Bí kíp đạt điểm tối đa học kỳ 2 Toán 11 có giải chi tiết

1 PHẦN DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN I PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC II DÃY SỐ DẠNG 1: THIẾT LẬP CÔNG THỨC TÍNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT u n THEO N DẠNG 2: TÍNH TĂNG, GIẢM CỦA DÃY SỐ 10 DẠNG 3: DÃY SỐ BỊ CHẶN 11 III CẤP SỐ CỘNG 13 DẠNG 1: CHỨNG MINH MỘT DÃY SỐ  u n  LÀ CẤP SỐ CỘNG 13 DẠNG 2: TIM SỐ HẠNG ĐẦU TIEN, CÔNG SAI CỦA CẤP SỐ CỘNG, TIM SỐ HẠNG THỨ K CỦA CẤP SỐ CỘNG, TINH TỔNG K SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN 14 DẠNG 3: DỰA VÀO TÍNH CHẤT CỦA CẤP SỐ CỘNG, CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC 16 IV CẤP SỐ NHÂN 17 DẠNG 1: CHỨNG MINH MỘT DÃY  u n  LÀ CẤP SỐ NHÂN 17 DẠNG 2: XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG ĐẦU CÔNG BỘI, XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG THỨ K, TÍNH TỔNG CỦA N SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN 19 DẠNG 3: DỰA VÀO TÍNH CHẤT CỦA CẤP SỐ NHÂN, CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC 22 PHẦN 2: GIỚI HẠN 23 I GIỚI HẠN DÃY SỐ 23 DẠNG 1: un LÀ MỘT PHÂN THỨC HỮU TỈ DẠNG un  P n Q n ( TRONG ĐÓ P  n  , Q  n  LÀ HAI ĐA THỨC CỦA N) 23 DẠNG 2: un LA MỘT PHÂN THỨC HỮU TỈ DẠNG un  P n Q n ( TRONG ĐÓ P  n  , Q  n  LÀ CÁC BIỂU THỨC CHỨA CĂN CỦA N) 25 DẠNG 3: un LÀ MỘT PHÂN THỨC HỮU TỈ DẠNG un  P n Q n ( TRONG ĐÓ P  n  , Q  n  LÀ CÁC BIỂU THỨC CHỨA HÀM MŨ a n , b n , c n ,… ) .26 DẠNG : NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP 27 DẠNG GIỚI HẠN CỦA MỘT TỔNG DÀI DÀI 29 II GIỚI HẠN HÀM SỐ 31 DẠNG THAY TRỰC TIẾP ĐƯỢC SỐ 31 DẠNG L = lim x  x0 P( x) VỚI P(X), Q(X) LÀ CÁC ĐA THỨC VÀ P(X0) = Q(X0) = 32 Q( x) P( x) VỚI P(X0) = Q(X0) = VÀ P(X), Q(X) LÀ CÁC BIỂU THỨC CHỨA Q ( x) CĂN CÙNG BẬC 33 DẠNG L = lim x  x0 DẠNG 4: THÊM BỚT SỐ HẠNG HOẶC MỘT BIỂU THỨC VẮNG ĐỂ KHỬ ĐƯỢC DẠNG VÔ ĐỊNH 34 DẠNG L = lim x  VƠ ĐỊNH P( x) TRONG ĐĨ P ( x ), Q ( x )   , DẠNG NÀY TA CÒN GỌI LÀ DẠNG Q( x )  36  DẠNG 6: GIỚI HẠN MỘT BÊN 37 DẠNG : GIỚI HẠN LƯỢNG GIÁC 38 DẠNG 8: SỬ DỤNG MÁY TÍNH: TÍNH GIỚI HẠN 39 III HÀM SỐ LIÊN TỤC .41 DẠNG 1: XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM 41 DẠNG 2: HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT TẬP HỢP 43 DẠNG 3: CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM 45 PHẦN 3: ĐẠO HÀM 48 I QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM 48 II ĐẠO HÀM CẤP CAO 53 DẠNG 1: TÍNH ĐẠO HÀM CẤP CAO CỦA HÀM SỐ 53 DẠNG 2: TÌM ĐẠO HÀM CẤP N CỦA MỘT HÀM SỐ 54 DẠNG 3: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC 55 III PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL 57 PHẦN 4: PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 61 KĨ THUẬT LẬP PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẰNG MÁY TÍNH CASIO - VINACAL 69 PHẦN QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN 72 DẠNG 