1 H×n h häc mỈt ph¼ng täA ®é C¸ch gi¶i c¸c bµi to¸n vỊ tam gi¸c: viÕt pt c¸c c¹nh cđa tam gi¸c, t×m c¸c ®Ønh chó ý : - 2 ®g th¼ng // th× cã cïng vÐc t¬ ph¸p tuyªn vµ vÐc t¬ chØ ph¬ng - 2 ®g th¼ng vu«ng gãc th× ph¸p tun ®êng nµy lµ chØ ph¬ng cđa ®g kia, chØ ph¬ng ®êng nµy lµ ph¸p tun cđa ®g kia Lo¹i 1: cho 1 ®Ønh vµ 2 ®êng cao kh«ng qua ®Ønh ®ã: c¸ch gi¶i: - viÕt ph¬ng tr×nh c¹nh AB qua A vµ vu«ng gãc víi CK - viÕt ph¬ng tr×nh c¹nh AB qua A vµ vu«ng gãc víi BH Lo¹i 2: cho 1 ®Ønh vµ 2 ®êng trung tun kh«ng qua ®Ønh ®ã c¸ch gi¶i: - LÊy ®iĨm M thc BM theo tham sè, theo c«ng thøc trung ®iĨm t×m to¹ ®é C , thay to¹ ®é C vµo PT ®êng CN t×m tham sè t ®iĨm C - LÊy ®iĨm N thc CN theo tham sè, tõ CT trung ®iĨm t×m to¹ ®é B thay voµ PT ®êng BM t×m tham sè t ®iĨm B lo¹i 3: cho 1 ®Ønh vµ 2 ®êng ph©n gi¸c trong kh«ng qua ®Ønh ®ã c¸ch gi¶i: - gäi A’ vµ A’’ lµ diĨm ®èi xøng cđa A qua ®êng ph©n gi¸c BB’ vµ CC’ A’ vµ A’’ thc c¹nh BC - viÕt PT c¹nh BC, t×m giao cđa nã víi ®êng CC’, BB’ta cã ®iĨm B vµ C chó ý : c¸c bµi to¸n kÕt hỵp ®êng cao vµ ph©n gi¸c; ®êng cao vµ trung tun; trung tun vµ ph©n gi¸c ta ®Ịu dùa vµo c¸ch gi¶i 3 bµi to¸n c¬ b¶n trªn lo¹i 4: Bµi to¸n cho diƯn tÝch, cho ®iĨm trªn ®o¹n th¼ng theo tØ sè cho tríc c¸ch gi¶i: Ta dïng c«ng thøc diƯn tÝch, c«ng thøc t×m to¹ ®é cđa ®iĨm chia ®o¹n th¼ng theo tØ sè k Bµi tËp: 1/ Cho A ( 4 ; 6 ) , B( 1; 4) ,C( 7 ; 2 3 ), D (- 2; 2) a/ Chứng minh rằng A , B, C không thẳng hàng : A , B , D thẳng hàng. b/ Tìm điểm E đối xứng với A qua B. c/ Tìm điểm M sao cho tứ giác ABCM là hình bình hành. d/ Tìm tọộ trọng tâm G của tam giác ABC . 2/ Cho A ( -1 : 3 ) ,B (1 ; 1 ) , C ( 2 ; 4 ) . a/ Xác đònh tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. b/ Xác đònh tọa độ trọng tâm G, trực tâm H của tam giác ABC .suy ra ba điểm G,H,I thẳng hàng. 3/ Cho hai điểm A( 1; -2 ) và B( 3 ; 4 ) . a/ Tìm điểm A’ đối xứng với A qua trục hoành. b/ Tìm điểm M trên trục hoành sao cho MA +MB nhỏ nhất . c/ Tìm điểm N trên trục tung sao cho NA + NB nhỏ nhất. d/ Tìm điểm I trên trục tung sao cho | IB IA | ngắn nhất. e/ Tìm J trên trục tung sao cho JA –JB dài nhất. A B C(x;y) A(x;y) B C A’ B’ B’ C’ A(x;y) C A’ I J B A’’ www.VNMATH.com 2 4/Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(1;1) . Hãy tìm điểm B trên đường thẳng y =3 và điểm C trên trục hoành sao cho ABC là tam giác đều. 5/Trong mặt phẳng Oxy cho điểm B trên đường thẳng x + 4 = 0 và điểm C trên đường thẳng x–3 =0 a) Xác đònh tọa độ B và C sao cho tam giác OBC vuông cân đỉnh O b) Xác đònh tọa độ B;C sao cho OBC là tam giác đều. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Lập phương trình của đường thẳng: Bài 1 : Viết phương trình tham số phương trình , chính tắc rồi suy ra phương trình tổng quát của đường thẳng trong các trường hợp sau: 1/ Qua điểm M(2 ; -5) và nhận vectơ u =( 4; -3) làm vectơ chỉ phương . 2/ Qua hai điểm A(1 ; - 4 ) và B( -3 ; 5 ) . 3/ Qua điểm N ( 3 ; -2 ) và nhận vectơ n = ( 5 ; - 2 ) làm vectơ pháp tuyến . Bài 2: Viết Phương trình tham số , phương trình chính tắc của đường thẳng có phương trình tổng quát là: 3x – 2y + 6 = 0 . Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm A( 5 ; 5) , B( 1 ; 0) , C( 0; 3) . Viết phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau : a) d đi qua A và cách B một khoảng bằng 4. b) d đi qua A và cách đều hai điểm B , C c) d cách đều ba điểm A; B ; C d) d vuông góc với AB tại A. e; d là trung tuyến vẽ từ A của tam giác ABC. Bài 4: Cho tam giác ABC . M ( 1 ; - 2 ) , N ( 8 ; 2 ) , P ( -1 ; 8 ) lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , BC , CA . 1/ Viết phương trình tổng quát của các cạnh của tam giác ABC. 2/ Viết phương trình các đường trung trực của các cạnh của tam giác ABC. Bài 5: Cho đường thẳng (d) có phương trình : 4x – 3y + 5 = 0 . 1/ Lập phương trình tổng quát đường thẳng ( d’) đi qua điểm A (1 ; -2 ) và song song với (d). 