Lý thuyết cơ bản toán 12

DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TỐN Lý thuyết TOÁN 12 NGƯỜI TỔNG HP: NGUYỄN BẢO VƯƠNG TÀI LIỆU NGUYÊN BẢN: CỦA THẦY PHAM DUY LE Năm học: 2018 - 2019 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12 MỤC LỤC PHẦN I HÀM SỐ SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 1.1 Định nghĩa 1.2 Quy tắc công thức tính đạo hàm 1.3 Bảng cơng thức tính đạo hàm 1.4 Công thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức 1.5 Đạo hàm cấp CỰC TRỊ HÀM SỐ 2.1 Định nghĩa 2.2 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị 2.3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị 2.4 Quy tắc tìm cực trị MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ 10 3.1 Cực trị hàm đa thức bậc ba y  ax  bx  cx  d 10 3.2 Cực trị hàm bậc trùng phương y  ax  bx  c, a  0 13 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 15 4.1 Định nghĩa 16 4.2 Phương pháp tìm GTLN,GTNN 16 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 17 5.1 Đường tiệm cận ngang 17 5.2 Đường tiệm cận đứng 17 KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 17 6.1 Khảo sát số hàm đa thức hàm phân thức 17 6.2 Một số phép biến đổi đồ thị 19 TIẾP TUYẾN 22 7.1 Tiếp tuyến 22 7.2 Điều kiện tiếp xúc 22 TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ 22 ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG 23 9.1 Bài tốn tìm điểm cố định họ đường cong 23 9.2 Bài tốn tìm điểm có tọa độ ngun 23 9.3 Bài tốn tìm điểm có tính chất đối xứng 23 ST&BS: PHẠM LÊ DUY Trang TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12 9.4 Bài tốn tìm điểm đặc biệt, khoảng cách 24 PHẦN II MŨ VÀ LOGARIT 27 LŨY THỪA VÀ HÀM SỐ LŨY THỪA 27 1.1 Khái niệm lũy thừa 27 1.2 Phương trình x n  b 27 1.3 Một số tính chất bậc n 28 1.4 Hàm số lũy thừa 28 1.5 Khảo sát hàm số mũ y  ax ,  a  0, a  1 30 LOGARIT 30 2.1 Khái niệm Logarit 30 2.2 Bảng tóm tắt cơng thức Mũ-loarrit thường gặp 31 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT 31 3.1 Bất phương trình mũ 31 3.2 Bất phương trình logarit 32 BÀI TOÁN LÃI SUẤT NGÂN HÀNG 33 4.1 Lãi đơn 33 4.2 Lãi kép 33 4.3 Tiền gửi hàng tháng 34 4.4 Gửi ngân hàng rút tiền gửi hàng tháng 34 4.5 Vay vốn trả góp 34 4.6 Bài toán tăng lương 35 4.7 Bài toán tăng trưởng dân số 35 4.8 Lãi kép liên tục 35 PHẦN III NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 37 NGUYÊN HÀM 37 1.1 Định nghĩa 37 1.2 Tính chất nguyên hàm 37 1.3 Sự tồn nguyên hàm 37 1.4 Bảng nguyên hàm hàm số thường gặp 38 1.5 Bảng nguyên hàm mở rộng 38 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM 39 2.1 Phương pháp đổi biến 39 2.2 Phương pháp nguyên hàm phần 41 ST&BS: PHẠM LÊ DUY Trang TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12 TÍCH PHÂN 42 3.1 Cơng thức tính tích phân 42 3.2 Tính chất tích phân 42 PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 43 4.1 Phương pháp đổi biến 43 4.2 Phương pháp tích phân phần 44 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN 44 5.1 Tích phân hàm hữu tỉ 44 5.2 Tích phân hàm vơ tỉ 46 5.3 Tích phân hàm lượng giác 50 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 53 6.1 Diện tích hình phẳng 53 6.2 Thể tích vật thể thể tích khối tròn xoay 54 PHẦN IV SỐ PHỨC 55 SỐ PHỨC 55 1.1 Khái niệm số phức 55 1.2 Hai số phức 55 1.3 Biểu diễn hình học số phức 55 1.4 Số phức liên hợp 55 1.5 Môđun số phức 55 PHÉP CỘNG TRỪ NHÂN CHIA SỐ PHỨC 56 2.1 Phép cộng phép trừ số phức 56 2.2 