Lý thuyết cơ bản toán 11

DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TỐN Lý thuyết TOÁN 11 NGƯỜI TỔNG HP: NGUYỄN BẢO VƯƠNG Năm học: 2018 - 2019 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT Mục lục PHẦN ĐẠI SỐ 11 Chương Lượng giác Vấn đề Các hàm số lượng giác Vấn đề Phương trình lượng giác Vấn đề Phương trình bậc hai theo hàm số lượng giác Vấn đề Phương trình bậc theo sin, cos Vấn đề Phương trình sin, cos Vấn đề Phương trình đối xứng sin, cos Chương Tổ hợp – xác suất Vấn đề Hai quy tắc đếm Vấn đề Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp 10 Vấn đề Nhị thức newton 10 Vấn đề Biến cố xác suất biến cố 11 Ván đề Các quy tắc tính xác suất 11 Vấn đề Khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc 12 Chương Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân 13 Vấn đề Chứng minh quy nạp 13 Vấn đề Dãy số 13 Vấn đề Cấp số cộng 14 Vấn đề Cấp số nhân 15 Chương Giới hạn dãy số, giới hạn hàm số 15 Vấn đề Giới hạn dãy số 15 Vấn đề Giới hạn hàm số 16 Vấn đề Giới hạn bên 18 Vấn đề Tính liên tục 19 Chương Đạo hàm 20 Vấn đề Đạo hàm 20 Nguyễn Bảo Vương Trang LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT Vấn đề Các quy tắc tính đạo hàm 20 Vấn đề Đạo hàm cấp cao 21 Vấn đề Phương trình tiếp tuyến 22 PHẦN HÌNH HỌC 23 Chương Phép biến hình 23 Vấn đề Phép biến hình 23 Vấn đề Phép tịnh tiến 24 Vấn đề Phép đối xứng trục 24 Vấn đề Phép đối xứng tâm 25 Vấn đề Phép quay 25 Vấn đề Khái niệm phép dời hình, hai hình 26 Vấn đề Phép vị tự 26 Vấn đề Phép đồng dạng 27 Chương Quan hệ song song 27 Vấn đề Đại cương hình học khơng gian 27 Vấn đề Hai đường thẳng chéo hai đường thẳng song song 30 Vấn đề Đường thẳng mặt phẳng song song 30 Vấn đề Hai mặt phẳng song song 31 Chương Quan hệ vng góc 33 Vấn đề Vecto không gian 33 Vấn đề Đường thẳng vng góc với mặt phẳng 35 Vấn đề Góc hai đường thẳng 36 Vấn đề Góc đường thẳng mặt phẳng 37 Vấn đề Hai mặt phẳng vng góc 37 Vấn đề Góc hai mặt phẳng 39 Vấn đề Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 39 Vấn đề Hai đường thẳng chéo 40 Vấn đề Dựng thiết mặt phẳng (a) với khối chóp, biết (a) vng góc với đường thẳng d nao thuộc khối chóp 41 Nguyễn Bảo Vương Trang LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT Nguyễn Bảo Vương Trang LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT PHẦN ĐẠI SỐ 11 Chương Lượng giác Vấn đề Các hàm số lượng giác I) TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ: 1) Hàm số chẵn, hàm số lẻ:  Hàm số y  f ( x ) với tập xác định D gọi hàm số chẵn nếu: với x  D  x  D f (  x )  f ( x )  Hàm số y  f ( x ) với tập xác định D gọi hàm số lẻ nếu: với x  D  x  D f (  x )  f ( x ) Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng 2) Hàm số đơn điệu: Cho hàm số y  f ( x ) xác định tập ( a; b )    Hàm số y  f ( x ) gọi đồng biến (hay hàm số tăng) ( a; b ) x1 , x  ( a; b ) có x1  x  f ( x1 )  f ( x )  Hàm số y  f ( x ) gọi nghịch biến (hay hàm số giảm) ( a; b ) x1 , x  ( a; b ) có x1  x  f ( x1 )  f ( x ) 3) Hàm số tuần hoàn: Hàm số y  f ( x ) xác định tập hợp D, gọi hàm số tuần hồn có số T  cho với x  D ta có (x  T)  D (x  T)  D f ( x  T )  f ( x ) Nếu có số dương T nhỏ thỏa mãn điều kiện T gọi chu kì hàm tuần hồn f II) HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC: 1) Hàm số sin: y  sin x Tính chất: Tập xác định  Tập giá trị:  1; 1 ,có nghĩa 1  sin x  1, x   Hàm số tuần hoàn với chu kì 2 , có nghĩa sin ( x  k2  )  sin x với k      3   Hàm số đồng biến khoảng    k2;  k2  nghịch biến khoảng   k2;  k2  , k  2   2  y  sin x hàm số lẻ, đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O tâm đối xứng (Hình 1) y f(x) = sin(x) 3π π -3π -2π -π 3π - - π O -1 π 2π 3π x Hình Một số giá trị đặc biệt: sin x   x  k,(k  )   k2,(k  )  sin x  1  x    k2,(k  ) 2) Hàm số côsin: y  cos x sin x   x  Tính chất: Tập xác định  Tập giá trị:  1; 1 ,có nghĩa 1  cos x  1, x   Hàm số tuần hồn với chu kì 2 , có nghĩa cos ( x  k2  )  cos x với k  Nguyễn Bảo Vương Trang LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT Hàm số đồng biến khoảng (   k2 ; k2  ) nghịch biến khoảng ( k2 ;   k2  ) , k  y  cos x hàm số chẵn, đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng (Hình 2) y f(x) = cos(x) -3π -π -2π - 3π π π 3π - 2 O π 3π 2 -1 x 2π Hình Một số giá trị đặc biệt:   k,(k  ) cos x   x  k2,(k  ) cos x   x  cos x  1  x    k2,(k  ) sin x cos x   Tập xác định:  \   k k      3) Hàm số tang: y  tan x  Tâp giá trị R Hàm số tuần hoàn với chu kì  , có nghĩa tan ( x  k )  tan x,(k   )      Hàm số đồng biến khoảng    k;  k  , ( k   )  y  tan x hàm số lẻ, đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng nhận đường thẳng x    k, k   làm đường tiệm cận.