2/ Lập phương trình đường thẳng (d’’) đi qua điểm M( 3 ; 1 ) và (d’’) vuông góc với (d). Bài 6 : Cho hai đường thẳng d: 2x + 7y – 8 = 0 và d’ : 3x + 2y + 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng đi qua giao điểm của d và d’và thoả mản môït trong các điều kiện sau đây : 1/ Đi qua điểm ( 2 ;- 3) 2/ Song song với đường thẳng x – 5y + 2 = 0 3/ Vuông góc với đường thẳng x- y + 4 = 0 . Bài 7 :Tam giác ABC có A( -1 ; - 3 ) , các đường cao có phương trình : BH: 5x + 3y –25 = 0; CH : 3x + 8y – 12 = 0 .Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC và đường cao còn lại. Bài 8 :Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm M (5 ; 5 ) , N (1 ; 0 ), P( 0 ; 3 ). Viết phương trình đường thẳng d trong mổi trường hợp sau : 1/ d qua M và cách N một khoảng bằng 4. 2/ D qua M vàcách đều hai điểm N, P. Bài 9: Lập phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC biết A( 1; 3) và hai trung tuyến có phương trình là x – 2y + 1 = 0, y – 1 = 0. Bài 10: Lập phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC nếu cho điểm B(-4;-5) và hai đường cao có phương trình là :5x + 3y – 4 = 0 , 3x + 8y +13 = 0. Bài 11 : Cho điểm P( 3; 0) và hai đường thẳng d 1 : 2x – y – 2 = 0 , d 2 :x + y + 3 = 0. Gọi d là đường thẳng qua P cắt d 1 , d 2 lần lượt tại A và B .Viết phương trình của d biết PA = PB. Bài 12 : Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết C(4 ; -1 ) đường cao và trung tuyến kẻ từ một đỉnh lần lượt có phương trình : 2x – 3y +12 = 0 , 2x + 3y = 0 . Bài 13 : Cho tam giác ABC có M( - 2 ; 2) là trung điểm của cạnh BC cạnh AB có phương trình là x – 2y – 2 = 0,cạnh AC có phương trình là 2x + 5y + 3 = 0 . Xác đònh tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. www.VNMATH.com 3 Bài 14 : Cho hai đường thẳng d 1 : x – y = 0 , d 2 :x – 2y – 2 = 0. Tìm điểm A trên d 1 , C trên d 2 và B , D trên trục hoành sao cho ABCD là hình vuông . Dạng 2 : Hình chiếu của một điểm trên đường thẳng 1 / Phương pháp : Xác đònh hình chiếu vuông góc H của điểm M trên đường thẳng d: Viết phương trình đường thẳng d’ đi qua diểm M và vuông góc với d . Giải hệ gồm hai phương trình của d và d’ ta có tọa độ của điểm H. 2/ Phương pháp :Xác đònh điểm N đối xứng của điểm M qua d. Dùng phương pháp trên để tìm hình chiếu vuông góc H của điểm M trên đường thẳng d. Điểm N đối xứng với M qua d nên H là trung điểm đoạn MN , từ điều kiện đó ta tìm được tọa độ điểm N Bài tập : Bài 1 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm M(-6 ; 4 ) và đường thẳng d: 4x – 5y + 3 = 0. 1/ Tìm tọa độ hình chiếu H của M trên đường thẳng d. 2/ Tìm điểm N đối xứng với điểm M qua d . Bài 2 : Trong mp với hệ tọa độ Oxy cho hai đểm A(1 ; 6) , B( -3; -4 ) và đường thẳng d : 2x – y – 1 = 0 . 1/ Chứng minh rằng A , B nằm về cùng một phía đối với đường thẳng d. 2/ Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d . 3/ Tìm điểm M trên đường thẳng d sao cho MA + MB bé nhất. Dạng 3 : Các bài toán về vò trí tương đối của hai đường thẳng Bài 1: Xác đònh a để các đường thẳng sau đây đồng quy: 2x–y+3 = 0 ,x+y+3= 0 , ax + y – 3 = 0 . Bài 2 : Cho hai đường thẳng d: mx –2y – 1 = 0 , d’: 2x – 4y + m = 0 .Với giá trò nào của m thì : 1/ d và d’ cắt nhau. 2/ d // d’. 3/ d trùng với d’. Bài 3: Với giá trò nào của m thì hai đường thẳng sau cắt nhau tại một điểm trên trục hoành d: ( m -1) x + my – 5 = 0 , d’: mx +( 2m – 1) y + 7 = 0. Dạng 4 : Các bài toán Sử dụng công thức tính góc và khoảng cách. Bài 1 : Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau : 1/ 4x + 3y +1 = 0 , x+ 7y – 4 = 0 2/ 6x – 8y –15 = 0 , 12x + 9y + 4 = 0 . Bài 2 : Tính khoảng cách từ điểm M ( 3 ; 2) đến các đường thẳng sau đây: 1/ 12x – 5y – 13 = 0 , 2/ 3x – 4y –16 = 0 , 3/ x + 2y +8 = 0 . Bài 3: Cho đường thẳng d: 3x – 2y +1 = 0 và điểm A(1;2) . Lập