GIÁO TRÌNH ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

NGUYỄN QUANG HOAN GIÁO TRÌNH ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG HÀ NỘI 2017 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU BẢNG CHỮ VIẾT TẮT CHƯƠNG ĐẠI CƯƠNG VỀ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN 1.1 KHÁI NIỆM ĐIỀU KHIỂN 1.11 Điều khiển gì? 1.12 Các thành phần hệ thống điều khiển 1.13 Các toán lĩnh vực điều khiển tự động 10 1.2 CÁC NGUYÊN TẮC ĐIỀU KHIỂN 11 1.3 PHÂN LOẠI HỆ THỐNG 13 1.31 Phân loại theo phương pháp phân tích thiết kế 13 1.32 Phân loại theo kiểu tín hiệu hệ thống 14 1.33 Phân loại hệ điều khiển theo mục tiêu 16 1.4 LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN CỦA LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN 18 1.41 Điều khiển kinh điển 18 1.42 Điều khiển đại (từ khoảng năm 1960 đến nay) 18 1.43 Điều khiển thơng minh 19 1.5 VÍ DỤ VỀ CÁC PHẦN TỬ VÀ HỆ THỐNG TỰ ĐỘNG 19 1.51 Các phần tử hệ thống điều khiển tự động - 19 1.52 Các ứng dụng hệ thống điều khiển tự động - 21 1.6 KẾT LUẬN CHƯƠNG 24 CHƯƠNG MÔ TẢ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤC - 25 2.1 TÍN HIỆU VÀ PHÂN LOẠI TÍN HIỆU TRONG ĐIỀU KHIỂN - 25 2.1.1 Phân loại tín hiệu 25 2.1.2 Một số tín hiệu điển hình dùng điều khiển - 25 2.2 MÔ TẢ HỆ THỐNG BẰNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN - 26 2.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG DỰA THEO BIẾN ĐỔI LAPLACE - 28 2.3.1 Biến đổi Laplace thuận 28 2.3.2 Biến đổi Laplace ngược 29 2.3.3 Mô tả hệ thống dựa theo biến đổi Laplace - 29 2.3.4 Hàm truyền đạt 32 2.3.5 trình đặc tính 33 2.3.6 Đại số sơ đồ khối 33 2.4.HÀM TRUYỀN ĐẠT TẦN SỐ 38 2.4.1 Mối liên hệ hàm truyền đạt hàm truyền đạt tần số 38 2.4.2 Mối liên hệ hàm truyền đạt tần số phần thực, phần ảo - 40 2.5 MƠ TẢ HỆ THỐNG BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI - 40 2.5.1 Một số tính chất véc tơ, ma trận - 41 2.5.2 Mơ tả phương trình trạng thái tổng quát - 44 2.5.3 Quan hệ phương trình trạng thái phương trình vi phân 46 Quan hệ mơ hình trạng thái hàm truyền đạt 50 2.6 KẾT LUẬN CHƯƠNG 53 BÀI TẬP CHƯƠNG 54 CHƯƠNG ĐẶC TÍNH ĐỘNG HỌC CỦA HỆ THỐNG 56 3.1 KHÁI NIỆM VỀ ĐẶC TÍNH ĐỘNG HỌC 56 3.11 Đặc tính thời gian 56 3.12 Đặc tính tần số 58 3.2 CÁC KHÂU ĐỘNG HỌC ĐIỂN HÌNH 61 3.21 Khâu tỉ lệ (khâu khuếch đại) 62 3.22 Khâu tích phân lý tưởng 63 3.23 Khâu vi phân lý tưởng 64 3.24 Khâu quán tính bậc 66 3.25 Khâu vi phân bậc 69 3.26 Khâu dao động bậc hai 70 3.27 Khâu trễ 73 3.3 ĐẶC TÍNH ĐỘNG HỌC CỦA HỆ THỐNG TỰ ĐỘNG 75 3.3.1 Đặc tính thời gian hệ thống tự động 75 3.3.2 Đặc tính tần số hệ thống 76 3.4 KẾT LUẬN CHƯƠNG 80 BÀI TẬP CHƯƠNG 81 CHƯƠNG ỔN ĐỊNH HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG 82 4.