Đạo hàm và tiếp tuyến

Ngun ti liu : http://violet.vn/thpt-vinhchan-phutho Đạo hàm Dạng 1: Xét tính khả vi tại một điểm Bài 1. Cho f(x)= x(x-1)(x-2) .(x-1994). Tính f'(0). Bài 2. Cho f(x)= x(x+1)(x+2) .(x+2007). Tính f'(-1000). Bài 3. Cho = = 0x nếu0 0 x x 2 sin (x)g . Tính g'(0). Bài 4. Cho = = 0nếu x 0 1 x và0, x x11 f(x) x và = = 0x nếu 0 0x x cosx1 g(x) , a. Xét tính liên tục của f(x), g(x) tại x=0; b. Xét tính khả vi của f(x), g(x) tại x=0. Bài 5. Cho 2)( += xxxf . Tính đạo hàm của f(x) tại x=0. Bài 6. Cho x x xf + = 1 )( . Tính đạo hàm của f(x) tại x=0. Bài 7. Cho hàm số 13 32 2 + = x xx y . CMR: f(x) liên tục tại x=-3 nhng không tồn tại đạo hàm tại x= -3 Bài 8. Cho = = 0x nếu 0 0 x f(x) 1 sinx và = = 0x nếu 0 0x x 1 g(x) sin 2 x a. Xét tính liên tục của f(x), g(x) tại x=0; b. Xét tính khả vi của f(x), g(x) tại x=0. Bài 9. Cho hàm số = = 0x nếu 0 0x x 1 f(x) sin n x . Xác định n sao cho: a. f(x) liên tục tại x=0. b. f(x) có đạo hàm tại x=0. c. f(x) có đạo hàm liên tục tại x=0. Bài 10. CMR: Đạo hàm của một hàm số chẵn là hàm số lẻ còn đạo hàm của một hàm số lẻ là một hàm số chẵn. Bài 11. CMR: Nếu y= f(x) là hàm tuần hoàn và khả vi trên R thì f(x) cũng là hàm tuần hoàn. Dạng 2: Lập công thức đạo hàm Bài 1. Sử dụng định nghĩa tính đạo hàm của y=tgx Bài 2. Sử dụng định nghĩa tính đạo hàm của y=cotgx Bài 3. Sử dụng định nghĩa tính đạo hàm của 3 xy = duchoa_7804@yahoo.com 1 Ngun ti liu : http://violet.vn/thpt-vinhchan-phutho Dạng 3: Tìm điều kiện để hàm số tồn tại đạo hàm tại x o . Bài 1. Cho + > + = 0 x1ax 2 x 0x x 1)e(x f(x) .Tìm a để f(x) tồn tại đạo hàm tại x= 0. Bài 2. Cho >++ + = 0 x 1 b ax 0 x bsinx acosx f(x) .Tìm a, b để f(x) tồn tại f'(0). Bài 3. Cho <+ + = 1- xbx 2 x 1- xa 2 x- f(x) . Tìm a, b để f(x) tồn tại f'(-1). Bài 4. Cho [ ] >++ = 1;2,2 1, )( 2 2 xx xbaxx xf . Tìm a, b để hàm số tồn tại đạo hàm tại x=1 Dang 4: Tính đạo hàm bằng công thức Tính đạo hàm cấp một của các hàm số sau y=cos 2 (x 2 -2x+2); y=|x 2 -5x+6|. y=(2-x 2 )cosx+2xsinx. Dạng 5: Tính đạo hàm bằng công thức và định nghĩa Bài 1: Cho x1 x f(x)và)xln(1xF(x) + =+= . CMR: F'(x)= f(x). Dạng 6: Đạo hàm cấp cao 1 Bài 1: Tìm đạo hàm cấp n của các hàm số sau: a) )0(, 1 + = a bax y b) dcx bax y + + = c) x x y = 1 2 d) 23 35 2 + = xx x y e) 3 1 x x y + = f) 65 472 2 2 = xx xx y g) 12 23 2 2 + + = xx xx y . f) 32 2035 2 2 = xx xx y Bài 2: Tìm đạo hàm cấp n của các hàm số sau: a. y=sinax b. y= cosax c. y= sin 4 x- cos 4 x. d. y= sin2xcos5x Tiếp tuyến I. Ba bài toán cơ bản về tiếp tuyến 1. Viết phơng trình tiếp tuyến tại một điểm. Bài 1. Cho (C m ): y= x 3 +mx 2 -m-1. Viết phơng trình tiếp tuyến của (C m ) tại các điểm cố định của (C m ). Bài 2. Cho (C) y=x 3 +1-k(x+1).Viết phơng trình tiếp tuyến (d) tại giao điểm của (C) với Oy. Tìm k để (d) chắn trên hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8. Bài 3. Cho (C):y=-x 4 +2x 2 . Viết phơng trình tiếp tuyến tại A( 2 ; 0). duchoa_7804@yahoo.com 2 Ngun ti liu : http://violet.vn/thpt-vinhchan-phutho Bài 4. Cho (C): 4 9 2 4 1 24 = xxy . Viết phơng trình tiếp tuyến tại giao điểm của (C) với Ox. Bài 5. Cho (C): 3 1 + = x x y . Tìm tọa độ các giao điểm của các tiếp tuyến vuông góc với (d): y=x+ 2009 Bài 6. Cho (C): 1 22 2 + ++ = x xx y . a. Điểm A thuộc (C) với x A =a. Viết phơng trình tiếp tuyến (d a ) tại A. b. Tìm a để (d a ) đi qua B(1;0). CMR: có hai giá trị của a thỏa mãn yêu cầu bài toán và hai tiếp tuyến tơng ứng vuông góc nhau. Bài 7. Cho đồ thị (C): 2 212 xxy ++= . Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với đờng thẳng: y=- 1. 2. Viết phơng trình tiếp biết tiếp tuyến đi qua một điểm cho trớc. Bài 1. Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A 4; 12 19 đến (C): y=2x 3 -3x 2 +5. Bài 2. Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A 2; 9 23 đến (C): y=x 3 -3x 2 +2. Bài 3. Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A 1; 3 2 đến (C): y=x 3 -3x+1. Bài 4. Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A(2; 0) đến (C): y=x 3 -x-6. Bài 5. Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A(3; 0) đến (C): y=-x 3 +9x Bài 6. Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A(0;-1) đến (C): y=2x 3 +3x 2 -1. Bài 7. Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A(-1;2) đến (C): y=x 3 -3x 2 +2. Bài 8. Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A(-1;-2) đến (C): y=x 3 -3x 2 +2. Bài 9. Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A(-1;2) đến (C): y=x 3 -3x Bài 10.Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A(1;-1) đến (C): y=2x 3 +3x 2 -1. Bài 11.Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A(1;3) đến (C): y=3x-4x 3 . Bài 12. Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A(1; 4 5 ) đến (C): 1 1 2 + ++ = x xx y . Bài 13. Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A(-1;0) đến (C): 1 1 2 + ++ = x xx y . Bài 14. Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A(1;0) đến (C): 1 22 2 + ++ = x xx y . 3. Viết phơng trình tiếp tuyến biết hệ số góc Bài 1. Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y=x 3 -3x 2 , biết tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng: mxy += 3 1 . Bài 2. Cho (C): y=x 3 -3x+7. a. Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đờng thẳng:y=6x-1 b. Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng: 2 9 1 += xy . c. Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến tạo với đờng thẳng: y=2x+3 một góc 45 0 . Bài 3. Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y=-x 3 +3x biết tiếp tuyến song song với đờng thẳng: y=-9x+1. Bài 4. Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y=x 3 -3x 2 +2, biết tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng: 5y-3x+4=0. Bài 5. Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y=x 3 -3x 2 +2, biết tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng: xy 3 1 = . Bài 6. Cho đồ thị (C): y=2x 3 -3x 2 - 12x- 5. a. Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đờng thẳng:y=6x-4 duchoa_7804@yahoo.com 3 Ngun ti liu : http://violet.vn/thpt-vinhchan-phutho b. Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng: 2 3 1 += xy . c. Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến tạo với đờng thẳng: 2 2 1 += xy một góc 45 0 . Bài 7. Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C): 42 3 1 23 += xxxy a. Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) có hệ số góc k=-2. b. Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tạo với chiều dơng Ox một góc 60 0 . c. Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tạo với chiều dơng Ox một góc 15 0 . d.Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tạo với Ox một góc 75 0 . e.Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng: y=-x+2 f. Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng: y= 2x-3. g. Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tạo với đờng thẳng y=3x+7 một góc 45 0 . h. Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tạo với đờng thẳng 3 2 1 += xy một góc 30 0 . Bài 8. Cho đồ thị (C): 56 2 += xxy . Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đờng thẳng y=2x-1 Bài 9. Viết phơng trình tiếp tuyến của (C): 1 1 2 + = x xx y song song với đờng thẳng y=-x. II. Các dạng toán liên quan đến tiếp tuyến 1. Các dạng toán liên quan đến bài toán cơ bản 1 Dạng 1: Cho hàm số y= ax 3 + bx 2 +cx+ d (C). Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M cắt (C) tại một điểm. Bài 1. Cho A(x 0 ;y 0 ) thuộc đồ thị (C): y=x 3 -3x+1. Tiếp tuyến với (C)tại A cắt đồ thị tại điểm B khác A.Tìm tọa độ điểm B. Bài 2. Giả sử ba điểm A, B, C thẳng hàng và cùng thuộc đồ thị (C) y=x 3 - 3x-2. Các tiếp tuyến của (C) tại A, B, C cắt đồ thị (C) tại các điểm A 1 , B 1 , C 1 . Chứng minh rằng A 1 , B 1 , C 1 thẳng hàng. Bài 3. Giả sử ba điểm A, B, C thẳng hàng và cùng thuộc đồ thị (C) y=ax 3 + bx 2 +cx+d. Các tiếp tuyến của (C) tại A, B, C cắt đồ thị (C) tại các điểm A 1 , B 1 , C 1 . Chứng minh rằng A 1 , B 1 , C 1 thẳng hàng Dạng 2: Cho hàm số y=ax 4 +bx 2 + c (C). Gọi (d) là tiếp tuyến bất kỳ của (C) tại M. 1) Tìm M để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt P, Q khác M. 2) Gọi I là một điểm liên quan đến P, Q. Tìm quỹ tích điểm I Bài 1. Cho (C): 2 5 3 2 1 24 += xxy a. Gọi (t) là tiếp của (C) tại M với x M =a. CMR: Hoành độ các giao điểm của (t) với (C) là nghiệm của phơng trình: (x- a) 2 (x 2 +2ax+3a 2 -6)=0 b. Tìm a để (t) cắt (C) tại P, Q phân biệt khác M. Tìm quỹ tích trung điểm I của PQ. Bài 2. Cho (C): y=x 4 -2x 2 . Gọi (d) là tiếp tuyến bất kỳ của (C) tại M thuộc (C). Tìm M để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt P, Q khác M khi đó tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác OPQ Dạng 3: Cho (H): 0 xx bax y + = hoặc 0 2 xx cbxax y ++ = . Gọi d 1 , d 2 là hai tiệm cân của (H), d là tiếp tuyến bất kỳ của (H) tại M.A,B là giao điểm của d với d 1 ,d 2 và I là giao điểm của d 1 và d 2 . 1) CMR: M là trung điểm của A, B 2) CMR diện tích tam giác IAB= const. 3) Tìm M sao cho chu vi tam giác IAB nhỏ nhất. Bài 1. Cho (C): 32 54 + = x x y và điểm M thuộc (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A,B. a. CMR: M là trung điểm của A, B b. CMR diện tích tam giác IAB= const. c. Tìm M sao cho chu vi tam giác IAB nhỏ nhất. duchoa_7804@yahoo.com 4 Ngun ti liu : http://violet.vn/thpt-vinhchan-phutho Bài 2. Cho (C): 3 13 + = x x y và điểm M thuộc (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A,B. a. CMR: M là trung điểm của A, B b. CMR diện tích tam giác IAB không đổi. c. Tìm M sao cho chu vi tam giác IAB nhỏ nhất. Bài 3. Cho (C): 22 43 2 + = x xx y và điểm M thuộc (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A,B. a. CMR: M là trung điểm của A, B b. CMR diện tích tam giác IAB không đổi. c. Tìm M sao cho chu vi tam giác IAB nhỏ nhất. Bài 4. Cho (C): 2 52 2 + + = x xx y và điểm M thuộc (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A,B. a. CMR: M là trung điểm của A, B b. CMR diện tích tam giác IAB= const. c. Tìm M sao cho chu vi tam giác IAB nhỏ nhất. 2. Các bài toán liên quan đến bài toán 2 Dạng 1: Cho hàm số y= ax 3 + bx 2 +cx+ d (C). Tìm điểm M thuộc (C) sao cho từ M kẻ đợc p tiếp tuyến đến (C). Bài 1. Cho (C): y=x 3 -3x 2 +2. Có bao nhiêu tiếp tuyến đi qua M nằm trên đồ thị (C). Bài 2. Cho (C): y=x 3 + ax 2 +bx+c. Tìm các điểm M thuộc (C) để kẻ đúng đợc một tiếp tuyến đến đồ thị. Dạng 2: Cho hàm số y= ax 3 + bx 2 +cx+ d (C) và đờng thẳng d: += xy . Tìm M thuộc d sao cho từ M kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc nhau. Bài 1. Cho (C): y=x 3 -3x 2 +2. Tìm trên đờng thẳng y=-2 các điểm kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc nhau. Bài 2. Cho (C): y=x 3 -12x+12. Tìm trên đờng thẳng: y=-4 các điểm có thể kẻ đợc 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C). Bài 3. Cho (C): y=x 3 -6x 2 +9x-1. Từ một điểm bất kỳ thuộc đờng thẳng x=2 kẻ đợc bao nhiêu tiếp tuyến đến (C). Bài 4. Tìm tất cả các điểm