(Hình 3) y -2π - 3π -π - π π O f(x) = tan(x) π 3π 2π x Hình Một số giá trị đặc biệt : tan x   x  k, k    tan x   x   k, k    tan x  1  x    k , k   Nguyễn Bảo Vương Trang LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT 4) Hàm số cotang: y  cot x  cos x sin x Tập xác định:  \k k   Tập giá trị:  Tính chất: Hàm số tuần hồn với chu kì  , có nghĩa cot ( x  k )  cot x,(k  ) Hàm số nghịch biến khoảng ( k;   k ) , k   y  cot x hàm số lẻ, đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng nhận đường thẳng x  k, k   làm đường tiệm cận (Hình 4) y f(x)=cotan(x) -2π - 3π -π - π π O π 3π 2π x Hình Một số giá trị đặc biệt :   k , k    cot x   x   k, k    cot x  1  x    k, k   cot x   x  ÔN TẬP: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC HỆ THỨC CƠ BẢN sin x  cos x  tanx.cotx  tanx  sinx cosx  tan x  cotx  cos x cosx sinx  cot x  sin x Điều kiện tồn tại:  tanx (x  / + k , k  Z)  cotx (x  k , k  Z)  sinx –  sinx   cosx –  cosx  ý:  a2 + b2 = ( a + b)2 – 2ab  a3 + b3 = ( a + b)3 – 3ab( a + b) CÔNG THỨC CỘNG cos(a  b)  cos a.cosb  sin a.sinb cos(a  b)  cos a.cosb  sin a.sinb sin(a  b)  sin a.cosb  cosa.sinb 10 sin(a  b)  sin a.cosb  cosa.sinb 11 tan(a  b)  tana  tanb  tan a.tanb Nguyễn Bảo Vương 12 tan(a  b)  tana  tanb  tana.tanb Trang LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT 13 cot(a  b)  cot a.cotb  cota  cotb 14 cot(a  b)  cot acotb  cota  cotb CÔNG THỨC NHÂN NHÂN ĐÔI 15 sin2a  sin a.cosa 16 cos2a  2cos a    2sin a  cos a  sin a 17 tan2a  2tana  tan a NHÂN BA 18 cos3a  4cos a  3cosa 19 sin3a  3sina  4sin a 20 tan3a  3tana  tan a  3tan a HẠ BẬC  cos2a  cos2a 22 cos a  3sina  sin3a 23 sin a  3cosa  cos3a 24 cos3a  21 sin a    cos2a  2sin a   cos2a  2cos a GĨC CHIA ĐƠI: với t  tan 25 sinx  2t 1 t x 26 cosx   t2 1 t 27 tan x  2t  t2 TỔNG THÀNH TÍCH ab ab cos 2 ab ab 30 sina  sinb  2sin cos 2 sin(a  b) 32 tana  tanb  cos acosb sin(a  b) 34 cota  cotb  sin asinb 28 cosa  cosb  2cos ab ab sin 2 ab ab 31 sina  sinb  2cos sin 2 sin(a  b) 33 tana tanb  cos acosb sin(a  b) 35 cota  cotb  sin asinb 29 cosa  cosb  2sin TÍCH THÀNH TỔNG 36 cos acosb   cos ( a  b )  cos(a  b)  37 sin asinb  cos(a  b)  cos(a  b) 38 sin acosb   sin(a  b)  sin(a  b) CUNG LIÊN KẾT Nguyễn Bảo Vương Trang LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TỐN THPT G óc đối G óc bù G óc G óc phụ G óc Vấn đề Phương trình lượng giác  u  v  k2   sin u  sin v   ,(k  Z)  u    v  k2  tan u  tan v  u  v  k , ( k  Z )  u  v  k2   cos u  cos v   ,(k  Z)  u  v  k2  cot u  cot v  u  v  k , ( k  Z ) CÁC TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT:  cos u   u    k , ( k  Z )  cos u   u  k2  ( k  Z )  cos u  1  u    k2  ( k  Z )  sin u   u  k , ( k  Z )   k2 , ( k  Z )   sin u  1  u   k2, ( k  Z )  sin u   u  Vấn đề Phương trình bậc hai theo hàm số lượng giác  a sin u  b sin u  c  ( a  ) Đặt t  sin u ,điều kiện 1  t   a cos u  b cos u  c  ( a  ) Đặt t  cos u ,điều kiện 1  t   a tan u  b tan u  c  ( a  ) Đặt t  tan u , điều kiện cos u   a cot u  b cot u  c  ( a  ) Đặt t  cot u ,điều kiện sin u  Vấn đề Phương trình bậc theo sin, cos 1)PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT: Nguyễn Bảo Vương Trang LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT e) Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng k f) Biến góc góc ban đầu Chú ý: Qua phép V( O;k ) đường thẳng d biến thành đường thẳng d qua tâm vị tự O III) ẢNH CỦA ĐƯỜNG TRỊN QUA PHÉP VỊ TỰ Định lí 3: Phép vị tự tỉ số k biến đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính k R R' R' Chú ý: Nếu phép vị tự tâm O tỉ số k biến đường tròn ( I; R ) thành đường tròn ( I '; R ' ) k   k     OI '  OI R R IV) TÂM VỊ TỰ CỦA HAI ĐƯỜNG TRỊN Với hai đường tròn ln