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ ỔN ĐỊNH HỆ THỐNG 82 4.2 ỔN ĐỊNH HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG KINH ĐIỂN 83 4.2.1 Ổn định hệ điều khiển tự động từ góc nhìn q trình q độ 83 4.2.2 Ổn định hệ điều khiển theo nghiệm phương trình đặc trưng - 85 4.3.TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ 87 4.3.1 pháp đại số Routh 87 4.3.2 chuẩn ổn định Hurwit 90 4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ 93 4.4.1 Nguyên lý góc quay 93 4.4.2 Tiêu chuẩn ổn định Mikhailov 95 4.4 Tiêu chuẩn tần số Nyquist 98 4.5 PHƯƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ - 99 4.5.1 Khái niệm phương pháp ổn định quỹ đạo nghiệm số - 99 4.5.2 Qui tắc vẽ quỹ đạo nghiệm số 100 4.6.KẾT LUẬN CHƯƠNG 103 BÀI TẬP CHƯƠNG 104 CHƯƠNG ĐÁNH GIÁ CHẤT LƯỢNG CỦA HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN 106 5.1 CÁC CHỈ TIÊU CHẤT LƯỢNG CƠ BẢN CỦA HỆ ĐIỀU KHIỂN 106 5.2 SAI SỐ XÁC LẬP 108 5.2.1 Khi tín hiệu vào u(t)=1(t) 110 Tín hiệu vào hàm u(t)= ko.t 110 5.2.2 2.5.4 5.3 ĐÁP ỨNG QUÁ ĐỘ 111 5.3.1 Hệ quán tính bậc 111 5.3.2 Hệ dao động bậc hai 112 5.3.3 Hệ bậc cao 114 5.3.4 Ví dụ khảo sát đáp ứng độ 115 5.4 CÁC TIÊU CHUẨN TỐI ƯU HÓA ĐỐI VỚI ĐÁP ỨNG QUÁ ĐỘ 117 5.4.1 Đánh giá chất lượng hệ thống qua tiêu chuẩn tích phân 117 5.4.2 Ước lượng tích phân theo biến đổi Fourier - 120 5.5 ĐÁNH GIÁ QUÁ TRÌNH QUÁ ĐỘ DÙNG BIỀU ĐỒ BODE 121 5.6.KẾT LUẬN CHƯƠNG 124 CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG 125 CHƯƠNG THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤC 127 6.1 KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH NGHĨA 127 6.2 ẢNH HƯỞNG BỘ ĐIỀU KHIỂN ĐẾN CHẤT LƯỢNG CỦA HỀ - 128 6.21 Ảnh hưởng cực zero 128 6.22 Ảnh hưởng hiệu chỉnh sớm pha - 129 6.23 Hiệu chỉnh PID 132 6.3 THIẾT KẾ HỆ THỐNG DÙNG QĐNS - 141 6.31 Hiệu chỉnh sớm pha 141 6.32 Hiệu chỉnh trễ pha 146 6.33 Hiệu chỉnh sớm trễ pha 149 6.4 THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN PID 152 6.5 THIẾT KẾ HỆ THỐNG DÙNG PHẢN HỒI TRẠNG THÁI - 155 6.51 Điều khiển phản hồi trạng thái 155 6.52 Tính điều khiển quan sát 156 6.53 pháp phân bố cực 160 6.6 KẾT LUẬN CHƯƠNG 164 BÀI TẬP CHƯƠNG 165 CHƯƠNG HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 167 7.1 CẤU TRÚC CHUNG CỦA HỆ THỐNG RỜI RẠC 167 7.1.1 Sơ đồ cấu trúc hệ thống rời rạc 167 7.1.2 Lấy mẫu 168 7.1.3 Khâu giữ liệu (ZOH) 170 7.2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z 171 7.2.1 Định nghĩa 171 7.2.2 Các tính chất phép biến đổi Z - 172 7.2.3 Biến đổi Z hàm 173 7.2.4 Các phương pháp biến đổi Z ngược - 175 7.