Phép nhân số phức 56 2.3 Chia hai số phức 56 TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC 57 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC 57 4.1 Căn bậc hai số thực âm 57 4.2 Phương trình bậc hai với hệ số thực 57 BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN MAX – MIN MƠ ĐUN SỐ PHỨC 58 ST&BS: PHẠM LÊ DUY Trang TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12 PHẦN I HÀM SỐ SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 1.1 Định nghĩa  Kí hiệu K khoảng đoạn nửa khoảng Giả sử hàm số y  f x xác định K ta có:   Hàm số y  f x gọi đồng biến (tăng) K nếu:     x 1, x  K , x  x  f x  f x   Hàm số y  f x gọi nghịch biến (giảm) K nếu:     x 1, x  K , x  x  f x  f x Hàm số đồng biến nghịch biến K gọi chung đơn điệu K * Nhận xét:    Hàm số f x đồng biến K       0  x , x f x  f x1 x  x1  K ,  x  x Khi đồ thị hàm số lên từ trái sang phải    Hàm số f x nghịch biến K       0  x , x f x  f x1 x  x1  K ,  x  x Khi đồ thị hàm số xuống từ trái sang phải         Nếu f   x   0, x   a; b   hàm số f  x  nghịch biến khoảng a;b  Nếu f   x   0, x  a;b   hàm số f x  không đổi khoảng a;b  Nếu f  x  đồng biến khoảng a;b   f   x   0, x  a;b  Nếu f  x  nghịch biến khoảng a;b   f   x   0, x  a;b  Nếu thay đổi khoảng a;b  đoạn nửa khoảng phải bổ sung thêm giả thiết “hàm số f  x  liên tục đoạn nửa khoảng đó”  Nếu f  x  0, x  a;b  hàm số f x đồng biến khoảng a;b      1.2 Quy tắc cơng thức tính đạo hàm    Quy tắc tính đạo hàm: Cho u  u x ; v  v x ; C : số ST&BS: PHẠM LÊ DUY Trang TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12  Tổng, hiệu: u  v   u   v     Tích: u.v   u .v  v .u  C u   C u       u  u .v  v .u C , v    Thương:     v2 v  u      C u    u     Đạo hàm hàm hợp: Nếu y  f u , u  u x  yx  yu ux 1.3 Bảng công thức tính đạo hàm Đạo hàm hàm sơ cấp C   (C số) x    x  Đạo hàm hàm hợp x    x   1  u    u  1   1 u       (x  0) x x    u    u  u u   x   1x x  0  u   2uu u  0  sin x   cos x  sin u   u .cos u  cos x    sin x  cos u   u .sin u  tan x   cos1 x  tan u   cosu  cot x    sin1 x  cot u    sinu u e   e e   u .e 2 x x   u  u u a   a ln a a   u .a ln a  ln x   x1  ln u   uu  log x   x ln1 a u  log u   u.ln a x x a ST&BS: PHẠM LÊ DUY  u u a Trang TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12 1.4 Cơng thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức  ax  b  ad  bc      cx  d  cx  d    ax  bx  c      dx  ex  f   a    b a    c b    c x 2 x d    e d    f e    f dx  ex  f  1.5 Đạo hàm cấp 1.5.1 Định nghĩa f   x    f   x   1.5.2 Ý nghĩa học  Gia tốc tức thời chuyển động s  f t     thời điểm t là: a t0  f  t0 1.5.3 Đạo hàm cấp cao f n   x    f   x  , n   , n   n 1 * Một số ý:      Nếu hàm số f x g x đồng biến (nghịch biến) K hàm số   f x g x đồng biến (nghịch biến) K Tính chất     khơng hiệu f x  g x     biến) K hàm số f  x  g  x  đồng biến (nghịch biến) K Tính chất khơng hàm số f  x  , g  x  không hàm số  Nếu hàm số f x g x hàm số dương đồng biến (nghịch dương K     Cho hàm số u  u x , xác định với x  a;b     u x  c;d Hàm số   f u  x   xác định với x  a;b Ta có nhận xét sau:    đồng biến với x  a;b   f u  đồng biến với u   c ; d   Giả sử hàm số u  u x đồng biến với x  a;b Khi đó, hàm số f u  x   ST&BS: PHẠM LÊ DUY Trang TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12     Giả sử hàm số u  u x nghịch biến với x   a; b  Khi đó, hàm số f u x      nghịch biến với x   a; b   f  u  nghịch biến với u  