có phép vị tự biến đường tròn thành đường tròn Tâm phép vị tự gọi tâm vị tự hai đường tròn Nếu tỉ số vị tự k  tâm vị tự gọi tâm vị tự ngồi, tỉ số vị tự k  tâm vị tự gọi tâm vị tự Hai đường tròn có bán kính khác tâm có tâm vị tự trong, trung điểm đoạn nối tâm Hai đường tròn có bán kính khác có tâm vị tự tâm vị tự Đường tròn (C) biến thành đường tròn (C) có tâm tâm vị tự tỉ số vị tự k  1 Vấn đề Phép đồng dạng I) ĐỊNH NGHĨA Phép biến hình F gọi phép đồng dạng tỉ số k ( k  ) với hai điểm M, N ảnh M’, N’ tương ứng chúng, ta ln có M ' N '  kMN Nhận xét: Phép dời hình phép đồng dạng với tỉ số k  Phép vị tự tỉ số k phép đồng dạng với tỉ số k Nếu thực liên tiếp phép đồng dạng tỉ số k phép đồng dạng tỉ số p ta phép đồng dạng tỉ số pk II) CÁC TÍNH CHẤT 1) Định lí: Mọi phép đồng dạng tỉ số k hợp thành phép vị tự tỉ số k phép dời hình 2) Hệ Phép đồng dạng tỉ số k a) Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng (và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó) b) Biến đường thẳng thành đường thẳng c) Biến tia thành tia d) Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài nhân lên với k e) Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng k f) Biến đường tròn thành đường tròn có bán kính Kr g) Biến góc thành góc Chú ý: Phép dời hình nói chung khơng có tính chất biến đường thẳng thành đường thẳng song song hay trùng với Phép đồng dạng hợp thành phép vị tự phép dời hình, nên phép đồng dạng nói chung khơng có tính chất biến đường thẳng thành đường thẳng song song hay trùng với III) HAI HÌNH ĐỒNG DẠNG Định nghĩa: Hai hình gọi đồng dạng với có phép đồng dạng biến hình thành hình Chương Quan hệ song song Vấn đề Đại cương hình học khơng gian Nguyễn Bảo Vương Trang 27 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT Bước làm quen với Hình học khơng gian, bạn bạn phải nhớ kỹ khái niệm tính chất sau sau: I KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU Mặt phẳng: Mặt bảng, mặt bàn, mặt nước hồ yên lặng, mặt sàn nhà, cho ta hình ảnh phần mặt phẳng Mặt phẳng khơng có bề dày khơng có giới hạn Để biểu diễn mặt phẳng ta thường dùng hình bình hành hay miền góc ghi tên mặt phẳng vào góc hình biểu diễn (như hình 1) Để kí hiệu mặt phẳng , ta thường dùng chữ in hoa chữ Hi Lạp đặt dấu ( ) Ví dụ: mặt phẳng (P), mặt phẳng (Q), mặt phẳng (  ) , mặt phẳng ( ) viết tắt mp(P), mp(Q), mp (  ) , mp ( ) , (P), (Q), (  ) , ( ) Điểm thuộc mặt phẳng: Cho điểm A mặt phẳng (  ) Khi điểm A thuộc mặt phẳng (  ) , ta nói A nằm (  ) hay mặt phẳng () chứa A, hay mặt phẳng (  ) qua điểm A kí hiệu A  (  ) , biểu diễn hình Khi điểm A không thuộc mặt phẳng (  ) ta nói điểm A nằm ngồi mặt phẳng (  ) hay mặt phẳng (  ) không chứa điểm A kí hiệu A  (  ) , biểu diễn hình II CÁC TÍNH CHẤT ĐƯỢC THỪA NHẬN Tính chất 1: Có đường thẳng qua hai điểm phân biệt Tính chất 2: Có mặt phẳng qua ba điểm khơng thẳng hàng Tính chất 3: Nếu đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc mặt phẳng điểm đường thẳng thuộc mặt phẳng Tính chất 4: Tồn bốn điểm khơng thuộc mặt phẳng Tính chất 5: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng có điểm chung khác Từ tính chất suy ra: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng có đường thẳng chung qua điểm chung Đường thẳng chung chứa tất điểm chung hai mặt phẳng Đường thẳng chung gọi giao tuyến hai mặt phẳng Nguyễn Bảo Vương Trang 28 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TỐN THPT Ví dụ: Đường thẳng chung d hai mặt phẳng phân biệt (  ) ( ) gọi GIAO TUYẾN hai mặt phẳng (  ) (  ) kí hiệu d  (  )  () Tính chất 6: Trên mặt phẳng, kết biết hình học phẳng III CÁCH XÁC ĐỊNH MỘT MẶT PHẲNG Có ba cách xác định mặt phẳng:  Mặt phẳng hoàn toàn xác định biết qua ba điểm khơng thẳng hàng  Mặt phẳng hoàn toàn xác định biết qua điểm chứa đường thẳng khơng qua điểm  Cho đường thẳng d điểm A khơng thuộc d Khi điểm A đường thẳng d xác định mặt phẳng, kí hiệu mp (A , d), mp (d, A ) hay (d, A) Mặt phẳng hoàn toàn xác định biết chứa hai đường thẳng cắt nhau: Cho hai đường thẳng cắt a b Khi hai đường thẳng a b xác định mặt phẳng kí hiệu mp(a, b) hay (a , b) , mp (b , a) hay (b, a) HÌNH CHĨP VÀ TỨ DIỆN Khái niệm: Trong mặt phẳng (  ) cho đa giác lồi A1A2 