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG BẰNG HÀM TRUYỀN ĐẠT - 176 7.3.1 Hàm truyền hệ rời rạc 176 7.3.2 Tính hàm truyền hệ rời rạc từ sơ đồ khối - 177 7.4 MƠ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 180 7.4.1 Thành lập phương trình trạng thái từ phương trình sai phân - 180 7.4.2 Thành lập phương trình trạng thái từ hàm truyền hệ rời rạc - 183 7.4.3 Phương trình trạng thái hệ rời rạc từ hệ liên tục - 184 7.4.4 Tính hàm truyền hệ rời rạc từ hệ phương trình trạng thái 188 7.5 ỔN ĐỊNH HỆ THỐNG RỜI RẠC 189 7.5.1 Điều kiện ổn định hệ thống điều khiển rời rạc 189 7.5.2 Tiêu chuẩn Routh–Hurwitz mở rộng 190 7.5.3 chuẩn Jury 192 7.6 ĐÁNH GIÁ CHẤT LƯỢNG CỦA HỆ THỐNG - 193 7.7 THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC - 195 7.7.1 Hàm truyền khâu hiệu chỉnh 195 7.7.2 Thiết kế hệ rời rạc dùng điều khiển phản hồi trạng thái 197 7.7.3 Thiết kế hệ rời rạc dùng điều khiển PID 199 7.8 KẾT LUẬN CHƯƠNG 200 BÀI TẬP CHƯƠNG 201 TÀI LIỆU THAM KHẢO 202 LỜI NĨI ĐẦU Cơng nghệ sinh học trang bị thiết bị quy trình đại, đó, hệ thống điều khiển tự động hóa đóng vai trò đáng kể Giáo trình “ Điều khiển tự động” đưa vào giảng dạy giúp sinh viên ngành Công nghệ Sinh học, Công nghệ Thực phẩm để hiểu biết nguyên lý hoạt động, ổn định, tiêu kỹ thuật, tiêu đánh giá chất lượng; có khả đặt toán, đề xuất cải tiến, vận hành…của hệ thống tự động hóa Giáo trình tập trung nghiên cứu hệ thống điều khiển bản, hệ điều khiển tuyến tính, hệ điều khiển số Trong chương giáo trình, biên soạn, khơng tập trung sâu vào giới thiệu lý thuyết, định lý, chứng minh cho sinh viên chuyên ngành điều khiển mà cố làm rõ nguyên tắc, ví dụ kỹ thuật điều khiển tự động Một vài phần có ví dụ sử dụng cơng cụ thiết kế, tính tốn Giáo trình gồm bảy chương: Chương 1: Trình bày đại cương khái niệm điều khiển tự động; Chương 2: Nêu phương pháp mô tả hệ thống điều khiển tuyến tính, liên tục cơng cụ tốn học cho phân tích, thiết kế, đánh giá hệ điều khiển; Chương 3: Các đặc tính động học khâu hệ điều khiển; Chương 4: Ổn định phương pháp xét ổn định hệ thống tuyến tính; Chương 5: Đánh giá chất lượng hệ thống điều khiển; Chương 6: Một số phương pháp, ví dụ thiết kế hệ thống điều khiển liên tục; Chương 7: Các vấn đề liên quan đến hệ thống rời rạc Hầu hết, cuối chương có câu hỏi, tập để sinh viên luyện tâp nhằm làm sáng tỏ kỹ thuật, lý thuyết điều khiển tự động Giáo trình khơng tránh khỏi sai sót, sơ suất, nhầm lẫn Rất mong góp ý bạn đồng nghiệp em sinh viên theo địa Email: quanghoanptit@gmail.com Trân trọng cám ơn CHỦ BIÊN PGS.TS Nguyễn Quang Hoan BẢNG CHỮ VIẾT TẮT TT Viết tắt Tiếng Anh Tiếng Việt Dòng xoay chiều AC Alternating