trên trục hoành mà từ đó kẻ đợc ba tiếp tuyến đến đồ thị (C):y=x 3 +3x 2 trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc nhau. Bài 5. Cho (C): y=-x 3 +3x 2 -2. Tìm trên đờng thẳng: y=2 các điểm có thể kẻ đợc 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C). Bài 6. Cho (C): y=x 3 -3x. Tìm trên đờng thẳng: x=2 các điểm có thể kẻ đợc 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C). Bài 7. Cho (C): y=x 3 -3x. Tìm trên đờng thẳng: y=2 các điểm có thể kẻ đợc 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C). Dạng 3: Cho (H): 0 xx bax y + = hoặc 0 2 xx cbxax y ++ = và d: += xy . Tìm M thuộc (d) sao cho từ M kẻ đợc hai tiếp tuyến tạo với nhau một góc Bài 1. Tìm trên đờng thẳng x=1 các điểm kẻ đợc hai tiếp tuyến vuông góc nhau đến (C): x xx y 23 2 + = . Bài 2. Cho (C): 1 2 = x x y . Tìm trên đờng thẳng y=4 các điểm kẻ đợc hai tiếp tuyến tạo với nhau một góc 45 0 . Bài 3. Cho (C): 1 12 2 + = x xx y . Tìm trên đờng thẳng y=7 các điểm kẻ đợc hai tiếp tuyến tạo với nhau một góc 45 0 Bài 4. Cho (C): 1 2 2 ++ = x xx y . Tìm các điểm A thuộc Ox kẻ đợc đúng một tiếp tuyến đến đồ thị. Bài 5. Cho (C): 1 1 2 + = x xx y . Tìm các điểm A thuộc Oy kẻ đợc hai tiếp tuyến đến đồ thị. duchoa_7804@yahoo.com 5 Ngun ti liu : http://violet.vn/thpt-vinhchan-phutho Bài 6. Cho (C): 2 2 2 + + = x xx y . Tìm các điểm A thuộc Ox kẻ đợc hai tiếp tuyến đến đồ thị. Bài 7. Cho (C): 1 33 2 + ++ = x xx y . Tìm các điểm A thuộc Oy kẻ đợc ít nhất một tiếp tuyến đến đồ thị (C). Dạng 4: Cho (H): 0 xx bax y + = hoặc 0 2 xx cbxax y ++ = . Tìm quỹ tích các điểm trong mặt phẳng tọa độ mà từ đó kẻ đợc hai tiếp tuyến vuông góc nhau đến (H) Bài 1. Cho (C): 1 2 = x x y . Tìm quỹ tích các điểm trên mặt phẳng tọa độ kẻ đợc hai tiếp tuyến vuông góc nhau đến (C) Bài 2. Cho (C): 1 22 2 + = x xx y . Tìm quỹ tích các điểm trên mặt phẳng tọa độ kẻ đợc hai tiếp tuyến vuông góc nhau đến (C) Bài 3. Cho (C): 2 33 2 + ++ = x xx y . Tìm quỹ tích các điểm trên mặt phẳng tọa độ kẻ đợc hai tiếp tuyến vuông góc nhau đến (C) 3. Các dạng toán liên quan đến hệ số góc Dạng 1: Cho (C): y= f(x) và đờng thẳng d: += xy . Tìm điều kiện để d cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt sao cho tiếp tuyến của (C) tại A, B vuông góc nhau. Bài 1. Cho (C m ) :y=f(x)= x 3 + 3x 2 +mx +1 a. Tìm m để (C m ) cắt đờng thẳng y=1 tai ba điểm phân biệt C(0; 1), D, E. b. Tìm m để các tiếp tuyến của (C m ) tại D, E vuông góc nhau. Bài 2. Cho (C m ) :y=f(x)= x 3 + mx 2 +1 a. Tìm m để (C m ) cắt đờng thẳng y=-x+1 tai ba điểm phân biệt C(0; 1), D, E. b. Tìm m để các tiếp tuyến của (C m ) tại D, E vuông góc nhau Bài 3. Cho hàm số (C): y= x 3 - 3x. a. CMR: Đờng thẳng d m : y= m(x+ 1)+ 2 luôn cắt đồ thị (C) tại A cố định. b. Tìm m để d m cắt (C) tại A, B, C phân biệt sao cho các tiếp tuyến tại B, C vuông góc với nhau Bài 4. Cho (C):y=-x 4 +2mx 2 -2m+1. Tìm m để các tiếp tuyến với đồ thị tại A(1;0), B(-1; 0) vuông góc nhau. Bài 5. Cho (C m ): mx mmxx y + + = 2 2 . a. CMR: Nếu (C m ) cắt trục hoành tại x=x 0 thì tiếp tuyến của (C m ) tại điểm có hoành độ x 0 có hệ số góc là mx mx k + = 0 0 0 22 . b. Tìm m để (C m ) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và tiếp tuyến tại hai điểm đó vuông góc nhau. Dạng 2: Cho hàm số y= f(x) (C). Tìm M thuộc (C) sao cho: 1) Tiếp tuyến của (C) tại M song song với đờng thẳng d: += xy . 2) Tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đờng thẳng d: += xy . 