A An Lấy điểm S không thuộc mặt phẳng (  ) Lần lượt nối điểm S với đỉnh A1 ,A2 ,A3 , ,An ta n tam giác SA1A2 , SA2 A3 , , SAn A1 Hình gồm đa giác A1A2 A An n tam giác SA1A , SA2 A3 , , SA n A1 gọi hình chóp, kí hiệu S.A1A2 A3 An Ta gọi S đỉnh hình chóp, đa giác A1A2 A3 An mặt đáy hình chóp, tam giác SA1A2 , SA2 A3 , …, SA n A1 gọi mặt bên hình chóp, đoạn thẳng SA1 , SA , SA3 , , SAn gọi cạnh bên hình chóp Ta gọi hình chóp có đáy tam giác, tứ giác, ngũ giác, , hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác , Cho bốn điểm A , B , C , D khơng đồng phẳng Hình gồm bốn tam giác ABC, ACD, ABD BCD gọi hình tứ diện (hay ngắn gọn gọi tứ diện) kí hiệu ABCD Các điểm A, B, C, D gọi đỉnh tứ diện Các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, CA, BD gọi cạnh tứ diện Hai cạnh không qua đỉnh gọi hai cạnh đối diện tứ diện Các tam giác ABC, ACD, ABD, BCD gọi mặt tứ diện Đỉnh không nằm mặt gọi đỉnh đối diện mặt Hình tứ diện có bốn mặt tam giác gọi hình tứ diện Nguyễn Bảo Vương Trang 29 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT Vấn đề Hai đường thẳng chéo hai đường thẳng song song Tính chất: Định lí 1: Trong khơng gian, qua điểm khơng nằm đường thẳng cho trước, có đường thẳng song song với đường thẳng cho Định lí 2: Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi cắt theo ba giao tuyến phân biệt ba giao tuyến đồng quy đôi song song với Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song giao tuyến chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng trùng với hai đường thẳng Định lí 3: Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba song song với Vấn đề Đường thẳng mặt phẳng song song Nguyễn Bảo Vương Trang 30 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT Định lí 1: Nếu đường thẳng d khơng nằm mặt phẳng (  ) d song song với đường thẳng d' nằm (  ) d song song với (  ) Định lí 2: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (  ) Nếu mặt phẳng (  ) chứa a cắt (  ) theo giao tuyến b b song song với a Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt song song với đường thẳng giao tuyến chúng ( có ) song song với đường thẳng Định lí 3: Cho hai đường thẳng chéo Có mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng Vấn đề Hai mặt phẳng song song Định lí 1: Nếu mặt phẳng (  ) chứa hai đường thẳng cắt a,b a,b song song với mặt phẳng ( ) (  ) song song với (  ) Phương pháp chứng minh hai mặt phẳng song song: Ta phải chứng minh có hai đường thẳng cắt thuộc mặt phẳng song song với mặt phẳng Định lí 2: Qua điểm nằm ngồi mặt phẳng cho trước có mặt phẳng song song với mặt phẳng cho Hệ quả: Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (  ) (  ) có đường thẳng song song với d qua d có mặt phẳng song song với (  ) Phương pháp chứng minh đường thẳng d song song với (  ) : Ta phải chứng minh d thuộc (  ) ( ) // (  )  d // (  ) Hệ 2: Hai mặt phẳng phân biệt song song với mặt phẳng thứ ba song song với Hệ 3: Cho điểm A không nằm mặt phẳng (  ) Mọi đường thẳng qua A song song với (  ) nằm mặt phẳng qua A song song với (  ) Nguyễn Bảo Vương Trang 31 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TỐN THPT Định lí 3: Cho hai mặt phẳng song song Nếu mặt phẳng cắt mặt phẳng cắt mặt phẳng hai giao tuyến song song với Hệ quả: Hai mặt phẳng song song chắn hai cát tuyến song song đoạn thẳng Định lí Ta-lét: Ba mặt phẳng đơi song song chắn hai cát tuyến đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ Hình lăng trụ hình hộp Cho hai mặt phẳng song song (  ) (  ' ) Trên (  ) cho đa giác lồi A1A2 A n Qua đỉnh A1 ,A2 , ,An ta vẽ đường thẳng song song với cắt (  ' ) A'1 ,A'2 , ,A'n Hình gồm hai đa giác A1A2 An , A'1A'2 A'n hình bình hành A1A'1A'2 A2 , A A'2 A'3 A , , A n A'n A1' A1 gọi hình lăng trụ kí hiệu A1A2 A n A'1A'2 A'n Hai đa giác A1A2 An A'1A'2 A'n gọi hai mặt đáy hình lăng trụ Các đoạn thẳng A1A1' ,A2 A'2 , ,A n A'n gọi cạnh bên hình lăng trụ Các hình bình hành A1A1' A'2 A , A2 A'2 A'3 A3 , ,A n A'n A1' A1 gọi mặt bên hình lăng trụ Các đỉnh hai đa giác gọi đỉnh hình lăng trụ Nhận xét: Các cạnh bên hình lăng trụ song song với Các mặt bên hình lăng trụ hình bình hành Hai đáy hình lăng trụ hai đa giác Người ta gọi tên hình lăng