c;d Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số Giả sử hàm số f có đạo hàm K    Nếu f ' x  với x  K f ' x  số hữu hạn điểm x  K hàm số f đồng biến K    Nếu f ' x  với x  K f ' x  số hữu hạn điểm x  K hàm số f nghịch biến K Chú ý: * Đối với hàm phân thức hữu tỉ y  ax  b  d  x    dấu "  " xét dấu cx  d  c đạo hàm y  không xảy    Giả sử y  f x  ax  bx  cx  d  f  x  3ax  2bx  c Hàm số đồng biến  Hàm số nghịch biến   a       f  x  0; x     a    b    c   a       f  x  0; x     a    b    c       Trường hợp hệ số c khác a  b  c  f x  d (Đường thẳng song song trùng với trục Ox khơng đơn điệu) * Với dạng tốn tìm tham số m để hàm số bậc ba đơn điệu chiều khoảng có độ dài l ta giải sau:   Bước 1: Tính y   f  x ; m  ax  bx  c   Bước 2: Hàm số đơn điệu x 1; x  y   có nghiệm phân biệt     a  *  Bước 3: Hàm số đơn điệu khoảng có độ dài l ST&BS: PHẠM LÊ DUY Trang TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN   x1  x  l  x1  x   LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12  4x 1x  l  S2  P  l  * *   Bước 4: Giải * giao với * * để suy giá trị m cần tìm CỰC TRỊ HÀM SỐ 2.1 Định nghĩa Giả sử hàm số f xác định tập K x  K Ta nói:  x0 điểm cực tiểu hàm số f tồn khoảng  a; b  chứa x cho  a; b   K f x   f x  , x  a;b  \ x  Khi f  x  0 gọi giá trị cực tiểu hàm số f    a; b   K f x   f x  , x  a;b  \ x  Khi f x  gọi giá  x điểm cực đại hàm số f tồn khoảng a;b chứa x cho 0 trị cực đại hàm số f  Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị  Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung cực trị  Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị hàm số điểm cực trị phải điểm tập hợp K  Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung giá trị cực trị (hay cực trị) hàm số    gọi điểm cực  Nếu x0 điểm cực trị hàm số điểm x ; f x trị đồ thị hàm số f * Nhận xét:    Giá trị cực đại (cực tiểu) f x nói chung khơng phải giá trị lớn (nhỏ   nhất) hàm số f tập D; f x giá trị lớn (nhỏ nhất)   hàm số f khoảng a;b chứa x hay nói cách khác x   điểm cực đại ( cực tiểu) tồn khoảng (a;b) chứa x cho f x giá trị   lớn (nhỏ nhất) hàm số f khoảng a;b ST&BS: PHẠM LÊ DUY Trang TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LÝ THUYẾT HÌNH HỌC 12  u , u    2     1  cắt          u1 , u2  MN      1  và    chéo nhau   u1 , u2  MN     3.2.2.2 Phương pháp đại số  pt (1 ) Muốn  tìm  giao  điểm  M   của  (1 ) va ( 2 ) ta  giải  hệ  phương  trình  :    tìm   pt ( ) x, y, z Suy ra:  M  x , y, z    3.2.3 Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu Cho  đường  S  : (x  a) thẳng  d :  x  x  a t (1)  y  y0  a2t (2)   z  z  a t (3)    và  mặt  cầu   (y  b)2  (z  c)2  R2  có tâm  I (a;b; c) , bán kính  R   3.2.3.1 Phương pháp hình học  Bước 1:     Tính  khoảng  cách  từ  tâm  I   của  mặt  cầu  S   đến  đường  thẳng  d     IM a    h  d (I , d )      a  Bước 2:   So sánh  d (I , d )  với bán kính  R  của mặt cầu:       Nếu  d (I , d )  R  thì  d  tiếp xúc  S    Nếu  d (I , d )  R  thì  d  cắt  S  tại hai điểm phân biệt  M , Nếu  d (I , d )  R  thì  d  khơng cắt  S   N  và  MN  vng  góc với đường kính (bán kính) mặt cầu  3.2.2.2 Phương pháp đại số   2  ,    vào phương trình  S  và rút gọn đưa về phương trình bậc hai  *   Thế  , theo  t  Nếu phương trình  *   vơ nghiệm thì  d  khơng cắt   S         Nếu phương trình  *  có một nghiệm thì  d  tiếp xúc  S   ST&BS: PHẠM LÊ DUY Trang 48 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LÝ THUYẾT HÌNH HỌC 12     Nếu  phương  trình  *   có  hai  nghiệm  thì  d   cắt  S   tại  hai  điểm  phân  biệt  M, N   Chú ý:   Ðể tìm tọa độ  M , N  ta thay giá trị  t  vào phương trình đường thẳng  d   3.3 Góc khơng gian 3.3.1 Góc hai mặt phẳng Nội dung Hình vẽ Định lý Trong  không  gian  Oxyz    cho  hai  mặt  phẳng   ,   xác định bởi phương trình :  ( ) : A1x  B1y  C 1z  D1  ( ) : A2x  B2y  C 2z  D2    Gọi    là góc giữa hai mặt phẳng  ( ) & (  ) ta  có cơng thức:  A1A2  B1B2  C 1C cos   A12  B12  C 12 A22  B22  C 22   3.3.2 Góc đường thẳng mặt phẳng Nội dung Cho  () : đường  x  x0  y  y0  Hình vẽ thẳng   z  z0    b c và mặt phẳng  ( ) : Ax  By  Cz  D       a Gọi     là  góc  giữa  hai  mặt  phẳng  () & ( ) ta  có cơng thức:  sin   Aa  Bb  Cc A2  B  C a  b  c     3.3.3 Góc hai đường thẳng Nội dung Hình vẽ Cho hai đường thẳng : x  x y  y0 z  z   a b c   x  x 0 y  y 0 z  z 0 ( ) :   a' b' c' ( ) : ST&BS: PHẠM LÊ DUY Trang 49 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LÝ THUYẾT HÌNH HỌC 12 Gọi    là góc giữa hai mặt phẳng  (1 ) & (2 ) ta  có cơng thức:  cos   aa '  bb '  cc ' a  b  c a '2  b '2  c '2     3.4 Khoảng cách 3.4.1 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Nội dung Hình vẽ Cho  mặt  phẳng  ( ) : Ax  By  Cz  D  và  điểm  M (x ; y0 ; z ) Khoảng cách từ điểm  M  đến mặt phẳng  ( )   được tính bởi :                         d(M ; )  Ax  By0  Cz  D A2  B  C     3.4.2 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Nội dung Hình vẽ Cho  đường  thẳng  ()   đi  qua  điểm   M (x ; y ; z )   và  có  VTCP  u  (a;b;c)   Khi  đó  khoảng cách từ điểm M1 đến  ()  được tính bởi  cơng thức:      M M ; u    d (M 1, )     u 3.4.3 Khoảng cách đường thẳng chéo Nội dung Hình vẽ Định lý:   Trong  không  gian   Oxyz      cho  hai  đường  thẳng chéo nhau :   (1) co VTCP u  (a;b;c) va qua M0 (x0; y0; z0 )    (2 ) co VTCP u'  (a ' ;b' ;c' ) va qua M0' (x0' ; y0' ; z 0' ) ST&BS: PHẠM LÊ DUY   Trang 50 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LÝ THUYẾT HÌNH HỌC 12 Khi  đó  khoảng  cách  giữa  (1 ) va ( 2 )   được     u, u '  M M '   0 tính bởi cơng thức d (1, 2 )      u; u '    3.5 Lập phương trình đường thẳng Để lập phương trình đường thẳng  d   ta cần xác định một điểm thuộc  d   và một  VTCP của nó 3.5.1 Dạng x  x  a t o   d  đi qua điểm  M (x ; y0 ; z )  và có VTCP  a  (a1; a2 ; a )  là (d) : y  yo  a2t z  z  a t o  (t  R)   3.5.2 Dạng  d  đi qua hai điểm  A, B :  Một VTCP của  d  là  AB   3.5.3 Dạng d  đi qua điểm  M (x ; y ; z )  và song song với đường thẳng    cho trước: Vì  d / /   nên VTCP của    cũng là VTCP của  d 3.5.4 Dạng d   đi  qua  điểm  M (x ; y ; z )   và  vng  góc  với  mặt  phẳng   P  cho  trước:  Vì      d  P nên VTPT của  P cũng là VTCP của  d 3.5.5 Dạng d  là giao tuyến của hai mặt phẳng   P  , Q :   Cách 1:  Tìm một điểm và một VTCP (P )  Tìm  toạ  độ  một  điểm  A  d : bằng  cách  giải  hệ  phương  trình     (với  (Q ) việc chọn giá trị cho một ẩn)     Tìm một VTCP của  d : a  n P , nQ   Cách 2:  Tìm hai điểm  A, B  thuộc  d , rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai  điểm đó 3.5.6 Dạng ST&BS: PHẠM LÊ DUY Trang 51 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LÝ THUYẾT HÌNH HỌC 12 d đi qua điểm  M (x ; y0 ; z )  và vng góc với hai đường thẳng  d1, d2 :       Vì  d  d1, d  d2  nên một VTCP của  d  là:  a  ad , ad     2 3.5.7 Dạng d  đi qua điểm  M (x ; y0 ; z ) , vng góc