Current BIBO Bound Inputs Bound Outputs Vào giới hạn CNC Computer Numerical Control Điều khiển số dựa máy tính CIM Computer-Integrated Manufacturing Chế xuất tích hợp máy tính Computer Aided Design/ Computer Aided Manufacturing Thiết kế dựa máy tính/Sản xuất dựa máy tính CAD/ CAM DC Dierect Current Dòng chiều DNC Direct Numerical Control Điều khiển số trực tiếp ĐKTĐ GM Điều khiển tự động Lề khuếch đại (dự trữ biên) Gain Margin 10 HTĐK Hệ thống điều khiển 11 IAE Integral of the Absolute Magnitude of the Error Tích phân sai số tuyệt đối 12 IEEE Institute of Electrical Electrics Engineers Viện kỹ sư điện, điện tử 13 ISE Integral of the Square of the Error Tiêu chuẩn tích phân bình phương sai số 14 ITAE Integral of Time Multiplied by the Absolute Value of the Tích phân theo thời gian giá trị lỗi tuyệt đối Error 15 LAN Local Area Network Mạng cục 16 MIMO Multi Input-Multi Output Nhiều đầu vào - nhiều đầu 17 ROC Region Of Convergence Vùng hội tụ Bộ điều khiển 18 PID Proportional Integral Derivative 19 PLC Programmable Logic Controller Bộ điều khiển logic khả trình 20 POT Percent OvershooT Độ điều chỉnh theo % 21 PC Personal Computer Máy tính cá nhân 22 QĐNS Tỷ lệ -Tích phân - Đạo hàm Quỹ đạo nghiệm số 23 RC Resistor-Capacity Điện trở - Tụ điện 24 ROC Region Of Convergence Miền hội tụ 25 SISO Single Input-Single Output Một đầu vào - đầu 26 SCADA Supervisory Control And Data Acquision Hệ thống giám sát thu thập liệu 27 TCP/IP Transmission Control Protocol/Internet Protocol Giao thức kiểm soát truyền/ Giao thức Internet 28 WAN Wide Area Network Mạng diện rộng 29 ZOH Zero-Order Hold Khâu giữ bậc không CHƯƠNG ĐẠI CƯƠNG VỀ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN 1.1 KHÁI NIỆM ĐIỀU KHIỂN 1.1.1 Điều khiển gì? Ví dụ 1.1 Để có khái niệm điều khiển, xét ví dụ ta lái xe, muốn chạy với tốc độ 40km/h Để đạt tốc độ này, mắt quan sát đồng hồ đo tốc độ Nếu tốc độ 40km/h tăng ga, ngược lại giảm Kết quả, xe chạy với tốc độ “gần” tốc độ mong muốn Quá trình điều chỉnh tốc độ xe q trình điều khiển Trong q trình điều khiển, cần thu thập thơng tin đối tượng (quan sát đồng hồ đo tốc độ) Tùy thơng tin thu thập mục đích điều khiển, ta có cách xử lý thích hợp (quyết định tăng hay giảm ga) Cuối cùng, ta tác động vào đối tượng (tác động vào tay ga) để đối tượng hoạt động u cầu Từ ví dụ đó, ta có định nghĩa sau Định nghĩa: Điều khiển trình thu thập, xử lý thơng tin tác động lên hệ thống để hệ thống đáp ứng theo mục đích định trước Điều khiển có tham gia người không Hệ thống điều khiển tự động q trình điều khiển khơng cần tác động người Ngược lại, hệ thống tự động cần có người hỗ trợ gọi hệ thống tự động