phương trình đường thẳng đi qua A và hợp với d một góc 45 0 . Bài 4 : Cho tam giác ABC cân đỉnh A . Cho biết BC: 2x – 3y –5 = 0 , AB :x + y + 1 = 0. Lập phương trình cạnh AC biết rằng nó đi qua điểm M(1;1). Bài 5: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M( 2;7 ) và cách điểm A(1;2) một khoảng bằng1. Bài 6 : Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P( 2 : -1) sao cho đường thẳng đó cùng với hai đường thẳng : (d 1 ):2x – y + 5 = 0 , (d 2 ) : 3x + 6y – 1 = 0 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của (d 1 ) và (d 2 ) . Bài 7 : Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B( 2 ;- 1 ),đường cao qua đỉnh A có phương trình 3x – 4y +27 = 0 và phân giác trong của góc C có phương trình x + 2y – 5 = 0. Bài 8: Viết phương trình đường thẳng song song với d:3x –4y +1=0 và cách d một khoảng bằng 1 CÁC BÀI TẬP TRONG CÁC ĐỀ THI 1/ Trong mặt phẳng Oxy một tam giác có phương trình hai cạnh 5x-2y + 6 =0 và 4x +7y – 21 =0. Viết phương trình cạnh thứ ba biết trực tâm của tam giác trùng với góc tọa độ . 2/ Lập phương trình các cạnh của hình vuông có một đỉnh là (-4; 5)và một đường chéo có phương trình là 7x- y +8 = 0 www.VNMATH.com 4 3/ Chgo tam giác ABC ,cạnh BC có trng điểm M(0; 4) còn hai cạnh kia có phương trình : 2x + y – 11 =0 và x + 4y – 2 =0 a. Xác đònh tọa độ điểm A. b. Gọi C là điểm trên đường thẳng x – 4y – 2 = 0 , N là trtrung điểm AC . Tìm N rồi suy ra tọa độ của B , C. 4/ Cho tam giác ABC có M(-2 ;2) là trung điểm của BC , cạnh AB có phương trình x –2y–2=0 cạnh AC có phương trình 2x + 5y + 3 =0. Xác đònh tọa độ các đỉnh của tam giácABC. 5/ Cho A(-1; 2)và B(3;4).Tìm điểm Ctrên đường thẳng x –2y +1=0 sao cho tam giác ABC vuông tại C . 6/ Cho tam giác ABC có đỉnh B(3;5),đường cao vẽ từ A có phương trình 2x –5y +3 = 0 ,trung tuyến vẽ từ C có phương trình x + y – 5 =0 a. Tìm tọa độ điểm A. b, Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC. 7/ Cho tam giác ABC có trọng tâm G(-2;1)và có các cạnh AB:4x+y 15 = 0 và AC :2x+5y +3 = 0. a,Tìm tọa độ A và trung điểm M của cạnh BC b,Tìm tọa độ điểm B và viết phưng trình đường thẳng BC. 8/ Cho A(1;1), B(-1;3)và đường thẳng d:x+y+4 =0. a, Tìm điểm C trên d cách đều hai điểm A,B. Với C vừa tìm được .Tìm D s/cho ABCD là hbh .tính S hbh . 9/ Cho tam giác ABC có đỉnh A(-1;-3) a. Biết đường cao BH:5x+3y –35=0, đường cao CK:3x+8y – 12 =0 .Tìm B,C. b. Biết trung trực của cạnh AB có phương trình x+2y –4=0 và trọng tâm G(4;-2).Tìm B,C. 10/ Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh C(4;-1) đường cao và trung tuyến vẽ từ một đỉnh có phương trình 2x-3y +12 =0,2x+3y =0. 11/Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu biết A(1;3) và hai trung tuyến có phương trình x-2y+1 =0, y -1=0 . 12/ Cho tam giác ABC có A(2;-1) và phương trình hai phân giác trong của góc B và C lần lượt là d:x – 2y+1=0 , d ’ :x+y+3 = 0. Tìm phương trình cạnh BC. 13/ Cho tam giác ABC có A(2;-3) ,B(3;-2)trọng tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng 3x –y – 8 =0,diện tích tam giác ABC bằng 3/ 2.Tìm C. 14 / Cho tam giác cân ABC có phương trình cạnh đáy AB:2x –3y+5=0cạnh bên AC:x+y+1=0. Tìm phương trình cạnh bên BC biết nó đi qua điểm D(1;1). 15/ Cho hình chử nhật ABCD có tâm I(1/ 2;0),phương trình đường thẳng AB là x –2y+2=0,AB=2AD . Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C,D biết A có hoành độ âm. 16/ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng d 1 :x-y=0,d 2 :2x+y+1=0.Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết A thuộc d 1 , C thuộc d 2 và cả hai đỉnh B,D thuộc trục hoành. 17/ Cho A(2;-3) , B(3;-2) .Trọng tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng d: 3x – y -8 = 0, diện tích tam giác ABC bằng 3/2 . Tìm C. 18/ Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh C(4;-1) đường cao và trung tuyến ke û từ một đỉnh có phương trình 2x -3y +12 = 0 và 2x + 3y = 0. 