và cắt đường thẳng    Cách 1:  Gọi  H   là  hình  chiếu  vng  góc  của  M   trên  đường  thẳng     Thì  H       Khi đó đường thẳng  d  là đường thẳng đi qua  M , H M 0H  u  Cách 2:      Gọi  P là mặt phẳng đi qua  A  và vng góc với  d ; Q là mặt phẳng đi      qua  A  và chứa  d  Khi đó  d    P  Q 3.5.8 Dạng d đi qua điểm  M (x ; y ; z )  và cắt hai đường thẳng  d1, d2 :  Cách 1:  Gọi  M  d1, M  d2 Từ  điều  kiện  M , M 1, M   thẳng  hàng  ta  tìm  được  M 1, M Từ đó suy ra phương trình đường thẳng  d  Cách 2:       (M ,d )   Khi  đó  d  P   Q    Do  đó,  một  VTCP  Gọi  P  (M , d1 ) ,  Q  d có thể chọn là  a    n P , nQ    3.5.9 Dạng d nằm trong mặt phẳng   P  và cắt cả hai đường thẳng  d1, d2 :       Tìm các giao điểm  A  d1  P , B  d2  P Khi đó  d  chính là đường thẳng  AB 3.5.10 Dạng 10     Viết phương trình mặt phẳng  P chứa    và  d1, mặt phẳng  Q chứa    và  d2         Khi đó  d  P  Q   3.5.11 Dạng 11 d  là đường vng góc chung của hai đường thẳng d1, d2  chéo nhau:   Cách 1:  ST&BS: PHẠM LÊ DUY Trang 52 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LÝ THUYẾT HÌNH HỌC 12 MN  d1 Gọi  M  d1, M  d2 Từ  điều  kiện   ,  ta  tìm  được  M , N   Khi đó, MN  d2 d là đường thẳng MN  Cách 2:      Vì  d  d1  và  d  d2  nên một VTCP của  d có thể là:  a  ad , ad   2  Lập phương trình mặt phẳng   P  chứa d và  d1, bằng cách:  Lấy một điểm  A  trên  d1     Một VTPT của   P  có thể là:  n P  a , ad     Tương  tự  lập  phương  trình    mặt  phẳng  Q    chứa d và  d2   Khi  đó      d  P  Q 3.5.12 Dạng 12 d  là hình chiếu của đường thẳng    lên mặt phẳng   P   thì ta Lập phương trình  mặt phẳng  Q  chứa    và vng góc với mặt phẳng   P  bằng cách:   Lấy  M         Vì  Q  chứa    và vng góc với   P  nên  nQ  a  , n P     Khi đó  d   P   Q    3.5.13 Dạng 13 d đi qua điểm  M , vng góc với  d1 và cắt  d2 :    Cách 1:  Gọi  N  là giao điểm của d và  d2 Từ điều kiện  MN  d1, ta tìm được  N  Khi  đó, d là đường thẳng  MN  Cách 2:    Viết phương trình mặt phẳng  Q  chứa  M  và  d Khi đó  d   P   Q   Viết phương trình mặt phẳng  P qua  M  và vng góc với  d1   3.6 Vị trí tương đối 3.6.1 Vị trí tương đối hai đường thẳng Để xét VTTĐ giữa hai đường thẳng, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp  sau:  ST&BS: PHẠM LÊ DUY Trang 53 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LÝ THUYẾT HÌNH HỌC 12  Phương pháp hình học:   Dựa vào mối quan hệ giữa các VTCP và các điểm thuộc các đường thẳng.   Phương pháp đại số:   Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình các đường thẳng.  3.6.2 Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Để  xét  VTTĐ  giữa  đường  thẳng và mặt  phẳng,  ta có  thể  sử  dụng một  trong  các  phương pháp sau:   Phương pháp hình học:   Dựa vào mối quan hệ giữa VTCP của đường thẳng và VTPT của mặt phẳng.   Phương pháp đại số:   Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình đường thẳng và mặt phẳng.  3.6.3 Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu Để xét VTTĐ giữa đường thẳng và mặt cầu  ta có thể sử dụng các phương pháp  sau:   Phương pháp hình học:   Dựa vào khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng và bán kính.   Phương pháp đại số:   Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình đường thẳng và mặt cầu.  3.7 Khoảng cách 3.7.1 Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d  Cách 1:  M M , a     Cho đường thẳng  d  đi qua  M  và có VTCP  a  thì  d (M , d )   a  Cách 2:  Tìm hình chiếu vng góc  H  của  M  trên đường thẳng  d    d M , d  MH  Cách 3:  Gọi  N x ; y ; z  d   Tính  MN theo  t (t tham  số  trong  phương  trình    đường thẳng  d)    Tìm  t  để  MN  nhỏ nhất.   