hóa “Tại cần phải điều khiển?” Có hai lý chính: người khơng thỏa mãn với đáp ứng hệ thống hay muốn hệ thống hoạt động với độ xác cao, tăng suất, hiệu kinh tế Ví dụ, dân dụng, cần điều chỉnh nhiệt độ độ ẩm cho hộ tạo tiện nghi cao Trong giao thông vận tải, cần điều khiển phương tiện từ nơi đến nơi khác an toàn xác Trong cơng nghiệp, q trình sản xuất gồm vô số mục tiêu cần thỏa mãn an tồn, độ xác hiệu kinh tế Trong năm gần đây, hệ thống điều khiển (HTĐK) đóng vai trò quan trọng phát triển, tiến công nghệ văn minh đại Thực tế, hoạt động ngày bị chi phối vài loại hệ thống điều khiển Dễ thấy, hệ thống điều khiển máy công cụ, hệ thống quân sự, giao thơng, lượng, robot, kiểm tốn, kinh tế xã hội, công nghệ sinh học… áp dụng lý thuyết ĐKTĐ Khái niệm điều khiển khái niệm rộng, nội dung giáo trình đề cập đến lý thuyết điều khiển dùng cho hệ thống kỹ thuật 1.1.2 Các thành phần hệ thống điều khiển r(t) e(t) Bộ điều khiển: C u(t) Đối tượng: O c(t) cht(t) Cảm biến: M Hình 1.1: Sơ đồ hệ thống điều khiển Thành phần cấu trúc hệ thống Để thực trình điều khiển định nghĩa trên, hệ thống điều khiển bắt buộc gồm có phần thiết bị đo lường, cảm biến: M (Mearsurment), điều khiển: C (Controller) đối tượng điều khiển: O (Object) Thiết bị đo lường có chức thu thập thơng tin; điều khiển thực chức xử lý thông tin, định điều khiển; đối tượng điều khiển chịu tác động C để điều khiển đối tượng (Hình 1.1) Các tín hiệu tác động hệ thống: u(t) tín hiệu điều khiển; r(t) (Reference Input): tín hiệu vào quy chiếu; c(t) (Controlled Output): tín hiệu điều khiển; cht(t): tín hiệu phản hồi (hay phản hồi); e(t) (Error): tín hiệu sai số (hay tín hiệu lỗi) Để hình dung cấu trúc tín hiệu hệ thống điều khiển tự động, trở lại ví dụ lái xe Ta thấy, đối tượng điều khiển xe, thiết bị đo lường đồng hồ đo tốc độ đôi mắt; điều khiển não; đối tượng điều khiển-cơ cấu chấp hành tay người láy xe Tín hiệu vào r(t) tốc độ xe mong muốn (40km/h), tín hiệu c(t) tốc độ xe tại, tín hiệu phản hồi cht(t) vị trí kim đồng đo tốc độ, sai số e(t) sai lệch tốc độ mong muốn tốc độ tại; tín hiệu điều khiển u(t) góc quay tay ga   (t)    Bước 2:    (1 eat ) (1 e2t )       a at  2t e e    Bước 3:    (1 eaT 1 1 e20,5  1 0,316       A   a   0 0,368 d 0 eaT e20,5          0,  e20,5    T eaT  a  a     22 22  0, 092     a ;C  C  10 0   B   d d   aT 0, 316 20,5    e   e     a a             Bước 4:  A  B C d   1 0, 3616 0, 092   10 0    0 0, 368  0, 316   dd 1 0,3616 0,920 0  0, 080 0,316       0 0,368  3,160 0 3,160 0,368  Hệ phương trình biến trạng thái cần tìm là:  x (k)  1)   0, 080 0,316x1(k)  0, x 092 c(k)  10     x1 (k  (k 1)  3,160 0,368 x (k)  0,316 r(k); x (k)            7.4.4 Tính hàm truyền hệ rời rạc từ hệ phương trình trạng thái Cho hệ thống rời rạc mô tả hệ phương trình biến trạng thái: x(k 1)  Ad x(k )  B d r(k ) c(k)  C x(k)  d Bài tốn đặt tìm hàm truyền G(z)  (7.79) C(z) (7.80) R(z) Biến đổi Z hệ phương trình trạng thái, ta được: zX (z)  Ad X (z)  Bd R(z)  C(z)  C dX (z)  X (z)  (zI  A )1 B R(z) (zI  Ad ) X (z)  Bd R(z) d d     C(z)  Cd (zI  Ad )1Bd R(z) (7.81) C(z)  C X (z) X (z) C(z)  C  d  d Lập tỉ số vao/ra, ta hàm truyền: 189 G(z)  C(z)  Cd[zI  A d]1 B d R(z) (7.82) Ví dụ 7.10: Viết hàm truyền hệ phương trình trạng thái rời rạc:  x  k 1 T   Ad x(kT )  Bd (kT )  c(kT )  Cd x(kT ) 1 o 0 Ad  ; Bd  ;C  C  1 0  2 d 0.7 0.1     đó: Giải: Hàm truyền hệ thống là: G(z)  C(z)  Cd[zI  A d]1 B d R(z) 1  z   [zI  Ad]1   0  0, 0,1  0,z  z         1 1   z  0,1 1 z  0,1 z(z  0,1)  0,  0, z        z  0,1 1 0  [zI  Ad]1 Bd z(z  0,1)  0,  0, z 2 z(z  0,1)  0, 2z        2 C [zI  A ]1 B 1 0   d d d  2z  z(z  0,1)  0, z(z  0,1)  0,   Vậy: G(z)  z  0,1z  0, 7.5 ỔN ĐỊNH HỆ THỐNG RỜI RẠC 7.5.1 Điều kiện ổn định hệ thống điều khiển rời rạc Đinh nghĩa: Hệ thống rời rạc gọi ổn định tín hiệu vào bị chặn tín hiệu bị chặn (ổn định BIBO-Bounded Input Bounded Output) Hệ thống điều khiển liên tục ổn định tất nghiệm phương trình đặc tính nằm bên trái mặt phẳng phức Do quan hệ biến z biến s z  eTs nên s nằm bên trái mặt phẳng phức tương đương với z nằm bên vòng tròn đơn vị Do đó, hệ thống điều khiển rời rạc ổn định tất nghiệm phương trình đặc trưng nằm bên vòng tròn đơn vị: 190 Hình 7.13 Miền ổn định hệ thống liên tục rời rạc Lưu ý: a) Nếu hệ thống rời rạc cho sơ đồ khối Phương trình đặc tính là: 1 G(z)H (z)  (7.83) b) Nếu thống rời rạc cho hệ phương trình biến trạng thái x(k 1)  Ad x(k )  B d r(k ) c(k)  C x(k)  d Phương trình đặc tính là: det(zI  Ad )  7.5.2 Tiêu chuẩn Routh–Hurwitz mở rộng Tiêu chuẩn Routh–Hurwitz cho phép đánh giá phương trình đại số a xn   a x  a  có nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức hay không Sử n1 n dụng kết để đánh giá nghiệm phương trình đặc tính hệ liên tục a sn  a sn1   a s  a  n1 (7.84) n Không thể sử dụng trực tiếp tiêu chuẩn Routh–Hurwitz để đánh giá tính ổn định hệ rời rạc miền ổn định nằm đường tròn đơn vị Muốn dùng tiêu chuẩn Routh-Hurwitz để đánh giá tính ổn định hệ rời rạc, w 1 ta phải thực phép đổi biến: z  w 1 191  w z 1 z 1 (7.85) Với cách đổi biến trên, miền nằm vòng đơn vị mặt phẳng z tương ứng với nửa trái mặt phẳng w Áp dụng tiêu chuẩn RouthHurwitz phương trình đặc tính theo biến w: tồn nghiệm w nằm bên trái mặt phẳng phức tồn nghiệm z nằm vòng tròn đơn vị, hệ rời rạc ổn định Miền ổn định