20/ Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu biết A(1;3) và hai đường trung tuyến có phương trình là x -2y+1= 0 và y-1 =0. 21/ Cho tam giác ABC biết C(4;3) phân giác trong (AD):x+2y-5=0, trung tuyến (AE) 4x+13y-10 = 0. Lập phương trình ba cạnh. 22/ Cho tam giác ABC biết A(2;-1) và phương trình hai đường phân giác trong của góc B và C lần lượt là d: x-2y+1=0 và x+y+3=0 .Tìm phương trình của đường thẳng chứa cạnh BC. 23/ Cho tam giác ABC có đỉnh A(-1;3) , đường cao BH nằm trên đường thẳng y= x , phân giác trong góc C nằm trên đường thẳng x+3y+2=0 . Viết phương trình cạnh BC . 24/ Cho tam giác ABC vuông ở A , phương trình BC là 3x y 3 0 , các đỉnh A và B thuộc trục hòanh và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. www.VNMATH.com 5 ĐƯỜN G TRÒN A . LÝ THUYẾT CẦN NHỚ I .phương trình đường tròn : * Đường tròn ( C ) có tâm I ( a; b) ,bán kính R có phương trình là : (x – a ) 2 + ( y – b) 2 = R 2 * Phương trình : x 2 + y 2 –2ax – 2by + c = 0 , a 2 + b 2 – c > 0 là phương trình của một đường tròn có tâm I ( a ; b ) ,bán kính R = cba 22 II. Phương tích của một điểm đối với đường tròn. Cho đường tròn ( C ) có phươngtrình : F ( x ; y ) = x 2 +y 2 – 2ax – 2by + c = 0 vá điểm M 0 (x 0 ;y 0 ) P M / ( C ) = F (x 0 ; y 0 ) = x 0 2 +y 0 2 –2ax – 2by + c . III. Trục đẳng phương của hai đường tròn : Cho hai đường tròn không đồng tâm ( C 1 ) : x 2 + y 2 – 2a 1 x – 2b 1 y + c 1 = 0 , ( C 2 ) : x 2 + y 2 – 2a 2 x - 2b 2 y + c 2 = 0 . Trục đẳng phương của hai đường tròn ( C 1 ) , ( C 2 ) có phương trình là : 2( a 1 - a 2 ) x + 2( b 1 - b 2 ) y – c 1 + c 2 = 0 . IV. Tiếp tuyến của đường tròn 1/Dạng 1 : Cho đường tròn ( C ) : ( x – a ) 2 + ( y –b) 2 = R 2 . Tâm I ( a ;b) , bán kính R. Tiếp tuyến với ( C ) tại điểm M 0 ( x 0 ; y 0 ) ( C ) có phương trình : (x 0 – a) (x – a ) + ( y 0 – b)( y – b) = R 2 Chú ý: Tiếp tuyến với ( C ) tại M 0 nhận vectơ M 0 I làm vectơ pháp tuyến từ đó suy ra phương trình tiếp tuyến với ( C ) tại M 0 . 2/ Dạng 2 : Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng k. * Đường thẳng có hệ số góc k có phương trình : y = kx + m * tiếp xúc với ( C ) d( I , ) = R.Từ điều kiện này ta tìm được m. 3/ Da ïng 3: Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) đi qua M( x M ; y M ) . * Đường thẳng qua M có phương trình : A ( x – x M ) + B ( y – y M ) = 0. * tiếp xúc với ( C ) d( I , ) = R.Từ điều kiện này ta tìm được A và B. B. CÁC DẠNG BÀI TẬP Bài 1 :Xác đònh tâm và bán kính của các đường tròn sau : 1/ x 2 + y 2 – 2x + 4y + 2 = 0 . 2/ 2x 2 + 2y 2 + 4x - 8y - 2 = 0 . 3/ x 2 + y 2 – 6x – 16 = 0 . 4/ x 2 + y 2 - 8y - 9 = 0 . Bài 2 :Lập phương trình đường tròn ( T ) trong các trường hợp sau: 1/ ( T ) có tâm I ( 2 ; - 1) và có bán kính R = 3 . 2/ ( T ) có đường kính AB với A ( 1 ; 2 ) , B( - 5 ; 4 ) . 3/ ( T ) có tâm I ( 3 ; - 1 ) và tiếp xúc với đường thẳng : 4x –3y + 5 = 0 . 4/ ( T ) đi qua ba điểm A ( - 1 ; - 5 ), B ( 5 ; - 3 ) , C ( 3 ; -1 ). 5/ ( T )tiếp xúc với hai trục tọa độ và có tâm nằm trên đường thẳng :2x – y – 8 = 0. 6/ ( T ) qua hai điểm A(1;2 ),B(3; ) và tiếp xúc với đường thẳng có phương trình : 3x +y–3 = 0 Bài 3 : Cho đường tròn ( C ) có phương trình x 2 + y 2 + 4x + 4y – 17 = 0 .Lập phương trình tiếp tuyến d với ( C ) : 1/ Tại điểm M ( 2 ; 1 ) . 2/ Biết d song song với : 3x – 4y – 2004 = 0. 3/ Biết d đi qua điểm A ( 2 ; 6 ) . Bài 4: Cho đường tròn ( T ) có phương trình : x 2 + y 2 – 4x – 2y = 0 . 1/ Tính phương tích của điểm M ( 5 ; -2) đối với đường tròn ( T ). 2/Viết phương trình tiếp tuyến với (T)vuông góc với đường thẳng :2x – 3y + 1= 0. www.VNMATH.com 6 3/ Viết phương trình tiếp tuyến với ( T ) kẻ từ N (– 2 ; 6 ). Bài 5 : Cho hai đương tròn ( C 1 ) và ( C 2 ) lần lượt có phương trình là : x 2 + y 2 + 4x + 4y –13 = 0 , x 2 + y 2 - 2x + 8 y + 5 = 0 .Viết phương trình trục đẳng phương của hai đường tròn đó . Bài 6 : Cho ( C m ) có phương trình : x 2 + y 2 – 2mx – 4my + 2m 2 – 1 = 0. 