trụ dựa vào tên đa giác đáy Nguyễn Bảo Vương Trang 32 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TỐN THPT Hình chóp cụt Cho hình chóp S.A1A2 An , mặt phẳng (P) không qua đỉnh, song song với mặt phẳng đáy hình chóp cắt cạnh SA1 ,SA2 ,SA3 , ,SAn A'1 ,A'2 , A'n Hình tạo thiết diện A'1A'2 A'n đáy A1A2 A n ' ' ' ' ' ' hình chóp với tứ giác A1A2 A2 A1 ,A2 A3 A3 A2 , ,A n A1A1A n gọi hình chóp cụt Đáy hình chóp gọi đáy lớn hình chóp cụt, thiết diện A'1A'2 A'n gọi đáy nhỏ hình chóp cụt Các tứ giác A'1A'2 A2 A1 , A'2 A'3 A A , , A'n A'1A1A n gọi mặt bên ' ' ' hình chóp cụt Các đoạn thẳng A1A1 , A2 A2 , An An gọi cạnh bên hình chóp cụt Tùy theo đáy tam giác, tứ giác, ngũ giác …, ta có hình chóp cụt tam giác, hình chóp cụt tứ giác, hình chóp cụt ngũ giác Vì hình chóp cụt cắt từ hình chóp nên ta dễ dàng suy tính chất sau hình chóp cụt Tính chất:  Hai đáy hai đa giác có cạnh tương ứng song song tỉ số cặp cạnh tương ứng  Các mặt bên hình thang  Các đường thẳng chứa cạnh bên đồng quy điểm Chương Quan hệ vng góc Vấn đề Vecto không gian I) CÁC ĐỊNH NGHĨA 1) Vectơ, giá độ dài vectơ Vectơ khơng gian đoạn thẳng có hướng        Kí hiệu AB vectơ có điểm đầu A điểm cuối B Vectơ kí hiệu a, b, x, y, u, v, Giá vectơ đường thẳng qua điểm đầu điểm cuối vectơ Hai vec tơ gọi phương giá chúng song song trùng Ngược lại hai vec tơ có giá cắt gọi hai vec tơ khơng phương Hai vec tơ phương hướng khác hướng Độ dài vec tơ độ dài đoạn thẳng có hai đầu mút điểm đầu điểm cuối vec tơ Vectơ có độ      dài gọi vectơ đơn vị Ta kí hiệu độ dài vec tơ a , x , u , AB Như AB  AB 2) Hai vec tơ nhau, vec tơ – không     Hai vec tơ a b gọi chúng có độ dài hướng Khi ta kí hiệu a  b Vectơ – không vec tơ đặc biệt có điểm đầu điểm cuối trùng nhau, nghĩa với điểm A tùy ý ta có     AA  đường thẳng qua điểm A chứa vectơ AA Do ta quy ước vec tơ   nhau, có độ dài phương, hướng với vec tơ Do ta viết AA  BB với điểm A, B tùy ý II) PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ VECTƠ 1) Định nghĩa:         Cho hai vec tơ a b Trong không gian lấy điểm A tùy ý, vẽ AB  a, BC  b Véc tơ AC gọi tổng        hai vec tơ a b , đồng thời kí hiệu AC  AB  BC  a  b          Vec tơ b vec tơ đối a a  b a , b ngược hướng nhau, kí hiệu b  a Nguyễn Bảo Vương Trang 33 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT      a  b  a  b ( ) 2) Tính chất     a  b  b  a (tính chất giao hoán)       a  b  c  a  b  c (tính chất kết hợp)      a0  0a  a      a  a  a  a  ( ) ( ) ( ) 3) Các quy tắc cần nhớ tính toán a) Quy tắc ba điểm Với ba điểm A, B, C ta có:    AB  BC  AC    BC  AC  AB A b a a+b B C B b) Quy tắc hình bình hành    Với ABCD hình bình hành ta có: AC  AB  AD C a+b a D b A c) Quy tắc hình hộp Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ với AB, AD, AA’ ba cạnh có chung đỉnh A D     C AC’ đường chéo, ta có: AC'  AB  AD  AA ' b a A B d) Mở rộng quy tắc ba điểm Cho n điểm A1 , A2 , A3 , , A n bất kì, ta có:     A1 A  A A    A n 1 A n  A1 A n a+b+c c D' C' III) PHÉP NHÂN VEC TƠ VỚI MỘT SỐ A' B' 1) Định nghĩa      Cho số k  vectơ a  Tích số k với vectơ a vectơ, kí hiệu ka , hướng với vectơ a   k  , ngược hướng với vectơ a k  có độ dài k a 2) Tính chất   Với vec tơ a, b với số m, n ta có:     m a  b  ma  mb    ( m  n ) a  ma  na   m na  ( mn ) a     1.a  a ; ( 1) a  a     0.a  ; k.0  ( ) ( ) IV) ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA BA VEC TƠ 1) Khái niệm đồng phẳng ba vec tơ không gian           Cho ba vectơ a, b, c khác khơng gian Từ điểm O ta vẽ OA  a, OB  b, OC  c Khi xảy hai trường hợp:    Trường hợp đường thẳng OA,OB,OC không nằm mặt phẳng, ta nói ba vectơ a, b, c không đồng phẳng    Trường hợp đường thẳng OA,OB,OC nằm mặt phẳng, ta nói ba vectơ a, b, c đồng phẳng 2) Định nghĩa Nguyễn Bảo Vương Trang 34 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TỐN THPT Trong khơng gian ba vectơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng 3) Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng:       Định lí 1: Trong khơng gian cho hai vectơ khơng phương a b vectơ c Khi ba vectơ a, b, c    đồng phẳng có cặp số m, n cho c  ma  nb , cặp số m, n 4) Phân tích (biểu thị) vectơ theo ba vec tơ không đồng phẳng