Các phương pháp giải bài tập về số chính phương ở trường THCS

PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG TRƯỜNG THCS ĐỒNG TĨNH HỒ SƠ ĐỀ NGHỊ CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2018-2019 Tên sáng kiến: Các phương pháp giải tập số phương trường THCS Tác giả sáng kiến: Khổng Thị Hồng Hoa Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Đơn vị: Trường THCS Đồng Tĩnh, huyện Tam Dương, tỉnh Vĩnh Phúc HỒ SƠ GỒM CÓ: Đơn đề nghị công nhận Sáng kiến cấp huyện Báo cáo kết nghiên cứu, ứng dụng sáng kiến Giấy chứng nhận Sáng kiến cấp trường Tam Dương, năm 2019 CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc ĐƠN ĐỀ NGHỊ CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN CẤP HUYỆN Kính gửi: Hội đồng Sáng kiến huyện Tam Dương Tên là: Khổng Thị Hồng Hoa Chức vụ (nếu có): Tổ trưởng chun mơn Đơn vị/địa phương: Trường THCS Đồng Tĩnh, huyện Tam Dương, tỉnh Vĩnh Phúc Điện thoại: 0385 921 891 Tôi làm đơn trân trọng đề nghị Hội đồng Sáng kiến huyện Tam Dương, xem xét công nhận sáng kiến cấp huyện cho sáng kiến/các sáng kiến Hội đồng Sáng kiến cấp trường công nhận sau đây: Tên sáng kiến (thứ 1): Các phương pháp giải tập số phương trường THCS Tên sáng kiến (thứ 2): (Có Báo cáo Báo cáo kết nghiên cứu, ứng dụng sáng kiến Giấy chứng nhận Sáng kiến cấp trường kèm theo) Tôi xin cam đoan thông tin nêu đơn trung thực, thật, không xâm phạm quyền sở hữu trí tuệ người khác hồn tồn chịu trách nhiệm thông tin nêu đơn Xác nhận Thủ trưởng đơn vị (hoặc Chính quyền địa phương) (Ký tên, đóng dấu) Đồng Tĩnh, ngày tháng 03 năm 2019 Người nộp đơn (Ký tên, ghi rõ họ tên) PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG TRƯỜNG THCS ĐỒNG TĨNH BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: Các phương pháp giải tập số phương trường THCS Tác giả sáng kiến: Khổng Thị Hồng Hoa Tam Dương, năm 2019 BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Lời giới thiệu: Trong thời kì nước tiến nhanh đường cách mạng công nghiệp 4.0 Song song với phát triển mạnh mẽ lĩnh vực kinh tế, xã hội, công nghệ thông tin,… nghiệp giáo dục đổi phát triển không ngừng, đổi phương pháp dạy học Tốn học mơn khoa học trừu tượng có ý nghĩa vơ quan trọng học tập Việc đổi phương pháp dạy học nói chung dạy tốn nhà trường trung học sở nói riêng định hướng pháp chế hoá luật giáo dục là: “phương pháp dạy học phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo học sinh, phù hợp với đặc điểm lớp, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh …” Giúp HS hướng tới học tập chủ động, sáng tạo, chống lại thói quen học tập thụ động vốn có đa số học sinh nhà trường trung học sở Dạy học giải toán vấn đề trọng tâm dạy học mơn Tốn trường THCS Đối với học sinh giải tốn hoạt động chủ yếu việc học tập mơn Tốn Do việc rèn luyện kỹ năng, phương pháp giải toán cho học sinh việc làm cần thiết Trong trình giảng dạy, người thầy cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng, phương pháp giải toán, độc lập suy nghĩ cách sâu sắc, sáng tạo Vì đòi hỏi người thầy phải lao động sáng tạo, tìm tòi phương pháp hay để dạy cho học sinh Từ học sinh trau dồi tư logic, sáng tạo qua việc giải toán Việc đánh giá chất lượng, lực tư duy, hay khả tiếp thu kiến thức phương pháp dạy