1/ Tìm các giá trò của m sao cho (C m ) là đường tròn. 2/ Tìm tập hợp tâm I của ( C m ) . Bài 7 : Cho đường tròn (T) có phương trình : x 2 + y 2 – 2x + 4y – 20 = 0. a) Viết phương trình tiếp tuyế của (T) tại các điểm A(4 ;2) , B(-3 ; -5) . b) Viết phương trình tiếp tuyế của (T) đi qua C( 6 ; 5) . c) Viết phương trình tiếp tuyến chung của (T) và (T’) có pt : x 2 +y 2 -10x + 9 = 0 d) Với giá trò nào của m thì (T) tiếp xúc với đường tròn (T’’) có pt: x 2 + y 2 – 2my = 0. CÁC BÀI TẬP TRONG CÁC ĐỀ THI 1/ Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có ba đỉnh A(1;1),B(-1;2),C(0; -1) 2/ Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có ba cạnh nằm trên ba đường thẳng : (d 1 ) : 5 2 5 x y , (d 2 ) : y = x+2 , (d 3 ): y = 8 – x 3/ Lập phương trình đường tròn nội tiếp tam giác có ba đỉnh A(-1;7),B(4;-3)C(-4;1). 4/ Lập phương trình đường tròn đi qua các điểm A( -1;1) , B(1;-3) và có tâm nằm trên đường thẳng (d) :2x – y + 1 = 0 5/ Lập phương trình đường tròn đi qua điểm A(-1;-2) và tiếp xúc với đường thẳng (d) : 7x-y-5= 0 tại điểm M(1;2) 6/ Lập phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng (d 1 ) : 2x +y = 0 và tiếp xúc với đường thẳng (d 2 ): x -7y+10 = 0 tại điểm M(4;2). 7/ Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng (d 1 ) : 4x + 3y – 2 = 0 và tiếp xúc với hai đường thẳng (d 2 ) : x +y+4 = 0 ,(d 3 ) :7x – y+4 = 0 8/ Viết phương trình đường tròn qua A( 2;-1) và tiếp xúc với hai trục toạ độ . 9/ Cho hai đường tròn (C 1 ): x 2 +y 2 -10x = 0 , (C 2 ): x 2 +y 2 +4x – 2y – 20 = 0 a. Viết phương trình đường tròn qua giao điểm của (C 1 ) ,(C 2 ) và có tâm (d):x+6y – 6 = 0. b. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C 1 ) ,(C 2 ) 10/ Cho (C): (x – 1) 2 + (y – 2) 2 = 4 và đường thẳng (d) : x – y – 1 = 0 . Viết phương trình đường tròn ( C’) đối xứng với ( C) qua (d) 11/ Cho hai đường tròn (C 1 ) : x 2 +y 2 – 4x – 5 = 0 , (C 2 ): x 2 +y 2 – 6x +8y +16 = 0 . Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn . 12/ Cho hai đường tròn : (C 1 ) : x 2 +y 2 – 4x +2y –4 = 0 , (C 2 ): x 2 +y 2 – 10x – 6y +30 = 0 có tâm I, J. a. Chứng minh rằng (C 1 ) và (C 2 ) tiếp xúc ngoài với nhau , tìm tọa độ tíêp điểm H. b. Gọi (d) là một tiếp tuyến chung của (C 1 ) và (C 2 ) không qua H .Tìm tọa độ giao điểm K của (d) với IJ .Viết phương trình đường tròn (C) đi qua K và tiếp xúc với (C 1 ) và (C 2 ) tại H. 13/ Cho điểm M(6;2) và đường tròn (C) :x 2 +y 2 – 2x – 4y = 0 . Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M và cắt (C ) tại hai điểm A,B sao cho AB = 10 . 14/Cho đường tròn (C ) : x 2 +y 2 – 2x – 6y – 9 = 0 và điểm M(2;4) . a. Chứng tỏ rằng M nằm trong đường tròn. b. Viết phương trình đường thẳng qua M cắt (C ) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho M là trung điểm của đoạn AB. c. Viết phương trình đường tròn (C’) đối xứng với (C ) qua AB. 15 / Cho ba đường thẳng (d1) : 3x +4y -6 = 0, (d2):4x +3y -1 = 0 , (d3) : y = 0 .(d1) (d2) = A, www.VNMATH.com 7 (d 2 ) (d 3 ) =B , (d 3 ) (d 1 ) = C. a. Viết phơng trình phần giác trong của góc BAC . b. Tính diện tích tam giác ABC . c. Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC . 16/ Cho đường tròn (C) :x 2 + y 2 -8x -6y = 0 và điểm A(14;8) . Qua A kẻ các tiếp tuyên AM,AN với (C) . Lập phương trình đường thẳng MN . 17/ Cho (Cm) : x 2 +y 2 +2(m – 1)x – 2(m – 2 )y +m2 -8m +13 = 0. a.Xác đònh m để (Cm) là đường tròn . b. Tìm quỹ tích tâm I của (C m ) . 18/ Cho (C) : x 2 + y 2 +2x – 4y – 20 = 0 và A(3 ; 0) .Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A và cắt (C) theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất. 19/ Cho hai đường tròn (C1) :x 2 + y 2 – 2x – 9y – 2= 0 v (C2) : x 2 + y 2 – 8x – 9y +16 = 0. a. Chứng minh rằng (C 1 ) và (C 2 ) tiếp xúc nhau . b. Viết phương trình các tiếp tuyến chung của hai đường tròn đó . 