Khi đó  N  H Do đó  d  M , d   MH   3.7.2 Khoảng cách hai đường thẳng chéo ST&BS: PHẠM LÊ DUY Trang 54 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LÝ THUYẾT HÌNH HỌC 12  Cho hai đường thẳng chéo nhau  d1 và  d2  Biết  d1  đi qua điểm M1 và có VTCP  a ,      a   1, a2  M1M2 d2  đi qua điểm  M  và có VTCP   a  thì  d(d1, d2 )      a1, a2  Chú ý:   Khoảng  cách  giữa  hai  đường thẳng  chéo nhau  d1, d2   bằng  khoảng  cách  giữa  d1 với mặt phẳng     chứa  d2  và song song với  d1   3.7.3 Khoảng cách hai đường thẳng song song Khoảng  cách  giữa  hai  đường  thẳng  song  song  bằng  khoảng  cách  từ  một  điểm  thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia.  3.7.4 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song   khoảng cách từ một điểm  M  bất kì trên d đến mặt phẳng      Khoảng  cách  giữa  đường  thẳng d với  mặt  phẳng     song  song  với  nó  bằng  3.8 Góc 3.8.1 Góc hai đường thẳng   Cho hai đường thẳng  d1, d2  lần lượt có các VTCP  a1, a2     a1.a2     Góc giữa  d1, d2  bằng hoặc bù với góc giữa  a1, a2  là:  cos a1, a2       a1 a2 3.8.2 Góc đường thẳng mặt phẳng  Cho  đường  thẳng  d   có  VTCP  a  (a1; a ; a )   và  mặt  phẳng     có  VTPT   n  (A; B;C )     Góc  giữa  đường  thẳng  d và  mặt  phẳng      bằng  góc  giữa  đường  thẳng  d với   Aa1  Ba2  Ca3  hình chiếu  d ' của nó trên     là:  sin d ,    A  B  C a12  a2  a32    MẶT CẦU 4.1 Phương trình mặt cầu 4.1.1 Phương trình tắc     Phương trình của mặt cầu   S  tâm  I a ; b; c ,  bán kính  R  là:   (S ) : (x  a )2  (y  b)2  (z  c )2  R ST&BS: PHẠM LÊ DUY Trang 55 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LÝ THUYẾT HÌNH HỌC 12  Phương trình   được gọi là phương trình chính tắc của mặt cầu  Đặc biệt:     Khi  I  O  thì   (C ) : x  y  z  R   4.1.2 Phương trình tổng quát Phương  trình  :  x  y  z  2ax  2by  2cz  d    với    a  b  c  d    là  phương trình của mặt cầu  S  có tâm  I a ;b; c ,  bán kính   R  a  b  c  d       4.2 Giao mặt cầu mặt phẳng   Cho mặt phẳng  ( )  và mặt cầu  S  có phương trình :                                                                                       ( ) : Ax  By  Cz  D  (S ) : (x  a )2  (y  b)2  (z  c)2  R2     Gọi  d (I ;  )  là khoảng cách từ tâm mặt cầu  S  đến mặt phẳng     Cho mặt cầu  S  I ; R   và mặt phẳng   P      Gọi  H  là hình chiếu vng góc của  I  lên   P  d  IH  d I ,  P      d R Mặt  cầu  và  mặt    d R Mặt  phẳng  tiếp  xúc  mặt  d R Mặt  phẳng  cắt  mặt  cầu        phẳng  khơng  có  điểm  cầu:  P  là mặt phẳng tiếp theo  thiết  diện  là  đường  chung.  tròn có tâm  I   và bán kính  diện  của  mặt  cầu  H   :   r  R  IH   tiếp điểm.        4.3 Một số toán liên quan 4.3.1 Dạng S   có tâm  I a;b;c   và bán kính  R  thì  S  : (x  a )  (y  b )2  (z  c )2  R   4.3.2 Dạng S   có tâm  I a;b;c   và đi qua điểm  A  thì bán kính  R  IA   4.3.3 Dạng S   nhận đoạn thẳng  AB  cho trước làm đường kính:   Tâm  I  là trung điểm của đoạn thẳng   ST&BS: PHẠM LÊ DUY Trang 56 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN AB : x I  xA  xB  Bán kính  R  IA  ; yI  LÝ THUYẾT HÌNH HỌC 12 yA  y B ; zI  zA  zB   AB    4.3.4 Dạng S   đi qua bốn điểm  A, B,C , D ( mặt cầu ngoại tiếp tứ diện)   Giả sử phương trình mặt cầu  S   có dạng:  x  y  z  2ax  2by  2cz  d   *     Thay  lần  lượt  toạ  độ  của  các  điểm  A, B,C , D   vào   *  ,   ta  được  4  phương  2 trình.   