hệ rời rạc theo z Miền ổn định hệ rời rạc theo biến w Hình 7.14: Miền ổn định rời rạc theo biến z, w Ví dụ 7.11: Xét ổn định hệ thống rời rạc phương trình đặc tính 5z3 + 2z2 + 3z +1=0 Giải: Đổi biến z  w 1 w 1 , phương trình đặc tính trở thành 5 w1   w 1  w 1 w 1  w 1   w 1 1          ⇔ 5(w +1)3 + 2(w +1) (2 w −1) + 3(w +1)(w −1)2 + (w −1)3 = 5(w3+3w2+3w+1)+2(w3+w2−w−1)+3(w3−w2−w+1)+(w3−3w2+3w−1)=0 11w3 +11w2 +13w + = Do tất hệ số cột bảng Routh dương nên hệ ổn định w3 11 13 w2 11 w1 w0 192 Hoặc sử dụng ma trận Hurwitz Ma trận Hurwits Định thức Hurwits  a1 a3  11 0 a a   11 13 0      a1 a3   11 5 ∆1=11>0 ∆2 =11×13-5×110>0 ∆3=5∆2>0 Do định thức ma trận Hurwits dương nên hệ ổn định 7.5.3 Tiêu chuẩn Jury Phương pháp xét ôn định hệ rời rạc khác dùng tiêu chuẩn Jury Xét hệ rời rạc có phương trình đặc tính: a zn  a zn1   a z  a  0 n1 (7.86) n Quy tắc lập bảng Jury Hàng hệ số phương trình đặc tính theo thứ tự số tăng dần Hàng chẵn gồm hệ số hàng lẻ trước viết theo thứ tự ngược lại Hàng lẻ thứ i=2k+1; (k≥1) gồm (n- k) phần tử, cij xác định công thức c ij  ci2,1 ci2,n jk 2 ci1,1 ci1, n jk 2 (7.87) Phát biểu tiêu chuẩn Jury: Điều kiện cần đủ để hệ thống rời rạc ổn định tất hệ số hàng lẻ, cột bảng Jury dương Ví dụ 7.12: Xét ổn định hệ thống rời rạc có phương trình đặc tính: 5z3  2z2  3z 1  Giải: Lập bảng Jury tính hệ số đây; 193 Hàng Hàng Hàng 15 15  4,8 51 Hàng 2,6 Hàng 4,8 2,  3,39 4,8 2, 4,8 Hàng 0,61 Hàng 3, 39 0, 61  3, 28 3, 39 0, 61 3, 39  1, 51 1,4 15  2, 51 4,8 4,8 1,  0, 61 4,8 2, 1, 3,39 Do hệ số hàng lẻ, cột bảng Jury dương nên hệ ổn định 7.6 ĐÁNH GIÁ CHẤT LƯỢNG CỦA HỆ THỐNG Các tiêu chất lượng hệ thống rời rạc xem xét sau: Đáp ứng độ: xác định đáp ứng hệ thống rời rạc hai cách sau đây:  Cách 1: Tính c(z), sau dùng phép biến đổi Z ngược để tìm c(k)  Cách 2: Tính nghiệm x(k) phương trình trạng thái hệ rời rạc, suy c(k) Cặp cực định: hệ bậc cao xấp xỉ gần hệ bậc hai với hai cực cặp cực định Đối với hệ liên tục, cặp cực định cặp cực nằm gần trục ảo Do z=eTs, nên với hệ rời rạc, cặp cực định cặp cực nằm gần vòng tròn đơn vị Độ điều chỉnh: hệ rời rạc, cách thường sử dụng (cách thứ nhất) để tính độ điều chỉnh dùng biểu thức định nghĩa: 194 POT  Cmax  Cxl 100% Cxl đó: cmax giá trị cực đại c(k); cxl giá trị xác lập c(k) Cách thứ hai sử dụng biết cặp cực định z  re j hệ rời rạc, dựa vào z=eTs suy nghiệm s*; từ tính ξ ωn sau: T  ; n   Sai số xác lập Theo định lý giá trị cuối: e  lime(k)  lim(1 z1)E(z) xl k  (7.88) 1z Cách tính tính sai số xác lập hệ thống rời rạc hệ sau: Hình 7.15 Sai số xác lập hệ thống điều khiển rời rạc Sai số xác lập hệ thống điều khiển rời rạc theo sơ đồ trên: e1 