học mơn tốn chủ yếu thơng qua giải tập Công việc giải tập nhằm củng cố hoàn thiện khắc sâu nâng cao nội dung kiến thức học, rèn luyện kĩ giải tốn Đối với học sinh ngồi việc truyền đạt cho học sinh kiến thức, kĩ toán học theo yêu cầu nội dung chương trình giáo khoa đại trà cần đầu tư bồi dưỡng cho phận học sinh khá, giỏi việc cần thiết phải tiến hành thường xuyên nhà trường trung học sở Nhằm tạo điều kiện học sinh phát huy lực, trí thơng minh sáng tạo, giúp nâng cao chất lượng mũi nhọn, bồi dưỡng học sinh giỏi cấp, phát triển nhân tài cho đất nước Một vấn đề kiến thức quan trọng học sinh THSC cần nắm vững kiến thức quan trọng giải tập số học có nội dung số phương Nội dung học sinh học lớp kiến thức gặp lại lớp 7; 8; Trong sách giáo khoa lớp trọng kiến thức nhất, chưa phong phú đa dạng Bài tập dễ yêu cầu nội dung chương trình khung Bộ giáo dục đào tạo đề Chưa đáp ứng yêu cầu học tập nâng cao tri thức, phát triển kĩ em học sinh có lực học tập khá, giỏi Trong kỳ thi giao lưu học sinh giỏi cấp huyện năm gần đây, học sinh đội tuyển toán nhà trường, huyện Tam Dương nói chung đa số khơng làm tốn số phương làm khơng lập luận chặt chẽ, kết học sinh giỏi khơng cao Với lý đưa sáng kiến: "Các phương pháp giải tập số phương trường THCS" để áp dụng vào giảng dạy cho đội tuyển học sinh giỏi toán nhà trường, đồng thời làm tài liệu chung bồi dưỡng học sinh giỏi toán huyện năm học 2018 - 2019 năm sau Tên sáng kiến: "Các phương pháp giải tập số phương trường THCS" Tác giả sáng kiến: - Họ tên: Khổng Thị Hồng Hoa - Địa tác giả sáng kiến: Trường THCS Đồng Tĩnh - Tam Dương - Vĩnh Phúc - Số điện thoại: 0385 921 891 - Email: khongthihonghoa.c2dongtinh@vinhphuc.edu.vn Chủ đầu tư tạo sáng kiến: Giáo viên: Khổng Thị Hồng Hoa - Trường THCS Đồng Tĩnh, Tam Dương, Vĩnh Phúc Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Sáng kiến áp dụng lĩnh vực Giáo dục đào tạo, cụ thể áp dụng bồi dưỡng học sinh đại trà bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS Sáng kiến đưa hệ thống phương pháp giải tốn số phương chương trình tốn THCS với nội dung phong phú, đa dạng với mức độ từ dễ đến khó, phù hợp với đối tượng học sinh Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử: Đối với học sinh THCS từ lớp đến lớp 9: ngày 22 tháng 09 năm 2019 Mô tả chất sáng kiến: 7.1.1 Cơ sở lý luận Toán học trung học sở cầu nối phát triển toán học tiểu học tốn học trung học phổ thơng Ở học sinh tìm hiểu kiến thức định nghĩa, định lý, tiên đề,…trong phân mơn số học, đại số, hình học Đó mức độ kiến thức, nâng cao kĩ giải toán Để làm điều thầy truyền đạt, hướng dẫn xác khoa học, phương pháp phù hợp học sinh phải có lực tư duy, chăm có cách thức học tập tốt Tuy nhiên nhìn chung chất lượng giáo dục nhiều điều đáng phải quan tâm Bản thân giáo viên mơn Tốn nhiều năm thực cơng tác giảng dạy băn khoăn trăn trở chất lượng mơn tốn nhà trường trung học thấp so với yêu cầu Năm học 2018 - 2019 năm triển khai thực kết luận hội nghị Trung ương VI (khoá IX) tiếp tục thực nghị Trung ương II (khoá IX) “Đổi phương pháp giáo dục đào tạo, đổi phương pháp dạy học khắc phục lối truyền thụ chiều, rèn luyện thành nếp tư sáng tạo người học Từng bước áp dụng phương pháp tiên tiến phương tiện đại vào trình dạy học