1: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC MẶT PHẲNG 72 DẠNG 2: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC ĐƯỜNG THẲNG 74 DẠNG 3: CHỨNG MINH MẶT PHẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG 75 DẠNG 4: KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG 78 CẤP ĐỘ 1: KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM Ở ĐÁY ĐẾN MẶT ĐỨNG 78 CẤP ĐỘ 2: KHOẢNG CÁCH TỪ CHÂN ĐƯỜNG CAO TỚI MẶT BÊN 81 CẤP ĐỘ 3: KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM KHÔNG PHẢI CHÂN ĐƯỜNG CAO TỚI MẶT BÊN (PP ĐỔI ĐIỂM) 84 DẠNG 5: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU 87 BÀI TOÁN TỔNG QUÁT BƯỚC TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ A ĐẾN B 90 DẠNG 6: GĨC TRONG KHƠNG GIAN 92 GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 92 GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG 94 TĨM TẮT GIÁO KHOA Ngun lý quy nạp tốn học: Giả sử P  n  mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n Nếu hai điều kiện  i   ii  thỏa mãn P  n  với n  m (m số tự nhiên cho trước) i  P  m   ii  Với số tự nhiên k  m, P  k  1 Phương pháp chứng minh dựa nguyên lý quy nạp toán học gọi phương pháp quy nạp toán học( hay gọi tắt phương pháp quy nạp) Phương pháp: Để chứng minh mệnh đề P  n  phụ thuộc vào số tự nhiên n với n  m (m số tự nhiên cho trước), ta thực theo hai bước sau: Bước 1: Chứng minh P  n  n  m Bước 2: Với k số tự nhiên tùy ý, k  m Giả sử P  n  n  k , ta chứng minh P  n  n  k  Theo nguyên lý quy nạp toán học, ta kết luận P  n  với số tự nhiên n  m CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Chứng minh với số nguyên n, ta có: a) 1.4  2.7    n  3n  1  n  n  1 b) n  n  3 1      1.2.3 2.3.4 n  n  1 n    n  1 n   a) 1.4  2.7    n  3n  1  n  n  1 (1) Với n = 1: Vế trái (1)  1.4  ; Vế phải (1)  1(1  1)  Suy Vế trái (1) = Vế phải (1) Vậy (1) với n = Giả sử (1) với n  k Có nghĩa ta có: 1.4  2.7    k  3k  1  k  k  1 Ta phải chứng minh (1) với n  k  Có nghĩa ta phải chứng minh: 1.4  2.7    k  3k  1   k  1 3k     k  1 k   2  2 Thật 1.4  2.7    k  3k  1   k  1 3k    k  k  1   k  1 3k     k  1 k   (đpcm)    k  k 1 2 Vậy (1) n  k  Do theo ngun lí quy nạp, (1) với số nguyên dương n b) n  n  3 1      (1) 1.2.3 2.3.4 n  n  1 n    n  1 n   Với n = 1: Vế trái (1)  1(1  3) 1  ; Vế phải (1)   1.2.3 4(1  1)(1  2) Suy Vế trái (1) = Vế phải (1) Vậy (1) với n = Giả sử (1) với n  k Có nghĩa ta có: k  k  3 1      1.2.3 2.3.4 k  k  1 k    k  1 k    2 Ta phải chứng minh (1) với n  k  Có nghĩa ta phải chứng minh:  k  1 k   1 1       1.2.3 2.3.4 k  k  1 k    k  1 k   k    k   k   Thật 1 1      1.2.3 2.3.4 k  k  1 k    k  1 k   k       2 k  k  3 4 k 1 k   k  k  3 1      k  k  3    k  1 k    k  1 k   k  3  k  1 k    k 3  k  1  k     k  1 k   (đpcm) k  6k  9k     k  1 k   k    k  1 k   k  3  k   k  3 Vậy (1) n  k  Do theo nguyên lí quy nạp, (1) với số nguyên dương n Ví dụ 2: Với số nguyên dương n, gọi u n  n  