3) Tiếp tuyến của (C) tại M tạo với đờng thẳng d: += xy một góc 4) Tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc nhỏ nhất hoặc lớn nhất. Bài 1. Tìm các điểm trên đồ thị (C): 3 2 3 1 3 += xxy mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đờng thằng 3 2 3 1 += xy (NN- 2001). Bài 2. Cho (C): y=x 3 +3x 2 -9x+5. Tìm tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất. Bài 3. Cho (C): 1 3 1 23 += mxmxxy . Tìm tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất. duchoa_7804@yahoo.com 6 Ngun ti liu : http://violet.vn/thpt-vinhchan-phutho Bài 4. Cho (C): y=x 3 +3x 2 -9x+3. CMR: trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị (C), tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất. Bài 5. Cho (C): y=ax 3 +bx 2 +cx+d. CMR: trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị (C), tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất nếu a> 0 và lớn nhất nếu a< 0. Bài 6. Tìm M thuộc (C): y=2x 3 +3x 2 -12x-1 sao cho tiếp tuyến của (C) tại M đi qua gốc tọa độ. Bài 7. Tìm điểm M thuộc (C): 1 1 2 ++ = x xx y để tiếp tuyến của (C) tại M cắt Ox, Oy tại A, B sao cho tam giác OAB vuông cân. Dạng 3: Cho hàm số y= f(x), (C). 1. CMR: Tồn tại vô số các cặp điểm trên (C) mà tại đó tiếp tuyến của (C) song song với nhau. 2. CMR: Tồn tại vô số các cặp điểm trên (C) mà tại đó tiếp tuyến của (C) vuông góc với nhau. Bài 1. Cho (C): y=x 3 +3x 2 +3x+5. a. CMR :Không tồn tại hai điểm nào thuộc (C) để hai tiếp tuyến tại đó vuông góc với nhau. b. Tìm k để trên (C) luôn có ít nhất một điểm sao cho tiếp tuyến tại điểm này vuông góc với đờng thẳng: y=kx+ m. Bài 2. Cho đồ thị (C): y=x 3 - 3x 2 +1. CMR trên (C) có vô số các cặp điểm mà tiếp tuyến tại từng cặp điểm đó song song với nhau đồng thời các đờng thẳng nối các cặp điểm này đòng quy tại một điểm cố định. Bài 3. Cho đồ thị (C): y=ax 3 +bx 2 +cx+d. CMR trên (C) có vô số các cặp điểm mà tiếp tuyến tại từng cặp điểm đó song song với nhau đồng thời các đờng thẳng nối các cặp điểm này đòng quy tại một điểm cố định. Bài 4. Cho (C): 158 3 1 23 ++= xxxy . Lấy điểm A bất kỳ thuộc phần đồ thị (C) nằm giữa hai điểm cực đại và cực tiểu. CMR: Luôn tìm đợc hai điểm B 1 , B 2 thuộc (C) sao cho các tiếp tuyến của (C) tại B 1 , B 2 vuông góc với tiếp tuyến tại A. Dạng 4: Một số dạng khác Bài 1. Cho đồ thị (C): y=-x 4 +2x 2 -1. Tìm tất cả các điểm A(0;a) thuộc Oy mà từ đó kẻ đợc ba tiếp tuyến đến đồ thị (C). Bài 2. Cho đồ thị (C): y=x 4 -x 2 +1. Tìm tất cả các điểm thuộc Oy mà từ đó kẻ đợc ba tiếp tuyến đến đồ thị (C). Bài 3. Cho (C): y= x 4 -4x 3 +3. Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) mà tiếp xúc với (C) tại hai điểm phân biệt Các bài toán về Tiếp tuyến 1)- tiếp tuyến của đa thức bậc ba Dạng 1 Phơng trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị BT1 (ĐHQG TPHCM 1996) Cho (C m ) 1)( 23 ++== mxxxfy Tìm m để (C m ) cắt đờng thẳng y=-x+1 tại 3 điểm phân biệt A(0,1) , B, C sao cho tiếp tuyến với (C m ) tại B và C vuông góc với nhau BT2 (HVCNBCVT 2001) Cho hàm số (C) xxxfy 3)( 3 == 1) CMR đờng thẳng (d m ) y=m(x+1) + 2 luôn cắt (C ) tại điểm A cố định 2) Tìm m để (d m ) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A , B, C sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại B và C vuông góc với nhau BT3 (ĐH Ngoại Ngữ HN 2001) Cho (C) 3 2 3 1 )( 3 +== xxxfy . Tìm các điểm trên (C) mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đờng thẳng 3 2 3 1 += xy BT4 Cho hàm số (C) 13)( 23 +== xxxfy CMR trên (C) có vô số các cặp điểm mà tiếp tuyến tại từng cặp điểm đó song song với nhau đồng thời các đờng thẳng nối các cặp tiếp điểm này đồng qui tại một điểm cố định BT5 duchoa_7804@yahoo.com 7 Ngun ti liu : http://violet.vn/thpt-vinhchan-phutho Cho hàm số (C) ) 0 # (a )( 23 dcxbxaxxfy +++== CMR trên (C) có vô số các cặp điểm mà tiếp tuyến tại