lim(1 z 1 )E(z)  lim(1 z ) xl z1 R(z) 1 GH (z) z1 - Nếu tín hiệu vào hàm nấc đơn vị R(z)  1 e  lim   xl z1 1 GH (z) (7.89) sai số xác lập: z1 1 lim GH (z) (7.90) z1 Gọi hệ số vị trí là: K p  lim G(z)H (z) , sai số xác lập exl  z1 -Nếu tín hiệu vào hàm dốc đơn vị: R(z)  1  exl  lim Tz 1 z1 1 z 1 GH (z) Tz1 (7.91) (1 z1 )2 T  1 lim(1 z )GH (z) z1 Đặt K  lim(1 z1)GH (z) : Hệ số vận tốc  e  V T xl z1 195 1 K P KV 7.7 THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC Các phương pháp sơ đồ khác cho việc thiết kế hệ điều khiển rời rạc gần tương tự hệ điều khiển liên tục Thông dụng việc thiết kế hiệu chỉnh nối tiếp với điều khiển Gc(z) (bộ điều khiển sớm, trễ pha số); PID số; điều khiển phản hồi trạng thái K Trong phạm vi giáo trình, giới thiệu hai phương pháp dùng phổ biến nhất: phương pháp đại dùng phương trình trạng thái với hệ số phản hồi K thiết kế điều khiển PID số Đại đa số phương pháp thiết kế thực máy tính, nhờ sử dụng Gc(z) K để suy phương trình đặc tính sai phân đưa vào phần mềm điều khiển 7.7.1 Hàm truyền khâu hiệu chỉnh 7.7.1.1 Khâu tỉ lệ: GP(z)=KP 7.7.1.2 Khâu vi phân Khâu vi phân rời rạc tính cơng thức sai phân Có ba cách tính - Sai phân tới U (z) KD  (z 1) u(k)  K e(k 1)  e(k )  U (z)  K z E(z)  E(z)  G (z)  D D D T T E(z) T - Sai phân lùi u(k )  KD e(k )  e(k 1)  U (z)  KD E(z)  z1 E(z) T -  GD (z)  T U (z) K  D (1 z ) E(z) T 1 Sai phân u(k)  K D  e(k 1)  e(k 1) GD (z)  T U (z) E(z) KD  T  U (z)  K D 1 (z  z )  z E(z)  z 1 E(z) T KD z2 1 T z (7.92) Công thức sai phân tới cần e(k+1) sai số tương lai Trong điều khiển thời gian thực ta khó có (trừ trương hơp sử dụng dự báo); thực tế có cơng thức sai phân lùi sử dụng phổ biến theo (7.96) 196 7.7.1.3 Khâu tích phân rời rạc kT (k 1)T u(kT )  KI  e(t)dt KI  kT e(t)dt  KI kT  e(t)dt  u(k 1)T  K  I (k 1)T Tương tự khâu vi phân, khâu tích phân e(t)dt (k 1)T kT KI  e(t)dt có ba cách tính: (k 1)T tích phân hình chữ nhật tới, tích phân hình chữ nhật lùi, tích phân hình thang [7] Trong ba cách tính, tích phân hình thang cho kết xác nhất, đó, người ta thường sử dụng cơng thức Cách tính tích phân hình thang: kT KI   e(t)dt  T  e (k 1)T   e(kT ) (k 1)T 1 U (z)  z U (z)  KIT KT  u(kT )  u (k 1)T   1 z E(z)  E(z)  GI (z)  U (z) E(z)  I e(k 1)T   e(kT ) KIT z1 1 1 z 1 KIT z 1  z 1 7.7.1.4 Bộ điều khiển PI, PD, PID rời rạc Từ hàm truyền rời rạc vừa phân tích trên, ta rút hàm truyền điều khiển PI, PD, PID số sau: G (z)  K PI P  KIT z 1 K T z 1 K T z 1 KD z 1 ;G PD (z)  K P  I ;G PID (z)  K P  I  z z 1 z 1 T z 7.7.1.5 Bộ điều khiển bù pha (sớm pha, trễ pha) Hàm truyền điều khiển bù pha liên tục có dạng: G (s)  K C sa s b ; (a>b: trễ pha; a