Chứng minh với số nguyên dương n un ln chia hết cho Ta có u1  91   chia hết cho (đúng) Giả sử uk  k  chia hết cho Ta cần chứng minh u k 1  k 1  chia hết cho Thật vậy, ta có uk 1  9k 1   9.9 k    9k  1   9uk  Vì 9uk chia hết cho 8, nên uk 1 chia hết cho Vậy với số nguyên dương n un chia hết cho Ví dụ 3: Chứng minh với số tự nhiên n  , ta ln có: n 1  2n  (*) Với n  ta có 2 1  2.2    (đúng) Vậy (*) với n  Giả sử với n  k , k  (*) đúng, có nghĩa ta có: k 1  k  (1) Ta phải chứng minh (*) với n  k  , có nghĩa ta phải chứng minh: k   2( k  1)  Thật vậy, nhân hai vế (1) với ta được: 2.2 k 1   2k    k   4k   2( k  1)  Vậy 2k   2( k  1)  (đúng) Do theo nguyên lí quy nạp, (*) với số nguyên dương n  un Phương pháp: n  Nếu u n có dạng u n  a1  a   a k   a n (kí hiệu u n   a k ) biến đổi ak thành hiệu hai số k 1 hạng, dựa vào thu gọn u n  Nếu dãy số  u n  cho hệ thức truy hồi, tính vài số hạng đầu dãy số ( chẳng hạn tính u1 , u , ), từ dự đốn cơng thức tính u n theo n, chứng minh công thức phương pháp quy nạp Ngồi tính hiệu u n 1  u n dựa vào để tìm cơng thức tính u n theo n n Ví dụ 1: Cho dãy số  an  Đặt un   ak Tính u1 , u2 , u3 , u4 xác định cơng thức tính un theo n k 1 trường hợp ak  k  k  1 1 1  ; u2  a1  a2    1.2 2 2.(2  1) 3 u3  a1  a2  a3  u2  a3    3(3  1) 4 u4  a1  a2  a3  a4  u3  a4    4.5 1   Ta có ak  , đó: k  k  1 k k  u1  a1  n 1 1   1 1 1  un   ak                 1 n 1  2  3  n 1 n   n n 1  k 1 u1  n  Ví dụ 2: Dãy số  un  xác định cộng thức:  un 1  un  n a) Tìm cơng thức số hạng tổng quát b) Tính số hạng thứ 100 dãy số a) Ta có: un 1  un  n3  un 1  un  n Từ suy ra: u1  u  u1  13 u3  u  23 u  u3  33 ………… un 1  un    n   un  un 1   n  1 3 Cộng vế n đẳng thức trên: u1  u2  u1  u3  u2   un 1  un   un  un 1   13  23  33    n     n  1 3  un   13  23  33    n     n  1 3 Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được: 13  23  33    n  1  Vậy un   b) u100   n2  n  1 1002.992  24502501  n  1 n2 Phương pháp: Cách 1: Xét dấu biểu thức u n 1  u n  Nếu n  N*,u n 1  u n   u n  dãy số tăng;  Nếu n  N*,u n 1  u n   u n  dãy số giảm Cách 2: Khi n  N*, u n  so sánh  Nếu u n 1 1 un  u n  dãy số tăng;  Nếu u n 1 1 un  u n  dãy số giảm un 1 un với Cách 3: Nếu dãy số  u n  cho hệ thức truy hồi ta sử dụng phương pháp chứng minh quy nạp để chứng minh u n 1  un (hoặc u n 1  un ) Chú ý:  Nếu k  N* : u k 1  u k dãy số  u n  khơng giảm  Nếu k  N* : u k 1  uk dãy số  u n  khơng tăng Ví dụ : Xét tính tăng giảm dãy số  un  biết: a) un  2 n a) un 1  un  b) un  n 1 n 1 c) un  (1) n  2n  1 1 1 1      2     n   * n 1 n(n  1) n  n 1 n Kết luận dãy số  un  dãy số giảm b) un  n 1  1 n 1 n 1 Ta có un 1  un   2  1   1     n   *  n   n   n  n  (n  1)(n  2) Kết luận dãy số  un  dãy số tăng c) un  (1) n  2n  1 Ta có u1  3, u2  5, u3  9 , từ suy dãy số  un  dãy không tăng khơng giảm 10 ́ ̣ BÀI TỐN GỐC SỐ 1: BÀI TỐN GỐC SỐ Cho hình chóp SABC, SA vng góc (ABC) Cho