Định lí 2:     Cho a, b, c ba vectơ không đồng phẳng Với vectơ x khơng gian ta tìm ba số m,     n, p cho x  ma  nb  pc Ngoài ba số m, n, p                   Cụ thể OX  x, OA  a, OB  b, OC  c OX  OA '  OB'  OC ' với OA'  ma,OB'  nb,OC'  pc Khi     x  ma  nb  pc Vấn đề Đường thẳng vng góc với mặt phẳng I Định nghĩa: Một đường thẳng gọi vng góc với mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng đó: d  mp( )  d  a, a  ( ) II Các định lý: Định lý 1: Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt a b nằm mp(P) đường thẳng d vng góc với mp(P): d  a ,d  b   d  (P) a , b  (P) a , b caét cắt  Định lý 2: (Ba đường vng góc) Cho đường thẳng a khơng vng góc với mp(P) đường thẳng b nằm (P) Khi đó, điều kiện cần đủ để b vng góc với a b vng góc với hình chiếu a’ a (P) PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC Để chứng minh a  b ta thường sử dụng phương pháp chứng minh sau: Sử dụng phương pháp Hình học phẳng: Góc nội tiếp, Định lí Pitago đảo,      Sử dụng phương pháp tích vơ hướng hai véctơ: a.b   a  b ( a,b hai véctơ phương hai đường thẳng a b) c  b  c // a Sử dụng tính chất bắc cầu:  ab Tìm mặt phẳng (P) chứa đường thẳng b Chứng minh đường thẳng a vng góc với mặt phẳng (P), a  b :  a  (P) ab   b  (P) Chứng minh đường thẳng a song song với mặt phẳng (P), đường thẳng b vng góc với mặt phẳng (P), suy a  b : Nguyễn Bảo Vương Trang 35 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT  a / / (P) ab   b  (P) Áp dụng định lí đường vng góc: a’ hình chiếu vng góc a mặt phẳng (P) , b  (P) Đường thẳng a vng góc với đường thẳng b b vng góc với a' Nói ngắn gọn b vng góc với hình chiếu b vng góc với đường xiên ĐÂY LÀ PHƯƠNG PHÁP RẤT HAY SỬ DỤNG! Các bạn phải thành thạo phương pháp PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG Để chứng minh đường thẳng a vng góc với mặt phẳng (P) ta thường sử dụng phương pháp sau: 1) Muốn chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) Ta phải chứng minh đường thẳng a vng góc với hai đường thẳng cắt thuộc mặt phẳng (P)  a  b vaø a  c   a  (P) bc  I  b ; c  (P)  2) Hai mặt phẳng (Q) (R) có giao tuyến a vng góc với mặt phẳng (P), a vng góc với (P) (Q)  (P)   a  (P) (R)  (P)  (Q)  (R)  a  3) Hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với theo giao tuyến b Một đường thẳng a thuộc mặt phẳng (Q) vng góc với b, a vng góc với mặt phẳng (P) (P)  (Q)  (P)  (Q)  b  a  (P)  a  (Q) a  b  4) Chứng minh đường thẳng b vng góc với mặt phẳng (P) , đường thẳng a song song với b ,suy a vng góc với (P) a / / b  a  (P)   b  (P) 5) Chứng minh đường thẳng a song song với mặt phẳng (Q), mặt phẳng (P) song song với (Q), nên a vng góc với (P)  a  (Q)  a  (P)  (Q) / / (P) Hai trụ cột để giải toán dạng :  Muốn chứng minh đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (P), ta phải chứng minh đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt thuộc mặt phẳng (P)  Khi đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (P) đường thẳng d vng góc với đường thuộc mặt phẳng (P) Vấn đề Góc hai đường thẳng  Cách xác định góc hai đường thẳng chéo a b: Chọn điểm O thích hợp, kẻ hai đường thẳng qua điểm O: a’// a b’// b Nguyễn Bảo Vương Trang 36 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT a a' O b b'  Các phương pháp tính góc: + Sử dụng hệ thức lượng tam giác: Định lí sin: a b c   sin A sin B sin C Định lí cos: cos A  b2  c  a 2bc   u1 u + Tính góc theo vectơ phương: cos    u1 u  Chú ý + 0    900   + AB  CD  AB.CD  + Nếu a b song song trùng   00 Vấn đề Góc đường thẳng mặt phẳng Góc đường thẳng d mặt phẳng (P) góc d hình chiếu mặt phẳng (P) Gọi  góc d mặt phẳng (P) 0    900 Đầu tiên tìm giao điểm d (P) gọi điểm A Trên d chọn điểm B khác A , dựng BH vng góc với (P) H Suy AH hình chiếu vng góc d mặt phẳng (P) a M P A β a' H  Vậy góc d (P) góc BAH Nếu xác định góc d (P) khó q ( khơng chọn điểm B để dựng BH vng góc với (P)) , ta sử dụng công thức sau Gọi  góc d (P) suy : sin   ( d M, mp ( P ) AM ) Ta phải chọn điểm M d, mà tính khoảng cách đến mặt phẳng (P) Còn A giao điểm d mặt phẳng (P) Vấn đề Hai mặt phẳng vng góc I ĐỊNH NGHĨA Hai mặt phẳng gọi vng góc với góc chúng 900 II CÁC ĐỊNH LÝ VÀ HỆ QUẢ Định lý 1: Điều kiện cần đủ để hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng a  mp ( P )  mp ( P )  mp ( Q )  a  mp ( Q ) Nguyễn Bảo Vương Trang 37 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT Hệ 1: Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với đường thẳng a nằm (Q), vng góc với giao tuyến (P) (Q) vng góc với mặt phẳng (P) ( P )  ( Q )  ( P )  ( Q )  d  a  ( P )  a  ( Q ) , a  d Hệ 2: Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với A điểm (P) đường thẳng a qua điểm A vng góc với (Q) nằm (P) (P)  (Q)   A  (P), A  a  a  (P) a  (Q)  Định lý 2: Nếu hai mặt phẳng cắt vng góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến chúng vng góc với mặt phẳng thứ ba (P)  (Q)  a   a  (R) (P)  (R) (Q)  (R)  HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG, HÌNH HỘP CHỮ NHẬT, HÌNH LẬP PHƯƠNG ĐỊNH NGHĨA: Hình lăng trụ đứng hình lăng trụ có cạnh bên vng góc với mặt đáy Độ dài cạnh bên gọi chiều cao hình lăng trụ đứng + Hình lăng trụ đứng có đáy tam giác, tứ giác, ngũ giác, gọi hình lăng trụ đứng tam giác, hình lăng trụ đứng tứ giác, hình lăng trụ đứng ngũ giác, + Hình lăng trụ đứng có đáy đa giác gọi hình lăng trụ Ta có loại lăng trụ hình lăng trụ tam giác , hình lăng trụ tứ giác , hình lăng trụ ngũ giác  Hình lăng trụ đứng có đáy hình bình hành gọi hình hộp đứng  Hình lăng trụ đứng có đáy hình chữ nhật gọi hình hộp chữ nhật  Hình lăng trụ đứng có đáy hình vng mặt bên hình vng gọi hình lập phương HÌNH CHÓP ĐỀU VÀ HÌNH CHÓP CỤT ĐỀU HÌNH CHĨP ĐỀU Một hình chóp gọi hình chóp có đáy đa giác có chân đường cao trùng với tâm đa giác đáy Nhận xét: + Hình chóp có mặt bên tam giác cân Các mặt bên tạo với mặt đáy góc + Các cạnh bên hình chóp tạo với mặt đáy góc HÌNH CHĨP CỤT ĐỀU Phần hình chóp nằm đáy thiết diện song song với đáy cắt cạnh bên hình chóp gọi hình chóp cụt Nguyễn Bảo Vương Trang 38 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TỐN THPT Vấn đề Góc hai mặt phẳng PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN Để tìm góc hai mặt phẳng , tìm giao tuyến hai mặt phẳng Sau tìm hai đường thẳng thuộc hai mặt phẳng vng góc với giao tuyến điểm Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vừa tìm Q d A P d' B Những trường hợp đặc biệt đề hay : Trường hợp : Hai tam giác cân ACD BCD có chung cạnh đáy CD Gọi H  trung điểm CD , góc hai mặt phẳng (ACD) (BCD) góc AHB A C H Trường hợp : Hai tam giác ACD BCD có chung cạnh CD Dựng  AH  CD  BH  CD Vậy góc hai mặt phẳng (ACD) (BCD) góc AHB D A B D Trường hợp : Khi xác định góc hai mặt phẳng q khó , ta nên sử dụng cơng thức sau : sin   ( d A, mp ( Q ) ) H C d ( A,a ) Với  góc hai mặt phẳng (P) mặt phẳng (Q) A điểm thuộc mặt phẳng (P) a giao tuyến hai mặt phẳng (P) (Q) Trường hợp : Có thể tìm góc hai mặt phẳng công thức S'  S.cos  Trường hợp : Tìm hai đường thẳng d d' vng góc với mặt phẳng (P) mặt phẳng (Q) Góc hai mặt phẳng góc d d' Trường hợp : CÁCH XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA MẶT PHẲNG BÊN VÀ MẶT PHẲNG ĐÁY BƯỚC 1: XÁC DỊNH GIAO TUYẾN d mặt bên mặt đáy BƯỚC : TỪ HÌNH CHIẾU VNG GĨC CỦA ĐỈNH , DỰNG AH  d  BƯỚC : GĨC CẦN TÌM LÀ GĨC SHA Với S đỉnh , A hình chiếu vng góc đỉnh mặt đáy Ví dụ điển hình : Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với đáy (ABC) Hãy xác định góc mặt bên (SBC) S mặt đáy (ABC) Ta có BC giao tuyến mp(SBC) (ABC) Từ hình chiếu đỉnh điểm A , dựng AH  BC  BC  SA  BC  ( SAH )  BC  SH  BC  AH Vì  C A H  Kết luận góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) góc SHA B Vấn đề Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng I) PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN :  Bài tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng , dạng toán quan trọng chương vng góc lớp 11 phần hay đề thi Đại Học Để giải vấn đề bạn phải thành thạo hai công cụ sau liên quan với : Nguyễn Bảo Vương Trang 39 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT Bài tốn : Tính khoảng cách từ hình chiếu vng góc đỉnh đến mặt bên Phương pháp xác định khoảng cách từ hình chiếu đỉnh đến mặt phẳng bên BƯỚC 1: Xác định giao tuyến d BƯỚC : Từ hình chiếu vng góc đỉnh , DỰNG AH  d ( H  d ) BƯỚC : Dựng AI  SH ( I  SH ) Khoảng cách cần tìm AI Với S đỉnh , A hình chiếu vng góc đỉnh