Giải hệ phương trình đó, ta tìm được  a, b, c, d   Phương trình mặt cầu  S    4.3.5 Dạng S   đi qua ba điểm  A, B,C  và có tâm  I   nằm trên mặt phẳng  P   cho trước thì  giải tương tự dạng 4  4.3.6 Dạng S   có tâm  I  và tiếp xúc với mặt cầu  T   cho trước:   Xác định tâm  I  và bán kính  R '   của mặt cầu  T     Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai mặt cầu để tính bán kính  R  của mặt cầu  S   (Xét hai trường hợp tiếp xúc trong và ngồi)  Chú ý:      d   thì  S   có tâm  I  –a; –b; –c  và bán kính  R  Với phương trình mặt cầu  S : x  y  z  2ax  2by  2cz  d     với  a  b  c a  b  c  d   Đặc biệt:      R  R    S  , S   trong nhau   R  R    S  , S  ngoài nhau   R  R  S  , S  tiếp xúc trong    R  R  S  , S  tiếp xúc ngoài  Cho hai mặt cầu  S I 1, R1 và  S I , R2    I 1I  I 1I  I 1I  I 1I 2 1 1 ST&BS: PHẠM LÊ DUY   2 2   Trang 57 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LÝ THUYẾT HÌNH HỌC 12   S  cắt   R1  R2  I 1I  R1  R2     S ,   nhau  theo  một  đường  tròn  (đường tròn giao tuyến).  4.3.7 Dạng       Viết phương trình mặt cầu  S  có tâm  I a ;b; c , tiếp xúc với mặt phẳng  P  cho     trước thì bán kính mặt cầu  R  d I ; P 4.3.8 Dạng       Viết phương trình mặt cầu  S  có tâm  I a ;b; c , cắt mặt phẳng  P  cho trước theo  giao tuyến là một đường tròn thoả điều kiện   Đường tròn cho trước (bán kính hoặc diện tích hoặc chu vi) thì từ cơng thức  diện tích đường tròn  S   r  hoặc chu vi đường tròn  P  2 r  ta tìm được  bán kính đường tròn giao tuyến  r       Tính  d  d I , P    Tính bán kính mặt cầu  R  d  r    Kết luận phương trình mặt cầu.  4.3.9 Dạng   Viết phương trình mặt cầu  S  tiếp xúc với một đường thẳng    cho trước và có        tâm  I a ;b; c  cho trước thì đường thẳng    tiếp xúc với mặt cầu  S  ta có  R  d I,    4.3.10 Dạng 10   Viết  phương  trình  mặt  cầu  S   tiếp  xúc  với  một  đường  thẳng     tại  tiếp  điểm    M x o , yo , z o   thuộc     và  có  tâm  I   thuộc  đường thẳng  d   cho  trước  thì  ta  làm  như  sau:     Viết phương trình mặt phẳng  P  đi qua điểm  M  và vng góc với đường  thẳng        Toạ độ tâm   I  P    là nghiệm của phương trình.    Kết luận về phương trình mặt cầu  S     Bán kính mặt cầu  R  IM  d I,     4.3.10 Dạng 10     Viết  phương  trình  mặt  cầu  S   có  tâm  I a ;b; c   và  cắt  đường  thẳng     tại  hai  điểm  A, B  thoả mãn điều kiện:   Độ dài  AB  là một hằng số.  ST&BS: PHẠM LÊ DUY Trang 58 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LÝ THUYẾT HÌNH HỌC 12  Tam giác  IAB  là tam giác vuông.   Tam giác  IAB  là tam giác đều.    Thì ta xác định  d I ,   IH , vì  IAB  cân tại  I  nên  HB  AB  và bán kính mặt  cầu  R  được tính như sau:   R  IH  HB    R IH   sin 45o  R IH   sin 60o 4.3.11 Dạng 11 Tập hợp điểm là mặt cầu    Giả sử tìm tập hợp điểm  M  thoả tính chất  P  nào đó.   Tìm hệ thức giữa các toạ độ  x , y, z  của điểm  M (x  a )2  (y  b )2  (z  c )2  R hoặc:   x  y  z  2ax  2by  2cz  d   Tìm giới hạn quĩ tích (nếu có) 4.3.12 Dạng 12 Tìm tập hợp tâm mặt cầu  x  f (t )   Tìm toạ độ của tâm  I , chẳng hạn:  y  g (t )  * z  h(t )     Khử  t  trong  *  ta có phương trình tập hợp điểm  Tìm giới hạn quĩ tích (nếu có).    