hình chóp SABC, SA vng góc (ABC) Tam giác ABC vuông B (hoặc C) Tam giác ABC khơng có góc vng B C Tìm khoảng cách từ A đến (SBC) Tìm khoảng cách từ A đến (SBC) S S Phương pháp: Phương pháp: (Giả sử tam giác ABC Kẻ AM vng góc BC vng B) Kẻ AH vng góc SM Kẻ AH vng góc SB H  d ( A;( SBC ))  AH H  d ( A; ( SBC ))  AH 1 C 1 A C A Co´  2 Co´  2 2 AH SA AM AH SA AB M SA AM SA AB  AH   AH  B B SA2  AM SA2  AB (Mẹo nhớ: Có góc vng, kẻ đường) (Mẹo nhớ: khơng có góc vng, kẻ đường, chất toán gốc số đưa toán gốc số 1) Chứng minh: Chứng minh:  Co´ BC  SA Co´ BC  SA   BC  ( SAB)   BC  ( SAM) BC  AB  BC  AM    Ma` AH  (SAB)  BC  AH  Ma` AH  (SAM)  BC  AH    AH  ( SBC )   AH  ( SBC ) Co´ AH  SB Co´ AH  SM     d ( A;( SBC ))  AH  d ( A;( SBC ))  AH Ví dụ Cho hình chóp S ABC có đáy ABC vng cân B , AB= a Cạnh bên SA  a vng góc với mặt đáy  ABC  Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC  A a B a C a D a Phân tích: Bài tốn hỏi khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC  1) A chân đường cao, (SBC) mặt bên -> CẤP ĐỘ 2) Tam giác ABC (đáy) có góc vng B -> BÀI TOÁN GỐC SỐ (kẻ đường) Kẻ AH vng góc SB S  d ( A; ( SBC ))  AH Co´ 1  2 AH SA AB  AH  SA AB SA  AB  H C A (calc x x  3; y  ) 81 B Ví dụ Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Cạnh bên SA  a vng góc với mặt đáy  ABC  Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC  A a 15 B a C a D a Phân tích: Bài tốn hỏi khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC  1) A chân đường cao, (SBC) mặt bên -> CẤP ĐỘ 2) Tam giác ABC (đáy) khơng có góc vng B C -> BÀI TOÁN GỐC SỐ (kẻ đường) Kẻ AM  BC => M trung điểm BC (t/c tam giác đều) AM  a S Kẻ AK vng góc SM   suy d A, SBC  AK SA AM Trong  SAM , có AK   K SA  AM  Vậy d A, SBC   AK   3a a 15  15 C A M a 15 B Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O cạnh a Cạnh bên SA  a vng góc với đáy  ABCD Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng SCD A a B a C a D a Phân tích: Bài toán hỏi khoảng cách từ A đến mặt phẳng SCD 1) A chân đường cao, (SCD) mặt bên -> CẤP ĐỘ 2) Tam giác ACD (đáy) có góc vng D -> BÀI TỐN GỐC SỐ (kẻ đường) S Do AB  CD nên d B, SCD  d A, SCD     Kẻ AE  SD E Khi d A, SCD  AE Trong tam giác vng SAD , ta có: AE  SA AD SA  AD    Vậy d B , SCD E a A D O a  AE  B C 3a ; hình chiếu vng góc d H ; SCD S  ABCD trùng với trung điểm H cạnh AB Khi đó, tỉ số bằng: a 3 3 A B C D 2 2 Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a ; SD   82  Phân tích: Bài tốn hỏi khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) 1) H chân đường cao, (SCD) mặt bên -> CẤP ĐỘ 2) Tam giác HCD (đáy) khơng góc vng C D -> BÀI TOÁN GỐC SỐ (kẻ đường) Kẻ HI  CD I  CD S Kẻ HK  SI K  SI     d H , SCD  HK  SH HI K SH  HI A S H a I ; SH  SD  HD  a B C d H , SCD SH HI a 2  d H , SCD     a SH  HI Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B với AB  BC  a, HD  AH  AD      AD  a Cạnh bên SA  a vng góc với mặt