẳng có quan hệ song song tương tự với việc lập phương trình đường thẳng có quan hệ vng góc Qua đó, chúng tơi đề xuất số biện pháp khắc phục sau: Cho phương trình đường thẳng có dạng: ax  by  c  Nếu hai đường thẳng song song ta cần quan tâm đến hệ số a , b, c Nếu hai đường thẳng vng góc ta cần quan tâm đến hệ số a, b ; ii Dùng hình ảnh để minh hoạ giúp học sinh dễ dàng tiếp thu ý Kết thực nghiệm toán Sai lầm Khác Không trả lời Số học sinh 54 48 24 Tỷ lệ 42,86% 38,1% 19,04% Với kết 54 học sinh mắc sai lầm (chiếm tỉ lệ 42,86%) , 48 học sinh có câu trả khác (chiếm tỉ lệ 38,1%) 24 học sinh không trả lời (chiếm tỉ lệ 19,04%) , nhận thấy học sinh áp đặt tính cho VTPT đường thẳng Qua vấn lấy ý kiến từ em mắc sai lầm này, nhận đa số câu trả lời dẫn đến nguyên 114 nhân sai lầm là: kẻ đường thẳng vng góc với đường thẳng VTPT đường thẳng có Qua đó, chúng tơi đề xuất số biện pháp khắc phục sau: i Chỉ phương trình đường thẳng có nhiều phương trình tương đương ta nhân hai vế cho số khác từ rút kết luận: đường thẳng có vơ số VTPT; Nếu n '  k n k  0 n VTPT đường thẳng n ' VTPT đường thẳng đó; ii Dùng hình ảnh để minh hoạ giúp học sinh dễ dàng tiếp thu ý Kết thực nghiệm toán Sai lầm Khác Không trả lời Số học sinh 65 46 15 Tỷ lệ 51,59% 36,51% 11,9% Với kết 65 học sinh mắc sai lầm (chiếm tỉ lệ 51,59%) , 46 học sinh có câu trả lời khác (chiếm tỉ lệ 36,51%) 15 học sinh không trả lời (chiếm tỉ lệ 11,9%) , nhận thấy học sinh nhập nhằn quan niệm góc hai đường thẳng góc hai vectơ, dẫn tới việc quan niệm góc hai VTPT góc hai VTCP đường thẳng góc hai đường thẳng Qua đó, chúng tơi đề xuất số biện pháp khắc phục sau: i Cho học sinh so sánh khác góc hai đường thẳng, góc hai vectơ; ii Dùng hình ảnh để minh hoạ giúp học sinh dễ dàng tiếp thu ý Kết thực nghiệm tốn Sai lầm Khác Khơng trả lời Số học sinh 101 25 Tỷ lệ 80,16% 19,84% 0% Với kết 101 học sinh mắc sai lầm (chiếm tỉ lệ 80,16%) 25 học sinh có câu trả lời khác (chiếm tỉ lệ 19,84%), nhận thấy phần lớn học sinh cho phương trình dạng x  y  ax  2by  c  phương trình đường thẳng phương trình dạng mà giáo viên đưa lớp phương trình 115 đường tròn tập kiểm tra tồn đường tròn phương trình Hơn nữa, học sinh quan tâm cách giải mà không quan tâm đến điều kiện kèm theo Qua đó, chúng tơi đề xuất số biện pháp khắc phục sau: Lưu ý học sinh xét điều kiện tồn đường tròn xem xét phương trình  y  ax  2by  c  ; Cho ví dụ khơng tồn đường tròn để học sinh ghi nhớ sâu; Nhận xét Qua bảng số liệu trên, bốn quan niệm sai lầm đưa tồn Trong đó, sai lầm xảy nhiều (80,16%), sai lầm (69,84%), sai lầm (51,19%) sai lầm (42,86%) Điều chứng tỏ học sinh tồn nhiều nhận biết sai lệch kiến thức, quan niệm “phương trình x  y  ax  2by  c  ln phương trình đường tròn” chiếm tỉ lệ cao Học sinh quan tâm việc viết phương trình đường tròn mà khơng quan tâm đường tròn có tồn hay khơng Ngun nhân chủ yếu dẫn đến sai lầm là: Hầu hết tập phương trình dạng x  y  ax  2by  c  mà giáo viên cho lớp phương trình đường tròn; Sách giáo khoa có tập dạng này; Quan niệm chủ quan học sinh “phương trình x  y  ax  2by  c  ln phương trình đường tròn” Tiếp theo tồn kiểu sai lầm quan niệm sai lầm 1, học sinh quan niệm “hai đường thẳng d : ax  by  c  d '  : ax  by  c '  song song có điều kiện c  c ' nên hai đường thẳng vng góc có điều kiện này”; kiểu sai lầm quan niệm sai lầm 3, học sinh quan niệm “góc hai VTPT đường thẳng góc hai đường thẳng đó”; kiểu sai lầm quan niệm sai lầm 2, học sinh quan niệm “một đường thẳng có VTPT nhất” 116 KẾT LUẬN Những kết nghiên cứu đạt Trong khoá luận này, làm việc sau đây: i Trình bày dạng tốn viết phương trình đường thẳng đường tròn mặt phẳng thường gặp toán THPT, đề thi tốt nghiệp THPT Quốc gia, đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng; Đưa hướng phân tích, phương pháp giải ví dụ cho dạng toán cụ thể; Dự đoán số sai lầm học sinh giải tập hình học toạ độ phẳng, đồng thời kiểm chứng tồn sai lầm làm rõ nguyên nhân chúng Tuy nhiên, bên cạnh kết đạt dược, chắn tồn số hạn chế chưa nghiên cứu đầy đủ dạng toán đường thẳng đường tròn hạn hẹp thời gian Hướng mở rộng cho nghiên cứu Có phải tất tốn liên quan đến đường thẳng đường tròn mặt phẳng toạ độ giải cách áp dụng công thức học? ... Chương 1: Đường thẳng mặt phẳng tọa độ Chương 2: Đường tròn mặt phẳng tọa độ Chương 3: Một số toán tổng hợp Chương 4: Nghiên cứu sai lầm học sinh giải tốn đường thẳng đường tròn mặt phẳng tọa độ Phần... TỌA ĐỘ ← Tóm tắt lý thuyết 1.1 Tọa độ điểm tọa độ vectơ mặt phẳng 1.1.1 Tọa độ điểm mặt phẳng Định nghĩa Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tọa độ vectơ OM gọi tọa độ điểm M Vectơ OM biểu diễn theo... đường thẳng mặt phẳng tọa độ 2.1 Chuyển đổi dạng phương trình đường thẳng Ví dụ Cho đường thẳng d : y  x 5 Viết phương trình tổng quát đường thẳng d  Viết phương trình tham số đường thẳng