MỘT SỐ DẠNG GIẢI NHANH CỰC TRỊ KHÔNG GIAN 5.1 Dạng 5.1.1 Yêu cầu Cho   P   và hai điểm  A, B  Tìm  M   P  để   MA  MB  ? 5.1.2 Phương pháp  Nếu  A  và  B  trái phía so với   P   M , A, B  thẳng hàng  M  AB   P     Nếu  A  và  B  cùng phía so với   P   thì tìm  B '  là đối xứng của  B  qua   P    ST&BS: PHẠM LÊ DUY Trang 59 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LÝ THUYẾT HÌNH HỌC 12 5.2 Dạng 5.2.1 Yêu cầu Cho   P   và hai điểm  A, B  Tìm  M  P để  MA  MB   max ? 5.2.2 Phương pháp  Nếu  A  và  B  cùng phía so với   P   M , A, B  thẳng hàng  M  AB   P     Nếu  A  và  B  trái phía so với   P   thì tìm  B '  là đối xứng của  B  qua   P     MA  MB '  AB '   5.3 Dạng 5.3.1 Yêu cầu   Cho điểm  M x M ; yM ; z M  khơng thuộc các trục và mặt phẳng tọa độ. Viết phương    trình  P  qua  M  và cắt 3 tia Ox ,Oy,Oz   lần lượt tại  A, B,C  sao cho VO ABC  nhỏ nhất?  5.3.2 Phương pháp P  : 3xx  M y z  1 3yM 3z M 5.4 Dạng 5.4.1 Yêu cầu   Viết phương trình mặt phẳng P  chứa đường thẳng  d , sao cho khoảng cách từ    điểm  M  d  đến  P  là lớn nhất? 5.4.2 Phương pháp Qua  A  d     P :   u d , AM  , u d  n P          5.5 Dạng 5.5.1 Yêu cầu   Viết phương trình mặt phẳng  P  qua A   và cách  M  một khảng lớn nhất ? 5.5.2 Phương pháp Qua  A  P  : n   AM  ST&BS: PHẠM LÊ DUY P Trang 60 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LÝ THUYẾT HÌNH HỌC 12 5.6 Dạng 5.6.1 Yêu cầu     Viết phương trình mặt phẳng P  chứa đường thẳng  d , sao cho  P  tạo với    (    không song song với  d ) một góc lớn nhất  là lớn nhất ? 5.6.2 Phương pháp Qua  A  d P  : n    u , u  P   d    , ud    5.7 Dạng 5.7.1 Yêu cầu   Cho   / / P  Viết phương trình đường thẳng  d  nằm trong (P) song song với      và cách    một khoảng nhỏ nhất ? 5.7.2 Phương pháp Qua  A    Lấy  A    , gọi  A  là hình chiếu vng góc của  A  trên  P thì  d :   u d  u      5.8 Dạng 5.8.1 Yêu cầu Viết  phương  trình  đường  thẳng  d   đi  qua  điểm  A   cho  trước  và  nằm  trong  mặt    phẳng  P cho trước sao cho khoảng cách từ điểm  M  cho trước đến  d  là lớn nhất  ( AM  khơng vng góc với   P  ) ? 5.8.2 Phương pháp Qua  A  d    d :    u d  n  P  , AM    5.9 Dạng 5.9.1 Yêu cầu Viết  phương  trình  đường  thẳng  d   đi  qua  điểm  A   cho  trước  và  nằm  trong  mặt    phẳng  P cho trước sao cho khoảng cách từ điểm  M  cho trước đến  d  là nhỏ nhất ( AM  khơng vng góc với   P  ) ? 5.9.2 Phương pháp ST&BS: PHẠM LÊ DUY Trang 61 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LÝ THUYẾT HÌNH HỌC 12 Qua  A  d     d :   n P  , AM  , n P   u d       5.10 Dạng 10 5.10.1 Yêu cầu   Viết phương trình đường thẳng  d  đi qua điểm   A  P cho trước, sao cho  d nằm    góc với   P  )? trong  P và tạo với đường thẳng    một góc nhỏ nhất  (   cắt nhưng khơng vng  5.10.2 Phương pháp Qua  A  d     d :   n P  , AM  , n P   u d         ST&BS: PHẠM LÊ DUY Trang 62 ... ĐÀN GIÁO VIÊN TỐN Lý thuyết TOÁN 12 NGƯỜI TỔNG HP: NGUYỄN BẢO VƯƠNG TÀI LIỆU NGUYÊN BẢN: CỦA THẦY PHAM DUY LE Năm học: 2018 - 2019 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12 MỤC LỤC PHẦN I...  Bước 3: Lập bảng biến thiên bảng xét dấu f  x Nếu f  x đổi dấu qua x i hàm số đạt cực trị x i Định lí 3: ST&BS: PHẠM LÊ DUY Trang TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12  Nếu f ... 9.4.1 Lý thuyết:     Cho hai điểm A x 1; y1 ; B x ; y2 ST&BS: PHẠM LÊ DUY   AB  x  x1   y  y1  Trang 24 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN   Cho điểm M x ; y   LÝ THUYẾT GIẢI TÍCH 12 đường