phẳng ABCD Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt   phẳng SCD 2a a B a C Gọi M trung điểm AD , suy ABCM hình vng AD Do CM  MA  nên tam gác ACD vuông C A D a Phân tích: Bài tốn hỏi khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SCD) 1) A chân đường cao, (SCD) mặt bên -> CẤP ĐỘ 2) Tam giác ACD (đáy) có góc vng C -> BÀI TOÁN GỐC SỐ (kẻ đường) S Kẻ AK  SC Khi đó: d A, SCD  AK  SA AC SA  AC  a K M A B 83 C D ́ ̣ ̉ ̉ ̉ ̉ Giả sử ta ta muốn dựng trực tiếp khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng P mà không thực Đồng thời từ điểm B ta lại dựng trực tiếp khoảng cách tới P ta thực tính khoảng cách gián tiếp PHƯƠNG PHÁP ĐỔI ĐIỂM Bài toán Giả sử điểm A chân đường cao Điểm B chân đường cao (P) mặt bên (nghiêng) Tìm khoảng cách từ B đến (P)? Phương pháp: Bước Ta tìm khoảng cách từ điểm A đến (P) Bước Nối A B Đổi điểm dựa vào loại sau LOẠI AB   P      d A, P  d B, P A    AI d B, P BI d A, P  B LOẠI AB   P  I  d ( B;( P ))  BI d ( A; ( P )) AI A P B I P Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB  a, AD  2a Cạnh bên SA vng góc với đáy, góc SD với đáy 60 Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng SBD theo a a A B 2a C a D a Phân tích: Bài tốn hỏi khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SCD) 1) C không chân đường cao, (SBD) mặt bên -> CẤP ĐỘ (ĐỔI ĐIỂM VỀ A) 2) Nối AC, ta thấy AC cắt (SBD) => LOẠI S Bước 1: Tìm khoảng cách từ chân đường cao đến (SBD) 600  SD ,  ABCD  SD, AD   SDA; SA  AD.tan  SDA  a       Ta có d C , SBD  d A, SBD  Kẻ AE  BD kẻ AK  SE Khi d A, SBD  AK Trong tam giác vuông BAD , ta có AE  AB AD  AB  AD  A 2a D E B 84 K C Trong tam giác vuông SAE , ta có AK  SA AE 2  a SA  AE Bước Đổi điểm C Ta nối A C thấy AC cắt B trung điểm I đường (Tính chất đường chéo) Theo công thức đổi điểm LOẠI 2: d ( A; ( P)) AI    d (C ; ( P ))  d ( A; ( P )) d (C ; ( P )) CI   Vậy d C , SBD  AK  a Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a , mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Khi đó, khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SCD  A a 21 B a 21 14 C a 21 D a 21 21 Phân tích: Bài tốn hỏi khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SCD) 1) A không chân đường cao, (SCD) mặt bên -> CẤP ĐỘ -> Đổi điểm H 2) Nối AH, ta thấy AH // (SCD) (Do AG//CD) -> CẤP ĐỘ 3: Loại Gọi H trung điểm AB  SH  a  AB //  SCD   d A ,  SCD   d H ,  SCD  Vì   H  AB Gọi K trung điểm CD  HK  a Kẻ HI  SK ,  I  SK      SH HK  Khi đó: d H ,  SCD   HI    SH  HK Nối AH, ta thấy AH // (SCD) (Do AG//CD) a 21 a 21  Chọn đáp án C Ví dụ Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình chữ nhật AD=2AB=2a SA vng góc với đáy Góc (SCD) (ABCD) 30o Gọi M trung điểm SB Tìm khoảng cách từ M đến (SCD)     Vậy d A ,  SCD   d H ,  SCD   A a 21 B a 21 14 C a D a 21 21 Phân tích: Bài tốn hỏi khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( SCD) 1) M không chân đường