mặt đáy Ba bước dựng sử dụng tính chất : Hai mặt phẳng vng góc với , đường thuộc mặt phẳng náy vng góc với giao tuyến vng vng với mặt phẳng  Đây toán vơ quan trọng việc tính khoảng cách từ đểm đến mặt phẳng Hầu tính khoảng cách từ điểm BẤT KỲ đến mặt phẳng bên thông qua điểm dựa vào công thức tốn Ví dụ điển hình : Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với đáy (ABC) Hãy xác khoảng cách từ điểm A đến mặt bên (SBC) S Ta có BC giao tuyến mp(SBC) (ABC) Từ hình chiếu đỉnh điểm A , dựng AH  BC H Dựng AI  SH I  BC  SA  BC  ( SAH )  ( SBC )  ( SAH )  BC  AH I Vì  Mặt phẳng (SBC) vng góc với mặt phẳng (SAH) theo giao tuyến SH có AI  SH nên AI  mp ( SBC )  d ( A, mp ( SBC ) )  AI C A H B Bài tốn : Tính khoảng cách từ đểm đến mặt phẳng Thường sử dụng công thức sau : M d A d A P K P O O H H K M Cơng thức tính tỉ lệ khoảng cách: ( )  MO d ( A, mp ( P ) ) AO d M, mp ( P ) Ở cơng thức cần tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) Phương pháp phải tìm đường thẳng d qua M chứa điểm A mà tính khoảng cách đến mặt phẳng (P) KINH NGHIỆM thường điểm A hình chiếu đỉnh Vấn đề Hai đường thẳng chéo 1) Khái niệm : Hai đường thẳng a b khơng thuộc mặt phẳng (khơng có mặt phẳng chứa a b) ta nói hai đường thẳng a b chéo 2) Đường vng góc chung hai đường thẳng : Nếu có đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng a b chéo M N , đường thẳng d gọi đường vng góc chung hai đường thẳng chéo a b , độ dài đoạn MN gọi khoảng cách hai đường thẳng chéo Có hai dạng tốn : Dạng : Tính khoảng cách hai đường thẳng cheo Dạng : Xác định đường vng góc chung tính độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo Nguyễn Bảo Vương Trang 40 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT Chúng ta xét phương pháp giải cụ thể hai dạng sau : DẠNG :Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo Phương pháp chung ta phải chuyển khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách từ điểm đến đường thẳng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Thường xảy trường hợp sau : 1) Nếu đường thẳng a thuộc mặt phẳng (P) , đường thẳng b song song với mặt phẳng (P) Thì khoảng cách a b khoảng cách từ đường thẳng b đến mặt phẳng (P) , CHỌN điểm M thích hợp thuộc b có tính khoảng cách dễ dàng đến mặt phẳng (P) Khoảng cách từ M đến (P) khoảng cách hai đường a b Chú ý : Nếu khơng tìm mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng , ta phải dựng mặt phẳng (P) chứa đường thẳng song song với đường thẳng 2) Nếu đường thẳng a thuộc mặt phẳng (P) , đường thẳng b thuộc mặt phẳng (Q) Mà hai mặt phẳng (P) (Q) song song với , khoảng cách a b khoảng cách (P) (Q) 3) Cụ thể tính khoảng cách hai đường thẳng chéo a b, với a cạnh bên b cạnh đáy Cách làm sau : Gọi I giao điểm đường thẳng a với mặt đáy Từ I dựng đường thẳng  song song với b Lúc b song song với mặt phẳng (P) chứa a  Chọn điểm M b cho tính khoảng cách đến mặt phẳng (P) Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) khoảng cách a b Vấn đề Dựng thiết mặt phẳng (a) với khối chóp, biết (a) vng góc với đường thẳng d nao thuộc khối chóp PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Bước 1: Tìm đường thẳng thuộc khối chóp vng góc với d Bước 2: Suy ( ) song song với đường thẳng vng góc với d Bước 3: Tìm giao tuyến ( ) với mặt khối chóp Sử dụng tính chất: M  ( )  ( P )  ( )  ( P )  Mx    ()    ( P ) TÀI LIỆU ĐƯỢC TỔNG HỢP VÀ THAM KHẢO TỪ TÀI LIỆU CỦA THẦY LÊ VĂN ĐỒN MÌNH CHỈ TỔNG HỢP, NÊN BẠN ĐỌC THAM KHẢO NHÉ Nguyễn Bảo Vương Trang 41 ...DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TỐN Lý thuyết TOÁN 11 NGƯỜI TỔNG HP: NGUYỄN BẢO VƯƠNG Năm học: 2018 - 2019 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT Mục lục PHẦN ĐẠI SỐ 11 Chương Lượng giác... Trang LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT Giả sử cơng việc bao gồm k công đoạn A1 , A , , Ak Cơng đoạn A1 thực theo n1 cách, cơng đoạn A thực theo n cách, … cơng đoạn Ak thực theo n k cách Khi cơng việc... khối chóp 41 Nguyễn Bảo Vương Trang LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT Nguyễn Bảo Vương Trang LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT PHẦN ĐẠI SỐ 11 Chương Lượng giác Vấn đề Các hàm số lượng giác