đảm bảo điều kiện thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh” Từ đường lối Đảng, chủ trương Nhà nước, biện pháp sở giáo dục đào Vĩnh Phúc phòng giáo dục đào Tam Dương qua kinh nghiệm giảng dạy nghĩ việc hình thành kĩ giải tập số học số phương cho học sinh lớp THCS đổi cá nhân với mong muốn góp phần vào mục tiêu nâng cao chất lượng giáo dục nói chung Qua nghiên cứu, giảng dạy tơi nhận thấy phương pháp giải toán số phương nội dung thiết yếu chương trình tốn Nó sở cơng cụ cho nội dung toán sau nhiều ứng dụng thực tế Lượng kiến thức tập vận dụng phong phú từ dễ đến khó Kỹ giải tập số phương chương trình giúp học sinh có khả thành thạo giải toán liên quan biết áp dụng linh hoạt vào dạng tập khác Nó tiền đề để học sinh hình thành kỹ giải tập đại số chương trình học sinh đại trà, ôn luyện bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn trung học sở học sinh phổ thông trung học 7.1.2 Cơ sở thực tiễn (Thực trạng học tập mơn tốn trường THCS Đồng Tĩnh, huyện Tam Dương) Hiện toán học ngày phát triển mở rộng sâu Do việc dạy tốt mơn số học số phương kể lí thuyết hay tập trở thành nội dung quan trọng chương trình toán trung học sở Thực tế giảng dạy trường THCS Đồng Tĩnh, huyện Tam Dương cho thấy trình học tập em học sinh lúng túng giải tập số học số phương Gặp dạng tốn tương tự hay dạng tốn em chưa có định hướng để làm Thống kê khảo sát nội dung số nguyên tố hai năm học 2017 – 2018; 2018 – 2019 trường THCS Đồng Tĩnh sau: Năm học Số HS – 10 6,5 – < – < 6,5 2– 4S + = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + Theo kết => k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + số phương Bài 4: Cho a = 11 ; b = 100 05 2014 chữ số 2015 chữ số Chứng minh ab + số tự nhiên Giải: b = 100 05 = 100 - + = 99 + = 9a + 2015 chữ số 2016 chữ số 2016 chữ số ⇒ ab + = a(9a + 6) + = 9a2 + 6a + = (3a + 1)2 ⇒ ab + = (3a + 1) = 3a + ∈ N Bài 5: Cho a số gồm 2n chữ số 1, b số gồm n + chữ số 1, C số gồm n chữ số (n ∈ N n ≥ 1) Chứng minh: a + b + c + số phương Giải: Ta có a + b + c + = 11 + 11 + 66 + 2n số n + số n số = 102 n − 10n +1 − 6(10n − 1) + + +8 9 = 102 n − + 10.10n − + 6.10n − + 72 102 n + 16.10n + 64  10n +  = = ÷   (10n + 8) M3, nên a + b + c + số phương Bài 6: Chứng minh với số tự nhiên n A = (10n + 10n-1 + …+ 10 + 1)(10n+1 + 5) + số phương Giải: Đặt B = 10n+1 ta có A= 10 n +1 − B −1 10n +1 + ) + = ( B + 5) + ( 10 − B2 + 4B + ( B + 2) ⇒A= = = ( 3.3.3 34 ) Vậy A số phương Bài 7: Cho số tự nhiên A gồm 100 chữ số 1, số tự nhiên B gồm 50 chữ số Chứng minh : A- B số phương Giải: 100 chữ số 99 10100 − = 9 Ta có A = 11 = 100 chữ số 2(1050 − 1) = Tương tự B = 22… 50 chữ số 2 10100 − 2(1050 − 1) 10100 − 2.1050 + 1050 −  = − = =>A – B =  = (33 3) 9   50 chữ số Cách 2: B = 22….2 = 2.11 50 chữ số 50 chữ số A = 11… = 100 chữ số 11 … 100… + 11….1 50 chữ số 50 chữ số 50 chữ số = 11….11050 + 11.…1 50 chữ số 50 chữ số Đặt C = 11…1 =>9C = 99 …9 50 chữ số 50 chữ số =>9C +1 = 99…9 +1 50 chữ số =>9C+1= 1050 Khi : A = C (9C +1) +C =9C2 +2C; B = 2C A – B = 9C2 +2C -2C = 9C2 =(3C)2 = (33…3)2 50 chữ số Nhận xét: Như giải tốn số phương mà tồn số có nhiều chữ số giống ta đặt C = 11…1 ý : n chữ số 10n = 99… +1 = 9C +1 Sau ta thay vào biểu thức n chữ số Từ tốn ta chứng minh toán tổng quát sau: Bài toán tổng quát: Cho k số tự nhiên khác 0, số tự nhiên A gồm 2k chữ số số tự nhiên B gồm k chữ số Chứng minh : A - B số phương Bài tập áp dụng: 1, Cho hai số tự nhiên A B số A gồm 2m chữ số 1, số B gồm m chữ số Chứng minh : A +B +1 số phương 2, CMR : an+ an+1 số phương với an = +2 +3+…+n 3, CMR: 1+ 3+ 5+ 7+ …+ n số phương(n lẻ) 4, Chứng minh số say số phương (n ≥ ) a, A = 44… x 88 n chữ số (n-1) chữ số b, B = 11… – 88.…8 2n chữ số1 +1 (n∈ N) n chữ số 5, Cho số tự nhiên A = 44.…4 ; 2n chữ số B = 22…2 ; C = 88…8 (n+1) chữ số n chữ số CMR : A +B +C + số phương 6, Cho a = 11… ; b = 100… 011 n chữ số ( n ≥ 2) (n-2)chữ số CMR : ab +4 số phương Dựa vào tính chất đặc biệt Ta chứng minh tính chất đặc biệt : Nếu a, b hai số tự nhiên nguyên tố ab số phương a b số phương Chứng minh: - Giả sử (a,b) = a.b = c2( c ∈ N) Khi ta chứng minh : a b số phương - Gọi d = (a,c)  a = a1.d ; c =c1.d ;(a1 ;c1) = Mà a.b =c2  a1.d.b =(c1.d)2 a1.b = c12.d (*) Từ (*) suy ; +, a1.b Mc12 => b Mc12 (1) (a1 ;c1) =1 +, c12.d M b => c12 M b (2) (a,c) =d mà (a;b) =1 nên (d;b) =1 c Từ (1) (2) => b =c Khi a=  ÷ = d  c1  Như tính chất chứng minh Sau số tốn ta áp dụng tính chất Bài 1: Chứng minh : Nếu x, y số tự nhiên thỏa mãn x2 +x = 2y2 +y : a, x-y x+ y +1 số phương b, x - y 2x +2y +1 số phương Giải : a, Ta có x2 +x = 2y2+y  x2 – y2 +x –y = y2  (x – y)(x+y+1)=y2 (1) Như để chứng minh : x –y x +y +1 số phương áp dụng tính chất đặc biệt ta chứng minh : (x-y: x+ y +1) = - Thật , gọi d = (x-y; x +y+ 1)  x- y Md x + y+1 )  ( x+ y+1) –(x –y) Md  2y +1Md Mặt khác từ (1) ta có y2 Md=> y Md(3) Từ (2) (3) suy Md hay d = Vậy (x-y;x+y+1) = thỏa mãn (1), theo tính chất suy x- y x +y +1 số phương b, Từ giả thiết ta có x2 +x = 2y2 +y  2(x2 –y2) +x – y = x2  (x –y) (2x +2y +1) =x2 Chứng minh tương tự phần a ta (x – y; 2x +2y +1) = áp dụng tính chất suy x – y 2x +2y +1 số phương Bài tập áp dụng: Chứng minh rằng: Nếu x y số tự nhiên thỏa mãn 2x2 +x = 3y2+ y thì: a, x –y 2x +2y +1 số phương b, x –y 3x +3y +1 số phương Chứng minh : Nếu x, y số tự nhiên thỏa mãn : 3x2 +x = 4x2 +y : a, x –y 3x +3y +1 số phương b, x –y 4x +4y +1 số phương Từ tốn ta chứng minh toán tổng quát sau: Bài toán tổng quát: Nếu x, y số tự nhiên thỏa mãn nx2 +x = ( n +1)y2 +y (n ∈ N) : a, x – y nx +ny +1 số phương b, x- y (n +1)x + (n +1)y +1 số phương 7.1.5.2 Chứng minh số khơng số phương Chúng ta biết cách chứng minh số số phương Vậy để chứng minh số khơng phải số phương ta làm nào? Một số số phương cần có điều kiện gì? Trả lời câu hỏi , tìm hướng để giải tốn “ Chứng minh sơ khơng số phương” Sau số phương pháp giải thực dạng tốn Tìm số tận Do số phương bình phương số tự nhiên nên số phương phải có chữ số tận 0,1,4,5,6,9 khơng tận 2,3,7,8 Như muốn chứng minh số A số phương ta chứng minh số A có chữ số tận 2, 3, ,8 Hay số A có số lẻ chữ số tận ( số phương chứa thừa số nguyên tố 2, với số mũ chẵn , nên chứa số chẵn số tận cùng) Dựa vào kiến thức trên, ta giải toán sau đây: Bài 1: Chứng minh số A = 11 +112+113+114+115+116+117 khơng số phương Giải : Ta thấy chữ số tận A Mà số phương có tận 0,1,4,5,6,9 không tận 2,3,7,8 Vậy kết luận A khơng số phương Nhưng số có chữ số tận 0,1,4,5,6,9 chắn số phương hay chưa ? ta xét tốn sau: Bài 2: Chứng minh số 2006000 không số phương Giải : Một số phương tận số phải chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn, phải tận số chẵn chữ số Vậy số 2006000 khơng số phương Bài 3: Chứng minh : B = 10100 + 5050 +1 không số phương Nhận xét : Ta thấy B có tận Vậy muốn chứng minh B khơng số phương ta phải làm nào? Khi ta cần ý tính chất số phương là: Một số phương chia hết cho số p 2k+1 phải chia hết cho p 2k+2 (p số nguyên tố , k ∈ N) Vậy lời giải toán : Ta thấy B chia hết cho khơng chia hết cho ( tổng chữ số số B chia hết cho mà không chia hết cho 9) => B số phương Bài 4: Chứng minh số 20070 khơng số phương Giải : - Cách 1: Theo tốn ta thấy số 20070 có tận số lẻ chữ số => 20070 khơng số phương - Cách : Ta thấy số 20070 chia hết cho 5( có tận 0) không chia hết cho 25 ( hai chữ số tận khơng chia hết cho 25) Do số 20070 khơng số phương Bài tập áp dụng : Bài Chứng minh : Các số sau khơng số phương a, A = + 52+ 53+ 52+ 54+ 55+ …+5n (n >0) b, B = 20042005 c, C = 20062 -20052 + 20042- 20032 Bài Chứng minh : Tổng bình phương số tự nhiên liên tiếp khơng thể số phương Bài Viết liên tiếp số 1,2,3,4…2003,2004 thành hàng ngang theo thứ tự tùy ý Chứng minh số tạo thành theo cách viết khơng thể số phương Dựa vào việc xét số dư phép chia cho 3,4,5… Bài 1: CMR : Số A = 22…24 khơng phải số phương Nhận xét: Thật vậy, xét chữ số tận ta thấy số A có tận 4, khơng thể kết luận Mà số A chia hết cho chia hết cho 4( hai chữ số tận chia hết cho 4) Như vậy, ta áp dụng cách chứng minh dạng vào toán Chúng ta biết chứng minh số phương chia hết cho có số dư Vậy A chia cho có số dư nào? Khi ta có lời giải Giải: Do số A có tổng chữ số 104, số chia cho dư Mà số phương chia cho có số dư Vậy A khơng phải số phương Bài 2: Chứng minh tổng ba số phương liên tiếp khơng phải số phương Giải: Gọi ba số phương liên tiếp có dạng: (n-1)2, n2, (n+1)2 Tổng chúng là: A = (n-1)2 + n2 + (n+1)2 A = 3n2 +2 Do A chia cho dư nên A khơng số phương Bài 3: Chứng minh tổng bốn số phương liên tiếp khơng phải số phương Giải: Gọi bốn số phương liên tiếp có dạng (n-1)2,n2, (n+1)2, (n+2)2 Tổng chúng B = (n-1)2+n2+ (n+1)2+ (n+2)2 B = 4n2 +4n+6 - Ta dễ dàng chứng minh số phương chia cho có số dư Như số B = 4n2 +4n+6 = 4(n2 +n+1)+2 chia cho dư Vậy B khơng số phương Bài 4: Chứng minh tổng 20 số phương liên tiếp khơng phải số phương Giải: Thật gọi A tổng 20 số phương liên tiếp Theo : Do tổng số phương liên tiếp chia cho dư Nên tổng 20 số phương liên tiếp chia cho dư Vậy A không số phương Bài 5: Chứng minh tổng sau khơng số phương D = 20054 +20053 +20052 +2005 +52 Nhận xét: Nếu số dư phép chia cho 3, cho ta khơng kết luận Mà ta biết số phương chia cho có số dư dư dư Giải: Do D chia cho dư Mà số phương chia cho có số dư hoặc Nên D khơng số phương Bài tốn áp dụng: Chứng minh tổng số phương lẻ khơng số phương Chứng minh biểu thức sau khơng số phương a, n3 –n +2 b, n5 –n+2 Chứng minh tổng sau khơng số phương a, A= 12 +22 +32+…+20032+20042 b, B = 12 +22 +32+…+20032 c, C =20002 +20012+ 20032 +20042+20052+20062 7.1.5.3 Chứng minh số nằm số phương liên tiếp Ta biết hai số phương liên tiếp khơng có số phương Thật , n2< k0) Do n2 < n(n+1)< (n+1)2 Nên n(n+1) khơng phải số phương b, Xét tích ba số nguyên dương liên tiếp (n-).n.