cao, (SCD) mặt bên -> CẤP ĐỘ -> Đổi điểm 2) Nối MA, ta biết AM cắt (SCD) hay AM//(SCD) 85 Ố la la Vậy tốn tìm khoảng cách từ điểm LƠ LỬNG ta đổi điểm lần Lần 1: Ta đổi M B (Loại 2: Do BM cắt (SCD) S) d ( M ;( SCD )) MS 1    d ( M ;( SCD))  d ( B; ( SCD ))  ??? d ( B;( SCD)) BS 2 Lần 2: Ta đổi B A (Loại 1: Do AB // (SCD) d ( B;( SCD ))  d ( A;( SCD))  ??? => Để tìm d ( M ;( SCD)) , ta phải tìm d ( A; ( SCD)) Bước 1: Tìm khoảng cách từ chân đường cao A đến (SCD) Phân tích: Bài tốn hỏi khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SCD) 1) A chân đường cao, (SCD) mặt bên -> CẤP ĐỘ 2) Tam giác ACD (đáy) có góc vng D -> BÀI TỐN GỐC SỐ (kẻ đường) Kẻ AH vng góc SD Khi d A, SBD  AH      SA AD SA2  AD  ??? Tìm SA: Ta có Góc (SCD ; ABCD) =  SDA =30o S (Nhắc lại Phương pháp tìm góc: từ chân đường cao A, kẻ đường vng góc vào H giao tuyến chung CD, sau nối lên đỉnh S)  SA  tan( SDA) AD  tan 30 o.2 a     d A, SCD  AH  SA AD SA2  AD M A a a B AB / /( SCD )      d B, SCD  A, SCD  a BM  ( SCD )  S  d ( M ; ( SCD )) MS 1 a    d ( M ; ( SCD ))  d ( B; ( SCD ))  d ( B; ( SCD )) BS 2 86 D C Định nghĩa  Đường thẳng d cắt hai đường thẳng chéo a b vng góc với đường thẳng gọi đường vng góc chung a b  Nếu đường vng góc chung d cắt hai đường thẳng chéo a b M , N độ dài đoạn thẳng MN khoảng cách hai đường thẳng chéo a b Phương pháp tính khoảng cách hai đường thẳng chéo d M a b N Cách 1: Dựng đường vng góc chung (nếu biết a b vng góc) Bước Xác định mặt phẳng P  chứa b mà P  vng góc a với a Bước Tìm giao điểm I  P  a Bước Kẻ IA  b  A  b , chứng minh IA  a Khi I b P A d a , b  IA Ví dụ Cho tứ diện ABCD có độ dài cạnh Tính khoảng cách hai đường thẳng AB CD A B C D Gọi M, N trung điểm AB, CD Ta có: ACD BCD tam giác  CD  AN , CD  BN  CD   ABN   CD  MN A AN   AB  MN M 2  d  AB, CD  MN  AN  AM  C B N D 87 Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB  a, AD  2a SA vng góc với mặt phẳng  ABCD SA  a Tính khoảng cách hai đường thẳng SB CD A a C a B 2a D a AB  BC    BC  SAB SA   ABCD  SA  BC     BC  SB    d SB, CD  BC  2a BC  CD   S A D B C Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O , cạnh Đường thẳng SO vng góc với mặt phẳng đáy  ABCD SO  Tính khoảng cách hai đường thẳng SA BD 30 A B C 2 D Ta có BD  SAC  Kẻ OK  SA S  d SA, BD  SO.OA SO  OA  30 K A D O B Cách 2: Dựng đường vng góc chung (tổng quát) Bước Xác định mặt phẳng P  chứa b song song với a mặt phẳng chứa a a ' , d đường thẳng qua N vng góc với P  , M  d  a Khi d a, b  MN M a Bước Gọi a ' hình chiếu a lên P  , N  a ' b , Q C d Q b P a' N Ví dụ Cho hình chóp S ABC có mặt bên SBC  tam giác cạnh a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng  ABC  Lấy điểm BAC  120 Tính M cạnh BC cho MC  MB Biết  khoảng cách hai đường thẳng SM AC a a A B 3 C a 88 D a 21 Kẻ AH  SM H  SM  S SB  SC  AB  AC  BC  AB  AB cos120 AB  SA  SB  AB  a a H a a AM  AB  MB  AB.MB.cos120   AM  BM  3  BAM   ABM  30  