20/ Viết phương trình các tiếp tuyến chung của các cặp đường tròn sau : a. (C 1 ): x 2 + y 2 -10x = 0 , (C 2 ): x 2 + y 2 +4x -2y -20 = 0 b. (C 1 ): x 2 + y 2 - 4x - 5 = 0 , (C 2 ): x 2 + y 2 - 6x +8y +16 = 0 C«ng thøc vỊ E-LÝp Ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t: 2 2 2 2 x y + = 1 a b (a,b>0) NÕu a>b th×: b 2 = a 2 - c 2 trơc lín lµ 2a trơc nhá lµ 2b tiªu cù lµ 2c t©m sai e=c/a tiªu ®iĨm ( thc Ox) F 1 =(-c;0) F 2 =(c;0) Víi ®iĨm M(x;y) thc (E) b¸n kÝnh qua tiªu lµ 1 2 c MF a ex a x a c MF a ex a x a NÕu b > a th×: a 2 = b 2 - c 2 trơc lín lµ 2b trơc nhá lµ 2a tiªu cù lµ 2c t©m sai e=c/b tiªu ®iĨm ( thc Oy) F 1 =(0;-c) F 2 =( 0;c) Víi ®iĨm M(x;y) thc (E) b¸n kÝnh qua tiªu lµ 1 2 c MF b ex a x b c MF b ex a x b . CÁC DANG BÀI TẬP: Bài 1 : Tìm tiêu điểm , tọa độ các đỉnh , tiêu cự , độ dài các trục và tâm sai của elip (E ) cho bởi các phương trình sau : 1/ 16x 2 + 25y 2 = 400 ; 2/ 4x 2 + 9y 2 = 144 ; 3/ 9x 2 +25 y 2 = 225 ; 4/ 4x 2 + 9y 2 = 25. Bài 2 : Lập phương trình chính tắc của elip ( E ) trong các trường hợp sau : 1/ ( E ) có tiêu cự bằng 6 ; trục lớn là 2 10 . 2/ ( E ) có trục lớn bằng 20 tâm sai bằng 3/5, 3/ ( E ) có tiêu cự bằng 8 và đi qua điểm M ( 15 ; - 1 ). 4/ ( E ) có một tiêu điểm F 2 ( 4 ; 0 ) và đi qua điểm N ( 3 ; 5 12 ) 5/ ( E ) đi qua hai điểm A ( 5 ; 0 ) và B ( 4 ; 3 2 ) 6/ ( E ) có trục nhỏ bằng 6 , phương trình hai đường chuẩn x 7 16 = 0. www.VNMATH.com 8 7/ ( E ) có tâm sai bằng 2 1 , khoảng cách giữa hai đườg chuẩn bằng 32. Bài 3 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip ( E ) :4x 2 + 25y 2 = 100. 1/ Tìm các điểm trê ( E ) có hoành độ bằng 3 và tính khoảng cách giửa hai điểm đó. 2/ Tìm những điểm M trên ( E ) sao cho bán kính qua tiêu điểm bên trái bằng hai lần bán kính qua tiêu điểm bên phải . Bài 4 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip ( E ) : 2x 2 + 6y 2 = 12 . 1/ Xác đònh tọa độ các tiêu điểm và độ dài các trục của ( E ) . 2/ Tìm những điểm M trên ( E ) nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông . Bài 5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip ( E ) : 16x 2 + 25y 2 = 400 . 1/ Tìm các điểm M trên ( E ) sao cho 3F 1 M = F 2 M. 2/ Cho A , B là hai điểm thuộc ( E ) sao cho AF 1 + BF 2 = 8 .Hãy tính AF 2 + BF 1 . Bài 6 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip ( E ) 16x 2 + 25y 2 = 100. 1/ Tìm tọa độ các tiêu điểm , tọa độ các đỉnh , tính tâm sai của ( E ) . 2/ Đường thẳng d đi qua một tiêu điểm của ( E ) cắt ( E ) tại hai điểm A , B .Tính đo ä dài AB 3/ Tìm các giá trò của m để đường thẳng y = x + m cắt (E )tại hai điểm phân biệt. Bài 7: Cho elip ( E ) : x 2 + 4y 2 =25 ; (d) : 7x – 2y – 25 = 0. 1/ Tìm tọa độ giao điểm của (d) và ( E ) . 2/ Viết phương trình tiếp tuyến tại các giao điểm đó. 3/ Viết phương trình tiếp tuyến với ( E ) biết tiếp tuyến đi qua M( 5; 5 ). Bài 8 : Viết phương trình tiếp tuyến với (E) : 9x 2 + 16y 2 = 144 biết tiếp tuyến : 1/ song song với đường thẳng :3x – 2y +1 = 0. 2/ vuông góc với đường thẳng :x + 2y – 3 = 0. Bài 9: Viết phương trình chính tắc của elip (E) biết rằng (E) nhận các đường thẳng: 3x – 2y – 20 = 0 và x + 6y – 20 = 0 làm tiếp tuyến. Bài 10 : Cho elíp (E) có hai tiêu điểm F 1 (- 3 ;0) ,F 2 ( 3 ;0) và một đg chuẩn có phương trình x = 3 4 . 1/ Viết phương trình chính tắc của (E). 2/ M là điểm thuộc (E) .Tính giá trò của biểu thức :P = F 1 M 2 + F 2 M 2 – 3OM 2 – F 1 M.F 2 M. 3/ Viết phương trình đường thẳng (d) // Ox và cắt (E) tại hai điểm A,B sao cho OA OB. Bài 11:1/ Lập pt chính tắc của elíp (E) có tiêu điểm F 1 ( - 15 ;0), tiếp xúc với (d) : x + 4y – 10 = 0. 2/ Viết phương trình tiếp tuyến của (E) vuông góc với (d’) : x + y + 6 = 0. Bài 12 : Cho (E) : 4x 2 + 9y 2 =36 và đường thẳng (d) có phương trình mx – y – 1 = 0 . 