từng cặp điểm đó song song với nhau đồng thời các đờng thẳng nối các cặp tiếp điểm này đồng qui tại một điểm cố định BT6 (ĐH Ngoại Th ơng TPHCM 1998 ) Cho hàm số (C) 593)( 23 ++== xxxxfy Tìm tiếp tuyến với đồ thị ( C ) có hệ số góc nhỏ nhất BT7 (HV QHQT 2001) Cho (C) 1 3 1 )( 23 +== mxmxxxfy Tìm tiếp tuyến với đồ thị ( C ) có hệ số góc nhỏ nhất BT8 (HV CNBCVT 1999 ) Giả sử A,B,C thẳng hàng và cùng thuộc đồ thị (C ) 23)( 3 == xxxfy Các tiếp tuyến với (C ) tại A,B,C cắt đồ thị (C) tại A 1 ,B 1 ,C 1 CMR Ba điểm A 1 ,B 1 ,C 1 thảng hàng BT9 Cho += += 8652:)( 474:)( 23 2 23 1 xxxyC xxxyC Viết phơng trình tiếp tuyến của (C 1 ) , (C 2 ) tại các giao điểm chung của (C 1 ) và (C 2 ) BT10 (ĐH KTQDHN 1998 ) CMR trong tất cả các tiếp tuyến của (C) 393)( 23 ++== xxxxfy thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất BT11 (HV Quân 1997 ) Cho (C) )1(1)( 3 ++== xkxxfy , a. Viết phơng trình tiếp tuyến (d) tại giao điểm của (C) với Oy b. Tìm k để (d) chắn trên Ox, Oy một tam giác có diện tích bằng 8. BT12 (ĐH An Ninh 2000 ) Cho (C) 1)( 23 +== mmxxxfy , a. Viết phơng trình tiếp tuyến (t) tại các điểm cố định mà họ (C) đi qua b. Tìm quỹ tích giao điểm của các tiếp tuyến đó BT13 (ĐH Công Đoàn 2001 ) Tìm điểm M thuộc (C) 11232 23 += xxxy sao cho tiếp tuyến của (C ) tại điểm M đi qua gốc toạ độ Dạng 2 Viết phơng tiếp tuyến trình theo hệ số góc cho trớc BT1 Cho (C) 73)( 3 +== xxxfy , 1) Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến này song song với y= 6x-1 2) Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với 2 9 1 += xy 3) Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến tạo với y=2x+3 góc 45 0 BT2(ĐH Mỹ Thuật Công nghiệp HN 1999) ho (C) xxxfy 3)( 3 +== , Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến này song song với y= - 9.x + 1 BT3(ĐH Mở TPHCM 1999) Cho (C) 23)( 23 +== xxxfy , Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với 5.y-3x+4=0 duchoa_7804@yahoo.com 8 Nguồn tài liệu : http://violet.vn/thpt-vinhchan-phutho BT4 Cho (C) 51232)( 23 −−−== xxxxfy , 1)ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi (C) biÕt tiÕp tuyÕn nµy song song víi y= 6x-4 2)ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi (C) biÕt tiÕp tuyÕn vu«ng gãc víi 2 3 1 +−= xy 3)ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi (C) biÕt tiÕp tuyÕn t¹o víi 5 2 1 +−= xy gãc 45 0 BT5 Cho (C) 42 3 1 23 −+−= xxxy , 1)ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cã hÖ sè gãc k =-2 2)ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn t¹o víi chiÒu d¬ng Ox gãc 60 0 3)ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn t¹o víi chiÒu d¬ng Ox gãc 15 0 4)ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn t¹o víi trôc hoµnh gãc 75 0 5)ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn t¹o víi ®êng th¼ng y=3x+7 gãc 45 0 6)ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn t¹o víi ®êng th¼ng 3 2 1 +−= xy gãc 30 0 D¹ng 3 Ph¬ng tiÕp tuyÕn ®i qua mét ®iÓm cho tríc ®Õn ®å thÞ BT1 ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn ®i qua       − 1; 3 2 A ®Õn 13 3 +−= xxy BT2(§H Tæng Hîp HN 1994) ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn ®i qua A(2;0) ®Õn 6 3 −−= xxy BT3(§H Y Th¸i B×nh 2001) ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn ®i qua A(3;0) ®Õn xxy 9 3 +−= BT4(§H An Ninh 1998) ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn ®i qua A(-1;2) ®Õn xxy 3 3 −= BT5(HV Ng©n Hµng TPHCM 1998) ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn ®i qua A(1;3) ®Õn 3 43 xxy −= BT6 (HC BCVT TPHCM 1999) Cho (C) 23)( 23 −+−== xxxfy . T×m c¸c ®iÓm trªn (C) ®Ó kÎ ®îc ®óng mét tiÕp tuyÕn tíi ®å thÞ (C) BT7 (§H D îc 1996) Cho (C) cbxaxxxfy +++== 23 )( . T×m c¸c ®iÓm trªn (C) ®Ó kÎ ®îc ®óng mét tiÕp tuyÕn tíi ®å thÞ (C) BT8 (§H Ngo¹i Ng÷ 1998) Cã bao nhiªu tiÕp tuyÕn ®i qua       3 4 ; 9 4 A ®Õn ®å thÞ (C) 432 3 1 23 ++−= xxxy BT9 (Ph©n ViÖn B¸o ChÝ 2001) Cã bao nhiªu tiÕp tuyÕn ®i qua A(1;-4) ®Õn ®å thÞ (C) 532 23 −+= xxy BT10 T×m trªn ®êng th¼ng y=2 c¸c ®iÓm kÎ ®îc 3 tiÕp tuyÕn ®Õn ®å thÞ (C) 23 23 −+−= xxy BT11( §H QG TPHCM 1999) T×m trªn ®êng th¼ng x=2 c¸c ®iÓm kÎ ®îc 3 tiÕp tuyÕn ®Õn ®å thÞ (C) 23 3xxy −= BT12( §H N«ng L©m 2001) duchoa_7804@yahoo.com 9 Ngun ti liu : http://violet.vn/thpt-vinhchan-phutho Tìm tất cả các điểm trên trục hoành mà từ kẻ đợc 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C) 23 3xxy += trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau 2)- tiếp tuyến của đa thức bậc bốn BT1 (ĐH Huế khối D 1998) Cho (C m ) 122)( 24 ++== mmxxxfy Tìm m để các tiếp tuyến với đồ thị tại A(1;0), B(-1;0) vuông góc với nhau BT2 Cho (C m ) 2 5 3 2 1 )( 24 +== xxxfy 1)Gọi (t) là tiếp tuyến của (C) tại M với x M = a . CMR hoành độ các giao điểm của (t) với (C) là nghiệm của phơng trình ( ) ( ) 0632 22 2 =++ aaxax 2)Tìm a để (t) cắt (C) tại P,Q phân biệt khác M Tìm quỹ tích trung điểm K của PQ BT3 (ĐH Thái Nguyên 2001) Cho đồ thị (C) 24 2xxy += .Viết phơng trình tiếp tuyến tại ( ) 0;2A BT4(ĐH Ngoại Ngữ 1999) Cho đồ thị (C) 4 9 2 4 1 24 = xxy .Viết phơng trình tiếp tuyến tại các giao điểm của (C) với Ox BT5 Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) 5 2 1 3 1 4 1 234 ++= xxxxy song song với đờng thẳng y=2x-1 BT6 Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) 142 24 += xxxy vuông góc với đờng thẳng 3 4 1 += xy BT7 Cho đồ thị (C) 73 2 1 234 += xxxy . Tìm m để đồ thị (C) luôn luôn có ít nhất 2 tiếp tuyến song song với đờng thẳng y=m.x BT8 Cho đồ thị (C m ) 1 24 += mmxxy . Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại A song song với đờng thẳng y=2.x với A là điểm cố định có hoành độ dơng của (C m ) BT9 Cho (C) 24 2 1 2 1 )( xxxfy == Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua điểm O(0;0) đến đồ thị (C) BT10 (ĐH KT 1997) Cho (C) 22 )2()( xxfy == Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua điểm A(0;4) đến đồ thị (C) BT11 Cho (C) 2 3 3 2 1 )( 24 +== xxxfy Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua điểm 2 3 ;0A đến đồ thị (C) BT12 Cho (C) 12)( 24 +== xxxfy Tìm tất cả các điểm thuộc Oy kẻ đợc 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C) 3)- tiếp tuyến của hàm phân thức bậc nhất/bậc nhất Dạng 1 Phơng trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị BT1(HVBCVT 1998) duchoa_7804@yahoo.com 10 [...]... y= -2x 5x 4 BT2 Cho đồ thị (C) y = 4x 3 Viết phơng trình tiếp tuyến tạo với đờng thẳng (d) y= 3x góc 45 0 x 1 BT3 3x 7 Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) khi biết 2x + 5 1 1 )Tiếp tuyến song song với đờng thẳng y = x + 1 2 Cho đồ thị (C) y = 2 )Tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng y = 4 x 3 )Tiếp tuyến tạo với đờng thẳng y= -2x góc 450 4 )Tiếp tuyến tạo với đờng thẳng y= -x góc 600 BT4 Cho đồ thị (C)... không có tiếp tuyến nào của đồ thị (C) y = x đi qua giao điểm I của 2 đờng thẳng tiệm cận x +1 BT3(ĐH Huế 2001 Khối D) Viết phơng trình tiếp tuyến từ điểm O(0;0) đến đồ thị (C) y = 3( x + 1) x 2 BT4 Tìm m để từ điểm A(1;2) kẻ đợc 2 tiếp tuyến AB,AC đến đồ thị (C) y = là 2 tiếp điểm) x+m sao cho tam giác ABC đều (ở đây B,C x 2 4)- tiếp tuyến của hàm phân thức bậc hai/bậc nhất Dạng 1 Phơng trình tiếp tuyến. .. đợc tiếp tuyến đến (C) BT7 Cho đồ thị (C) y = f ( x) = 5 2 x 2 + 7 x 10 Tìm trên đờng thẳng tuyến đến (C) y =4 2 các điểm có thể kẻ đợc tiếp 6) - tiếp tuyến của hàm siêu việt BT1 Cho đồ thị (C) y = f ( x) = (3 x 2 4).e x và gốc toạ độ O(0;0) Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua điểm O(0;0) đến đồ thị (C) BT2( ĐH Xây Dựng 2001) Cho đồ thị (C) y = f ( x) = x ln x và M(2;1) Từ điểm M kẻ đợc bao nhiêu tiếp. .. phải của đồ thị (C) để tiếp tuyến tại M vuông góc với đờng thẳng đi x +1 qua M và tâm dối xứng I của (C) 5) - tiếp tuyến của hàm vô tỷ duchoa_7804@yahoo.com 12 Ngun ti liu : http://violet.vn/thpt-vinhchan-phutho BT1(ĐH Xây Dựng 1998) Cho đồ thị y = x + 33 2 x 2 (C) 1)Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) song song với y=k x 2)Tìm GTLN của khoảng cách giữa đờng thẳng y= k.x với tiếp tuyến nói trên khi k... để tiếp tuyến tại giao điểm của (Cm) với Ox song song với y= - x-5 x +m BT5(ĐH Lâm Nghiệp 2001) Cho đồ thị (C) y = 3x +1 Và điểm M bất kỳ thuộc (C) gọi I là giao 2 tiệm cận Tiếp tuyến tại điểm M cắt 2 tiệm cận x 3 tại A và B 1)CMR M là trung điểm AB 2)CMR diện tích tam giác IAB không đổi Dạng 2 Viết phơng trình tiếp tuyến theo hệ số góc k cho trớc BT1 Cho đồ thị (C) y = 2x 3 Viết phơng trình tiếp tuyến. .. Oy các điểm kẻ đến đồ thị y = 9 x 2 (C) 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau BT3 Cho đồ thị (C) y = x + 4 x 2 + 2 x +1 Tìm trên trục tung các điểm có thể kẻ ít nhất 1 tiếp tuyến đến (C) BT4 Cho đồ thị (C) y = f ( x) = 2 x 1 3x 5 Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua điểm A 2; BT5 27 đến (C) 4 Cho đồ thị (C) y = f ( x) = x +1 4 x 2 Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua điểm A(1;1 2 2 ) đến (C) BT6... số các cặp điểm sao cho tiếp tuyến tại các cặp điểm này song 3x 3 song với nhau đồng thời tập hợp các đờng thẳng nối các cặp tiếp điểm đồng qui tại một điểm cố định Dạng 3 Phơng tiếp tuyến đi qua một điểm cho trớc đến đồ thị BT1(ĐH Ngoại Thơng TPHCM 1999) duchoa_7804@yahoo.com 11 Ngun ti liu : http://violet.vn/thpt-vinhchan-phutho Cho hàm số (C) y = x +2 Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua điểm A(-6;5)... của đồ thị (C) và điểm M là một trên (C) tiếp tuyến tại M với (C) cắt x +1 2 đờng thẳng tiệm cận tại A,B CMR M là trung điểm AB và dện tích tam giác IAB không phụ thuộc vào vị trí điểm M trên (C) BT5(HV Quân Y 2001) Cho đồ thị y = 2 x 2 + 5x CMR tại mọi điểm thuộc đồ thị (C) luôn cắt 2 tiệm cân một tam giác có diện tích không đổi x+2 BT6(CĐ SPHN 2001) Cho đồ thị y = x 2 + 3x + 3 CMR tiếp tuyến tại điểm... +1 CMR mọi tiếp tuyến của (C) tạo với 2 tiệm cân của (C) một tan giác có diện tích không đổi x 1 Cho đồ thị y = BT2 Cho đồ thị y = 4x 5 và điểm M bất kỳ thuộc (C) Gọi I là giao diểm 2 tiệm cận tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận 2x + 3 tại A,B 1)CMR M là trung điểm AB 2)CMR diện tích tam giác IAB không đổi 3)Tìm M để chu vi tam giác IAB nhỏ nhất BT3 Cho đồ thị (Cm) y = 2mx + 3 Tìm m để tiếp tuyến bất... đồ thị y = x2 + x +1 Tìm M thuộc đồ thị (C) để tiếp tuyến tại M cắt Ox ,Oy tại điểm A,B sao cho tam giác OAB x 1 vuông cân BT2(ĐH Xây Dựng 1993) Cho đồ thị y = x 2 3x + 3 CMR diện tích tam giác tạo bởi 2 tiệm cận với một tiếp tuyến bất kỳ là không đổi x 1 BT3(ĐH QG 2000) Cho đồ thị y = x + 1 + có chu vi nhỏ nhất 1 Tìm M thuộc (C) có xM > 1 sao cho tiếp tuyến tại điểm M tạo với 2 tiệm cân một tam giác . 10. CMR: Đạo hàm của một hàm số chẵn là hàm số lẻ còn đạo hàm của một hàm số lẻ là một hàm số chẵn. Bài 11. CMR: Nếu y= f(x) là hàm tuần hoàn và khả vi. trình tiếp tuyến của (C) mà tiếp xúc với (C) tại hai điểm phân biệt Các bài toán về Tiếp tuyến 1)- tiếp tuyến của đa thức bậc ba Dạng 1 Phơng trình tiếp tuyến