MAC  90 AM  AC    SA   ABC   SA  AC  AC  SAM   AC  AH  SA AM a   d  AC , SM   AH  2 21  SM  AH SA  AM A C M B Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a  ABC  60 Hai mặt phẳng SAC SBD vng góc với đáy ABCD , góc hai mặt phẳng SAB ABCD    30 Tính khoảng cách hai đường thẳng SA CD a a a A B C 4 Gọi O  AC  BD Kẻ OI  AB Gọi J  OI  CD Kẻ JH  SI CD  AB  CD  SAB    D  a S   d CD, SA  d CD, SAB  d J , SAB  JH SO   ABCD  SO  AB    AB  SOI  OI  AB   SIO  30 SAB,  ABCD  SI , OI    H A a a OI   IJ  2OI  D I O a a  d CD, SA  JH  IJ sin 30  4 B 89 C J Bước 1: Dựng ( P ) chứa b  a Vẽ d5 thỏa mãn điều:      Qua C Thuộc đáy Song song với a Cắt đườn thẳng đáy I Chú ý: Góc vng  ( P)  (b, d5 ) Bước 2: M  a; d (a, b)  d ( M , ( P )) + Mẫu + Đối đỉnh Ví dụ 6: Cho hình chóp S ABCD , SA  ( ABCD) , SA  a ABCD hình vng, AB  a, AC  BD  O Tính d ( SO, AB) ? Bước 1: Qua O vẽ d  AB, d  AD  I  ( AMI )  AM song song với AB Bước 2: A  AB, d ( SO, AB )  d ( A, ( SOI ))  AH Tính AH : 1 a     AH  AH a a a Ví dụ 7: Cho hình chóp S ABCD , SA  ( ABCD ), SA  2a , ABCD hình vng, AB  a Tính d ( SC , BD) ? Bước 1: Qua C vẽ d  BD, d  AB  I  ( AMI )  SC song song với BD Bước 2: O  BD, d ( SC , DB)  d (O, ( SCI )) CO d  O, ( SCI )  1    d  O, ( SCI )   d  A, ( SCI )   AH CA d  A, ( SCI )  2 Tính AH : 1 a     AH  AH 4a 2a 4a  d ( SC , BD )  a 3 90 Ví dụ [Đề THPT Quốc Gia 2018] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB  a , BC  2a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy SA  a Khoảng cách hai đường thẳng AC SB A 2a B 6a a C a D Chọn B Dựng điểm E cho ACBE hình bình hành, Khi đó: AC //EB  AC //  SBE   d  AC , SB   d  AC ,  SBE    d  A,  SBE   1 Kẻ AI  EB  I  EB  , kẻ AH  SI  H  SI   d  A,  SEB    AH   1 1    2  2 2 AI AB AE 4a a 4a 1 1       AH  a  3 Xét SAI , ta có: AH SA AI a 4a 4a 2a Từ 1 ,   ,  3 suy h  d  AC , SB   Tam giác ABE vuông 91 Định nghĩa Cho đường thẳng d mặt phẳng   Trường hợp đường thẳng d vng góc với mặt phẳng   ta nói góc d A đường thẳng d mặt phẳng   90 Trường hợp đường thẳng d khơng vng góc với mặt phẳng   góc d hình chiếu d '   gọi góc đường thẳng d mặt phẳng α d' H O   Nhận xét  Góc đường thẳng mặt phẳng không vượt 90 Cách xác định góc đường thẳng mặt phẳng  Bước 1: Tìm điểm chung đường thẳng mặt phẳng  Bước 2: Tìm hình chiếu đường thẳng lên mặt phẳng  Bước 3: Tính góc đường thẳng hình chiếu mặt phẳng Từ ta có cơng thức góc theo thứ tự: ĐỈNH – GIAO ĐIỂM – CHÂN ĐƯỜNG CAO ĐỈNH d A GIAO ĐIỂM d' H α O CHÂN ĐƯỜNG CAO Cách tính góc đường thẳng mặt phẳng  Dựng tam giác chứa góc sử dụng định lí hàm số cơsin: a  b  c  2bc cos A b  c  a  2ac cos B c  a  b  2ab cos C  Sử dụng hệ thức lượng tam giác vuông: 1 AB  BH BC; AC  CH BC 2 2 AB  AC  BC 3 AB AC  BC AH 4 AH  BH CH 5 AH  A B C H 1  AB AC Ví dụ Cho hình chóp S ABC có SAB tam giác cạnh a , ABC cân C Hình chiếu vng góc S xuống mặt  ABC  trung điểm AB Góc SC mặt đáy 30 Tính độ dài đoạn