(n+1); (n>1) Ta có (n-1).n.(n+1) = n.(n2 -1) Ta dễ dàng chứng minh hai số nguyên dương liên tiếp hai số nguyên tố nên (n2, n2-1 ) = => (n2, n2-1 ) =1 =>n(n2-1) số phương hai thừa số n n2- số phương Với n>1 ta có (n -1) (n -1)< (n -1) (n +1)= n2-1 n2 -1 khơng số phương Vậy n.(n2 -1) khơng số phương c, Xét tích số nguyên dương liên tiếp : A = n(n+1)(n+2)(n+3) A = n(n+3(n+1)(n+2) A = (n2 +3n).(n2+3n+2) A = (n2+3n)2 +2(n2 +3n) (n ∈ N*) Do (n2+3n)2 < (n2+3n)2 +2(n2 +3n) < (n2+3n)2 +2(n2 +3n)+1 hay (n2+3n)2 A khơng số phương Bài 2: Chứng minh : Số có dạng 2006ab khơng số phương Giải : Do 00 < ab < 99 => 200600 < 2006ab < 200699 Mà 4472 = 199809 < 200600 (1) (2) Từ (1) (2) suy 4472 < 2006ab < Vậy 2006ab không số phương 4482 Bài 3: Chứng minh số có dạng n6 - n4 +2n3 +2n2 (n∈ N, n >1) khơng số phương Giải : Xét n6 – n4 +2n3 +2n2 = n2.(n4 –n2 +2n +2) = n2 [(n2 -1)2 +(n+1)2] = n2 [(n2 -1)2 (n +1)2 +(n+1)2] = n2.(n+1)2 [(n-1)2+1] Với số tự nhiên n > ta có: (n-1)2 < (n-1)2+1 = n2 -2(n-1) (n-1)2+1 khơng số phương Vậy A khơng số phương Bài tập áp dụng: Bài Chứng minh với số dương n biểu thức sau khơng số phương a, n2+3n +1 b, n4 +2n3 +2n2+2n +1 Bài Chứng minh số sau khơng số phương 2006acb 7.1.5.4 Chứng minh số chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ Khi phân tích thừa số nguyên tố số phương chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn không chứa số với số mũ lẻ Dựa vào tính chất ta có thêm cách chứng minh số khơng phải số phương, cần số chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ Bài Chứng minh : A = abc + bca + cab không số phương Giải: Thật : có A = 111(a+b+c ) = 3.37.(a+b+c) Do số số phương phải chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn Mà (a+b+c) không đồng thời chia hết cho 37 Vì ≤ a+b+c ≤ 27 Nên A khơng số phương Bài tập áp dụng: Chứng minh số sau khơng số phương a, abab b, abcabc c, ababab 7.1.5.5 Tìm số n để biểu thức số phương Bài 1: Tìm số nguyên dương n để biểu thức sau số phương n –n+2 Giải Với n = n – n + = khơng số phương Với n = n – n + = số phương Với n > n – n + khơng số phương Vì (n – 1) = n – (2n – 1) < n – (n - 2) < n Bài 2: Tìm số nguyên dương n để biểu thức n – n + số phương Giải Ta có n – n = (n – 1).n.(n + 1) Với n = 5k n chia hết cho n = 5k ± n – chia hết cho Với n = 5k ± n + chia hết cho Nên n – n + chia cho dư nên n – n + có chữ số tận nên n – n + khơng số phương Vậy : Khơng có giá trị n thoả mãn toán 2 2 2 2 5 2 2 5 Bài tập áp dụng: Bài 1: Tìm tất số nguyên tố p cho tổng tất ước số nguyên dương p4 số phương 7.1.6 Kết thực : Với cách làm kết môn số học (về nhận thức, độ nhanh nhạy tìm hướng giải) học sinh tăng lên đáng kể Thời gian đầu tiếp xúc với dạng tập em lúng túng hoang mang hồn tồn kiến thức Nhưng sau thời gian hướng dẫn làm quen với dạng tập này, em tiến nhiều Đặc biệt lực tư học sinh, khả sử dụng thao tác tư để tìm lời giải có tiến lớn Sau thời gian áp dụng thức vào q trình giảng dạy, hiệu khẳng định: khả nhận thức tính số nguyên tố tăng lên chất lượng đại trà cải thiện đáng kể, số học sinh giỏi tăng lên nhiều Cụ thể kết thống kê bảng sau: Thống kê khảo sát phần tính số nguyên tố qua hai năm học: Năm học Số HS – 10 SL % 6,5 – < – < 2–