1/ Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt (E) tại hai điểm phân biệt với mọi m . 2/ Viết phương trình tiếp tuyến của (E) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1;3) Bài 13: 1/Lập phương trình chính tắc của elíp (E) có một tiêu điểm F 2 ( 10 ;0) độ dài trục lớn 2 18 2/ Đường thẳng (d) tiêp xúc với(E) tại M cắt hai trục tọa độ tại A, B .Tìm M để diện tích tam giác OAB nhỏ nhất . Bài 14 : Cho (E) : 1 4 9 2 2 yx .Cho A(-3;0),M(-3;a),B(3;0),N(3;b) trong đó a,b là hai số thay đổi 1/ Xác đònh tọa độ giao điểm I của AN và BM . 2/ Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để đường thẳng MN tiếp xúc với (E) là ab = 4 . Bài 15 : trong mặt phẳng tọa độ cho hai elíp (E 1 ) : 1 1 16 2 2 yx và (E 2 ): 1 4 9 2 2 yx 1/ Viết phương trình đường tròn đi qua giao điểm của hai elíp . 2/ Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai elíp . www.VNMATH.com 9 I.TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1.TÓM TẮT LÝ THUYẾT 21 2 1 13 13 32 32 332211 3 3 2 2 1 1 332211 33 22 11 2 3 2 2 2 1 321 332211 222 ,,a .10 0 0.a .9 0.//a .8 a .7 a .6 a .5 ,,ak. .4 ,, .3 .2 ),,( .1 bb aa bb aa bb aa b babababab b a b a b a babkab bababab ba ba ba b aaa kakaka babababa zzyyxxABAB zzyyxxAB ABA BAB ABABAB cb,,a .11 đồng phẳng 0. cba cb, ,a .12 không đồng phẳng 0. cba 13. M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1 k kzz k kyy k kxx M BA BABA 1 , 1 , 1 14. M là trung điểm AB 2 , 2 , 2 BA BABA zzyyxx M 15. G là trọng tâm tam giác ABC , 3 , 3 , 3 CBACBACBA zzzyyyxxx G 16. Véctơ đơn vị cña 3 trôc: )1 ,0,0();0,1,0();0,0,1( 321 eee 17. Ozz KOyyNOxxM ), 0,0(;)0,,0(;)0,0,( 18. Oxz zxKOyzzyNOxyyxM ), 0,(;),,0(;)0,,( 19. 2 3 2 2 2 1 2 1 2 1 aa aACABS ABC 20. ADAC ABV ABCD ).( 6 1 21. / . ).( // // AA ADABV DC BAABCD www.VNMATH.com 10 2.CÁC DẠNG TỐN Dạn g 1: Chứn g minh A,B,C là ba đỉnh tam giác A,B,C là ba đỉnh tam giác [ AC ,AB ] ≠ 0 S AB C = 2 1 AC] ,[AB Đường cao AH = B C S ABC . 2 S hbh = AC] ,[AB Dạn g 2: Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành Ch ứng minh A,B,C không thẳng hàng ABCD là hbh DCAB Dạn g 3: Chứng minh ABCD là một tứ diện: [ AC ,AB ]. AD ≠ 0 V td = 6 1 AD.AC],[AB *Đường cao AH của tứ diện ABCD AH S V BCD . 3 1 BCD S V AH 3 The å tích hình hộp : / . .; //// AAADABV DCBAABCD Dạng4: Hình chiếu của điểm M 1. H là hình chiếu của M trên mp Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và vuông góc mp : ta có n a d Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và () 2. H là hình chiếu của M trên đường thẳng (d) *Viết phương trình mp qua M và vuông góc với (d): ta có d a n *Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và () Dạng 5 : Điểm đối xứng 1.Điểm M / đối xứng với M qua mp *Tìm hình chiếu H của M trên mp (dạng 4.1) *H là trung điểm của MM / 2.Điểm M / đối xứng với M qua đường thẳng d: *Tìm hình chiếu H của M trên (d) ( dạng 4.2) H là trung điểm của MM / www.VNMATH.com [...]... với hệ toạ độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi AC cắt BD tại gốc toạ độ O Biết A(2;0;0) ; B(0;1;0) ; S (0;0;2 2 ) Gọi M là trung điểm của SC 1 Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM 2 Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại N Tính thể tích khối chóp S.ABMN ( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối A năm 2004 ) Hướng dẫn Bài giải Dựng hình : z Chọn hệ trục toạ độ Đêcac... ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN I Chọn hệ trục tọa độ Oxyz trong khơng gian Ta có : Ox, Oy, Oz vng góc từng đơi một Do đó, nếu trong mơ hình chứa các cạnh vng góc thì ta ưu tiên chọn các đường đó lần lượt thuộc các trục tọa độ Cụ thể : Với hình lập phương hoặc hình hộp chữ nhật ABCD A' B' C ' D' z Với hình lập phương Chọn hệ trục tọa độ sao cho : A’ A(0;0; 0)... Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ z S Giả sử cạnh hình vng bằng a và đường cao SO h Chọn O(0;0;0) là tâm của hình vng a 2 a 2 ;0;0 ; C ;0;0 2 2 A Khi đó : A a 2 a 2 B 0; ; 0 ; D 0; ; 0 ; S (0; 0; h) 2 2 y D O B C x Với hình chóp tam giác đều S.ABC Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ z S 22 www.VNMATH.com Giả sử cạnh tam giác đều bằng a và đường... hình hộp chữ nhật Chọn hệ trục tọa độ sao cho : D A A(0;0; 0) ; B(a;0;0) ; C (a; b;0) ; D(0;b;0) x y C B A '(0; 0; c ) ; B '(a;0; c) ; C '(a; b; c ) ; D'(0;b;c) Với hình hộp đáy là hình thoi ABCD A' B' C ' D' Chọn hệ trục tọa độ sao cho : z A’ D’ O’ - Gốc tọa độ trùng với giao điểm O của hai đường chéo của hình thoi ABCD B’ A - Trục Oz đi qua 2 tâm của 2 đáy y C D O B C x Với hình chóp tứ giác đều... 8 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC Chứng minh MN vng góc với BD và tính (theo a ) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC ( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối B năm 2007 ) Hướng dẫn Bài giải z Dựng hình : Gọi O là tâm của hình vng ABCD SO (ABCD) Chọn hệ trục toạ độ Đêcac... a; b; 0 D 0; b; 0 ; S (0;0; h) y O B C x Với hình chóp S.ABC có ABCD là hình thoi và SA (ABCD) z S ABCD là hình thoi cạnh a chiều cao bằng h Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho O(0;0;0) D A y O B C x Với hình chóp S.ABC có SA (ABC) và ABC vng tại A Tam giác ABC vng tại A có AB a; AC b đường cao bằng h Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho A(0;0;0) Khi đó : B a; 0;0 ; C ... 4 a 4 2 ABC Bài tốn 13 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang , BAD 900 AB BC a , AD 2a , SA vng góc với đáy và SA 2a Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SA và SD Chứng minh rằng BCNM là hình chữ nhật và tính thể tích của khối chóp S.BCNM theo a ( trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng năm 2008 ) Hướng dẫn Bài giải z Dựng hình : S Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz như sau :... bằng h Gọi I là trung điểm của BC Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho I(0;0;0) a a Khi đó : A ; 0; 0 ; B ; 0; 0 2 2 a 3 C 0; ; 0 ; 2 a 3 S 0; ;h 6 Với hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật và SA (ABCD) z ABCD là hình chữ nhật AB a; AD b chiều cao bằng h S Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho A(0;0;0) D A Khi đó : B a; 0; 0 ... b 2 c 2 2 SBCD 32 www.VNMATH.com Bài tốn 10 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S độ dài các cạnh đáy bằng a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC Tính theo a diện tích tam giác AMN Biết rằng mặt phẳng (AMN) vng góc với mặt phẳng (SBC) Hướng dẫn Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ Gọi I là trung điểm của BC Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho I(0;0;0) Khi đó : A 0; Bài giải... [ SA, SM ].SB 6 6 3 1 2 2 2 [ SA, SM ].SN 6 6 3 VS ABM VS AMN Kết luận 1 2 Toạ độ trung điểm N 0; ; 2 Vậy VS ABMN VS ABM VS AMN 2 (đvtt) Bài tốn 5 Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 với A(0;3;0) ; B(4;0;0) ; C (0;3;0) ; B1 (4;0;4) Tìm toạ độ các đỉnh A1 ; C1 Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt phẳng ( BCC1B1 . Hãy tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD. 8: Cho điểm M(1; 2; 3). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M: a) Trên các mặt phẳng tọa độ: Oxy, Oxz, Oyz. b) Trên các trục tọa độ: Ox, Oy,. D(1;1). 15/ Cho hình chử nhật ABCD có tâm I(1/ 2;0),phương trình đường thẳng AB là x –2y+2=0,AB=2AD . Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C,D biết A có hoành độ âm. 16/ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho. điều kiện đó ta tìm được tọa độ điểm N Bài tập : Bài 1 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm M(-6 ; 4 ) và đường thẳng d: 4x – 5y + 3 = 0. 1/ Tìm tọa độ hình chiếu H của M trên đường