SC A a B a C 92 3a D a Gọi H trung điểm AB  SH   ABC   SH  HC S  SC ,  ABC   SC , CH    SCH  30  SH   a SH  SC  a sin SCH C A H B Ví dụ Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a , cạnh bên SA  a vng góc với đáy Tính sin góc đường thẳng SC với mặt phẳng SAB 85 51 B 10 17 Gọi M trung điểm AB   CM  AB   CM  SAB SA   ABC   SA  CM   A C D 15 10 S  SC , SAB  SC , SM    CSM   a a ; AM  AB  ; SC  SA2  AC  a 2 CM 15  sin SC , SAB  sin CSM   SC 10 M CM   N A  C Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , tâm O Cạnh bên SA  a vng góc với mặt đáy Tính tan góc SO mặt phẳng  ABCD A 2 B C D SA   ABCD  SO,  ABCD  SO, OA   SOA  AC  a  OA  a AC  2  tan SO,  ABCD  tan  SOA   S   SA 2 OA A B 93 D O C Để xác định góc hai mặt phẳng P Q , ta thực theo cách sau: Cách 1: Theo định nghĩa a  P  b  Q P , Q  a, b Q P a b Ví dụ Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Cạnh bên SA  a vng góc với mặt đáy  ABC  Tính sin góc hai mặt phẳng SBC  ABC  B Gọi M trung điểm BC  AM  BC AM  BC    BC  SAM   BC  SM BC  SA  A  C D S SMA SBC,  ABC  SM , AM    AM  a A SA  sin SMA   SM C M sin SBC  ,  ABC   B 2 SA  AM Ví dụ Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng A , AB  AC  a ; cạnh bên SA  a vng góc với đáy Tính cơsin góc hai mặt phẳng SAC SBC   SA B Gọi H trung điểm SC Tam giác SAC có SA  AC  a  AH  SC A C D S Tam giác SBC có SB  BC  a  BH  SC  H SAC, SBC    AH , BH  SC SA a BC a   ; BH   2 2 2 HA  HB  AB  cos SAC  , SBC   cos AHB   HA.HB AH    A C B Ví dụ Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a , chiều cao hình chóp mặt bên mặt đáy là: A 30 B 45 C 60 94 D 75 a Góc Gọi O tâm hình vng ABCD E trung điểm CD OE đường trung bình ACD OE  AD   a OE  AD   2 OE  AD  OE  CD    CD  SOE   CD  SE CD  SO   ABCD  SCD  CD  SE  CD, OE  CD  S A D E O B C SEO  ABCD , SCD  SE , OE   SO tan SEO     ABCD , SCD   SEO  60 OE  Cách 2: Khi xác định P  Q  c ta làm sau: P  Bước Tìm mặt phẳng R  c p  p  R  P  Bước Tìm  Khi P , Q   p, q q  R  Q P  p  c  P , Q  p, q Đặc biệt:      Q  q  c    q Q R   Ví dụ Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA   ABC  , SA  a Cơsin góc hai mặt phẳng SBC SAB bằng: 2 B 5 Gọi M trung điểm AB Kẻ MH  SB  CM  AB   CM  SAB SA   ABCD  SA  CM   CM  SB    SB  MHC   SB  CH SB  MH  A  C  S H  SAB , SBC   MH , CH    CHM A a AB a MH  d  A, SB  ; MC   2 CM tan BHD    cos SAB , SBC   cos CHM  MH  D  95 C M B ... c) .Có u k  122 88  u1 q k 1  122 88  3 .2 k 1  122 88  k 1  4096  21 2 b) Có Sn  3069  u1  k   12  k  13 Kết luận số 122 88 số hạng thứ 13 Ví dụ 5: Tính tổng sau: a) S n   2  23 ...  2u1  19d  14    10  2. (6)  19   4 12 5  Với d   u1  2 Số hạng thứ 20 : u20  u1  19d  2  19 .2  36 Tổng 20 số hạng đầu tiên: S 20  20  2u1  19d   10  2. ( 2)  19 .2. ..  2   4d     2d   16  Giải    : 20 d  96 d  1 12   d  Với d  14  d =2 14  u1  6 Số hạng thứ 20 : u20  u1  19d  6  19 Tổng 20 số hạng đầu tiên: S20  14 23 6  5 20